Auswertung A07: Maxwellsches Rad - zum Seminarversuch Alexander FufaeV Partner: Jule Heier Gruppe 334 - Universaldenker
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Auswertung
zum Seminarversuch
A07: Maxwellsches Rad
Alexander FufaeV
Partner: Jule Heier
Gruppe 334
Alexander Fufaev Partner: Jule Heier Gruppe 334
Einleitung
Beim Experiment mit dem Maxwellschen Rad werden Translations- und Rotationsbewegung
untersucht. Dazu benötigt man ein wenig Grundlagenwissen:
Welche Größen beschreiben die Rotationsbewegung?
Formelzeichen Größe Einheit Entsprechung in der Translationsbewegung
Winkel Strecke
Winkelgeschwindigkeit Geschwindigkeit
Winkelbeschleunigung Beschleunigung
Drehmoment Kraft
Trägheitsmoment Masse
Drehimpuls (Linear-)Impuls
Was ist...
… Trägheitsmoment?
- „Widerstand“ eines Körpers gegen eine Änderung seiner Rotationsbewegung
- Tensor, falls Berechnung für beliebige Achsen notwendig ist
… Drehmoment?
- „Kraft“: bewirkt eine Beschleunigung der Drehbewegung
- Es gilt das Hebelarm-Gesetz:
- Für praktische Zwecke: Drei-Finger Regel, Korkenzieher-Regel können verwendet werden, um
seine Richtung zu bestimmen
… Drehimpuls?
- „Schwung“ einer Drehung
Zusammenhänge/Formeln:
; ; ;
Was besagt der Satz von Steiner?
Damit kann man aus einem bekannten Trägheitsmoment für eine Achse durch den Schwerpunkt
das Trägheitsmoment für eine parallel dazu verschobene Achse berechnen:
Wie lautet der Energieerhaltungssatz für Rotationsbewegungen ?
Die Gesamtenergie setzt sich zusammen aus der potentiellen, kinetischen und Rotationsenergie und
bleibt erhalten:
2
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Aufgaben zur Vorbereitung
(A1)
Kreisbogen der Rotationsbewegung entspricht abgewickeltem Faden und somit der Fallstrecke:
(A2)
Vektorielles Drehmoment allgemein:
In unserem Fall stehen und senkrecht aufeinander:
Dabei ist Achsenradius plus die Hälfte der Fadendicke. ist die Masse des Rads (plus Masse des
aufgewickelten Fadens, vernachlässigbar).
(A3)
Trägheitsmoment allgemein für Masseteilchen:
Für eine Kreisscheibe mit homogener Massenverteilung und Radius , muss das Integral
berechnet werden. Das infinitesimale Massenelement: .
Damit folgt für das Trägheitsmoment der Kreisscheibe:
Mit folgt:
(A4)
Mit Satz von Steiner:
(A5)
Drehmoment allgemein:
Für die versetzte Drehachse lautet das Drehmoment dann:
(A6)
(1)
Drehmoment nach der Winkelgeschwindigkeit umstellen:
Drehmoment und Trägheitsmoment und die umgestellte
Winkelgeschwindigkeit einsetzen in (1):
3
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(A7)
Nach dem Energieerhaltungssatz bleibt die Gesamtenergie zeitlich erhalten:
oder konkreter:
Unter der Voraussetzung, dass das Maxwellrad keine Anfangsgeschwindigkeit und –drehung hat und
von der Höhe bis zur Höhe fallen gelassen wird, kann die Energieerhaltung folgendermaßen
geschrieben werden; wobei ist:
Zeitliche Ableitung mithilfe der Kettenregel liefert:
Um die Reibungsverluste zu messen, lässt man das Rad wieder nach oben aufrollen und betrachtet
die wegen der Reibung kleiner gewordene vom Rad zurückgelegte Höhendifferenz . Nach
erneuter Betrachtung der Energieerhaltung stellt man fest, dass die Gesamtenergie kleiner geworden
ist; sich also aufgrund der Reibung verändert hat.
Um die Reibungsverluste zu kompensieren, zieht man das Rad – sobald es die den Umkehrpunkt
erreicht hat – ruckartig wieder nach oben. Durch dieses ruckartiges Hochziehen wird die Rolle am
Umkehrpunkt beschleunigt, d.h. zusätzliche kinetische Energie wird zugeführt.
Messungen und Auswertung
Messungen an den Maxwell-Rädern:
Am ersten Rad:
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Am zweiten Rad:
Sonstige Angaben:
Messgenauigkeit der Zeitmessgeräte:
Die Messgenauigkeit der Fallstrecke schätzen wir wegen grobem Ablesen auf
Die Messtabellen zu (M1) finden sich an geeigneter Stelle bei den Auswertungsaufgaben.
Auswertung:
(E1) Am ersten Maxwell-Rad wurde folgendes gemessen:
Nr. Fallstrecke Fallzeit Achsdurchlaufzeit
s in m t in s Δt in s
1 0,043 1,037 0,973 1,071 0,983 0,074 0,077 0,069 0,077
2 0,058 1,125 1,099 1,145 1,126 0,067 0,067 0,064 0,067
3 0,092 1,440 1,505 1,167 1,437 0,051 0,053 0,041 0,051
4 0,146 1,773 1,758 1,755 1,779 0,042 0,041 0,041 0,043
5 0,272 2,474 2,411 2,422 2,409 0,029 0,030 0,031 0,031
6 0,394 2,905 3,126 2,906 2,932 0,025 0,026 0,025 0,026
Tabelle 1: Messung der Fallzeit und Achsdurchlaufzeit für verschiedene Fallstrecken am ersten Rad
Um die Diagramme erstellen zu können, haben wir dazu jeweils die Mittelwerte der vier Messungen
(arithmetisches Mittel) sowie die Unsicherheit mithilfe der Standardabweichung berechnet bzw. bei
der Strecke aus den Ablesebedingungen abgeschätzt.
Die Geschwindigkeit am Ende des Falls haben wir berechnet mit .
Die Unsicherheit der Geschwindigkeit haben wir mithilfe des Gaußschen
Fehlerfortpflanzungsgesetzes berechnet:
Nr. Mittelwerte Unsicherheiten Geschwindigkeit
in s in s u(s) in m u(t) in s u(Δt) in s v in m/s u(v) in m/s
1 1,02 0,074 0,005 0,05 0,004 0,084 0,004
2 1,124 0,0663 0,005 0,019 0,0015 0,0940 0,0018
3 1,39 0,049 0,005 0,15 0,005 0,127 0,014
4 1,766 0,0418 0,005 0,012 0,0010 0,1491 0,0015
5 2,43 0,0303 0,005 0,03 0,0010 0,206 0,003
6 2,97 0,0255 0,005 0,11 0,0006 0,244 0,009
Tabelle 2: Mittelwerte, Unsicherheiten und Geschwindigkeit am ersten Rad
Für die linearisierte Darstellung s(t^2) haben wir, da das automatische Skalieren nicht quadratisch
ging, auch noch folgende Tabelle angelegt:
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Nr. Aus den Messungen: Mittelwerte: Unsicherheit:
t^2 in s^2 in s^2 ^2 in s^2 u(t^2) in s^2
1 1,075 0,947 1,147 0,966 1,03 1,03 0,09
2 1,266 1,208 1,311 1,268 1,26 1,26 0,04
3 2,074 2,265 1,362 2,065 1,9 1,9 0,4
4 3,144 3,091 3,080 3,165 3,12 3,12 0,04
5 6,121 5,813 5,866 5,803 5,9 5,9 0,15
6 8,439 9,772 8,445 8,597 8,8 8,8 0,6
Tabelle 3: zur Darstellung von s(t^2)
Dabei haben wir die Unsicherheit wieder aus der Standardabweichung berechnet.
Die zwei verschiedenen Spalten und haben wir angelegt, um zu überprüfen, ob sich
signifikante Unterschiede bei den beiden Methoden, den Mittelwert zu bilden, ergeben. Wie man
jedoch sieht, unterscheiden sich beide Werte nicht in den geltenden Ziffern.
Aus den Daten ergeben sich dann die folgenden Diagramme:
6
Diagramm
Diagramm 1
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(E2) Die experimentellen Werte für ergeben sich aus den Fit-Parametern in Diagramm 1 und 2:
Dabei ist die hier angegebene Unsicherheit die vom Fit-Programm (QTI-Plot) ausgegebene
mathematische Unsicherheit.
Für die späteren Aufgaben verwenden wir als den Mittelwert der beiden:
(E3) Mit den gemessenen Werten für und sowie dem Wert ergibt sich die
theoretische Beschleunigung:
Dabei haben wir die Unsicherheit wieder mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung berechnet:
Wie man sieht, weichen die experimentellen Werte für stark von dem theoretischen Wert ab:
Woher diese Abweichung kommt, wird in den nächsten Aufgaben behandelt.
(E4) In der Aufgabe wird angenommen, dass klein ist im Vergleich zu und damit eine genäherte
Formel für hergeleitet. Dies ist hier auch tatsächlich der Fall. Somit berechnet sich der effektive
Radius wie folgt:
Der auf diese Weise ermittelte Wert ist etwa doppelt so groß wie der gemessene Wert. Die
Abweichung dieser Berechnung vom gemessenen effektiven Radius beträgt:
Relativ zur Fadendicke ausgedrückt ist das:
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Das heißt, die Abweichung des experimentell ermittelten effektiven Radius von dem tatsächlich
gemessenen beträgt fast das Fünffache der Fadendicke.
(E5) Aus (A3) wissen wir, wie sich das Trägheitsmoment eines Vollzylinders berechnet. Scheibe und
Achse sind zylindrische Körper. (Dabei vernachlässigen wir bei der Scheibe das Loch in der Mitte der
Scheibe, durch das die Achse führt.) Nehmen wir an, die Dichte und seien gleich.
Dann berechnen sich die Trägheitsmomente so:
mit
Mit den gemessenen Werten für die Dicken und Radien ergibt sich dann:
Das Trägheitsmoment der Schwungscheibe ist also sehr viel größer als das der Achse, somit kann das
Trägheitsmoment der Achse vernachlässigt werden.
Bei den Massen von Scheibe und Achse ist der Unterschied immer noch sehr groß, allerdings hat die
Masse der Achse immerhin fast 2 % der Masse der Scheibe aus. Bei einer Gesamtmasse von
ergibt das eine Masse der Scheibe von etwa 3,7 Gramm. Natürlich liegt diese Masse
weit über der Messungenauigkeit der Waage (0,01 Gramm), und trägt daher auch merkbar zur
Messung der Gesamtmasse des Rades bei. Allerdings ist der Fehler, wenn man die Gesamtmasse und
Scheibenmasse gleich setzt, prozentual gesehen trotzdem sehr klein (unter 2%), daher denken wir,
für unsere Zwecke kann man die Masse der Achse trotzdem noch vernachlässigen.
(E6) Für die Erstellung des Plots, der den Verlauf der Energieformen während des Falls zeigt, haben
wir die theoretischen Werte für die Beschleunigung und den effektiven Radius verwendet. Dann
haben wir mit den bekannten Formeln für potentielle, kinetische und Rotationsenergie die
dargestellten Kurven zeichnen lassen. Darin eingesetzt haben wir die aus den Vorbereitungsaufgaben
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bekannten Beziehungen von und . Alle verwendeten Werte und Formeln sind im Plot
angegeben.
Diagramm 4: Die verschiedenen Energieformen als Funktion der Zeit
Im Plot wird sichtbar, dass fast die komplette potentielle Energie des Rades in Rotationsenergie
umgewandelt wird und nur ein Teil in kinetische Energie. Je länger der Fall dauert, desto mehr
Energie wird auf diese Weise umgewandelt (stärkerer Abfall der Kurve von ). Der Anstieg der
kinetischen Energie - also der Energie, die in der Translationsbewegung steckt – ist im Vergleich so
gering, dass er im Plot nicht einmal zu sehen ist. Außerdem wird im Plot sichtbar, dass die
Gesamtenergie erhalten ist: Die Summe der drei Energieformen ergibt zu jedem Zeitpunkt denselben
Wert (0 Joule, da wir den Bezugspunkt für die potentielle Energie auf den Startpunkt des Falls gelegt
haben).
(E7) Messungen am zweiten Maxwell-Rad:
Nr. Fallstrecke Fallzeit Achsdurchlaufzeit
s in m t in s Δt in s
1 0,025 0,733 0,77 0,795 0,789 0,085 0,089 0,085 0,087
2 0,043 1,003 0,987 0,948 0,984 0,067 0,067 0,067 0,066
3 0,088 1,376 1,31 1,253 1,284 0,056 0,056 0,051 0,048
4 0,160 1,828 1,828 1,79 1,761 0,036 0,037 0,037 0,037
5 0,210 2,077 2,076 2,077 2,066 0,033 0,033 0,034 0,033
6 0,262 2,335 2,289 2,31 2,318 0,032 0,031 0,03 0,031
Auf die gleiche Weise wie beim ersten Rad auch, haben wir daraus die Mittelwerte und
Unsicherheiten berechnet:
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Nr. Mittelwerte Unsicherheiten
in s in s v in m/s u(s) in m u(t) in s u(Δt) in s u(v) in m/s
1 0,77 0,0865 0,072 0,005 0,03 0,0019 0,003
2 0,98 0,0668 0,093 0,005 0,02 0,0005 0,002
3 1,31 0,053 0,118 0,005 0,05 0,004 0,005
4 1,8 0,0368 0,169 0,005 0,03 0,0005 0,003
5 2,074 0,0333 0,1872 0,005 0,005 0,0005 0,0016
6 2,313 0,0310 0,201 0,005 0,019 0,0008 0,002
Mit QTI-Plot haben wir wieder eine Fit-Analyse für s(t) und v(t) durchgeführt. Dabei erhielten wir
folgendes Ergebnis:
Fit-Analyse für: s(t) v(t)
verwendete Funktion (1/2)*a*t^2 a*t
a in m/s^2 9,799e-02 +/- 8,503e-04 9,022e-02 +/- 1,249e-03
R^2 0,999 0,991
Nehmen wir den Mittelwert der beiden Ergebnisse als a, so erhalten wir:
Den effektiven Radius sollten wir für das zweite Rad (leider) nicht direkt messen – daher nehmen wir
stattdessen einfach den Radius der Achse:
Dann ergibt sich für das Trägheitsmoment des zweiten Rades:
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