Lineare Funktionen SKRIPT (14 Seiten) - Prof. Tegischer

Lineare Funktionen
 SKRIPT (14 Seiten)
 Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden
 Themenbereichen:
▪ Definition einer Linearen Funktion
▪ Darstellung einer Funktion
▪ Parameter k und d: Graphische und Rechnerische Bestimmung
▪ Zeichnen von Linearen Funktionen
▪ Eigenschaften einer Linearen Funktion
▪ Aufstellen von Linearen Funktionen - Spezialfälle
▪ Lineare Gleichungssysteme graphisch lösen

 Zusätzlich:
 Erklärvideos (gratis!) zur visuellen
 Veranschaulichung.
 -> QR-Codes im SKRIPT!

Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss
sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.

Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.

 YouTube-Playlist
 (PDF-Datei: KLICKEN!)

Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
folgendem Link: https://prof-tegischer.com/07-lineare-funktionen/

Einsatz des Materials
 ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“,
 Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
 ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
 mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
 ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
 wissen!!

Quellennachweis:
 ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
 ▪ Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
 erstellt.
 ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.

Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn
es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann. Ich würde
mich über ein Feedback dazu freuen!

Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht verwenden.

 Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an
 Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.

Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne
auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (lukastegischer5@gmx.at). Auf meiner
Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien.

Lineare Funktionen
 1. DEFINITION EINER LINEAREN FUNKTION

 Eine lineare Funktion ist eine reelle Funktion der Form
 ( ) = ∙ + ( , ∈ ℝ).

 „Linear“ bedeutet, dass die Variable eines Terms nur mit dem Exponenten 1 auftritt: 1 = Video 1/13

 Bsp. 1) Bestimme für die gegebenen Parameter k und d die entsprechende lineare Funktion der
 Form ( ) = + und berechne den angegebenen Funktionswert.
 2
a. = −4; = 9; (2) b. = 3; = 1; (−3) c. = ; = 2; (6)
 3

 Bsp. 2) Bestimme den Wert von k und d und berechne a.

a. ( ) = 2 + 1; (4) = b. ( ) = 4 + ; (0) = 3 c. ( ) = + ; (4) = 10

 BEMERKUNG :
 ▪ Homogene lineare Funktion ( = 0): Ist = 0, so spricht man von einer homogenen, linearen
 Funktion mit der Funktionsgleichung ( ) = .
 Die Funktion geht durch den Ursprung (0|0).
 ▪ Inhomogene lineare Funktion ( ≠ 0): „übliche“ lineare Funktion ( ) = + 

 Bsp. 3) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A und B auf dem Graphen von f liegen.

 a. = (−2|3), = (−1|1) ( ) = −2 + 3 b. = (0|−7), = (−1|2) : − + 3 = 7

 Bsp. 4) Bestimme drei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf dem Graphen von f.
 1
 a. ( ) = −5 + 6 b. ( ) = 
 3

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 1 von 14

DARSTELLUNGSARTEN EINER LINEAREN FUNKTION
 Hauptform Allgemeine Form

 ( ) = + : = + : + = 

 Bsp. 5) Wandle die Geradengleichungen in die Hauptform und in die allgemeine Form um.
 Video 2/13
 a. : = −2 + 2 b. : − 3 + = 9 c. : = −0,5 + 1

 2. GRAPHEN UND WERTETABELLEN VON LINEAREN FUNKTIONEN

 Der Graph einer linearen Funktion f mit ( ) = + ist immer eine Gerade.
 Video 3/13

Parameter d (Ordinatenabschnitt oder y-Abschnitt):
Der Parameter d ist der Funktionswert an der Stelle = 0:

 = ( )
Der Parameter d wird auch Ordinatenabschnitt (oder y-Abschnitt) genannt und
gibt den Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

Parameter k (Steigung)
Der Parameter k gibt die Steigung der linearen Funktion an. Die Steigung k
entspricht der Veränderung des Funktionswertes, wenn sich der x-Wert um +1
erhöht:
 ( + 1) = ( ) + 
Die Steigung k kann graphisch oder rechnerisch bestimmt werden.

 ▪ > : Der Graph von ist „steigend“.
 Je größer k ist, desto stärker steigt die Funktion (Graph ist steiler)
 ▪ < : Der Graph von ist „fallend“.
 Je kleiner k ist, desto stärker fällt die Funktion (Graph ist steiler)
 ▪ = : Der Graph von ist „konstant“ (keine Steigung)

 Sonderfall: Konstante Funktion
 Die konstante Funktion der Form ( ) = hat keine Steigung ( =
 0) und verläuft parallel zur x-Achse. Der Parameter d entspricht dabei
 dem Schnittpunkt auf der y-Achse.

 Konstante Funktion
 ( ) = 

 Video 4/13
 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 2 von 14

2.1 ZUSAMMENHANG : WERTETABELLE UND GRAPH (PARAMETER K ,D)
 Beispiel: ( ) = 2 + 3 = 2 = 3

 y-Abschnitt d (Ordinatenabschnitt): ( )
 Der Parameter d ist der Funktionswert an der Stelle -3 -3
 = 0. Aus der Wertetabelle kannst du den Wert -2 -1
 von für = 0 ablesen. -1 1
 0 3
 =3 1 5
 2 7
 3 9

 Rechnerische Bestimmung des Parameters d (gegeben: ( ) = 2 + )
 Setze ein Wertepaar aus der Wertetabelle ein, durch das die Funktion verläuft.
 Beispiel: (1|5) → = 1 ( ) = = 5
 5= 2∙1+ → =3

 Steigung k:

 ▪ Erhöht sich das Argument (der x-Wert) einer linearen Funktion um 1, so ändert sich der Funktionswert um k.
 ▪ Erhöht sich das Argument um 2, so ändert sich der Funktionswert um ∙ .

 ▪ Erhöht sich das Argument um n, so ändert sich der Funktionswert um ∙ .

 ( ) = − 

 -1 -5 +k/+2
 +1
 0 -3
 +1 +k/+2
 1 -1
 Am Graphen kannst du den
 Zusammenhang mit k an 2 1
 jedem Steigungsdreieck
 mit der Seitenlänge 1 +2 3 3 +2k/+4
 ablesen. 4 5

 Bsp. 6) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion aus der Wertetabelle.

 ( ) ( ) ( )
 0 12 5 -2 -4 1
 1 15 6 -3 -3 6
 2 18 7 -4 -2 11

 ( ) = ( ) = ( ) =

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 3 von 14

Bsp. 7) Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen einer linearen Funktion mit der angegebenen Steigung k.
 Bestimme die fehlende Koordinate.

a. = (2|3); = (3| ); = 2 b. = (2|3); = (4| ); = −1 c. = (0|3); = (3| ); = −2

 2.2 BESTIMMUNG DER STEIGUNG K
 1) Steigungsdreieck

 Der Wert der Steigung k einer linearen Funktion kann am Graphen aus jedem beliebigen
 Steigungsdreieck durch das Verhältnis von senkrechter zu waagrechter Seite ermittelt werden.

 öℎ ℎ ∆ 2 − 1
 = = = Video 5/13
 ä ℎ ∆ 2 − 1
 ∆ … Länge der Kathete (inkl. Vorzeichen!)
 ∆ … Länge der Kathete

 ∆ 1 2
 = = =
 ∆ 2 4
 1
 =
 2

 MERKE: Es kursiert bei einem Steigungsdreieck oft die Vermutung:
 „ 1 ℎ ℎ ℎ , “
 ∆ ∆ 
 Und es stimmt auch, da = = = ∆ 
 ∆ 1
 D.h. wenn ∆ = 1, es gilt: = ∆ 
 ABER: Du musst nicht zwingend für die Bestimmung der Steigung nur um 1 nach rechts gehen. Du kannst beliebig viel nach
 ∆ 
 rechts gehen (∆ kann beliebig groß sein), da das Verhältnis immer gleich bleibt! Bei einigen Graphen musst du sogar ein
 ∆ 
 größeres Steigungsdreieck wählen, wenn du die extakte Steigung haben möchtest.

 Bsp. 8) Ermittle graphisch die lineare Funktionsgleichung.

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 4 von 14

2) Rechnerische Bestimmung

 Wenn du zwei Punkte einer linearen Funktion kennst, kannst du Beispiel: = (1|5) ; = (4|11)
 jederzeit die Steigung k und in weiterer Folge den Ordinatenabschnitt
 d bestimmen. ∆ 2 − 1 11 − 5 6
 = = = = =2
 ∆ 2 − 1 4−1 3
 Die Punkte kannst du auch aus der Wertetabelle ablesen. ( ) = 2 + (d fehlt noch) Video 6/13
 Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung
 ∆ 2 − 1
 = = (= ) ein, z.B. = (1|5)
 ∆ 2 − 1
 5 =2∙1+ → =3
 . ( 1 | 1 ) . ( 2 | 2 ) 1 < 2
 ( ) = 2 + 3
 MERKE: Die Steigung k einer linearen Funktion f ist gleich dem
 Differenzenquotient von f in einem beliebigen Intervall [ 1 ; 2 ]

 ( 1 ) = 1
 ∆ 2 − 1
 ( 2 ) = 2 = =
 ∆ 2 − 1

 Bsp. 9) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion f mit ( ) = + .

a. (0) = 3; (1) = 6 b. (−3) = 7; (−1) = 3 c. (−3) = −2; (−1) = 4

 Bsp. 10) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte P und Q verläuft.

 a. = (4|1) ; = (6|7) b. = (210|120) ; = (310|70)

 Video 7/13

 Bsp. 11) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion ( ) = + aus den gegebenen
 Bestimmungsstücken. Wenn du die Funktionsgleichung aufgestellt hast, berechne jeweils die Funktionswerte
 an der Stelle = −1 und an der Stelle = 4 (d.h. (− ) ( ) )

a. (2) = 4; = −3 b. = 4; (3) = 10

 ( ) = ( ) =
 (−1) = (−1) =
 (4) = (4) =

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2.3 ZEICHNEN VON LINEAREN FUNKTIONEN
 Markiere zuerst den Parameter d auf der y-Achse. Zeichne von diesem Punkt das Steigungsdreieck bei
 
 vorgegebener Steigung = ± ein:
 
 Methode 1
Ist > 0, geht man vom Ordinatenabschnitt d um a nach Ist < 0, geht man vom Ordinatenabschnitt d Video 8/13
rechts (Nenner nach rechts) und anschließend um b nach oben um a nach rechts (Nenner nach rechts) und anschließend um b
(Zähler nach oben, wenn > 0). nach unten (Zähler nach unten, wenn < 0).

 a

 b b

 a

 2
 ( ) = − 2 ( ) = −3 + 4
 3
 Nenner nach rechts UND Zähler nach oben (+) oder unten (-)
 5 10
 Bemerkung: Ist k eine gerade Zahl, z.B. = 5, stelle k als Bruch dar: = 5 = 1 = 2
 1 nach rechts & 5 nach oben ODER 2 nach rechts und 10 nach oben (beliebig viele Möglichkeiten)

 Methode 2
 Da der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist, genügt es, die Koordinaten zweier Punkte zu
 bestimmen und die Gerade durch diese Punkte zu zeichnen.

 2. Methode

 ( ) = − + 3
 Bestimme 2 beliebige Punkte, durch die die Funktion verläuft:
 (−2) = 5 → (−2|5)
 (3) = 0 → = (3|0)

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 6 von 14

Bsp. 12) Zeichne die linearen Funktionen im gegebenen Koordinatensystem. Skaliere die Achsen passend!

 ( ) = 3 − 3 1 12
 ( ) = −1 ( ) = − +8
 100 4

2.4 EIGENSCHAFTEN (LINEARER WACHSTUM / LINEARE ABNAHME )
▪ Linearer Wachstum: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets gleiche Zunahme der Funktionswerte.
 Video 9/13
▪ Lineare Abnahme: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets gleiche Abnahme der Funktionswerte.

 1) Wird das Argument um 1 erhöht, dann ändert sich der Funktionswert um k.
 Wird das Argument um 2 erhöht, dann ändert sich der Funktionswert um 2k.

 ( + 1) = ( ) + ⇔ = ( + 1) − ( )

 ( + 2) − ( )
 ( + 2) = ( ) + 2 ⇔ =
 2

 2) Wird das Argument um n erhöht, dann ändert sich der Funktionswert um ∙ .

 ( + ) = ( ) + ∙ ( > 0)

 ⇔

 ( + ) − ( )
 =
 
THEORIE: Lineare Funktionen Seite 7 von 14

Bsp. 13) Zeige für = 3 anhand einem konkreten Beispiel, dass ( + 1) − ( ) = gilt.
 1
 a. ( ) = 2 − 1 b. ( ) = − − 3
 2

 Bsp. 14) Zeige für = 6 anhand einem konkreten Beispiel, dass ( + 5) − ( ) = 5 gilt.
 1
 a. ( ) = 3 + 8 b. ( ) = − + 1
 3

 2.5 NULLSTELLEN VON LINEAREN FUNKTIONEN

An der Nullstelle (STELLE = x-Wert) nimmt die Funktion den Funktionswert (y-
Wert) 0 an. Ist x die Nullstelle von f, so gilt: Video 10/13

 ( ) = 

Der Punkt (x|0) heißt Nullpunkt des Graphen der Funktion f. Der Nullpunkt ist der
Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

 Bsp. 15) Berechne die Nullstelle der linearen Funktion.
 4
 a. ( ) = − 6 b. ( ) = −5 c. ( ) = + 1
 5

 Bsp. 16) Ermittle graphisch die Nullstelle. Skaliere die Achse passend.
 ( ) = − 1,5 2 3
 ( ) = −2 ( ) = − + 2
 3 4

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 8 von 14

Bsp. 17) Begründe, welche Vorteile die Berechnung der Nullstellen gegenüber der graphischen Bestimmung hat.

 3. AUFSTELLEN VON LINEAREN FUNKTION
 3.1 PARALLELE UND NORMALE GERADEN
2 Geraden 1 ( ) = 1 + 1 und 2 ( ) = 2 + 2 sind parallel, wenn sie die
 gleiche Steigung haben.
 Video 11/13
 1 = 2 ⇔ 1 ∥ 2

 Sie sind aber nicht ident, wenn gilt:
 1 ≠ 2

 Beispiel: 1 ( ) = 2 + 2 ; 2 ( ) = 2 − 2
 1 = 2 & 1 = 2
 2 = 2 & 2 = −2
 → 1 = 2 ; 1 ≠ 2

 1 und 2 sind parallele Geraden, d.h. 1 ∥ 2 .

 2 Geraden 1 ( ) = 1 + 1 und 2 ( ) = 2 + 2 sind ident, wenn sie die
 gleiche Steigung und den gleichen y-Abschnitt d haben.

 1 = 2 & 1 = 2 ⇔ 1 = 2

 Beispiel: 1 ( ) = 2 + 2 ; 2 ( ) = 2 + 2

2 Geraden 1 ( ) = 1 + 1 und 2 ( ) = 2 + 2 sind zueinander normale
 Geraden, wenn folgender Zusammenhang gilt.

 1
 1 = − ⇔ ∙ = − ⇔ 1 ⊥ 2
 2

 1
 Beispiel: 1 ( ) = − ; 2 ( ) = 2 
 2
 1
 1 = −
 2
 2 = 2
 1
 → 1 ∙ 2 = − ∙ 2 = −1
 2
 1 und 2 sind normal zueinander, d.h. 1 ⊥ 2

 Bsp. 18) Bestimme die Funktionsgleichung der zu g 1) parallelen 2) normalen Geraden durch den Punkt R.
 a. ( ) = −2 + 1 ; = (1| − 2)

 parallele Gerade normale Gerade

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 9 von 14

1
 b. ( ) = − 1 ; = (−5|0)
 5

 parallele Gerade normale Gerade

 3.2 SPEZIALFÄLLE VON LINEAREN FUNKTIONEN / TERMDARSTELLUNGEN BESONDERER GERADEN

 Fall 1: = 0 Video 12/13
 ( ) = 

 Graph parallel zur x- Fall 2: = 0
 Achse (konstante ( ) = ∙ 
Funktion mit Höhe von )
 Graph geht mit der
In unserem Beispiel: = 2 Steigung k durch (0|0)

 Fall 3: = 1; = 0
 ( ) = Fall 4: = −1; = 0
 ( ) = − 
Graph entspricht der 1.
 Mediane Graph entspricht der
 2. Mediane

 Achtung: y-Achse ist keine (lineare) Funktion
 Fall 5: Darstellung x-Achse Die y-Achse ist kein Graph einer Funktion, da es zu einem x-Wert
 beliebig viele y-Werte gibt. Da aber die y-Achse aus allen Punkten mit
 Für die x-Achse gilt der Spezialfall = 0 = 0: x-Koordinate 0 besteht, kannst du sie durch folgende Gleichung (nicht
 ( ) = 0 Funktion!) beschreiben:
 y-Achse: = 0
 allgemein (waagrechte Geraden – Fall 1): ( ) = 
 allgemein (senkrechte Geraden): = 

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 10 von 14

Bsp. 19) Bestimme die Termdarstellungen der beiden Geraden, die zur 1) x-Achse bzw. 2) y-Achse parallel sind
 und durch den Punkt P gehen.
a. = (3|−7) b. = (−6|2)
Parallel zur x-Achse: Parallel zur x-Achse:
Parallel zur y-Achse: Parallel zur y-Achse:

 Bsp. 20) Bestimme jeweils die Gleichungen 1) der senkrechten Geraden, 2) der waagrechten Geraden bzw. 3)
 der Geraden parallel zur 1. Mediane, die durch den Punkt R gehen.
a. = (−3|3) b. = (−3000| − 2500)
Senkrechte Gerade: Senkrechte Gerade:
Waagrechte Gerade: Waagrechte Gerade:
Parallel zur 1. Mediane: Parallel zur 1. Mediane:

 Bsp. 21) Von einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung = + sind einige Eigenschaften des
 Funktionsgraphen gegeben. Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung.
a. : ℎ , ; = (1|5) b. : = −3; = (−1| − 2)

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 11 von 14

4.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME IN 2 VARIABLEN LÖSEN
 |: 2 + 3 = 6
 ||: − = −7
 2
 |: = − + 2
 1) Forme beide Gleichungen auf die Form = ∙ + um und zeichne 3 Video 13/13
 die beiden Graphen
 ||: = + 7

 1 Lösung: = (− | )

 2) Ermittle die Lösungsmenge: = (−3|4)
 a. 1 Lösung: Es gibt einen Schnittpunkt
 b. Unendlich viele Lösungen: Die beiden Geraden sind ident.
 = −3 & = 4
 c. Keine Lösung: Die Geraden verlaufen parallel. = {(−3|4)}

 4.3. LÖSUNGSFÄLLE VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN – LAGEBEZIEHUNGEN DER GERADEN
 Wie bereits gelernt können lineare Gleichungssysteme keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.
 Dafür musst du die Gleichungen in die Form ( ) = + ( = + ) umwandeln. Die Anzahl der
 Lösungen kann anhand der Lagebeziehung der Geraden bestimmt werden:

 1. Fall 2. Fall 3. Fall
 genau 1 Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen
 SCHNEIDEND (ECHT) PARALLEL IDENTISCH
 Die Geraden sind (echt) parallel.
 Die Geraden sind schneidend! Die Geraden sind identisch.
 Die Funktionsgleichungen haben die
 gleiche Steigung und d ist Die Funktionsgleichungen haben die
 Die Funktionsgleichungen der verschieden. gleiche Steigung und das gleiche d.
 beiden Geraden haben 1 = 2 & 1 ≠ 2 1 = 2 & 1 = 2
 unterschiedliche Steigungen.
Lagebeziehung Die beiden Geraden haben keinen Die beiden Geraden haben alle Punkte
 1 ≠ 2
 Schnittpunkt. Es gibt keine Lösung. gemeinsam. Die Lösungen sind alle
 Die beiden Geraden schneiden 1 ∩ 2 = { } Punkte, die auf den Geraden liegen.
 einander im Schnittpunkt S. Sind 2 Geraden parallel, so schreibt Sind 2 Geraden identisch, so schreibt man:
 1 ∩ 2 = { } man: 1 = 2
 1 ∥ 2

 Graphisches
 Verfahren:

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 12 von 14

Bsp. 23) Löse das Gleichungssystem graphisch.
|: 5 − 3 = 2 |: = 2 − 3
||: 2 + 3 = 5 ||: − 2 = −1

 Bsp. 24) Bestimme anhand der beiden Parameter k und d, wie viele Lösungen das Gleichungssystem besitzt. Du
 brauchst die Lösungen nicht berechnen!
 |: = 5 − 2 2 |: = −4 + 1
 |: = −4
 ||: = 5 + 4 3 ||: = −4 + 1
 3
 ||: = − 4
 2

 Bsp. 25) Wandle die beiden Gleichungen auf die Form = + um. Bestimme anhand der beiden Parameter k
 und d, wie viele Lösungen das Gleichungssystem besitzt. Du brauchst die Lösungen nicht bestimmen!
 |: 2 + 3 = 7 |: 4 + 5 = 3 |: 8 + 6 = 20
 ||: 4 − 6 = 14 ||: 8 + 10 = 6 ||: 4 + 3 = 11

 Bsp. 26) Gib an, welche Bedingungen für die gegebenen Variablen k und d gelten müssen, dass der gewünschte
 Lösungsfall eintritt!
 1 Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen
 |: = 2 − 5 |: = −3 + |: = −3 + 
 ||: = ∙ + ||: = ∙ + 5 ||: = ∙ − 5

 |: = −2 + |: = −0,5 + |: = 2,5 + 
 ||: = ∙ + 3 ||: = ∙ + 2 ||: = ∙ − 2

 THEORIE: Lineare Funktionen Seite 13 von 14

5. INTERPRETATIONEN IN ANWENDUNGSBEISPIELEN
 5.1 INTERPRETATION VON K UND D

 Interpretation der Parameter k und d einer linearen Funktion f mit ( ) = + im Kontext
▪ d entspricht dem „Anfangswert“ der Größe (wichtig: d ist in der Einheit der Funktionswerte gegeben, nicht in der
 Einheit der Argumente!!)
▪ Die Steigung k gibt eine Änderungsrate an. Allgemein gibt k die Änderung des Funktionswertes an, wenn sich das
 Argument um eine Einheit vergrößert. Für die Interpretation ist wichtig, zu wissen, in welcher Einheit die
 Funktionswerte (z.B. in Meter) und Argumente gegeben sind (z.B. in Sekunden -> Interpretation: Änderung pro
 Sekunde)
 Einheit von der Steigung k: Einheit der Funktionswerte PRO Einheit der Argumente (Meter pro Sekunde)

 BSP1: Lineare Zeit-Ort Funktion ( ) = 4 + 2 ( ) … ; … 

 o = ( ) = - Anfangsweg beträgt 2 Meter (zu Beginn ist man 2 Meter vom Ausgangsort entfernt)
 o = –> Es werden 4 Meter pro Sekunde zurückgelegt (=Geschwindigkeit!).
 (2) = 4 ∙ 2 + 2 = 10 Nach 2 Sekunden wurden 10 Meter zurückgelegt.
 (5) = 22 Nach 5 Sekunden wurden 22 Meter zurückgelegt.
 (10) = 42 Nach 10 Sekunden wurden 42 Meter zurückgelegt.

 ▪ BSP2: Lineare Kostenfunktion
 Die gesamten Produktionskosten einer Ware setzen sich häufig aus zwei Teilen zusammen:
 o Fixkosten (von Produktionsmenge unabhängig: Mietkosten, Stromkosten, Kosten zur Aufrechterhalten =
 Kosten, die immer anfallen; egal ob produziert wird oder nicht)
 o Variable Kosten (hängen davon ab, wie viel produziert wird: Materialkosten, Lohnkosten, etc.)
 Gesamtkosten = Variable Kosten + Fixkosten
 ( ) = 10000 + 5 ( ) … ü €; … ü ℎ 

 o = ( ) = - Fixkosten
 o = - Pro produziertem Stück fallen 5€ zusätzliche Kosten an.
 (0) = 10000€ Die Gesamtkosten betragen bei 0 produzierten Stück (=Fixkosten) 10000€.
 (5) = 10025€ Die Gesamtkosten betragen bei 5 produzierten Stück 10025 €.
 (4000) = 30000€ Die Gesamtkosten betragen bei 4000 produzierten Stück 30000 €.

 Bsp. 27) Ein Taxiunternehmen berechnet den Preis P (in €) für eine x-Kilometer lange Fahrt nach der Formel
 ( ) = 0,4 + 3. ( ) … € ; … 
 Interpretiere im gegebenen Sachzusammenhang k und d.

 • Parameter k:

 • Parameter d:

 Bsp. 28) Die Länge L (in mm) einer brennenden Kerze kann durch die lineare Funktion L mit ( ) = + 
 beschrieben werden, wobei x die Brennzeit in Minuten angibt.
 a. Interpretiere im Kontext die Bedeutung der Paramater k und d für = −0,4 und = 160.
 • Parameter = −0,4:

 • Parameter = 160:

 b. Interpretiere allgemein die Bedeutung der Paramater k und d im Kontext.
 • Parameter k:

 • Parameter d:

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