Vierecke - Klinger - Elementargeometrie - WS 2019/20

8. Vierecke

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20

Klassifikation von Vierecken

 Rhombus /
 Raute
 (konvex)

 Quadrat
 (konvex)

 Rechteck
 (konvex) Trapez
 (konvex)

 Allgemeines
 Viereck
 Parallelogramm
 (konkav)
 (konvex)

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 202

Jedes Rechteck ist ein(e)
 …?
 a) Raute
 ingo b) Quadrat
 pingo.coactum.de/912664 c) Trapez
 d) Parallelogramm

 Echte Frage aus
 “Wer wird Millionär“
 (Sendung vom
 03.02.2003) Quelle: https://www.spiegel.de/panorama/jauchs-quizshow-falsche-frage-
 kandidatin-erhaelt-neue-chance-a-233590.html

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Jakob Gehrmann / Wikimedia Commons / CC-BY-4.0 203

…selbst der Duden ist nicht unfehlbar.

 Quelle: https://www.duden.de/rechtschreibung/Trapez, Stand: 17.09.2019

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 204

Vierecke

 Unterführung in Kent, England

 Rhombendach der Scherenstromabnehmer
 Marienkirche in Dortmund einer Eisenbahn

Drache
 Piet Mondrian, Komposition mit
 Rot, Gelb, Blau und Schwarz, Pantograph
 1921, Gemeentemuseum Den
 Haag Fluorit-Kristall
 Tholly / Wikimedia Commons / CC-BY-3.0; Simon Burchell / Wikimedia Commons /
 CC-BY-SA-4.0; Wikimedia Commons / Public Domain; Mbdortmund / Wikimedia
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Commons / GFDL-1.2; Robert Matthew Lavinsky / Wikimedia Commons / CC-BY- 205
 SA-3.0; Wikimedia Commons / CC0; Wikimedia Commons / Public Domain

Klassifikation von Vierecken

 • Konvex oder konkav?
 – konvex: Jede
 Verbindungsstrecke zweier
 Punkte des Vierecks liegt
 vollständig in der Figur konvex
 – konkav: Nicht jede
 Verbindungsstrecke zweier
 Punkte des Vierecks liegt
 vollständig in der Figur
 • Symmetrie? konkav
 (zwei Beispiele für
 • Seitenlängen? entsprechende
 Verbindungsstrecken)
 • Winkel?
 • Parallelität der Seiten?

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 206

Quadrat
 • Definieren Sie: „Quadrat“
 – Viereck mit vier rechten Winkeln?
 – Viereck mit vier gleich langen Seiten?
 – Viereck mit vier gleich großen Winkeln?
 – Viereck mit vier rechten Winkeln und gleich langen Seiten?

 • Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat? → 4
 – Es reicht vier Symmetrieachsen zu fordern als festlegende
 Eigenschaft:

Definition 8.1a (Quadrat):
Ein Viereck mit vier Symmetrieachsen heißt Quadrat.

Definition 8.1b (Quadrat, Schuldefinition):
 ⇔
Ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten
heißt Quadrat.
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 207

 
 Quadrat
• Beweis der Äquivalenz beider Definitionen:
 – Definition 8.1a ⇒ Definition 8.1b:
 • Gegeben ist also ein Viereck mit vier
 Symmetrieachsen.
 • 1. Fall: Symmetrieachse geht durch einen Eckpunkt.
 – Nach der Spiegelung müssen wieder
 gleich viele Eckpunkte auf beiden Seiten sein. 
 – ⇒ Symmetrieachse geht durch einen zweiten Eckpunkt.
 – Kann die Symmetrieachse durch zwei benachbarte Punkte laufen?
 – Nein, sonst ist Anzahl der Punkte auf beiden Seiten wieder falsch.
 • 2. Fall: Symmetrieachse geht durch keinen Eckpunkt.
 – Dann muss sie durch eine Seite gehen und zwei durch diese
 benachbarte Eckpunkte müssen aufeinander abgebildet werden.
 – Symmetrieachse muss Mittelsenkrechte der Seite sein.
 • Die vier Symmetrieachsen müssen also wie in der Skizze liegen.
 – Definition 8.1a ⇐ Definition 8.1b: q. e. d.
 → Übung
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 208

Rechteck und Raute
 • Was passiert, wenn man jeweils nur eine der Eigenschaften aus
 Definition 8.1b fordert?
 Definition 8.2 (Rechteck):
 Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck.

 Definition 8.3 (Raute):
 Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute
 bzw. Rhombus. Wohl berühmteste Raute

 • Welche Aussagen sind korrekt? Logo des
 Hamburger Sport-
 – Jedes Rechteck ist ein Quadrat. Vereins (Raute,
 die auch ein
 – Jede Raute ist ein Quadrat. Quadrat ist)

 – Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
 – Jedes Quadrat ist eine Raute.
 – Es gibt Rechtecke, die auch Rauten sind. Renault-Logo
 (echte Raute, die
 – Es gibt Rauten, die auch Rechtecke sind. kein Quadrat ist)

 Armin Linnartz / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0-DE
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain / Trademark 209
 Wikimedia Commons / Public Domain / Trademark

Parallelogramm
 • Reicht es auch bei einer Raute / Rhombus zu fordern, dass
 jeweils gegenüberliegende Seiten parallel sind?

 Definition 8.4 (Parallelogramm):
 Ein Viereck mit jeweils gegenüberliegend parallelen Seiten heißt
 Parallelogramm bzw. Rhomboid.

 • Suffix „-id“ / „-oid“
 – nachgestelltes Wortbildungselement mit der Bedeutung „ähnlich
 seiend“, „die Form von etwas habend“, „gemeinsame Merkmale
 aufweisend“, das Adjektive bildet.
 (nach https://de.wiktionary.org/wiki/-id)

 • Jede Raute / Rhombus ist ein Parallelogramm, aber nicht jedes
 Parallelogramm eine Raute.

 Logo der Deutschen Bank
 (Quadrat mit
 Parallelogramm, aber
 keine Raute)

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain / Trademark 210

Trapez
 • Was passiert, wenn man nur ein paralleles Seitenpaar fordert?

 Definition 8.5 (Trapez):
 Ein Viereck mit zwei gegenüberliegend parallelen Seiten heißt
 Trapez.

 • Spezialfall: Symmetrisches Trapez
 – Ein Trapez heißt symmetrisch, wenn es
 eine zu einer Seite senkrechte
 Beispiel: Mit der Powerpoint-Funktion
 Symmetrieachse besitzt. „Trapez“ lassen sich nur symmetrische
 Trapeze zeichnen.
 – Häufiger Irrglaube: Nur symmetrische
 Trapeze sind Trapeze.
 • auch gleichschenkliges Trapez

 Logo des
 Symmetrisches Nicht-symmetrisches Softwarekonzerns SAP
 Trapez Trapez (Trapez mit zwei rechten
 Winkeln)
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain / Trademark
 211

Drachenviereck
 • Definition 8.1: Ein Viereck mit vier Symmetrieachsen heißt Quadrat.
 • Was passiert, wenn man eine Diagonale als Symmetrieachse fordert?

 Definition 8.6 (Drachenviereck):
 Ein Viereck, bei dem eine der Diagonalen gleichzeitig
 Symmetrieachse ist, heißt Drachenviereck oder kurz Drachen.
 Konkaver Drachen

 Konvexer Drachen Eine Raute (und somit
 auch ein Quadrat) ist ein
 spezieller konvexer
 Drachen

 dimitrisvetsikas1969 / Pixabay

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
 sandid / Pixabay
 anarosadebastiani / Pixabay
 212

Klassifikation von Vierecken

 nach unserer
 Definition kein
 Drachen
„Haus der (konvexen) Vierecke“

 Gorski & Müller-Philipp (2014), S. 212
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Serlo.org / CC-BY-SA-4.0 213

Was sehen Sie hier?

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 214

„Pythagoras-Baum“

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
 Guillaume Jacquenot / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0,2.5,2.0,1.0
 Wikimedia Commons / Public Domain
 215

Satz des Pythagoras

 Werbeplakat der
 Firma Ritter Sport

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Produktwerbung Alfred Ritter GmbH & Co. KG 216

Satz des Pythagoras
 • Stellt Zusammenhang zwischen (rechtwinkligen)
 Dreiecken und Quadraten her:
 Satz 8.11 (Satz des Pythagoras):
 Gegeben sei ein Dreieck Δ . Dieses hat genau dann einen
 rechten Winkel bei , wenn für seine Seitenlängen
 " " "
 + = gilt.
 Hierbei heißt Hypotenuse und sowie Katheten.
 • „genau dann“: Es gelten also beide Richtungen.
 – Gelten die Längenverhältnisse bei einem 
 Dreieck entsprechend, kann man also folgern, 
 dass es einen rechten Winkel besitzen muss. 

 • Drei Zahlen, die die Bedingung ! + ! = !
 erfüllen, nennt man Pythagoreisches Tripel. 

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Hubi / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0-migrated 217

Rückblick: Die Ägypter erzeugen rechte Winkel

 32 + 42 = 52

 Zwölfknotenschnur

Pyramiden von Gizeh (etwa 2620 bis 2500 v. Chr.)
 Rolfcosar / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0
 Petrus3743 / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0

 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:13-knot-rope.jpg 218
 https://ch.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/satz-des-pythagoras-und-seine-umkehrung.html

 
 Satz des Pythagoras 
 
 • Beweis:
 – „⇒“ (aus rechtem Winkel folgt Gleichung): 
 • Wir zeichnen das rechtwinklige Dreieck 
 viermal und ordnen es zu einem großen
 
 Quadrat an.
 • In dem großen Quadrat bildet sich ein kleineres Quadrat mit
 Kantenlänge .
 • Flächeninhalt des großen Quadrats: + ! = ! + 2 + !
 • Flächeninhalt des kleinen Quadrats: !
 "
 • Flächeninhalt der vier Dreiecke: 4 ⋅ 
 !

 • Also: = −

 "
 • D. h.: ! = ! + 2 + ! − 4 ⋅ = ! + !
 !

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 219

Satz des Pythagoras

 – „⇐“ (aus Gleichung folgt rechter Winkel):
 • Wir setzen also voraus: Für das grüne Dreieck gilt
 ! + ! = ! .
 • Trick: Baue ein zweites (das braune) Dreieck. Dieses soll einen
 rechten Winkel haben und zwei Seitenlängen ( und ) sollen genau
 so lang sein.
 • Für das braune Dreieck gilt die Hinrichtung, d.h. es gilt ! + ! = %! .
 • Also gilt ! = ′! und somit = ′.
 • Nach dem Kongruenzsatz SSS müssen beide Dreiecke kongruent
 sein.
 =? ′
 • Also hat Δ 
 einen rechten 
 
 Winkel bei .

 ′ ′ ′

 q. e. d.
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 220

Satz des Pythagoras

• Das war einer der vielen existierenden Beweise des Satzes des Pythagoras.
• Allein die Website https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ listet über 120
 verschiedene Beweise.
• Einer der Beweise stammt sogar aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield
 (dem 20. Präsidenten der USA).
• Generell: Unterschiedliche Arten
 von Beweisen:
 – Algebraische Beweise
 – Flächenergänzungs- und
 -zerlegungsbeweise
 – Kongruenz- und
 Ähnlichkeitsbeweise
 – Abbildungsgeometrische
 Beweise
 James A. Garfield
 • Insbesondere Scherungsbeweise (20. Präsident der USA)

 – Mischformen
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 221

Satz des Pythagoras

• Garfields Beweis:
 – Kopiere Dreieck und füge beide mit einem
 gleichschenkligen Dreieck (der Schenkellänge )
 zu einem Trapez zusammen.
 – Flächeninhalt Trapez: 
 P1O 
 = ! ⋅ ( + ) 
 Garfields Beweis, S. 161
 (Allgemein: =
 !"#$%&'ä)*" +$,$''"'" -".&")
 ⋅ Höhe) des New England Journal
 /
 of Education, April 1, 1876
 – Es gilt aber auch: 
 " " "
 = ! + ! + ! !
 Aber warum
 – Gleichsetzen und Umformen 
 ergibt sich
 überhaupt ein
 liefert: Trapez?
 ! + ! = !
 Bei entsteht
 ein 180°-Winkel,
 da + = 90°

 q. e. d.
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 222

Satz des Pythagoras

 „Beweis“ mit Hilfe einer Flüssigkeit

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Hans Joachim Schlichting / hjschlichting.wordpress.com / Mit freundlicher Genehmigung 223

Rückblick: Kathetensatz

 • Scherungen sind auch in Beweisen nützlich.
 gruen1 = d(FB;A)*d(D;A)
 12,73 F
 FA
 B

 • Hier vor allem ihre Eigenschaft der Flächeninhaltstreue.
 gruen2 = d(A;FC)*d(A;E)
 12,73

 • Beispiel: Kathetensatz (aus der Satzgruppe des Pythagoras)

 Satz 4.4 (Kathetensatz): ziehen

 In einem rechtwinkligen Dreieck ist
 der Flächeninhalt C
 D g
 des Quadrates über einer Kathete
 gleich dem Flächeninhalt des
 B
 Rechtecks aus der Hypotenuse und A FC

 dem der Kathete anliegenden
 Hypotenusenabschnitt

 E

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 224

1) 2)
 Rückblick: Kathetensatz ziehen ziehen

 C C
 D g D g

• Beweis: A FC B A FC B

 – Schere das grüne Quadrat gruen1 = d(FB;A)*d(D;A)
 12,73 FB
 FA
 gruen1 = d(FB;A)*d(D;A)

 mit Scherachse so, dass
 FA
 12,73 FB gruen2 = d(A;FC)*d(A;E)
 gruen2 = d(A;FC)*d(A;E) 12,73
 12,73

 Punkt auf fällt (1–3). E E
 ziehen

 – Drehe das entstandene ziehen 3) 4)
 C

 blaue Parallelogramm um 
 C
 D g
 D g

 so, dass auf fällt (3–4). A FC B A FC B

 – Schere das blaue gruen1 = d(FB;A)*d(D;A)

 Parallelogramm mit
 FA
 12,73 FB
 gruen2 = d(A;FC)*d(A;E)
 12,73
 ziehen

 Scherachse so, dass E E

 auf 3 fällt (4–5). 5)
 Dieser Beweis
 C ist auch
 ein Beweis d
 D g es Satzes
 des Pythagora
 s. Die
 grünen und
 roten
 A FC B
 Flächen sind
 jeweils
 gleich. Die b
 eiden
 kleinen Qua
 drate
 gleichen also
 auch
 dem großen
 Quadrat.
 E
 q. e. d.
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Siehe auch: http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/pythagoras/bild37.gif 225

Satzgruppe des Pythagoras
 • Besteht aus drei Sätzen: 
 – Satz des Pythagoras
 (bei uns: Satz 8.11; bei Euklid: Elemente, Buch I,
 § 47 und Buch VI, § 31) 
 – Kathetensatz des Euklid ℎ 
 (bei uns: Satz 4.4; bei Euklid: Elemente,
 Buch I, § 47)
 
 – Höhensatz des Euklid 
 
 (folgt noch; bei Euklid: Elemente, Buch VI – § 8, 
 Buch II – § 14 (implizit))
 
 • Was wäre, wenn Δ , Δ und Δ ähnlich wären?
 Z +
 – ⇒ = ⇒ ℎ! = ⋅ (Höhensatz)
 + [
 Z P
 – ⇒ = ⇒ ! = ⋅ (Kathetensatz I)
 P 5
 [ O
 – ⇒ = ⇒ ! = ⋅ (Kathetensatz II)
 O 5
 – Aus dem Kathetensatz I/II folgt: ! + ! = + = + = !
 (algebraischer Beweis)

 • Allgemein: Jeder der drei Sätze kann aus jedem anderen hergeleitet
 werden. Man sagt, die Sätze sind äquivalent.
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 226

Satzgruppe des Pythagoras
 • Aber: Wieso sollten Δ , Δ und Δ ähnlich sein?
 – Zeige: Δ ist ähnlich zu Δ 
 • Beide haben rechten Winkel
 • Beide haben Winkel 
 • Beide haben dritten Winkel der Größe 180° − 90° − | |
 – Zeige: Δ ist ähnlich zu Δ 
 • Analog (für Winkel )
 
 – Es folgt: Δ ist ähnlich zu Δ .

 ′ ′
 
 ℎ
 
 q. e. d.
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 227

Satzgruppe des Pythagoras

 • Es fehlt noch ein genauerer Blick auf den Höhensatz:
 Satz 8.12 (Höhensatz):
 In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des
 Quadrates über der Höhe auf der Hypotenuse gleich dem
 Flächeninhalt des Rechtecks aus beiden entstehenden
 Hypotenusenabschnitten.

 • Wichtige Anwendung:
 – Man kann zu einem
 vorgegebenen Rechteck
 stets ein gleich großes
 Quadrat finden und
 umgekehrt.
 – Ähnliches funktioniert
 auch mit dem Kathetensatz.
 → Übung
Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 228

Satz des Pythagoras / Satzgruppe des Pythagoras
• Zurück zu den unterschiedlichen Arten
 von Beweisen:
 M E
 – Algebraische Beweise ⇒ = ⇒ " = ⋅ 
 E C
 N I
 ⇒ " + " = + = "
 ⇒ = ⇒ " = ⋅ 
 I C
 – Flächenergänzungs- und
 -zerlegungsbeweise

 – Kongruenz- und
 Ähnlichkeitsbeweise gruen1 = d(FB;A)*d(D;A)
 12,73

 gruen2 = d(A;FC)*d(A;E)
 12,73
 FB
 FA

 ziehen

 – Abbildungsgeometrische D
 C
 g

 Beweise A FC B

 • Insbesondere
 Scherungsbeweise E

 – Mischformen

 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Wikimedia Commons / Public Domain 229

Rückblick: Mittelpunkte im Dreieck

 • Umkreismittelpunkt T • Inkreismittelpunkt U
 – Gleicher Abstand – Gleicher Abstand
 zu allen Eckpunkten
 – Gleichzeitig
 zu allen Seiten

 c k !
 – Gleichzeitig Schnittpunkt der
 Schnittpunkt der

 e r e Winkelhalbierenden.
 Mittelsenkrechten.

 Vi
 • Schwerpunkt X
 im • Fermat-Punkt W

 e
 Dreiecks gleichmäßig zt
 – Tariert die „Masse“ des
 t
 – Minimiert den Gesamtabstand
 zu den Eckpunkten.
 aus.
 J
 – Gleichzeitig Schnittpunkt
 – Gleichzeitig Schnittpunkt der
 Umkreise von auf den Seiten
 der Seitenhalbierenden. errichteten gleichseitigen
 Dreiecken.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Tobias Klenze / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0 230

Schwerpunkt
• Beim Viereck muss man unterscheiden zwischen dem Flächenschwerpunkt
 WX und dem Massenschwerpunkt \X .
 – WX : Hier ist das Gewicht gleichmäßig über die gesamte Fläche verteilt.
 – \X : Hier sitzt das Gewicht ausschließlich aber gleichverteilt in den
 Eckpunkten.
• Beim Dreieck sind beide Punkte identisch und werden einheitlich als
 Schwerpunkt bezeichnet.

 LJ OJ

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 231

Flächenschwerpunkt
• WX kann man so konstruieren:
 – Zerlege das Viereck mit einer
 Diagonalen in zwei Dreiecke.
 – Bestimmte Schwerpunkte der
 Dreiecke.
 – Verbinde beide Schwerpunkte
 durch eine Gerade ℎ" .
 ℎ!
 – Wiederhole dies für die andere
 Diagonale. Erhalte so ℎ! . ℎ" LJ
 – Der Schnittpunkt beider
 Geraden ℎ" und ℎ! ist WX
• Beweisidee:
 – Zeige, dass die Geraden
 jeweils Schwerelinien der
 beiden Dreiecke sind, also auf
 beiden Hälften gleich viel
 Fläche verteilt ist.
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 Petrus3743 / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-4.0 232

Massenschwerpunkt
• \X kann man so konstruieren:
 – Verbinde jeweils die
 gegenüberliegenden Seitenmitten
 miteinander. Der Schnittpunkt
 beider Verbindungen ist \X .
• Beweisidee:
 – \X ist der Mittelwert aller vier
 Eckpunkte. ℎ!
 
 – In Koordinaten würde man ℎ" LJOJ
 "
 \

Inkreis und Umkreis
 • Wie sieht es mit dem Inkreis und dem Umkreis eines Vierecks aus?
 – Offenbar kann es sie nicht immer geben.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 234

Inkreis
 
• Welche Eigenschaften müssen für 
 ein Viereck gelten, damit es einen
 Inkreis besitzt? 
• Offenbar müssen die Viereckseiten
 Tangenten des Inkreises sein. 
• Die jeweils gleichfarbigen Strecken
 sind gleich lang. Wieso? 
 
 – Die Dreiecke Δ und Δ 
 sind kongruent, denn: 

 • die Strecken und 
 
 sind gleich lang,
 • haben jeweils einen rechten
 Winkel, • Die beiden Summen
 • teilen sich Strecke . gegenüberliegender Seiten sind
 • Jetzt: SSW gleich groß:
 – Andere Dreiecke analog – | | + | | = | | + | |

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 235

Inkreis

 Satz 8.7 (Inkreis eines Vierecks):
 Ein Viereck □ hat genau dann einen Inkreis, wenn die
 Summe der gegenüberliegenden Seitenlängen gleich groß ist,
 d. h. wenn | | + | | = | | + | | gilt.

 • Wir haben gerade die Hinrichtung „⇒“ gezeigt.
 – D. h.: Es hat einen Inkreis ⇒ Summe der gegenüberliegenden
 Seitenlängen ist gleich groß
 • Die andere Richtung („⇐“) lassen wir aus.
 • Welche bisher betrachteten Vierecke haben garantiert Inkreise?
 – Quadrate
 – Rauten

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 236

Umkreis

 • Welche Eigenschaften müssen für ein Viereck gelten, damit es einen
 Umkreis besitzt?
 • Rückblick (HÜ10):

 • Ihre Vermutung?

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 237

Exemplarische Antwort eines der Teams

 • Stimmt das? Ist noch mehr möglich? Vielleicht die Umkehrung?

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 238

Umkreis
 • Wir betrachten zunächst noch einmal Dreiecke:

 Satz 8.8a (Umfangswinkelsatz):
 Zeichnet man über der Sehne eines Kreises ein Dreieck, dessen
 dritte Ecke ebenfalls auf dem Kreis liegt, so ist der Winkel bei
 dieser Ecke stets gleich groß, unabhängig davon, wo diese auf
 dem Kreis positioniert wird (solange dies auf derselben Seite der
 Sehne geschieht).

 • Sehne hier: , dritte Ecke: 
 • Der Satz ist eine allgemeinere Form des Satzes des Thales
 – Wenn die Sehne ein Durchmesser
 ist, fallen beide Sätze zusammen
 und der genannte Winkel
 beträgt 90°.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 239

 
 Umkreis
• Beweis:
 – 1. Fall ( liegt im Dreieck Δ ):
 • Der Einfachheit halber bezeichnen wir 
 die entsprechenden Winkelgrößen mit
 den zugehörigen Farben.
 • Für Δ gilt: 
 
 2rot + 2grün + 2blau = 180° (IWS)
 • ⇒ 2blau = 180° − 2(rot + grün)
 • blau bleibt immer konstant, wenn auf
 der Kreislinie wandert.
 • Also ist auch rot + grün konstant.
 • Außerdem: Für Δ gilt: lila + 2blau = 180°
 • ⇒ lila = 180° − 2blau
 • ⇒ lila = 180° − (180° − 2 rot + grün ) = 2(rot + grün)
 – 2. Fall ( liegt außerhalb des Dreiecks Δ )
 • Ganz ähnlich, lassen wir aber aus. q. e. d.
 Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 240

Umkreis
 • Zur Bezeichnung des Umfangswinkelsatzes:

 Definition 8.9:
 Zeichnet man zu einer Sehne eines Kreises mit Mittelpunkt 
 einen dritten Punkt ∉ , heißt = ∠ Umfangswinkel und
 = ∠ Mittelpunktswinkel.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 241

Umkreis
 • Wir haben eigentlich gerade noch mehr gezeigt, als wir in Satz 8.8a
 festgehalten haben. Daher noch:
 Satz 8.8b (Umfangswinkelsatz):
 Gegeben sei ein Dreieck Δ sowie der zugehörige Umkreis.
 Dann bleibt ein Innenwinkel stets gleich groß, wenn man den
 zugehörigen Eckpunkt auf dem Kreis verschiebt, solange hierbei
 die gegenüberliegende Seite nicht übersprungen wird. Ein solcher
 Umfangswinkel ist stets halb so groß wie der zugehörige
 Mittelpunktswinkel.
 
 • Z. B. gilt für = ∠ und = ∠ :
 2 = 
 • Dies lässt sich sofort anhand
 der Gleichung 
 lila = ⋯ = 2 rot + grün
 des vorherigen Beweises erkennen. 

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20
 242
 

Umkreis

 • Was nützt uns das nun gewonnene Wissen in Bezug auf Vierecke?
 • Angenommen ein Viereck besitzt einen Umkreis und der Mittelpunkt 
 liegt im Viereck.
 
 • Zerlege das Viereck in zwei Dreiecke
 Δ und Δ .
 • Beide Dreiecke haben offenbar
 denselben (gemeinsamen) Umkreis.
 • Aufgrund des Umfangswinkelsatzes 
 gilt dann:
 – 2grün = lila
 – 2rot = gelb 
 
 – lila + gelb = 360°
 – ⇒ 2grün + 2rot = 360°
 • ⇒ grün + rot = 180° 
 • Die beiden gegenüberliegenden Winkel ergänzen sich also zu 180°.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 243

Umkreis

 • Ein Viereck, das einen Umfang besitzt, nennt man auch Sehnenviereck.

 Definition 8.10 (Sehnenviereck):
 Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich
 gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen.

 • Wir haben einen Teil davon bewiesen:
 – „⇒“: Haben wir z. T. bewiesen, aber was ist, wenn außerhalb des
 Vierecks liegt?

 – „⇐“: Haben wir nicht bewiesen.

Klinger – Elementargeometrie – WS 2019/20 244