Lineare Gleichungssysteme - Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas 11. März 2021 - Montanuniversität ...
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Lineare Gleichungssysteme
4. Vorlesung
170 004 Numerische Methoden I
Clemens Brand und Erika Hausenblas
Montanuniversität Leoben
11. März 2021
1 / 53Lineare Gleichungssysteme
1 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit
Matrixalgebra
MATLAB und lineare Systeme
Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
2 Direkte Verfahren
Dreiecksmatrizen
Gauß-Elimination
Pivotisierung
Stufenform
3 Matrixzerlegungen
Links-Rechts-Zerlegung
Orthogonale Matrizen
QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
4 Überbestimmte Systeme
Kleinste Quadrate, Normalengleichungen
Lösung durch QR-Zerlegung
Beispiel: Lineare Datenmodelle
2 / 53Gliederung 4. Vorlesung
1 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit
Matrixalgebra
MATLAB und lineare Systeme
Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
2 Direkte Verfahren
Dreiecksmatrizen
Gauß-Elimination
Pivotisierung
Stufenform
3 Matrixzerlegungen
Links-Rechts-Zerlegung
Orthogonale Matrizen
QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
4 Überbestimmte Systeme
Kleinste Quadrate, Normalengleichungen
Lösung durch QR-Zerlegung
Beispiel: Lineare Datenmodelle
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit 3 / 53Lineares Gleichungssystem in n Gleichungen und
Unbekannten
a11 x1 + a12 x2 + . . . +a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . +a2n xn = b2
.. .. ..
. . .
an1 x1 + an2 x2 + . . . +ann xn = bn
In Matrixschreibweise: Ax = b .
Gleichungssysteme lassen sich in Matrix-Schreibweise übersichtlich und
prägnant formulieren.
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Matrixalgebra 4 / 53Eindeutig lösbare Systeme mit quadratischer Matrix Der wichtige Standard-Fall. Dazu gibt es verschiedene Aussagen. Der Fall det(A) 6= 0 ist (algebraisch) gleichbedeutend mit I Alle n Zeilen von A sind linear unabhängig. I Alle n Spalten von A sind linear unabhängig. I rang(A) = n I A hat vollen Rang. Wissen Sie, was der Rang einer Matrix ist? I A ist nichtsingulär I A ist regulär MATLAB: A\b findet die eindeutige Lösung, falls det A 6= 0 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Matrixalgebra 5 / 53
Systeme Ax = b
MATLAB-Befehle \ und pinv
x=A\b berechnet mit einem Eliminationsverfahren
I für nichtsinguläre Matrizen die eindeutige Lösung.
I für singuläre Matrizen, wenn eine Lösungsschar existiert, manchmal
eine Lösung mit möglichst vielen Null-Komponenten,
I für singuläre Matrizen, wenn keine Lösung existiert, meistens Unsinn.
x=pinv(A)*b berechnet mit Hilfe der Pseudoinversen
I für nichtsinguläre Matrizen mit unnötig hohem Aufwand die
eindeutige Lösung.
I für singuläre Matrizen, wenn eine Lösungsschar existiert, eine Lösung
mit minimaler 2-Norm.
I für singuläre Matrizen, wenn keine Lösung existiert, die „am
wenigsten falsche Lösung“: jene, für die der Rest-Vektor r = Ax − b
am kleinsten ist. Kleinste-Quadrate-Lösung kAx − bk2 → min!
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit MATLAB und lineare Systeme 6 / 53Quadratische Systeme Ax = b MATLAB-Befehle rank und rref rank(A) und rank([A,b]) geben MATLABs Meinung zum Rang von Matrix und erweiterter Matrix. Rang-Bestimmung ist numerisch heikel Linear abhängige Matrixzeilen können durch beliebig kleine Änderungen in den Koeffizienten (z. B. Rundungsfehler) unabhängig werden. Rangbestimmung ist daher numerisch heikel und von einer Fehlertoleranz abhängig. MATLABs rank-Funktion verwendet Singulärwertzerlegung, ein aufwändiges, aber verlässliches Verfahren. rref([A,b]) berechnet mit einem speziellen Eliminationsverfahren (Gauß-Jordan) eine reduzierte Treppenform des Systems (reduced row echelon form), aus der alle Lösungsfälle abgelesen werden können. Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit MATLAB und lineare Systeme 7 / 53
Beispiele zu rref
1 1 1 23 1 0 0 0
A = 1 2 3 , b = 61 , rref([A,b]) = 0 1 0 8
1 3 6 114 0 0 1 15
Eindeutige Lösung; links die Einheitsmatrix, rechts der Lösungsvektor.
2 3 4 5 1 1 0 −1 −2 2
3 5 7 9 1 0 1 2 3 −1
A= ,b = , rref([A,b]) =
4 7 10 13 1 0 0 0 0 0
5 9 13 17 1 0 0 0 0 0
Zwei Nullzeilen in Matrix und erweiterter Matrix: Rang = n-2,
zweiparametrige Lösungsschar: wähle x3 und x4 beliebig, bestimme x1 und
x2 aus den ersten beiden Gleichungen.
x1 = 2 + x3 + 2x4 , x2 = −1 − 2x3 + 3x4
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit MATLAB und lineare Systeme 8 / 53Beispiele zu rref
Mit derselben Matrix wie vorhin, aber anderer rechter Seite
2 3 4 5 1 1 0 −1 −2 0
3 5 7 9 1
0 1 2 3 0
A= ,b = , rref([A,b]) =
4 7 10 13 1 0 0 0 0 1
5 9 13 17 0 0 0 0 0 0
Zwei Nullzeilen in Matrix, aber nur eine in erweiterter Matrix: keine
Lösung.
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit MATLAB und lineare Systeme 9 / 53Gleichungssysteme nicht durch Multiplikation mit Inverser
lösen!
Die Gleichung 7x = 13 lösen Sie ja auch nicht, indem sie zuerst
7−1 = 0, 1429 berechnen und dann x = 0, 1429 ∗ 13 auswerten.
13
Sie formen die Gleichung natürlich um und rechnen x = .
7
MATLABs Befehl für Gleichungslösen ist \ und nicht inv
In MATLAB differieren inv(7)*13 und 7\13 um −2, 2204 · 10−16 .
Berechnung der Inversen und anschließende Multiplikation ist sehr viel
rechenaufwändiger und anfälliger gegen Rundungsfehler als direktes
Gleichungslösen!
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit MATLAB und lineare Systeme 10 / 53Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
Konditionszahl
Die Konditionszahl κ(A) einer Matrix A misst für das Gleichungssystem
Ax = b, wie empfindlich der relative Fehler von x von kleinen relativen
Änderungen in A und b abhängt.
Zusammenhang Konditionszahl – relative Fehler
kδxk kδAk kδbk
≤ κ(A) + mit κ(A) = kAkkA−1 k
kxk kAk kbk
Der relative Fehler in x kann also κ(A) mal größer als der relative
Fehler in A und b sein.
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl 11 / 53Determinante und Rang det A 6= 0 ist numerisch unbrauchbar Das Kriterium det A 6= 0 für die Lösbarkeit eines Gleichungssystems ist nur bei Matrizen mit wenigen Zeilen und kleinen ganzzahligen Elementen anwendbar. Ansonsten können Rundungsfehler das Ergebnis verfälschen. MATLAB-Beispiele R=rosser liefert 8 × 8-Matrix, det(R)= -10611 (korrekt wäre 0!). H=hilb(6) liefert 6 × 6-Matrix, det(H)=5.3673e-18. Das sieht aus wie det H = 0, trotzdem ist die Matrix nicht singulär. Rang einer Matrix wird numerisch verlässlicher berechnet Das Kriterium rang A = n ist besser geeignet, um Lösbarkeit festzustellen. Im obigen Beispiel rechnet MATLAB (korrekt): rank(R)=7, rank(H)=6 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl 12 / 53
Lösbarkeit und Konditionszahl Die Konditionszahl lässt besser abschätzen, ob eine Matrix singulär oder nahezu singulär ist. MATLAB liefert für die rosser-Matrix cond(R) =1.4945e+16 Rundungsfehler werden 1016 -fach verstärkt. Bei 16-stelliger Genauigkeit bedeutet das: Ergebnis völlig falsch! A mit Konditionszahl 1016 −→ Gleichungssystem praktisch unlösbar Man sagt, A ist numerisch singulär. Der MATLAB-Operator \ zum Gleichungslösen macht automatisch eine Schätzung der reziproken Konditionszahl und liefert Warnung. » A\b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.624224e-17. Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl 13 / 53
Konditionszahl, Beispiel 4 × 4 Hilbertmatrix H
1 1 1
1 2 3 4 16 −120 240 −140
1 1 1 1 −120 1200 −2700 1680
H = 21 3 4 5 , H −1 =
1 1 1
240 −2700 6480 −4200
3 4 5 6
1 1 1 1
4 5 6 7 −140 1680 −4200 2800
Zeilensummennorm von Matrix und Inverser:
kHk∞ = 2,08; kH −1 k∞ = 13 620; κ(H) = 28 375
Störungen in den Daten werden ≈ 28 000-fach verstärkt.
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl 14 / 534 × 4 Hilbertmatrix H, rechte Seite b = (1, 1, 1, 1)T
Exakte Lösung ist
−4
60
x=
−180
140
Ändere das Element h44 : addiere 1/1000. Lösung ändert sich auf
1, 15789
−1, 89474
x=
−25, 2632
36, 8421
Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl 15 / 53Gliederung 4. Vorlesung
1 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit
Matrixalgebra
MATLAB und lineare Systeme
Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
2 Direkte Verfahren
Dreiecksmatrizen
Gauß-Elimination
Pivotisierung
Stufenform
3 Matrixzerlegungen
Links-Rechts-Zerlegung
Orthogonale Matrizen
QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
4 Überbestimmte Systeme
Kleinste Quadrate, Normalengleichungen
Lösung durch QR-Zerlegung
Beispiel: Lineare Datenmodelle
Direkte Verfahren 16 / 53Dreiecksmatrizen
Gleichungssysteme mit Dreiecksmatrizen sind direkt auflösbar
Beispiel für n = 4: Linke untere und rechte obere Dreiecksmatrix
1 0 0 0 r11 r12 r13 r14
`
21 1 0 0 0 r
22 r23 r24
L= , R=
`31 `32 1 0 0 0 r33 r34
`41 `42 `43 1 0 0 0 r44
Vorwärts- bzw. Rückwärts-Substitution löst Gleichungssysteme mit
Dreiecksform.
Rechenaufwand
bei einem n × n-System beträgt jeweils n2 /2 + O(n) Punktoperationen.
Direkte Verfahren Dreiecksmatrizen 17 / 53Klassische Gauß-Elimination
transformiert ein Gleichungssystem auf obere Dreiecksform
(sofern bei der Pivot-Berechnung immer akk 6= 0!)
Für alle Spalten k = 1, . . . n − 1
in Spalte k: für Zeilen unterhalb des Diagonalelements
Zeilenindex i = k + 1, . . . , n
setze p = aik /akk (Pivot-Koeffizient)
subtrahiere das p-fache derZeile k von Zeile i:
Für die Spalten j = k, . . . n von Zeile i
aij = aij − pakj
Für rechte Seite: bi = bi − pbk
Rechenaufwand
beträgt n3 /3 + O(n2 ) Punktoperationen
Direkte Verfahren Gauß-Elimination 18 / 53Beispiel
Lösung eines Gleichungssystems durch Elimination
Das Gaußsche Eliminationsverfahren transformiert
—sofern bei der Pivot-Berechnung immer akk 6= 0!—
die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt.
5 6 7 6 5 6 7 6
[A b] = 10 20 23 6 −→ 0 8 9 −6
15 50 67 14 0 0 10 20
Rücksubstitution liefert Lösung.
Direkte Verfahren Gauß-Elimination 19 / 53Warnhinweis
If anything can go wrong, it will!
Das Eliminationsverfahren in der oben angegebenen einfachen Form bricht
zusammen, wenn in seinem Verlauf akk = 0 auftritt.
Division durch Null
bei der Berechnung des Pivot-Koeffizienten.
Abhilfe
Pivotisierung!
Pivot = Dreh-, Angelpunkt.
Direkte Verfahren Pivotisierung 20 / 53Pivotisierung
Systematisches Vertauschen von Gleichungen und Unbekannten verhindert vorzeitige
Division durch akk = 0 im Eliminationsverfahren.
vollständige Pivotisierung Sucht betragsgrößtes Element unter allen
Einträgen in den Positionen von akk bis ann und bringt es an
die kk-Position. Vertauscht Gleichungen und Unbekannte.
Spalten-Pivotisierung Sucht nur in der k-ten Spalte, vom Element akk an
abwärts. Vertauscht nur Geichungen, behält Reihenfolge der
Unbekannten. Standardverfahren!.
Zusatz-Nutzen Pivotisierung verringert Rundungsfehler bei der
Elimination.
Direkte Verfahren Pivotisierung 21 / 53Stufenform und Lösbarkeit
Mögliche Fälle nach Abschluss des Eliminationsverfahrens
Gauß-Elimination mit vollständiger oder Zeilen-Pivotsuche transformiert
die Originalmatrix A und rechte Seite b auf ein System in Stufenform: In
jeder Zeile verringert sich die Zahl der Unbekannten um mindestens eine,
die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt.
Nach Transformation auf Stufenform
I Es treten Nullzeilen in A auf und alle entsprechenden Einträge in b
sind ebenfals Null: unendlich viele Lösungen
I Es treten Nullzeilen in A auf, aber zumindest ein entsprechender
Eintrage in b ist nicht Null: keine Lösung
I Es treten keine Nullzeilen in A auf: eindeutige Lösung
Direkte Verfahren Stufenform 22 / 53Gauß-Jordan-Verfahren
Eine erweiterte Variante der Standard-Gauß-Elimination
Das Gauß-Jordan-Verfahren transformiert die erweiterte
Koeffizientenmatrix auf reduzierte Stufenform (reduced row echelon form).
Die Lösung ist direkt ablesbar.
5 6 7 6 1 0 0 2
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 0 −3
15 50 67 14 0 0 1 2
5 6 7 6 1 0 1/20 21/10
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 −3/4
15 50 57 −6 0 0 0 0
5 6 7 6 1 0 1/20 0
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 0
15 50 57 14 0 0 0 1
Direkte Verfahren Stufenform 23 / 53Gauß-Jordan-Verfahren
Eine erweiterte Variante der Standard-Gauß-Elimination
Das Gauß-Jordan-Verfahren transformiert die erweiterte
Koeffizientenmatrix auf reduzierte Stufenform (reduced row echelon form).
Die Lösung ist direkt ablesbar.
5 6 7 6 1 0 0 2
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 0 −3
15 50 67 14 0 0 1 2
5 6 7 6 1 0 1/20 21/10
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 −3/4
15 50 57 −6 0 0 0 0
5 6 7 6 1 0 1/20 0
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 0
15 50 57 14 0 0 0 1
Direkte Verfahren Stufenform 23 / 53Gauß-Jordan-Verfahren
Eine erweiterte Variante der Standard-Gauß-Elimination
Das Gauß-Jordan-Verfahren transformiert die erweiterte
Koeffizientenmatrix auf reduzierte Stufenform (reduced row echelon form).
Die Lösung ist direkt ablesbar.
5 6 7 6 1 0 0 2
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 0 −3
15 50 67 14 0 0 1 2
5 6 7 6 1 0 1/20 21/10
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 −3/4
15 50 57 −6 0 0 0 0
5 6 7 6 1 0 1/20 0
[A b] = 10 20 23 6 , rref([A, b]) −→ 0 1 9/8 0
15 50 57 14 0 0 0 1
Direkte Verfahren Stufenform 23 / 53Gliederung 4. Vorlesung
1 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit
Matrixalgebra
MATLAB und lineare Systeme
Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
2 Direkte Verfahren
Dreiecksmatrizen
Gauß-Elimination
Pivotisierung
Stufenform
3 Matrixzerlegungen
Links-Rechts-Zerlegung
Orthogonale Matrizen
QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
4 Überbestimmte Systeme
Kleinste Quadrate, Normalengleichungen
Lösung durch QR-Zerlegung
Beispiel: Lineare Datenmodelle
Matrixzerlegungen 24 / 53Die Matrix-Vektor-Multiplikation y = A · x
Grundlegende Bedeutung einer n × m-Matrix A
Eine Matrix definiert durch y = A · x eine lineare Abbildung Rm → Rn .
Hauptberuf einer Matrix: aus einem Vektor einen anderen zu machen.
Im Allgemeinen ändert die Matrix dadurch Richtung, Betrag (und sogar
Dimension) eines Vektors. Matrixzerlegungen spalten die Aktion der
Matrix in leichter zu durchblickende Einzelschritte auf.
I Links-Rechts-Zerlegung A = L · R
I QR-Zerlegung A = Q · R
I Singulärwertzerlegung A = U · S · V T
Matrixzerlegungen 25 / 53Die Matrix-Vektor-Multiplikation y = A · x
Grundlegende Bedeutung einer n × m-Matrix A
Eine Matrix definiert durch y = A · x eine lineare Abbildung Rm → Rn .
Hauptberuf einer Matrix: aus einem Vektor einen anderen zu machen.
Im Allgemeinen ändert die Matrix dadurch Richtung, Betrag (und sogar
Dimension) eines Vektors. Matrixzerlegungen spalten die Aktion der
Matrix in leichter zu durchblickende Einzelschritte auf.
I Links-Rechts-Zerlegung A = L · R
I QR-Zerlegung A = Q · R
I Singulärwertzerlegung A = U · S · V T
Matrixzerlegungen 25 / 53Die Matrix-Vektor-Multiplikation y = A · x
Grundlegende Bedeutung einer n × m-Matrix A
Eine Matrix definiert durch y = A · x eine lineare Abbildung Rm → Rn .
Hauptberuf einer Matrix: aus einem Vektor einen anderen zu machen.
Im Allgemeinen ändert die Matrix dadurch Richtung, Betrag (und sogar
Dimension) eines Vektors. Matrixzerlegungen spalten die Aktion der
Matrix in leichter zu durchblickende Einzelschritte auf.
I Links-Rechts-Zerlegung A = L · R
I QR-Zerlegung A = Q · R
I Singulärwertzerlegung A = U · S · V T
Matrixzerlegungen 25 / 53Wiederholung: LR-Zerlegung A = L · R
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ohne Pivotisierung faktorisiert (wenn
es nicht abbricht) eine Matrix A in ein Produkt A = LR aus einer linken
unteren Dreiecksmatrix L und einer rechten oberen Dreiecksmatrix R.
5 6 7 1 0 0 5 6 7
10 20 23 = 2 1 0 ·
0 8 9
15 50 67 3 4 1 0 0 10
Matrixzerlegungen Links-Rechts-Zerlegung 26 / 53LR-Zerlegung allgemein
Jede quadratische oder auch rechteckige Matrix lässt sich in ein Produkt
der Form
A=L·R
zerlegen. Dabei ist
I L eine links-unten-Dreiecksmatrix mit 1-Diagonale (zumindest, wenn
man die Zeilen von L passend umordnet)
I R eine obere Dreiecksmatrix
MATLAB: [L U]=lu(A) zerlegt beispielsweise
" # " # " #
1
1 2 3 1 4 5 6
= 4 ·
4 5 6 1 0 0 43 3
2
Matrixzerlegungen Links-Rechts-Zerlegung 27 / 53Anwendungen zur LR-Zerlegung
I lineare Gleichungssysteme
I Determinante
I Inverse
MATLAB-Hilfe: “Most of the algorithms for computing LU factorization
are variants of Gaussian elimination. The factorization is a key step in
obtaining the inverse with inv and the determinant with det. It is also the
basis for the linear equation solution obtained with \”
Matrixzerlegungen Links-Rechts-Zerlegung 28 / 53Orthogonale Matrizen
Transponierte ist zugleich Inverse
Definition
Eine quadratische Matrix Q heißt orthogonal, wenn gilt
QT · Q = I
Die Spalten von Q sind Einheitsvektoren und paarweise orthogonal. Es gilt
dann auch
Q · QT = I
Die Zeilen von Q sind ebenfalls Einheitsvektoren und paarweise orthogonal.
Matrixzerlegungen Orthogonale Matrizen 29 / 53Orthogonale Matrizen: Beispiele
" # 2 −2 1
1 1 1 1
P=√ , Q = 1 2 2
2 1 −1 3
2 1 −2
)
Zwei-
dimensionale orthogonale Matrizen mit Determinante 1
Drei-
( )
ebenen
entsprechen Drehungen
räumlichen
Orthogonale Matrizen mit Determinante -1 entsprechen Spiegelungen.
Matrixzerlegungen Orthogonale Matrizen 30 / 53Orthogonale Matrizen: Beispiele
" # 2 −2 1
1 1 1 1
P=√ , Q = 1 2 2
2 1 −1 3
2 1 −2
)
Zwei-
dimensionale orthogonale Matrizen mit Determinante 1
Drei-
( )
ebenen
entsprechen Drehungen
räumlichen
Orthogonale Matrizen mit Determinante -1 entsprechen Spiegelungen.
Matrixzerlegungen Orthogonale Matrizen 30 / 53Fundamentale Eigenschaft
Multiplikation eines Vektors mit einer orthogonalen Matrix lässt die 2-Norm des Vektors
unverändert
Multiplikation eines Vektors mit einer orthogonalen Matrix dreht (oder
spiegelt) den Vektor, lässt aber seine Länge (2-Norm) unverändert.
kxk2 = kQ · xk2
Matrixzerlegungen Orthogonale Matrizen 31 / 53QR-Zerlegung
Satz
Jede reelle n × m Matrix lässt sich in ein Produkt der Form
A=Q·R
mit einer orthogonalen n × n Matrix Q und einer n × m oberen
Dreiecksmatrix R zerlegen.
MATLAB: [Q R]=qr(A)
Anwendungen: Eigenwert-Berechnung, überbestimmte Systeme
Matrixzerlegungen QR-Zerlegung 32 / 53Singulärwert-Zerlegung
Singular Value Decomposition, SVD
Satz
Jede reelle n × m Matrix lässt sich in ein Produkt der Form
A = U · S · VT
mit einer orthogonalen n × n Matrix U, einer n × m-Diagonalmatrix S und
einer orthogonalen m × m Matrix V zerlegen.
Die Diagonalwerte von S heißen die Singulärwerte von A.
MATLAB: [U S V]=svd(A)
Anwendungen
Pseudoinverse, über- und unterbestimmte Gleichungssysteme,
Datenanalyse, -komprimierung, -clustering, etc. etc.
Matrixzerlegungen Singulärwertzerlegung 33 / 53Singulärwert-Zerlegung
Anschauliche Interpretation
Die Singulärwertzerlegung A = U · S · V T zerlegt die Multiplikation A · x
in drei Einzelschritte:
I a = V T · x dreht den Vektor x
I b = S · a skaliert die Komponenten von a
I y = U · b dreht den Vektor b
Abgesehen von den beiden Drehungen beschreibt die Diagonalmatrix S,
was die die Matrix A „eigentlich“ tut.
In geeignet gedrehten Koordinaten wird aus A eine Diagonalmatrix S.
Der richtige Dreh vereinfacht viele Aufgaben.
Matrixzerlegungen Singulärwertzerlegung 34 / 53Singulärwert-Zerlegung
Anschauliche Interpretation
Die Singulärwertzerlegung A = U · S · V T zerlegt die Multiplikation A · x
in drei Einzelschritte:
I a = V T · x dreht den Vektor x
I b = S · a skaliert die Komponenten von a
I y = U · b dreht den Vektor b
Abgesehen von den beiden Drehungen beschreibt die Diagonalmatrix S,
was die die Matrix A „eigentlich“ tut.
In geeignet gedrehten Koordinaten wird aus A eine Diagonalmatrix S.
Der richtige Dreh vereinfacht viele Aufgaben.
Matrixzerlegungen Singulärwertzerlegung 34 / 53Diagonalisierung symmetrischer Matrizen
Ein Spezialfall von SVD
Jede symmetrische Matrix A lässt sich in der Form A = Q · D · Q T
zerlegen; dabei ist Q eine Orthogonal- und D eine Diagonalmatrix
Die Bedeutung dieser Zerlegung diskutieren wir genauer im Kapitel
„Eigenwerte und Eigenvektoren“.
Matrixzerlegungen Singulärwertzerlegung 35 / 53Gliederung 4. Vorlesung
1 Lösbarkeit, Fehlerempfindlichkeit
Matrixalgebra
MATLAB und lineare Systeme
Fehlerempfindlichkeit, Konditionszahl
2 Direkte Verfahren
Dreiecksmatrizen
Gauß-Elimination
Pivotisierung
Stufenform
3 Matrixzerlegungen
Links-Rechts-Zerlegung
Orthogonale Matrizen
QR-Zerlegung
Singulärwertzerlegung
4 Überbestimmte Systeme
Kleinste Quadrate, Normalengleichungen
Lösung durch QR-Zerlegung
Beispiel: Lineare Datenmodelle
Überbestimmte Systeme 36 / 53Überbestimmte Systeme
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißt überbestimmt
x = 1 1 0 " # 1
x
y = 2 0 1 · = 2
y
x + y = 4 1 1 4
Allgemein: ein überbestimmtes lineares System
Ax = b mit einer m × n-Matrix A, wobei m > n
I In der Regel hat ein solches System keine (exakte) Lösung.
I (Kompromiss-)Lösung sucht möglichst kleinen Residuenvektor
r = b − Ax
I Klassische kleinste-Quadrate-Lösung mit Normalengleichungen
AT Ax = AT b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 37 / 53Überbestimmte Systeme
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißt überbestimmt
x = 1 1 0 " # 1
x
y = 2 0 1 · = 2
y
x + y = 4 1 1 4
Allgemein: ein überbestimmtes lineares System
Ax = b mit einer m × n-Matrix A, wobei m > n
I In der Regel hat ein solches System keine (exakte) Lösung.
I (Kompromiss-)Lösung sucht möglichst kleinen Residuenvektor
r = b − Ax
I Klassische kleinste-Quadrate-Lösung mit Normalengleichungen
AT Ax = AT b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 37 / 53Überbestimmte Systeme
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißt überbestimmt
x = 1 1 0 " # 1
x
y = 2 0 1 · = 2
y
x + y = 4 1 1 4
Allgemein: ein überbestimmtes lineares System
Ax = b mit einer m × n-Matrix A, wobei m > n
I In der Regel hat ein solches System keine (exakte) Lösung.
I (Kompromiss-)Lösung sucht möglichst kleinen Residuenvektor
r = b − Ax
I Klassische kleinste-Quadrate-Lösung mit Normalengleichungen
AT Ax = AT b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 37 / 53Überbestimmte Systeme
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißt überbestimmt
x = 1 1 0 " # 1
x
y = 2 0 1 · = 2
y
x + y = 4 1 1 4
Allgemein: ein überbestimmtes lineares System
Ax = b mit einer m × n-Matrix A, wobei m > n
I In der Regel hat ein solches System keine (exakte) Lösung.
I (Kompromiss-)Lösung sucht möglichst kleinen Residuenvektor
r = b − Ax
I Klassische kleinste-Quadrate-Lösung mit Normalengleichungen
AT Ax = AT b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 37 / 53Überbestimmte Systeme
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißt überbestimmt
x = 1 1 0 " # 1
x
y = 2 0 1 · = 2
y
x + y = 4 1 1 4
Allgemein: ein überbestimmtes lineares System
Ax = b mit einer m × n-Matrix A, wobei m > n
I In der Regel hat ein solches System keine (exakte) Lösung.
I (Kompromiss-)Lösung sucht möglichst kleinen Residuenvektor
r = b − Ax
I Klassische kleinste-Quadrate-Lösung mit Normalengleichungen
AT Ax = AT b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 37 / 53Beispiel: Wägung zweier Massen
Zwei Massen m1 , m2 werden zuerst einzeln, dann gemeinsam abgewogen.
Die Messwerte sind:
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4
Lösungsvorschläge?
0
I Letzte Gleichung weglassen: Fehler r =
0
1
−0,5
I Fehler „aufteilen“, etwa m1 = 1,5; m2 = 2,5 → r = −0,5
0
I oder noch fairer auf die drei Komponenten aufteilen. . .
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 38 / 53Beispiel: Wägung zweier Massen
Zwei Massen m1 , m2 werden zuerst einzeln, dann gemeinsam abgewogen.
Die Messwerte sind:
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4
Lösungsvorschläge?
0
I Letzte Gleichung weglassen: Fehler r =
0
1
−0,5
I Fehler „aufteilen“, etwa m1 = 1,5; m2 = 2,5 → r = −0,5
0
I oder noch fairer auf die drei Komponenten aufteilen. . .
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 38 / 53Beispiel: Wägung zweier Massen
Zwei Massen m1 , m2 werden zuerst einzeln, dann gemeinsam abgewogen.
Die Messwerte sind:
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4
Lösungsvorschläge?
0
I Letzte Gleichung weglassen: Fehler r =
0
1
−0,5
I Fehler „aufteilen“, etwa m1 = 1,5; m2 = 2,5 → r = −0,5
0
I oder noch fairer auf die drei Komponenten aufteilen. . .
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 38 / 53Beispiel: Wägung zweier Massen
Zwei Massen m1 , m2 werden zuerst einzeln, dann gemeinsam abgewogen.
Die Messwerte sind:
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4
Lösungsvorschläge?
0
I Letzte Gleichung weglassen: Fehler r =
0
1
−0,5
I Fehler „aufteilen“, etwa m1 = 1,5; m2 = 2,5 → r = −0,5
0
I oder noch fairer auf die drei Komponenten aufteilen. . .
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 38 / 53Geometrische Interpretation
Zeilen des Gleichungssystems sind Geradengleichungen
m2
4
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4 3
Den drei Gleichungen entsprechen
drei Gerade im R2 . Kein 2
gemeinsamer Schnittpunkt!
„In der Mitte des Fehlerdreiecks“,
im Punkt (4/3; 7/3) ist die
1
Summe der Fehlerquadrate
minimal.
m1
1 2 3 4
(m1 − 1)2 + (m2 − 2)2 + (m1 + m2 − 4)2 → min!
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 39 / 53Geometrische Interpretation
Zeilen des Gleichungssystems sind Geradengleichungen
m2
4
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4 3
Den drei Gleichungen entsprechen
drei Gerade im R2 . Kein 2
gemeinsamer Schnittpunkt!
„In der Mitte des Fehlerdreiecks“,
im Punkt (4/3; 7/3) ist die
1
Summe der Fehlerquadrate
minimal.
m1
1 2 3 4
(m1 − 1)2 + (m2 − 2)2 + (m1 + m2 − 4)2 → min!
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 39 / 53Geometrische Interpretation
Zeilen des Gleichungssystems sind Geradengleichungen
m2
4
m1 = 1
m2 = 2
m1 + m2 = 4 3
Den drei Gleichungen entsprechen
drei Gerade im R2 . Kein 2
gemeinsamer Schnittpunkt!
„In der Mitte des Fehlerdreiecks“,
im Punkt (4/3; 7/3) ist die
1
Summe der Fehlerquadrate
minimal.
m1
1 2 3 4
(m1 − 1)2 + (m2 − 2)2 + (m1 + m2 − 4)2 → min!
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 39 / 53Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Suche m1 , m2 so dass
(m1 − 1)2 + (m2 − 2)2 + (m1 + m2 − 4)2 → min!
Differenziere nach m1 und m2 , setze Ableitungen gleich Null →
2m1 + m2 = 5
m1 + 2m2 = 6
Führt man diese Rechnung allgemein für ein überbestimmtes System
Ax = b durch, erhält man die Normalengleichungen AT Ax = AT b.
" # 1 0 " # " # 1
1 0 1 m1 1 0 1
hier: · 0 1 · = · 2
0 1 1 m2 0 1 1
1 1 4
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 40 / 53Zwei mögliche geometrische Interpretationen Im Raum Rn der Lösungsvektoren I Gleichungen entsprechen Geraden (Ebenen, Hyperebenen) I Optimal-Lösung im Schnittbereich (Fehlerdreieck, -Polyeder, . . . ) I Nachteil: „Mitte des Fehlerdreiecks“ nicht exakt definiert. Im Raum Rm der rechten-Seite-Vektoren I Matrix mal Vektor ergibt Linearkombination der Spaltenvektoren I Bei „zu wenig“ Spaltenvektoren lässt sich nicht jede rechte Seite als Linearkombination erreichen. I Der geringste Abstand zwischen Linearkombination und rechter Seite ist Normalabstand. Eine Folie noch, dann kommt eh gleich ein Beispiel. . . Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 41 / 53
Zwei mögliche geometrische Interpretationen Im Raum Rn der Lösungsvektoren I Gleichungen entsprechen Geraden (Ebenen, Hyperebenen) I Optimal-Lösung im Schnittbereich (Fehlerdreieck, -Polyeder, . . . ) I Nachteil: „Mitte des Fehlerdreiecks“ nicht exakt definiert. Im Raum Rm der rechten-Seite-Vektoren I Matrix mal Vektor ergibt Linearkombination der Spaltenvektoren I Bei „zu wenig“ Spaltenvektoren lässt sich nicht jede rechte Seite als Linearkombination erreichen. I Der geringste Abstand zwischen Linearkombination und rechter Seite ist Normalabstand. Eine Folie noch, dann kommt eh gleich ein Beispiel. . . Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 41 / 53
Zwei mögliche geometrische Interpretationen Im Raum Rn der Lösungsvektoren I Gleichungen entsprechen Geraden (Ebenen, Hyperebenen) I Optimal-Lösung im Schnittbereich (Fehlerdreieck, -Polyeder, . . . ) I Nachteil: „Mitte des Fehlerdreiecks“ nicht exakt definiert. Im Raum Rm der rechten-Seite-Vektoren I Matrix mal Vektor ergibt Linearkombination der Spaltenvektoren I Bei „zu wenig“ Spaltenvektoren lässt sich nicht jede rechte Seite als Linearkombination erreichen. I Der geringste Abstand zwischen Linearkombination und rechter Seite ist Normalabstand. Eine Folie noch, dann kommt eh gleich ein Beispiel. . . Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 41 / 53
Zwei mögliche geometrische Interpretationen Im Raum Rn der Lösungsvektoren I Gleichungen entsprechen Geraden (Ebenen, Hyperebenen) I Optimal-Lösung im Schnittbereich (Fehlerdreieck, -Polyeder, . . . ) I Nachteil: „Mitte des Fehlerdreiecks“ nicht exakt definiert. Im Raum Rm der rechten-Seite-Vektoren I Matrix mal Vektor ergibt Linearkombination der Spaltenvektoren I Bei „zu wenig“ Spaltenvektoren lässt sich nicht jede rechte Seite als Linearkombination erreichen. I Der geringste Abstand zwischen Linearkombination und rechter Seite ist Normalabstand. Eine Folie noch, dann kommt eh gleich ein Beispiel. . . Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 41 / 53
Beispiel: Farbmischung mit RGB-Vektoren
Gegeben: zwei Farbtöne
200 50
RGB 50 RGB 150
50 200
Gesucht: neutrale Grauschattierung RGB 150 150 150
200 50 150
50 x + 150 y = 150
50 200 150
Optimale Lösung erreicht
200 50 151
50 0,588 + 150 0,674 = 130
50 200 164Beispiel: Farbmischung mit RGB-Vektoren
Gegeben: zwei Farbtöne
200 50
RGB 50 RGB 150
50 200
Gesucht: neutrale Grauschattierung RGB 150 150 150
200 50 150
50 x + 150 y = 150
50 200 150
Optimale Lösung erreicht
200 50 151
50 0,588 + 150 0,674 = 130
50 200 164Beispiel: Farbmischung mit RGB-Vektoren
Gegeben: zwei Farbtöne
200 50
RGB 50 RGB 150
50 200
Gesucht: neutrale Grauschattierung RGB 150 150 150
200 50 150
50 x + 150 y = 150
50 200 150
Optimale Lösung erreicht
200 50 151
50 0,588 + 150 0,674 = 130
50 200 164Beispiel: Farbmischung mit RGB-Vektoren
Gegeben: zwei Farbtöne
200 50
RGB 50 RGB 150
50 200
Gesucht: neutrale Grauschattierung RGB 150 150 150
200 50 150
50 x + 150 y = 150
50 200 150
Optimale Lösung erreicht
200 50 151
50 0,588 + 150 0,674 = 130
50 200 164Orthogonalitätsbedingung
im Bildraum
1 0
m1
Der Ausdruck 0 1 ·
30
m2 1
1 1 2
2
entspricht der 3
1
Parameterdarstellung eine Ebene
im R3 . 0
Der Punkt (1; 2; 4) liegt nicht auf 6
dieser Ebene. Der Residuenvektor
1 1 0
m1
r = 2 − 0 1 ·
m2
4 1 1 4
hat minimale Länge, wenn er auf
die Ebene normal steht.
2
0
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 44 / 53Drehe den Bildraum, dann geht’s leichter!
30
1
Wenn die zwei die Ebene 2 2
3
aufspannenden Vektoren 1
irgendwo hin in den R3 0
zeigen, ist der Punkt mit
6
minimalem Abstand von
b nicht so leicht zu
finden. . .
Drehen wir vorsichtig
4
das
Koordinatensystem. . .
bis die zwei Vektoren in
der xy -Ebene liegen. Die 2
Lösung liegt nun genau
senkrecht unter b
0
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 45 / 53Drehe den Bildraum, dann geht’s leichter!
0
3 1
Wenn die zwei die Ebene 2
2 3
aufspannenden Vektoren
1
irgendwo hin in den R3
0
zeigen, ist der Punkt mit
minimalem Abstand von
b nicht so leicht zu
finden. . .
4
Drehen wir vorsichtig
das
Koordinatensystem. . .
bis die zwei Vektoren in 2
der xy -Ebene liegen. Die
Lösung liegt nun genau
senkrecht unter b 0
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 45 / 53Drehe den Bildraum, dann geht’s leichter!
4
Wenn die zwei die Ebene 3
aufspannenden Vektoren 2
irgendwo hin in den R3 1
zeigen, ist der Punkt mit 0
minimalem Abstand von
3
b nicht so leicht zu
finden. . . 2
Drehen wir vorsichtig
1
das
Koordinatensystem. . . 0
bis die zwei Vektoren in 0
der xy -Ebene liegen. Die 2
Lösung liegt nun genau
4
senkrecht unter b
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 45 / 53Drehe den Bildraum, dann geht’s leichter!
Wenn die zwei die Ebene
aufspannenden Vektoren
irgendwo hin in den R3 3
zeigen, ist der Punkt mit
2
minimalem Abstand von
b nicht so leicht zu 1
finden. . . 0 4
Drehen wir vorsichtig 0 3
das 2 2
Koordinatensystem. . . 4 1
bis die zwei Vektoren in
6 0
der xy -Ebene liegen. Die
Lösung liegt nun genau
senkrecht unter b
Suche eine orthogonale Matrix Q, welche das Gleichungssystem in einen
„einfacheren“ Bildraum dreht!
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 45 / 53Beispiel von vorhin
Die QR-Zerlegung von A liefert die gewünschte Drehmatrix!
√ √ √ √
1 0 3 −1 −√2 2 p2/2
1
Zerlegung A = QR : 0 1 = √ √0 2 −√ 2 · 0 3/2
1 1 6 0 0
3 1 2
√ √ √
2 p2/2 " # 5/ 2
m1 √
Transformiertes System Rx = Q T b : 0 3/2 = 7/
√6
m2
0 0 1/ 3
Drehung mit Q anschaulich interpretiert
QR-Zerlegung transformiert überbestimmtes System in lösbaren Anteil und
unlösbaren Rest
Bestmögliche Lösung: unlösbare Gleichungen weglassen, die anderen exakt
lösen.
Überbestimmte Systeme Kleinste Quadrate, Normalengleichungen 46 / 53QR-Zerlegung löst (überbestimmte) Gleichungssysteme
Zur Lösung von Ax = b führt man QR-Zerlegung durch und löst das
Dreieckssystem Rx = Q T · b durch Substitution.
Begründung Bei n × n-Systemen setzt man
diese Methode normalerweise
Ax = b nicht ein, weil sie
Q · Rx = b |Q T · rechenaufwändiger als die
Q T · Q · Rx = QT · b LR-Zerlegung ist.
Rx = QT · b Bei n × m-Systemen (n > m)
liefern die ersten m Zeilen von R
die kleinste-Quadrate-Lösung.
Lösung überbestimmte Systeme mittels Normalengleichungen ist anfälliger
für Rundungsfehler als Lösung durch QR-Zerlegung.
Überbestimmte Systeme Lösung durch QR-Zerlegung 47 / 53Überbestimmte Systeme A · x = b: QR-Zerlegung
Aufgabe
Suche x so, dass Residuums-2-Norm krk2 minimal wird
krk = kb − A · xk → min!
Vorgangsweise
Zerlege A = Q · R
Multiplikation von r mit Q T lässt 2-Norm unverändert. Wandle um:
krk = kQ T · rk = kQ T (b − A · x)k = kQ T b − R · xk
Für das transformierte System ist die Minimallösung offensichtlich. . .
Überbestimmte Systeme Lösung durch QR-Zerlegung 48 / 53Angenommen, das überbestimmte System besteht aus m Unbekannten und n = m + k Gleichungen (k > 0). Dann ist R eine n × m-Matrix, deren letzte k Zeilen lauter Nullen enthalten. Die letzten k Zeilen des Residuumsvektors hängen nicht von x ab. Löse die ersten m Gleichungen des Systems R · x = Q T b exakt (wenn möglich): Diese Gleichungen liefern keinen Beitrag zu Residuum. Die restlichen k Gleichungen hängen von x nicht ab. Keine Wahl von x kann den Beitrag dieser Gleichungen zum Residuum ändern. Daher ist die gewählte Lösung optimal für R · x = Q T b Weil Transformation die Norm nicht beeinflusst, ist diese Lösung auch optimale Lösung von A · x = b Überbestimmte Systeme Lösung durch QR-Zerlegung 49 / 53
Überbestimmte Systeme A · x = b: SVD-Zerlegung
Aufgabe
Suche x so, dass Residuums-2-Norm krk2 minimal wird
krk = kb − A · xk → min!
Vorgangsweise
Zerlege A = U · S · V T , substituiere y = V T · x.
Multiplikation von r mit U T lässt 2-Norm unverändert. Wandle um:
krk = kU T · rk = kU T b − S · V T · xk = kQ T b − S · yk
Für das gedrehte System ist die Minimallösung völlig offensichtlich. . .
(Zahlenbeispiel im Skriptum)
Überbestimmte Systeme Lösung durch QR-Zerlegung 50 / 53Übersicht der Verfahren
für überbestimmte Systeme A · x = b
Normalengleichungen AT · A = AT b Klassischer Lösungsweg. Anfällig für
Daten- und Rundungsfehler (schlechte Konditionszahl).
QR-Zerlegung Standardverfahren zur numerischen Lösung. Algebraisch
äquivalent zu Norm.gleichungen, aber numerisch weniger
fehlerempfindlich.
MATLAB x = A\b verwendet bei überbestimmten Systemen
automatisch QR-Zerlegung
Sonderfälle (rang A ≤ n) Überbestimmte Systeme, die trotzdem exakt
lösbar sind oder eine Schar von (ex. oder kl. Quadr.)
Lösungen haben. Normalengleichungen können versagen.
Singulärwert-Zerlegung.
Überbestimmte Systeme Lösung durch QR-Zerlegung 51 / 53Lineares Modell in zwei Variablen
Anpassen einer Ausgleichs-Ebene: Beispiel aus der Matlab-Hilfe
Angenommen, eine Größe y hängt von zwei Parametern x1 und x2 ab. Folgende
Messwerte liegen vor:
x1 : 0.2 0.5 0.6 0.8 1.0 1.1
x2 : 0.1 0.3 0.4 0.9 1.1 1.4
y : 0.17 0.26 0.28 0.23 0.27 0.24
Wir nehmen ein lineares Modell
y = a0 + a1 x1 + a2 x2 an und setzen die
gegebenen Datentripel ein
−→ führt auf ein System von 6 linearen
Gleichungen in den 3 unbekannten
Koeffizienten a0 , a1 , a2 .
−→ Kleinste-Quadrate-Lösung liefert
Ebene mit „bestmöglicher“ Anpassung
an Daten
Überbestimmte Systeme Beispiel: Lineare Datenmodelle 52 / 53Lineares Modell in zwei Variablen
Beispiel: Magnetische Deklinationswerte 2008.5 in Österreich
49.5
Wien 3° 00’
1.6
1.8
2.2
1.4
2
Eisenstadt 3° 02’
2.4
2.6
2.8
3.4
3.2
49
3
48.5
St.Pölten 2° 54’
Graz 2° 47’
Linz 2° 33’
48
1.6
1.8
2.2
1.4
2
2.4
2.6
2.8
3.4
3.2
Klagenfurt 2° 30’
3
47.5
47 Salzburg 2° 15’
46.5
Innsbruck 1° 53’
Bregenz 1° 24’
1.6
1.8
2.2
1.4
2
2.4
2.6
2.8
3.2
3
46
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Daten: ZAMG
Kleinste-Quadrate-Anpassung
liefert Modell:
δ = −2.0987 + 0.2365λ + 0.0261φ
Überbestimmte Systeme Beispiel: Lineare Datenmodelle 53 / 53Sie können auch lesen
