Die Fallstricke der Verdopplung - Fakultät für Mathematik
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Die Fallstricke der Verdopplung
Corona-Virus, Politik, Medien und Mathematik
7. April 2020
https://www.youtube.com/watch?v=9ODf9GKEuXQL
https://www.youtube.com/watch?v=77Ge6R9NvvY
Prof. Dr. Moritz Kaßmann
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld Foto: CDC/ A. Eckert; D. Higgins
1/15
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Zusammenfassung
1. Die Verdopplungszeit in aller Munde: Was sagt sie eigentlich?
2. Die Verdopplungszeit wird falsch berechnet!
3. Wir sind auf einem guten Weg.
2/15
Die Verdopplungszeit
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Definition
Die Verdopplungszeit gibt einen Zeitraum an, innerhalb dessen sich
eine Größe verdoppelt.
Größen von Bedeutung im Zusammenhang mit Corona/COVID-19
1 Anzahl tatsächlicher Infektionen
2 Anzahl bekannter Infektionen ⇐ Aktuelle Diskussion
3 Anzahl gestorbener Personen
3/15Die Verdopplungszeit
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Definition
Die Verdopplungszeit gibt einen Zeitraum an, innerhalb dessen sich
eine Größe verdoppelt.
Größen von Bedeutung im Zusammenhang mit Corona/COVID-19
1 Anzahl tatsächlicher Infektionen
2 Anzahl bekannter Infektionen ⇐ Aktuelle Diskussion
3 Anzahl gestorbener Personen
Mathematische Tatsache
Jeder exponentielle Wachstumsprozess besitzt eine konstante
Verdopplungszeit. Sie ändert sich nicht mit der Zeit.
3/15Die Verdopplungszeit in aller Munde
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
• Angela Merkel auf der Pressekonferenz am 1. April:
Es müssen eher 12, 13 oder 14 Tage“ sein.
”
4/15Die Verdopplungszeit in aller Munde
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
• Angela Merkel auf der Pressekonferenz am 1. April:
Es müssen eher 12, 13 oder 14 Tage“ sein.
”
• heute journal vom 5. April
4/15Die Verdopplungszeit in aller Munde
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
• Angela Merkel auf der Pressekonferenz am 1. April:
Es müssen eher 12, 13 oder 14 Tage“ sein.
”
• heute journal vom 5. April
• Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung vom 5. April
Wir sagten damals: Wir wollen, dass unser Gesundheitswesen nicht überfordert wird. Dazu
müssten wir in dieser Phase Verdopplungszeiten von deutlich über zehn Tagen haben.
Wahrscheinlich sogar eher zwölf oder vierzehn Tagen (Kanzleramtsminister Braun, FAS)
Am Freitag lag die Verdopplungszeit in Deutschland bei etwa neun Tagen; vor einer Woche
lag sie noch bei fünf. Auch der Virologe Christian Drosten korrigiert immer wieder eigene
Aussagen. Das ist in einer Lage wie dieser nötig. Wer auf seinen Erkenntnissen von vor
drei Wochen beharrt, macht sich lächerlich. (FAS Politik) 4/15Fallstricke in der Kommunikation
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
1 Das Konzept der Verdopplungszahl ist ungeeignet, um unser
eigentliches Ziel zu beschreiben:
Nettoreproduktionsrate < 1
2 Einige Aussagen sind sehr problematisch. Eine konstante
Verdopplungszeit z.B. von 14 wäre ein Desaster:
Nach 2 Wochen: 200.000 bekannte Infektionen
Nach 4 Wochen: 400.000 bekannte Infektionen
...
Nach 3 Monaten: 6.4 Mio. bekannte Infektionen
Vorschlag
Die Anzahl der bekannten Neuinfektionen1 ist ein klarer Parameter,
der auch für die Kommunikation sinnvoll geeignet ist.
1
z.B. der Durchschnitt über die vergangenen sieben Tage.
5/15Fallstricke in der Kommunikation
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
1 Das Konzept der Verdopplungszahl ist ungeeignet, um unser
eigentliches Ziel zu beschreiben:
Nettoreproduktionsrate < 1
2 Einige Aussagen sind sehr problematisch. Eine konstante
Verdopplungszeit z.B. von 14 wäre ein Desaster:
Nach 2 Wochen: 200.000 bekannte Infektionen
Nach 4 Wochen: 400.000 bekannte Infektionen
...
Nach 3 Monaten: 6.4 Mio. bekannte Infektionen
Vorschlag
Die Anzahl der bekannten Neuinfektionen1 ist ein klarer Parameter,
der auch für die Kommunikation sinnvoll geeignet ist.
1
z.B. der Durchschnitt über die vergangenen sieben Tage.
5/15Fallstricke in der Kommunikation
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
1 Das Konzept der Verdopplungszahl ist ungeeignet, um unser
eigentliches Ziel zu beschreiben:
Nettoreproduktionsrate < 1
2 Einige Aussagen sind sehr problematisch. Eine konstante
Verdopplungszeit z.B. von 14 wäre ein Desaster:
Nach 2 Wochen: 200.000 bekannte Infektionen
Nach 4 Wochen: 400.000 bekannte Infektionen
...
Nach 3 Monaten: 6.4 Mio. bekannte Infektionen
Vorschlag
Die Anzahl der bekannten Neuinfektionen1 ist ein klarer Parameter,
der auch für die Kommunikation sinnvoll geeignet ist.
1
z.B. der Durchschnitt über die vergangenen sieben Tage.
5/15Fallstricke in der Kommunikation
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
1 Das Konzept der Verdopplungszahl ist ungeeignet, um unser
eigentliches Ziel zu beschreiben:
Nettoreproduktionsrate < 1
2 Einige Aussagen sind sehr problematisch. Eine konstante
Verdopplungszeit z.B. von 14 wäre ein Desaster:
Nach 2 Wochen: 200.000 bekannte Infektionen
Nach 4 Wochen: 400.000 bekannte Infektionen
...
Nach 3 Monaten: 6.4 Mio. bekannte Infektionen
Vorschlag
Die Anzahl der bekannten Neuinfektionen1 ist ein klarer Parameter,
der auch für die Kommunikation sinnvoll geeignet ist.
1
z.B. der Durchschnitt über die vergangenen sieben Tage.
5/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Fallstricke beim Rechnen
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Naive Berechnung der Verdopplungszeit T2
1 Wähle Daten a(−5), a(−4), a(−3), a(−2), a(−1), a(0) der
letzten 5 Tage, wobei a(0) der aktuelle Wert ist.
a(−4) a(−0)
2 Annahme: a(−5) = ... = a(−1) =: b, also a(0) = a(−5) ∗ b 5 .
3 Dann erfüllt die Verdopplungszeit T2 die Gleichung b T2 = 2
ln(2)
4 Also gilt T2 = ln(b) .
Zusammenfassung
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
6/15Ergebnis des naiven Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
DER SPIEGEL (7.4.2020, abgerufen um 11:56 Uhr)
7/15Ergebnis des naiven Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Süddeutsche Zeitung (7.4.2020, abgerufen um 11.52 Uhr)
DER SPIEGEL (7.4.2020, abgerufen um 11:56 Uhr)
7/15Ergebnis des naiven Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Süddeutsche Zeitung (7.4.2020, abgerufen um 11.52 Uhr)
DER SPIEGEL (7.4.2020, abgerufen um 11:56 Uhr)
Verdopplungszeit T2
ln(2) 5 ln(2)
T2 = r ! = ln(a(0))−ln(a(−5))
5 a(0)
ln
a(−5)
a(0) = aktuelle Anzahl, a(−5) = Anzahl vor 5Tagen
7/15Systematische Fehler
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Auf den ersten Blick sichtbar
Wochentage beeinflussen die
Anzahl der gemeldeten Neuin-
fektionen.
⇒
Man sollte die letzten sieben Ta-
Quelle: Dashboard, Robert Koch-Institut 2 ge berücksichtigen.
2
Stand: 7. April 2020, abgerufen: 11.41 Uhr
3
Stand: 7. April 2020, abgerufen: 11.48 Uhr
8/15Systematische Fehler
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Auf den ersten Blick sichtbar
Wochentage beeinflussen die
Anzahl der gemeldeten Neuin-
fektionen.
⇒
Man sollte die letzten sieben Ta-
Quelle: Dashboard, Robert Koch-Institut 2 ge berücksichtigen.
Die Verdopplungszeit ist nicht konstant.
⇒ Mitteln mit zwei Werten ist schlecht.
Quelle: Süddeutsche Zeitung3
2
Stand: 7. April 2020, abgerufen: 11.41 Uhr
3
Stand: 7. April 2020, abgerufen: 11.48 Uhr
8/15Vorschlag
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Vorschlag
Fundiertes mathematisches Verfahren
⇒ realistischere Verdopplungszeiten
Ansatz
Die aktuelle Steigerungsrate wird mittels quadratischer Regression
der log. Daten der letzten sieben Tage geschätzt.
9/15Welche Verdopplungszeiten sind realistisch?
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Land naiv fundiertes Verf. 4
USA 6,4 8,5
• Abweichungen sind
Spanien 12,7 21,5 in beide Richtungen
Italien 19,1 22,1 möglich.
Deutschland 11,6 18,9 • Die Werte verändern
Frankreich 6,4 5,3 sich täglich.
Großbritannien 6,2 7,7
• Unabhängig davon
Türkei 5,3 6,9 ist das vorgestellte
Schweiz 17,5 27,6 Verfahren überlegen.
Österreich 25,1 63,7
4
Quadratische Regression, für beide Ansätze Rohdaten von https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19
(Johns Hopkins University) bzw. RKI, Stand 7.4.2020
10/15Welche Verdopplungszeiten sind realistisch?
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Land naiv fundiertes Verf. 4
USA 6,4 8,5
• Abweichungen sind
Spanien 12,7 21,5 in beide Richtungen
Italien 19,1 22,1 möglich.
Deutschland 11,6 18,9 • Die Werte verändern
Frankreich 6,4 5,3 sich täglich.
Großbritannien 6,2 7,7
• Unabhängig davon
Türkei 5,3 6,9 ist das vorgestellte
Schweiz 17,5 27,6 Verfahren überlegen.
Österreich 25,1 63,7
Schlussfolgerung
Viele Einschätzungen basieren auf vereinfachten Verfahren. Die
Abweichungen gegenüber fundierten Verfahren sind teilweise enorm.
4
Quadratische Regression, für beide Ansätze Rohdaten von https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19
(Johns Hopkins University) bzw. RKI, Stand 7.4.2020
10/15Naives versus fundiertes Verfahren
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Ausgangsdaten (bek. Infektionen nach RKI) Log. Daten, naives Verfahren
11/15Naives versus fundiertes Verfahren
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Ausgangsdaten (bek. Infektionen nach RKI) Log. Daten, naives Verfahren
Log. Daten, lineare Regression
... schon besser ...
11/15Naives versus fundiertes Verfahren
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Ausgangsdaten (bek. Infektionen nach RKI) Log. Daten, naives Verfahren
Log. Daten, lineare Regression Log. Daten, quadratische Regression
... schon besser ... Vorschlag für ein fundiertes Verfahren
11/15Details des Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
=⇒
1 Man betrachtet die Ableitung der quadratischen Funktion, welche die
sieben Punkte annährt, im Punkt 0. Sei m dieser Wert.
2 Diesen Wert m benutzt man als Approximation für den Logarithmus
der Steigerungsrate für die kommenden Tage.
ln(2)
3 Für die Verdopplungszeit T2 gilt dann T2 = m .
12/15Details des Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
=⇒
1 Man betrachtet die Ableitung der quadratischen Funktion, welche die
sieben Punkte annährt, im Punkt 0. Sei m dieser Wert.
2 Diesen Wert m benutzt man als Approximation für den Logarithmus
der Steigerungsrate für die kommenden Tage.
ln(2)
3 Für die Verdopplungszeit T2 gilt dann T2 = m .
12/15Details des Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
=⇒
1 Man betrachtet die Ableitung der quadratischen Funktion, welche die
sieben Punkte annährt, im Punkt 0. Sei m dieser Wert.
2 Diesen Wert m benutzt man als Approximation für den Logarithmus
der Steigerungsrate für die kommenden Tage.
ln(2)
3 Für die Verdopplungszeit T2 gilt dann T2 = m .
12/15Details des Verfahrens
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
=⇒
1 Man betrachtet die Ableitung der quadratischen Funktion, welche die
sieben Punkte annährt, im Punkt 0. Sei m dieser Wert.
2 Diesen Wert m benutzt man als Approximation für den Logarithmus
der Steigerungsrate für die kommenden Tage.
ln(2)
3 Für die Verdopplungszeit T2 gilt dann T2 = m .
12/15Entwicklung der Verdopplungszeit in
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Deutschland
13/15Wir sind auf einem guten Weg
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Entwicklung der Anzahl an COVID-19 gestorbener Personen
Ausgangsdaten (RKI)
Log. Daten, quadratische Regression
ln(2)
Verdopplungszeit T2 = 0,0707 9, 8
Schlussfolgerungen
(1) Das Wachstumsrate der Anzahl gestorbener Personen in Deutschland
sinkt aktuell deutlich.
(2) In Deutschland werden bis zum 17. April voraussichtlich höchstens 3700
Personen5 gestorben sein, aber vermutlich und hoffentlich weniger.
5
3700 = 1850 ∗ 2, wobei 1850 gleich der Anzahl gestorbener Personen in Deutschland (JHU, 7. April, 18.24 Uhr) 14/15Wir sind auf einem guten Weg
(2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Entwicklung der Anzahl an COVID-19 gestorbener Personen
Ausgangsdaten (RKI)
Log. Daten, quadratische Regression
ln(2)
Verdopplungszeit T2 = 0,0707 9, 8
Schlussfolgerungen
(1) Das Wachstumsrate der Anzahl gestorbener Personen in Deutschland
sinkt aktuell deutlich.
(2) In Deutschland werden bis zum 17. April voraussichtlich höchstens 3700
Personen5 gestorben sein, aber vermutlich und hoffentlich weniger.
5
3700 = 1850 ∗ 2, wobei 1850 gleich der Anzahl gestorbener Personen in Deutschland (JHU, 7. April, 18.24 Uhr) 14/15 (2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Fazit
Die Verwendung der Verdopplungszeit in Bezug auf die
bekannten Infektionen ist kritisch.
Eine Berechnung der Verdopplungszeit muss und kann genauer
erfolgen.
Wir sind auf einem guten Weg.
15/15 (2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Fazit
Die Verwendung der Verdopplungszeit in Bezug auf die
bekannten Infektionen ist kritisch.
Eine Berechnung der Verdopplungszeit muss und kann genauer
erfolgen.
Wir sind auf einem guten Weg.
15/15 (2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Fazit
Die Verwendung der Verdopplungszeit in Bezug auf die
bekannten Infektionen ist kritisch.
Eine Berechnung der Verdopplungszeit muss und kann genauer
erfolgen.
Wir sind auf einem guten Weg.
15/15 (2)1$1 #v/ 1%"* 1&(
Fazit
Die Verwendung der Verdopplungszeit in Bezug auf die
bekannten Infektionen ist kritisch.
Eine Berechnung der Verdopplungszeit muss und kann genauer
erfolgen.
Wir sind auf einem guten Weg.
15/15Sie können auch lesen
