I. EINFÜHRUNG Klinger - Elementargeometrie - WS 2019/20
←
→
Transkription von Seiteninhalten
Wenn Ihr Browser die Seite nicht korrekt rendert, bitte, lesen Sie den Inhalt der Seite unten
I. EINFÜHRUNG Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
1. Euklidische Geometrie Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
Die Ägypter erzeugen rechte Winkel • Hierzu kommt die sog. Zwölfknotenschnur zum Einsatz. • Spannt man sie im Verhältnis 4:3:5, ergibt sich ein rechter Winkel. • Satz des Pythagoras (Kapitel 8) – Im rechtwinkligen Dreieck gilt ! + ! = ! . – Es gilt aber auch die Umkehrung: Gilt ! + ! = ! , dann ist das Dreieck rechtwinklig. – Hier: 3! + 4! = 5! Pyramiden von Gizeh (etwa 2620 bis 2500 v. Chr.) Rolfcosar / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0 Petrus3743 / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:13-knot-rope.jpg 10 https://ch.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/satz-des-pythagoras-und-seine-umkehrung.html
Eupalinos gräbt den längsten Tunnel der Welt • Eupalinos von Megara ist Architekt des Tunnels von Samos (etwa zwischen 550 und 530 v. Chr.) • 1036 Meter (davon heute 150 Meter öffentlich begehbar) • Einer der ersten Tunnel im Gegenortvortrieb • Durchquert einen Berg als Wasserleitung • Herausforderungen beim Bau: – Gleiches Niveau der Eingänge – Aufeinander gerichtete Vortriebsrichtung • Ein wichtiger Trick: Kurz vor dem ungefähren Treffpunkt biegen beide Vortriebsrichtungen scharf nach Osten ab, womit ein Schnitt provoziert wird. Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Schönknecht, H.-J. (2017). Mythos – Wissenschaft – Philosophie. Baden-Baden: Tectum, S. 119 ff. 11 GrigorisKoulouriotis / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0
Alexandria Eratosthenes bestimmt den Erdumfang Eratosthenes von Kyrene (3. Jh. v. Chr.) Syene Er beobachtete die Mittagshöhe der Sonne von Alexandria und vom = 787,5 Kilometer weiter südlich gelegenen Syene (heute: Assuan). Während die Sonne in Syene bei Mittagshöhe im Zenith stand und einen Brunnenboden beleuchtete, warf der Obelisk in Alexandria einen Schatten im Winkel von = 7,14 Grad. Damit errechnete er den Erdumfang. Der Winkel kommt hier 787,5 (360°/ 7,14°) = zweimal vor, Dieser Betrag kommt dem da es sich um Stufenwinkel Erdumfang nach heutigen handelt Messungen (40075 ) sehr nahe. (Kapitel 5). Erzbischof / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0,2.5,2.0,1.0 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 12 Wikimedia Commons / Public Domain
Gauß vermisst Königreich Hannover Carl Friedrich Gauß (1777–1855) • Sog. Triangulation (Methode der Geodäsie) – Bestimme eine Referenzlänge (z. B. Strecke Hamburg – Hohenhorn). – Bestimme notwendige Winkel (z. B. mithilfe eines Sextanten). – Nutze den Kongruenzsatz WSW (Kapitel 6). Wikimedia Commons / Public Domain Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 13 Wikipedia / Schöpfungshöhe
Geometrie • Wörtlich etwa „Erdvermessung“ • Entstanden aus praktischen Anwendungen Bauen & Konstruieren Vermessen Pyramiden Tunnel Erdumfang Land von von messen vermessen Gizeh Samos unbekannt Eupalinos Eratosthenes Gauß 2620–2500 550–530 276–195 1777–1855 v. Chr. v. Chr. v. Chr. Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 14
Euklid von Alexandria • Euklid von Alexandria (altgriechisch Εὐκλείδης Eukleídēs, latinisiert Euclides) war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jh. v. Chr. in Alexandria gelebt hat. • Hat sich verdient um die Geometrie gemacht, aber auch die Arithmetik – und die Musiktheorie. • Über sein Leben ist wenig bekannt. • Manche vermuten sogar, dass es sich nicht um eine Person, sondern ein anonymes Kollektiv handelte. Darstellung Euklids, Oxford University Museum Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 15
Euklids „Elemente“ • Euklids Elemente oder Die Elemente (im Original Στοιχεῖα Stoicheia) • 3. Jh. v. Chr. Papyrusfragment der Elemente • Euklid fasst in ihnen die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammen und systematisiert diese. • Erstmals Aufbau einer exakten wissenschaftlichen Theorie in Definitionen, Axiomen, Sätzen, etc. • Nach der Bibel bis ins 19. Jh. hinein das meistverbreitetste Werk der Weltliteratur • 13 Bände Modernere Ausgabe der Elemente Wikimedia Commons / Public Domain Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Hzenilc/ Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0 16
Euklids „Elemente“ • Grundlegende Definitionen: – Ein Punkt ist, was keine Teile hat. – Eine Linie ist eine breitenlose Länge. – Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt. – … und einige weitere. • Definition von „parallel“ bzw. „Parallele“: – Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen. Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 17
Euklids „Elemente“ • Euklids Postulate (eigentlich nach heutigem Stand eher Axiome): Gefordert wird, – dass man von jedem Punkt zu jedem Punkt eine Strecke ziehen kann, – dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann, – dass man einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und Radius zeichnen kann, – dass alle rechten Winkel einander gleich sind, – dass es in der Ebene zu jeder Geraden und jedem nicht auf ihr liegenden Punkt eine Parallele zu dieser Geraden gibt, die durch den entsprechenden Punkt verläuft (sog. Parallelenpostulat). • Diese Postulate setzen drei Werkzeuge voraus: stux / Pixabay Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 stux / Pixabay 18
Konstruktion mit Zirkel und Lineal • Zirkel und Lineal (ohne Maße) sind die sog. Euklidischen Werkzeuge. • Sog. Euklidisches Konstruieren • Zugelassene Anwendungen: – das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene Punkte, – das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft und – das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie. • Beispiel: Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks (rechts) Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Teodomiro / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0 Aldoaldoz / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0 19
Konstruktion eines rechten Winkels " Konstruktionsbeschreibung: • Zeichne " ( " , ) mit " ∈ . • Zeichne ! ( ! , ) mit ! ! ∈ und " ! < 2 . " • Setze , = " ∩ ! . • Zeichne . ! • Setze = ∩ . • ∠ ! ist rechter Winkel Müssen beide Radien gleich sein? Nein! Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 20
Konstruktionsbeschreibung • Sollte alle zur Konstruktion umfassenden Schritte umfassen. • Wenn für einen Parameter (so wie eben ) keine Nebenbedingungen festgelegt sind, muss er beliebig sein. • Keine Ungenauigkeiten (z. B. „so groß, dass es passt“) • Das Resultat sollte aufgezeigt werden (z. B. „∠ ! ist rechter Winkel“) • Platz sparen durch mathematische Symbole (z. B. „ " ( " , )“) – Gleich mehr. • Die Konstruktion sollte eindeutig sein: – Schreibt man „Setze = ∩ “, muss gewährleistet sein, dass es auch genau einen Schnittpunt gibt. • Wiederholende Schritte können ausgelassen werden. – „Z. B. Wiederhole diese für Punkte , , “ oder „Für Punkte , , , analog“ – „Für alle Punkte unternehme Folgendes:“ und entsprechende Schritte deutlich eingerückt nachstehend kenntlich machen. • Erfordert / fördert algorithmisches Denken. Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 21
Liste mathematischer Symbole in Moodle • Anmerkungen – Wir trennen zwischen einer Strecke und ihrer Länge | |. – Winkel werden immer so angegeben, dass der Scheitelpunkt in der Mitte steht und die Reihenfolge der Punkte gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 22
Konstruktion des Lotes eines Punktes auf eine Gerade ! Konstruktionsbeschreibung: • Zeichne " , " , so dass | " ∩ | = 2. • Setze " , ! = " ∩ . • Zeichne ! ( " , ! ) mit # " ! > | " ! |. ! • Zeichne # ( ! , ! ). • Setze , = ! ∩ # . " • Zeichne ℎ mit , ∈ ℎ. " $ • Setze $ = ∩ ℎ. ! • ℎ ist Senkrechte von durch . • $ ist Lotfußpunkt von auf . ℎ • | $ | ist Lot von auf Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 23
Euklidischer Raum • Der Euklidische Raum ist der „Raum unserer Aschauung“. • Theoretisch sind beliebige Dimensionen möglich, z. B. der dreidimensionale Euklidische Raum: Die Geometrie (Personifikation) • Der zweidimensionale Euklidische Raum wird unterrichtet in der Euklidischen Geometrie. (Darstellung vom Beginn auch Euklidische Ebene genannt. des 14. Jahrhunderts) – Für sie gelten nach unserer allgemeinen Alltagserfahrung die Euklidischen Postulate. – Teilmenge des dreidimensionalen Euklidischen Raums – Sie ist unendlich groß, hat also keine Grenzen. Beispiele für „behelfsmäßige“ Euklidische Ebenen – Als Symbol nutzen wir . Sakurambo / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0-migrated Wikimedia Commons / Public Domain Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Acroman / Pixabay 24 Mocho / Pixabay
Nichteuklidische Geometrie • Z. B. sog. sphärische Geometrie: – Sphärische Geometrie bedeutet Geometrie auf der Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum. – Hier gelten z. T. ganz andere Gesetze. – Als Geraden definiert man hier sog. Großkreise, deren Mittelpunkt der Kugelmittelunkt ist. – Bei der Erde sind das z. B. der Äquator und die Meridiane (nicht aber die Breitenkreise). – Zwei Großkreise schneiden sich immer! – Hier gilt das Parallelenpostulat daher nicht! Wikimedia Commons / Public Domain Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 25
Abbildung Definition 1.1: Eine Abbildung ordnet jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element einer Zielmenge zu. Hierfür schreibt man auch : → mit ( ) = . ( )= ( )= Weiteres Beispiel: Funktionen wie in der Schule: ( ) = Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Anton / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0-migrated Jeremy Kemp / Wikimedia Commons / Public Domain 26
Abbildung Hier: Reduktion von 3D auf 2 D Die erste bekannte Fotografie (Nicéphore Niépce 1826, retuschierte Fassung) Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 27
Geometrische Abbildung Definition 1.2: Eine Abbildung : → der euklidischen Ebene auf sich Hier: selbst heißt geometrische Abbildung. von 2D auf 2 D Urbild der Abbildung Bild der Abbildung Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 TinaMatzinger / Pixabay 28
Sie können auch lesen
