Didaktik der Analysis - Modul 12a Jürgen Roth - Prof. Dr. Jürgen Roth

Didaktik der Analysis
Modul 12a

Jürgen Roth Didaktik der
 Mathematik
15.11.2023 juergen-roth.de Sekundarstufen

Materialien zur Veranstaltung

 ■ Internetseite zur Veranstaltung und Skript
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/ ⇒ Material

 ■ Textdatenbank
 juergen-roth.de/lehre ⇒ Texte

 ■ Zeitschriften
 juergen-roth.de/zeitschriften

 ■ Buchempfehlungen
 □ Greefrath, G., Oldenburg, R., Siller, H.-S., Ulm, V. & Weigand, H.-G. (2016).
 Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum
 □ Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten.
 Wiesbaden: Spektrum Akademischer Verlag
 □ Büchter, A. & Henn, D. (2010). Elementare Analysis – Von der Anschauung zur
 Theorie.
 Wiesbaden: Spektrum Akademischer Verlag
2 15.11.2023

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Didaktik der Analysis

 1. Ziele und Inhalte
 2. Folgen und Vollständigkeit in ℝ
 3. Ableitungsbegriff
 4. Integralbegriff

 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Didaktik der Analysis

 Ziele und Inhalte

juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)

 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
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GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
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Bildungsziele des Mathematikunterrichts

 Kultur- Erkenntnis-
 historischer theoretischer
 Aspekt Aspekt

 Pragmatischer Schöpferischer
 Aspekt Aspekt

7 15.11.2023

Winter: Mathematikunterricht sollte drei
 Grunderfahrungen ermöglichen

 Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen
 oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur,
 in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

 Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache,
 Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv
 geordnete Welt eigener Art kennenlernen und begreifen.

 In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben,
 die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten).

 Winter, H. (1996). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, 2, 35-41
8 15.11.2023 http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
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GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Leitideen in der Analysis

 ■ Reelle Zahlen und deren Vollständigkeit
 ■ Funktionen und Kurven
 ■ Konvergenz, Grenzwert, Stetigkeit
 ■ Ableitung und Differenzierbarkeit
 ■ Integral und Integrierbarkeit
 ■ Hauptsatz der Differential- und
 Integralrechnung (HDI)
 ■ Globale Sätze der Differential- und
 Integralrechnung (Mittelwertsatz,
 Monotoniesatz, Schrankensatz)
 ■ Funktionalgleichungen

 Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1:
10 15.11.2023 Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg, 184

Mathematisierungsmuster in der Analysis

 ■ Funktionen & Funktionsgleichungen zur
 mathematischen Darstellung nutzen
 □ Naturgesetze
 □ Modellbildungssituationen
 (Wirtschafts- und Sozialwissenschaften)
 □ normativen Verordnungen und Gesetze
 ■ Differenzen- & Differentialquotienten als
 Änderungsraten
 ■ Integral als
 □ Gesamteffekt von Änderungsraten
 □ Maß von Flächen und Volumina
 ■ Differential- & Differenzengleichung zum Beschreiben
 □ dynamischer Vorgänge
 □ Entwicklungsvorgänge
 Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1:
11 15.11.2023 Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg, S. 210f

Strategien in der Analysis

 ■ Approximation

 ■ Linearisierung, Linearität

 ■ Iteration und Rekursion

 ■ Zentrale Sätze des Kalküls (dienen als Strategien)
 □ Produkt- und Kettenregel der Differentialrechnung
 □ Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 □ Globale Sätze der Differential- und Integralrechnung
 (Mittelwertsatz1, Monotoniesatz1, Schrankensatz)

 ■ Graphische Repräsentation (Geometrisierung)

 1 Vgl. Kapitel 2: Folgen und Vollständigkeit in ℝ
 Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II,
12 15.11.2023 Band 1: Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg, S. 210f

Schrankensatz

 Beweis
 ■ Für alle < in gibt es nach dem
 Mittelwertsatz ein 0 ∈ , mit
 − 
 Schrankensatz ′ 0 = .
 − 
 Sei ein Intervall und : → ℝ eine
 auf differenzierbare Funktion. ■ Daraus folgt:
 Wenn es ein ≥ 0 gibt, mit − − 
 ′ 0 = =
 − − 
 ∀ ∈ ′ ≤ 
 ■ Damit ergibt sich:
 dann folgt:
 − = ′ 0 ⋅ − 
 ∀ , ∈ − ≤ ⋅ − .
 ⏞ ⋅ − .
 ≤ ■
 Hinweis: In der Literatur wird der Schrankensatz häufig mit
 der Lipschitz-Stetigkeit formuliert (vgl. Link unten).

13 15.11.2023 https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis1_4_3_Z6

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Begriffsklärungen
 Grundvorstellung
 Kompetenz ■ Tragfähiges mentales Modell für einen
 Wissen und Können, sowie Grund- Begriff oder ein Verfahren
 die Fähigkeit und Bereitschaft vorstellung ■ Grundlage für die Verständnisentwicklung
 diese flexibel und erfolgreich
 einzusetzen.
 ■ Inhaltsbezogene Fundamentale Ideen
 Funda-
 Kompetenzen ■ Weite (logische Allgemeinheit)
 Kompetenz mentale
 ■ Prozessbezogene Idee ■ Fülle (vielfältige Anwendbarkeit)
 Begriffe
 Kompetenzen
 rund ums ■ Sinn (im Alltagsleben verankert)
 Verständnis

Grundfertigkeit Grundwissen
■ Anwendung von Routinekalkülen ■ für einen Inhaltsbereich
■ Anwendung des Grundwissens Grund- Grund- grundlegende Fakten
 in einer typischen Situation fertigkeit wissen (Begriffe, Definitionen, Formeln, Sätze, …)
 (geforderte Operation vorgegeben) ■ sollte auswendig gewusst werden

15 15.11.2023

Grundvorstellungen

 Grundvorstellungen
 ■ repräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich
 und bilden die Grundlage für das Verstehen
 ■ ermöglichen eine Verbindung zwischen abstrakter Mathematik
 und außer- sowie innermathematischen Anwendungen
 ■ unterstützen / ermöglichen Repräsentationswechsel

 Zwei Typen von Grundvorstellungen
 ■ Primäre Grundvorstellungen
 haben ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen
 ■ Sekundäre Grundvorstellungen
 werden mit mathematischen Darstellungsmitteln repräsentiert

16 15.11.2023 Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren, 199, S. 2-9

Primäre Grundvorstellungen
Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen

17 15.11.2023 Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-9

Sekundäre Grundvorstellungen
Dargestellt mit mathematischen Repräsentationen

 : ℝ → ℝ,
 ↦ = � + 
 + 
 + = � + + 
 
 =
 ⏞ � + ⋅ + 
 + 
 ⏞ � + + �
 = � 
 = ≔ 

 = + 
 + 
 + 

 https://www.geogebra.org/m/e7pwurmn .
18 15.11.2023 Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-9

Ausbilden von Grundvorstellungen: Ziele

 ● An bekannte Situationen / Prototypisches
 Sinnzusammenhänge
 Handlungsvorstellungen Beispiel als
 herstellen anknüpfen Verständnisanker

 Mentale
 Repräsentationen ● Mentales operatives Handeln ermöglichen
 aufbauen

 ● Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen
 Struktur in neuen
 ● Modellieren von Phänomenen mit
 Situationen anwenden Hilfe der mathematischen Struktur

19 15.11.2023 Vgl. vom Hofe, R. (2003). Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, 4-8

Verständnisanker

 Verständnisanker
 ■ Ein Verständnisanker ist eine prototypische Beispiel
 Situation, an der Grundvorstellungen und ein
 damit verbundener Erklärungskontext zu einem ■ Ein möglicher Verständnis-
 mathematischen Sachverhalt ausgebildet werden. anker für Grundvorstellungen
 ■ Prototypisch meint, dass alle für das Verständnis des zum Integral ist die Frage nach
 mathematischen Sachverhalts wesentlichen Struktur- der Füllmenge eines Wasch-
 elemente in der Situation vorkommen und gedeutet beckens bei bekannter Zu-
 werden können. und Abflussgeschwindigkeit.
 ■ Eine Situation eignet sich insbesondere dann als Ver-
 ständnisanker, wenn sie leicht durchschaut werden ■ Anhand der Waschbeckensituation
 kann. können die Grundvorstellungen
 „Integral als Rekonstruieren
 ■ Lernende können in neuen Situationen, in der derselbe
 des Gesamteffekts“ und „Integral
 mathematische Sachverhalt eine Rolle spielt, auf den
 Verständnisanker zurückgreifen und, durch Analogie- als orientierter Flächeninhalt“
 bildung zum Verständnisanker, passende Grundvor- inhaltlich durchschaut werden.
 stellungen aktivieren.
 https://www.geogebra.org/m/vxj3b49w
20 15.11.2023 Roth, J. & vom Hofe, R. (2023). Verständnisvoll lernen – Grundvorstellungen vernetzen und Verständnisanker nutzen. Mathematik lehren, 236, S. 6-9.

Grundvorstellungen in der Analysis

 Ableitung als
 ■ lokale Änderungsrate Extrem- & Wendestellen als
 ■ lokale lineare Approximation ■ markante Punkte
 in funktionalen
 ■ Tangentensteigung Zusammenhängen,
 (geometrisch gedeutet) bei denen sich
 Änderungsverhalten
 Integral als ändert
 ■ Rekonstruktion ■ begriffliche Werkzeuge
 des Gesamteffekts zur Lösung von Opti-
 ■ Mittelung mierungsproblemen

 ■ Orientierter Flächeninhalt
 (geometrisch gedeutet)

21 15.11.2023 Hußmann, Prediger (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM, 52(31), 35-38

Vorstellungsorientierte Fähigkeiten (1)

 ■ absolute & relative Änderungsmaße ■ Zusammenhang zwischen
 unterscheiden und angemessen Funktion und Ableitungsfunktion
 verwenden können (bzw. Funktion und Stammfunktion)
 in deren grafischer Darstellung
 ■ Zusammenhang zwischen mittlerer erkennen und beschreiben können
 (Differenzenquotient) & momentaner
 Änderungsrate (Differenzialquotient) ■ Unterschied zwischen
 kennen, auf der Grundlage eines intuitiven Bestand und Änderung
 Grenzwertbegriffes beschreiben & in ver- in Anwendungssituationen erklären und
 schiedenen Situationen anwenden können zur Problembearbeitung nutzen können

22 15.11.2023 Hußmann, Prediger (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM, 52(31), 35-38

Bestand und Änderung

 Bestandsgröße Zuflüsse Abflüsse

 Anzahl der Studierenden Exmatrikulationen,
 Immatrikulationen
 einer Universität Ausscheiden aus der Universität

 Benzinmenge im Tank Tanken an der Tankstelle Benzinverbrauch, Verdunstung

 Kontostand Zubuchungen Abbuchungen

 Anzahl der Gäste
 ankommende Gäste abreisende Gäste
 eines Hotels

 Staatsverschuldung Staatseinnahmen Staatsausgaben

 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung − Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren, 199, 2-9
23 15.11.2023 Ossimitz, G. (2003). Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren, 120, 60-63

Bestand und Änderung
 Wann waren die meisten Gäste im Hotel?

 Ankünfte und Abreisen im Alpenhotel
 Ankünfte (Anzahl am Tag) Abreisen (Anzahl am Tag)
 40
Anzahl Ankünfte / Abreisen pro Tag

 35
 30
 25
 20
 15
 10
 5
 0
 18. Dez. 25. Dez. 1. Jan. 8. Jan.

 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung − Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren, 199, 2-9
 24 15.11.2023 Ossimitz, G. (2003). Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren, 120, 60-63 https://www.geogebra.org/m/eg5dwnjy

Vorstellungsorientierte Fähigkeiten (2)

 ■ Eigenschaften von funktionalen ■ Bestimmtes Integral als Grenzwert
 Zusammenhängen mit Hilfe der einer Summe von Produkten
 Ableitung beschreiben können: deuten und beschreiben können
 Monotonie, lokale Extrema, Links-
 und Rechtskrümmung, Wendestellen
 ■ Unterschied zwischen
 Änderungsfunktion
 ■ Bestimmtes Integral in Kontexten und Wirkung bzw. Gesamteffekt
 deuten und entsprechende Sachverhalte erklären und zur Problembearbeitung
 durch Integrale beschreiben können nutzen können

25 15.11.2023 Hußmann, Prediger (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM, 52(31), 35-38

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Leitlinien

 ■ Leitlinie 1
 Grund- und Leistungskurse bedürfen glei-
 chermaßen aller drei Grunderfahrungen. ■ Leitlinie 3
 Leistungskurse dürfen sich nicht auf die Die Betonung heuristischer Denk- und
 zweite, Grundkurse nicht auf die erste Arbeitsweisen relativiert die Bedeutung
 Grunderfahrung beschränken. der formalen Fachsprache als Träger
 mathematischer Kommunikation. Zur
 Stärkung der natürlichen Sprache im
 ■ Leitlinie 2 Mathematikunterricht gehört die
 Jeder Lernbereich (Analysis, Analytische Philosophie von der „Wiederentdeckung
 Geometrie, Stochastik) muss seine des Inhaltlichen in einer neuen
 verbindlichen Inhalte als exemplarischen Unterrichtskultur“.
 Beitrag zur Integration dieser drei
 Grunderfahrungen legitimieren.

27 15.11.2023 Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001). Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD, 22(1), 73-90

Orientierung an fundamentalen Ideen

 Fundamentale Ideen Grundvorstellungen aufbauen
 ■ Messen ■ kalkülorientierte Teile in Zeitaufwand
 ■ funktionaler Zusammenhang und Wertigkeit zu Gunsten der
 inhaltlich orientierten Teile reduziert
 ■ Algorithmus
 ■ Begriffsbildung/Begründung:
 ■ Iteration stärker inhaltlich argumentieren
 ■ Änderungsraten (nicht ausschließlich formal)

 ■ Optimieren ■ Formale Ergebnisse immer
 auf Sinnhaftigkeit prüfen
 ■ räumliches Strukturieren
 ■ Koordinatisieren Vernetzen
 ■ Symmetrie ■ vertikal
 ■ Zufall und Wahrscheinlichkeit ■ horizontal

28 15.11.2023 Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001). Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD, 22(1), 73-90

Grundvorstellung versus
Kalkülorientierung
 Idee und Bedeutung Kalkülhaftes Arbeiten
 Ableitung als Idee des Übergangs von der Bestimmen von Tangentensteigungen und
 mittleren zur lokalen Änderungsrate Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln
 Integral als Idee der Rekonstruktion einer Integrieren als Bestimmen von Flächeninhalten
 Funktion aus ihren Änderungsraten und Stammfunktionen nach syntaktischen Regeln
 Idee der Approximation von Nullstellen Newtonverfahren mit Taschenrechner oder
 durch das Newtonverfahren (oder ein Computer ausführen und Abbruchbedingungen
 anderes Iterationsverfahren) sowie die „wenn sich die dritte Nachkommastelle nicht
 Analyse des Konvergenzverhaltens mehr ändert“
 "Kurvendiskussion" als Analyse der "Kurvendiskussion" als Anwendung von
 Eigenschaften von Funktionen Kalkülen auf Funktionen und Ableitungen
 Geometrische Gebilde mit Hilfe
 Formales Lösen von Gleichungssystemen
 analytischer Methoden darstellen
 Anwendung wahrscheinlichkeitstheore- Algorithmische Behandlung von
 tischer Begriffe auf Alltagssituationen Aufgaben in Urnenmodellen.
29 15.11.2023 Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001). Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD, 22(1), 73-90

Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

KMK-Bildungsstandards
Kompetenzbereiche

 Allgemeine mathematische
 Kompetenzen
 [K1] Mathematisch argumentieren Leitideen
 [L1] Algorithmus
 [K2] Probleme und Zahl
 mathematisch lösen
 [L2] Messen
 [K3] Mathematisch modellieren
 [K4] Mathematische Darstellungen [L3] Raum und Form
 verwenden
 [L4] Funktionaler
 [K5] Mit symbolischen, formalen Zusammenhang
 und technischen Elementen
 der Mathematik umgehen [L5] Daten und Zufall
 Allgemeine
 mathematische
 [K6] Mathematisch kommunizieren
 Kompetenzen

 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
31 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Anforderungsniveaus

 Grundlegendes Anforderungsniveau Erhöhtes Anforderungsniveau
 (Grundkurs) (Leistungskurs)

Leitidee Umfang mathematischer Inhalte Umfang mathematischer Inhalte
  Grundkenntnisse  größer
  in Leitideen ausgewiesen  in Leitideen ausgewiesen
  erhöhter Komplexitäts-, Vertiefungs-,
 Präzisierungs- & Formalisierungsgrad

 Anforderungs- Prüfungsleistungen Prüfungsleistungen
 bereiche bzgl.  Schwerpunkt: Anforderungsbereich II  Schwerpunkt: Anforderungsbereich II
 allgemeiner  Anforderungsbereiche I und III  Anforderungsbereiche I und III
 mathemati- berücksichtigen berücksichtigen
 scher Kom-  Anforderungsbereiche I und II  Anforderungsbereiche II und III stärker
 petenzen stärker akzentuieren akzentuieren

 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
32 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Digitale Mathematikwerkzeuge

 ■ Entwicklung mathematischer Kompetenzen
 durch sinnvollen Einsatz digitaler □ durch Reduktion schematischer
 Mathematikwerkzeuge unterstützen Abläufe und Verarbeitung
 ■ Potenzial digitaler Werkzeuge entfaltet sich größerer Datenmengen,
 im Mathematikunterricht □ durch Unterstützung individueller
 □ beim Entdecken mathematischer Präferenzen und Zugänge beim
 Zusammenhänge, insbesondere Bearbeiten von Aufgaben
 durch interaktive Erkundungen beim einschließlich reflektierter Nutzung
 Modellieren und Problemlösen, von Kontrollmöglichkeiten.
 □ durch Verständnisförderung für ■ Einer durchgängigen Verwendung digitaler
 mathematische Zusammenhänge, Mathematikwerkzeuge im Unterricht folgt
 nicht zuletzt mittels vielfältiger dann auch deren Einsatz in der Prüfung.
 Darstellungsmöglichkeiten,

 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
33 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Mathematisch argumentieren (K1) ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
■ Entwickeln eigenständiger, situations- □ Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren,
 angemessener mathematischer Herleitungen, usw.) wiedergeben und anwenden
 Argumentationen und Vermutungen
 □ einfache rechnerische Begründungen geben oder
■ Verstehen und Bewerten gegebener einfache logische Schlussfolgerungen ziehen
 mathematischer Aussagen
 □ Argumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen
■ Spektrum
 ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
 □ einfache Plausibilitätsargumente
 □ überschaubare mehrschrittige Argumentationen und
 □ inhaltlich-anschauliche Begründungen
 logische Schlüsse nachvollziehen, erläutern oder
 □ formales Beweisen entwickeln
■ Typische Formulierungen ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …
 □ „Begründen Sie!“ □ Beweise und anspruchsvolle Argumentationen
 □ „Widerlegen Sie!“ nutzen, erläutern oder entwickeln
 □ „Gibt es?“ □ verschiedene Argumente nach Kriterien wie
 □ „Gilt das immer?“ Reichweite und Schlüssigkeit bewerten

 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
34 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Probleme mathematisch lösen (K2) ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
■ Erkennen & Formulieren math. Probleme □ Lösungsweg einer einfachen mathematischen
■ Auswählen geeigneter Lösungsstrategien Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer
■ Finden & Ausführen geeigneter Lösungswege naheliegenden Strategie finden (z. B.
 Analogiebetrachtung)
■ Spektrum
 □ Anwendung bekannter Strategien ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
 □ Konstruktion komplexer und neuartiger □ Lösungsweg zu einer Problemstellung finden
 Strategien (z. B. durch mehrschrittiges, strategiegestütztes
■ Heuristische Prinzipien Vorgehen)
 □ „Skizze anfertigen“ ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …
 □ „systematisch probieren“
 □ Strategie zur Lösung eines komplexeren Problems
 □ „zerlegen und ergänzen“
 oder zur Beurteilung verschiedener Lösungswege
 □ „Symmetrien verwenden“ entwickeln und anwenden (z. B. Verallgemeinerung
 □ „Extremalprinzip“; „Invarianten finden“ einer Schlussfolgerung, durch Anwenden mehrerer
 □ „vorwärts und rückwärts arbeiten“ Heurismen)
 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
35 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Mathematisch modellieren (K3)
■ Wechsel zwischen Realsituationen und ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
 math. Begriffen, Resultaten oder Methoden □ vertraute und direkt erkennbare Modelle anwenden
 □ Konstruieren passender math. Modelle □ Realsituation direkt in ein math. Modell überführen
 □ Verstehen oder Bewerten vorgegeb. Modelle
 □ Math. Resultat auf geg. Realsituation übertragen
■ Spektrum
 □ Standardmodelle (z. B. bei linearen ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
 Zusammenhängen) □ mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar
 □ Komplexe Modellierungen formulierten Einschränkungen vornehmen
■ Typische Teilschritte des Modellierens □ Ergebnisse solcher Modellierungen interpretieren
 □ Strukturieren & Vereinfachen geg. □ Math. Modell an veränderte Umstände anpassen
 Realsituationen
 □ Übersetzen realer Situation in math. Modell ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …
 □ Interpretieren mathematischer Ergebnisse in □ komplexe Realsituation modellieren, wobei Variablen
 Bezug auf Realsituationen & Bedingungen festgelegt werden müssen
 □ Überprüfen von Ergebnissen im Hinblick auf □ Math. Modelle im Kontext einer Realsituation
 Stimmigkeit und Angemessenheit bzgl. der überprüfen, vergleichen und bewerten
 Realsituation
 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
36 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Mathem. Darstellungen verwenden (K4) ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
■ Auswählen geeigneter Darstellungsformen □ Standarddarstellungen von mathematischen
■ Erzeugen mathematischer Darstellungen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen
■ Umgehen mit gegebenen Darstellungen
 ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
■ Spektrum
 □ gegebene Darstellungen verständig interpretieren
 □ Standarddarstellungen (z. B. Wertetabellen)
 oder verändern
 □ eigene Darstellungen, die Strukturieren und
 Dokumentieren individueller Überlegungen □ zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln
 sowie Argumentation
 und Problemlösen unterstützen ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …

■ Typische mathematische Darstellungen □ mit unvertrauten Darstellungen und Darstellungs-
 formen sachgerecht und verständig umgehen
 □ Diagramme
 □ Graphen □ eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln
 □ Tabellen □ verschiedene Darstellungen und Darstellungsformen
 □ Formeln zweckgerichtet beurteilen

 Kultusministerkonferenz (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.18.10.2012
37 15.11.2023 https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Mit Mathematik symbolisch/formal/ ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
technisch umgehen (K5) □ elementare Lösungsverfahren verwenden
■ Ausführen von Operationen mit math. Objekten □ Formeln und Symbole anwenden
 (Z. B. Zahlen, Größen, Variablen, Terme,
 □ Math. Hilfsmittel & dig. Mathewerkzeuge nutzen
 Gleichungen, Funktionen, Vektoren, geometrische
 Objekte) ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
■ Spektrum □ formale mathematische Verfahren anwenden
 □ einfache und überschaubare Routineverfahren □ mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen
 □ komplexen Verfahren einschließlich deren □ math. Hilfsmittel & digitale Mathematikwerkzeuge je
 reflektierender Bewertung
 nach Situation/Zweck gezielt auswählen & einsetzen
■ Weitere Aspekte dieser Kompetenz
 □ Faktenwissen und grundlegendes Regel- ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …
 wissen für ein zielgerichtetes und effizientes □ komplexe Verfahren durchführen
 Bearbeiten math. Aufgabenstellungen, auch □ versch. Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten
 mit eingeführten Hilfsmitteln & digitalen □ Möglichkeiten & Grenzen math. Verfahren, Hilfs-
 Mathematikwerkzeugen mittel & digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren
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KMK-Bildungsstandards
Allgemeine mathematische Kompetenzen
 ■ Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …
Mathematisch kommunizieren (K6) □ einfache math. Sachverhalte darlegen

■ Entnehmen von Informationen aus Texten, □ Informationen aus kurzen (math.) Texten identifizieren und
 auswählen (Informationsanordnung ≅ math.
 mündl. Äußerungen oder sonst. Quellen Bearbeitungsschritte)
■ Überlegungen & Resultaten unter Verwendung ■ Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …
 einer angemessenen Fachsprache darlegen □ Mehrschr. Lösungswege & Ergebnisse verst. darlegen

■ Spektrum □ Math. Äußerungen (auch fehlerhafte) interpretieren
 □ math. Informationen aus Texten identifizieren & auswählen
 □ direkten Informationsentnahme aus
 (Informationsanordnung ≠ math. Bearbeitungsschritte)
 Alltagstexten bzw. Aufschreiben einfacher
 Lösungswege ■ Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …
 □ sinnentnehmendes Erfassen fach- □ komplexe math. Lösung oder Argumentation
 kohärent und vollständig darlegen oder präsentieren
 sprachlicher Texte bzw. strukturierte
 Darlegung oder Präsentation eigener □ mathematische Fachtexte sinnentnehmend erfassen
 Überlegungen □ mündliche & schriftliche mathematische Äußerungen
 miteinander vergleichen, bewerten und ggf. korrigieren
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KMK-Bildungsstandards
Mathematische Leitideen

 ■ Bei allen Leitideen wird zuerst ein inhaltlicher
■ Unter „Inhalten“ werden insbesondere auch Kernbereich beschrieben, der das
 adäquate Grundvorstellungen verstanden, grundlegende Anforderungsniveau
 die ein Verständnis dieser Inhalte charakterisiert. Danach werden die zusätzlichen
 konstituieren. Inhalte für das erhöhte Anforderungsniveau
■ Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden aufgeführt.
 jeweils übergreifenden Leitideen zugeordnet, ■ Innerhalb der Leitideen können die Länder den
 die nicht auf bestimmte klassische math. Schwerpunkt alternativ auf die Beschreibung
 Themenbereiche (Analysis, Lineare Algebra & mathematischer Prozesse durch Matrizen
 Analytische Geometrie, Stochastik) begrenzt (Alternative A1) oder die vektorielle Analytische
 sind. Leitideen tragen damit zur Vernetzung Geometrie (Alternative A2) setzen.
 der traditionellen klassischen Sachgebiete ■ Ebenso können die Länder den Schwerpunkt
 bei. auf die Schätzung von Parametern (B1) oder
 auf die Testung von Hypothesen (B2) setzen.

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Mathematische Leitideen
 ■ Grundlegendes & erhöhtes Anforderungsniveau:
Algorithmus und Zahl (L1)
 Lernende können …
■ verallgemeinert den Zahlbegriff der Sek. I zu □ geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen
 Tupeln und Matrizen einschließlich und Gleichungssystemen auswählen
 zugehöriger Operationen □ ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare
■ erweitert die Vorstellungen von den reellen Gleichungssysteme erläutern und es anwenden
 Zahlen durch Approximationen mittels □ Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen
 infinitesimaler Methoden Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung
 von Ableitung und Integral nutzen
■ Kenntnis, Verstehen & Anwenden math.
 Verfahren, die automatisierbar und einer □ einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen
 beschreiben
 Rechnernutzung zugänglich sind
 □ Math. Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matri-
■ Sachgebiete der Sek. II zenmultiplikation & inverser Matrizen beschreiben
 mit Bezügen zur Leitidee
 ■ Erhöhtes Anforderungsniveau: Lernende können …
 □ Analysis
 □ Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen
 □ Lineare Algebra □ Grenzmatrizen sowie Fixvektoren interpretieren
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Mathematische Leitideen
Messen (L2) ■ Grundlegendes & erhöhtes Anforderungsniveau:
 Lernende können …
■ erweitert das Bestimmen und Deuten von
 □ Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum
 Größen aus der Sekundarstufe I um
 auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen
 infinitesimale, numerische und analytisch-
 geometrische Methoden □ Sekanten- & Tangentensteigungen an Fkt.graphen
 □ funktionale Größen (Änderungsraten und bestimmen
 (re-)konstruierte Bestände) □ Änderungsraten berechnen und deuten
 □ Größen im Koordinatensystem (Winkel, □ Inhalte von Fkt.graphen begrenzter Flächen bestimmen
 Längen, Flächeninhalte & Volumina) □ Bestände aus Änderungsraten & Anfangsbestand
 □ stochastische Kenngrößen (Ergebnisse von berechnen
 Messprozessen im weiteren Sinne) □ Lage- & Streumaße einer Stichprobe bestimmen & deuten
■ Sachgebiete der Sek. II □ Erwartungswert & Standardabweichung diskreter
 mit Bezügen zur Leitidee Zufallsgrößen bestimmen und deuten
 □ Analysis
 ■ Erhöhtes Anforderungsniveau: Lernende können …
 □ Analytische Geometrie □ Abstände zw. Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen
 □ Stochastik □ Volumen von Rotationskörpern bestimmen
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Mathematische Leitideen
Raum und Form (L3) ■ Grundlegendes & erhöhtes Anforderungsniveau:
 Lernende können …
■ Weiterentwicklung des räumlichen
 Vorstellungsvermögens aus der Sek. I □ geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum
 koordinatisieren
■ Umgang mit Objekten im Raum
 □ Elem. Operationen mit geometrischen Vektoren
 □ Eigenschaften und Beziehungen dieser
 ausführen & Vektoren auf Kollinearität untersuchen
 Objekte
 □ das Skalarprodukt geometrisch deuten
 □ Darstellungen mit geeigneten Hilfsmitteln
 einschließlich DGS □ Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw.
 ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten
■ Sachgebiete der Sek. II anwenden
 mit Bezügen zur Leitidee
 □ Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und
 □ Analytische Geometrie die Lagebeziehungen von Geraden untersuchen
 ■ Erhöhtes Anforderungsniveau: Lernende können …
 □ Lagebeziehungen von Geraden & Ebenen
 untersuchen
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Mathematische Leitideen
Funktionaler Zusammenhang (L4) ■ Grundlegendes & erhöhtes
■ funktionale Vorstellungen aus der Sek. I mit Anforderungsniveau – Teil 1: Lernende können …
 Begriffen & Verfahren der elem. Analysis zu □ Funktionsklassen aus der Sekundarstufe I zur
 vertiefen
 Beschreibung und Untersuchung
■ Funktionsbegriff durch vielfältige Beispiele quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen
 erweitern (auch in stochastischen Kontexten)
■ funktionale Beziehungen □ in einfachen Fällen Verknüpfungen und
 Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung
 □ zwischen Zahlen bzw. Größen
 quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen
 □ Darstellungen und Eigenschaften
 □ Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate
 □ Nutzung von infinitesimalen Methoden und
 geeigneter Software deuten

■ Sachgebiete der Sek. II □ Änderungsraten funktional beschreiben
 mit Bezügen zur Leitidee (Ableitungsfunktion) und interpretieren
 □ Analysis □ Funktionen der Sek. I ableiten (auch mit Faktor-
 □ Stochastik und Summenregel)

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Mathematische Leitideen
 □ geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als
 Beziehung zwischen Ableitungs- und
Funktionaler Zusammenhang (L4)
 Integralbegriff begründen
■ Grundlegendes & erhöhtes □ Funktionen mittels Stammfkt. integrieren
 Anforderungsniveau – Teil 2:
 Lernende können … □ Zufallsgrößen und
 □ Produktregel zum Ableiten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur
 Funktionen verwenden Beschreibung stochastischer Situationen
 nutzen
 □ Ableitung zur Bestimmung von Monotonie
 und Extrema nutzen ■ Erhöhtes Anforderungsniveau: Lernende können …
 □ Ableitungsgraphen aus Funktionsgraphen □ Ableitung mithilfe der Approximation durch
 entwickeln und umgekehrt lineare Funktionen deuten
 □ bestimmtes Integral deuten □ Kettenregel zum Ableiten von Fkt. verwenden
 ((re-)konstruierter Bestand)
 □ ln-Funktion als Stammfunktion von ↦1/ und
 als Umkehrfunktion der -Funktion nutzen
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Mathematische Leitideen
Daten und Zufall (L5) ■ Sachgebiete der Sek. II mit Bezügen zur Leitidee
 □ Stochastik
■ vernetzt Begriffe & Methoden zur Aufberei-
 tung & Interpretation statistischer Daten mit ■ Grundlegendes & erhöhtes Anforderungsniveau:
 Lernende können …
 solchen zur Beschreibung und Modellierung
 □ exemplarisch stat. Erhebungen planen &
 von zufallsabhängigen Situationen beurteilen
■ Ausweitung & Vertiefung stochastischer □ Problemstellungen zu bedingten Wahrscheinlich-
 Vorstellungen der Sek. I keiten mithilfe von Baumdiagrammen oder
 Vierfeldertafeln untersuchen und lösen
 □ Umgang mit mehrst. Zufallsexperimenten
 □ Teilvorgänge (einfacher) mehrstufiger
 □ Verteilungen untersuchen und nutzen Zufallsexperi-mente auf stochast. Unabhängigkeit
 □ Einblick in Methoden der beurteilenden untersuchen
 Statistik (mithilfe von Simulationen und □ Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen
 einschlägiger Software ) □ Simulationen zur Untersuchung stochastischer
 Situationen verwenden
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KMK-Bildungsstandards
Mathematische Leitideen
 ■ Erhöhtes Anforderungsniveau:
Daten und Zufall (L5) Lernende können …
■ Grundlegendes & erhöhtes □ Binomialverteilte Zufallsgrößen: Aussagen über
 Anforderungsniveau – Teil 2: unbekannte Wahrscheinlichkeit, Unsicherheit
 Lernende können … und Genauigkeit der Aussagen begründen
 □ von Stichproben auf die Gesamtheit □ Hypothesentests interpretieren und die
 schließen (bei einfachen Fällen) Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse
 begründen
 □ exemplarisch diskrete und stetige Zufallsgrößen
 unterscheiden und die „Glockenform“ als
 Grundvorstellung von normalverteilten
 Zufallsgrößen nutzen
 □ stochastische Situationen untersuchen, die zu
 annähernd normalverteilten Zufallsgrößen
 führen
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Didaktik der
 Mathematik
 Kapitel 1: Sekundarstufen

 Ziele und Inhalte

 1.1 Grunderfahrungen
 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster
 und Strategien der Analysis
 1.3 Grundvorstellungen
 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht
 der gymnasialen Oberstufe
 1.5 KMK Bildungsstandards Mathematik
 für die Hochschulreife
 1.6 Mindestanforderungskatalog
 Mathematik (cosh)
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Mindestanforderungskatalog Mathematik

 Ergebnis einer Fachtagung am
 5. Juli 2012 in Esslingen

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Grundkompetenzen

50 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen

51 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen

52 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen

53 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen / Grundwissen

54 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen / Grundwissen

55 15.11.2023 https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/bs/bk/cosh/katalog/makv2.pdf

Grundkompetenzen / Grundwissen

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Grundkompetenzen / Grundwissen

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Grundkompetenzen / Grundwissen

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Grundkompetenzen / Grundwissen

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Kontakt
Prof. Dr. Jürgen Roth
RPTU
Rheinland-Pfälzische Technische Universität
Kaiserslautern-Landau
Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)
Fortstraße 7, 76829 Landau
j.roth@rptu.de
juergen-roth.de
dms.nuw.rptu.de