Kapitalmarktmodelle - worauf kommt es dabei für Aktuare an? - B&W Deloitte - qx-Club

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Kapitalmarktmodelle - worauf
kommt es dabei für Aktuare an?

                    Vortrag im qx-Club
                  Düsseldorf, 06.02.2007

Gabriela Baumgartner
Dr. Michael Leitschkis

                                           B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

2                                     B&W Deloitte
Einführung

Anwendungen stochastischer Modellierung

    Stochastisches ALM – Risikosteuerung

    Bewertung – EEV bzw. MCEV

    Solvency II – Economic Capital

3                                          B&W Deloitte
Einführung - Modellaufbau
                                             Aktiva         Passiva

                                                           Eigenkapital
              Projektionsbeginn
                                           Kapital-        vers.techn.
                                           anlagen           Rück-
                                                           stellungen

    Stochastisches
                   Kurse             Nettoverzinsung    Manage-     Gesamt-
       Kapital-             Asset-                                 verzinsung   Liability-
        markt-      und     Modell                       ment-
                                                                                 Modell
        modell     Zinsen            Asset Allokation   modell     Cash Flows

                                             Aktiva          Passiva

                                                           Eigenkapital
                                           Kapital-
                                                           vers.techn.
                                           anlagen
                                                             Rück-
              Projektionsende                              stellungen
                                                 und HGB GuV

4                                                                           B&W Deloitte
Einführung: ESG-Anforderungen

    Verwendbarkeit für ALM / MCEV / Solvency II
    Verständlichkeit / Transparenz
    Outputs für die „wichtigen“ Asset-Klassen
    Erfassung verschiedener Marktentwicklungen
    (z.B.: inverse Zinskurve)
    Ansatz zur Cashflow-Bewertung
    Numerische Effizienz

5                                               B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

6                                     B&W Deloitte
ESG-Eigenschaften

    Arbitragefreiheit
    Marktkonsistenz
    Stochastische Bewertung der Cashflows
    Real World vs. Risikoneutral
    Mean Reversion
    Normale vs. Lognormale Zinsmodelle
    1-Faktor vs. N-Faktor
    Konvergenzverhalten

7                                           B&W Deloitte
Arbitragefreiheit

    Mehr Ertrag nur durch mehr Risiko („no free
    lunch“)

    Grundvoraussetzung für marktkonsistente
    Bewertung

    Bei ALM führt Arbitrage ggf. zu falschen
    Entscheidungen
      Beispiel: Optimale Aktienquote und
      Risikotragfähigkeit

8                                              B&W Deloitte
Marktkonsistenz

    Korrektes Pricing der Kalibrierungsassets*
      Start-Zinskurve: ESG-Input, nicht Output
      Volatilitäten: implizit
      Korrelationen?
      Risikoprämien?

      Mehr zu (*): Abschnitt „Kalibrierung“

9                                                B&W Deloitte
Cashflow-Bewertung mit Deflatoren

              Hochrechnung

    Heutige
    Markt-
    Preise

                 Deflatoren

                              B&W Deloitte
Betrachte die Blaue Aktie…

                    Zeit 1
                              Fest-
                      3      Zustand
     Zeit 0

     1.65

                             Hunger-
                      1
                             Zustand

11                           B&W Deloitte
... und die Rote Aktie

                         Zeit 1

                                   Fest-
                           2      Zustand
     Zeit 0

      1.00

                                   Hunger-
                          0.5
                                   Zustand

12                                B&W Deloitte
…und die dazugehörigen Deflatoren

                    Zeit 1

                              Fest-
                     0.7     Zustand
     Zeit 0

      1.00

                             Hunger-
                     1.2
                             Zustand

13                           B&W Deloitte
Bewertung mit Deflatoren (allg.)

     P = E[Dt Ct ]
14                           B&W Deloitte
Bewertung unserer “Basis-Aktien”

                                         Deflator *   Deflator *
     Szenario    Blau   Rot   Deflator   Cashflow     Cashflow

       Fest       3     1.5     0.7        2.1         1.40
      Hunger      1     0.5     1.2        1.2          0.6

     Erwartung                            1.65         1.00

15                                            B&W Deloitte
Bewertung weiterer Titel

                 Risiko-   Lila               Deflator *   Deflator *
     Szenario                      Deflator   Cashflow     Cashflow
                  frei     Aktie
       Fest        1       1.5       0.7        0.7         1.05
      Hunger       1       0.5       1.2        1.2          0.6

     Erwartung     1        1       0.95       0.95        0.825

      Diskont                                 5.13% 19.4%

16                                                B&W Deloitte
Vergleich: klassisch und modern

     Klassisch:
                               P = E v Ct    [ ]
                                             t

                                                    Abhängigkeit zwischen
                                                         Diskontsatz
                        Fester Diskontsatz               & Cashflow

                   P = E [Dt Ct ]
     Modern:
                                                 Unabhängigkeit zwischen
                   Stochastischer                 Diskontsatz & Cashflow
                  Diskont - Deflator

17                                                        B&W Deloitte
Risikoneutrale Bewertung

Ein bei Banken populärer Ansatz
     Spezielle Wahrscheinlichkeiten
     Keine Risikoprämien
     Diskontierung mit der (pfadabhängigen) Short Rate

18                                            B&W Deloitte
Real-World vs. Risikoneutral

Real-World                    Risikoneutral

     Marktkonsistent: J         Marktkonsistent: J
     Arbitragefrei: J           Arbitragefrei: J
     Leicht verständlich: J     Leicht verständlich: N
     Mehrwährungsfähig: J       Mehrwährungsfähig: N

19                                            B&W Deloitte
Spot, Forward and Short Rates

                                   ln P( s, t )
     Spot rate      r ( s, t ) = −
                                      t−s

                                 ∂
     Forward rate   f (s, t ) = − ln P(s, t )
                                 ∂t

     Short rate     r(s) = limr(s, t ) = lim f (s, t )
                             t ↓s           t ↓s

20                                                 B&W Deloitte
Ansätze zur Zinsmodellierung

     Short Rate-Modelle (z.B. Hull-White, CIR)

     Forward – Modelle (HJM)

     Marktmodelle (z.B. LIBOR Market)

21                                               B&W Deloitte
Ein paar Formeln…

     Hull-White
     „normal“
                   drt = σtdWt + α ( µt − rt )dt

     CIR           drt = σt rt dWt + α ( µt − rt )dt

     BK
     „lognormal“
                   dXt = σtdWt + α (µt − Xt )dt,
                   Xt = ln rt
22                                       B&W Deloitte
Mean Reversion

     Bewegung der Zinssätze zu einem „mittleren“ Wert hin

     in historischen Werten nachweisbar

     in den Marktpreisen berücksichtigt
        niedrige Zinsvolatilität für hohe Laufzeiten

23                                                     B&W Deloitte
Mean Reversion: etwas Intuition…

     Bei hohen Zinsen…
                                                                              Schritt 5
                                                                              • Niedrigere
                                                         Schritt 4              Zinsen
                                                         • weniger Investi-
                                          Schritt 3        tionsbedarf
                                          • weniger
                        Schritt 2           Produktion
                        • Weniger
     Schritt 1            Investitionen
     • Niedrigere
       Kreditaufnahme

24                                                                            B&W Deloitte
Mean Reversion: etwas Intuition…

     Bei niedrigen Zinsen…
                                                                 Schritt 4

                                                                 • höhere Zinsen
                                               Schritt 3

                                               • mehr
                        Schritt 2                Kapitalbedarf
                        • mehr Investitionen
     Schritt 1

     • höhere
       Kreditaufnahme

25                                                                    B&W Deloitte
Normale Modelle

     Pro
           „Closed Form“- Preise für Anleihen und Optionen
           Einfachheit der Kalibrierung

     Contra
           Negative Zinsen möglich

26                                                 B&W Deloitte
Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

     Pro
           „Closed Form“- Preise für Anleihen

     Contra
           Schwer zu kalibrieren

27                                              B&W Deloitte
Lognormale Modelle

     Pro
           Implizit in Black‘s Cap&Floor-Formel

     Contra
           Keine „Closed Form“-Preise für Anleihen
           Z.T. sehr hohe Zinssätze

28                                                   B&W Deloitte
1-Faktor-Modelle

Es wird eine Brownsche Bewegung verwendet

     Pro
           Verständlichkeit
           Einfachheit der Kalibrierung

     Contra
           Perfekte Korrelation der Zinsen für alle Laufzeiten

29                                                    B&W Deloitte
N-Faktor-Modelle

Es werden 2 oder mehr Brownsche Bewegungen
verwendet

Pro
      „Twists“ der Zinskurve modellierbar

Contra
      Schwierigere Kalibrierung

30                                          B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

31                                    B&W Deloitte
Kalibrierung – Einleitung (1)

     Input        Bond-Preis

               €100           Zinskurve t=0

                Modell

      Output   €100           Zinskurve t=0

                      Bond-Preis

32                                            B&W Deloitte
Kalibrierung – Einleitung (2)
                                                                                n )
                                                                               e

                                               Vo
                                                                              i
     Inputs - Startwerte                                                    äm
                                                                          r

                                                  lati
                           Anf                                         o p
                              ang                                   sik

                                                       litä
                                  s-Z                              i
                                      in                         (R
                                                                                nen

                                                           ten
                                           sku                            ati o
                                              rve                       l
                                                 n               Korre

                                                   Generator

      Outputs -Simulationen           Dividenden
                                                             Aktienindices
                                Wechselkurse
                                                                                 ZCB Preise
                                                          Inflation
                                  Spot Rates
                                                                 u.s.w.

33                                                                                    B&W Deloitte
Nominal-Zinskurve

     Quelle (Bundesanleihen, Swaps, andere)
     Eigenes Bondportfolio
     Duration der Verpflichtungen
     Verfügbare Bonds
     Glattheit der gefitteten Zinskurve
     Fit anderer Instrumente

34                                            B&W Deloitte
B&W Deloitte
                                                                                                          3 1/2% 08/04/11
                                                                                                          3 1/4% 09/04/10
                                                                                                          2 1/2% 08/10/10
                                                                                                          3 1/4% 17/04/09
                                                                                                          3 1/2% 09/10/09

           Goodness of Fit to German Government Bonds
                                                                                                          3% 11/04/08
                                                                                                          3 1/2% 10/10/08
                                                                                                          4 1/4% 15/02/08
                                                                                                          4 1/2% 17/08/07
                                                                                                          4% 16/02/07
                                                                                                          3 1/4% 04/07/15
                                                                                                          3 1/2% 04/01/16
                                                                                                          4% 04/01/37
                                                                                                          4 1/4% 04/07/14
                                                                                                          3 3/4% 04/01/15
                                                                                                          4 3/4% 04/07/34
                                                                                                          4 1/4% 04/01/14
                                                                                                          3 3/4% 04/07/13
                                                                                                          5% 04/07/12
                                                                                                          4 1/2% 04/01/13
                                                                                                          5% 04/07/11
                                                                                                          5% 04/01/12
                                                                                                          5 3/8% 04/01/10
                                                                                                          4% 04/07/09
                                                                                                          4 1/2% 04/07/09
                                                                                                          3 3/4% 04/01/09
                                                                                                          ZERO 04/01/08
                                                                                                          5 5/8% 04/01/28
                                                                                                          5 1/4% 04/01/08
                                                                                                          4 3/4% 04/07/28
                                                                                                          4 3/4% 04/07/08
                                                                                                          4 1/8% 04/07/08
                                                                                                          6% 04/07/07
                                                                                                          6% 04/01/07
                                                                                                          6 1/2% 04/07/27
                                                                                                          6 1/4% 04/01/24
                                                                                                          6% 20/06/16
Beispiel

                                                                                                          5 5/8% 20/09/16
                                                        1.00%

                                                                0.80%

                                                                        0.60%

                                                                                0.40%

                                                                                        0.20%

                                                                                                0.00%

                                                                                                        -0.20%

                                                                                                                 -0.40%

                                                                                                                          -0.60%

                                                                                                                                   -0.80%

                                                                                                                                            -1.00%

                                                                            % Pricing Error
                                                                                                                                                             35
Volatilitäten

     Verwende Finanzinstrumente, in deren Bewertung die
     Volatilität eingeht
     Beispiele:
        Floor / Cap
        Swaptions
        Put / Call Optionen
     Diese Instrumente können mit Black-Scholes- Formel
     bewertet werden

36                                           B&W Deloitte
Zinsvolatilitäten – Swaptions (1)

     Swaption: Recht, zu einem bestimmten Zeitpunkt einen
     Zinsswap einzugehen
     Bewertung mit Black-Formel:

     p (t , n) = ( X N (− d 2 ) − F N (− d1 ) )
                                                       n
                                                       k =1
                                                              P(0, t + k )
                  F   σ2         t: Optionslaufzeit
              log   +    t
                  X   2          n: Swaplaufzeit
         d1 =
                  σ t            X: Strike
                                 F: Forward Swap Rate
         d 2 = d1 − σ t          P(0,t+k): t+k-jahres ZCB Preis zur Zeit 0

37                                                             B&W Deloitte
Zinsvolatilitäten – Swaptions (2)

                         Goodness of Fit

                                                                       30

                                                                       25

                                                                       20

                                                                       15

                                                                       10

                                                                       7 Option Term

                                                                       5

                                                                       4

                                                                       3

                                                                       2
                                                                                        !
                                                                       1
     1   2   3   4   5    6    7    8     9   10   15   20   25   30
                              Swap Term

38                                                                                     B&W Deloitte
Korrelationen

     Bestimmt aus historischen Zeitreihen

     Beachte Konsistenz der Zeitreihen

     Beispiel: 10 Jahre, wöchentliche Daten

39                                            B&W Deloitte
Risikoprämien

     Erwarteter Ertrag über dem risikofreien Zins
     Beispiel: Risikoprämie auf Aktien-Return

                                   Rolling Mean Equity Total Return in Excess of Risk Free return

                           3.50%

                           3.00%

                           2.50%
             Mean Return

                           2.00%

                           1.50%

                           1.00%
                                                                    Rolling Mean Equity Total
                                                                    Return in Excess of Risk Free
                           0.50%                                    return

                           0.00%
                                             5            10               15           20
                                                  Holding Period (years)

40                                                                                                  B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

41                                    B&W Deloitte
1 = 1 - Test

     Investiere EUR 100 in Aktien bzw. Anleihen
     Berechne den Wert in N Jahren (für alle Pfade)
     Bewerte jedes Ergebnis (abdiskontieren)
     Bilde den Erwartungswert

     Wie hoch sollte er sein?

               EUR 100, unabhängig von künftigen
               Entwicklungen!

42                                                B&W Deloitte
1 = 1 = 1 – Test

             Investment-Strategie A            Investment-Strategie B

     Starte mit €100            Ergebnis X                      Ergebnis Y

                            Diskontiere mit dem Deflator

43                                                             B&W Deloitte
1 = 1 = 1 - Test

     Auch dieser Test soll EUR 100 ergeben

     Härter als der 1=1 – Test
        Investmentstrategien beliebig wählbar
        ESG-Produzent kennt sie nicht

44                                              B&W Deloitte
Weitere Test-Ansätze

     Passen ESG-Outputs zu den Inputs?
        z.B. Volatilitäten, Risikoprämien

     Sind ESG-Outputs „plausibel“?

45                                          B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

46                                    B&W Deloitte
Varianzreduktion – warum?

                           Verhältnis simulierter ZCB Preis zu Input ZCB
                                                Preis

                     1.2

                     1.1
        Verhältnis

                      1

                     0.9
                                100
                     0.8        500
                     0.7       1000
                               5000
                     0.6
                           1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

                                                           Laufzeit

     Herausforderung: Kleine Anzahl Simulationen
     aber genaue Schätzwerte für bekannte Grössen

47                                                                                          B&W Deloitte
Ansätze zur Varianzreduktion

     Mehr Simulationen
     Importance Sampling
     Control Variates

     Antithetische Variablen
     Renormalisierung

48                             B&W Deloitte
Antithetische Variablen

     Erzeuge gleichzeitig zwei Pfade
        Z1, Z2, Z3,...
        -Z1, -Z2, -Z3,...
                                       F(
                                       F(ZZ1, Z2, Z3,...)

                                       F(-
                                       F(-ZZ1, --Z
                                                 Z2, --Z
                                                       Z3,...)

49                                          B&W Deloitte
Wirkung Antithetischer Variablen

                            Spot Rates                       Illustrativ
                 4.8%
                 4.6%
                 4.4%
     Spot Rate

                 4.2%
                 4.0%
                 3.8%
                 3.6%                         Initial
                 3.4%                         UnVar
                                              Antithetisch
                 3.2%
                 3.0%
                        5      10        15           20

                             Laufzeit

50                                                   B&W Deloitte
Renormalisierung

     Idee: Skalierung der Simulationen, um den
     Sampling Error zu verringern

        Wähle eine Zufallsvariable, für die der theoretische
        Erwartungswert bekannt ist
        Skaliere die Beobachtungen für alle Simulationen, s.d. der
        beobachtete Durchschnitt gleich dem theoretischen
        Erwartungswert

51                                                             B&W Deloitte
Renormalisierung

     Beispiel:
        Wir haben 100 Preise zu kalibrieren…
        …und verwenden 100 Simulationen
        Genau die Anzahl Simulationen, um die Preise zu fitten
        Gibt das eine realistische Bewertung der Verpflichtungen?

52                                                       B&W Deloitte
Wiederholung: 1 = 1 = 1 – Test

             Investment-Strategie A            Investment-Strategie B

     Starte mit €100            Ergebnis X                      Ergebnis Y

                            Diskontiere mit dem Deflator

             Weil a und b beliebig sind, kann dieser Test
             nicht so einfach ausgetrickst werden!

53                                                            B&W Deloitte
Wirkung der Renormalisierung

                            Spot Rates
                                                 Illustrativ
                 4.6%
                 4.4%
                 4.2%
     Spot Rate

                 4.0%
                 3.8%
                 3.6%                         Initial
                 3.4%                         UnVar
                                              Var
                 3.2%
                 3.0%
                        5      10        15        20

                             Laufzeit
54                                              B&W Deloitte
Einfluß auf Return-Verteilung

                                                                                       Illustrativ
                               Histogramm des Aktienreturns
                  60
                                                                      Verteilung nach
                  50                                                  rechts verschoben!
                  40
     Häufigkeit

                  30

                  20

                  10

                   0
                       -70%   -45%   -20%       5%          30%         55%      80%
                                                     Return
                                     Non variance reduced     Variance reduced

55                                                                                     B&W Deloitte
Exkurs: Sharpe-Ratio

     Definition:
                         µ −r
                      S=                       : Erwarteter Return
                          σ               r : Risikofreier Return

              Überrendite pro Einheit Risiko

     Hoher (positiver) Wert: gute Wertentwicklung
     im Vergleich zur risikolosen Anlage

56                                                            B&W Deloitte
Renormalisierung: Pro und Contra

     Vorteile:
         Simulationen erfüllen die Martingaltests
         Simulationen passen zur Anfangs-Zinskurve
         exakt
     Nachteil: Verteilung von nicht-deflatierten Cashflows
     kann beeinflusst werden
     In der Regel verwendet für Bewertungen
     Die negativen Effekte sind geringer falls MSR klein

57                                              B&W Deloitte
Varianzreduktion: Fazit

     Antithetische Variablen – stets zu empfehlen

     Renormalisierung – gut bei Bewertungen

     Bei Real World Simulationen – beachte MSR!

58                                             B&W Deloitte
Agenda

1.   Einführung
2.   ESG-Eigenschaften
3.   Grundzüge der Kalibrierung
4.   ESG-Tests
5.   Variance Reduction - Techniken
6.   Ausblick

59                                    B&W Deloitte
Literaturangaben

     M.Baxter, A.Rennie „Financial Calculus“

     S.Jarvis, F.Southall, E.Varnell „Modern Valuation
     Techniques“

     J.Exley, S.Mehta, A.Smith „Mean Reversion“

60                                              B&W Deloitte
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61                                                B&W Deloitte
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