Anhang B Monte Carlo Methode - Peter Lang Publishing

Anhang B
Monte Carlo Methode

Die Monte Carlo Methode basiert auf Zufallszahlen, die aus den für die Er-
gebniseinflussgrößen ermittelten analytischen Verteilungen gezogen werden. 1
Diese Zufallszahlen dienen als Inputs für ein Transmissionsmodell und liefern
als Output eine geschätzte Verteilung der Zielgröße F'[x(t)]. Diese Verteilung
beschreibt nunmehr die Risikosituation einer Zielgröße und wurde im Rahmen
der vorliegenden Arbeit bereits als Ausgangspunkt der Ableitung von Risiko-
maßen und Präferenzfunktionalen verwendet. 2
   Die Monte Carlo Methode erlaubt über eine Modellierung Unsicherheitssi-
tuation (.9", §t, P) die Ermittlung einer geschätzten Risikosituation der Ziel-
größe für eine bestimmte Handlungalternative und knüpft somit als Methode
direkt an der probabilistischen Phase des Informationsmodells an. 3 Über ein
entsprechendes Aggregationsmodell kann gleichzeitig eine aggregierte Risiko-
position der Zielgröße von Entscheidungsprogrammen, Strategien, Unterneh-
mensteilen oder einer Gesamtunternehmung erfolgen.
   Bei der Schaffung einer „synthetischen Unsicherheitssituation" zum Zwecke
der Ableitung von Erkenntnissen über die spezifische Risikosituation einer Ent-
scheidung, eines Unternehmensteils oder einer Gesamtunternehmung ist ent-
scheidend wo die Unsicherheit in die Planungsrechnung integriert wird. Ein
weitgehendes Missverständnis in der Risikoanalyse ist es, dass eine Modellie-
rung der Unsicherheit auf Ebene der Zielgröße x(t), etwa des Jahresüberschus-
ses (!), oder von Zielgrößenkomponenten x1 (t), ... , Xn(t) ausreiche.

B.1 Erzeugung von Zufallszahlen

Bei der Monte-Carlo-Methode wird die stochastische Unsicherheitssituation in
einem Zufallsvektor s(t) verdichtet, dessen Elemente aus Zufallszahlen beste-
hen. Die Unabhängigkeitsbedingung der verwendeten Zufallszahlen ist durch

   1   Vgl. zur Methode der Computersimulation als Mittelding zwischen experimentellem
       und analytischem Verfahren.
   2   Vgl. bereits Kapitel 4, S. 83 ff.
   3   Vgl. Bucklew (2003), S. 63 zu Grundfragen der Systemsimulation.

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Anhang B Monte Carlo Methode

die Verwendung von Zufallszahlengeneratoren, die erst im Bereich von 10E+9
Werten Sequenzwiederholungen zeigen, weitestgehend erfüllt. 4
  In der vorliegenden Untersuchung werden Zufallszahlengeneratoren der Pro-
grammpakete @RISK 4-5 von Palisade Software sowie MatLab 7 V.14 von
MathWorks verwendet. 5 Der Vorteil dieser Produkte liegt insbesondere darin,
dass bereits Zufallszahlen bestimmter analytischer Wahrscheinlichkeitsvertei-
lungen generiert werden können. Somit ist keine einschränkende Verteilungsan-
nahme notwendig, soferne eine momenterzeugende Funktion der analytischen
Verteilung existiert.
  Nunmehr sind die Korrelationen von Einflussgrößen, sofern diese im Rah-
men der Risikodiagnose ermittelt werden konnten, in korrelierte Zufallszahlen
zu übersetzen. In der Literatur wird insbesondere im Rahmen der Risikomes-
sung im Portefeuille dafür insbesondere die Cholesky-Zerlegung, die Eigenwert-
Zerlegung und die Singularwert-Zerlegung diskutiert. 6
  Das Verfahren der Cholesky-Zerlegung sei nunmehr anhand des Zufallsvek-
tors s(t) der Ergebniseinflussgrößen beschrieben

                                                                                       (B.l)

wobei die Elemente von s(t) stochastische Prozesse mit korrelierten Zufallster-
men ~i sind. 7 Die Kovarianzmatrix resultiert nunmehr als

                               I::=                                                    (B.2)

  Die Cholesky-Zerlegung basiert nun auf der Überlegung, dass eine transpo-
nierte Matrix AT zu ermitteln ist, welche die Bedingung

                                                                                       (B.3)

   4   Vgl. Bucklew (2003), S. 3; vgl. insbesondere Marsaglia (1993) zitiert nach Buck-
       lew (2003), S. 3 zu Unabhängigkeitstests (DIEHARD Testbatterie) von Zufallszahlen.
       Vgl. ebenso Hager (2004), S.148.
   5   @RISK ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma Palisade Software Ltd., MatLab
       ein eingetragenes Warenzeichen der Firma MathWorks Ltd.
   6   Vgl. RiskMetrics (1996), S. 253 ff; Mina/ Xiao (2001), S. 19; Deutsch (2002), S. 395 ff
       und S. 417 f. Vgl. Golub/ Loan (1996); 'I'refethen/ Bau (1997) und Schwarz/
       Köckler (2004) zu numerischen Verfahren in der linearen Algebra.
   7   Vgl. Deutsch (2002), S. 395.

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B. l Erzeugung von Zufallszahlen

erfüllt. Ist nunmehr c; ein Vektor unkorrelierter Zufallsterme eines Random
Walks, so lassen sich diese mit der Transponierten AT in einen Vektor korre-
lierter Zufallsvariable f überführen. Es muss gelten:

                                                                                     (B.4)

Die Elemente des resultierenden Zufallsvektors sind nunmehr mit der Kova-
rianzmatrix u multivariat normalverteilt, da die Zufallsterme c; standardnor-
malverteilt sind. Die Cholesky-Zerlegung ist nur anwendbar, wenn E positiv
definit ist. 8 Ist diese Eigenschaft von E nicht erfüllt, so bedeutet dies nach Mi-
na/ Xiao (2001), dass eine Ergebniseinflussgröße in s(t) als Linearkombination
anderer Einflussgrößen darstellbar und somit als Risikofaktor redundant ist. 9
   Ist E eine 2 x 2 Kovarianzmatrix

wobei p12   = p21 die Symmetrie von E bedingt, so resultiert der Cholesky Faktor
als

                              A = ( p:~2 u2J1°- PI2 ) .
Die Zufallsvariablen werden somit aus einer zweidimensionalen Normalvertei-
lung gezogen, womit gilt:
                                     S1   = µ1 + U1

Anhang B Monte Carlo Methode

  Ob eine Eigenwert-Zerlegung angewendet werden kann, hängt nunmehr von
der Gestalt der Matrix der Eigenvektoren E einer Kovarianzmatrix E ab. Ist
E eine Matrix in quadratischer Form und D die Diagonalmatrix, so kann eine
Eigenwert-Zerlegung als
                                                                     (B.5)
durchgeführt werden. Für eine symmetrische Matrix, beispielsweise der Ziel-
größenbeiträge von m Entscheidungen oder Unternehmensteilen zu einem be-
stimmten Zeitpunkt t, sind die Spaltenvektoren von E orthogonal. Die Über-
tragung der ermittelten Korrelationen auf standardnormalverteilte Zufallsva-
riable gestaltet sich somit analog zur Cholesky-Zerlegung. Weist E allerdings
keine quadratische Form auf, so ist diese nicht invertierbar, womit (B.5) nicht
durchführbar ist.
   In solch einem Fall kann eine Singulärwert-Zerlegung durchgeführt werden,
wenn die betreffende Kovarianzmatrix eine m x n Matrix ist und m > n gilt.
Diese lässt sich nunmehr in der Form

                                       E=UDVT                                (B.6)

anschreiben, wobei U eine m x n Matrix und V eine n x n Matrix ist. 11
Beide Matrizen weisen nunmehr orthogonale Spaltenvektoren auf, womit die
Übertragung der Korrelationen wiederum dem bekannten Schema folgen kann.
   Ein Abgehen von der Annahme, dass die Entwicklungen der Risikoeinfluss-
                                                           e
größen Random Walks folgen, womit die Zufallsterme nicht mehr standard-
normalverteilt sind, führt dazu, dass die beschriebenen Verfahren, die alle an
der Zerlegung einer Kovarianzmatrix anknüpfen, nicht mehr anwendbar sind.
   Die Verwendung nicht-parametrischer Spearman'scher Rangkorrelationsko-
effizienten ermöglicht das Ziehen korrelierter Zufallszahlen, die gewünschten
Randverteilungen folgen.

B.2 Sampling Methode

Das Ziel der Simulation ist nunmehr die Ermittlung der geschätzten Risiko-
situation einer Zielgröße oder eines Zielgrößenaggregats im Sinne einer em-
pirischen Verteilungsfunktion der Zielgröße F(:i:). Für eine deterministischen
Ergebnisfunktion O(s, v) ergibt sich durch den bekannten Zusammenhang der
Unsicherheitssituation der Einflussgrößen mit dem Raum der Zielgröße über
die gewählte Handlungsalternative (Y, ~t, P) x d ...... .'!C.

  11   Vgl. Golv.b/ Loan (1996), S. 70 ff.

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8.3 Teststatistiken

Tabelle B.l: Modifikationen der Teststatistik von Anderson-Darling An und
             Kolmogorov-Smirnoff Dn

       Verteilung               Anderson-Darling         Kolmogorov-Smirnoff
       Normalverteilung                                  (yn-0,01    + 7n)Dn
       Exponentialverteilung                             (Dn - ~)(y'n + 0,26 +       7n)
       Weibullverteilung                                 vnDn
       Extremwertverteilung                              vnDn
       Andere                                            ( y'n + 0, 12 +   7n )Dn
   Als Simulationsmethode wird das Latin Hypercube Sampling verwendet. 12
Bei dieser Methode des Stratified Sampling werden die Verteilungen der Ein-
flussgrößen in Intervalle mit gleicher Wahrscheinlichkeit zerlegt und aus diesen
Intervallen Zufallszahlen gezogen. Dadurch kann erreicht werden, dass Zufalls-
zahlen aus allen Bereichen der Unsicherheitssituation der Einflussgrößen zur
Ermittlung der Risikosituation der Zielgröße herangezogen werden.
   Die Simulationsläufe werden standardmäßig 10.000 Iterationen gerechnet.

B.3 Teststatistiken

Als Teststatistiken zur Beurteilung der Güt:e der Anpassung eines Schätzers an
die Beobachtungen werden die in Tabelle B.1 wiedergegegeben nicht-parametri-
schen Teststatistiken nach Kolmogorov-Smirnnoff (Dn) und nach Anderson-
Darling (An) in modifizierter Form verwendet. 13 Die Modifikationen sind in
Tabelle B.1 dargestellt. 14

  12    Vgl. Loh (1996), MacKay/ Becl.rnan/ Conover (1979) zur Methode des Latin Hyper-
        cube Sampling.
  13    Vgl. Hager (2004), S. 58; Vose (1997), S. 120.
  14    Vgl. Vose (1997), S. 120.

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