Begriffsbildung "Wahrscheinlichkeit" - Arbeitskreis "Anwendungsorientierter Mathematikunterricht" Unterrichtseinheit, Klasse 7
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Gymnasium Neureut Dienstag, 15.05.2012 Arbeitskreis „Anwendungsorientierter Mathematikunterricht“ Rolf Reimer, Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Karlsruhe Begriffsbildung „Wahrscheinlichkeit“ Unterrichtseinheit, Klasse 7
Anwendungscharakter der Mathematik: „Modellieren“ und „Problemlösen“ Mathematikunterricht als Prozess, in dem Produkte entstehen. Vernetzung mit der Alltagswelt: Modellierungskreislauf (Vier Phasen – Vier Prozesse) Ge- und erlebte Welt des Alltags Welt der Schulmathematik (Bereichert durch nützliche math. Werkzeuge ...) (Ort an dem Werkzeuge gemacht werden ...) 1. 2. Problemstellung Mathematische Beschreibung Aufgabe überführen in prüfen auf lösen Brauchbarkeit der Aufgabe interpretieren der Lösung des Problems Lösung Lösung der Aufgabe 4. 3. Aufgabe des Mathematikunterrichts: Es wird ein Werkzeugkasten mit Gebrauchsanweisungen für die „blaue Welt“ entwickelt, welcher in der „grünen Welt“ nützlich ist. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 1
Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit Empirisch: Relative Häufigkeit Annahmen: Relativer Anteil Experiment Denken Relative Häufigkeiten sind (bestmögliche) Anzahl der günstigen Ergebnisse Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit. Anzahl aller Ergebnisse Subjektives Vertrauen Prognostischer Aspekt Persönliche Erfahrungen Maß für eine Erwartung Mit Wahrscheinlichkeiten will man das Auftreten von Ereignissen bei Zufallsexperimenten möglichst objektiv vorhersagen. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 2
Idee: Grundvorstellungen durchgängig über Beispiele ausbilden Vorwissen nutzen: Anteile, Prozente, Rechnen Drei Werkzeuge verwenden: - Experiment (Versuchsreihen auswerten) - Denken (Annahmen machen) - Strukturelles Hilfsmittel (Baumdiagramm) Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 3
Einstiegsaufgabe – Wer nichts weiß, probiert! Tisch abräumen – Der Zufall als Streitschlichter Michi und Niki streiten sich täglich, wenn es darum geht, den Tisch abzuräumen. Und gemeinsam ist es am „allerallerallerdoooooofsten“. Michi schlägt Niki vor, dass von jetzt an der Zufall darüber entscheiden soll, wer täglich abräumt. Sie sagt: „Du darfst jeden Tag dreimal würfeln. Wenn du dabei eine Sechs würfelst, muss ich abräumen. Sonst räumst du ab.“ Soll Niki den Vorschlag annehmen? Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 4
Schätzen – Experimentieren – Häufigkeiten - Lesen - Verstehen: Spiel durchführen spielen, Fehlvorstellungen ausräumen - Schätzungen abgeben - Bankweise 10 mal spielen, Ergebnisse sammeln, vorstellen, diskutieren - Ergebnisse sukzessive kumulieren, absolute und relative Häufigkeit des Versuchs bestimmen - Vergleich des Gesamt- ergebnisses (320 Versuche) Niki wird wohl mit den ersten Ergebnissen (10 nicht „mitspielen“! Versuche) Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 5
Üben und Vertiefen: Zufallsgeräte analysieren und variieren Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 6
Vom Würfeln zum Denken Noten Würfeln mit System Die Schüler der Klasse 7 beschweren sich beim Mathelehrer, weil die Noten in den Klassenarbeiten zu schlecht ausfallen. Lehrer Reimer macht zwei Vorschläge: Wer Mathe lernt, hat 1. Ich würfle für jede Note mit einem Würfel. mehr vom Leben. Die Augenzahl ist die Note. 2. Ich würfle für jede Note mit zwei Würfeln. Die Summe der beiden Augenzahlen wird halbiert. Danach wird auf Ganze abgerundet. Das Ergebnis ist die Note. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 7
Handlungsorient – Tabelle – relativer Anteil Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 8
Durchblick mit einem Baumdiagramm K.O. - Spiel In einer Socke befinden sich 7 Plättchen mit dem Buchstaben „O“ und 2 Plättchen mit dem Buchstaben „K“. O Man zieht zweimal mit K O O Zurücklegen. O Beim Ziehen des Wortes O O K O „OK“ gewinnt man, beim Ziehen des Wortes „KO“ verliert man. Bestimme die Gewinnchancen. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 9
Propädeutik der Pfadregel : „Stochastischer Abakus“ nach A. Engel 810 2 7 9 9 180 K 630 O 2 7 2 7 9 9 9 9 K O K O 40 140 140 490 Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 10
Übungsblatt: Experimentieren oder Denken? Spiele mit Zufallsgeräten Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 11
Die Kür: Tisch abräumen – Lösung ohne Experiment Baumdarstellung nutzen – Denken 4320 Baumdarstellung: maximal 3 Stufen, Ergebnisse: 6 und ¬6 Einzelwahrscheinlichkeiten der Stufen 720 3600 aufschreiben Experiment gedanklich mit 4320 600 Versuchen durchführen und die 3000 erwarteten Aufteilungen an den Stufen vornehmen Auswertung 500 2500 720 600 500 1820 W(Michi) = 0,42 42% 4200 4320 4320 1820 W(Niki) = 0,58 58% 4320 Michi Niki Vergleich mit dem Experiment Experiment (320 reale Versuche) 39,1% 60,3% Theorie (4320 gedachte Versuche) 42% 58% Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 12
Problemlösen: Eine Wahrscheinlichkeit schätzen und verwenden Fische im Teich Im trüben Schulteich des GiPS schwimmen 13 Fische. Ihre Farbe ist entweder gelb oder rot. Man möchte herausfinden, wie viele Fische gelb und wie viele Fische rot sind. Wegen des Tierschutzes darf man jedoch immer nur einen Fisch fangen und seine Farbe feststellen. Danach muss er gleich wieder zurück in Wasser. Wie kann man unter diesen Bedingungen (Teichwasser ablassen, Teich leerfischen usw. ist nicht erlaubt) sinnvoll schätzen, wie viele Fische im Teich rot oder gelb sind? Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 13
Was haben wir gelernt? – Die Wissenskarte zur Wahrscheinlichkeit - Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses bei einem Zufallsversuch wird berechnet absolute Häufigkeit desErgebni sses durch Anzahl derVersuch e . - Relative Häufigkeiten sind bestmögliche Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten. - Mit Annahmen kann man Wahrscheinlichkeiten ohne Versuchsreihe angeben. - Mit Wahrscheinlichkeiten kann man die Häufigkeit von Ergebnissen bei langen Versuchsreihen (in etwa) vorhersagen. - Bei Zufallsexperimenten, die mehrstufig sind hilft ein Baumdiagramm zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten (z.B. 2-maliges Drehen am Glücksrad, 3-maliges Würfeln …). Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 14
Quellen, Literatur, Tipps - Seminar Karlsruhe: Unterrichtseinheit „Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit“, Klasse 7. - Julia Neumann, Hinführung zum Wahrscheinlichkeitsbegriff, DUE, Seminar Karlsruhe, 2009. - Karla Höning, Herausbildung einer Grundvorstellung von Wahrscheinlichkeit in Klasse 7 mittels Vernetzung von auftragsgesteuertem mit dialogischem Lernen, DUE, Seminar Karlsruhe, 2012. - Günther Malle und Sonja Malle, Was soll man sich unter einer Wahrscheinlichkeit vorstellen?, mathematik lehrern, Heft 118, 2003. - Wolfgang Riemer, Internet-Seite: http://www.riemer-koeln.de/ Anfragen zu Materialien des Seminars: rolf-reimer@freenet.de Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 15
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