Anwendung von Spieltheorie in Beachvolleyball Masterarbeit - unipub

Dominic Feiersinger, BSc

 Anwendung von Spieltheorie in
 Beachvolleyball

 Masterarbeit

 zur Erlangung des akademischen Grades
 eines Master of Science in Economics
 der Studienrichtung Politische und Empirische Ökonomik
 an der Karl-Franzens-Universität Graz

Betreuer: Univ.-Prof. Dipl.Ing., PhD Christoph Kuzmics

Institut: Volkswirtschaftslehre

 Graz, 17.05.2021

Vorwort

Ich möchte mich bei all den wichtigen und lieben Menschen bedanken, die mich auf
dem Weg zu dieser Masterarbeit begleitet haben. Allen voran danke ich meinen Eltern
und meiner Familie für ihre Unterstützung in allen Lebenslagen. Des Weiteren geht ein
Dank an all meine Freunde und StudienkollegInnen für ihre großartige Hilfe in
universitären, als auch außeruniversitären Dingen.

Ein besonderer Dank geht an meinen Betreuer Univ.-Prof. Dipl.Ing., PhD Christoph
Kuzmics für seine inspirierenden Vorlesungen, die mich an das Thema Spieltheorie
heranführten, seine Expertise und seine zeitliche Flexibilität.

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Inhaltsverzeichnis

 1. Einleitung

 2. Spielsituation und Daten

 3. Modell

 4. Ergebnisse

 5. Zusammenfassung

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1. Einleitung:
Diese Masterarbeit setzt sich zum Ziel einige Theorien aus dem Feld der Spieltheorie an
Daten von Beachvolleyballspielen zu testen. Diese Daten wurden von der Magisterarbeit
„Anwendung der Spieltheorie in der Sportspielanalyse“ von Mag. Stephan Vock
übernommen. Es wurden in seiner Arbeit Daten von 34 Beachvolleyballspielen eines
internationalen Turniers in Klagenfurt gesammelt. Wir werden mittels der Maximum-
Likelihood-Methode die Payoffs, als auch die Verteilung der Strategien gleichzeitig
schätzen und mit den Zahlen aus den Daten vergleichen. Weiters wird mit einem
Likelihood-Ratio-Test getestet, ob man die These verwerfen kann, dass die SpielerInnen
Strategien in einem Nash-Gleichgewicht (Nash 1950) verwenden und ob Homogenität
zwischen den Spielen vorliegt. Homogenität bedeutet hier, dass alle Spiele bezüglich der
Payoffs als gleich betrachtet werden können. Weiters wird unter Annahme heterogener
Spiele getestet ob in jedem einzelnen Spiel ein Gleichgewicht gespielt wird.

Spieltheorie und Sport sind eng miteinander verbunden, da man hier die Möglichkeit
vorfindet spieltheoretische Modelle zu testen, ohne auf Labordaten zurückgreifen zu
müssen. Für ein Modell in der Spieltheorie benötigt man SpielerInnen, Strategien und
Payoffs. Man findet in vielen Sportarten Situationen, die sich hervorragend für eine
spieltheoretische Untersuchung eignen, da man alle 3 Komponenten vorfindet. Des
Weiteren haben professionelle AthletInnen hohe Anreize gewinnen zu wollen, was bei
Laborexperimenten nicht immer der Fall ist. Das Paradebeispiel hierfür ist der Elfmeter
im Fußball. In dieser Situation nehmen nur 2 SpielerInnen am Spiel teil und auch die
Anzahl der Strategien hält sich in Grenzen. Weiters haben beide SpielerInnen ein klares
Ziel. Der/Die Torhüter/in will verhindern, dass der Ball ins Tor geht, wobei der/die
Schütze/in den Ball ins Tor befördern will. Somit haben wir ein Null-Summen-Spiel.

Palacios-Huerta (2003) betrachtete 1417 Elfmeter aus europäischen Topligen und
untersuchte diese bezüglich von Neumann’s (1928) Mini-Max-Theorem. Aus den Daten
wurde ersichtlich, dass diese sehr konsistent mit einem Gleichgewichtsspiel sind, da die
Gewinnwahrscheinlichkeiten über die Strategien gesehen statistisch identisch sind und da
die Spieler seriell unabhängige Entscheidungen treffen, welche Strategie sie verwenden.

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Im Paper von Palacios-Huerta und Volij (2008) wurde ein Experiment durchgeführt, um
zu sehen, ob professionelle SportlerInnen näher am Gleichgewicht spielen als
Studierende. Dafür verwendeten sie ein einfaches 2x2 Spiel, welches dem Elfmeter im
Fußball nachempfunden ist. Die professionellen SportlerInnen spielten dieses Spiel nahe
am Gleichgewicht, wobei die Studierenden weit davon entfernt waren. Des Weiteren
spielten die ProbandInnen das O’Neill (1987) 4x4 Nullsummenspiel. Nun wurde
ersichtlich, dass auch in diesem Spiel die professionellen AthletInnen nahe am
Gleichgewicht spielten, obwohl sie dieses Spiel noch nie gespielt hatten. Dies zeigt eine
Übertragung der Fähigkeiten von einem Spiel auf das nächste und auch von Spielen, die
im realen Leben stattfinden auf Spiele in einem Labor.

Auch Chiappori, Levitt und Groscelse (2002) betrachteten Elfmeter und erstellten ein
spieltheoretisches Modell. Die Annahmen und Vorhersagen dieses Modells wurden
danach anhand der gesammelten Daten getestet. Sie kamen zu dem Schluss, dass es
keinen Grund gegen die Annahme gibt, dass SpielerInnen die optimale Strategie wählen.

Auf diese Arbeit aufbauend erschien ein Paper von Coloma (2007), in welchem er eine
alternative Methode entwickelte und zu ähnlichen Ergebnissen wie Chiappori et al
kommt. Des Weiteren ist es ihm mit seinem Modell möglich eine Unterscheidung
zwischen verschieden Kategorien von SpielerInnen (Linksfuß, Rechtsfuß) zu treffen.

Auch in anderen Sportarten gab es bereits einige spieltheoretische Analysen. Walker und
Wooders (2001) betrachteten TennisspielerInnen und ihre Entscheidungen beim
Aufschlag.

Auch für American Football und Baseball gibt es solche Analysen. Die größte wurde von
Kovash und Levitt (2009) durchgeführt. Sie betrachteten über 3 Millionen Würfe aus der
Major League Baseball der Jahre 2002 bis 2006, sowie 125.000 Spielzüge aus der NFL.

Auch Romer (2006) betrachtete die NFL und die Entscheidungen der Teams beim vierten
und letzten Down.

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden wir in Kapitel 2 zuerst die von uns betrachtete
Spielsituation genauer erläutern, sowie die verwendeten Daten präsentieren. Daran
anschließend wird Kapitel 3 einen Überblick über das Modell geben und beschreiben wie
unsere Testmethode funktioniert. In Kapitel 4 werden unsere Ergebnisse dargelegt.

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Kapitel 5 enthält eine Zusammenfassung und einen Ausblick auf weitere interessante
Themen, aufbauend auf unseren Ergebnissen.

2. Spielsituation und Daten:
Wir modellieren in dieser Arbeit den Angriffsschlag in einem Beachvolleyballspiel. Ein
Punkt im Beachvolleyball läuft immer gleich ab. Er beginnt mit einem Aufschlag des
verteidigenden Teams über das Netz. Danach folgen eine Annahme, ein Aufspiel und
folglich der Angriffsschlag des angreifenden Teams. In seltenen Fällen wird der
Angriffsschlag schon mit dem zweiten Kontakt statt des Aufspiels ausgeführt oder der
Aufschlag kann nicht verarbeitet werden und es kommt zu einem Ass. In unserem
Modell betrachten wir den Angriffsschlag nach einer Standardabfolge des Punktes und
lassen die Sonderfälle außen vor.

Das verteidigende Team wird hier als eine Einheit betrachtet, da die MitspielerInnen mit
für den/die Gegner/innen unsichtbaren Handzeichen kommunizieren, welche Strategie
sie verwenden wollen. (Vock 2011)

Folgende Abbildung erläutert den zeitlichen Ablauf eines Beachvolleyballpunktes:

Abb1: Zeitlicher Ablauf eines Punktes im Beachvolleyball. (Link, Ahmann 2013)

 : Start mit einem Aufschlag (Punkt A). : Annahme der AngreiferInnen (Punkt B). : Aufspiel bzw. Anlauf zum
Angriffsschlag (Punkte C und D). : Angriffsschlag und Blockversuch (Punkte E und F), der/die zweite
Verteidiger/in verteidigt zeitgleich den Rückraum (Punkt G). : direkter Punkt, Block oder eine Abwehr des/der
nicht blockenden Verteidigers/in (Punkt H)

Wir verwenden hier Daten von 34 Spielen (jeweils 17 Herren- und 17 Damenspiele)
vom Grand Slam in Klagenfurt aus dem Jahre 2005, einem hochklassigen Turnier mit
vielen WeltklassespielerInnen. Die gespielten Punkte wurden in 6 Kategorien von

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Angriffsschlägen sowie 3 Kategorien von Verteidigungsstrategien unterteilt. (siehe
Tabelle 1)

 Angriffsstrategien Verteidigungsstrategien
 Harter Schlag longline Block longline
 Harter Schlag diagonal
 Shot longline Block diagonal
 Shot diagonal
 Poke Kein Block
 Cut
 Tabelle 1: Aufteilung der untersuchten, gespielten Punkte nach Strategien

(Vock 2011)

Wir adaptieren diese Daten und betrachten nur die Richtung des Schlages, nicht die
Stärke. Weiters lassen wir die Strategien „Poke“ und „Cut“ im Angriff, sowie „Kein
Block“ in der Verteidigung in unserer Analyse weg, da diese eher weniger verwendet
werden. Dadurch reduziert sich die Anzahl der Strategien auf jeweils 2
Angriffsstrategien (longline, diagonal), sowie 2 Verteidigungsstrategien (longline,
diagonal).

Als Samplesize haben wir nach unserer Adaptierung 722 gespielte Punkte aus
Damenspielen und 1086 gespielte Punkte aus Herrenspielen. Die Zahl der Herrenpunkte
ist höher, da bei den Damen die Strategien „Poke“, „Cut“ und „Kein Block“ doch öfters
vorkommen als bei den Herren. Bei den Herren machen diese Strategien in den
ursprünglichen Daten rund 12,21% (151 Schläge) aus, wogegen dieser Prozentsatz bei
Damenspielen rund 31,66% (335) beträgt. Zur Einfachheit lassen wir diese Strategien
allerdings auch bei der Analyse der Damenspiele weg, womit diese Ergebnisse mit
Vorsicht zu genießen sind.

Die Daten sind im Anhang in Tabellen zusammengefasst. Wir sehen in den ersten 34
Zeilen der Tabelle die Daten der Einzelspiele, wo wir zudem zwischen den beiden
Teams unterscheiden. Die letzten zwei Zeilen zeigen die gesamten Daten für Damen
und Herren. (siehe Anhang 1)

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3. Modell:
In unserem Modell gehen wir, wie oben beschrieben, von jeweils zwei Strategien für
AngreiferInnen und VerteidigerInnen aus. Für das angreifende Team sind diese
Strategien „longline“ (ein Angriffsschlag der Linie entlang) und „diagonal“ (ein Schlag
quer über das Netz auf die gegenüberliegende Seite). Für die Verteidigung haben wir
ähnliche Strategien „longline“ (Blocken des Linienschlags) und „diagonal“ (Blocken
des diagonalen Schlags). Auch wenn das ein sehr reduziertes Modell für das Spiel
Beachvolleyball repräsentiert, hat es dennoch einiges an Aussagekraft.

Für unser spieltheoretisches Modell erstellen wir nun eine einfache 2x2-Matrix:

 Angriff/Verteidigung Longline (y) Diagonal (1-y)
 Longline (x) 1 2
 Diagonal (1-x) 3 4

Hier stehen die Werte ∈ [0,1] mit i=1,2,3,4 für die Payoffs des angreifenden Teams.
Das verteidigende Team hat die Gegenwahrscheinlichkeit (1 − ) als ihren Payoff.

Wir gehen weiters davon aus, dass

 1, 4 ≤ 2, 3 (1)

Mit dieser Annahme modellieren wir, dass es besser ist, die entgegengesetzte Strategie
des Gegners zu spielen. Die Ungleichung 1 ≤ 2 sagt zum Beispiel einfach aus, dass
Angriffsstrategie „longline“ einen höheren Payoff gegen Verteidigungsstrategie
„diagonal“ im Vergleich zu Verteidigungsstrategie „longline“ erzielt.

Die Variablen x ∈ [0,1] und y ∈ [0,1] stehen für das Verhältnis, in welchem die Teams
zwischen den Strategien wechseln. Das angreifende Team wählt also mit
Wahrscheinlichkeit x die Strategie „longline“ und mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-
x) die Strategie „diagonal“. Analoges gilt für das verteidigende Team mit der Variable
y.

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Nun interessiert uns vor allem, ob die Daten nahelegen, dass die SpielerInnen in einem
Gleichgewicht agieren. Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir
Gleichgewichtsbedingungen in unser Modell einbauen.

In einem Gleichgewicht versucht man immer den/die GegnerIn indifferent zwischen
seinen/ihren Strategien zu machen. Indifferenz erreicht man, wenn die gesamten Payoffs
für beide Strategien gleich sind. Das heißt, um das verteidigende Team indifferent zu
machen berechnen wir:

Payoff der Strategie „longline“ des verteidigenden Teams:

 × (1 − 1 ) + (1 − ) × (1 − 3 ). (2)

Payoff der Strategie „diagonal“ des verteidigenden Teams:

 × (1 − 2 ) + (1 − ) × (1 − 4 ). (3)

Für Indifferenz benötigen wir nun Gleichheit der beiden Terme (2) und (3) und wir
lösen nach x, um die Wahrscheinlichkeit für die Strategie „longline“ des verteidigenden
Teams im Gleichgewicht zu erhalten:

 × (1 − 1 ) + (1 − ) × (1 − 3 ) = × (1 − 2 ) + (1 − ) × (1 − 4 ). (4)

Nach Auflösen nach x erhalten wir:
 3 − 4
 = (5)
 3 + 2 − 1 − 4

Das gleiche Prozedere können wir nun für die Gegenseite ausüben und bekommen
dadurch eine Gleichung für y:
 4 − 2
 y= (6)
 1 + 4 − 2 − 3

Um Schätzer für die Payoffs , sowie x und y zu erhalten, erstellen wir nun eine Log-
Likelihood-Gleichung, die wir maximieren wollen:

 = × ln( × × 1 ) + × ln( × × (1 − 1 ))+ (7)

 × ln( × (1 − ) × 2 ) + × ln( × (1. − ) × (1 − 2 ))+

 × ln((1 − ) × × 3 ) + × ln((1 − ) × × (1 − 3 ))+

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 × ln((1 − ) × (1 − ) × 4 ) + × ln((1 − ) × (1 − ) × (1 − 4 ))

Hier stehen für die Anzahl an Angriffen mit a ∈ {„longline“=L; “diagonal“=D} als
Strategie der AngreiferInnen, b ∈ {„longline“=L; “diagonal“=D} als Strategie des
verteidigenden Teams und c ∈ {„direkter Punkt“=Y; “kein direkter Punkt“=N} als
Ergebnis des Schlags.

Diese Gleichung maximieren wir unter den Nebenbedingungen (1), (5) und (6) von oben.
Hierfür haben wir ein Programm in R geschrieben, welches unsere Daten ( ) aus einer
Liste einliest und unsere Gleichung maximiert. (siehe Anhang 2)

Um zu sehen, ob die Teams ein Gleichgewicht spielen, vergleichen wir nun den Fall mit
Nebenbedingungen mit dem Fall, wo wir die Gleichgewichtsbedingungen weglassen.
Dies geschieht mit einem Likelihood-Ratio-Test.

Für diesen Test benötigen wir den Wert des Logarithmus der Likelihood des Modells mit
den Gleichgewichtsbedingungen sowie auch jenen des Modells ohne diese Bedingungen.
Wir sprechen hier dann vom beschränkten Modell und vom unbeschränkten Modell.

Die Teststatistik des Likelihoodratio-Tests berechnet man mit folgender Formel:

 LR= -2*(log -log ) (8)

Hierbei steht für die Likelihood des beschränkten Modells und für die Likelihood
des unbeschränkten Modells.

Diese Teststatistik ist, unter der Null-Hypothese, dass ein Gleichgewicht gespielt wird,
Chi-Quadrat verteilt, mit der Anzahl der Freiheitsgrade entsprechend der Anzahl der
Variablen, die beschränkt werden. Nun berechnen wir mit dem erhaltenen Wert den p-
Wert und wissen somit, ob das beschränkte Modell, auf dem von uns gewählten 5%-
Signifikanzniveau verworfen werden kann (d.h. die These, dass ein Gleichgewicht
gespielt wird, wird verworfen).

Weiters wollen wir auf Homogenität zwischen den Spielen testen. Das heißt, wir testen
ob sich die Payoffs zwischen den einzelnen Spielen signifikant voneinander
unterscheiden. Wir verwenden hierfür denselben Test wie oben, allerdings mit der
aggregierten Likelihood anstatt der Likelihood des beschränkten Modells. Diese

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aggregierte Likelihood ergibt sich aus dem Addieren der Likelihoods der einzelnen
Spiele. Unsere Teststatistik ist dann also:

 LR= -2*(log -log ) (9)

Die aggregierte Likelihood wird mit bezeichnet. Wir berechnen dann wieder den p-
Wert und vergleichen diesen mit dem 5%-Signifikanzniveau. Falls wir verwerfen, sind
die Payoffs über die einzelnen Spiele signifikant unterschiedlich und wir verwerfen
Homogenität zwischen den Spielen.

4. Ergebnisse:
Unsere Ergebnisse sind mit einiger Vorsicht zu genießen, da teilweise die Anzahl der
betrachteten Schläge etwas gering ist und wir natürlich das Spiel an sich stark
einschränken, indem wir nur von jeweils 2 Strategien für Angriff und Verteidigung
ausgehen. Auch gibt es in manchen Spielen teilweise Strategiekombinationen, die gar
nicht vorkommen, wodurch wir für diese Strategie im unbeschränkten Fall keine
Punktwahrscheinlichkeit berechnen können.

Als erstes vergleichen wir die von uns berechneten Werte für die Payoffs sowie die
Variablen x und y mit den aus den Daten erhaltenen Werten. (Anhang 3)

Für die meisten Spiele liegen diese Werte ungefähr im selben Bereich und wir schließen
aus unserem Modell, dass die prozentualen direkt erzielten Punkte einen guten Schätzer
für die Payoffs darstellen.

Als weiteres Analyseinstrument verwenden wir den oben beschriebenen Likelihood-
Ratio Test. Wir testen als erstes, ob die Punktwahrscheinlichkeiten der einzelnen Spiele
immer gleich sind. Dafür verwenden wir den Likelihood-Wert der gesamten Daten
(aggregiertes Spiel) und testen diesen Wert gegen die addierten Likelihoodwerte der
einzelnen Spiele. Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt hier sowohl bei den Damen als
auch bei den Herren 198, da wir in 17 Spielen jeweils 2 Teams und jeweils 6 Parameter
beschränken. Von diesen 204 Freiheitsgraden ziehen wir noch 6 (die Anzahl der
Parameter im ursprünglichen Modell) ab.

Wir berechnen dann wie oben beschrieben LR und betrachten den p-Wert der Chi-
Quadrat-Statistik mit unseren Freiheitsgraden. Falls dieser Wert unter unserem

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gewählten Signifikanzniveau von 5% liegt, verwerfen wir die H0, was bedeutet, dass es
Evidenz dafür gibt, dass die Punktwahrscheinlichkeiten in den Einzelspielen nicht
gleich sind wie im Spiel mit den aggregierten Daten.

Für die Herren berechnen wir:

LRgesamt= 2*(LikelihoodSummeEinzelspiele-Likelihoodaggregiert) =2*(-1992,31354-
(-2130,87309)) =277,1190996

df= (6*17*2) – 6 = 198

Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,000174532 und wir verwerfen die H0. Es
liegt hier starke Evidenz gegen die Annahme von Homogenität vor.

Für die Damen berechnen wir:

LRgesamt= 2*(LikelihoodSummeEinzelspiele-Likelihoodaggregiert) = 2*(-
1240,46749-(-1412,8762)) = 344,8174303

df= (6*17*2) – 6 = 198

Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,000000000490 und verwerfen die H0. Es
liegt also auch bei den Damen starke Evidenz gegen Gleichheit der
Punktwahrscheinlichkeiten vor.

Mit dem nächsten Test untersuchen wir, ob im aggregierten Spiel ein Gleichgewicht
gespielt wird. Dafür verwenden wir die Likelihood der aggregierten Daten und testen
gegen die von unserem Modell berechnete aggregierte Likelihood. Falls wir unsere H0
verwerfen müssen, haben wir Evidenz, dass kein Gleichgewicht gespielt wird. Hier
haben wir nur 2 Freiheitsgrade, da die einzige Beschränkung durch die
Gleichgewichtsbedingungen für x und y vorliegt.

Für die Herren berechnen wir:

LRgesamt = 2*(LikelihoodaggregiertDaten-LikelihoodaggregiertModell) = 2*(-
2130,87309-(-2130,96501)) = 0,18384

df=2

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Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,91218 und wir verwerfen die H0 nicht. Es
liegt also keine Evidenz gegen ein gespieltes Gleichgewicht vor.

Für die Damen berechnen wir:

LRgesamt= 2*(LikelihoodaggregiertDaten-LikelihoodaggregiertModell) =2*(-
1412,8762

-(-1413,22100)) = 0,68959501

df=2

Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,74330159 und wir verwerfen die H0
wieder nicht. Es liegt also wiederum keine Evidenz gegen ein Gleichgewicht vor.

Nun wollen wir für die einzelnen Spiele die erhaltene Likelihood gegen die berechnete
Likelihood testen. Wir testen also, ob Evidenz für ein Gleichgewicht in den einzelnen
Spielen vorliegt. Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt hier 2. In Anhang 4 haben wir
die p-Werte in Tabellen zusammengefasst.

Wir sehen, dass bei den Herren nur in 4 Fällen (in Spiel 2 und 4 für Team 1 und in Spiel
27 und 33 für Team 2) unsere H0 verworfen werden muss. In den restlichen 30 Fällen
verwerfen wir H0 nicht und haben nicht genügend Signifikanz gegen ein gespieltes
Gleichgewicht.

Bei den Damen verwerfen wir H0 in insgesamt 7 Fällen (Team 1 in den Spielen 3,6 und
32; Team 2 in den Spielen 12,14,22,29). Dem stehen 27 Fälle, wo wir die These eines
Gleichgewichts beibehalten können gegenüber.

Diese Zahlen folgen nach einer Betrachtung auf dem 5%-Signifikanzniveau. Hier ist
anzumerken, dass man, auch wenn die These stimmt, trotzdem in 5% der Fälle ein
Verwerfen der H0 erwarten würde. Dies wären bei unserer betrachteten Anzahl von
jeweils 34 Spielen jeweils durchschnittlich 1,7 Fälle.

Betrachtet man das 10%-Signifikanzniveau, verwerfen wir die H0 bei den Herren in 5
Fällen und bei den Damen in 8 Fällen. Erwarten würden wir durchschnittlich 3,4
verworfene Fälle. Bei den Herren sind wir also sehr nahe an diesem Wert.

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Es liegt hier ein multiples Testproblem vor. Beim Testen von vielen Hypothesen, muss
man im Hinterkopf behalten, dass bei solchen Tests immer Fehler passieren können und
auch mit gewisser Wahrscheinlichkeit passieren werden. Wenn wir von einem
Signifikanz-Niveau von 5% ausgehen, bedeutet dies, dass wir uns bei diesen Tests nur
in 5% der Fälle einen Fehler 1. Art erlauben. Dieser Fehler liegt dann vor, wenn die
Nullhypothese eigentlich richtig ist, unser Test sie aber verwirft. Wir wissen also bei so
vielen Tests nicht, ob die Nullhypothese wirklich verworfen werden sollte oder ob hier
ein Fehler 1.Art vorliegt.

Ein Beispiel:

Es werden 20 Hypothesen gleichzeitig auf dem 5%-Signifikanzniveau getestet. Wir
berechnen nun die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese mindestens einmal zu
verwerfen.

P(H0 mindestens einmal verworfen)= 1 - P(H0 nie verworfen) = 1 – (1-0,05)^20 = 0,64

Wir sehen also, dass bei den 20 Tests mit einer Wahrscheinlichkeit von 64% mindestens
einmal die Nullhypothese verworfen wird, auch wenn sie immer signifikant ist. Unser
gewähltes Signifikanzniveau mag also für die einzelnen Tests korrekt gewählt sein,
nicht jedoch für alle Tests zusammen. (Novustat 2019)

Man kann diesem Problem mit der Bonferroni-Korrektur entgegenwirken. Hier wird das
Signifikanzniveau angepasst, gemessen an der Anzahl der Tests, die vorgenommen
werden. Das neue Signifikanzniveau wird dann als α/n angenommen, wobei α für das
Signifikanzniveau und n für die Anzahl der Tests steht. In unserem Fall wäre das neue
globale Signifikanzniveau also 0,05/34=0,0015. Auf diesem Signifikanzniveau würden
wir dann die Nullhypothese bei den Herren in keinem der 34 Fälle mehr verwerfen. Bei
den Damen würden sich die Fälle, in welchen die H0 verworfen wird auf 2 Fälle (Team
1 in Spiel 32 und Team 2 in Spiel 29) reduzieren. (Napierala 2012)

Der letzte von uns durchgeführte Test soll testen, ob unter Annahme von heterogenen
Spielen in allen Spielen ein Gleichgewicht gespielt wird. Da die Spiele unter dieser
Annahme nicht die gleichen Payoffs haben, können wir unsere Daten nicht als ein
großes aggregiertes Spiel zusammenfassen wie oben. Wir verwenden für diesen Test die

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Summe der Likelihood der einzelnen Spiele. Dadurch lösen wir auch das vorliegende
multiple Testproblem.

Wir testen also die Summe der Likelihood der einzelnen Spiele aus unserem Datensatz
gegen die Summe der Likelihood unserer geschätzten Spiele mit den
Gleichgewichtsbedingungen. Unsere Nullhypothese ist, dass in jedem Spiel ein
Gleichgewicht gespielt wird. Die Freiheitsgrade betragen 2*2*17=68, da wir 2
Variablen für 2 Teams in 17 Spielen beschränken. Die Summe der Likelihood ist in
Anhang 5 zu finden.

Für die Herren berechnen wir:

LRgesamt= 2*(SummeLikelihoodDaten-SummeLikelihoodGeschätzt) = 2*(-
1992,3135-(-2034,695)) = 84,763

df=68

Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,082268127 und wir verwerfen die H0
nicht. Es liegt also keine Evidenz gegen gespielte Gleichgewichte vor.

Für die Damen berechnen wir:

LRgesamt= 2*(SummeLikelihoodDaten-SummeLikelihoodGeschätzt) = 2*(-
1240,46749-(-1300,25633)) = 119,57768

df=68

Dadurch bekommen wir einen p-Wert von 0,00011361 und wir müssen die H0 auf dem
5%-Signifikanzniveau verwerfen. Es liegt also Evidenz gegen gespielte Gleichgewichte
vor.

Dass wir hier bei Herren und Damen unterschiedliche Ergebnisse erhalten, liegt
vermutlich daran, dass wir bei den Spielen der Damen die Strategieauswahl zu stark
einschränken. Da bei den Damenspielen die von uns ignorierten Strategien „Poke“ und
„Cut“ in der Offensive, sowie „Kein Block“ in der Defensive doch öfter vorkommen als
bei den Herren, könnte das Weglassen hier zu Problemen führen.

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5, Zusammenfassung:
In dieser Arbeit wurde Beachvolleyball anhand von statistischen Methoden der
Spieltheorie untersucht. Wir betrachteten Angriffsschläge und die zugehörigen
Strategien der AngreiferInnen und des verteidigenden Teams. Besonderer Fokus wurde
auf das Konzept eines Gleichgewichts gelegt und wir testeten mit Hilfe eines
Likelihood-Ratio Tests ob die SpielerInnen ein Gleichgewicht spielen. Dies wurde für
die einzelnen Spiele, als auch für die aggregierten Daten von Damen und Herren
getestet. Weiters wurde unter der Annahme von heterogenen Spielen getestet, ob in
allen Spielen ein Gleichgewicht gespielt wird. Nach unseren Tests können wir die
Nullhypothese eines Gleichgewichts für die aggregierten Daten nicht verwerfen. Für die
Einzelspiele müssen wir die Nullhypothese in einigen Fällen verwerfen, allerdings liegt
hier ein multiples Testproblem vor. Nach anpassen unseres Signifikanzniveaus wird die
Nullhypothese nur noch in zwei Fällen verworfen.

Der zweite Test, der angewendet wurde, ist ein Test auf Homogenität zwischen den
Spielen, also ob die Payoffs in jedem der einzelnen Spiele gleich sind. Auch hier wurde
wieder ein Likelihood-Ratio Test verwendet. Wir verwerfen hierbei sowohl bei den
Damen als auch bei den Herren die Nullhypothese der Homogenität. Es gibt also
Signifikanz dafür, dass die Payoffs in den einzelnen Spielen nicht gleich sind.

Beim Test auf Gleichgewicht in allen Spielen unter der Annahme heterogener Spiele
können wir die Null-Hypothese, dass Gleichgewichte gespielt werden, bei den Herren
nicht verwerfen. Bei den Damen hingegen müssen wir verwerfen. Die unterschiedlichen
Ergebnisse entstehen hier vermutlich durch zu starke Einschränkung der Strategien bei
den Damen.

Unsere Ergebnisse sind mit einer gewissen Vorsicht zu betrachten. Die von uns
analysierte Spielsituation ist durch das Verwenden von nur jeweils zwei Strategien in
Angriff als auch Verteidigung stark vereinfacht dargestellt. Vor allem bei den Damen
werden, die von uns weg gelassenen Strategien doch um einiges öfter verwendet als bei
den Herren. Aus Gründen der Einfachheit haben wir uns allerdings entschlossen auch
bei den Damen nur je zwei Strategien zu verwenden. Als weitere Forschung wäre die

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Ausweitung der hier verwendeten Methode auf ein etwas komplexeres Modell dieser
Spielsituation anzudenken.

Weiters ist die Größe unseres Samples vor allem für die einzelnen Spiele etwas gering.
Dadurch kam es hin und wieder vor, dass für gewisse Strategiekombinationen kein
einziger Punkt beobachtet werden konnte. Wir konnten dann für den beschränkten Fall
keine sinnvollen Payoffs berechnen. Auch hier wäre eine Ausweitung unserer Methode
mit größerem Sample interessant.

Alles in allem kann man allerdings sagen, dass die Ergebnisse unserer Methode mit den
Erwartungen zusammenpassen. Wir können die These eines Gleichgewichts nicht
verwerfen, was zu erwarten war, da man davon ausgehen kann, dass sich
WeltklassespielerInnen eines Sports in der Nähe eines Gleichgewichtes bewegen.
Dieses Ergebnis wurde auch in Studien zu verschiedenen anderen Sportarten bereits
gefunden. Auch dass die Payoffs über die einzelnen Spiele unterschiedlich sind wurde
vor der Testung dieser Hypothese so erwartet.

Man sieht, dass es vor allem für SpielerInnen auf dem höchsten Level wichtig ist über
das eigene Mischen der Strategien, als auch über die Tendenzen der GegnerInnen
Bescheid zu wissen.

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Literatur:

Chiappori, P., Groseclose, T., Levitt, S. (2002). Testing Mixed-Strategy Equilibria
When Players Are Heterogenous: The Case of Penalty Kicks in Soccer. The American
Economic Review, 92(4), 11138-1151
Coloma German (2007), Penalty Kicks in Soccer: An Alternative Methodology for
testing Mixed-strategy Equilibria. Journal of Sports Economics, 8, 530-545.

Kovash Kenneth und Levitt Steven D. (2009), Professionals do not play Minimax:
Evidence from major League Baseball and the National Football League. Working
Paper No. 15347, National Bureau of Economic Research, Cambridge.

Link Daniel und Ahmann Jörg (2013), Moderne Spielbeobachtung im Beach-Volleyball
auf Basis von Positionsdaten. Sportwiss 43, 1–11 (2013).
https://doi.org/10.1007/s12662-013-0282-z
Napierala Matthew A. (2012), What is the Bonferroni Correction? AAOS Now, April
2012 Issue.
Nash John F. (1950), Non-cooperative Games, Dissertation, Princeton University.

Novustat (2019). Novustat. http;//www.novustat.com/statistik-blog/multiples-testen-
vorsicht.html, Zugriff: 05.05.21
O’Neill, B. (1987), Nonmetric test of the minimax theory of two-person zerosum
games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 84, 2106-2109.

Palacios-Huerta Ignacio (2003), Professionals play Minimax. Review of Economic
Studies (70), 395-415
Palacios-Huerta Ignacio und Volij Oscar (2008), Experientia Docet: Professionals play
Minimax in Laboratory Experiments. Econometrica Vol. 76 No.1, 71-115
Romer David (2006), Do Firms Maximize? Evidence from Professional
Football. Journal of political economy, 114(2), 340-365.

Vock Stephan (2011), Anwendung der Spieltheorie in der Sportspielanalyse.
Magisterarbeit Universität Wien

Von Neumann J. (1928), Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Mathematische Annalen,
100, 295-320.

Walker M. und Wooders J. (2001), Minimax Play at Wimbledon. The American
Economic Review, 91(5), 1521-1538.

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Anhang 1:

Untenstehend haben wir unsere Daten zusammengefasst. Wir sehen in den Spalten von
links nach rechts die jeweilige Nummerierung des Spiels, ob die TeilnehmerInnen
weiblich oder männlich sind, die Strategiekombinationen von Team 1 (LL, LD, DL,
DD), ob damit ein direkter Punkt erzielt wurde (LLP, LDP, DLP, DDP) und im
Folgenden dasselbe für Team 2. In den Strategiekombinationen wird das Angriffsteam
als Erstes benannt, LD heißt beispielsweise, dass ein Longline Angriffsschlag, sowie ein
diagonaler Blockversuch ausgeführt wurde.

Für die Gesamtdaten können wir keine Unterscheidung zwischen den Teams
vornehmen, daher haben wir uns hierbei auf die Unterscheidung zwischen Damen- und
Herrenspielen beschränkt. Die letzten zwei Zeilen fassen diese Daten nach obigem
Muster zusammen.

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Anhang 2:
Hier sehen wir unser Programm zur Maximierung der Log-Likelihood-Gleichung und
somit zur Schätzung unserer Variablen x,y, 1 , 2 , 3 und 4 mit Hilfe der Software R.
Die Log-Likelihood-Gleichung wurde hierfür in eine Funktion mit vier Parametern
geschrieben. Auch die Gleichgewichtsbedingungen x und y wurden eingebaut (siehe
Zeilen 7 und 8). Die Anzahl der jeweiligen Versuche wurde als xx[i] für i ∈ [1,8] aus
unserer Liste eingelesen.
Zur Maximierung verwenden wir die Funktion constrOptim (siehe Zeile 26), in welche
wir noch die Bedingungen für die Payoffs mit Hilfe der Matrix A sowie des
Ergebnisvektors b einbauen.
Ausgegeben wird uns dann der berechnete Wert der Likelihood-Gleichung sowie die
Werte für x,y und für die jeweiligen Spiele. (siehe Zeilen 29 bis 32)

 20

Anhang 3:
Hier sehen wir eine Tabelle zu den aus den Daten berechneten x,y und im Vergleich
zu den von uns geschätzten Werten, jeweils für die Damen- und Herrenspiele.
In den ersten drei Spalten stehen Informationen, um welches Team und welches Spiel es
geht. Die Spalten 4 bis 9 zeigen die berechneten Werte und in den Spalten 10 bis 15
sind die geschätzten Werte zu finden.
Die Meldung „#Div/0!“ erhielten wir bei einer Division durch 0, was in unserem Fall
bedeutet, dass kein Punkt mit dieser Strategienkombination gespielt wurde.
Herren:

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Damen

:

 22

Anhang 4:
Untenstehend haben wir die p-Werte für die einzelnen Spiele für Herren und Damen
jeweils in einer Tabelle zusammengefasst.
Wir sehen in den ersten vier Spalten Informationen welches Spiel, welches Team und
welche Sample Size betrachtet wird. Spalte 5 ist die Likelihood des unbeschränkten
Modells, wobei in Spalte 6 die Likelihood des beschränkten Modells dargestellt wird.
Spalte 7 zeigt die Differenz dieser beiden Werte. In Spalte 9 und 10 haben wir dann die
Anzahl der Freiheitsgrade (df) und den Wert unserer Teststatistik (chiu_squared). Der p-
Wert wird in Spalte 11 dargestellt.
Herren:

 23

Damen:

 24

Anhang 5:
Wir sehen in den folgenden Tabellen die Likelihood für die einzelnen Spiele der Herren
und der Damen, die wir aus unseren Daten erhalten, sowie die geschätzte Likelihood der
einzelnen Spiele mit Gleichgewichtsbedingungen.
Die ersten zwei Spalten zeigen welches Spiel und welches Team betrachtet wird. Die
dritte Spalte listet die einzelnen Likelihoods, die wir aus unseren Daten erhalten haben
auf. In der letzten Spalte finden wir die geschätzten Likelihoods mit
Gleichgewichtsbedingungen.
In der letzten Zeile sehen wir die Summe der jeweiligen Spalten.

Herren: Damen:

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