Begriffsbildung "Wahrscheinlichkeit" - Arbeitskreis "Anwendungsorientierter Mathematikunterricht" Unterrichtseinheit, Klasse 7
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Gymnasium Neureut
Dienstag, 15.05.2012
Arbeitskreis „Anwendungsorientierter Mathematikunterricht“
Rolf Reimer, Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Karlsruhe
Begriffsbildung „Wahrscheinlichkeit“
Unterrichtseinheit, Klasse 7
Anwendungscharakter der Mathematik: „Modellieren“ und „Problemlösen“
Mathematikunterricht als Prozess, in dem Produkte entstehen.
Vernetzung mit der Alltagswelt: Modellierungskreislauf (Vier Phasen – Vier Prozesse)
Ge- und erlebte Welt des Alltags Welt der Schulmathematik
(Bereichert durch nützliche math. Werkzeuge ...) (Ort an dem Werkzeuge gemacht werden ...)
1. 2.
Problemstellung Mathematische Beschreibung
Aufgabe
überführen in
prüfen auf lösen
Brauchbarkeit der Aufgabe
interpretieren der
Lösung des Problems Lösung Lösung der Aufgabe
4. 3.
Aufgabe des Mathematikunterrichts:
Es wird ein Werkzeugkasten mit Gebrauchsanweisungen für die
„blaue Welt“ entwickelt, welcher in der „grünen Welt“ nützlich ist.
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 1
Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit
Empirisch: Relative Häufigkeit Annahmen: Relativer Anteil
Experiment Denken
Relative Häufigkeiten sind (bestmögliche) Anzahl der günstigen Ergebnisse
Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit. Anzahl aller Ergebnisse
Subjektives Vertrauen Prognostischer Aspekt
Persönliche Erfahrungen Maß für eine Erwartung
Mit Wahrscheinlichkeiten will man das Auftreten von Ereignissen
bei Zufallsexperimenten möglichst objektiv vorhersagen.
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 2
Idee: Grundvorstellungen durchgängig über Beispiele ausbilden
Vorwissen nutzen: Anteile, Prozente, Rechnen
Drei Werkzeuge verwenden:
- Experiment (Versuchsreihen auswerten)
- Denken (Annahmen machen)
- Strukturelles Hilfsmittel (Baumdiagramm)
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 3Einstiegsaufgabe – Wer nichts weiß, probiert!
Tisch abräumen – Der Zufall als Streitschlichter
Michi und Niki streiten sich täglich, wenn es darum geht, den
Tisch abzuräumen. Und gemeinsam ist es am
„allerallerallerdoooooofsten“.
Michi schlägt Niki vor, dass von jetzt an der Zufall darüber
entscheiden soll, wer täglich abräumt.
Sie sagt: „Du darfst jeden Tag dreimal würfeln. Wenn du dabei eine Sechs
würfelst, muss ich abräumen. Sonst räumst du ab.“
Soll Niki den Vorschlag annehmen?
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 4Schätzen – Experimentieren – Häufigkeiten
- Lesen
- Verstehen: Spiel durchführen
spielen, Fehlvorstellungen
ausräumen
- Schätzungen abgeben
- Bankweise 10 mal spielen,
Ergebnisse sammeln,
vorstellen, diskutieren
- Ergebnisse sukzessive
kumulieren, absolute und
relative Häufigkeit des
Versuchs bestimmen
- Vergleich des Gesamt-
ergebnisses (320 Versuche)
Niki wird wohl
mit den ersten Ergebnissen (10 nicht „mitspielen“!
Versuche)
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 5Üben und Vertiefen: Zufallsgeräte analysieren und variieren
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 6Vom Würfeln zum Denken
Noten Würfeln mit System
Die Schüler der Klasse 7 beschweren sich
beim Mathelehrer, weil die Noten in den
Klassenarbeiten zu schlecht ausfallen.
Lehrer Reimer macht zwei Vorschläge:
Wer Mathe lernt, hat
1. Ich würfle für jede Note mit einem Würfel. mehr vom Leben.
Die Augenzahl ist die Note.
2. Ich würfle für jede Note mit zwei Würfeln.
Die Summe der beiden Augenzahlen wird halbiert.
Danach wird auf Ganze abgerundet.
Das Ergebnis ist die Note.
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 7Handlungsorient – Tabelle – relativer Anteil Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 8
Durchblick mit einem Baumdiagramm
K.O. - Spiel
In einer Socke befinden sich
7 Plättchen mit dem
Buchstaben „O“ und
2 Plättchen mit dem
Buchstaben „K“. O
Man zieht zweimal mit
K O O
Zurücklegen. O
Beim Ziehen des Wortes O O K O
„OK“ gewinnt man, beim
Ziehen des Wortes „KO“ verliert man.
Bestimme die Gewinnchancen.
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 9Propädeutik der Pfadregel : „Stochastischer Abakus“ nach A. Engel
810
2 7
9 9
180 K 630
O
2 7 2 7
9 9 9 9
K O K O
40 140 140 490
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 10Übungsblatt: Experimentieren oder Denken?
Spiele mit Zufallsgeräten
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 11Die Kür: Tisch abräumen – Lösung ohne Experiment
Baumdarstellung nutzen – Denken 4320
Baumdarstellung: maximal 3 Stufen,
Ergebnisse: 6 und ¬6
Einzelwahrscheinlichkeiten der Stufen 720
3600
aufschreiben
Experiment gedanklich mit 4320 600
Versuchen durchführen und die
3000
erwarteten Aufteilungen an den
Stufen vornehmen
Auswertung 500
2500
720 600 500 1820
W(Michi) = 0,42 42%
4200 4320
4320 1820
W(Niki) = 0,58 58%
4320
Michi Niki
Vergleich mit dem Experiment Experiment (320 reale Versuche) 39,1% 60,3%
Theorie (4320 gedachte Versuche) 42% 58%
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 12Problemlösen: Eine Wahrscheinlichkeit schätzen und verwenden
Fische im Teich
Im trüben Schulteich des GiPS schwimmen
13 Fische. Ihre Farbe ist entweder gelb oder rot.
Man möchte herausfinden, wie viele Fische gelb
und wie viele Fische rot sind.
Wegen des Tierschutzes darf man jedoch immer nur einen Fisch fangen und
seine Farbe feststellen. Danach muss er gleich wieder zurück in Wasser.
Wie kann man unter diesen Bedingungen
(Teichwasser ablassen, Teich leerfischen usw. ist nicht erlaubt)
sinnvoll schätzen, wie viele Fische im Teich rot oder gelb sind?
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 13Was haben wir gelernt? – Die Wissenskarte zur Wahrscheinlichkeit
- Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses bei einem Zufallsversuch wird berechnet
absolute Häufigkeit desErgebni sses
durch Anzahl derVersuch e .
- Relative Häufigkeiten sind bestmögliche Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten.
- Mit Annahmen kann man Wahrscheinlichkeiten ohne Versuchsreihe angeben.
- Mit Wahrscheinlichkeiten kann man die Häufigkeit von Ergebnissen bei langen
Versuchsreihen (in etwa) vorhersagen.
- Bei Zufallsexperimenten, die mehrstufig sind hilft ein Baumdiagramm zur Ermittlung der
Wahrscheinlichkeiten (z.B. 2-maliges Drehen am Glücksrad, 3-maliges Würfeln …).
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 14Quellen, Literatur, Tipps
- Seminar Karlsruhe: Unterrichtseinheit „Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit“, Klasse 7.
- Julia Neumann, Hinführung zum Wahrscheinlichkeitsbegriff, DUE, Seminar Karlsruhe,
2009.
- Karla Höning, Herausbildung einer Grundvorstellung von Wahrscheinlichkeit in
Klasse 7 mittels Vernetzung von auftragsgesteuertem mit dialogischem Lernen, DUE,
Seminar Karlsruhe, 2012.
- Günther Malle und Sonja Malle, Was soll man sich unter einer Wahrscheinlichkeit
vorstellen?, mathematik lehrern, Heft 118, 2003.
- Wolfgang Riemer, Internet-Seite: http://www.riemer-koeln.de/
Anfragen zu Materialien des Seminars: rolf-reimer@freenet.de
Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 15Sie können auch lesen
