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Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form
Auszug aus:
Teilungsverhältnis von Flächen und Körpern
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Teilungsverhältnis von Flächen und Körpern Günther Weber, Brilon Illustrationen von Günther Weber Grafik Günther Weber Teilungsverhältnisse von Strecken und Flächen kennen die Schülerinnen und Schüler schon aus der Unter- und Mittelstufe (z. B.: die Seitenhalbierenden im Dreieck teilen sich im Verhältnis 2 : 1; die Diagonalen in der Raute halbieren die Fläche). Im Beitrag unter- suchen sie zwei sich schneidende Parabeln, die von den Parabeln eingeschlossenen Vier- eckflächen, in welchem Verhältnis die Flächeninhalte dieser Flächen stehen und ob eine Rotation dieser Flächen um die x-Achse Auswirkungen auf das Teilungsverhältnis hat. Zudem werden die Flächen durch eine Gerade unterteilt, sodass eine Extremalaufgabe bzw. eine Parameteraufgabe entsteht. Der Beitrag widmet sich somit der Wiederholung und Vertiefung verschiedener Verfahren der Flächen- und Volumenberechnung mittels Integration oder bekannter Formeln.
A.1.30
Teilungsverhältnis von Flächen und Körpern
Oberstufe (grundlegendes Niveau)
Günther Weber, Brilon
Illustrationen von Günther Weber
Hinweise1
Aufgaben3
Lösungen4
Die Schüler lernen:
Flächeninhalte von Vierecken und Flächeninhalte von Flächen, die von den Graphen
zweier Funktionen eingeschlossen sind, zu bestimmen und die Flächeninhalte ins Ver-
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hältnis zu setzen. Sie untersuchen auch, ob sich das Teilungsverhältnis ändert, wenn die
beiden Flächen um die x-Achse rotieren. Ebenso unterteilen sie die von den Graphen
zweier Funktionen eingeschlossene Fläche in zwei Teilflächen, sodass eine Teilfläche maxi-
mal bzw. die Fläche halbiert wird. Zur Bearbeitung der Aufgabenstellungen benutzen
und vertiefen die Schülerinnen und Schüler hierbei ihre Kenntnisse aus dem Bereich der
Differenzial- und Integralrechnung.
Die Schülerinnen und Schüler …
– ermitteln Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen,
– bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um
die Abszisse entstehen, mithilfe von bestimmten (und uneigentlichen) Integralen,
– führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen
einer Variablen zurück und lösen diese,
– bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem
Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“).
A.1.30
Überblick:
Legende der Abkürzungen:
Ab = Arbeitsblatt
Thema Material Methode
Aufgaben M1 Ab
Erklärung zu Differenzierungssymbolen
einfaches Niveau mittleres Niveau schwieriges Niveau
Dieses Symbol markiert Zusatzaufgaben.
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Kompetenzprofil:
Inhalt: Transformation/Entwicklung von Funktionen, Scheitelpunktform der
Parabel, Prozentrechnung, Flächeninhalt von Dreieck und Drachen,
Volumen von Kegel und Kegelstumpf, Fläche zwischen den Graphen
zweier Funktionen, Volumenberechnung Rotationskörper (bei Rotation
um die x-Achse), Extremwertaufgabe, zentrische Streckung, Parameter-
aufgabe, Integrale
Medien: GTR/CAS, GeoGebra
Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathe-
matisch lösen (K2), mathematische Darstellungen verwenden (K4),
kommunizieren (K6)A.1.30 Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Teilungsverhältnis 1 von 14
Hinweise
Lernvoraussetzungen:
Die Lernenden sollten Formeln zur Flächenberechnung (Dreieck, Raute) und zur Volumen-
berechnung (Kegel, Kegelstumpf) kennen. Ebenso sollten sie wissen, wie sich Spiegelung,
Verschiebung und Streckung/Stauchung des Graphen einer Funktion auf den Funktionsterm
auswirken. Den Lernenden ist bekannt, wie sie die Integralrechnung zur Flächenberechnung
der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen und bei der Volumenberechnung
von Rotationskörpern anwenden. Sie können bei einer Extremwertaufgabe die Extremal-
bedingung aufstellen und die Differenzialrechnung zur Lösung von Extremwertaufgaben
nutzen. Das Aufstellen und Lösen von Parameteraufgaben ist bekannt.
Lehrplanbezug:
Verschiebung und Spiegelung sind den Jugendlichen schon aus der Unterstufe, Flächen-
und Körperberechnungen aus der Mittelstufe bekannt. In der Oberstufe lernen sie, welche
Auswirkungen die Abbildungen auf den Funktionsterm haben. Weitere Kompetenz
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erwartungen an die Schülerinnen und Schüler sind unter anderem1:
Einsatz im Unterricht:
Liegt die Entwicklung von Funktionen längere Zeit zurück, so sollten Sie diese vor der
Bearbeitung von Aufgabe 1 im Unterrichtsgespräch wiederholen. Insbesondere wieder-
holen Sie Folgendes:
– Bei der Spiegelung des Graphen an der x-Achse wird der Funktionsterm der Funktion f
mit (–1) multipliziert.
– Der Graph der Funktion f wird in y-Richtung gestreckt oder gestaucht, indem der
Funktionsterm der Funktion f mit a ≠ 0 multipliziert wird.
– Der Graph der Funktion f wird um d Einheiten in Richtung der y-Achse verschoben,
indem d zum Funktionsterm addiert wird.
1
https://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/klp_SII/m/GOSt_Mathematik_Endfassung.pdf
(aufgerufen am 16.03.2021)
RAABE UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analysis Sek. II2 von 14 Teilungsverhältnis Ganzrationale Funktionen Rationale Funktionen A.1.30
Sollen die Jugendlichen bei Aufgabe 2b das Volumen der eingeschlossenen Fläche per
Hand berechnen, so geben Sie als Lehrkraft den Hinweis, dass es günstig ist, die Summen-
regel für Integrale anzuwenden und anschließend das Integral mithilfe der linearen Subs-
titution zu bestimmen. Die Summenregel für Integrale und das Verfahren der linearen
Substitution sollten Sie evtl. ebenfalls wiederholen.
Vor der Bearbeitung von Aufgabe 2c frischen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens
eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse auf. Das Volumen des Rotations-
körpers des Vierecks kann mithilfe der Integralrechnung oder mithilfe des Volumens
bekannter Körper berechnet werden. Führt man die Berechnung auf bekannte Körper-
volumina zurück, so sollten Sie (da evtl. einige Jugendlichen ein schwächeres räumliches
Vorstellungsvermögen haben) im Unterrichtsgespräch klären, aus welchen Körpern sich
der Rotationskörper zusammensetzt. Die Volumenformeln dieser Körper sollten wiederholt
werden. Die unterschiedlichen Lösungswege können dann zwei Gruppen bearbeiten. Die
Lösungen stellen sich die Gruppen anschließend gegenseitig vor.
Bei Aufgabe 3b kommen die Schülerinnen und Schüler sehr wahrscheinlich nicht auf
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den Lösungsweg mit der zentrischen Streckung. Gehen Sie auf diesen Lösungsweg im
Anschluss an die Bearbeitung der Aufgabe im Unterrichtsgespräch ein oder geben Sie
den Lösungsweg vor. Alternativ können Sie die Vorgabe des Lösungswegs als Differen-
zierung nach Schnelligkeit nutzen.
Bei Aufgabe 4 bietet es sich an, die Aufgabenstellung z. B. mithilfe von GeoGebra zu
veranschaulichen. Variiert man die Lage der Ursprungsgerade, so erhält man eine Vor-
stellung vom Definitionsbereich und der Lage der Schnittpunkte der Geraden mit den
Parabeln. Steht kein CAS zur Lösung zur Verfügung, so stellen die Jugendlichen nur die
Gleichung zur Bestimmung der Steigung m auf.
Differenzierung
Aufgabe 1 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b
Niveau
RAABE UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analysis Sek. IIUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form
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