LÖSUNGSHINWEISE - 3DMENSIONALS
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Lösungshinweise
Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln
g g p
ZuKV3.6.1.1:WarmUp–„Datensalat”
a) HiersindverschiedeneDarstellungenmöglich,wiez.B.einKreisdiagrammzueinerUmͲ
frageoderaucheinGrapheinerFunktionusw.DieSchülerinnenundSchülersollenihre
Wahlbegründen,dabeiistdaraufzuachten,dasssieauchfachlicheBegründungenfinden.
b–d)HiersollendieSchülerinnenundSchülerihregewähltenDarstellungenmithilfederFraͲ
genstückweiseanalysierenunddadurchbesserverstehen.DabeiistderArbeitsauftrag
alsWiederholungdavongedacht,wieinderheutigenZeitmitDatenumgegangenwird,
welcheRolleDiagrammespielenundwieesgelingt,DarstellungenvonDatenzuinterpreͲ
tieren.
ZuKV3.6͘ϭ͘2a:ZufallalsfaireBedingung
a) UmeinFalschspielenundBetrügenzuverhindern,wirdz.B.versucht,ohnejeglicheMaͲ
nipulation,denZufallentscheidenzulassen.Dasbeinhaltetauch,dasskeineManipulatiͲ
onenandenGegenständen,mitdenen„gespielt“wird,vorgenommenwurden.Römische
SoldatenversuchtenbeispielsweiseübereinensogenanntenWürfelturmsicherzustellen,
dassderWurfeinesWürfelsnichtdurchdenWerfendenmanipuliertwerdenkonnte.
b) DieSchülerinnenundSchülersollensichindieserAufgabemitdemBegriff„Zufall“auseiͲ
nandersetzen.VielleichtkennensiedenBegriffausihremAlltag,ihnenfallenbestimmte
Szenarienein,indenensie„Zufall“beschreibenkönnen,oderdieLernendenverbinden
denBegriff„Zufall“mitanderenBegriffenwiebspw.„Chance“,„Glück“,„WahrscheinlichͲ
keit“oder„Möglichkeiten“etc.IhreErgebnissesollendieSchülerinnenundSchülerfür
sichschriftlichfesthalten.
c) ÜberdenBegriff„Zufall“kannindieserTeilaufgabevordemHintergrundverschiedener
Ideennachgedachtwerden.BeispielsweisekannderBegriffmitdemBestimmenvonHäuͲ
figkeitenunddemWerfeneinerMünzevoreinemSpiel(Tennis,Fußballetc.)inVerbinͲ
dunggebrachtwerden.Hierwirdangenommen,dassderZufallgewissermaßen„entscheiͲ
det“unddasErgebnisdaheralsbesondersfairangesehenwerdenkann.Zufallwirdhier
alsomitFairnessinVerbindunggebracht.EineweitereIdeekannsein,denZufallsbegriff
mitdemWahrscheinlichkeitsbegriffinVerbindungzubringen.EinemöglicheDefinition
zurWahrscheinlichkeit,diesichentwickelthat,kennendieSchülerinnenundSchüler(je
nachVorwissen)bereits.DiesestehtmitdemNamendesfranzösischenMathematikers
P.ͲS.LaplaceinVerbindung,derfürseineDefinitionvonWahrscheinlichkeitdieVorausͲ
setzungfesthält,dassalleFälle„gleichmöglich“sind.DannbildetmannachLaplaceden
QuotientenderAnzahlendergünstigenunddermöglichenFälle.
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise
ZuKV3.6.1.2b,c:ZufallalsfaireBedingung
a) BeispielhaftesVorgehenzurErstellungeinesWürfelturmesinTinkercadTM:
Hinweis:EineBeschreibungdesVorgehensinTinkercadTMistindenLösungshinweisenzuKV3.6.1.2c
zufinden.
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Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln
ZuKV3.6.1.2c:ZufallalsfaireBedingung
b) DiesefolgendenAusführungensindalsBeispielezubetrachten:
ZunächsthabenwireinenQuaderaufderArbeitsebeneplatziert
1. Durchführung undpassendeMaßeeingestellt.Anschließendhabenwirmithilfe
BeschreibtSchrittfür einesKeilseine„schiefeEbene“amBodendesWürfelturmsplatͲ
Schritt,wieihreuren ziert. Danach haben wir mithilfe einer Halbkugel ein Loch in die
Würfelturmkonstruiert eineWanddesWürfelturmsgebohrt,damitdortderWürfelherͲ
habt. ausrollenkann.AnschließenhabenwirmithilfezweierrechteckiͲ
gerQuaderzweiweitereschiefeEbenenimInnerendesWürfelͲ
turmsplatziert.SoerhaltenwirdiepassendenAussparungen,daͲ
mitdiese„Wände“spätereingefügtwerdenkönnenundeinWürͲ
feldarüberrollenkann.
2. Beobachtungen Esmussgutüberlegtwerden,inwelchemWinkeldie„Wände“im
Beschreibthier,waseuch InnerendesWürfelturmsplatziertwerden,damitderWürfelnoch
aufgefallenist. darüberrollenoderweiterfallenkannunddamiternichtsteckenͲ
bleibt.
3. Ergebnisse
HaltethiereureErgebͲ
WirhabenunsfürschiefeEbenenundkeineTreppenimInnern
nissemöglichstgenau
desWürfelturmsentschieden.
fest.
4. Herausforderungen Auch die schiefe Ebene am Boden des Würfelsturm muss einen
WasisteuchschwergefalͲ entsprechendenWinkelaufweisen,damitderWürfelweiterrollt.
len? 5°wärenhierzuwenig.
5. Fachliches Im Bereich Geometrie: Geometrische Körper, Ermitteln der entͲ
Beschreibt,wasihrgeͲ sprechendenMaße,SchiefeEbene,Winkel
lernthabt.Worumgeht
esmathematischgeseͲ ImBereichWahrscheinlichkeit(imZusammenhangmitFragender
hen? GeometrieodersogarderPhysik):WiewirdeinmöglichstzufälliͲ
gesFallendesWürfelserreicht?
6. Nützliches DieAussparungfürdasHerausrollendesWürfelssollteetwasgröͲ
TippsfürdasnächsteMal. ßerkonstruiertwerden.
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Lösungshinweise
ZuKV3.6.1.3:Datenreihen–Test
a) Dokumentation der Testreihe zum Würfeln mit einem 6Ͳseitigen Würfel in Form einer
Strichliste(AnzahlderWürfe=100):
1 2 3 4 5 6
b) BeispielhafteAuswertungderTestreihevon100Würfenmiteinem6ͲseitigenWürfelmitͲ
hilfeeinesTabellenkalkulationsprogramms(hierExcel):
EinmitExcelerstelltesKreisdiagrammzuunserenDatenausAufgabe1:
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Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln
ZuKV3.6.1.4a:AllesZufall,oderwas?
AnzahlderWürfe 100
Minimum 12
Maximum 20
Spannweite 12Ͳ20
Modalwert 5
Median 4
ErgebnisderErhebung: Die Augenzahl 5 ist besonders oft gefallen. Die
Augenzahl1istamseltenstengefallen.
IstderWürfelturmgeeignet? EntsprechendderWertederrelativenHäufigkeit
Begründe scheintesbei100WürfennichtderFallzusein,
dassderWürfelturmdenWürfelmanipuliertund
eineAugenzahlbesondershäufigfällt.
DerWürfelturmistdahingehendalsgeeigneteinͲ
zustufen.
a) AbsoluteHäufigkeit:DieabsoluteHäufigkeit(ܪ ሺܣሻ)gibtdieAnzahlderVersuchemit
demEreignisܣan.ZumBeispielwurdeinunseremBeispieldieZahl„1“12Ͳmalgewürfelt.
b) RelativeHäufigkeit:SiebeschreibtdenAnteileinesEreignissesܣbzgl.derAnzahlderVerͲ
sucheundwirddurchdenQuotientenderabsolutenHäufigkeitundderGesamtzahlder
durchgeführtenVersucheberechnet:
ܾܽܪ ݏ݁ݏݏ݅݊݃݅݁ݎܧݏ݁݀ݐ݂݅݁݇݃݅ݑ¡ܪ݁ݐݑ݈ݏ ሺܣሻ
݄ ሺܣሻ ൌ ൌ
݄݁ܿݑݏݎܸ݁ݎ݈݄݁݀ܽݖ݊ܣ ݊
ଵଶ
(InunseremBeispielistdierelativeHäufigkeitdesEreignisses„1“mit zuberechnen.)
ଵ
c) Median:DiesistderMesswerteiner(nachderGrößegeordneten)Versuchsreihe,welcher
genauinderMitteallergeordnetenMesswerteliegt.InunseremFallistderMediandie
Zahl„4“.
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Lösungshinweise
ZuKV3.6.1.4b:AllesZufall,oderwas?
HiersindinsbesonderedieVorstellungenderSchülerinnenundSchülerzumBegriff„Zufall“
gefragt.MöglicheSchüleräußerungensind:
Ͳ EinEreignis,fürdaskein(kausaler)Grunderkennbarist.
Ͳ EinEreignisgeschiehtohneGrund.
Ͳ EinEreignisgeschiehtunvorhergesehen.DieEinflussfaktorensindzwarbekannt,können
abernichtgemessenoderbeeinflusstwerden.
Ͳ Ein(kausaler)ZusammenhangzwischenzweibekanntenEreignissenkannnichtgefunden
werden.
EineweiterführendeFrage,geradefüreineSpielsituationkönnteauchsein:GiltfüreinGlücksͲ
spielein„Zufallsprinzip“?DieAntwortlebtvondendurchdieSchülerinnenundSchülergeͲ
staltetenWürfeltürmen.Esistdavonauszugehen,dassdieErgebnisserechtheterogenausͲ
fallen.Essollüberlegtwerden,wiedieWürfeltürmeaufgebautsind.DabeisollenFragenwie
„WiefälltderWürfelimInnern?“oder„MachteinFallendesWürfelsimWürfelturmtatsächͲ
licheinenUnterschied?“beantwortetwerden.DieSchülerinnenundSchülerkönntendarüber
hinausdasWürfelnmitdemWürfelturmunddasWürfelnmitderHandmiteinandervergleiͲ
chen.Festzuhaltenist,dasseinWürfelturmnatürlichbeieinemgezinktenWürfel(bspw.ein
WürfelderaufeinbestimmtesEreignisgezinktwurde,wie{besondershäufigdieAugenzahl6})
nurschweretwasausrichtenkann.
EskönntenauchmitWürfelnandererFormgewürfeltwerden,wiez.B.ein4Ͳoder3Ͳseitiger
Würfel.Eskönntezudemgetestetwerden,obdieWürfeltürmeauchfüreineMünzefunktioͲ
nierenwürden.
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ZuKV3.6.1.5:Schondarübernachgedacht…?
a)–c)DieSchülerinnenundSchülerkönntennunüberlegen,ähnlichwiedieForscherindem
Zeitungsartikel1000Ͳmaleine1EUROͲMünzezuwerfen.Eskönnteauchzunächstdarüber
nachgedachtwerden,wieaussagekräftigdieErgebnissederTestreihenindemZeitungsartikel
sind,wiedieTestverfahrenverändertwerdenkönntenundwelcheErgebnissedieLernenden
dannerwartenwürden.
d) TatsächlichdiskutierendieSchülerinnenundSchülerandieserStelleinsbesondereüber
denBegriffFairness.FassenwirdenBegriffFairnessimSinnedesWahrscheinlichkeitsbegriffs
nachLaplaceaufundgehendavonaus(nachDefinition),dassalleFälle„gleichmöglich“sind
undmandanndenQuotientenderAnzahlendergünstigenunddermöglichenFällebildet,
bräuchtenwirvorunsliegendeineMünze,diewirunendlichoftundaufdieimmergleiche
Weisewerfenkönnten,ohnedassdiesz.B.ihreBeschaffenheit(Material)verändert.Soeine
Münzewerdenwirjedochnichtfinden.
MitderFairnessbeschäftigensichMathematikerbereitsseitsehrlangerZeit.Beispielsweise
habensichauchim17.Jahrhundert;B.PascalundP.deFermatineinemBriefwechselmit
einemspannendenTeilungsproblem„ForceMajeur“beschäftigt,welcheseinesderältesten
ProblemebeiderFragezurFairnessvonGlücksspielendarstellt.Damitwirddeutlich,dassdie
SchülerinnenundSchülerinderTeilaufgabed)insbesondereauchvordemProblemstehen,
obFairnessempirischinVersuchsreihenüberprüftwerdenkannundessichdabeiumeine
normative(unddefinitorische)Setzunghandelt(dennFairnesswirdimmerdefinitorischgeͲ
setzt).
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Zu 3.6.2 Zweistufige Zufallsversuche – manipulierte Würfel individuell erstellen
ZuKV3.6.2.1:WarmUp
EinLaplaceͲVersuchist ErgebnissemehrstufigerZufallsversuchedar. W
DieProduktregelbeimehrͲstufiͲ einVersuch,fürdessenErgebnissederZufall
Z
genZufallsversuchenbesagt, einewesentlicheRollespielt.
DieSummenregelbeimehrstufiͲ wiehäufigeinbestimmtesEreigniseingetreͲ
R
genZufallsversuchenbesagt, tenist.
Wahrscheinlichkeitenkannman einVersuch,beidemdieWahrscheinlichkeit
M
beeinflussen,indemman fürdasEintretenjedesErgebnissesgleichist.
derAnteilderabsolutenHäufigkeitander
EinZufallsversuchist U
GesamtzahlderVersuche.
einMaß(unddabeisindbeliebigvieleunterͲ
EinBaumdiagrammstellt schiedlicheWahrscheinlichkeitsmaßedenkͲ F
bar)füreinEintreteneinesEreignissesܯ.
dasssichdieWahrscheinlichkeiteinesEleͲ
mentarereignissesausdemProduktaller
DierelativeHäufigkeitist U
WahrscheinlichkeitenentlangdeszugehöriͲ
genPfadesimBaumdiagrammergibt.
DieserSatzistschwierigzubeendenundinsͲ
DieabsoluteHäufigkeitgibtan besonderealsDiskussionsanlasszuversteͲ N
hen.*
dasssichdieWahrscheinlichkeiteinesEreigͲ
DieWahrscheinlichkeitgibtan nissesausderSummederWahrscheinlichkeiͲ E
tendereinzelnenPfadeergibt.
Lösungswort:Muenzwurf
*HinweisefürdieLehrperson:FachlichkorrektmüsstediedarausgebildeteFrage:„KannmanWahrscheinlichkeiten
beeinflussen?“mit„Nein!“beantwortetwerden.DieFragekönnteumformuliertwerdenin„Kannmanz.B.einen
Würfelsomanipulieren,dasssichdieWahrscheinlichkeitfürbestimmteEreignisseändert?“.Esgehtdanndarum,
dasseinObjekteinesZufallsversuchesaufbestimmteWeisemodifiziertwird,sodasssichdieWahrscheinlichkeit
vongewissenEreignissenändert.FachlichkorrektbeziehensichWahrscheinlichkeitenaufEreignisse,beidenenein
Zufallsversuchgenaudefiniertist–wieetwadasWerfeneinessymmetrischenWürfels.DannwäredasWerfenmit
einemmanipuliertenWürfel(modifiziertesObjekt)einandererVersuch.
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtZu 3.6.2 Zweistufige Zufallsversuche – manipulierte Würfel individuell erstellen
ZuKV3.6.2.2a:Spieleentwickler2.0
a) FallsdieReihenfolge,inwelcherdieWürfelgeworfenwerden,keineRollespielt,istesnicht
entscheidend,obdiezweiWürfelgleichzeitiggeworfenwerdenoderzweimalhintereinander.
EssolltenatürlichimVorfeldalsRegelfestgelegtwerden,wasalsPaschgezähltwird.
b) EinerseitshandeltessichdabeiumeinereineVorsichtsmaßnahme,umbeispielsweiseeiͲ
nenAustauschmiteigenständigmanipuliertenWürfelnzuverhindern,andererseitshatselbst
der am besten produzierteste Würfel stets kleine Abweichungen in der Normalverteilung,
welcheeinCasinodurchdenregelmäßigenWechselderWürfelversuchtauszugleichen.WeiͲ
terhinwerdendieWürfelindenCasinosstarkbeansprucht,wodurchtatsächlich(manchmal
kaumsichtbare)Beschädigungenpassieren,diedieErgebnissebeeinflussenkönnten.Dadie
BesucherderCasinosum(häufigviel)GeldspielenundauchvielGeldindenCasinosverlieren,
erwartensievermutlichauchmöglichst„einwandfreie,präziseundgerechte“Ware.
ZuKV3.6.2.2b:Spieleentwickler2.0
Fragen,diedieSchülergruppenzunächstklärenmüssten,wärenz.B.,wieeineManipulation
des Spielwürfels unbemerkt bleiben könnte und welcher Pasch (eventuell auch mehrere)
beimWerfenbevorzugtauftretensoll(en).
Mithilfeder3DͲDruckͲTechnologieistesdenSchülergruppenmöglich,ihreWürfelselbststänͲ
dighinsichtlichderForm,derBezeichnungenoderderGewichtsverteilungzumanipulieren.
AufdieseWeisekönnenganzunterschiedlicheWürfelentstehen.EsistbeispielsweisemögͲ
lich,einGewichtinFormunterschiedlichergeometrischerKörperimInnerendesWürfelseinͲ
zubauenoderauchdieFormdesklassischensechsseitigenWürfelszuverändern.EineVeränͲ
derungderbekanntenZahlendarstellungkannebenfallsvorgenommenwerden,z.B.zweimal
dieAugenzahl„1“aufdemWürfelanzubringen.DieSchülerinnenundSchülerkönnenund
sollenandieserStellekreativwerden.
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtLösungshinweise
ZuKV3.6.2.2c/d:Spieleentwickler2.0
a) HierskizzierendieSchülerinnenundSchülereinBaumdiagramm
zudenErgebnisseneines2ͲstufigenZufallsversuchmiteinemsechsͲ
seitigenWürfel(vgl.Foto).
b) HiersollendieSchülergruppenaufihremanipuliertenWürfelabͲ
gestimmte Baumdiagramme entwerfen. Möglicherweise verändert
sichdieEintrittswahrscheinlichkeitderEreignisse,oderaberdieAnͲ
zahlderPfadeverändertsichaufgrundeinerErweiterungderSeitenͲ
flächendesWürfels.EventuellistesfüreinigeSchülergruppenaufͲ
grund der Konstruktion/Beschaffenheit ihrer manipulierten Würfel
schwierig,einBaumdiagrammzuskizzieren.Möglichwäreesdann,
denWürfelvorhermiteinerbestimmtenAnzahlanWürfenzutesten.
DennochbleibteineAussageübereinBaumdiagrammzudenmaniͲ
pulierten Würfeln der Schülergruppen im Vergleich zum BaumdiaͲ
grammeinesklassischensechsseitigenWürfelsvage.Diessolltevon
derLehrpersonthematisiertwerden.
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ZuKV3.6.2.4:WerhatRecht?
DieLehrpersonstelltdenSchülerinnenundSchülernzweiWürfel,welchemanipuliertwurͲ
den,zurVerfügung.ZunächstsollendieSchülerinnenundSchülerIdeensammeln,wiesiedie
WürfelderLehrpersontestenkönnen.Eswärebeispielsweisemöglich,dieWürfelentspreͲ
chendeinerfestgelegtenAnzahlzuwerfenunddieHäufigkeitenfürdieeinzelnenEreignisse
zubestimmen,umeineAussagebzw.Vermutungdarüberaufstellenzukönnen,obdieWürfel
manipuliertwurdenodernicht.
KV3.6.2.5:„Wearethechampions!“
DieSchülerinnenundSchülersollenandieserStellenunArgumentefürdenEinsatzdesvon
ihnenentwickeltenWürfelsbeimWürfelspiel„DerPasch“finden.DabeikönnenauchIdeen
sowieTestungenundVersucheeineRollespielen,diedieSchülergruppenbereitsindenvorͲ
herigenAufgabenentwickeltbzw.durchgeführthaben,einbezogenwerden.DieLehrperson
solltedieSchülergruppendazuauffordern,ihreArgumenteausfachlicherbzw.mathematiͲ
scherSichtzubelegen.DerHerstellungsprozessdesWürfelskannebenfallseinArgumentdarͲ
stellen,indemauchgeometrischeodersogarphysikalischeErkenntnisseaufgezeigtwerden.
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Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen
ZuKV3.6.3.1b:WarmUp
a) BeispielhaftesVorgehen:ZunächsttestenwireinenderAstragale,indemwirdiesen100mal
werfen.WirerhaltennachfolgendeErgebnisse,hierdargestelltineinemSäulendiagramm.
ABSOLUTEHÄUFIGKEITDER
JEWEILIGENEREIGNISBEI100MAL
WERFEN
47
34
11
8
CAESAR ADLER VULKAN HUND
Hinweis:Interessantist,dassauchinderLiteraturdierelativenHäufigkeitenderAstragale
fürdieschmalenSeitenca.10%undfürdiebreitenSeitenca.40%betragen.
b) Beispielhaft,bezogenaufunsereErgebnisseausAufgabenteila):
Seiten P E(X)
ͳͳ
1
ͳͲͲ
͵Ͷ
3
ͳͲͲ
3,49
Ͷ
4
ͳͲͲ
ͺ
6
ͳͲͲ
AlsErwartungswertܧሺܺሻwirdindiesemFallderWert͵ǡͶͻermittelt.DieseristdemErwarͲ
tungswerteinesherkömmlichenWürfels,welcherbei͵ǡͷliegt,sehrähnlich.
AndieserStellewirdderBegriffderFairnessdiskutiert.FairnesswirddabeiimmerdefinitoͲ
risch gesetzt und kann mit empirischen Versuchsreihen definiert werden. Betrachten wir
zunächsteinen6ͲseitigenWürfelundgehenvoneinerAnnahmeeinerGleichverteilungnach
Laplaceaus.BeidenAstragalenhingegenkönnenwirnichtdavonausgehen.ImSinneunseͲ
rerempirischenVersuchsreihemitdenAstragalengehenwirvonFairnessaus,weilallefünf
MitspielerinnenundMitspielermitdengleichenAstragalenwerfenundkeine/reinmanipuͲ
liertesZufallsgerätverwendet.HinsichtlichdesErwartungswertesscheinensichdasSpielmit
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtZu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen
einemWürfelundmitAstragalenzuähneln,allerdingsmitBlickaufeineGleichverteilung
derErgebnisseehernicht.
c) Die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen immer den „Hund“ zu werfen, ist sehr gering.
SelbstdieWahrscheinlichkeit,bei1000Würfen3Ͳmalhintereinanderden„Hund“zuwerfen,
hateinesehrgeringeWahrscheinlichkeitvon
ͳͶǤͶͳ ͳͶǤͶͳ ͳͶǤͶͳ
ܲሺ͵ሺ Ǧሻሻ ൌ ή ή
ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
ൎ Ͷǡ ή ͳͲିଵସ Ψ
Dennochistesnichtunmöglich,dadasEreignis„Hund“existiert.FürdieBerechnungder
Wahrscheinlichkeitdafür,dassbeieinemWurfdasEreignisHundauftritt,sieheLösungzu
Aufgabenteilb).
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ZuKV3.6.3.1c:WarmUp
a) DiefolgendenBerechnungenfußenaufdervonunsermitteltenVerteilung(vgl.Aufgabe1):
Wirüberlegenzunächst,mitwelcherWahrscheinlichkeiteineSpielerinodereinSpielerdie
Rundemitdem„Venus“ͲWurfgewinnt.Dazuüberlegenwir,wievieleMöglichkeitenesgibt,
beieinmaligemWerfenmitvierAstragalenden„Venus“ͲWurfzuerhalten.Wirbeachtendie
Reihenfolge([1,3,4,6]oder[6,4,3,1])undzählenkeineWiederholung,z.B.[1,1,3,3].
DieTabellezeigtunsereWurfmöglichkeitenfürden„Venus“ͲWurf:
1346 3461 4136 6431
1634 3416 4163 6413
1364 3146 4361 6314
1643 3164 4316 6341
1463 3614 4613 6143
1436 3641 4631 6134
DieAnzahlderMöglichkeitenkannauchwiefolgtberechnetwerden:
AnzahlderMöglichkeitenfür„Venus“ͲWurfmit݊ ൌ Ͷund݇ ൌ Ͷǣ൫ସସ൯ ͶǨ ൌ ʹͶ
UmdieWahrscheinlichkeitfürdasEreignis„Venus“ͲWurfzuermitteln,addierenwirunsere
Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse (abzulesen in unserer Tabelle), also
ܲሺͳǡ͵ǡͶǡሻ ܲሺ͵ǡͶǡǡͳሻ ڮ ܲሺǡͳǡ͵ǡͶሻ.DiesetretenallemitdergleichenWahrscheinͲ
lichkeitauf,welchesichwiefolgtberechnenlässt:
ͳͳ ͵Ͷ Ͷ ͺ ͳͶͲǤʹͶ
ܲሺͳǡ͵ǡͶǡሻ ൌ ή ή ή ൌ
ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
SomitergibtsichnachfolgendeWahrscheinlichkeit,indererstenSpielrundemitdem„VeͲ
nus“ͲWurfzugewinnen:
ͳͶͲǤʹͶ ͵Ǥ͵ͶǤͻ
ܲሺǦሻ ൌ ʹͶ ൌ ൎ ͵ǡͶΨ
ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
b) WirberechnendieWahrscheinlichkeitfürdenWurf„Hund“(ܲሺ̶ ̶ሻሻ.
HiergibtesnureineMöglichkeit!
ͳͳ ͳͳ ͳͳ ͳͳ ͳͶǤͶͳ
ܲሺͳǡͳǡͳǡͳሻ ൌ ή ή ή ൌ
ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
Esergibtsichalso:
ͳͶǤͶͳ
ܲሺ Ǧሻ ൌ ൎ ͲǡͲͳͷΨ
ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
ManscheidetdahermiteinerWahrscheinlichkeitvonca.0,015%bereitsinderersten
RundeausdemSpielaus.
Nunberechnenwir,mitwelcherWahrscheinlichkeitmanineinerdererstendreiRunden
ausdemSpielausscheidet:
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ܲሺ Ǧሻ
ൌ ܲሺ݀݊ݑܪሻ ܲሺ݄ܰ݅ܿ ݐെ ݀݊ݑܪሻ ή ܲሺ݀݊ݑܪሻ ܲሺ݄ܰ݅ܿ ݐെ ݀݊ݑܪሻଶ
ή ܲሺ݀݊ݑܪሻ
ͳͶǤͶͳ ͻͻͻͺͷ͵ͷͻ ͳͶǤͶͳ ͻͻͻͲʹͲ
ൌ ή
ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
ͳͶǤͶͳ
ή ൎ ͲǡͲͶͶΨ
ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ
Demnachscheidetmanmitca.0,044%ineinerderdreiSpielrundenausdemSpielaus.
c) DiedurchschnittlichePunktzahlbeieinmaligemSpielkannmithilfedesErwartungswerts
(ܧሺܺሻ,Zufallsvariableܺ)berechnetwerden.DieserwurdeinAufgabe1bereitsberechnet
undbeträgtfürdievonunsermittelteBeispielverteilungܧሺܺሻ ൌ ͵ǡͶͻ.
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ZuKV3.6.3.1d:WarmUp
WirbietenhierzweimöglicheLösungsvorschlägefürdasProblem„ForceMajeure“:
1. LösungsvorschlagvonFermatundPascal:IstderSpielstandǣ ,soistnachspätestens ൌ
ሺ െ ሻ ሺ െ ሻ െ ͳweiterenSpielenentschieden,welcherderbeidenSpielergewonnen
hat;denndannmusseinerderbeidenSpielefürsichentschiedenhaben.Manbetrachte
nunallemöglichenRestspielverläufevonnSpielen.Istbei dieserSpieleGewinnerund
bei ,soteilemandenEinsatzimVerhältnis ǣ .
Istz.B. ൌ ͶundwerdendiePartienbeieinemStandvon3:1fürgegenabgebrochen,so
wärenachspätestensdreiweiterenSpielenentschieden,welcherSpielerderGewinnerist.
Für diese drei Spiele gibt es acht verschiedene Möglichkeiten des Gewinnens, nämlich
ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻ,IndenerstensieͲ
benFällenhatSpielergewonnen,imletztenFallSpieler.AlsoistderEinsatzimVerhältnis
7:1zuteilen.
2. LösungsvorschlagvonLeibniz:DerEinsatzist,falls ,imVerhältnis െ ʹǣ െ
zu teilen (falls vertauscht man in dieser Formel und ). Im obigen Beispiel ൌ Ͷ,
ǣ ൌ ͵ǣ ͳergibtsichsodasVerhältnisͷǣ ͳ.
ZuKV3.6.3.2a:DemGlückaufdieSprüngehelfen
Augenzahl P
ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ
1 ܧሺܺሻ ൌ ͳ ή ʹή ͵ ή Ͷ ή ͷ ή ή ൎ Ͷǡͳത
ͳʹ ͳʹ ͳʹ Ͷ Ͷ
ͳ
2
ͳʹ
DieentsprechennichtdenWahrscheinlichkeiteneinesherkömmliͲ
ͳ chenWürfels.BeieinemherkömmlichenWürfelbeträgtdieWahrͲ
3
ଵ
scheinlichkeitfürjededersechsSeiten ൌ .
ͳ
4
AußerdembeträgtderErwartungswerteinesherkömmlichenWürͲ
ͳ felsܧሺܺሻ ൌ ͵ǡͷ.
5
Ͷ
ͳ
6
Ͷ
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtZu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen
ZuKV3.6.3.2b:DemGlückaufdieSprüngehelfen
a) DieSchülergruppensollenüberlegen,dassdieWahrscheinlichkeitfürdieAugenzahlen1
und2geringeralsbeieinemherkömmlichenWürfelistundfürdieAugenzahlen5und6
höheralsbeieinemherkömmlichenWürfel.Eskönntealsoüberlegtwerden,dieFlächen
deszuerstellendenSpielwürfelszuverändern.Siekönntenz.B.einenQuaderalsSpielͲ
würfelerstellen,beiwelchemjeweilszweiFlächengleichgroßsind.FürdieAugenzahlen
1und2solltendanndiekleinstenFlächenausgewähltwerdenundfürdieAugenzahlen5
und6dementsprechenddiegrößten.
b) BeispielhafteDarstellungausdemCADͲProgrammTinkercad̻:
(Begründung,sieheAufgabenteila))
ͷ
ͳ
͵
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtLösungshinweise
ZuKV3.6.3.2c:DemGlückaufdieSprüngehelfen
a) Wirhoffen,dasswirannähernddieWahrscheinlichkeitenerhaltenkönnen,dieimVorͲ
hinein(vgl.Aufgabe1)festgelegtwurden.EventuellhabenwiraberdieFlächenfürdie
Augenzahlen5und6zugroßgewählt.Dieskönnenwirjedochnurempirisch(sieheTeilͲ
aufgabeb)überprüfen.
b) BeispielhafteDokumentationderVersuchsreihezuunseremSpielwürfel:
ABSOLUTEHÄUFIGKEIT100ͲMALIGES
WERFENUNSERESSPIELWÜRFELS
40
37
12
10
1
0
1 2 3 4 5 6
RelativeHäufigͲ
Augenzahl
keit
1 Ͳ ImWeiterennutzenwirdierelativenHäufigkeiten,um
auf dieser Grundlage den Erwartungswert zu berechͲ
ͳ
2 nen:
ͳͲͲ
ͳͲ
3
ͳͲͲ ͳ ͳͲ ͳʹ
ͳʹ ܧሺܺሻ ൌ ͳ ή Ͳ ʹ ή ͵ή Ͷή
4 ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ
ͳͲͲ ͶͲ ͵
ͶͲ ͷ ή ή ൌ ͷǡͲʹ
5 ͳͲͲ ͳͲͲ
ͳͲͲ
͵
6
ͳͲͲ
© Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im MathematikunterrichtZu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen
ZuKV3.6.3.3:EinVergleich
DerErwartungswertunsererVerteilungliegtbeiܧሺܺሻ ൌ ͷǡͲʹundunterscheidetsichsomit
vondemErwartungswertder(inKV3.6.3.2a)vorgegebenenbzw.Verteilungܧሺܺሻ ൎ Ͷǡͳത.
DieskannfolgendeGründehaben.EinerseitshabenwirunsereWerteempirischermittelt.
EineVersuchsreiheunterliegtnatürlichdenBedingungendesTests.Wirhaben„nur“100Ͳmal
gewürfelt,vielleichtwären1000Ͳmalaussagekräftigergewesen.Zumanderenkönnteunser
Quadernocheinmalangepasstwerden.DieFlächenzudenAugenzahlen5und6könnten
beispielsweiseetwasverkleinertwerden.
bis
Die Schülerinnen und Schüler sollen hier über Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
nachdenken.Siesollenauchdarübernachdenken,dassWahrscheinlichkeiteneinerseitsdefiͲ
niert werden können, also im Vorfeld gesetzt werden und andererseits über absolute und
relativeHäufigkeitenempirischermitteltwerdenkönnen.
DabeispieltdieFrage,obwirempirischüberhauptdiegesetztenWahrscheinlichkeiten(aus
KV 3.6.3.2 a) ermitteln können, eine entscheidende Rolle. In diesem Zusammenhang kann
dannauchdasindenSchulbüchernbeschriebeneEmpirischeGesetzderGroßenZahlendisͲ
kutiertwerden.
DerVergleichderErgebnissederSchülergruppenkannalsDiskussionsanlassgesehenwerden,
umobigeAspektenäherzubeleuchtenundtiefgehendeVorstellungenzumWahrscheinlichͲ
keitsbegriffzuentwickeln.
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ZuKV3.6.3.4:WahrscheinlichkeitenfürEreignissebestimmen
BeispielhaftfürdieErgebnisseunsererVersuchsreihe(sieheLösungshinweiszuKV3.6.3.2c):
ଵଶ ସ ଷ ଼ଽ
a) ܲሺ ݈݄ܽݖ݊݁݃ݑܣ ͵ሻ ൌ ܲሺͶǡͷǡሻ ൌ ൌ ൌ ͺͻΨ
ଵ ଵ ଵ ଵ
ଵ ଵଶ ଷ ହ
b) ܲሺ݈݄ܼܽ݁݀ܽݎ݁݃݁݊݅݁ݐݏ݈݄݅ܽݖ݊݁݃ݑܣሻ ൌ ܲሺʹǡͶǡሻ ൌ ൌ ൌ ͷͲΨ
ଵ ଵ ଵ ଵ
c) Zum Beispiel: ܲሺ ݈݄ܽݖ݊݁݃ݑܣ൏ Ͷሻ, oder auch bei zweimaligem Würfeln
ܲሺ݁݀ܽݎ݁݃ݐݏ݅݁݉݉ݑݏ݊݁݃ݑܣሻ
d) ZurBerechnungundfürunsereUntersuchunghabenwirdieabsolutenundrelativen
Häufigkeitengenutzt,diewirinunsererVersuchsreiheermittelthaben.DieFrageist
an dieser Stelle somit auch, was eine „genaue“ Wahrscheinlichkeit ist und was das
bedeutensoll.
DieWahrscheinlichkeitkannüber„relativeHäufigkeiten“definiertwerden.
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