Spiralkörper - Vergleich zwischen Theorie und Realität durch Modellierung mittels CAD Software

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

 Spiralkörper – Vergleich zwischen Theorie und Realität durch Modellierung mittels
 CAD Software

 Dominik Lehmert

Zusammenfassung. Thema der Diskussion im vorliegenden Beitrag ist die Frage, ob sich die Theorie über diverse
Spiraltypen auf in der Natur vorkommende Spiralkörper anwenden lässt. Im Speziellen werden Planspiralen anhand von
Ammonitenfossilien untersucht. Basierend auf den mathematischen Grundlagen zum goldenen Schnitt und zu
Fibonaccizahlen werden verschiedene Spiralkörper erstellt und fossile Exponate mit verschiedenen Computer Aided
Design (CAD) Techniken modelliert, um die Spiralung der Fossilien zu untersuchen und eine Verbindung zwischen Theorie
und Realität herzustellen. Es stellt sich heraus, dass im Reich der Mollusca überwiegend die logarithmische Spirale
formgebend für die Schalen ist. Die Parameter der Spiralform verändern sich im Lebensverlauf der untersuchten Exponate.
Daher eignet sich eine Approximation zusammengesetzt aus mehreren logarithmischen Spiralen besser als die
Approximation der Form durch nur eine Spirale. Diese Ergebnisse decken sich mit der einschlägigen Fachliteratur in der
Paläontologie.

Einleitung

Spiralen gehören zu den bekanntesten Kurven überhaupt. Begegnet man ihnen doch in vielen
Lebensbereichen wie Kunst, Technik, Natur und Mystik. Spiralen wurden mathematisch erstmals von René
Descartes (1596-1650) im 17. Jahrhundert beschrieben. Jakob Bernoulli (1654-1705) war so sehr von den
Spiralen beeindruckt, dass er verfügte auf seinem Grabstein die Worte „Eadem mutata resurgo“ (was so viel
bedeutet wie „Trotz Veränderung bleibt es dasselbe“) einzumeißeln. Mit diesen Worten bezog er sich auf
die Eigenschaft der logarithmischen Spirale unter geeigneter Drehstreckung in sich selbst überführbar zu
sein.
Auch der goldene Schnitt zählt zu den faszinierendsten Begriffen der Mathematik. Kaum jemand kann
behaupten ihm noch nie begegnet zu sein, hält er doch Einzug in die verschiedensten Gebiete. Neben der
Mathematik findet man den goldenen Schnitt häufig in der Architektur, Fotografie, Kunst, Kultur, Flora,
Fauna, Musik und selbst in der menschlichen Anatomie. Scott Olsen (2006) gibt dazu einen fundierten
Überblick. Wenngleich dieses Verhältnis von zumeist zwei Strecken nicht immer exakt auftritt scheint es
jedoch allgegenwärtig zu sein und wird als besonders elegant und schön angesehen. So ist es auch nicht
verwunderlich, dass der goldene Schnitt auch in der Theorie zu Spiralen eine wichtige Rolle spielt.
Der erste Teil des Beitrags beschäftigt sich mit den Grundlagen und Eigenschaften des goldenen Schnittes.
Dabei orientiert sich der Aufbau an Albert Beutelspacher und Bernhard Petri (1996). Dann wird eine Brücke
zwischen goldenem Schnitt und der berühmten Folge von Fibonacci geschlagen, um schlussendlich
aufbauend auf diese Vorarbeit einige Spiraltypen und deren Eigenschaften vorzustellen. Die theoretischen
Grundlagen zu Fibonaccifolgen orientieren sich hauptsächlich an den Ausführungen von Huberta Lausch
(2009) und Laurence Sigler (2002). Besonders interessant ist die Formel von Jacques Binet, die es erlaubt
jede Fibonaccizahl explizit anzugeben, ohne ihre Vorgänger kennen zu müssen.
Das Thema Spiralen ist sehr umfangreich, deshalb wurde eine Auswahl der wichtigsten Grundformen der
Planspiralen getroffen. Explizit werden die archimedische und logarithmische Spirale in ihren jeweiligen
Polarkoordinatenformen behandelt. Die Theorie zu Spiralen folgt Dörte Haftendorn (2017) und Claus Ortlieb
et al. (2009).
Der zweite Teil des Beitrags widmet sich zuerst kurz Spiralen in der Natur. Es werden Spiralen in der
Pflanzenwelt und Tierwelt angesprochen. Im Speziellen wird auf den Stamm der Mollusca bzw. im engeren
Sinne die Klasse der Ammonoidea eingegangen und Modelle zur Beschreibung der Schalen von diesen
vorgestellt. Pionierarbeit bei der Beschreibung der Gehäuseformen leistete David Raup (1966, 1967) mit

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Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

seinem logarithmischen Modell. Angelehnt an dieses wird das Gehäuse von Coroniceras rotiforme
(SOWERBY, 1824) konstruiert. Es werden mit Hilfe des CAD Programms MicroStation 19 einige Fossilien
rekonstruiert und diese Modelle auf Basis der erarbeiteten Theorie über Spiralen und den goldenen Schnitt
hin untersucht. Dabei ist vor allem interessant, ob das Wachstum von Ammonoidea gewissen Mustern folgt,
und ob auch hier der goldene Schnitt zum Vorschein kommt.

Der goldene Schnitt

Der goldene Schnitt lässt sich auf verschiedene Arten erklären. Die wohl bekannteste Art der Definition geht
auf den griechischen Mathematiker Euklid (365-300 v.Chr.) zurück. In seinem zweiten Buch der Elemente ist
Folgendes zu lesen:
 „Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und einem Abschnitt dem Quadrat
 über dem anderen Abschnitt gleich ist“ (Thaer, 1980, S. 41).

Zeitgemäßere Definitionen (Beutelspacher & Petri, 1996; Lausch, 2009) lauten wie folgt.

Definition 1. Sei eine Strecke. Ein Punkt auf der Strecke teilt im goldenen Schnitt, wenn gilt, dass
sich die größere Teilstrecke zur kleineren so verhält wie die Gesamtstrecke zur größeren Teilstrecke.

 Abb. 1: Geometrische Definition des goldenen Schnitts (nach Beutelspacher & Petri, 1996, S 15)

Offensichtlich gibt es zwei Punkte, die diese Definition erfüllen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen
wir an, dass der Teilungspunkt „näher“ beim Punkt liegt, wie es in Abbildung 1 dargestellt ist. Diese
Konvention erlaubt es Definition 1 wie folgt zu formulieren:

Definition 2 (Der goldene Schnitt). Der Punkt teilt im goldenen Schnitt genau dann, wenn:

 = (1)
 
Des Weiteren werden folgende Bezeichnungen festgelegt:

Die Länge der größeren Teilstrecke wird mit bezeichnet und heißt Major, die Länge der kürzeren
Teilstrecke wird mit bezeichnet und heißt Minor.
Nun lässt sich Gleichung (1) wie folgt umschreiben:

 + (2)
 =
 
Beutelspacher und Petri (1996) merken an, dass sich Gleichung (2) leicht zum mathematisch äquivalenten
Ausdruck zu Euklids Aufgabe aus dem Buch der Elemente umformen lässt:

 ( + ) = 2 (3)

19 https://www.bentley.com/de/products/brands/microstation

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Durch das Lösen dieser quadratischen Gleichung mittels pq-Formel (Lösungsformel für eine quadratische
Gleichung in der Normalform 2 + ∙ + = 0) erhalten wir für den goldenen Schnitt folgende Lösungen:

 1 ± √5 (4)
 =
 2

Da es sich bei und um Streckenlängen handelt, folgt daraus, dass beide nur positive Werte annehmen
 1+√5
können. Für das Verhältnis kommt nur die Lösung ≈ 1,618 für den numerischen Wert des goldenen
 2
Schnitts in Frage. Die Lösung enthält die irrationale Zahl √5, weshalb auch der numerische Wert des goldenen
Schnitts eine irrationale Zahl ist. In der Literatur wird der goldene Schnitt üblicherweise mit dem griechischen
Buchstaben Φ bezeichnet. Georg Glaeser (2014a) benennt die negative Lösung mit ϕ und gibt den
numerischen Wert mit ϕ ≈ −0,618 an.

Konstruktion
Über die Jahre wurde der goldene Schnitt auf verschiedenste Arten erfolgreich mittels Konstruktionen
geometrisch zugänglich gemacht. Sowohl Beutelspacher und Petri (1996) als auch Lausch (2009) stellen
mehrere dieser Konstruktionsmöglichkeiten vor, von denen zwei nachfolgend genauer betrachtet werden. Die
Konstruktionen werden in zwei Typen unterschieden: Bei Typ I ist eine Strecke gegeben. Gesucht ist ein
Teilungspunkt , sodass die Strecke im goldenen Schnitt geteilt wird. Bei Typ II ist eine Strecke 
gegeben. Gesucht ist ein Punkt , sodass der Punkt die Strecke im goldenen Schnitt teilt.
Konstruktion 1 (Konstruktion zum Typ I). Diese Konstruktion veranschaulicht eine Möglichkeit, um aus einer
gegebenen Strecke einen Teilungspunkt zu ermitteln, sodass die Strecke im goldenen Schnitt geteilt wird.
 
Gegeben ist eine Strecke . Das Lot mit der Länge wird über errichtet. Der Kreis mit Mittelpunkt 
 2
und Radius schneidet die Strecke in einem Punkt . Schlussendlich schneidet der Kreis mit Mittelpunkt
 und Radius die Strecke im Punkt (Abbildung 2).

 Abb. 2: Konstruktion Typ I für den goldenen Schnitt (nach Beutelspacher & Petri, 1996, S. 21)

Nun wird behauptet, dass der Punkt die Strecke im goldenen Schnitt teilt. Der Beweis für die Korrektheit
der Konstruktion findet sich bei Beutelspacher und Petri (1996).

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 Abb. 3: Konstruktion nach Odom und Van De Craats (nach Odom & van de Craats, 1986, S. 572)

Konstruktion 2 (Konstruktion zum Typ 2). Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck △ und dessen Umkreis.
Die Punkte und seien die Mittelpunkte der Dreiecksseiten und . Eine Gerade durch die Punkte 
und schneidet den Umkreis in den Punkten und . Dann teilt der Punkt die Strecke im goldenen
Schnitt (Abbildung 3).
Diese Konstruktion geht auf das Problem „E3007“ und die Lösung von George Odom und Jan van de Craats
(1986) zurück, welches von Beutelspacher und Petri (1996) sowie Lausch (2009) detailliert erörtert und
bewiesen wird.

Weil der Punkt der Mittelpunkt der Dreiecksseite ist, liefert der Strahlensatz (Glaeser, 2014a, S. 8), dass
die Strecke = = . Außerdem gilt = . Nun wenden wir den Sehnensatz (Agricola & Friedrich,
2015, S. 31-32) an, welcher besagt, dass die Produkte der Sehnenabschnitte zweier sich schneidender
Kreissehnen gleich sind.

 2 (5)
 = ⋅ = ⋅ = � + �

Damit folgt aufgrund der Eigenschaften des goldenen Schnitts (Beutelspacher & Petri, 1996, S. 18-20)

 2
 (6)
 � � = +1 ⇒ =Φ
 
Und damit folgt weiter, dass der Punkt die Strecke im goldenen Schnitt teilt.

Fibonaccifolgen

Erstmals wurde die Folge von Leonardo Pisano - besser bekannt als Fibonacci - in seinem Werk „Liber abaci“
beschrieben, wo er sie zur Berechnung der Nachkommenanzahl eines Kaninchenpaares im Laufe eines
Jahres formulierte (Siegler, 2002). Fibonacci bemerkte an dieser Stelle, dass man hierfür lediglich jeweils für

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das aktuelle Monat die Anzahl der Kaninchenpärchen der beiden vorangegangenen Monate addieren muss
und damit diese Folge unendlich fortgesetzt werden könne.
Die von Fibonacci implizit angenommenen Voraussetzungen werden in der Literatur (Lausch, 2009; Spilker,
2003) oft wie folgt formuliert. Dabei sei allerdings vorausgeschickt, dass sich die Fibonaccifolge natürlich nicht
als realistisches Wachstumsmodell verwenden lässt, wie gleich klar werden wird.
 • Anfangs existiert ein fortpflanzungsfähiges Kaninchenpaar
 • Monatlich setzt jedes fortpflanzungsfähige Kaninchenpaar ein weiteres fortpflanzungsfähiges
 Kaninchenpaar in die Welt
 • Jedes neugeborene Kaninchenpaar ist im darauffolgenden Monat geschlechtsreif
 • Kaninchen sind unsterblich, kein Kaninchen kann die Familie verlassen und kein fremdes Kaninchen
 wird adoptiert
Fibonacci beschäftigte sich nicht weiter mit dieser Zahlenfolge. Später formulierte Leonhard Euler (Glaeser,
2014a) eine rekursive Darstellung für die Kaninchenanzahl, welche in Definition 3 beschrieben wird. Dies
ermöglicht mit einer entsprechenden Folgenvorschrift die Berechnung eines jeden Folgengliedes, sofern die
beiden vorangehenden bekannt sind, was eine gewisse Unhandlichkeit darstellt. Erst Edouard Lucas studierte
im 19. Jahrhundert ihre Eigenschaften, verallgemeinert diese und benannte die ursprüngliche Folge nach
Fibonacci (Lausch, 2009).

Rekursionsformel und Formel von Binet
In diesem Kapitel betrachten wir zwei Möglichkeiten wie die Fibonaccifolge definiert werden kann und wie mit
diesen Definitionen die einzelnen Fibonaccizahlen berechnet werden können (Lausch, 2009).
Definition 3. Die Fibonaccifolge ist eine rekursiv definierte Folge in den natürlichen Zahlen ℕ mit der Vorschrift
 = −1 + −2 und den Startwerten 1 = 1 und 2 = 1.

Anmerkung 1. Oft wird die Rekursionsvorschrift auch in der Form +1 = + −1 angegeben. Alternativ
können für die Fibonaccifolge auch die Startwerte 0 = 0 und 1 = 1 gewählt werden. In diesem Fall wird die
Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen hinzugenommen (Lausch, 2009).
Da eine rein rekursive Definition für die schnelle Berechnung einzelner Fibonaccizahlen ungeeignet ist wäre
es wünschenswert, wenn man mittels einer Formel schnell beliebige Folgenglieder der Fibonaccifolge
berechnen kann. Diese findet sich in der Formel von Binet, welche sich leicht wie folgt verständlich machen
lässt (Beutelspacher & Petri, 1996; Lausch, 2009)
Um eine explizite Darstellung zur Berechnung der einzelnen Folgenglieder zu erhalten wird das
Wachstumsverhalten der Folgenglieder betrachtet. Da die Fibonaccifolge sehr stark anwächst, liegt die
Vermutung nahe, dass es sich um ein exponentielles Wachstum handeln könnte. Daher folgt als Ansatz

 = (7)

Dieser Ansatz wird in die Rekursionsgleichung aus Anmerkung 1 eingesetzt und man erhält

 +1 = + −1 (8)

Dies führt zu folgender charakteristischer Gleichung

 (9)
 2 − − 1 = 0

welche folgende beiden vertrauten Lösungen besitzt

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 1 ± √5 (10)
 λ1,2 =
 2

Es gilt für zwei Folgen und , welche die Rekursionsgleichung erfüllen, dass auch die Folge ≔ ∙ +
 ∙ die Rekursionsgleichung für beliebige komplexe Zahlen und erfüllt.
Mit gegebenen Anfangswerten 0 und 1 lassen sich die Koeffizienten und wie folgt berechnen
 0 = + 
 1 = ∙ λ1 + ∙ λ2
Im Fall der Fibonaccifolge erhält man
 0 = + 
 1 + √5 1 − √5
 1 = + 
 2 2
Somit folgt aus der ersten Gleichung = − und durch Einsetzen in die zweite Gleichung

 1 + √5 1 − √5
 1 = − ⇒ 1 = √5
 2 2
Mit diesen Überlegungen und dem goldenen Schnitt lässt sich nun die Formel von Binet als Satz wie folgt
formulieren (Lausch, 2009).
Satz 1. Für die Fibonaccizahl gilt
 
 1 1 + √5 1 − √5 − 
 = �� � −� � �=
 √5 2 2 √5

Den Beweis dieser Formel führt Lausch (2009) mittels vollständiger Induktion nach .
Beutelspacher und Petri (1996) erwähnen noch eine erstaunliche Eigenschaft der Formel von Binet. Für jedes
 ∈ ℕ heben sich die beiden irrationalen Terme so auf, dass das Ergebnis stets einem ganzzahligen Wert
entspricht.
Eine weitere interessante Eigenschaft im Zusammenspiel zwischen Fibonaccizahlen und dem goldenen
Schnitt wird in Satz 2 beschrieben.
Satz 2. Die Folge der Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen ist wie folgt definiert
 +1
 ≔
 
Die Folge ist konvergent und ihr Grenzwert ist .
Der ausführliche Beweis dieser Behauptung findet sich ebenfalls bei Lausch (2009). Rund um die
Fibonaccizahlen gibt es noch weitere Folgen mit ähnlichen Eigenschaften, wie die Padovanfolge (Stewart,
1996) oder die Verallgemeinerung in Form der Lucasfolgen (Lausch, 2009; Ribenboim, 2011).

Spiraltypen

Dieses Kapitel beleuchtet unterschiedliche Varianten eine Spirale zu definieren und streicht die Eigenschaften
der verschiedenen Spiralen hervor, um entscheiden zu können, welche Ansätze für die Konstruktion eines
Ammoniten in Kapitel CAD Konstruktionen in Frage kommen. Im Folgenden werden ebene Polarkoordinaten
zur Darstellung von Spiralen verwendet, wobei den Radius bezeichnet und θ den zugehörigen Winkel.

Archimedische Spirale
Die einfachste aller Spiralen ist die archimedische Spirale (Abbildung 4 links). Sie besitzt einen linearen
Verlauf, das heißt der Abstand zwischen den Spiralwindungen ist konstant (Haftendorn, 2017). Zum Beispiel

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entsteht eine archimedische Spirale beim Zusammenrollen eines Gartenschlauchs. Folgende Definition nach
Ortlieb et al. (2009) beschreibt die archimedische Spirale mathematisch.
Definition 4. Eine Kurve mit der Darstellung
 (θ) = ⋅ θ mit > 0
heißt archimedische Spirale.
Haftendorn (2017) beschreibt die archimedische Spirale derart, dass man sich einen Punkt vorstelle, der sich
auf einem Ursprungsstrahl mit konstanter Geschwindigkeit vom Pol wegbewegt, während der Ursprungsstrahl
sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht.

Logarithmische Spirale
Olsen (2006) beschreibt die logarithmische Spirale als die wohl interessanteste der verschiedenen
Spiralhaupttypen. Sie vergrößert den Abstand der Spiralwindungen mit wachsendem Radius. Außerdem
erscheint eine logarithmische Spirale gleich, egal ob sie aus großer Nähe oder großer Entfernung betrachtet
wird. Eine weitere Besonderheit ist, dass alle vom Ursprung ausgehenden Strahlen die Spirale unter
demselben Winkel ψ schneiden, weshalb sie auch gleichwinkelige Spirale genannt wird. In Abbildung 4 rechts
ist eine logarithmische Spirale in einem Polarkoordinatensystem dargestellt. Nachfolgend die Definition der
logarithmischen Spirale nach Glaeser (2014b) und Ortlieb et al. (2009).
Definition 5. Eine Kurve mit der Darstellung
 (θ) = ⋅ ⋅θ mit , ∈ ℝ
 1
heißt logarithmische Spirale. Die Konstante heißt Steigung der logarithmischen Spirale und ψ = tan−1 ist
 
der konstante Kurswinkel zwischen einem Ursprungsstrahl und der Kurve.
Anmerkung 2. Für den Fall = 0 ergibt sich ein Kreis, weshalb der Kreis einen Spezialfall der logarithmischen
Spirale darstellt.

 Abb. 4: Links die archimedische Spirale und rechts die logarithmische Spirale (nach Ortlieb et al., 2009, S. 43)

Goldene Spirale
Die goldene Spirale zählt zu den logarithmischen Spiralen und wird wie folgt in Polarkoordinaten definiert
(Beutelspacher & Petri, 1996).
Definition 6. Die Kurve mit der Darstellung
 2θ
 (θ) = Φ π
 2 ln Φ
heißt goldene Spirale und die Steigung entspricht = .
 π

Punkte auf einer goldenen Spirale lassen sich sehr einfach mit goldenen Rechtecken (Beutelspacher & Petri,
1996, S. 47) konstruieren. Wie in Abbildung 5 dargestellt passt sich die goldene Spirale nicht exakt in die

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goldenen Rechtecke ein, sondern schneidet die Seiten der goldenen Rechtecke zweimal in kleinen Winkeln
(Lausch, 2009). Durch Einzeichnen von Viertelkreisen in die goldenen Rechtecke kann eine sehr gute
Approximation der goldenen Spirale erreicht werden. Alternativ kann die goldene Spirale anstatt mit goldenen
Rechtecken auch mit Quadraten, deren Seitenlängen Fibonaccizahlen sind, nach demselben Prinzip
aufgebaut werden. Es wird mit zwei Quadraten begonnen, die die Seitenlänge 1 haben und dann wird ein
Quadrat mit Seitenlänge 2 ergänzt, dann mit Seitenlänge 3 und so weiter. In diese Quadrate werden dann für
die Spirale ebenfalls wieder Viertelkreise eingeschrieben, um die Spirale zu approximieren.

 2 
 Abb. 5: Die goldene Spirale ( ) = Φ und die zugehörigen goldenen Rechtecke. Die goldene Spirale schneidet die Seiten der
 goldenen Rechtecke zweimal in kleinem Winkel (nach Lausch, 2009, S. 137)

Spiralen in der Natur

Generell werden Spiralen in der Pflanzenwelt unter dem von Charles Bonnet in etwa um 1754 geprägten
Begriff Phyllotaxis subsumiert. Oft genannte Beispiele für Spiralen in der Pflanzenwelt sind die sogenannten
Parastichen. Dabei handelt es sich um deutlich erkennbare Spiralarme in den Blüten der Sonnenblumen. In
der Regel sind zwei Serien von gegenläufigen Parastichen erkennbar. Dabei handelt es sich bei der Anzahl
der Spiralarme pro Richtung nicht um beliebige Zahlen, sondern immer um zwei aufeinanderfolgende
Fibonaccizahlen. Generell gilt, dass viele Pflanzen ihre Blätter spiralförmig rund um den Stängel in einem
Abstand von 137,5°, welcher der Literatur als goldener Winkel Ψ definiert wird, anordnen, um für die
Photosynthese die größtmögliche Frischluft und Lichtausbeute zu erhalten. Dadurch überlappen sich
übereinanderliegende Blätter minimalst. Weiters finden sich Spiralformen in den Anordnungen der Samen von
Tannen- und Kiefernzapfen, sowie auf der Ananas und der Artischocke. Historisch gesehen wurden viele
Versuche unternommen, anhand von Messreihen an diversen Pflanzen, den goldenen Schnitt als Naturgesetz
zu verankern. Es bleibt festzuhalten, dass der goldene Schnitt zwar sehr oft in der Natur auftritt und sich als
ideales Verhältnis geradezu aufdrängt, jedoch nicht alle Regelmäßigkeiten der Pflanzenwelt diesem Verhältnis
exakt gehorchen. Dennoch stellt er in Kombination mit den Fibonaccizahlen ein solides Modell dar, um diverse
Simulationen einfach zu realisieren (Beutelspacher & Petri, 1996; Gardner, 1969; Olsen, 2006; Ortlieb et al.,
2009; Thompson, 1983).
Wie in der Pflanzenwelt finden sich Spiralen auch in vielen Bereichen der Tierwelt. Angefangen vom
aufgerollten Rüssel eines Elefanten, über den eingerollten Schwanz eines Chamäleons bis hin zu den
Behausungen der Schnecken. Im Zusammenhang mit Spiralen drängt sich vor allem ein Vertreter einer sehr
alten, längst ausgestorbenen Spezies auf. Die Ammonoidea bzw. ihre fossilen Überreste faszinierten bereits
in der Antike die Menschheit. Ihnen wurden ursprünglich magische und heilende Kräfte zugeschrieben. Bis
heute haben sich einige dieser mythischen Eigenschaften symbolisch gehalten. Auch die Faszination, welche
sich im Wesentlichen auf die scheinbar regelmäßige Spiralaufrollung und die über 350 Millionen Jahre
währende Entwicklung begründet, die die Ammonoidea sowohl auf Laien als auch Wissenschaftlerinnen und

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Wissenschaftler im gleiche Maße ausüben, ist bis heute ungebrochen. Helmut Keupp (2000) beleuchtet diese
einstigen „Herrscher der Weltmeere“ und versucht ihre wesentlichen Merkmale und stammesgeschichtlichen
Entwicklungen in puzzleartiger Kleinarbeit anhand der fossilen Überreste zu rekonstruieren.
Hierbei speziell für die Mathematik interessant ist die Spiralformung. Dabei gilt es zu klären, ob ein
allgemeingültiger Bauplan existiert und ob Modelle zur Simulation möglicher Gehäuseformen aus den fossilen
Überresten abgeleitet werden können.

Ammonoidea
Die moderne Taxonomie fußt auf dem von Carl von Linné (1758) publizierten Werk „Systema Naturae“. Dabei
wird für die grundlegende Beschreibung ein Set aus sieben Kategorien angegeben. Diese werden als
„Kategorien erster Ordnung“ bezeichnet. Für die moderne Biologie wurden noch „Kategorien zweiter Ordnung“
hinzugefügt, welche für die Beschreibung optional sind. Grundsätzlich gilt, dass jede Kategorie immer größer
als die darunterliegende ist und kleiner als die darüberliegende. Die sieben Kategorien erster Ordnung lauten
in absteigender Reihenfolge wie folgt: Reich, Stamm, Klasse, Ordnung, Familie, Gattung und Art (Müller,
1992).
Für die Nomenklatur der Ammonoidea gelten seit 1855 die „Internationalen Regeln der zoologischen
Nomenklatur“ verpflichtend. Jede Art wird mit zwei Worten bezeichnet. Das erste beschreibt die Gattung und
das zweite benennt die Art. Dabei muss der Gattungsname ein lateinisches oder latinisiertes Hauptwort sein.
Der Artname beginnt immer mit einem Kleinbuchstaben. Hinter dem Artnamen findet sich der
erstbeschreibende Autor und das Jahr der Erstbeschreibung. Sollte der Autor die Gattung nicht korrekt erkannt
haben wird er in Klammern angeführt. Ist der Artname unbekannt wird stattdessen das Kürzel „sp.“, welches
als Abkürzung für „species“ steht, an den Gattungsnamen angehängt (Müller, 1992).
Bei der Unterklasse der Ammonoidea handelt es sich um
 „Überwiegend planspiral aufgewundene, außenschalige Cephalopoden (Ectocochlia) mit randlich fixiertem, wenig
 differenziertem Sipho und wellig verbogener, zum Teil stark zerschlitzter Lobenlinie. Embryonalkammer eiförmig oder
 kugelig aufgetrieben, verkalkt.“ (Müller, 1994, S. 179).

Die Ammonoidea lebten vom oberen Silur bis zur oberen Kreide, sind heute ausgestorben und umfassten
mehr als 1500 Gattungen. Sie gehören zur Verwandtschaft der Tintenfische (Nautilida) und somit zur Klasse
der Kopffüßer (Cephalopoden). Fälschlicherweise werden die Ammonoidea oft als Schnecken bezeichnet,
welche allerdings zu den Bauchfüßern (Gastropoden) zählen. Keupp (2000) streicht hervor, dass bereits im
Aufbau beziehungsweise der Nutzung der Gehäuse Unterschiede zu erkennen sind. Schneckengehäuse
bilden sich überwiegend als Raumspiralen aus. Dabei wird das gesamte Gehäuse als Wohnkammer genutzt.
Die Gehäuse der Ammonoidea treten überwiegend in der Form von Planspiralen auf in denen immer nur der
vorderste Teil des Gehäuses als Wohnkammer genutzt wird.
Das Gehäuse der Ammonoidea wird in zwei Teile eingeteilt. Nämlich die vordere Wohnkammer und den
Phragmokon, welcher den gekammerten Teil bezeichnet. Diese Kammern werden durch sogenannte Septen
getrennt und stehen durch einen Gewebestrang (Sipho) untereinander bis zur Embryonalkammer
(Protoconch) in Verbindung. Beim Wachstum wird die Wohnkammer verlängert. Das Tier löst die Muskulatur
von der Schale und wandert ein Stück nach vorne. Hinter dem Tier bildet sich eine Flüssigkeitsansammlung,
die regelmäßig durch ein Septum abgegrenzt wird und eine neue Kammer des Phragmokons bildet. Die Schale
an sich besteht aus zwei dünnen Lagen und variiert von Art zu Art zwischen 0,20 und 2,20 Wandstärke.
Ein weiteres interessantes Detail ist die Lobenlinie (Sutur). Sie ist der äußere Rand der Septen entlang derer
diese mit der Gehäusewand verwachsen sind und ist charakteristisch für die unterschiedlichen Arten. Die
Grundstruktur der Lobenlinie ist im Allgemeinen wellig. Zur Mündung hin gekrümmte Abschnitte werden als
Sättel, von der Mündung weg gekrümmte als Loben bezeichnet. Unterschieden wird dabei in Prosutur, die
Lobenlinie der Embryonalkammer, Primärsutur, die erste typische Lobenlinie, und Sekundärsutur, welche
durch Vermehrung der Loben aus der Primärsutur entsteht (Birkelund, 1981; Müller, 1994).

Logarithmisches Modell von Raup
Um die Gehäuse der Conchifera (Zusammenfassung der Weichtiere mit einheitlicher oder zweigeteilter
Kalkschale (Lehmann, 1996)) zu beschreiben, war man bestrebt mathematische Modelle zu finden, die mit

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Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

möglichst wenigen Parametern allgemeingültige Formen erzeugen. D’Arcy Wentworth Thompson (1983) zieht
für die Beschreibung der Spiralen in der Natur hauptsächlich die logarithmische Spirale in Betracht, wobei er
betont, dass unterschieden werden muss, ob eine Spirale bedingt durch Form oder das Zusammenspiel von
Muskelkräften auftritt. Als Beispiel nennt er die spiralförmige Aufwicklung eines Elefantenrüssels, welche nicht
formbedingt ist. Hingegen treten Spiralen bei Formen immer dann auf, wenn es sich um „totes Material“, wie
beispielsweise bei den Gehäusen der Conchifera, handelt. Für diese Gehäuse gilt dabei, dass sie und das
enthaltene Lebewesen an Größe zunehmen, aber dabei ihre Form nicht ändern. Dieses Wachstumsgesetz
erfüllt dieselben Eigenschaften wie die logarithmische Spirale.
Raup (1966) beschreibt ein logarithmisches Modell in einem fixierten Koordinatensystem mit vier Parametern,
um mögliche Gehäuseformen zu simulieren. Sein Modell fußt dabei auf der zugrundeliegenden generierenden
Kurve mit der relativen Windungsbreite , welche dem Verhältnis aus Windungsbreite und Windungshöhe
entspricht, der Windungsexpansionsrate , welche dem Verhältnis aus größerem und kleinerem
Halbdurchmesser entspricht, der relativen Nabelweite , welche das Verhältnis aus Nabelweite und
Durchmesser ist, und der Translationsrate parallel zur Drehachse pro Umdrehung. Abbildung 6 zeigt eine
Realisierung des Modells von Raup und Abbildung 7 zeigt die vier nötigen Parameter.

Abb. 6: Das Modell von Raup anhand einer Windung mit einem Kreis S als generierende Kurve. Die Parameter W, T und D bestimmen
 die Form des entstehenden Gehäuses. S' ist die generierende Kurve nach einer vollen Windung (nach Raup, 1966, S. 1180)

Dieses Modell liefert eine sehr allgemeine Beschreibung der Spiralung und lässt sich daher für viele
verschiedene Conchifera anwenden. Für den Fall der Ammonoidea fällt der Parameter weg, da es sich
überwiegend um Planspiralen handelt (Raup, 1967). Diese allgemeine Anwendbarkeit führt jedoch dazu, dass
das Modell weniger genau den real existierenden Gehäusen entspricht und Fortsätze an den Schalen nicht
dargestellt werden können. Hauptsächlich wurde dieses Modell zur Simulation möglicher Gehäuseformen
eingesetzt, um dann zu überprüfen welche Formen sich unter den Conchifera tatsächlich ausgeprägt haben.

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Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

Abb. 7: Lineare Definitionsgrößen für das logarithmische Modell von Raup anhand eines Ammonitenquerschnitts (nach Raup, 1967, S.
 44)

Takashi Okamoto (1996) stellt verschiedene weitere Modelle vor und betont, dass die Ammonoidea im Laufe
ihres Lebens nicht einheitlich gewachsen sind. Es gibt immer wieder Änderungen in der Krümmung der
Spirale. Darum sollte Modellen zur Beschreibung der Gehäuse kein fixiertes Koordinatensystem zugrunde
gelegt werden, sondern ein begleitendes Koordinatensystem, wie es im „Growing-Tube-Model“ und im Modell
von Ackerly der Fall ist, eingesetzt werden. Dies ermöglicht es auf die wechselnden Wachstumsbedingungen
einzugehen. Dadurch zeigen die Modelle noch bessere Approximationen der real existierenden
Gehäuseformen.

CAD Konstruktionen

Dieses Kapitel widmet sich der Konstruktion von Ammonoidea unter der Verwendung der zuvor erlangten
Erkenntnissen über Spiralen. Zuerst wird ein geschnittener Ammonit der Gattung Cleoniceras sp. betrachtet,
um festzustellen, welcher der oben angeführten Spiraltypen sich für die Ammonoidea eignet. Anschließend
werden verschiedene Gehäuseformen auf Grundlage einer goldenen Spirale unter Variation des Profils in
Anlehnung an das logarithmische Modell von Raup modelliert. Im Kapitel Tragophylloceras loscombi
(SOWERBY, 1814) wird mittels Photogrammetrie ein detailliertes 3D-Modell aus vielen Ansichten des
Exponats erstellt. Dieses wird digital geschnitten, um den ungefähren Kurswinkel der Ammonitenspirale zu
ermitteln. Abschließend wird die Grundform eines Ammoniten über logarithmische Spiralen und ein Profil in
Anlehnung an das Modell von Raup anhand eines Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) modelliert.

Cleoniceras sp. – Spiralform mittels logarithmischer Spirale
Um zu verifizieren welcher Spiraltyp sich zur Beschreibung der Ammonoidea eignet, wird exemplarisch anhand
eines aufgeschnittenen Fossils der Gattung Cleoniceras sp. die sichtbare Spirale untersucht. Vorbereitend
wurde das Fossil mit 22 Festbrennweite aufgenommen und horizontal bzw. vertikal vermessen. Somit kann
das Bild als Referenz in MicroStation richtig platziert und skaliert werden, um es dem Bemaßungssystem
anzupassen.

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 Abb. 8: Bemaßung und Konstruktion der Spiralung von Cleoniceras sp. (Eigene Abbildung)

Um mit MicroStation eine logarithmische Spirale zu platzieren, benötigt man den Anfangs- und Endradius
sowie die Umdrehungen in Grad (Tool: Spiralkurve). Um diese Werte für den Ammoniten abzuschätzen wird
eine horizontale Linie auf der Höhe des geschätzten Ursprungs der Spirale platziert. Dann werden die beiden
benötigten Radien mit Kreisen approximiert. Da die Referenz an das MicroStation Bemaßungssystem
angepasst wurde, können die Radien direkt abgemessen werden (Abbildung 8 links oben). Im nächsten Schritt
wird die Spirale mit den ermittelten Radien platziert. Die Spiralung des Ammoniten passt im Inneren sehr gut
mit der logarithmischen Spirale zusammen. Weiter außen kommt es zu leichten Abweichungen (Abbildung 8
rechts oben). Um eine bessere Approximation der Ammonitenspiralung zu erreichen, bietet es sich an,
mehrere logarithmische Spiralabschnitte zu platzieren. Dazu werden weitere Kreise zum Abschätzen der
Radien nach jeder vollen Windung platziert (Abbildung 8 links unten). Mithilfe der abgeschätzten Radien
werden die logarithmischen Spiralabschnitte platziert (farblich gekennzeichnet). Die Approximation der
Ammonitenspiralung wird dadurch genauer. Noch bessere Ergebnisse würden sich mit einer weiteren
Verfeinerung der Zerlegung ergeben (Abbildung 8 rechts unten).
Exemplarisch wurde an Cleoniceras sp. gezeigt, dass die Spiralen der Ammonoidea am ehesten der
logarithmischen Spirale folgen. Dieses Ergebnis wird durch Keupp (2000) und Raup (1966) bestätigt. Es hat
sich auch gezeigt, dass sich bessere Ergebnisse erzielen lassen, wenn mehrere logarithmische Spiralen
verwendet werden. Dieses Ergebnis beruht darauf, dass die Ammonoidea in ihrem Leben verschiedene
Wachstumsphasen durchlaufen haben und sich die Krümmung der Schale von Phase zu Phase leicht
verändert. Diese Änderungen können sowohl abrupt als sogenannte „Knickpunkte“, als auch fließend
auftreten. Wenn Letzteres der Fall ist, sind die Änderungen nur schwer zu bestimmen (Birkelund ,1981; Bucher
et al. 1996). Außerdem streicht Okamoto (1996) hervor, dass die biologische Spiralkurve der Ammonoidea
nicht exakt mit der logarithmischen Spirale übereinstimmt. Trotzdem eignet sich die logarithmische Spirale im
Hinblick auf Einfachheit am besten zur grundlegenden Beschreibung der Ammonitenspiralung. Anhand der
ermittelten Radien und Definition 5 kann die Gleichung und der Kurswinkel, der in Abbildung 9 dargestellten
Spirale bestimmt werden.

 108

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

 Abb. 9: Der Kurswinkel lässt sich in MicroStation anhand der Konstruktion überprüfen, indem eine Tangente und ein Polstrahl
 eingezeichnet werden und der Winkel zwischen diesen beiden gemessen wird (Eigene Abbildung)

Beispiel 1. Mittels Kreisen wurde anhand der Referenz in MicroStation der Anfangs- und Endradius
 = 0,2065cm und = 5.3320cm bestimmt. Damit können mittels Definition 5 folgende beiden Gleichungen
aufgestellt werden.

 (11)
 0,2065 = a ⋅ ek⋅0

 (12)
 5,3320 = a ⋅ ek⋅7π

Aus Gleichung (11) folgt = 0,2065. Eingesetzt in Gleichung (12) folgt

 (13)
 5,3320 = 0,2065 ⋅ ek⋅7π

 (14)
 ln 5, 3320 = ln 0, 2065 + ln ek⋅7π

 ln 5, 3320 − ln 0, 2065 (15)
 k= = 0,1478
 7π

Somit folgt für die Gleichung der Spirale

 (θ) = 0,2065 ⋅ 0,1478⋅θ
 1
und ein Kurswinkel von ψ = tan−1 ≈ 81,5902°.
 0,1478

Ammonit prototypisch konstruiert mittels goldener Spirale
Der folgenden Konstruktion liegt die Frage zugrunde wie ein Ammonitengehäuse auf Grundlage der goldenen
Spirale aussehen würde. Um die Gehäuseoberflächen konstruieren zu können sind zwei spiralförmige
Leitkurven nötig. Entlang dieser Leitkurven wird das Profil des Gehäuses extrudiert. Die Abbildung 10 links
und rechts oben zeigen die Konstruktion dieser Leitkurven. Es wird je ein Kreis-, Ellipsen- und Freiformprofil
für die Gehäuseoberfläche verwendet und das Ergebnis in den Abbildungen 10 links und rechts unten bzw.
Abbildung 11 dargestellt.

 109

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

Abb. 10: Konstruktion der Leitkurven (approximierte goldene Spirale) und eines prototypischen Gehäuses mit einem Kreisprofil (Eigene
 Abbildung)

Für die Konstruktion der Gehäuseoberfläche werden zwei spiralförmige Leitkurven benötigt (rote Spirale für
bessere Erkennbarkeit in Abbildung 11 rechts oben verschoben. Eigentlich befinden sich die beiden Leitkurven
deckungsgleich in derselben Ebene). Die beiden Leitkurven werden an der horizontalen Spiralachse
(gestrichelte Linie) an beiden Enden auf dieselbe Länge getrimmt. Das Kreisprofil wird an den beiden inneren
Anfangspunkten der Leitkurven platziert. Mit dem Werkzeug „Oberfläche entlang Kurven bestrichen“ und der
Einstellung „Überstreichen eins mit zwei oder drei“ wird die Oberfläche erstellt. Das Loch in der Mitte an der
sich normalerweise das Protoconch befindet, wird durch Rotation des Kreisprofils mit dem Werkzeug
„Volumenelement aus Rotation“ aufgefüllt. Abschließend wird der Ammonit mit Material belegt und gerendert.

 Abb. 11: Konstruktion eines prototypischen Gehäuses mit einem Ellipsen- bzw. Freiformprofil entlang von goldenen Spiralen als
 Leitkurven (Eigene Abbildung)

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Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

Für die zweite Gehäuseoberfläche wird ein elliptisches Profil gewählt und an den Anfangspunkten der beiden
Leitkurven platziert. Anschließend wird, wie zuvor, die Oberfläche erzeugt. Das Ergebnis ist ein schlankeres
Gehäuse als beim Kreisprofil (Abbildung 11 rechts oben). Für die dritte Gehäuseoberfläche wird ein
Freiformprofil gewählt und an den Anfangspunkten der beiden Leitkurven platziert. Für die Erstellung des
Profils wurde das elliptische Profil dupliziert, die Steuerpunkte aktiviert und durch gezieltes Hinzufügen und
Verschieben der Punkte die Form angepasst. Diese Profilform stellt die realistischste Annahme dar. Die Kerbe
auf der rechten Seite des Profils führt zu einer Überlappung. Zusätzlich ist das Profil auf der linken Seite etwas
flacher als das elliptische Profil. Dieses Freiformprofil erzeugt eine schlanke Oberfläche, die sich innen ein
wenig selbst überlappt (Abbildung 11 rechts unten).
Es drängt sich sofort die Frage auf, ob sich die goldene Spirale auch bei realen Gehäusen finden lässt.
Exemplarisch wird im folgenden Kapitel Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) dahingehend unter-
sucht.

Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) – Analyse der Spirale
Die Erstbeschreibung dieser Art geht auf James Sowerby (1816) zurück (Die Unterschiede in den
Jahreszahlen der Nomenklaturen und Publikationen werden von Claude William Wright und Ronald James
Cleevely (1985) erörtert). Da die Exponate nicht beschädigt werden sollen und somit ein Querschnitt nicht
möglich ist, wird von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) mittels Photogrammetrie ein 3D Modell
erstellt. Diese Technik errechnet aus einer großen Anzahl von Fotos Punkte und stellt diese Punktwolke als
Mesh im dreidimensionalen Raum dar. So kann die Spiralung im Modell untersucht werden. Abbildung 12
oben links skizziert diesen Prozess und Abbildung 12 oben rechts zeigt das gerenderte Meshmodell. Um die
Spiralung des Ammoniten untersuchen zu können, wird das Profil extrahiert und Tangenten an der Profilkurve
berechnet. So kann der Kurswinkel der Spirale an mehreren Positionen ermittelt werden und der
durchschnittliche Kurswinkel der äußersten Spiralwindung bestimmt werden (Abbildung 12 unten und
Abbildung 13 oben).

 Abb. 12: Aus 99 Einzelbildern wurde vom Computer ein detailliertes 3D-Modell von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814)
 erstellt. Anschließend wurde daraus die Spiralform extrahiert (Eigene Abbildung)

Anhand des Kurswinkels kann die Spirale charakterisiert werden (Thompson, 1983). Konkret soll der
Kurswinkel von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) mit dem Kurswinkel der goldenen Spirale
verglichen werden. Die aus dem Modell ermittelten Winkel variieren von ψ = 74,36° bis ψ = 84,61°. Diese
große Spannweite von ≈ 10° lässt sich auf mehrere Faktoren zurückführen.

 111

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

 Abb. 13: Bestimmung des durchschnittlichen Kurswinkels aus dem extrahierten Profil (oben). Durch die lange Zeit im Gestein hat das
Fossil Beschädigungen davongetragen (unten links). Vergleich zwischen goldener Spirale (cyan) und der Spirale von Tragophylloceras
 loscombi (SOWERBY, 1814) mit dem ermittelten durchschnittlichen Kurswinkel (grau). (Eigene Abbildung)

 • Das Modell wurde als Meshmodell aus vielen kleinen Dreiecken aufgebaut. Dadurch bedingt ist der
 Querschnitt nicht „rund“, sondern aus vielen kleinen Streckenabschnitten zusammengesetzt. Um
 sinnvolle Tangenten ermitteln zu können wurde das Profil durch eine B-Spline Kurve geglättet. Je nach
 Ausrichtung der Dreiecke im Meshmodell haben sich mitunter variierende Steigungen ergeben.
 • Obwohl der Ammonit in gutem Zustand erhalten geblieben ist, ist die Oberfläche an einigen Stellen
 durch die lange Zeit im Gestein eingedellt (Abbildung 13 links unten linke rote Pfeile).
 • An manchen Stellen ist die Schale des Ammoniten komplett erhalten und an manchen Stellen tritt bereits
 der Steinkern ohne Schale zum Vorschein. Dies ist daran erkennbar, dass die Lobenlinien sichtbar sind
 (Abbildung 13 links unten rechter roter Pfeil).
Mit freiem Auge sieht die Spiralung von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) der goldenen Spirale
sehr ähnlich. Der mittlere Kurswinkel der äußersten Windung von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY,
1814) beträgt nach den obigen Ergebnissen ψ = 79,84°. Damit weicht der mittlere Kurswinkel um Δψ = 6,87°
vom Kurswinkel ψΦ = 72.97° der goldenen Spirale ab. Abbildung 13 rechts unten zeigt den Vergleich der Form
der beiden Spiralen.

Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) – Konstruktion des Gehäuses anhand einer Referenz
Für diese Konstruktion dient der Ammonit Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) als Referenz. Diese Art
wurde von James De Carle Sowerby (1825) als Ammonites rotiformis erstmals beschrieben. Um direkt in
MicroStation arbeiten zu können, werden Bilder des Ammoniten verwendet, eine Ansicht von oben als
Grundriss und eine Ansicht des Profils von der Seite im Aufriss. Durch Anpassung an das MicroStation
Maßsystem durch entsprechende Skalierung der Bilder muss nicht am Objekt direkt gemessen werden. Im
Grundriss wird ein Kreisraster erstellt und eine Strategie für die Konstruktion der nötigen Spiralen entworfen

 112

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

(Abbildung 14 oben). Im Aufriss wird anhand der Referenz das Profil modelliert und entlang der Achse nach
innen kopiert und mit der Grundrissreferenz skaliert. Im Grundriss ist zu erkennen, dass der Ammonit sich
beim Wachstum überlappte (Pfeil). Um den Verlauf der inneren Spirale bestimmen zu können, wird das
sichtbare Profil nachgebildet und schrittweise nach innen kopiert und skaliert. Dazu wird vereinfachend
angenommen, dass die Profilform zu Lebzeiten keiner großen Veränderung unterlag. (Abbildung 14 unten und
Abbildung 15 oben).

 Abb. 14: Grundriss und Aufriss von Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) wird in MicroStation platziert. Es wird im Grundriss ein
 Koordinatenraster erstellt und im Aufriss das Profil mittels B-Spline Kurven repliziert. Die obere Profilhälfte muss nach der Spiegelung
 angepasst werden (Pfeil links). Eine Beschädigung in der Schale wird für das Profil nicht berücksichtigt (Pfeil rechts). (Eigene
 Abbildung)

Mit den Leitkurven und Profilen wird angelehnt an das Modell von Raup die Schale in mehreren Teilen als
Fläche konstruiert (Abbildung 15 unten). An den Kontaktstellen überschneiden sich die Flächenstücke
geringfügig. Sie werden getrimmt und anschließend verschmolzen (Abbildung 16 oben und links unten).

Abb. 15: Profiltransformation von außen nach innen (links oben); Beschädigung des Fossils am Rücken (rechts oben); Konstruktion des
 ersten Schalensbschnitts (links unten); Löcher an den Kontaktstellen der einzelnen Abschnitte (rechts unten). (Eigene Abbildung)

 113

Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

Abb. 16: Überlappende Teile der Flächen werden getrimmt (oben), anschließend werden die Abschnitte verschmolzen (links unten) und
 abschließend wird die Fläche zu einem Volumen verdickt (rechts unten). (Eigene Abbildung)

Um das Modell fertigzustellen, wird der Protoconch durch einen Drehellipsoiden modelliert und das Exoskelett
zu einem Volumen verdickt (Abbildung 16 rechts unten). Die Abbildung 17 zeigt links die konstruierte Schale
und rechts ein originalgetreues Meshmodell des Fossils.

 Abb. 17: Links das vereinfachte Modell von Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) und rechts ein detailliertes
 Photogrammetriemodell. (Eigene Abbildung)

Zusammenfassung

Die Konstruktionen in Kapitel CAD Konstruktionen zeigen exemplarisch, dass sich von den zuvor betrachteten
Spiralen die logarithmische Spirale am besten zur Beschreibung der Wachstumsvorgänge der Conchifera
eignet. Diese Erkenntnis wird durch Raup (1966, 1967) bestätigt. Es sind jedoch auch die Grenzen dieses
Modells sehr gut erkennbar. In der Regel ist das Wachstum in der Natur nicht immer einheitlich. Wie bereits
erwähnt durchlaufen die Ammonoidea in ihrem Leben mehrere Wachstumsphasen mit unterschiedlichen
Wachstumsgeschwindigkeiten, die sich direkt auf die Form der Schale auswirken (Bucher, 1996). Um die
Genauigkeit zu erhöhen, wurden bei der Konstruktion von Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) die
Parameter durch das Profil für jede Windung neu definiert. Mit dieser einfachen Adaption wurde den

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Mathematik im Unterricht Band 11, 2020

unterschiedlichen Wachstumsphasen im juvenilen und adulten Stadium Rechnung getragen. Außerdem
kommt bei den vorliegenden fossilen Exponaten noch die Tatsache zum Tragen, dass durch die lange Zeit im
Gestein und dem Prozess der Fossilisation Beschädigungen der ursprünglichen Form aufgetreten sind. Das
lässt sich in den Abbildungen 13 links unten und Abbildung 14 rechts unten sehr gut erkennen. Der Zweck des
Modells von Raup ist es mögliche Ausprägungen für Schalen mittels Computersimulation zu erstellen. Die
Reduktion auf wenige Parameter, nämlich , , und , führt dabei zu einem breiten Anwendungsspektrum
auf Kosten der Genauigkeit. Für eine differenziertere Betrachtung der Schalen wurden komplexere Modelle
wie das „Growing-Tube-Model“ oder das Modell von Ackerly entwickelt (Okamoto, 1996).
Im Zuge der Konstruktionen wurden mehrere Spiralen untersucht. Beispielsweise von Cleoniceras sp. und
Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814). Dabei wurde festgestellt, dass die Kurswinkel der Spiralen
signifikant vom Kurswinkel der goldenen Spirale abweichen. Zwar stellt dies keinen Beweis dafür dar, dass
die goldene Spirale bei der Bildung von Planspiralen im Reich der Conchifera keine Rolle spielt, aber die
Vermutung darf zumindest aufgestellt werden. Keupp (2000) gibt für die Ammonoidea eine Spiralsteigung von
 1 = 0,05 bis 2 = 0,20 an. Kleinere Werte für bedingen eine stärkere Einrollung. Diese Steigungen
entsprechen einem Kurswinkelbereich von ψ1 = 87,14 bis ψ2 = 78,69. Da der Kurswinkel der goldenen Spirale
außerhalb dieses Intervalls liegt kann davon ausgegangen werden, dass die goldene Spirale bei der
Entstehung von planspiralen Ammonitengehäusen tatsächlich keine Rolle spielt.
Anmerkungen:
Der Beitrag stellt eine Zusammenfassung der Diplomarbeit des Autors dar, die im Jahr 2020 an der Universität
Salzburg eingereicht wurde.
Dieser Beitrag erscheint wortident mit freundlicher Genehmigung beider Herausgeber auch in den
Informationsblättern der Geometrie (IBDG) in der Ausgabe 2/2020.

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Adresse des Autors:
Mag. Dominik Lehmert
HTL Hallein
Davisstraße 5
5400 Hallein
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