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Algorithmen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Heute: Einführung in Algorithmen Dr. Marcel Klinger Lehrprobe zur Vorstellung an der Universität zu Köln Köln, 30. Oktober 2019
Wie zieht der Taschenrechner Wurzeln? § Was glauben Sie, was denken Schülerinnen und Schüler? Place your screenshot here Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 2
Wie zieht der Taschenrechner Wurzeln? § So denken Schülerinnen und Schüler: Gesamtschule Jüchen, Jüchen, Klasse 9, Erweiterungskurs Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 3
Historische Perspektive § Früher gab es Nachschlagewerke. § Gesucht z. B. ein Näherungswert für 7 , Nachschlagewerk von 1825 Quelle: Centnerschwer, J. J. (1825): Neu erfundene Multiplikations- und Quadrat-Tafeln. Berlin: Maurer. https://doi.org/10.3931/e-rara-60312 Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 4
Babylonisches Wurzelziehen § Etwa 1700 v. Chr. im Kontext von Flächenmessungen: § Man ermittle die Seitenlänge eines Quadrats vom Flächeninhalt . § Algebraisch ausgedrückt: § Problem: Bestimme die (positive) Quadratwurzel einer gegebenen (positiven) Zahl . § Als Gleichung: ! = (bzw. mit Wurzel-Notation: = ) § Z. B.: = 9, dann ist = 3, denn 3! = 9. § Aber für z. B. = 7 ist das nicht so einfach. § Idee: Nutze ein Rechteck und versuche dieses nach und nach zu einem Quadrat umzuwandeln. 7 1 7 Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 5
Babylonisches Wurzelziehen § Wie verwandelt man dieses Rechteck in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt? " = 7 " = 1 =7 § Idee: Ersetzt man ! durch den Mittelwert aus ! und ! , liegt dieser näher an ! . " + " 7+1 # = 4 # = = =4 2 2 # = 1,75 =7 7 # ⋅ # = ⇒ # = = = 1,75 # 4 § Das kann man nun wiederholen. ! = 2,875 # + # 4 + 1,75 5,75 ! = = = = 2,875 2 2 2 =7 7 56 ! = 2,434782 ! = = = ≈ 2,434782 ! 2,875 23 Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 6
Babylonisches Wurzelziehen § Allgemein: § Beginne bei " = . &! %'! ( § Wiederhole dann $%# = und $ = . ! &! # ( § Oder kurz: $%# = $ + ! &! § Hiermit kann man die Rechnung schnell fortsetzen: § ! = 4 § " = 2,875 § # = 2,6548913 § $ = 2,64576704 § % = 2,64575131 , § Aber wann hören wir auf? § Idee: Überprüfe die Qualität der Näherung. § 2,64575131 ⋅ 2,64575131 = 6,999999994 Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 7
Das Heron-Verfahren § Das babylonische Wurzelziehen bezeichnet man heute auch nach Heron von Alexandria als Heron-Verfahren. § Algorithmen stellt man gerade in der Informatik Phantasiedarstellung Herons (1. Jh. n. Chr.) in üblicherweise in sog. Pseudocode dar: einer deutschen Ausgabe der Pneumatika von 1688 1 HERON(a) 2 x = a ! = 3 WIEDERHOLE BIS |x*x-a|
Begriff des Algorithmus § Wie würden Sie den Begriff „Algorithmus“ mit eigenen Worten definieren? § Beginnen Sie gerne mit „Ein Algorithmus ist…“ 5 Minuten Ende Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019
Begriff des Algorithmus Definition (Algorithmus): Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen und besteht aus endlich vielen Einzelschritten. (vgl. Oldenburg 2012, S. 1 f.) § „eindeutig“: Es ist klar, was zu tun ist. Jeder Schritt ist eindeutig definiert und hinreichend präzise geschrieben. § „endlich viele“: Jeder Algorithmus muss mit endlich vielen Wörtern beschreibbar sein und entsprechend irgendwann enden. al-Chwarizmi (≈ 8. bis 9. Jh.), latinisiert Algorismi Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 10
Begriff des Algorithmus § Einen Algorithmus wie Heron( ) kann man sich wie eine Funktion vorstellen. § Genauer: Heron: ℝ% → ℝ% . Jedem Wert von wird eine Rückgabe eindeutig zugeordnet. § Es gilt: Heron ≈ 1 HERON(a) 2 x = a 3 WIEDERHOLE BIS |x*x-a|
7. Oktober 2019 12. September 2019 20. März 2019 1. Oktober 2019 Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 12
Algorithmen im Mathematikunterricht Kernlehrplan Realschule NRW Kernlehrplan Gymnasium NRW (Sek. I) Kernlehrplan Grundschule NRW Bildungsstandards für die Oberstufe Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 13
Algorithmen im Mathematikunterricht § Algorithmen und ihre Aspekte findet man an vielfältigen Stellen in der Schule. § Zwei Beispiele: Konstruktions- beschreibung in der Geometrie Termauswertung (hier Klammergebirge) Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 14
Wie zieht der Taschenrechner Wurzeln? § Tatsächlich nutzen die meisten Taschenrechner das Heron-Verfahren. § Für viele SuS (und wahrscheinlich auch viele Erwachsene) ist die Wurzel- Taste aber eine Black Box. ??? § Warum sollten SuS Ideen entwickeln, was sich dahinter verbirgt? § Nur so lässt sich wirklich ein Verständnis dafür entwickeln, was ein Näherungswert bedeutet. § Nur wenn man die grundsätzlichen Charakteristika von Algorithmen kennt, kann man die bei ihrer Verwendung auftretende Phänomene deuten und interpretieren. § Jemand, der algorithmisch denkt, kann die digitale Zukunft auch gestalten und nicht nur an ihr teilnehmen. Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 15
Ausblick § In der kommenden Woche beschäftigen wir uns mit… § wichtigen Grundelementen von Algorithmen § Schleifen § Verzweigungen (z. B. Wenn-Dann-Entscheidung) § der Umsetzung von Algorithmen in Programme anhand der Programmierumgebung „Scratch“ Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 16
Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Literatur: Oldenburg, R. (2012). Mathematische Algorithmen im Unterricht. Wiesbaden: Vieweg+Teubner. Dr. Marcel Klinger, 30.10.2019 17
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