Kapitalmarktmodelle - worauf kommt es dabei für Aktuare an? - B&W Deloitte - qx-Club
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Kapitalmarktmodelle - worauf
kommt es dabei für Aktuare an?
Vortrag im qx-Club
Düsseldorf, 06.02.2007
Gabriela Baumgartner
Dr. Michael Leitschkis
B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 2 B&W Deloitte
Einführung
Anwendungen stochastischer Modellierung
Stochastisches ALM – Risikosteuerung
Bewertung – EEV bzw. MCEV
Solvency II – Economic Capital
3 B&W DeloitteEinführung - Modellaufbau
Aktiva Passiva
Eigenkapital
Projektionsbeginn
Kapital- vers.techn.
anlagen Rück-
stellungen
Stochastisches
Kurse Nettoverzinsung Manage- Gesamt-
Kapital- Asset- verzinsung Liability-
markt- und Modell ment-
Modell
modell Zinsen Asset Allokation modell Cash Flows
Aktiva Passiva
Eigenkapital
Kapital-
vers.techn.
anlagen
Rück-
Projektionsende stellungen
und HGB GuV
4 B&W DeloitteEinführung: ESG-Anforderungen
Verwendbarkeit für ALM / MCEV / Solvency II
Verständlichkeit / Transparenz
Outputs für die „wichtigen“ Asset-Klassen
Erfassung verschiedener Marktentwicklungen
(z.B.: inverse Zinskurve)
Ansatz zur Cashflow-Bewertung
Numerische Effizienz
5 B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 6 B&W Deloitte
ESG-Eigenschaften
Arbitragefreiheit
Marktkonsistenz
Stochastische Bewertung der Cashflows
Real World vs. Risikoneutral
Mean Reversion
Normale vs. Lognormale Zinsmodelle
1-Faktor vs. N-Faktor
Konvergenzverhalten
7 B&W DeloitteArbitragefreiheit
Mehr Ertrag nur durch mehr Risiko („no free
lunch“)
Grundvoraussetzung für marktkonsistente
Bewertung
Bei ALM führt Arbitrage ggf. zu falschen
Entscheidungen
Beispiel: Optimale Aktienquote und
Risikotragfähigkeit
8 B&W DeloitteMarktkonsistenz
Korrektes Pricing der Kalibrierungsassets*
Start-Zinskurve: ESG-Input, nicht Output
Volatilitäten: implizit
Korrelationen?
Risikoprämien?
Mehr zu (*): Abschnitt „Kalibrierung“
9 B&W DeloitteCashflow-Bewertung mit Deflatoren
Hochrechnung
Heutige
Markt-
Preise
Deflatoren
B&W DeloitteBetrachte die Blaue Aktie…
Zeit 1
Fest-
3 Zustand
Zeit 0
1.65
Hunger-
1
Zustand
11 B&W Deloitte... und die Rote Aktie
Zeit 1
Fest-
2 Zustand
Zeit 0
1.00
Hunger-
0.5
Zustand
12 B&W Deloitte…und die dazugehörigen Deflatoren
Zeit 1
Fest-
0.7 Zustand
Zeit 0
1.00
Hunger-
1.2
Zustand
13 B&W DeloitteBewertung mit Deflatoren (allg.)
P = E[Dt Ct ]
14 B&W DeloitteBewertung unserer “Basis-Aktien”
Deflator * Deflator *
Szenario Blau Rot Deflator Cashflow Cashflow
Fest 3 1.5 0.7 2.1 1.40
Hunger 1 0.5 1.2 1.2 0.6
Erwartung 1.65 1.00
15 B&W DeloitteBewertung weiterer Titel
Risiko- Lila Deflator * Deflator *
Szenario Deflator Cashflow Cashflow
frei Aktie
Fest 1 1.5 0.7 0.7 1.05
Hunger 1 0.5 1.2 1.2 0.6
Erwartung 1 1 0.95 0.95 0.825
Diskont 5.13% 19.4%
16 B&W DeloitteVergleich: klassisch und modern
Klassisch:
P = E v Ct [ ]
t
Abhängigkeit zwischen
Diskontsatz
Fester Diskontsatz & Cashflow
P = E [Dt Ct ]
Modern:
Unabhängigkeit zwischen
Stochastischer Diskontsatz & Cashflow
Diskont - Deflator
17 B&W DeloitteRisikoneutrale Bewertung
Ein bei Banken populärer Ansatz
Spezielle Wahrscheinlichkeiten
Keine Risikoprämien
Diskontierung mit der (pfadabhängigen) Short Rate
18 B&W DeloitteReal-World vs. Risikoneutral
Real-World Risikoneutral
Marktkonsistent: J Marktkonsistent: J
Arbitragefrei: J Arbitragefrei: J
Leicht verständlich: J Leicht verständlich: N
Mehrwährungsfähig: J Mehrwährungsfähig: N
19 B&W DeloitteSpot, Forward and Short Rates
ln P( s, t )
Spot rate r ( s, t ) = −
t−s
∂
Forward rate f (s, t ) = − ln P(s, t )
∂t
Short rate r(s) = limr(s, t ) = lim f (s, t )
t ↓s t ↓s
20 B&W DeloitteAnsätze zur Zinsmodellierung
Short Rate-Modelle (z.B. Hull-White, CIR)
Forward – Modelle (HJM)
Marktmodelle (z.B. LIBOR Market)
21 B&W DeloitteEin paar Formeln…
Hull-White
„normal“
drt = σtdWt + α ( µt − rt )dt
CIR drt = σt rt dWt + α ( µt − rt )dt
BK
„lognormal“
dXt = σtdWt + α (µt − Xt )dt,
Xt = ln rt
22 B&W DeloitteMean Reversion
Bewegung der Zinssätze zu einem „mittleren“ Wert hin
in historischen Werten nachweisbar
in den Marktpreisen berücksichtigt
niedrige Zinsvolatilität für hohe Laufzeiten
23 B&W DeloitteMean Reversion: etwas Intuition…
Bei hohen Zinsen…
Schritt 5
• Niedrigere
Schritt 4 Zinsen
• weniger Investi-
Schritt 3 tionsbedarf
• weniger
Schritt 2 Produktion
• Weniger
Schritt 1 Investitionen
• Niedrigere
Kreditaufnahme
24 B&W DeloitteMean Reversion: etwas Intuition…
Bei niedrigen Zinsen…
Schritt 4
• höhere Zinsen
Schritt 3
• mehr
Schritt 2 Kapitalbedarf
• mehr Investitionen
Schritt 1
• höhere
Kreditaufnahme
25 B&W DeloitteNormale Modelle
Pro
„Closed Form“- Preise für Anleihen und Optionen
Einfachheit der Kalibrierung
Contra
Negative Zinsen möglich
26 B&W DeloitteCox-Ingersoll-Ross (CIR)
Pro
„Closed Form“- Preise für Anleihen
Contra
Schwer zu kalibrieren
27 B&W DeloitteLognormale Modelle
Pro
Implizit in Black‘s Cap&Floor-Formel
Contra
Keine „Closed Form“-Preise für Anleihen
Z.T. sehr hohe Zinssätze
28 B&W Deloitte1-Faktor-Modelle
Es wird eine Brownsche Bewegung verwendet
Pro
Verständlichkeit
Einfachheit der Kalibrierung
Contra
Perfekte Korrelation der Zinsen für alle Laufzeiten
29 B&W DeloitteN-Faktor-Modelle
Es werden 2 oder mehr Brownsche Bewegungen
verwendet
Pro
„Twists“ der Zinskurve modellierbar
Contra
Schwierigere Kalibrierung
30 B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 31 B&W Deloitte
Kalibrierung – Einleitung (1)
Input Bond-Preis
€100 Zinskurve t=0
Modell
Output €100 Zinskurve t=0
Bond-Preis
32 B&W DeloitteKalibrierung – Einleitung (2)
n )
e
Vo
i
Inputs - Startwerte äm
r
lati
Anf o p
ang sik
litä
s-Z i
in (R
nen
ten
sku ati o
rve l
n Korre
Generator
Outputs -Simulationen Dividenden
Aktienindices
Wechselkurse
ZCB Preise
Inflation
Spot Rates
u.s.w.
33 B&W DeloitteNominal-Zinskurve
Quelle (Bundesanleihen, Swaps, andere)
Eigenes Bondportfolio
Duration der Verpflichtungen
Verfügbare Bonds
Glattheit der gefitteten Zinskurve
Fit anderer Instrumente
34 B&W DeloitteB&W Deloitte
3 1/2% 08/04/11
3 1/4% 09/04/10
2 1/2% 08/10/10
3 1/4% 17/04/09
3 1/2% 09/10/09
Goodness of Fit to German Government Bonds
3% 11/04/08
3 1/2% 10/10/08
4 1/4% 15/02/08
4 1/2% 17/08/07
4% 16/02/07
3 1/4% 04/07/15
3 1/2% 04/01/16
4% 04/01/37
4 1/4% 04/07/14
3 3/4% 04/01/15
4 3/4% 04/07/34
4 1/4% 04/01/14
3 3/4% 04/07/13
5% 04/07/12
4 1/2% 04/01/13
5% 04/07/11
5% 04/01/12
5 3/8% 04/01/10
4% 04/07/09
4 1/2% 04/07/09
3 3/4% 04/01/09
ZERO 04/01/08
5 5/8% 04/01/28
5 1/4% 04/01/08
4 3/4% 04/07/28
4 3/4% 04/07/08
4 1/8% 04/07/08
6% 04/07/07
6% 04/01/07
6 1/2% 04/07/27
6 1/4% 04/01/24
6% 20/06/16
Beispiel
5 5/8% 20/09/16
1.00%
0.80%
0.60%
0.40%
0.20%
0.00%
-0.20%
-0.40%
-0.60%
-0.80%
-1.00%
% Pricing Error
35Volatilitäten
Verwende Finanzinstrumente, in deren Bewertung die
Volatilität eingeht
Beispiele:
Floor / Cap
Swaptions
Put / Call Optionen
Diese Instrumente können mit Black-Scholes- Formel
bewertet werden
36 B&W DeloitteZinsvolatilitäten – Swaptions (1)
Swaption: Recht, zu einem bestimmten Zeitpunkt einen
Zinsswap einzugehen
Bewertung mit Black-Formel:
p (t , n) = ( X N (− d 2 ) − F N (− d1 ) )
n
k =1
P(0, t + k )
F σ2 t: Optionslaufzeit
log + t
X 2 n: Swaplaufzeit
d1 =
σ t X: Strike
F: Forward Swap Rate
d 2 = d1 − σ t P(0,t+k): t+k-jahres ZCB Preis zur Zeit 0
37 B&W DeloitteZinsvolatilitäten – Swaptions (2)
Goodness of Fit
30
25
20
15
10
7 Option Term
5
4
3
2
!
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30
Swap Term
38 B&W DeloitteKorrelationen
Bestimmt aus historischen Zeitreihen
Beachte Konsistenz der Zeitreihen
Beispiel: 10 Jahre, wöchentliche Daten
39 B&W DeloitteRisikoprämien
Erwarteter Ertrag über dem risikofreien Zins
Beispiel: Risikoprämie auf Aktien-Return
Rolling Mean Equity Total Return in Excess of Risk Free return
3.50%
3.00%
2.50%
Mean Return
2.00%
1.50%
1.00%
Rolling Mean Equity Total
Return in Excess of Risk Free
0.50% return
0.00%
5 10 15 20
Holding Period (years)
40 B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 41 B&W Deloitte
1 = 1 - Test
Investiere EUR 100 in Aktien bzw. Anleihen
Berechne den Wert in N Jahren (für alle Pfade)
Bewerte jedes Ergebnis (abdiskontieren)
Bilde den Erwartungswert
Wie hoch sollte er sein?
EUR 100, unabhängig von künftigen
Entwicklungen!
42 B&W Deloitte1 = 1 = 1 – Test
Investment-Strategie A Investment-Strategie B
Starte mit €100 Ergebnis X Ergebnis Y
Diskontiere mit dem Deflator
43 B&W Deloitte1 = 1 = 1 - Test
Auch dieser Test soll EUR 100 ergeben
Härter als der 1=1 – Test
Investmentstrategien beliebig wählbar
ESG-Produzent kennt sie nicht
44 B&W DeloitteWeitere Test-Ansätze
Passen ESG-Outputs zu den Inputs?
z.B. Volatilitäten, Risikoprämien
Sind ESG-Outputs „plausibel“?
45 B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 46 B&W Deloitte
Varianzreduktion – warum?
Verhältnis simulierter ZCB Preis zu Input ZCB
Preis
1.2
1.1
Verhältnis
1
0.9
100
0.8 500
0.7 1000
5000
0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Laufzeit
Herausforderung: Kleine Anzahl Simulationen
aber genaue Schätzwerte für bekannte Grössen
47 B&W DeloitteAnsätze zur Varianzreduktion
Mehr Simulationen
Importance Sampling
Control Variates
Antithetische Variablen
Renormalisierung
48 B&W DeloitteAntithetische Variablen
Erzeuge gleichzeitig zwei Pfade
Z1, Z2, Z3,...
-Z1, -Z2, -Z3,...
F(
F(ZZ1, Z2, Z3,...)
F(-
F(-ZZ1, --Z
Z2, --Z
Z3,...)
49 B&W DeloitteWirkung Antithetischer Variablen
Spot Rates Illustrativ
4.8%
4.6%
4.4%
Spot Rate
4.2%
4.0%
3.8%
3.6% Initial
3.4% UnVar
Antithetisch
3.2%
3.0%
5 10 15 20
Laufzeit
50 B&W DeloitteRenormalisierung
Idee: Skalierung der Simulationen, um den
Sampling Error zu verringern
Wähle eine Zufallsvariable, für die der theoretische
Erwartungswert bekannt ist
Skaliere die Beobachtungen für alle Simulationen, s.d. der
beobachtete Durchschnitt gleich dem theoretischen
Erwartungswert
51 B&W DeloitteRenormalisierung
Beispiel:
Wir haben 100 Preise zu kalibrieren…
…und verwenden 100 Simulationen
Genau die Anzahl Simulationen, um die Preise zu fitten
Gibt das eine realistische Bewertung der Verpflichtungen?
52 B&W DeloitteWiederholung: 1 = 1 = 1 – Test
Investment-Strategie A Investment-Strategie B
Starte mit €100 Ergebnis X Ergebnis Y
Diskontiere mit dem Deflator
Weil a und b beliebig sind, kann dieser Test
nicht so einfach ausgetrickst werden!
53 B&W DeloitteWirkung der Renormalisierung
Spot Rates
Illustrativ
4.6%
4.4%
4.2%
Spot Rate
4.0%
3.8%
3.6% Initial
3.4% UnVar
Var
3.2%
3.0%
5 10 15 20
Laufzeit
54 B&W DeloitteEinfluß auf Return-Verteilung
Illustrativ
Histogramm des Aktienreturns
60
Verteilung nach
50 rechts verschoben!
40
Häufigkeit
30
20
10
0
-70% -45% -20% 5% 30% 55% 80%
Return
Non variance reduced Variance reduced
55 B&W DeloitteExkurs: Sharpe-Ratio
Definition:
µ −r
S= : Erwarteter Return
σ r : Risikofreier Return
Überrendite pro Einheit Risiko
Hoher (positiver) Wert: gute Wertentwicklung
im Vergleich zur risikolosen Anlage
56 B&W DeloitteRenormalisierung: Pro und Contra
Vorteile:
Simulationen erfüllen die Martingaltests
Simulationen passen zur Anfangs-Zinskurve
exakt
Nachteil: Verteilung von nicht-deflatierten Cashflows
kann beeinflusst werden
In der Regel verwendet für Bewertungen
Die negativen Effekte sind geringer falls MSR klein
57 B&W DeloitteVarianzreduktion: Fazit
Antithetische Variablen – stets zu empfehlen
Renormalisierung – gut bei Bewertungen
Bei Real World Simulationen – beachte MSR!
58 B&W DeloitteAgenda 1. Einführung 2. ESG-Eigenschaften 3. Grundzüge der Kalibrierung 4. ESG-Tests 5. Variance Reduction - Techniken 6. Ausblick 59 B&W Deloitte
Literaturangaben
M.Baxter, A.Rennie „Financial Calculus“
S.Jarvis, F.Southall, E.Varnell „Modern Valuation
Techniques“
J.Exley, S.Mehta, A.Smith „Mean Reversion“
60 B&W DeloitteDanke für Ihre Aufmerksamkeit!
Ihre Ansprechpartner:
0221 973 240
(B&W Deloitte in Köln)
0044 207 303 58 52
(Deloitte Capital Markets Group in London)
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