S du canton de Berne 3Be math - Erziehungsdirektion
←
→
Transkription von Seiteninhalten
Wenn Ihr Browser die Seite nicht korrekt rendert, bitte, lesen Sie den Inhalt der Seite unten
Bes math
Berner creening Mathematik
Screening zum Erfassen von
Schülerinnen und Schülern mit schwachen
Mathematikleistungen
Elisabeth Moser Opitz
Manual Daniela Berger
Lis Reusser
Erziehungsdirektion
des Kantons Bern
Direction de
l’instruction publique
du canton de BerneScreening zum Erfassen von Schülerinnen und
Schülern mit schwachen Mathematikleistungen
Im Auftrag der Erziehungsdirektion des Kantons Zu den drei Schuljahren liegen die folgenden Un-
Bern haben Frau Elisabeth Moser Opitz, Frau Da- terlagen vor:
niela Berger und Frau Lis Reusser Erfassungsinstru- - Das Testheft enthält die Aufgaben für die Schüle-
mente für Schülerinnen und Schüler mit schwachen rinnen und Schüler.
Mathematikleistungen entwickelt. Die Instrumente - Das Manual gibt Hinweise für den Einsatz des
entstanden in Zusammenarbeit mit Lehrpersonen Diagnoseinstruments. Es enthält weiter eine Be-
und mit Fachpersonen der Erziehungsberatung. Das schreibung der Testaufgaben und Auswertungs-
Screening bietet Entscheidungsgrundlagen für eine beispiele sowie Angaben über die Validierung der
Zuweisung zu besonderen Fördermassnahmen oder Aufgaben.
für eine besondere Beurteilung (reduzierte individu- - Der Bewertungs- und Protokollbogen umfasst de-
elle Lernziele). taillierte Anweisungen für die Durchführung und
Das Screening ist ein Einzeltest und kann Auswertung des Tests sowie Auswertungstabel-
nicht mit Gruppen oder ganzen Klassen durch- len.
geführt werden. Es sollte grundsätzlich von Fach-
personen durchgeführt werden (Lehrpersonen für
Spezialunterricht, Heilpädagoginnen und Heilpäd-
agogen, Schulpsychologinnen und Schulpsycholo-
gen), welche für Abklärungen oder fachspezifische
Beurteilungen zuständig sind. Damit der Test zu
zuverlässigen Ergebnissen führt, ist es wichtig, dass
die Durchführung strikt gemäss den Anweisungen
erfolgt und die Testinstruktionen wörtlich über-
nommen werden. Den Schülerinnen und Schülern
dürfen nur die vorgeschlagenen Hilfestellungen ge-
geben werden.
Es wurden Testaufgaben für das 1., 2. und 3.
Schuljahr entwickelt und erprobt. Die Schülerinnen
und Schüler sollten bei der Testung den Schulstoff
des entsprechenden Schuljahres vollständig erarbei-
tet haben. In der Regel sind sie mit dem Test des Grafische Bearbeitung und Illustrationen
nächstunteren Schuljahres zu prüfen. Barbara Znoj Manurung
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
1 Mathematikleistungen Diagnostizieren: Zielsetzungen des screenings
Besmath 3
1
Mathematikleistungen diagnostizieren:
Zielsetzung des Screenings
Die Diagnose von schwachen Mathematikleistun Schülers in bestimmten Bereichen geben. Aufgrund
gen bzw. von Rechenstörungen oder Rechen- der theoretischen bzw. fachlichen Grundlagen, auf
schwäche ist kein einfaches Unterfangen. In der denen die Instrumente beruhen, können Förderhin-
Regel wird vorgeschlagen, zum Erfassen von Schü- weise abgeleitet werden. Die Verfahren beinhalten
lerinnen und Schülern mit unterdurchschnittlichen aber auch Nachteile. Zum einen ist deren Durchfüh-
Mathematikleistungen einen standardisierten Schul rung oft zeitaufwändig; die zeitlichen Ressourcen
leistungstest und einen IQ-Test zu verwenden (Ja- von Lehrpersonen und Förderlehrpersonen lassen
cobs & Petermann 2005, 72). Ein solches Vorgehen es in der Regel nicht zu, dass während zwei bis drei
beinhaltet jedoch Schwierigkeiten. Zum einen wird Lektionen eine Erfassung durchgeführt wird, nur
die Zuverlässigkeit des IQ-Kriteriums von verschie- um zu entscheiden, ob weitergehende Massnah-
denen Seiten her in Frage gestellt (z.B. Francis u.a. men nötig sind. Zum anderen sind die Testaufgaben
2005). Zum anderen sind die vorliegenden Schulleis- nicht empirisch erprobt, und die Entscheidung, ob
tungstests so konzipiert, dass zwar eine Aussage eine Schülerin bzw. ein Schüler als rechenschwach
gemacht werden kann über die Leistungen einer oder nicht bezeichnet wird, bleibt dem Urteil der
einzelnen Schülerin bzw. eines einzelnen Schülers Person überlassen, die die Erfassung durchführt.
im Vergleich zur Alterspopulation. Die Testergeb- Im Auftrag der Erziehungsdirektion des Kan-
nisse geben jedoch in der Regel keine Auskunft tons Bern wurde deshalb ein Screening für das
über spezifische Schwierigkeiten und fehlende dritte Schuljahr entwickelt und validiert, welches
Kompetenzen – oder nur in einer sehr allgemeinen es erlauben soll, schwache Mathematikleistungen
Form. Damit fehlen auch die Förderhinweise. Dies zuverlässiger und ökonomischer zu erfassen. Die
hängt u.a. damit zusammen, dass die vorliegenden Durchführung dauert je nach Kompetenzen einer
Tests oft in erster Linie Rechenfertigkeiten testen Schülerin bzw. eines Schülers zwischen 40 und 45
und weniger mathematisches Verständnis. Dazu Minuten.
kommt, dass die vorhandenen Tests in Deutschland Grundsätzlich wird ein zweistufiges Diagnose
standardisiert wurden (mit Ausnahme der neuropsy- verfahren vorgeschlagen. Dieses besteht a) aus dem
chologischen Testbatterie ZAREKI) und daher nicht Screening und b) aus einer ausführlichen, qualitativ
ohne weiteres auf Schweizer Verhältnisse übertra- ausgerichteten Lernstandserfassung, mit welcher
gen werden können. im Anschluss an das Screening spezifische Schwie-
In letzter Zeit wird immer wieder die Forde- rigkeiten festgestellt werden können und eine För-
rung laut, dass Instrumente zu entwickeln seien, derung geplant werden kann (vgl. Abb. 1):
die Fertigkeiten und Fähigkeiten überprüfen, wel-
che „Nadelöhre“ für die mathematische Wissens
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
aneignung darstellen (Moser Opitz 2006; Fritz &
Ricken 2005, 6). Solche Instrumente liegen bisher
vor allem als qualitative Lernstandserfassungen vor.
Diese können wohl sehr differenzierte Hinweise
über den Lernstand einer Schülerin bzw. eines
2 Zur Konstruktion des Instruments
Besmath 3
Abb. 1: Zweistufiges Diagnoseverfahren Qualitative Lernstandserfassung (z.B.
Scherer 1999, 2003, 2005; Moser
Opitz & Schmassmann 2002, 2003,
Leistungen liegen im 2004, 2005; Ganser 2005) und beson-
kritischen Bereich ➝ dere Förderung
Schülerin, Schüler
fällt im Unterricht
➝ Besondere Beobachtung im Unter-
Leistungen liegen richt, evtl. Aufarbeitung einzelner
auf durch Schwierig- Durchführung
➝ ➝ knapp über dem ➝ stofflicher Lücken; evtl. erneute
keiten beim Mathe- Screening
kritischen Bereich Durchführung des Screenings nach
matiklernen
➝ einigen Monaten
Leistungen liegen
keine besonderen Massnahmen
nicht im kritischen ➝
Bereich
2
Zur Konstruktion des Instruments
2. 1 Aufgabenauswahl und Vorgehen
Beim vorliegenden Instrument handelt es sich um Für das Instrument wurden aufgrund von fachlichen
ein Screening, also um ein „Sichtungsverfahren“, und fachdidaktischen Kriterien Aufgaben ausge-
welches es erlauben soll, Schülerinnen und Schü- wählt, von welchen aufgrund empirischer Ergeb-
ler mit deutlich unterdurchschnittlichen Mathema- nisse bekannt ist, dass sie für den Aufbau weiterer
tikleistungen zu erfassen. Damit stellen sich andere mathematischer Kompetenzen zentral sind. Dies
Konstruktionsanforderungen als an einen traditio- sind für das dritte Schuljahr insbesondere Aufgaben
nellen Leistungstest. Es wurden folgende Zielset- zum Zählen, zum Dezimalsystem und zur Division
zungen verfolgt: (vgl. Moser Opitz 2006 und 2007; Schäfer 2005;
1. Das Instrument soll in erster Linie einfache Auf- Hiebert & Wearne 1996). Zudem wurden auch Auf-
gaben enthalten, um im unteren Leistungsbe- gaben aufgenommen, welche dem Lernstoff des
reich zu differenzieren. zweiten Schuljahres entsprechen. Die gewählten
2. Das Instrument soll Aufgaben enthalten, welche Zahlenbeispiele entsprechen häufig so genannten
gut trennen zwischen Schülerinnen und Schülern „Kernaufgaben“, d. h. einfachen Aufgaben mit
mit schwachen und solchen mit guten Leistun- Zehner- oder Hunderterzahlen, welche die Grund-
gen. lage bilden für das Ableiten von schwierigeren
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
3. Das Instrument soll Aufgaben enthalten, welche Aufgaben. Zugleich ermöglichen es diese Zahlen-
zentrale Bereiche des mathematischen Verständ- beispiele, das Verständnis des Dezimalsystems zu
nisses überprüfen. überprüfen.
Das Screening ist für die Einzelsituation bzw.
die Arbeit mit einer Kleingruppe vorgesehen. Aus
ökonomischen Gründen wurden die Aufgaben je-
2 Zur Konstruktion des Instruments
Besmath 3
doch mit ganzen Schulklassen erprobt. Eine erste Anforderungs- und Aufgabenmerkmale aufweisen.
Testversion wurde 130 Schülerinnen und Schülern Für eine solche Unterteilung werden somit sowohl
am Ende des dritten Schuljahres vorgelegt. Nach qualitative Überlegungen (theoretisch-inhaltlich
einer ersten Itemanalyse wurde das Instrument begründet) als auch quantitative Kriterien (Aufga-
überarbeitet, und die Aufgaben wurden von 250 benschwierigkeit) beachtet (Rupp u.a. 2006, 207).
Schülerinnen und Schülern aus 16 Schulklassen des Es muss jedoch bedacht werden, dass ein solches
Kantons Bern (Regelklassen und Klassen für Lernbe- Vorgehen – insbesondere die dabei vorgenommene
hinderte) zu Beginn des vierten Schuljahres gelöst. Setzung von Intervallen beim Festlegen der Niveaus
Die nachstehenden Informationen zu den Testgü- – immer auch eine gewisse Willkür beinhaltet (vgl.
temerkmalen beziehen sich auf diese zweite Stich- Rost 2004). Es ergaben sich zwei Niveaus (vgl.
probe. Um möglichst genaue Angaben zu erhalten, Tab. 1), die Anforderungen enthalten, welche sich
welche Aufgaben zuverlässig von schwachen und theoretisch bzw. fachlich unterscheiden lassen. Ein
welche von guten Schülerinnen und Schülern gelöst Niveau gilt als erreicht, wenn eine Schülerin bzw.
wurden, wurden neben traditionellen Itemanaly- ein Schüler mindestens 50% der zum Niveau gehö-
sen (Schwierigkeitsindex, Trennschärfe, Reliabilität) renden Aufgaben richtig gelöst hat.
auch das Raschmodell und das Partial-Credit-Mo-
dell1 (vgl. Bond 2001, 88ff.) verwendet.
2.2 Testgütemerkmale
In Tabelle 1 sind die Testgütemerkmale (Lösungs-
häufigkeit, Trennschärfe, Schwierigkeit in Logits,
Schätzfehler sowie Itemfit) der Aufgaben, welche
für das definitive Instrument beibehalten wurden,
dargestellt. Es wurden nur diejenigen Items ausge-
wählt, welche a) eine befriedigende Trennschärfe
und b) einen akzeptablen Itemfit aufwiesen. Der
Reliabilitätskoeffizient beträgt .84 und kann als be-
friedigend bezeichnet werden.
Die Items wurden anschliessend nach der
Aufgabenschwierigkeit geordnet, und es wurden
Kompetenzniveaus bestimmt. Dabei handelt es sich
um Gruppen von Aufgaben, welche gemeinsame
1 Mit diesen Modellen wird einerseits ein Personenparameter (die Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler) und
andererseits ein Itemparameter (die Schwierigkeit der Aufgaben) geschätzt. Die Itemschwierigkeit wird in Logits ge-
schätzt, für die durchschnittliche Itemschwierigkeit wird der Wert Null gewählt. Ein Wert nahe bei Null liegt somit nahe
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
beim Mittelwert, ein hoher positiver Wert deutet auf ein einfaches Item, ein hoher negativer Wert auf ein schwieriges
Item hin (Bond 2001, 33).
Mit den gewählten Modellen wird die Wahrscheinlichkeit geschätzt, mit der Personen mit einer bestimmten Kom-
petenz bzw. mit einem bestimmten Fähigkeitsprofil eine bestimmte Aufgabe lösen können (Bond & Fox 2001, 20 ff.).
Es werden Aussagen möglich wie: „Eine Schülerin mit einem durchschnittlichen Fähigkeitsprofil kann ein Item mit
mittlerem Schwierigkeitsgrad mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % lösen”. Ein um ein Logit einfacheres Item kann
mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % gelöst werden; ein Item, das ein Logit schwieriger ist, mit einer Wahrschein-
lichkeit von 25 %.
2 Zur Konstruktion des Instruments
Besmath 3
Tab. 1: Testgütemerkmale BeSMath 3 geordnet nach Aufgabenschwierigkeit
Niveau 1
Nr. Item Schwierig- Trennschärfe Schwierig- Schätzfehler Itemfit
keit keit Logit
1 halbieren 50 96.40 0.30 -1.816 0.130 0.4
9 verdoppeln 214 96.40 0.31 -1.817 0.13 0.4
21 12 : 3 95.20 0.31 -1.377 0.127 0.1
22 80 : 8 94.40 0.34 - 0.892 0.122 0.3
4 halbieren 480 93.20 0.24 -1.015 0.123 0.3
23 30 : 5 92.80 0.27 -1.176 0.125 - 0.1
14 erste Malrechnung zu 24 92.40 0.42 - 0.871 0.122 0.1
2 halbieren 90 92.40 0.42 - 0.886 0.122 - 0.0
5 88 – 23 92.00 0.38 - 0.753 0.121 0.1
6 29 – 17 90.40 0.29 - 0.515 0.118 0.3
10 verdoppeln 125 90.00 0.35 - 0.533 0.118 0.3
7 73 – 50 89.60 0.32 - 0.423 0.117 0.4
11 61 + ? = 100 89.20 0.43 - 0.373 0.116 - 0.4
15 zweite Malrechnung zu 24 89.20 0.48 - 0.423 0.117 - 0.3
18 17 • 10 88.80 0.38 - 0.320 0.116 - 0.1
3 halbieren 120 88.80 0.50 - 0.388 0.117 - 0.6
32 Stellentafel „Hundertfünf“ 88.40 0.23 - 0.275 0.115 0.8
8 165 – 31 88.40 0.32 - 0.301 0.121 0.4
16 erste Malrechnung zu 45 87.20 0.48 - 0.197 0.115 - 0.1
26 bündeln von 34 86.00 0.38 - 0.046 0.113 - 0.2
19 5 • 60 84.80 0.36 0.073 0.111 0.4
12 720 + ? = 1000 84.40 0.42 0.107 0.111 - 0.3
27 bündeln von 63 84.00 0.42 0.135 0.111 - 0.5
Niveau 2
Nr. Item Schwierig- Trennschärfe Schwierig- Schätzfehler Itemfit
keit keit Logit
34 547 + 256 80.80 0.37 0.367 0.108 0.5
28 Zahlenstrahl 870 80.00 0.31 0.457 0.107 1.1
20 10 • 48 79.20 0.49 0.513 0.107 - 0.5
13 270 + ? = 400 77.20 0.46 0.646 0.106 - 0.7
24 Malrechnung zu 35 : 7 = 5 74.80 0.53 0.793 0.104 - 0.6
29 Zählen in Einerschritten rw 70.40 0.33 1.065 0.102 1.0
25 Division zu 3 • 6 = 18 64.80 0.50 1.361 0.100 - 0.8
17 zweite Malrechnung zu 45 64.80 0.44 1.347 0.100 - 0.1
36 Fahrrad2 79.2 0.63 1.169 0.079 - 0.5
31 Zählen in Zehnerschritten rw 59.20 0.37 1.654 0.009 1.0
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
30 Zählen in Zweierschritten vw 57.20 0.30 1.735 0.098 2.6
35 365 – 128 55.60 0.37 1.812 0.098 0.8
33 Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 50.80 0.48 2.062 0.686 - 0.2
37 Früchte 2 50.40 0.57 1.894 0.072 1.2
2 Partial credit Items, wurden mit 0/1/2 beurteilt.
2 Zur Konstruktion des Instruments
Besmath 3
Niveau 1 enthält Aufgaben zum Zahlaufbau und zu thematikleistungen (vgl. Moser Opitz 2007).
den Grundoperationen im Zahlenraum bis Hundert Der Test wurde in zwei Pseudoparallelformen
sowie einige Aufgaben aus dem Zahlenraum bis durchgeführt, welche sich durch die Aufgabenrei-
1000, welche keine Hunderterübergänge enthal- henfolge unterschieden. Ein t-Test für unabhängige
ten. Mit den Aufgaben von Niveau 1 werden somit Stichproben ergab keinen statistisch signifikanten
basale Inhalte des Lernstoffes des zweiten Schul- Unterschied zwischen Form A und B (t = .200,
jahres überprüft. Niveau 2 umfasst komplexere An- df 248, p > 0.05). Zwischen den Leistungen von
forderungen wie die Einsicht ins Bündelungs- bzw. Jungen und Mädchen zeigte sich ebenfalls kein sta-
Entbündelungsprinzip bis 1000, das Herstellen von tistisch signifikanter Unterschied, allerdings waren
Beziehungen zwischen den Operationen (z.B. Zu- die Leistungen der Mädchen schlechter als diejeni-
sammenhang Multiplikation – Division) und das gen der Jungen (t = 1.678, df 248, p > 0.05).
Lösen von mehrschrittigen Aufgaben (Sachaufga- Abb. 2 zeigt die Häufigkeitsverteilung der
ben, halbschriftliche Addition und Subtraktion). Ergebnisse. Da das Instrument zum Ziel hat, Schüle-
Man könnte auch sagen, dass Niveau 2 Aufgaben rinnen und Schüler mit unterdurchschnittlichen Ma-
enthält, welche basale Fähigkeiten des Lernstoffes thematikleistungen zu erfassen, ist die Verteilung
des dritten Schuljahres überprüfen. Insbesondere erwartungsgemäss rechtsschief, und es gibt einen
das Zählen in Schritten und die Division gelten als Deckeneffekt.
Prädiktoren für die Vorhersage von schwachen Ma-
Abb. 2: Häufigkeitsverteilung 3. Klasse
Anzahl Schülerinnen und Schüler
50
40
30 Mittelwert = 32
Standardabweichung = 6
N = 250
20
10
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
0 Erreichte Punkte
10 20 30 40
2 Zur Konstruktion des Instruments
Besmath 3
2.3 Festlegung des kritischen Bereichs
Die Festlegung eines kritischen Bereichs ist in jedem legungen wurde der Cut-off-Score von 23 Punkten
Fall eine Entscheidung, welche auf der Grundlage beibehalten.
von Vorannahmen geschieht und immer zu einem Für die Analyse des Testresultats ist es aber
Teil willkürlich bleibt (vgl. Zieky 2001; Rost 2004). zusätzlich wichtig zu wissen, wie der Gesamtscore
Zudem sagt ein solcher Wert für sich allein nicht einer Schülerin bzw. eines Schülers zustande ge-
aus, ob einfache oder schwierige Aufgaben richtig kommen ist. Dies wird durch eine qualitative Analy-
gelöst wurden. Cut-off-Werte sind deshalb immer se, d.h. durch eine Zuteilung der Aufgaben zu den
mit einer gewissen Vorsicht zu betrachten, und de- Kompetenzniveaus gemacht. Dadurch kann zu-
ren Festlegung muss sorgfältig und nachvollziehbar sätzlich festgestellt werden, welche Aufgaben eine
begründet – und auch immer wieder hinterfragt – Schülerin bzw. ein Schüler richtig bzw. falsch ge-
werden. löst hat. Dies ergibt ergänzende Informationen zur
Für das vorliegende Instrument wurden Einschätzung der mathematischen Kompetenzen.
deshalb zur Festlegung eines solchen Wertes ver- Auswertungsbeispiele sind in Kapitel 4 aufgeführt.
schiedene Zugangsweisen gewählt: Einerseits eine Obwohl das Screening einfache Aufgaben
normorientierte, welche durch eine inhaltliche Vali- beinhaltet, welche Basiskompetenzen des zweiten
dierung durch Expertinnen überprüft wurde, ande- und dritten Schuljahres überprüfen, kann es wäh-
rerseits eine kriteriumsorientierte, bei welcher ana- rend des ganzen vierten Schuljahres durchgeführt
lysiert wurde, welche Aufgaben eine Schülerin bzw. werden. Aufgrund von Untersuchungen mit re-
ein Schüler richtig gelöst hat. chenschwachen Fünftklässlern und Achtklässlern
Da das vorliegende Instrument zum Ziel hat, (vgl. Moser Opitz 2005) kann davon ausgegangen
Schülerinnen und Schüler mit unterdurchschnittli- werden, dass sich die hier überprüften Kompe-
chen Leistungen für eine weiterführende Diagnos- tenzen – wenn wirklich eine Rechenschwäche vor-
tik und Förderung zu erfassen, ist es wichtig, dass liegt – trotz des zusätzlich behandelten Lernstoffes
möglichst keine falsch-negativen Klassifizierungen im Unterricht nicht weiter entwickeln.
erfolgen. Es muss also verhindert werden, dass Schü-
lerinnen und Schüler, die eine besondere Förderung
benötigen, nicht erkannt bzw. nicht erfasst werden.
Da es sich beim BeSMath um einen leichten Test
handelt, würde z.B. das in Schulleistungstests üb-
licherweise verwendete normorientierte Kriterium
von „Mittelwert – zwei Standardabweichungen“ zu
falsch-negativen Klassifikationen führen. Das heisst,
dass Schülerinnen und Schüler mit schwachen Leis
tungen fälschlicherweise nicht erkannt würden.
Als kritischer Wert wurde deshalb „Mittelwert
– 1½ Standardabweichungen“ (hier 32 – 9 = 23)
festgelegt (vgl. auch von Aster & Weinhold 2006).
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
Dieser Wert wurde in einer Befragung durch Ex-
pertinnen validiert, indem diese festlegten, welche
Aufgaben von einem schwachen Schüler bzw. einer
schwachen Schülerin am Ende des dritten Schul-
jahres gelöst werden sollten. Aufgrund dieser Über-
3 Beschreibung der Aufgaben
Besmath 3
3
Beschreibung der Aufgaben
Halbieren / Verdoppeln
Mit diesen Aufgaben wird überprüft, ob die Schüle- Schüler verstanden hat, dass beim Multiplizieren
rin bzw. der Schüler den Begriff des Halbierens bzw. mit zehn aus den Einern Zehner und aus den Zeh-
des Verdoppelns kennt, d.h. ob die Hälfte bzw. das nern Hunderter werden.
Doppelte einer Anzahl berechnet werden kann,
bzw. ob das Resultat automatisiert zur Verfügung Geteilt-Aufgaben / Geteilt und Mal
steht. Halbieren und Verdoppeln gelten als einfache, Zuerst wird mit einfachen Aufgaben überprüft, ob
jedoch zentrale Kopfrechenaufgaben, von welchen die Schülerin bzw. der Schüler einfache Kopfrechen-
schwierigere Aufgaben abgeleitet werden können. aufgaben zur Division lösen kann. Das zweite Auf-
Es ist deshalb wichtig, dass diese sicher und effizi- gabenformat überprüft, ob die Schülerin bzw. der
ent beherrscht werden. Schüler weiss, welche Zahlen, die in der Malrech-
nung vorgekommen sind, in der Geteilt-Rechnung
Minusaufgaben welche Funktion und Position übernehmen und
Die vier Minusaufgaben überprüfen, ob die Schüle- umgekehrt. Es zeigt also, ob der Zusammenhang
rin bzw. der Schüler die Subtraktion als Operation zwischen Multiplikation und Division verstanden ist.
verstanden hat und einfache Subtraktionen schritt- Um die Aufgabe korrekt zu lösen, ist das Verständ-
weise rechnen kann (Kopfrechnen). nis beider Grundoperationen wichtig (vgl. Radatz &
Schipper 1998, 82).
Ergänzen
Mit den Aufgaben wird überprüft, ob die Schüle- Immer Zehn
rin bzw. der Schüler von einer bestimmten Zahl aus Die beiden Aufgaben überprüfen die Einsicht in das
auf den nächsten Hunderter oder Tausender ergän- Prinzip der Bündelung und der Stellenwerte. Um die
zen kann. Ergänzen basiert auf dem Zerlegen von Aufgabe korrekt zu lösen, muss das Zusammenfas-
Zahlen und setzt das Verständnis von Addition und sen von immer zehn Punkten zu einem „Zehner-
Subtraktion und des Bündelns (zehn Einheiten zu- päckchen“ (Bündeln) verstanden sein, so dass er-
sammenfassen zur nächst grösseren Einheit) bzw. kannt wird, dass bei 34 Punkten drei Gruppen mit
Entbündelns (eine Einheit in die nächst kleinere Ein- zehn Punkten gemacht werden könnten und vier
heit umwandeln) voraus. Punkte übrig blieben. Es ist wichtig, dass die Schüle-
rin bzw. der Schüler die Aufgabe löst, ohne die Zeh-
Malaufgaben nerpäckchen zu zeichnen. Nur so kann überprüft
Die Schülerin bzw. der Schüler soll zu einem Ergeb- werden, ob der dezimale Zahlaufbau verstanden
nis zwei verschiedene Malaufgaben suchen. Weiter ist.
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
wird das Zehnereinmaleins geprüft. Das Verständ-
nis des Zehnereinmaleins entwickelt sich aus dem Zahlenstrahl
Verständnis des Einmaleins und des Dezimalsys- Bei dieser Aufgabe soll die im Kasten vorgegebene
tems und ist ein zentraler Lerninhalt des dritten Zahl einer der Markierungen auf dem vertikalen
Schuljahres. Wichtig ist, dass die Schülerin bzw. der Zahlenstrahl zugeordnet werden. Überprüft wird
3 Beschreibung der Aufgaben
Besmath 3
das analoge Zahlenverständnis durch das Zuordnen schrittweise Rechnen (46 + 39 wird gerechnet als
von Zahlen zu einer räumlich analogen Position (vgl. 46 + 30 = 76 ➞ 76 + 9 = 85) oder Stellenwerte
von Aster 2002, 21). Diese Aufgabe setzt die lineare extra (46 + 39 wird gerechnet als 40 + 30 = 70, 6 +
Orientierung im Tausenderraum und das Verständ- 9 = 15, 70 + 15 = 85).
nis der Darstellung des Zahlenstrahls voraus. Um die Solche Aufgaben enthalten besondere An-
Aufgabe korrekt zu lösen, muss erkannt werden, forderungen. Es müssen Zehner- bzw. Hunder-
dass die Abstände zwischen den Markierungen terübergänge vollzogen werden. Zudem wird die
und die Position der Markierung in Bezug auf den Schwierigkeit dadurch erhöht, dass mehrere Re-
ganzen Zahlenstrahl wesentlich sind. chenschritte erforderlich sind (Radatz & Schipper
1999, 78).
Zählen Die halbschriftlichen Verfahren leisten ei-
Die Zählkompetenz ist eine zentrale Voraussetzung nen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung des ma-
für das sichere Erlernen von arithmetischen Basis- thematischen Denkens, da sie die Einsicht in den
kompetenzen (vgl. Moser Opitz 2005, 120). Das dezimalen Zahlaufbau, die Entwicklung von Grös-
Zählen in Schritten grösser als eins ist wichtig für die senvorstellungen und von elementaren Rechenge-
Ablösung vom zählenden Rechnen. Die Übergänge setzen unterstützen (Moser Opitz & Schmassmann
über Zehner und Hunderter geben zudem Hinwei- 2003, 45). Die Schülerin bzw. der Schüler sollte bei
se darauf, ob Einsicht ins Dezimalsystem erworben diesen Aufgaben angehalten werden, diese nicht
worden ist. schriftlich zu lösen.
Stellentafel Sachrechnen: Fahrrad / Früchte
Für das sichere Rechnen im Tausenderraum ist es Die Aufgaben zum Geld überprüfen vor allem die
zentral, dass die Schülerin bzw. der Schüler das Prin- Mathematisierungsfähigkeit bzw. das Sachrechnen.
zip der Zehnerbündelung, der dezimalen Einheiten Es geht darum, in einer Alltagssituation (kaufen,
(Einer, Zehner, Hunderter) und der Stellenwerte ver- Geld herausgeben) den mathematischen Gehalt zu
standen hat. Dies wird überprüft, indem eine Auf- erkennen und diesen mit mathematischen Metho-
gabe gestellt wird, die eine Null enthält, sowie eine den zu bearbeiten.
Aufgabe, in welcher eine Bündelung vorgenommen
werden muss.
Grosse Plus- und Minusaufgaben
Mit den beiden Aufgaben wird das Verständnis
der halbschriftlichen Addition und Subtraktion im
Tausenderraum überprüft. Unter halbschriftlichem
Rechnen wird die Ausführung und Darstellung von
eigenständigen, flexiblen Rechenstrategien verstan-
den, die zwischen Kopfrechnen und den schriftlichen
Normalverfahren angesiedelt sind. Halbschriftliches
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
Rechnen meint Rechnen unter Verwendung geeig-
neter Strategien. Zwischenschritte, Zwischenrech-
nungen und –ergebnisse werden festgehalten, wo-
bei die Notation nicht festgelegt ist (Krauthausen &
Scherer 2001). Häufige Vorgehensweisen sind das
104 Auswertung und Interpretation
Besmath 3
4
Auswertung und Interpretation
Mit dem Protokollbogen werden die Aufgaben kon In Auswertungstabelle 2 im Protokollbogen sind
trolliert und bewertet. Bei den Aufgaben „Fahrrad“ die Aufgaben aufsteigend nach Schwierigkeit ge-
und „Früchte“ ist die Bewertung 0/1/2 möglich, bei ordnet. Das Eintragen der Resultate benötigt hier
allen anderen Aufgaben gilt die Bewertung 0/1. etwas mehr Zeit, da die Reihenfolge der Aufgaben
Diese Werte können wahlweise in zwei ver- nicht derjenigen im Protokollbogen entspricht. Die
schiedene Auswertungstabellen eingetragen und Auswertung liefert jedoch wichtige zusätzliche
addiert werden. In Auswertungstabelle 1 im Pro- Informationen, da dadurch sichtbar wird, ob die
tokollbogen sind die Aufgaben nach der Lösungs- Schülerin bzw. Schüler vor allem einfache oder auch
reihenfolge geordnet. Dies erlaubt ein einfaches schwierige Aufgaben richtig gelöst hat (siehe Aus-
Übertragen der Resultate aus dem Protokollbogen. wertungsbeispiel 4).
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
114 Auswertung und Interpretation
Besmath 3
Auswertungsbeispiel 1
Name: Jasmin
Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte
1 halbieren 50 0 23 30 : 5 1
2 halbieren 90 0 24 Malrechnung zu 35 : 7 = 5 1
3 halbieren 120 0 25 Division zu 3 • 6 = 18 1
4 halbieren 480 0 26 bündeln von 34 0
5 88 – 23 1 27 bündeln von 63 0
6 29 – 17 1 28 Zahlenstrahl 870 1
7 73 – 50 1 29 Zählen in Einerschritten rw 0
8 165 – 31 0 30 Zählen in Zweierschritten vw 0
9 verdoppeln 214 1 31 Zählen in Zehnerschritten rw 0
10 verdoppeln 125 1 32 Stellentafel „Hundertfünf“ 1
11 61 + ? = 100 1 33 Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 0
12 720 + ? = 1000 0 34 547 + 256 0
13 270 + ? = 400 0 35 365 – 128 0
14 erste Malrechnung zu 24 1 36a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0
15 zweite Malrechnung zu 24 1 36b Fahrrad: richtiges Resultat 0
16 erste Malrechnung zu 45 1 37a Früchte: richtiger Lösungsweg 0
17 zweite Malrechnung zu 45 0 37b Früchte: richtiges Resultat 0
18 17 • 10 1
19 5 • 60 1 Total Niveau 1 15
20 10 • 48 0 Total Niveau 2 3
21 12 : 3 1 Total 18
22 80 : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16)
Jasmin erreicht einen Testwert von 18 Punkten. Ihre Weiter fällt auf, dass sämtliche Halbierungsaufgaben von
Leistung liegt somit unter dem kritischen Wert von 23 Niveau 1 falsch gelöst sind.
Punkten, und sie kann als eine Schülerin mit deutlich un- Mit Jasmin müsste nun eine ausführliche Lernstandser-
terdurchschnittlichen Mathematikleistungen bezeichnet fassung durchgeführt werden, welche ihre Kenntnisse
werden und braucht besondere Förderung. Jasmin hat des Zahlenraums bis 1000 bzw. des Operierens in diesem
die meisten Aufgaben zum Basisstoff im Zahlenraum bis Zahlenraum genauer analysiert. Wenn sich die stofflichen
100 (Niveau 1) richtig gelöst, jedoch nur drei Aufgaben Lücken bestätigen, muss eine spezielle Förderung geplant
von Niveau 2. Aufgaben von Niveau 1 und 2, die den und durchgeführt werden, und es muss sorgfältig über-
erweiterten Zahlenraum bis 1000 bzw. Zehner- oder Hun- prüft werden, in welchen Bereichen Jasmin dem Lern-
derterübergang beinhalten und die zum basalen Lernstoff programm ihrer Klasse folgen kann, und wo individuelle
des dritten Schuljahres gehören, hat Jasmin falsch gelöst. Lernziele festgelegt werden müssen.
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
124 Auswertung und Interpretation
Besmath 3
Auswertungsbeispiel 2
Name: Leonie
Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte
1 halbieren 50 1 23 30 : 5 1
2 halbieren 90 1 24 Malrechnung zu 35 : 7 = 5 1
3 halbieren 120 0 25 Division zu 3 • 6 = 18 1
4 halbieren 480 1 26 bündeln von 34 1
5 88 – 23 1 27 bündeln von 63 1
6 29 – 17 1 28 Zahlenstrahl 870 1
7 73 – 50 1 29 Zählen in Einerschritten rw 0
8 165 – 31 1 30 Zählen in Zweierschritten vw 0
9 verdoppeln 214 1 31 Zählen in Zehnerschritten rw 0
10 verdoppeln 125 1 32 Stellentafel „Hundertfünf“ 1
11 61 + ? = 100 0 33 Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 0
12 720 + ? = 1000 0 34 547 + 256 0
13 270 + ? = 400 0 35 365 – 128 1
14 erste Malrechnung zu 24 1 36a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0
15 zweite Malrechnung zu 24 1 36b Fahrrad: richtiges Resultat 0
16 erste Malrechnung zu 45 1 37a Früchte: richtiger Lösungsweg 0
17 zweite Malrechnung zu 45 1 37b Früchte: richtiges Resultat 0
18 17 • 10 1
19 5 • 60 1 Total Niveau 1 20
20 10 • 48 1 Total Niveau 2 6
21 12 : 3 1 Total 26
22 80 : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16)
Leonies Leistungen liegen mit 26 Punkten knapp über die Ergänzungsaufgaben und Aufgaben mit Zehner- oder
dem festgelegten kritischen Wert von 23 Punkten. Sie hat Hunderterübergängen (z.B. Zählen) falsch gelöst hat. Ihre
fast alle Aufgaben von Niveau 1 und einen Teil der Aufga- Kenntnisse dieser Inhalte müssten beobachtet und diese
ben von Niveau 2 richtig gelöst. Sie ist keine Schülerin mit müssen evtl. nochmals erarbeitet werden. Um sicher-
deutlich unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen. zustellen, dass Leonie keine Schülerin mit unterdurch-
Ihr Resultat weist aber auf eher schlechte mathematische schnittlichen Mathematikleistungen ist, kann das Scree-
Leistungen hin, da sie weniger als 50% der Aufgaben ning nach einigen Monaten wiederholt werden.
von Niveau 2 richtig gelöst hat. Es fällt z.B. auf, dass sie
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
134 Auswertung und Interpretation
Besmath 3
Auswertungsbeispiel 3
Name: Michael
Nr. Aufgabe Punkte Nr. Aufgabe Punkte
1 halbieren 50 1 23 30 : 5 1
2 halbieren 90 1 24 Malrechnung zu 35 : 7 = 5 1
3 halbieren 120 1 25 Division zu 3 • 6 = 18 1
4 halbieren 480 1 26 bündeln von 34 1
5 88 – 23 1 27 bündeln von 63 0
6 29 – 17 1 28 Zahlenstrahl 870 1
7 73 – 50 1 29 Zählen in Einerschritten rw 0
8 165 – 31 1 30 Zählen in Zweierschritten vw 1
9 verdoppeln 214 1 31 Zählen in Zehnerschritten rw 0
10 verdoppeln 125 1 32 Stellentafel „Hundertfünf“ 1
11 61 + ? = 100 1 33 Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 0
12 720 + ? = 1000 1 34 547 + 256 1
13 270 + ? = 400 0 35 365 – 128 1
14 erste Malrechnung zu 24 1 36a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 1
15 zweite Malrechnung zu 24 1 36b Fahrrad: richtiges Resultat 1
16 erste Malrechnung zu 45 1 37a Früchte: richtiger Lösungsweg 0
17 zweite Malrechnung zu 45 1 37b Früchte: richtiges Resultat 0
18 17 • 10 1
19 5 • 60 1 Total Niveau 1 22
20 10 • 48 1 Total Niveau 2 10
21 12 : 3 1 Total 32
22 80 : 8 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16)
Michaels Leistungen entsprechen den Leistungen eines ca. die Hälfte der Aufgaben von Niveau 2 richtig. Das be-
durchschnittlichen Schülers in dieser Stichprobe. Er löst deutet, dass er über die zentralen Lerninhalte des dritten
mit einer Ausnahme alle Aufgaben des Niveaus 1 und Schuljahres verfügt.
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
144 Auswertung und Interpretation
Besmath 3
Auswertungsbeispiel 4
Name: Samuel
Nr. Niveau 1 Punkte Nr. Niveau 2 Punkte
1 halbieren 50 1 34 547 + 256 0
9 verdoppeln 214 1 28 Zahlenstrahl 870 0
21 12 : 3 0 20 10 • 48 0
22 80 : 8 0 13 270 + ? = 400 0
4 halbieren 480 1 24 Malrechnung zu 35 : 7 = 5 0
23 30 : 5 0 36a Fahrrad: richtiger Lösungsweg 0
14 erste Malrechnung zu 24 0 29 Zählen in Einerschritten rw 0
2 halbieren 90 0 25 Division zu 3 • 6 = 18 0
5 88 – 23 1 17 zweite Malrechnung zu 45 0
6 29 – 17 1 36b Fahrrad: richtiges Resultat 0
10 verdoppeln 125 0 31 Zählen in Zehnerschritten rw 0
7 73 – 50 1 37a Früchte: richtiger Lösungsweg 1
11 61 + ? = 100 0 30 Zählen in Zweierschritten vw 0
15 zweite Malrechnung zu 24 0 35 365 – 128 0
18 17 • 10 0 33 Stellentafel: 3 H 7 Z 20 E 0
3 halbieren 120 0 37b Früchte: richtiges Resultat 1
32 Stellentafel „Hundertfünf“ 1 Total Niveau 2 2
8 165 – 31 1
16 erste Malrechnung zu 45 0 Total 12
26 bündeln von 34 1 Niveau 1 (23) Niveau 2 (16)
19 5 • 60 0
12 720 + ? = 1000 0
27 bündeln von 63 1
Total Niveau 1 10
Samuel hat 12 Punkte erreicht, seine Leistungen sind 1000 seine Wissenslücken differenziert erfasst werden.
deutlich unterdurchschnittlich. Er hat weniger als die Dabei müsste besonders überprüft werden, ob er die
Hälfte der Basisaufgaben zum Zwanzigerraum richtig ge- anspruchsvollen Sachaufgaben wirklich verstanden hat,
löst – jedoch eine der schwierigsten Aufgaben (Sachre- oder ob das Resultat allenfalls zufällig zustande gekom-
chenaufgabe) von Niveau 2. Mit ihm müssten mit einer men ist.3
ausführlichen Lernstandserfassung zum Zahlenraum bis
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
3 Das Beispiel stammt aus der Erprobung mit ganzen Klassen. Es könnte z. B. sein, dass Samuel das Resultat abge-
schrieben hat.
15Literatur
Besmath 3
Literatur
Bond, T.G.; Fox, C.M. (2001): Applying the Rasch Modell. Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2004b): Heilpädago-
Fundamental measurement in the human sciences. gischer Kommentar zum Zahlenbuch 2 (2., leicht er-
Mahwah u.a.: Erlbaum weit. Aufl.). Zug: Klett
Francis, D.J.; Fletcher, J.M.; Stuebing, K.; Lyon, G.R.; Shay- Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2005): Heilpädago-
witz, B.A.; Shaywitz, S.E. (2005): Psychometric ap- gischer Kommentar zum Zahlenbuch 5 + 6. Zug:
proaches to the identification of LD: IQ and achieve- Klett
ment scores are not sufficient. In: Journal of Learning Radatz, H.; Schipper, W., Dröge, R.; Ebeling, A. (1999):
Disabilities 38, 98-108 Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schul-
Fritz, A.; Ricken, G. (2005): Früherkennung von Kindern jahr. Hannover: Schroedel
mit Schwierigkeiten im Erwerb von Rechenfähig- Radatz, H.; Schipper, W.; Dröge, R.; Ebeling, A. (1998):
keiten. In: Hasselhorn, M.; Marx, H.; Schneider, W. Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schul-
(Hrsg.). Diagnostik von Mathematikleistungen. Tests jahr. Hannover: Schroedel
und Trends Band 4. Göttingen u.a.: Hogrefe Rost, J. (2004): Psychometrische Modelle zur Überprüfung
Ganser, B. (Hrsg.) (2005a): Rechenschwäche überwinden. von Bildungsstandards anhand von Kompetenzmo-
Fehleranalyse / Lernstandsdiagnose mit Materialien dellen. In: Zeitschrift für Pädagogik 50, 662-678
und Kopiervorlagen. Band 1. 2. Aufl. Donauwörth: Rupp, A.A.; Leucht, M.; Hartung, R. (2006): Die Kompe-
Auer tenzbrille aufsetzen. Verfahren zur multiplen Klassi-
Ganser, B. (Hrsg.) (2005b): Rechenschwäche überwinden. fikation von Lernenden für Kompetenzdiagnostik in
Fehleranalyse / Lernstandsdiagnose mit Materialien Unterricht und Testung. In: Unterrichtswissenschaft
und Kopiervorlagen, Klasse 3-5. Band 2. Donau- 34, 195-219
wörth: Auer Schäfer, J. (2005): Rechenschwäche in der Eingangsstufe
Hiebert, J.; Wearne, D. (1996): Instruction, understanding, der Hauptschule. Lernstand, Einstellung und Wahr-
and skill in multidigit addition and subtraction. In: nehmungsleistungen. Hamburg: Verlag Dr. Kovač
Cognition and Instruction 14, 251-283 Scherer, P. (1999): Produktives Lernen für Kinder mit Lern-
Jacobs, C.; Petermann, F. (2005): Diagnostik von Mathema- schwächen. Fördern durch Fordern. Band 1: Zwanzi-
tikstörungen. Göttingen u.a.: Hogrefe gerraum. Leipzig u.a.: Klett
Krauthausen, G.; Scherer, P. (2001): Einführung in die Ma- Scherer, P. (2003): Produktives Lernen für Kinder mit Lern-
thematikdidaktik. Heidelberg u.a.: Verlag Spektrum schwächen. Fördern durch Fordern. Band 2: Additi-
Moser Opitz, E. (2005): Lernschwierigkeiten Mathematik on und Subtraktion im Hunderterraum. Horneburg:
in Klasse 5 und 8. Eine empirische Untersuchung zu Persen
fehlenden mathematischen Basiskompetenzen. In: Scherer, P. (2005): Produktives Lernen für Kinder mit Lern-
Vierteljahresschrift für Heilpädagogik und ihre Nach- schwächen. Fördern durch Fordern. Band 3: Multipli-
bargebiete 74, 113-128 kation und Division im Hunderterraum. Horneburg:
Moser Opitz, E. (2006): Diagnostik von Mathematikleis- Persen
tungen. In: von Stechow, E.; Hofmann, Ch. (Hrsg.): Von Aster, M.; Weinhold, M. (2006): Testverfahren zur Dys-
Sonderpädagogik und PISA. Kritisch-konstruktive kalkulie Zareki-R. 2. Aufl. Frankfurt am Main: Sweets
Beiträge. Bad Heilbrunn: Klinkhardt, 279-290 Testservice
Moser Opitz, E. (2007): Rechenschwäche / Dyskalkulie. Von Aster, M. (2002): Testverfahren zur Dyskalkulie Zare-
Theoretische Klärung und empirische Studien an ki. Frankfurt am Main: Sweets Testservice
betroffenen Schülerinnen u. Schülern. Bern u.a.: Zieky, M. (2001): So much has changed: How the setting
Haupt of cutscores has evolved since the 1980s. In: Cizek,
Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2002): Heilpädago- G.J. (Hrsg.). Setting performance standards. Con-
gischer Kommentar zum Zahlenbuch 1. Zug: Klett
Publ. 2008 www.erz.be.ch/besmath
cepts, methods, perspectives. Mahwah, New Jersey
Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2003): Heilpädago- u.a.: Erlbaum
gischer Kommentar zum Zahlenbuch 3. Zug: Klett
Moser Opitz, E. & Schmassmann, M. (2004a): Heilpädago-
gischer Kommentar zum Zahlenbuch 4. Zug: Klett
16Sie können auch lesen
