Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen
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Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen
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Mehr als 100 Jahre ist es jetzt alt, das
DIN-Nr. Bezeichnung DIN-Taschenbuch
erste deutsche „Gesetz, betreffend die
461 Grafische Darstellungen in Koordinatensystemen 202
elektrischen Maßeinheiten“. Das Jubi-
1301 Einheiten; 22*
läum des Gesetzes gab Anlaß, an die Teil 1 Einheitennamen, Einheitenzeichen
Wichtigkeit einheitlicher Schreib- Teil 2 Allgemein angewendete Teile und Vielfache
weisen zu erinnern, die heute auf dem 1302 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe 202
internationalen Parkett wichtiger denn 1304 Formelzeichen; 202
Teil 1 Allgemeine Formelzeichen
je sind. In diesem Repetitorium werden Teil 6 Formelzeichen der elektrischen Nachrichtentechnik
die elektrischen Größen und Einheiten 1313 Größen 22*
dargelegt. Eine umfassende Darstel-
1338 Formelschreibweise und Formelsatz 202
lung der Einheiten für alle Gebiete der
5493 Logarithmische Größen und Einheiten 22*
Physik ist in [1] zu finden. Teil 1 Allgemeine Grundlagen
Teil 2 Logarithmierte Verhältnisgrößen
40 146 Begriffe der Nachrichtenübertragung; 22
Teil 2 Nutzpegel, Störpegel, Dynamik, Signal-/Stör-Pegelabstand
Die gesetzlichen Einheiten Tabelle 1 Die zitierten Grundnormen
(Die durch * gekennzeichneten Normen wurden nach Erscheinen des zitierten DIN-Taschenbuchs neu
Durch das Gesetz vom 2. Juli 1969 herausgegeben. Die Neuausgaben sind im Literaturverzeichnis gesondert vermerkt.)
über Einheiten im Meßwesen und die
Ausführungsverordnung vom Gesetz und die Ausführungsverord- mengestellt. Tabelle 4 enthält die Vor-
26. Juni 1970 zum Gesetz über Ein- nung nur den geschäftlichen und den sätze und Vorsatzzeichen für dezi-
heiten im Meßwesen wurde das Inter- amtlichen Verkehr als Anwendungsbe- male Teile und Vielfache von Einhei-
nationale Einheitensystem (SI-Ein- reich haben, gilt die entsprechende ten. Die Vorsätze beziehungsweise
heiten) in das deutsche Recht über- Norm DIN 1301 ohne diese Ein- Vorsatzzeichen werden nur zusam-
nommen; sie sind in [2] abgedruckt. schränkung. men mit Einheitennamen beziehungs-
Das Gesetz führt die SI-Basiseinheiten weise Einheitenzeichen verwendet.
mit ihren Definitionen und die Vor- Die DIN-Normen über Größen, Einhei- Ein Vorsatzzeichen wird ohne Zwi-
sätze für die dezimalen Vielfachen ten, Formelzeichen und Gleichungen schenraum vor das Einheitenzeichen
und Teile von Einheiten auf. Die Aus- sind in den DIN-Taschenbüchern geschrieben; es bildet mit dem Einhei-
führungsverordnung enthält die Defini- 22 [4] und 202 [5] zusammengefaßt. tenzeichen das Zeichen einer neuen
tion der „Gesetzlichen abgeleiteten Die zitierten Normen (Tabelle 1) wer- Einheit.
Einheiten“. Die elektrischen SI-Ein- den vom Normenausschuß Technische
heiten stimmen – bis auf Feinheiten der Grundlagen (NATG), Fachbereich A: Die SI-Einheiten dürfen nicht anders
Definition – mit den im „Gesetz, betref- Einheiten und Formelgrößen (AEF), im als in Gesetz und Norm angegeben
fend die elektrischen Maßeinheiten“, Deutschen Institut für Normung e.V. geschrieben werden und nicht
von 1898 festgelegten Einheiten (DIN) herausgegeben. Sie sind mit durch zusätzliche Kennzeichen wie
überein. den zuständigen internationalen Indizes verändert werden! Einheiten
Organisationen (u.a. ISO und IEC) dürfen keinesfalls in Klammern
Die EG-Richtlinie von 1981 erforderte abgestimmt und beschreiben den gesetzt werden, weder in rechtek-
eine Novellierung des Einheiten- international anerkannten Stand der kige, noch in runde (DIN 1313,
gesetzes „Gesetz über Einheiten im Technik [6]. DIN 461).
Meßwesen vom 22. Februar 1985“
und der Ausführungsverordnung „Aus- Die SI-Basisgrö- SI-Basisgröße SI-Basiseinheit
führungsverordnung zum Gesetz über ßen und SI-Basis- Name Formelzeichen Name Zeichen
Einheiten im Meßwesen vom einheiten sind in Länge l Meter m
13. Dezember 1985“. Diese Doku- Tabelle 2, die für Masse m Kilogramm kg
mente sind in [3] abgedruckt. Das die Elektrotechnik Zeit t Sekunde s
neue Gesetz und die Ausführungsver- wichtigen abge- Elektrische Stromstärke I Ampere A
ordnung enthalten nicht mehr die Defi- leiteten Größen Thermodynamische Temperatur T, Θ Kelvin K
nitionen der Einheiten, sondern ver- mit besonderen Stoffmenge n, v Mol mol
Lichtstärke Iv Candela cd
weisen auf DIN 1301-1, Ausgabe Einheiten in
Dezember 1985. Während das Tabelle 3 zusam-
Tabelle 2 Die SI- Basisgrößen und SI- Basiseinheiten [7]
2 Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen
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Größe Abgeleitete SI-Einheit Vorsatz Zeichen Faktor
Name Formelzeichen Name Zeichen Yocto y 10–24
Energie W Joule J Zepto z 10–21
10 –18
Leistung P Watt W Atto a
elektrische Spannung U Volt V –15
Femto f 10
elektrische Ladung Q Coulomb C Piko p 10–12
elektrische Kapazität C Farad F Nano n 10–9
elektrischer Widerstand R Ohm Ω
Mikro µ 10–6
elektrischer Leitwert G Siemens S
Milli m 10–3
magnetischer Fluß F Weber Wb
Zenti c 10–2
magnetische Flußdichte B Tesla T
Dezi d 10–1
Induktivität L Henry H
Deka da 101
Frequenz f Hertz Hz
Hekto h 102
Tabelle 3 Die abgeleiteten elektrischen Größen und Einheiten mit besonderen Einheitenzeichen [7]
Kilo k 103
(Anmerkung: Wenn aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, daß es sich um elektrische Größen handelt,
kann das Adjektiv „elektrisch“ weggelassen werden.) Mega M 106
Giga G 109
Tera T 1012
Größen den, so kann das allgemeine Formel- Peta P 1015
zeichen Buchstaben oder Zahlen als Exa E 1018
Physikalische Phänomene werden Indizes erhalten. Zetta Z 1021
qualitativ und quantitativ durch phy- Yotta Y 1024
sikalische Größen beschrieben. Größen gleicher Art werden in der
Tabelle 4 Vorsätze und Vorsatzzeichen für
Jeder spezielle Wert einer Größe gleichen Einheit angegeben. Sie wer- dezimale Teile und Vielfache von Einheiten [7]
kann als Produkt aus Zahlenwert den entweder durch unterschiedliche
und Einheit dargestellt werden. Formelzeichen oder durch Formelzei- der Erstausgabe der Norm DIN 1313
Wenn sich die Einheit ändert (z.B. chen mit Index unterschieden. Einige (1931): Schreibweise physikalischer
durch den Gebrauch einer Einheit Beispiele für Größen gleicher Art sind Gleichungen.
mit Vorsatzzeichen), dann ändert in Tabelle 5 aufgeführt.
sich auch der Zahlenwert. Das Pro- Größengleichungen [12] sind Glei-
dukt aus Zahlenwert und Einheit chungen, in denen die Formelzeichen
bleibt dabei konstant; es ist invari- Gleichungen physikalische Größen oder mathema-
ant gegenüber einem Wechsel der
Einheit. Beispiel: Bei den Angaben Die Begriffe Grö-
U = 0,1 V und U = 100 mV handelt ßengleichung, Größe SI-Einheit
es sich um denselben Größenwert. Zugeschnittene Name Formelzeichen Name Zeichen
Länge l Meter m
Größenglei-
Breite b Meter m
Formelzeichen für physikalische Grö- chung, Zahlen-
Höhe h Meter m
ßen sollen aus nur einem Buchstaben wertgleichung
Frequenz f Hertz Hz
bestehen. Sie sind in DIN 1304 und sowie die Bezie-
Resonanzfrequenz fr, frsn Hertz Hz
weiteren Normen festgelegt. Bei hung Größen-
Bandbreite B, fB Hertz Hz
Benutzung mehrerer Buchstaben wert = Zahlen-
elektrische Spannung U Volt V
besteht die Gefahr, daß das Zeichen wert mal Einheit
Effektivwert der Spannung Ueff Volt V
in Gleichungen als Produkt mehrerer gehen auf Arbei-
Leistung P Watt W
Größen mißdeutet wird. Aus demsel- ten von Julius
Signalleistung Ps Watt W
ben Grund sollen als Formelzeichen Wallot aus den
Rauschleistung Pn Watt W
von Größen auch keine aus mehreren Jahren 1922 bis Wirkleistung P, Pp Watt W
Buchstaben bestehenden Abkürzun- 1933 zurück. Blindleistung Q, Pq Watt W (auch Var)
gen von Namen verwendet werden. Die Diskussionen Scheinleistung S, Ps Watt W (auch VA)
Soll eine bestimmte Bedeutung eines über diese The-
Formelzeichens gekennzeichnet wer- matik führten zu Tabelle 5 Beispiele für Größen gleicher Art
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tische Zeichen (Zahlen, Variablen, sich dann zusätzliche Umrechnungen Spannungsdämpfungsmaß:
Funktionen, Operatoren) bedeuten. der Einheiten. Die zugeschnittene Grö-
U
Diese Gleichungen sind von der Wahl ßengleichung eignet sich in erster Linie A U = 20 lg ---------1- dB
U2
der Einheiten unabhängig. Bei der zur Darstellung von Ergebnissen.
Auswertung von Größengleichungen Spannungsübertragungsmaß,
sind für die Formelzeichen der Grö- Zahlenwertgleichungen sollten nicht Spannungsverstärkungsmaß:
ßen die Produkte aus Zahlenwert und mehr verwendet werden, denn sie gel-
U
Einheit einzusetzen. Zahlenwerte und ten seit mehr als 60 Jahren als veraltet. G U = 20 lg ------2 dB
U1
Einheiten werden in Größengleichun- Sie müssen nach DIN 1313 als Zah-
gen als selbständige Faktoren behan- lenwertgleichungen gekennzeichnet
delt. werden; für alle Größen müssen die Definition für reelle Leistungsgrößen
Einheiten angegeben werden. (z.B. Wirkleistungen):
Beispiel: Die Gleichung:
Den einschlägigen Normen wider- Leistungsverstärkungsmaß:
U=R·I spricht es, in Gleichungen den Grö-
P2
ßensymbolen die Einheiten in rechtek- G P = 10 lg ------ dB
P1
liefert immer dasselbe Ergebnis, unab- kigen Klammen anzufügen.
hängig davon, in welchen Einheiten Negativbeispiel: Die Argumente des Logarithmus sind
der Widerstand R und der Strom I Größenverhältnisse der Dimension 1
angegeben werden, falls stets für R falsch (Zahlenwerte). Die Einheit dB hat
und I die zugehörigen Produkte aus ebenfalls die Dimension 1 und wird
Zahlenwert und Einheit eingesetzt wer- U [kV] = 10–3 · R [Ω] · I [A] deshalb als „Pseudoeinheit“ bezeich-
den. net. Sie ist keine SI-Einheit. Die Funk-
Diese Schreibweise ist nach DIN 1313 tion „lg“ bezeichnet den Logarithmus
Zugeschnittene Größengleichungen keinesfalls zu verwenden. Werden in zur Basis 10; „log“ steht für die allge-
[12] sind Größengleichungen, in dieser Gleichung die Größenwerte als meine Logarithmusfunktion.
denen jede Größe durch eine zugehö- Produkt von Zahlenwert und Einheit
rige Einheit dividiert erscheint. eingesetzt, so entsteht eine unsinnige
Beispiel: Gleichung, weil die Einheiten jeweils Logarithmierte
zweimal als Faktor vorkommen. Wenn Größenverhältnisse, Pegel
U/kV = 10–3 · (R/Ω) · (I/A) nur der Zusammenhang zwischen den
Zahlenwerten dargestellt werden soll, Als Pegel wird das logarithmierte Ver-
Die Klammern können weggelassen dann ist die Form der zugeschnittenen hältnis zweier Leistungs- oder Feldgrö-
werden, wenn die Zuordnung von Größengleichung zu bevorzugen. ßen bezeichnet, wenn die Nenner-
Größen und Einheiten ohne Klammern größe ein festgelegter Wert einer
ersichtlich ist, zum Beispiel auf der lin- Bezugsgröße gleicher Dimension wie
ken Seite der obigen Gleichung oder Logarithmierte Größenverhält- die Zählergröße ist [8]. Als Einheit
bei Verwendung waagerechter Bruch- nisse, Dämpfungs- und Übertra- wird das Dezibel (dB) verwendet. Der
striche: gungsmaß Wert der Bezugsgröße sollte stets bei
der Nennung von Zahlenwerten von
U –3 R I
----------- = 10 ------- ------ Mit -maß wird ein logarithmiertes Ver- Pegeln angegeben werden. Als Kurz-
kV Ω A
hältnis von Leistungs- oder Feldgrößen form dieser Angabe kann nach
Die zugeschnittene Größengleichung bezeichnet, das zur Kennzeichnung IEC 27-3 [9] die Bezugsgröße in
hat den Vorteil, daß die Quotienten der Eigenschaften eines Objekts (Zwei- Klammern hinter das dB-Zeichen
aus Größe und Einheit unmittelbar die tor, z.B. Übertragungsglied) dient [8]. gesetzt werden. Wenn der Zahlenwert
Zahlenwerte bei den angegebenen Als Einheit wird das Dezibel (dB) ver- der Bezugsgröße gleich 1 ist, kann in
Einheiten darstellen. Die Gleichungen wendet. der Klammer diese 1 weggelassen
bleiben aber auch richtig, wenn für werden. Zur Information sind einige
die Größen die Produkte aus Zahlen- Definition für Feldgrößen (z.B. für die Kurzformen angegeben, die von der
wert und Einheit in anderen Einheiten komplexen Amplituden von Wechsel- Internationalen Fernmeldeunion UIT
eingesetzt werden. Daraus ergeben spannungen): eingeführt wurden [10]. Bei diesen
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Kurzformen wird an die Bezeichnung
dB zur Kennzeichnung des Bezugs- Größe Formelzeichen Pegel Einheit, Kurzform
Bezugswert Definition
wertes ein Buchstabe oder eine Zei- ausführlich kurz IEC UIT
P
chenfolge unmittelbar angehängt. Die elektrische Leistung Lp (re 1 W) LP/W 10 lg ---------- dB dB(W) dBW
Bezugswert 1 W 1W
Kurzbezeichnungen werden von IEC
P
elektrische Leistung Lp (re 1 mW) LP/mW 10 lg --------------- dB dB(mW) dBm
und DIN nur zur Information angege- Bezugswert 1 mW 1mW
ben, aber nicht empfohlen. elektrische Spannung LU (re 1 V) LU/V U
20 lg -------- dB
b
dB(V) dBV
Bezugswert 1 V 1V
elektrische Spannung LU (re 1 µV) LU/µV U dB(µV) dBµV
20 lg ----------- dB
b
Beispiel [7]: Schreibweise Leistungs- Bezugswert 1 µV 1µV
pegel, ausführlich geschrieben: elektrische Feldstärke LE (re 1 µV/m) LE/(µV/m) E dB(µV/m) nicht
20 lg ----------- dB
b
Bezugswert 1 µV/m 1µV dBµV/m
P
L P ( re1mW ) = 10 lg --------------- dB
1mW Tabelle 6 Beispiele von Pegeldefinitionen mit verschiedenen Bezugsgrößen (nach [10])
durch Index am Größensymbol Nach DIN 1338 sind Klammern nur • Chemische Elemente und Verbindun-
gekennzeichnet: zum Vermeiden von Mehrdeutigkeiten gen, z.B. Cu; H2O
erforderlich. Deshalb wurden in
P
L P ⁄ mW = 10 lg --------------- dB diesen Formeln die Klammern wegge-
1mW
lassen. Angabe von Größenwerten in
in Kurzform: Tabellen und Diagrammen
P
L P = 10 lg ------------------------ dB ( mW ) Schreibweisen DIN 461 enthält Empfehlungen für die
1mW
Beschriftung der Koordinatenachsen
in Kurzform nach UIT: Die Schreibweisen für Größen und von Diagrammen. Analog sollte bei
Einheiten sind in DIN 1313 und der Beschriftung von Tabellenköpfen
P
L P = 10 lg --------------- dBm DIN 1338 genormt. vorgegangen werden. In den Tabellen
1mW
In Kursivschrift werden geschrieben: 7 und 8 sind Beispiele für falsche und
In Tabelle 6 sind einige Pegeldefinitio- für normgerechte Beschriftungen von
nen sowie die Kurzzeichen nach IEC • physikalische Größen, z.B. m (Mas- Tabellenköpfen und Koordinatenach-
und UIT angegeben. Weitere Pegelan- se); U (elektrische Spannung) sen gegeben.
gaben in der Nachrichtenübertra- • Variablen, z.B. x; n
gungstechnik sind in DIN 40146-2 • Funktions- und Operatorzeichen, Die Beschriftung von Meßgeräten sollte
und [11] zu finden. deren Bedeutung frei gewählt wer- ebenfalls an DIN 461 ausgerichtet
den kann, z.B. f(x) sein. Wegen der Vielfalt der Funktionen
Die Differenz der Pegel eines Signals moderner elektronischer Meßgeräte
an zwei verschiedenen Punkten einer In Steilschrift werden geschrieben: und der Beschränkung von Platz und
Übertragungseinrichtung ist ein Maß; Zeichenvorrat gibt es besondere Pro-
die Differenz der Pegel zweier ver- • Einheiten und ihre Vorsätze, z.B. bleme; in manchen Fällen müssen Kom-
schiedener Signale an ein- und dem- kg; pF; V; dB, auch DM, promisse eingegangen werden.
selben Punkt einer Übertragungsein- • Zahlen, z.B. 4,5; 67; 8fach; 1/2,
richtung ist ein Pegelabstand [8]. • Funktions- und Operatorzeichen
mit feststehender Bedeutung, z.B.
Anmerkung zur Klammerung: sin; lg; π
In DIN 5493-2 [8] werden Klammern
wie folgt gesetzt:
falsch falsch falsch richtig richtig richtig richtig richtig
P
10 lg --------------- dB U [V] U U U U/V U E/(V/m) E
1mW [V] in [V] in V in V/m
0,1 0,1 0,1 0,1 V 0,1 0,1 0,1 0,1
In IEC 27-3 [9] dagegen:
0,2 0,2 0,2 0,2 V 0,2 0,2 0,2 0,2
P ... ... ... ... ... ... ... ...
10 lg --------------- dB
1mW
Tabelle 7 Beschriftung von Tabellenköpfen und Koordinatenachsen
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gegen die einschlägigen nationalen dungen vereinfachen sich, wenn der
falsch richtig richtig richtig
1299 (U ko)
und internationalen Normen zu finden. Bezugswert als Index am Größensym-
P/W P/W P/W P
bol angebracht wird.
1 1 1 1W
Eine insbesondere im Bereich der Elek-
1m 1· 10–3 10–3 1 mW
trotechnik verbreitete Unsitte ist, Einhei- Ein weiterer Verstoß gegen die Nor-
Printed in Germany
1µ 1· 10–6 10–6 1 µW
ten mit Index zu versehen. Dies ist nicht men ist, die Einheit in rechteckigen
1n 1· 10–9 10–9 1 nW nur ein Verstoß gegen die einschlägi- Klammern neben das Größensymbol
Tabelle 8 Beschriftung von Tabellenköpfen und gen Normen, sondern auch gegen das zu schreiben. Leider ist diese Unsitte
Koordinatenachsen für große Wertebereiche Einheitengesetz. Ein solcher Index weit verbreitet, sie ist sogar in Manu-
(Vorsatzzeichen dürfen nicht getrennt verwen-
gehört stets an das Größensymbol, skripten einiger Hochschullehrer zu fin-
det werden!)
nicht an das Einheitensymbol. Als den. Wenn zusätzlich zur Größe die
Häufige Fehler Folge dieses Mißbrauchs werden Einheit angegeben werden soll, wird
Umrechnungen zwischen Einheiten die Form der zugeschnittenen Größen-
Bei der Durchsicht von Fachzeitschrif- angegeben, wenn Umrechnungen zwi- gleichung empfohlen.
ten, von technischen Dokumentationen schen Größen gemeint sind. Besonders
und von Vortragsmanuskripten sind im problematisch ist in dieser Hinsicht die Dr. Klaus H. Blankenburg
Umgang mit Größen, Einheiten und Pseudoeinheit Dezibel (dB); alle Pro-
PD 757.4524.12 ⋅ Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen ⋅ Nachdruck mit Quellenangabe und gegen Beleg gestattet ⋅ Änderungen vorbehalten
Gleichungen zahlreiche Verstöße bleme mit den verschiedenen Anwen-
LITERATUR
[1] Drath, P.: Leitfaden für den Gebrauch des Internationalen Einheiten-
systems. Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig
(1996).
[2] Sacklowski, A.; Röhrl, E.: Einheitenlexikon, Begriffe, Größen, Ein-
heiten in Physik und Technik unter Berücksichtigung des neuen
Einheitengesetzes. Deutsche Verlags-Anstalt, Stuttgart, 4. Auflage
(1973).
[3] Sacklowski, A. (bearbeitet von Drath, P.): Einheitenlexikon,
Entstehung, Anwendung, Erläuterung von Gesetz und Normen.
Beuth-Kommentare, Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Nor-
mung e.V., Beuth Verlag GmbH, Berlin, Köln, 1. Auflage (1986).
[4] DIN-Taschenbuch 22 (AEF-Taschenbuch 1): Einheiten und Begriffe
für physikalische Größen, Normen. Herausgeber: DIN Deutsches
Institut für Normung e.V., Beuth Verlag GmbH, Berlin (1990).
[5] DIN-Taschenbuch 202 (AEF-Taschenbuch 2): Formelzeichen, Formel-
satz, Mathematische Zeichen und Begriffe, Normen.
Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Normung e.V.,
Beuth Verlag GmbH, Berlin (1994).
[6] Garlichs, G.: Grundlegende Normung für die Elektrotechnik.
telekom praxis (8/93).
[7] DIN 1301-1: Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen (12/93).
[8] DIN 5493-2: Logarithmische Größen und Einheiten, Logarithmierte
Größenverhältnisse, Maße, Pegel in Neper und Dezibel (09/94).
[9] IEC 27-3: Letter symbols to be used in electrical technology,
Part 3: Logarithmic quantities and units (1989).
[10] CCIR Recommendation 574-3 (1990): Use of the decibel and the
neper in telecommunications.
[11] DIN 5493-2 B1: Logarithmische Größen und Einheiten, Logarith-
mierte Größenverhältnisse, Pegel, Hinweiszeichen auf Bezugs-
größen und Meßbedingungen (09/94).
[12] DIN 1313: Größen (12/98).
Faksimile des „Gesetzes, betreffend die elek-
trischen Maßeinheiten“, aus dem Jahr 1898
6 Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und GleichungenSie können auch lesen
