LÖSUNGSHINWEISE - 3DMENSIONALS
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Lösungshinweise Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln g g p ZuKV3.6.1.1:WarmUp–„Datensalat” a) HiersindverschiedeneDarstellungenmöglich,wiez.B.einKreisdiagrammzueinerUmͲ frageoderaucheinGrapheinerFunktionusw.DieSchülerinnenundSchülersollenihre Wahlbegründen,dabeiistdaraufzuachten,dasssieauchfachlicheBegründungenfinden. b–d)HiersollendieSchülerinnenundSchülerihregewähltenDarstellungenmithilfederFraͲ genstückweiseanalysierenunddadurchbesserverstehen.DabeiistderArbeitsauftrag alsWiederholungdavongedacht,wieinderheutigenZeitmitDatenumgegangenwird, welcheRolleDiagrammespielenundwieesgelingt,DarstellungenvonDatenzuinterpreͲ tieren. ZuKV3.6͘ϭ͘2a:ZufallalsfaireBedingung a) UmeinFalschspielenundBetrügenzuverhindern,wirdz.B.versucht,ohnejeglicheMaͲ nipulation,denZufallentscheidenzulassen.Dasbeinhaltetauch,dasskeineManipulatiͲ onenandenGegenständen,mitdenen„gespielt“wird,vorgenommenwurden.Römische SoldatenversuchtenbeispielsweiseübereinensogenanntenWürfelturmsicherzustellen, dassderWurfeinesWürfelsnichtdurchdenWerfendenmanipuliertwerdenkonnte. b) DieSchülerinnenundSchülersollensichindieserAufgabemitdemBegriff„Zufall“auseiͲ nandersetzen.VielleichtkennensiedenBegriffausihremAlltag,ihnenfallenbestimmte Szenarienein,indenensie„Zufall“beschreibenkönnen,oderdieLernendenverbinden denBegriff„Zufall“mitanderenBegriffenwiebspw.„Chance“,„Glück“,„WahrscheinlichͲ keit“oder„Möglichkeiten“etc.IhreErgebnissesollendieSchülerinnenundSchülerfür sichschriftlichfesthalten. c) ÜberdenBegriff„Zufall“kannindieserTeilaufgabevordemHintergrundverschiedener Ideennachgedachtwerden.BeispielsweisekannderBegriffmitdemBestimmenvonHäuͲ figkeitenunddemWerfeneinerMünzevoreinemSpiel(Tennis,Fußballetc.)inVerbinͲ dunggebrachtwerden.Hierwirdangenommen,dassderZufallgewissermaßen„entscheiͲ det“unddasErgebnisdaheralsbesondersfairangesehenwerdenkann.Zufallwirdhier alsomitFairnessinVerbindunggebracht.EineweitereIdeekannsein,denZufallsbegriff mitdemWahrscheinlichkeitsbegriffinVerbindungzubringen.EinemöglicheDefinition zurWahrscheinlichkeit,diesichentwickelthat,kennendieSchülerinnenundSchüler(je nachVorwissen)bereits.DiesestehtmitdemNamendesfranzösischenMathematikers P.ͲS.LaplaceinVerbindung,derfürseineDefinitionvonWahrscheinlichkeitdieVorausͲ setzungfesthält,dassalleFälle„gleichmöglich“sind.DannbildetmannachLaplaceden QuotientenderAnzahlendergünstigenunddermöglichenFälle. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.1.2b,c:ZufallalsfaireBedingung a) BeispielhaftesVorgehenzurErstellungeinesWürfelturmesinTinkercadTM: Hinweis:EineBeschreibungdesVorgehensinTinkercadTMistindenLösungshinweisenzuKV3.6.1.2c zufinden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln ZuKV3.6.1.2c:ZufallalsfaireBedingung b) DiesefolgendenAusführungensindalsBeispielezubetrachten: ZunächsthabenwireinenQuaderaufderArbeitsebeneplatziert 1. Durchführung undpassendeMaßeeingestellt.Anschließendhabenwirmithilfe BeschreibtSchrittfür einesKeilseine„schiefeEbene“amBodendesWürfelturmsplatͲ Schritt,wieihreuren ziert. Danach haben wir mithilfe einer Halbkugel ein Loch in die Würfelturmkonstruiert eineWanddesWürfelturmsgebohrt,damitdortderWürfelherͲ habt. ausrollenkann.AnschließenhabenwirmithilfezweierrechteckiͲ gerQuaderzweiweitereschiefeEbenenimInnerendesWürfelͲ turmsplatziert.SoerhaltenwirdiepassendenAussparungen,daͲ mitdiese„Wände“spätereingefügtwerdenkönnenundeinWürͲ feldarüberrollenkann. 2. Beobachtungen Esmussgutüberlegtwerden,inwelchemWinkeldie„Wände“im Beschreibthier,waseuch InnerendesWürfelturmsplatziertwerden,damitderWürfelnoch aufgefallenist. darüberrollenoderweiterfallenkannunddamiternichtsteckenͲ bleibt. 3. Ergebnisse HaltethiereureErgebͲ WirhabenunsfürschiefeEbenenundkeineTreppenimInnern nissemöglichstgenau desWürfelturmsentschieden. fest. 4. Herausforderungen Auch die schiefe Ebene am Boden des Würfelsturm muss einen WasisteuchschwergefalͲ entsprechendenWinkelaufweisen,damitderWürfelweiterrollt. len? 5°wärenhierzuwenig. 5. Fachliches Im Bereich Geometrie: Geometrische Körper, Ermitteln der entͲ Beschreibt,wasihrgeͲ sprechendenMaße,SchiefeEbene,Winkel lernthabt.Worumgeht esmathematischgeseͲ ImBereichWahrscheinlichkeit(imZusammenhangmitFragender hen? GeometrieodersogarderPhysik):WiewirdeinmöglichstzufälliͲ gesFallendesWürfelserreicht? 6. Nützliches DieAussparungfürdasHerausrollendesWürfelssollteetwasgröͲ TippsfürdasnächsteMal. ßerkonstruiertwerden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.1.3:Datenreihen–Test a) Dokumentation der Testreihe zum Würfeln mit einem 6Ͳseitigen Würfel in Form einer Strichliste(AnzahlderWürfe=100): 1 2 3 4 5 6 b) BeispielhafteAuswertungderTestreihevon100Würfenmiteinem6ͲseitigenWürfelmitͲ hilfeeinesTabellenkalkulationsprogramms(hierExcel): EinmitExcelerstelltesKreisdiagrammzuunserenDatenausAufgabe1: © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln ZuKV3.6.1.4a:AllesZufall,oderwas? AnzahlderWürfe 100 Minimum 12 Maximum 20 Spannweite 12Ͳ20 Modalwert 5 Median 4 ErgebnisderErhebung: Die Augenzahl 5 ist besonders oft gefallen. Die Augenzahl1istamseltenstengefallen. IstderWürfelturmgeeignet? EntsprechendderWertederrelativenHäufigkeit Begründe scheintesbei100WürfennichtderFallzusein, dassderWürfelturmdenWürfelmanipuliertund eineAugenzahlbesondershäufigfällt. DerWürfelturmistdahingehendalsgeeigneteinͲ zustufen. a) AbsoluteHäufigkeit:DieabsoluteHäufigkeit(ܪ ሺܣሻ)gibtdieAnzahlderVersuchemit demEreignisܣan.ZumBeispielwurdeinunseremBeispieldieZahl„1“12Ͳmalgewürfelt. b) RelativeHäufigkeit:SiebeschreibtdenAnteileinesEreignissesܣbzgl.derAnzahlderVerͲ sucheundwirddurchdenQuotientenderabsolutenHäufigkeitundderGesamtzahlder durchgeführtenVersucheberechnet: ܾܽܪ ݏ݁ݏݏ݅݊݃݅݁ݎܧݏ݁݀ݐ݂݅݁݇݃݅ݑ¡ܪ݁ݐݑ݈ݏ ሺܣሻ ݄ ሺܣሻ ൌ ൌ ݄݁ܿݑݏݎܸ݁ݎ݈݄݁݀ܽݖ݊ܣ ݊ ଵଶ (InunseremBeispielistdierelativeHäufigkeitdesEreignisses„1“mit zuberechnen.) ଵ c) Median:DiesistderMesswerteiner(nachderGrößegeordneten)Versuchsreihe,welcher genauinderMitteallergeordnetenMesswerteliegt.InunseremFallistderMediandie Zahl„4“. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.1.4b:AllesZufall,oderwas? HiersindinsbesonderedieVorstellungenderSchülerinnenundSchülerzumBegriff„Zufall“ gefragt.MöglicheSchüleräußerungensind: Ͳ EinEreignis,fürdaskein(kausaler)Grunderkennbarist. Ͳ EinEreignisgeschiehtohneGrund. Ͳ EinEreignisgeschiehtunvorhergesehen.DieEinflussfaktorensindzwarbekannt,können abernichtgemessenoderbeeinflusstwerden. Ͳ Ein(kausaler)ZusammenhangzwischenzweibekanntenEreignissenkannnichtgefunden werden. EineweiterführendeFrage,geradefüreineSpielsituationkönnteauchsein:GiltfüreinGlücksͲ spielein„Zufallsprinzip“?DieAntwortlebtvondendurchdieSchülerinnenundSchülergeͲ staltetenWürfeltürmen.Esistdavonauszugehen,dassdieErgebnisserechtheterogenausͲ fallen.Essollüberlegtwerden,wiedieWürfeltürmeaufgebautsind.DabeisollenFragenwie „WiefälltderWürfelimInnern?“oder„MachteinFallendesWürfelsimWürfelturmtatsächͲ licheinenUnterschied?“beantwortetwerden.DieSchülerinnenundSchülerkönntendarüber hinausdasWürfelnmitdemWürfelturmunddasWürfelnmitderHandmiteinandervergleiͲ chen.Festzuhaltenist,dasseinWürfelturmnatürlichbeieinemgezinktenWürfel(bspw.ein WürfelderaufeinbestimmtesEreignisgezinktwurde,wie{besondershäufigdieAugenzahl6}) nurschweretwasausrichtenkann. EskönntenauchmitWürfelnandererFormgewürfeltwerden,wiez.B.ein4Ͳoder3Ͳseitiger Würfel.Eskönntezudemgetestetwerden,obdieWürfeltürmeauchfüreineMünzefunktioͲ nierenwürden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.1 Zufall und Fairness – Vorstellungen zum Zufallsbegriff spielerisch entwickeln ZuKV3.6.1.5:Schondarübernachgedacht…? a)–c)DieSchülerinnenundSchülerkönntennunüberlegen,ähnlichwiedieForscherindem Zeitungsartikel1000Ͳmaleine1EUROͲMünzezuwerfen.Eskönnteauchzunächstdarüber nachgedachtwerden,wieaussagekräftigdieErgebnissederTestreihenindemZeitungsartikel sind,wiedieTestverfahrenverändertwerdenkönntenundwelcheErgebnissedieLernenden dannerwartenwürden. d) TatsächlichdiskutierendieSchülerinnenundSchülerandieserStelleinsbesondereüber denBegriffFairness.FassenwirdenBegriffFairnessimSinnedesWahrscheinlichkeitsbegriffs nachLaplaceaufundgehendavonaus(nachDefinition),dassalleFälle„gleichmöglich“sind undmandanndenQuotientenderAnzahlendergünstigenunddermöglichenFällebildet, bräuchtenwirvorunsliegendeineMünze,diewirunendlichoftundaufdieimmergleiche Weisewerfenkönnten,ohnedassdiesz.B.ihreBeschaffenheit(Material)verändert.Soeine Münzewerdenwirjedochnichtfinden. MitderFairnessbeschäftigensichMathematikerbereitsseitsehrlangerZeit.Beispielsweise habensichauchim17.Jahrhundert;B.PascalundP.deFermatineinemBriefwechselmit einemspannendenTeilungsproblem„ForceMajeur“beschäftigt,welcheseinesderältesten ProblemebeiderFragezurFairnessvonGlücksspielendarstellt.Damitwirddeutlich,dassdie SchülerinnenundSchülerinderTeilaufgabed)insbesondereauchvordemProblemstehen, obFairnessempirischinVersuchsreihenüberprüftwerdenkannundessichdabeiumeine normative(unddefinitorische)Setzunghandelt(dennFairnesswirdimmerdefinitorischgeͲ setzt). © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise Zu 3.6.2 Zweistufige Zufallsversuche – manipulierte Würfel individuell erstellen ZuKV3.6.2.1:WarmUp EinLaplaceͲVersuchist ErgebnissemehrstufigerZufallsversuchedar. W DieProduktregelbeimehrͲstufiͲ einVersuch,fürdessenErgebnissederZufall Z genZufallsversuchenbesagt, einewesentlicheRollespielt. DieSummenregelbeimehrstufiͲ wiehäufigeinbestimmtesEreigniseingetreͲ R genZufallsversuchenbesagt, tenist. Wahrscheinlichkeitenkannman einVersuch,beidemdieWahrscheinlichkeit M beeinflussen,indemman fürdasEintretenjedesErgebnissesgleichist. derAnteilderabsolutenHäufigkeitander EinZufallsversuchist U GesamtzahlderVersuche. einMaß(unddabeisindbeliebigvieleunterͲ EinBaumdiagrammstellt schiedlicheWahrscheinlichkeitsmaßedenkͲ F bar)füreinEintreteneinesEreignissesܯ. dasssichdieWahrscheinlichkeiteinesEleͲ mentarereignissesausdemProduktaller DierelativeHäufigkeitist U WahrscheinlichkeitenentlangdeszugehöriͲ genPfadesimBaumdiagrammergibt. DieserSatzistschwierigzubeendenundinsͲ DieabsoluteHäufigkeitgibtan besonderealsDiskussionsanlasszuversteͲ N hen.* dasssichdieWahrscheinlichkeiteinesEreigͲ DieWahrscheinlichkeitgibtan nissesausderSummederWahrscheinlichkeiͲ E tendereinzelnenPfadeergibt. Lösungswort:Muenzwurf *HinweisefürdieLehrperson:FachlichkorrektmüsstediedarausgebildeteFrage:„KannmanWahrscheinlichkeiten beeinflussen?“mit„Nein!“beantwortetwerden.DieFragekönnteumformuliertwerdenin„Kannmanz.B.einen Würfelsomanipulieren,dasssichdieWahrscheinlichkeitfürbestimmteEreignisseändert?“.Esgehtdanndarum, dasseinObjekteinesZufallsversuchesaufbestimmteWeisemodifiziertwird,sodasssichdieWahrscheinlichkeit vongewissenEreignissenändert.FachlichkorrektbeziehensichWahrscheinlichkeitenaufEreignisse,beidenenein Zufallsversuchgenaudefiniertist–wieetwadasWerfeneinessymmetrischenWürfels.DannwäredasWerfenmit einemmanipuliertenWürfel(modifiziertesObjekt)einandererVersuch. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.2 Zweistufige Zufallsversuche – manipulierte Würfel individuell erstellen ZuKV3.6.2.2a:Spieleentwickler2.0 a) FallsdieReihenfolge,inwelcherdieWürfelgeworfenwerden,keineRollespielt,istesnicht entscheidend,obdiezweiWürfelgleichzeitiggeworfenwerdenoderzweimalhintereinander. EssolltenatürlichimVorfeldalsRegelfestgelegtwerden,wasalsPaschgezähltwird. b) EinerseitshandeltessichdabeiumeinereineVorsichtsmaßnahme,umbeispielsweiseeiͲ nenAustauschmiteigenständigmanipuliertenWürfelnzuverhindern,andererseitshatselbst der am besten produzierteste Würfel stets kleine Abweichungen in der Normalverteilung, welcheeinCasinodurchdenregelmäßigenWechselderWürfelversuchtauszugleichen.WeiͲ terhinwerdendieWürfelindenCasinosstarkbeansprucht,wodurchtatsächlich(manchmal kaumsichtbare)Beschädigungenpassieren,diedieErgebnissebeeinflussenkönnten.Dadie BesucherderCasinosum(häufigviel)GeldspielenundauchvielGeldindenCasinosverlieren, erwartensievermutlichauchmöglichst„einwandfreie,präziseundgerechte“Ware. ZuKV3.6.2.2b:Spieleentwickler2.0 Fragen,diedieSchülergruppenzunächstklärenmüssten,wärenz.B.,wieeineManipulation des Spielwürfels unbemerkt bleiben könnte und welcher Pasch (eventuell auch mehrere) beimWerfenbevorzugtauftretensoll(en). Mithilfeder3DͲDruckͲTechnologieistesdenSchülergruppenmöglich,ihreWürfelselbststänͲ dighinsichtlichderForm,derBezeichnungenoderderGewichtsverteilungzumanipulieren. AufdieseWeisekönnenganzunterschiedlicheWürfelentstehen.EsistbeispielsweisemögͲ lich,einGewichtinFormunterschiedlichergeometrischerKörperimInnerendesWürfelseinͲ zubauenoderauchdieFormdesklassischensechsseitigenWürfelszuverändern.EineVeränͲ derungderbekanntenZahlendarstellungkannebenfallsvorgenommenwerden,z.B.zweimal dieAugenzahl„1“aufdemWürfelanzubringen.DieSchülerinnenundSchülerkönnenund sollenandieserStellekreativwerden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.2.2c/d:Spieleentwickler2.0 a) HierskizzierendieSchülerinnenundSchülereinBaumdiagramm zudenErgebnisseneines2ͲstufigenZufallsversuchmiteinemsechsͲ seitigenWürfel(vgl.Foto). b) HiersollendieSchülergruppenaufihremanipuliertenWürfelabͲ gestimmte Baumdiagramme entwerfen. Möglicherweise verändert sichdieEintrittswahrscheinlichkeitderEreignisse,oderaberdieAnͲ zahlderPfadeverändertsichaufgrundeinerErweiterungderSeitenͲ flächendesWürfels.EventuellistesfüreinigeSchülergruppenaufͲ grund der Konstruktion/Beschaffenheit ihrer manipulierten Würfel schwierig,einBaumdiagrammzuskizzieren.Möglichwäreesdann, denWürfelvorhermiteinerbestimmtenAnzahlanWürfenzutesten. DennochbleibteineAussageübereinBaumdiagrammzudenmaniͲ pulierten Würfeln der Schülergruppen im Vergleich zum BaumdiaͲ grammeinesklassischensechsseitigenWürfelsvage.Diessolltevon derLehrpersonthematisiertwerden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.2 Zweistufige Zufallsversuche – manipulierte Würfel individuell erstellen ZuKV3.6.2.4:WerhatRecht? DieLehrpersonstelltdenSchülerinnenundSchülernzweiWürfel,welchemanipuliertwurͲ den,zurVerfügung.ZunächstsollendieSchülerinnenundSchülerIdeensammeln,wiesiedie WürfelderLehrpersontestenkönnen.Eswärebeispielsweisemöglich,dieWürfelentspreͲ chendeinerfestgelegtenAnzahlzuwerfenunddieHäufigkeitenfürdieeinzelnenEreignisse zubestimmen,umeineAussagebzw.Vermutungdarüberaufstellenzukönnen,obdieWürfel manipuliertwurdenodernicht. KV3.6.2.5:„Wearethechampions!“ DieSchülerinnenundSchülersollenandieserStellenunArgumentefürdenEinsatzdesvon ihnenentwickeltenWürfelsbeimWürfelspiel„DerPasch“finden.DabeikönnenauchIdeen sowieTestungenundVersucheeineRollespielen,diedieSchülergruppenbereitsindenvorͲ herigenAufgabenentwickeltbzw.durchgeführthaben,einbezogenwerden.DieLehrperson solltedieSchülergruppendazuauffordern,ihreArgumenteausfachlicherbzw.mathematiͲ scherSichtzubelegen.DerHerstellungsprozessdesWürfelskannebenfallseinArgumentdarͲ stellen,indemauchgeometrischeodersogarphysikalischeErkenntnisseaufgezeigtwerden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen ZuKV3.6.3.1b:WarmUp a) BeispielhaftesVorgehen:ZunächsttestenwireinenderAstragale,indemwirdiesen100mal werfen.WirerhaltennachfolgendeErgebnisse,hierdargestelltineinemSäulendiagramm. ABSOLUTEHÄUFIGKEITDER JEWEILIGENEREIGNISBEI100MAL WERFEN 47 34 11 8 CAESAR ADLER VULKAN HUND Hinweis:Interessantist,dassauchinderLiteraturdierelativenHäufigkeitenderAstragale fürdieschmalenSeitenca.10%undfürdiebreitenSeitenca.40%betragen. b) Beispielhaft,bezogenaufunsereErgebnisseausAufgabenteila): Seiten P E(X) ͳͳ 1 ͳͲͲ ͵Ͷ 3 ͳͲͲ 3,49 Ͷ 4 ͳͲͲ ͺ 6 ͳͲͲ AlsErwartungswertܧሺܺሻwirdindiesemFallderWert͵ǡͶͻermittelt.DieseristdemErwarͲ tungswerteinesherkömmlichenWürfels,welcherbei͵ǡͷliegt,sehrähnlich. AndieserStellewirdderBegriffderFairnessdiskutiert.FairnesswirddabeiimmerdefinitoͲ risch gesetzt und kann mit empirischen Versuchsreihen definiert werden. Betrachten wir zunächsteinen6ͲseitigenWürfelundgehenvoneinerAnnahmeeinerGleichverteilungnach Laplaceaus.BeidenAstragalenhingegenkönnenwirnichtdavonausgehen.ImSinneunseͲ rerempirischenVersuchsreihemitdenAstragalengehenwirvonFairnessaus,weilallefünf MitspielerinnenundMitspielermitdengleichenAstragalenwerfenundkeine/reinmanipuͲ liertesZufallsgerätverwendet.HinsichtlichdesErwartungswertesscheinensichdasSpielmit © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen einemWürfelundmitAstragalenzuähneln,allerdingsmitBlickaufeineGleichverteilung derErgebnisseehernicht. c) Die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen immer den „Hund“ zu werfen, ist sehr gering. SelbstdieWahrscheinlichkeit,bei1000Würfen3Ͳmalhintereinanderden„Hund“zuwerfen, hateinesehrgeringeWahrscheinlichkeitvon ͳͶǤͶͳ ͳͶǤͶͳ ͳͶǤͶͳ ܲሺ͵ሺ Ǧሻሻ ൌ ή ή ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ൎ Ͷǡ ή ͳͲିଵସ Ψ Dennochistesnichtunmöglich,dadasEreignis„Hund“existiert.FürdieBerechnungder Wahrscheinlichkeitdafür,dassbeieinemWurfdasEreignisHundauftritt,sieheLösungzu Aufgabenteilb). © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.3.1c:WarmUp a) DiefolgendenBerechnungenfußenaufdervonunsermitteltenVerteilung(vgl.Aufgabe1): Wirüberlegenzunächst,mitwelcherWahrscheinlichkeiteineSpielerinodereinSpielerdie Rundemitdem„Venus“ͲWurfgewinnt.Dazuüberlegenwir,wievieleMöglichkeitenesgibt, beieinmaligemWerfenmitvierAstragalenden„Venus“ͲWurfzuerhalten.Wirbeachtendie Reihenfolge([1,3,4,6]oder[6,4,3,1])undzählenkeineWiederholung,z.B.[1,1,3,3]. DieTabellezeigtunsereWurfmöglichkeitenfürden„Venus“ͲWurf: 1346 3461 4136 6431 1634 3416 4163 6413 1364 3146 4361 6314 1643 3164 4316 6341 1463 3614 4613 6143 1436 3641 4631 6134 DieAnzahlderMöglichkeitenkannauchwiefolgtberechnetwerden: AnzahlderMöglichkeitenfür„Venus“ͲWurfmit݊ ൌ Ͷund݇ ൌ Ͷǣ൫ସସ൯ ͶǨ ൌ ʹͶ UmdieWahrscheinlichkeitfürdasEreignis„Venus“ͲWurfzuermitteln,addierenwirunsere Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse (abzulesen in unserer Tabelle), also ܲሺͳǡ͵ǡͶǡሻ ܲሺ͵ǡͶǡǡͳሻ ڮ ܲሺǡͳǡ͵ǡͶሻ.DiesetretenallemitdergleichenWahrscheinͲ lichkeitauf,welchesichwiefolgtberechnenlässt: ͳͳ ͵Ͷ Ͷ ͺ ͳͶͲǤʹͶ ܲሺͳǡ͵ǡͶǡሻ ൌ ή ή ή ൌ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ SomitergibtsichnachfolgendeWahrscheinlichkeit,indererstenSpielrundemitdem„VeͲ nus“ͲWurfzugewinnen: ͳͶͲǤʹͶ ͵Ǥ͵ͶǤͻ ܲሺǦሻ ൌ ʹͶ ൌ ൎ ͵ǡͶΨ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ b) WirberechnendieWahrscheinlichkeitfürdenWurf„Hund“(ܲሺ̶ ̶ሻሻ. HiergibtesnureineMöglichkeit! ͳͳ ͳͳ ͳͳ ͳͳ ͳͶǤͶͳ ܲሺͳǡͳǡͳǡͳሻ ൌ ή ή ή ൌ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ Esergibtsichalso: ͳͶǤͶͳ ܲሺ Ǧሻ ൌ ൎ ͲǡͲͳͷΨ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ManscheidetdahermiteinerWahrscheinlichkeitvonca.0,015%bereitsinderersten RundeausdemSpielaus. Nunberechnenwir,mitwelcherWahrscheinlichkeitmanineinerdererstendreiRunden ausdemSpielausscheidet: © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen ܲሺ Ǧሻ ൌ ܲሺ݀݊ݑܪሻ ܲሺ݄ܰ݅ܿ ݐെ ݀݊ݑܪሻ ή ܲሺ݀݊ݑܪሻ ܲሺ݄ܰ݅ܿ ݐെ ݀݊ݑܪሻଶ ή ܲሺ݀݊ݑܪሻ ͳͶǤͶͳ ͻͻͻͺͷ͵ͷͻ ͳͶǤͶͳ ͻͻͻͲʹͲ ൌ ή ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ ͳͶǤͶͳ ή ൎ ͲǡͲͶͶΨ ͳͲͲǤͲͲͲǤͲͲͲ Demnachscheidetmanmitca.0,044%ineinerderdreiSpielrundenausdemSpielaus. c) DiedurchschnittlichePunktzahlbeieinmaligemSpielkannmithilfedesErwartungswerts (ܧሺܺሻ,Zufallsvariableܺ)berechnetwerden.DieserwurdeinAufgabe1bereitsberechnet undbeträgtfürdievonunsermittelteBeispielverteilungܧሺܺሻ ൌ ͵ǡͶͻ. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.3.1d:WarmUp WirbietenhierzweimöglicheLösungsvorschlägefürdasProblem„ForceMajeure“: 1. LösungsvorschlagvonFermatundPascal:IstderSpielstandǣ ,soistnachspätestens ൌ ሺ െ ሻ ሺ െ ሻ െ ͳweiterenSpielenentschieden,welcherderbeidenSpielergewonnen hat;denndannmusseinerderbeidenSpielefürsichentschiedenhaben.Manbetrachte nunallemöglichenRestspielverläufevonnSpielen.Istbei dieserSpieleGewinnerund bei ,soteilemandenEinsatzimVerhältnis ǣ . Istz.B. ൌ ͶundwerdendiePartienbeieinemStandvon3:1fürgegenabgebrochen,so wärenachspätestensdreiweiterenSpielenentschieden,welcherSpielerderGewinnerist. Für diese drei Spiele gibt es acht verschiedene Möglichkeiten des Gewinnens, nämlich ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻǡ ሺǡ ǡ ሻ,IndenerstensieͲ benFällenhatSpielergewonnen,imletztenFallSpieler.AlsoistderEinsatzimVerhältnis 7:1zuteilen. 2. LösungsvorschlagvonLeibniz:DerEinsatzist,falls ,imVerhältnis െ ʹǣ െ zu teilen (falls vertauscht man in dieser Formel und ). Im obigen Beispiel ൌ Ͷ, ǣ ൌ ͵ǣ ͳergibtsichsodasVerhältnisͷǣ ͳ. ZuKV3.6.3.2a:DemGlückaufdieSprüngehelfen Augenzahl P ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ 1 ܧሺܺሻ ൌ ͳ ή ʹή ͵ ή Ͷ ή ͷ ή ή ൎ Ͷǡͳത ͳʹ ͳʹ ͳʹ Ͷ Ͷ ͳ 2 ͳʹ DieentsprechennichtdenWahrscheinlichkeiteneinesherkömmliͲ ͳ chenWürfels.BeieinemherkömmlichenWürfelbeträgtdieWahrͲ 3 ଵ scheinlichkeitfürjededersechsSeiten ൌ . ͳ 4 AußerdembeträgtderErwartungswerteinesherkömmlichenWürͲ ͳ felsܧሺܺሻ ൌ ͵ǡͷ. 5 Ͷ ͳ 6 Ͷ © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen ZuKV3.6.3.2b:DemGlückaufdieSprüngehelfen a) DieSchülergruppensollenüberlegen,dassdieWahrscheinlichkeitfürdieAugenzahlen1 und2geringeralsbeieinemherkömmlichenWürfelistundfürdieAugenzahlen5und6 höheralsbeieinemherkömmlichenWürfel.Eskönntealsoüberlegtwerden,dieFlächen deszuerstellendenSpielwürfelszuverändern.Siekönntenz.B.einenQuaderalsSpielͲ würfelerstellen,beiwelchemjeweilszweiFlächengleichgroßsind.FürdieAugenzahlen 1und2solltendanndiekleinstenFlächenausgewähltwerdenundfürdieAugenzahlen5 und6dementsprechenddiegrößten. b) BeispielhafteDarstellungausdemCADͲProgrammTinkercad̻: (Begründung,sieheAufgabenteila)) ͷ ͳ ͵ © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.3.2c:DemGlückaufdieSprüngehelfen a) Wirhoffen,dasswirannähernddieWahrscheinlichkeitenerhaltenkönnen,dieimVorͲ hinein(vgl.Aufgabe1)festgelegtwurden.EventuellhabenwiraberdieFlächenfürdie Augenzahlen5und6zugroßgewählt.Dieskönnenwirjedochnurempirisch(sieheTeilͲ aufgabeb)überprüfen. b) BeispielhafteDokumentationderVersuchsreihezuunseremSpielwürfel: ABSOLUTEHÄUFIGKEIT100ͲMALIGES WERFENUNSERESSPIELWÜRFELS 40 37 12 10 1 0 1 2 3 4 5 6 RelativeHäufigͲ Augenzahl keit 1 Ͳ ImWeiterennutzenwirdierelativenHäufigkeiten,um auf dieser Grundlage den Erwartungswert zu berechͲ ͳ 2 nen: ͳͲͲ ͳͲ 3 ͳͲͲ ͳ ͳͲ ͳʹ ͳʹ ܧሺܺሻ ൌ ͳ ή Ͳ ʹ ή ͵ή Ͷή 4 ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͶͲ ͵ ͶͲ ͷ ή ή ൌ ͷǡͲʹ 5 ͳͲͲ ͳͲͲ ͳͲͲ ͵ 6 ͳͲͲ © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Zu 3.6.3 Der Erwartungswert – Wahrscheinlichkeitsverteilungen empirisch bestimmen ZuKV3.6.3.3:EinVergleich DerErwartungswertunsererVerteilungliegtbeiܧሺܺሻ ൌ ͷǡͲʹundunterscheidetsichsomit vondemErwartungswertder(inKV3.6.3.2a)vorgegebenenbzw.Verteilungܧሺܺሻ ൎ Ͷǡͳത. DieskannfolgendeGründehaben.EinerseitshabenwirunsereWerteempirischermittelt. EineVersuchsreiheunterliegtnatürlichdenBedingungendesTests.Wirhaben„nur“100Ͳmal gewürfelt,vielleichtwären1000Ͳmalaussagekräftigergewesen.Zumanderenkönnteunser Quadernocheinmalangepasstwerden.DieFlächenzudenAugenzahlen5und6könnten beispielsweiseetwasverkleinertwerden. bis Die Schülerinnen und Schüler sollen hier über Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit nachdenken.Siesollenauchdarübernachdenken,dassWahrscheinlichkeiteneinerseitsdefiͲ niert werden können, also im Vorfeld gesetzt werden und andererseits über absolute und relativeHäufigkeitenempirischermitteltwerdenkönnen. DabeispieltdieFrage,obwirempirischüberhauptdiegesetztenWahrscheinlichkeiten(aus KV 3.6.3.2 a) ermitteln können, eine entscheidende Rolle. In diesem Zusammenhang kann dannauchdasindenSchulbüchernbeschriebeneEmpirischeGesetzderGroßenZahlendisͲ kutiertwerden. DerVergleichderErgebnissederSchülergruppenkannalsDiskussionsanlassgesehenwerden, umobigeAspektenäherzubeleuchtenundtiefgehendeVorstellungenzumWahrscheinlichͲ keitsbegriffzuentwickeln. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Lösungshinweise ZuKV3.6.3.4:WahrscheinlichkeitenfürEreignissebestimmen BeispielhaftfürdieErgebnisseunsererVersuchsreihe(sieheLösungshinweiszuKV3.6.3.2c): ଵଶ ସ ଷ ଼ଽ a) ܲሺ ݈݄ܽݖ݊݁݃ݑܣ ͵ሻ ൌ ܲሺͶǡͷǡሻ ൌ ൌ ൌ ͺͻΨ ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ ଵଶ ଷ ହ b) ܲሺ݈݄ܼܽ݁݀ܽݎ݁݃݁݊݅݁ݐݏ݈݄݅ܽݖ݊݁݃ݑܣሻ ൌ ܲሺʹǡͶǡሻ ൌ ൌ ൌ ͷͲΨ ଵ ଵ ଵ ଵ c) Zum Beispiel: ܲሺ ݈݄ܽݖ݊݁݃ݑܣ൏ Ͷሻ, oder auch bei zweimaligem Würfeln ܲሺ݁݀ܽݎ݁݃ݐݏ݅݁݉݉ݑݏ݊݁݃ݑܣሻ d) ZurBerechnungundfürunsereUntersuchunghabenwirdieabsolutenundrelativen Häufigkeitengenutzt,diewirinunsererVersuchsreiheermittelthaben.DieFrageist an dieser Stelle somit auch, was eine „genaue“ Wahrscheinlichkeit ist und was das bedeutensoll. DieWahrscheinlichkeitkannüber„relativeHäufigkeiten“definiertwerden. © Waxmann Verlag, 2021, F. Dilling et al.: Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
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