Algorithmischen Geometrie - Grundz uge der

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Grundzüge der
Algorithmischen Geometrie
Stefan Schirra
Sommersemester 2019
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg

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                                 Organisatorisches

Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen:
  • Für insgesamt mindestens 50% der Übungsaufgaben vor dem ersten Übungstermin einer
    Übungswoche, genauer gesagt bis jeweils Dienstag 12:00 Uhr, über das E-Learning Portal
    votieren (also nicht erst in den Übungen) und
  • mindestens einmal erfolgreich in den Übungen vortragen.

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Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen (siehe oben) ist Voraussetzung für die Teilnahme
an der Klausur.

Leistungsnachweis:

  • erfolgreich an den Übungen teilnehmen (siehe oben) und
  • die Leistungsnachweisklausur nach dem aktuellen Semester oder deren Wiederholung nach
    dem darauffolgenden Semester bestehen.

Achtung: Wird keine dieser beiden Leistungsnachweisklausuren bestanden, so verfällt die er-
folgreiche Teilnahme an den Übungen. Für einen Leistungsnachweis sind dann die Kriterien der
nächsten Iteration der Vorlesung zu erbringen. Man kann also nicht beliebig oft Leistungsnach-
weisklausuren schreiben, ohne den Stoff nachweislich aufzufrischen.

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• Übungen finden 14-tägig statt.
• Hinweise zum Bearbeiten der Übungsaufgaben, Votieren und erfolgreichen Vortragen im
  E-Learning Portal

  beachten
• Vorlesung 3-stündig, Do 8-9, Fr 13-15.
• Pflichtveranstaltung im Bachelor Computervisualistik und im Profilstudium Computer
  Games im Bachelor Informatik

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      Geometrie
geo metron – Erdvermessung

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c openstreetmap.org

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                                     Algorithmik

                                                          alistik
                                              pu   tervisu
                                       k, Com
                              Informati
                                             dank
                                       o r it h m ik
                                   Alg
The calculus and the rich body of mathematical analysis to which it gave rise made modern
science possible; but it has been the algorithm that has made possible the modern world.
                                                                    –David Berlinski, The Advent of the Algorithm.

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      Effiziente Algorithmen

Ressourcenschonende Berechnungsverfahren

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                         Analysis of Algorithms

• Vorhersagbarkeit
• abhängig von Parameter, der Eingabegröße beschreibt
• plattformunabhängiges, vereinfachendes Rechner- und Kostenmodell:

                                     Real RAM
• Betrachtung des schlechtesten Falls (Ziel Performanzgarantie)
• asymptotische Analyse: O, Ω, Θ, o, ω

                            mit Vorsicht genießen“
                           ”

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Lineare Suche   Binäre Suche

    Θ(n)          Θ(log n)

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                       Was ist Algorithmische Geometrie?

  • Effiziente Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme
  • Komplexität geometrischer Probleme

Grundzüge der Algorithmischen Geometrie:                       • Punkte
                                                                • Strecken
  • abstrakte, niedrigdimensionale geometrische Probleme
                                                                • Geraden
  • kombinatorische Algorithmenanalyse
                                                                • Ebenen
  • Korrektheit der Algorithmen                                 • Halbräume
  • Geometrische Strukturen                                     • Polygone
  • Algorithmenentwurfsparadigmen                               • Kreise
                                                                • ...

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                            Anwendungsgebiete

• Geographic Information Systems      • Graph Drawing
• Computer Aided Design               • Computational Metrology
• Visual Computing                    • Computer Vision
• Virtual Reality                     • Machine Learning
• Computer Games                      • Computational Chemistry
• Robot Motion Planning               • Statistics

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                                   Point Location

Gegeben eine Unterteilung der Ebene in (polygonal begrenzte) Regionen und ein(e Menge von)
Anfragepunkt(en), bestimme für jeden Anfragepunkt die ihn enthaltende Region

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                               Surface Reconstruction

Gegeben eine Punktwolke, rekonstruiere ein die Originalfläche approximierendes Dreiecksnetz

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                                     Ray Tracing
Gegeben eine durch Dreiecksnetze modellierte Szene und ein Strahl, bestimme den ersten
Schnittpunkt des Strahls mit den Dreiecksnetzen

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                                 Collision Detection

Gegeben eine durch Dreiecksnetze modellierte Szene, gibt es Kollisionen zwischen den Objekten

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                                   Path Planning

Gegeben ein geometrisches Modell eines Roboters und seiner Umgebung, sowie eine Start- und
eine Zielkonfiguration des Roboters, bestimme einen geometrischen Pfad vom Start zum Ziel

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                                  Graph Drawing

Gegeben ein Graph (Node-Link-Diagramm, Netzwerk), bestimme eine möglichst kreuzungsfreie
Einbettung des Graphen

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                                    Shape Fitting

Bestimme das kleinste Objekt vorgegebenen Typs, das eine Menge gegebener Punkte enthält

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                                Molecular Modelling

Gegeben ein Kugelmodell eines Moleküls, bestimme seine Connolly Oberfläche

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Annotations

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                                Nearest Neighbors

Gegeben eine Menge P von n Punkten (in der Ebene), bestimme für jeden Punkt p ∈ P den zu
ihm nächstgelegenen Punkt NN(p) in P − {p}

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                                  Union of Disks

Gegeben eine Menge von Kreisscheiben in der Ebene, bestimme den Rand der Vereinigung der
Kreissscheiben

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                                  Ham Sandwich Cuts

Gegeben eine Menge R von roten Punkten und eine Menge B von blauen Punkten in der Ebene,
bestimme eine Gerade `, so dass in keinem der beiden offenen Halbräume, die durch die Gerade
begrenzt werden, mehr als die Hälfte der roten oder mehr als die Hälfte der blauen Punkte liegen
(` bisektiert die Punktmengen)

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                           Line Segment Intersection

Gegeben eine Menge von Strecken in der Ebene, bestimme alle Schnittpunkte der Strecken

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                                      Roundness

Gegeben eine Menge von Punkten, man bestimme den kleinsten Ring, der alle Punkte enthält

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                                      Convex Hull
Gegeben eine Menge geometrischer Objekte im Rd , man bestimme die konvexe Hülle der Objek-
te, d.h., die bezüglich Mengeninklusion kleinste konvexe Teilmenge des Rd , die alle gegebenen
geometrischen Objekte enthält

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                                    Triangulation

Gegeben eine endliche Punktmenge P in der Ebene, man bestimme eine Triangulation der Punkt-
menge(, die gewisse Eigenschaften besitzt)

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                                     Literaturhinweise

Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars.
Computational Geometry, Algorithms and Applications (3rd edition). Springer-Verlag, 2008.

Rolf Klein.
Algorithmische Geometrie (2. Auflage).
Springer-Verlag, 2005.

Satyan Devadoss, Joseph O’Rourke.
Discrete and Computational Geometry.
Princeton University Press, 2011.

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Grundlegendes zur Algorithmik und Algorithmenanalyse findet man im Buch Introduction to
Algorithms von Cormen, Leiserson, Rivest und Stein, insbesondere in den Kapiteln 1 bis 4.