DISKRETE STRUKTUREN Wintersemester 2021/2022 Prof. Dr. Steffen Reith
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DISKRETE STRUKTUREN
Wintersemester 2021/2022
21. Oktober 2021
Prof. Dr. Steffen Reith
Theoretische Informatik
Studienbereich Angewandte Informatik
Hochschule RheinMainADMINISTRATIVES
Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
TERMINE & VORGEHEN
Vorlesung:
Freitag 815 - 945 zunächst online
Die Vorlesung wird dem Konzept des „Inverted Classroom“ folgen.
Die Erklärvideos erscheinen auf der AMIGO-Plattform (Freitag
abend), die Vorlesungszeit dient als Fragestunde und zur
Vertiefung der Themen.
Der Übungsbetrieb beginnt in der KW 43 Die Übungsblätter
finden sich unter https://www.cs.hs-rm.de/~reith/lehre.
Dort werden auch weitere Unterrichtsmaterialien zur
Verfügung gestellt.
3Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
ÜBER DEN DOZENTEN
→ Prof. Dr. Steffen Reith, geboren ja, verheiratet, ein Kind
→ Seit Sommersemester 2006 an der Hochschule RheinMain
→ Vorher tätig als Softwareentwickler für kryptographische und
mathematische Algorithmen für tief eingebettete System in
KFZs.
→ Spezialgebiete: Komplexitätstheorie, Logik in der Informatik,
Kryptographie (Computational Number Theory),
Hardwaredesign und tief eingebettete Systeme
EMail: Steffen.Reith@hs-rm.de
BBB: https://greenlight.cs.hs-rm.de/b/rei-onh-yuo-yol (immer)
Sprechzeiten: Nach Vereinbarung
Büro: Raum C202
4Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
ÜBER DEN DOZENTEN
→ Prof. Dr. Steffen Reith, geboren 1968, verheiratet, ein Kind
→ Seit Sommersemester 2006 an der Hochschule RheinMain
→ Vorher tätig als Softwareentwickler für kryptographische und
mathematische Algorithmen für tief eingebettete System in
KFZs.
→ Spezialgebiete: Komplexitätstheorie, Logik in der Informatik,
Kryptographie (Computational Number Theory),
Hardwaredesign und tief eingebettete Systeme
EMail: Steffen.Reith@hs-rm.de
BBB: https://greenlight.cs.hs-rm.de/b/rei-onh-yuo-yol (immer)
Sprechzeiten: Nach Vereinbarung
Büro: Raum C202
4Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
WEITERE INFORMATIONEN ZUR VORLESUNG
Webseite: http://www.cs.hs-rm.de/~reith
Auf der Webseite ist auch ein RSS-Feed verfügbar (manchmal).
Literatur:
→ Meinel, Mundhenk, Mathematische Grundlagen der
Informatik: Mathematisches Denken und Beweisen,
Vieweg+Teubner, 2008
→ Haggarty, Diskrete Mathematik für Informatiker, Pearson
Studium, 2004
→ Beutelspacher, Das ist o. B. d. A. trivial!: Tipps und Tricks zur
Formulierung mathematischer Gedanken, Vieweg+Teubner,
2009
→ Beutelspacher, Zschiegner, Diskrete Mathematik für
Einsteiger, Vieweg+Teubner, 2011
5Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
WEITERE INFORMATIONEN ZUR VORLESUNG (II)
Bender: Ahhh, what an awful dream. Ones and ze-
roes everywhere and I thought I saw a two.
Fry: It was just a dream, Bender. There's no such
thing as two.
Ein Schlüssel zum erfolgreichen Studium ist die permanente
Beschäftigung mit Literatur! Die Wikipedia ist keine brauchbare
Wissensquelle für technisch/wissenschaftliche Fragestellungen!
Mathematik ist ein „full contact“ Sport! Zuschauen reicht nicht!
Auf der Webseite der Vorlesung finden Sie ein Grundlagenskript.
Hier sind (evtl. unbekannte) Schreibweisen nochmal zusammen
gefasst. Sollten Inhalte fehlen, dann sagen Sie das bitte!
6Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
WEITERE INFORMATIONEN ZUR VORLESUNG (III)
Ersatztermine:
Nach Vereinbarung
Skript:
Wird in (sehr) unregelmäßigen Abständen auf der Webseite der
Vorlesung veröffentlicht (eine alte (fehlerhafte!) Version ist schon
bald teilweise online). Hinweis: Verlassen Sie sich nur auf sich
selbst!
Folien:
Einzelne (kleine) Teile der Vorlesung werden in Folienform zur
Verfügung stehen. Folien, die vom Skript abweichen, werden auf
der Webseite (nachträglich) zur Verfügung stehen.
Eine eigene Mitschrift sollte angefertigt werden!
7EINLEITUNG
Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EIN ROTER FADEN
In der Vorlesung werden die folgenden Themen untersucht:
i) Logik: Aussagen, Logische Verknüpfungen, Rechnen mit
logischen Verknüpfungen Aussageformen, Quantoren
ii) Mengen: Mengenoperationen, Potenzmenge, Kartesisches
Produkt, Relationen, Funktionen
iii) Beweise: direkte und indirekte Beweise, Gegenbeispiele
iv) Induktion: Prinzip der vollständige Induktion, induktive
Definitionen und strukturelle Induktion
v) Mächtigkeit von Mengen: Abzählbarkeit / Überabzählbarkeit
vi) Graphen: gerichtet und ungerichtete Graphen,
Adjazenzmatrix, Wege, Kreise, Zusammenhang
vii) Elementare Zahlentheorie und algebraische Strukturen:
Teilbarkeit, Kongruenzen, Gruppen, Ringe und Körper
(evtl. Vektorräume)
9Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
WARUM MATHEMATIK (THEORIE)?
Die mathematischen Grundlagen der Informatik sind „schwach
motiviert“, „langweilig“, „schwer“ und „nutzlos“!
Warum lohnt sich Mathematik?
→ Konkrete Technologien ändern sich sehr schnell, deshalb
sollte man die extrem langlebigen Konzepte verstehen.
→ Hintergrundwissen ermöglicht Chancen und Grenzen von
Technologien zu verstehen und hilft neue Technologien zu
entwickeln.
→ Mathematik gibt Hinweise, welche Wege zu keiner Lösung
führen werden.
→ Verbesserung des strukturierten Denkens und der
Problemlösungskompetenz.
→ (Tiefgreifende) Ideen führen zu schnellen Algorithmen
Ohne Mathematik werden Sie nicht erfolgreich!
10EIN BEISPIEL
Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EIN SEHR EINFACHES BEISPIEL
Kugeln sind in einer quadratischen Pyramide der Höhe h gestapelt.
Schreiben Sie ein Programm, dass die Anzahl der Kugeln
berechnet:
unsigned long CalcBalls(unsigned long height) {
unsigned long i; /* Zaehler */
unsigned long summe = 0; /* Akt. Summe v. Kugeln */
for (i = 1; iAdministratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EIN SEHR EINFACHES BEISPIEL (II)
∑
n
n(n+1)(2n+1)
Es gilt i2 = 6 .
i=1
(IA) Eine Pyramide der Höhe n = 1 enthält 1·2·3
6 = 1 Kugel.
∑
k
k(k+1)(2k+1)
(IV) Für k ≤ n gilt i2 = 6 .
i=1
(IS)
∑
n+1 ∑
n
i2 = i2 + (n + 1)2
i=1 i=1
(IV) n(n+1)(2n+1)
= 6 + (n2 + 2n + 1)
3 2
2n +3n +n
= 6 + (n2 + 2n + 1)
3 2
2n +9n +13n+6
= 6
(n+1)(2n2 +7n+6)
= 6
(n+1)(n+2)(2n+3)
= 6
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)
= 6
13Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EIN SEHR EINFACHES BEISPIEL (III)
∑
n ∑
n−1
Die Darstellung i2 = i2 + n2 führt direkt zu einem
i=1 i=1
rekursiven Algorithmus:
unsigned long CalcBalls(unsigned long height) {
/* Rekursionsabbruch? */
if ((height == 0) || (height == 1)) {
return height;
} else {
return (height * height) /* Anzahl Kugeln in akt. Ebene
+ CalcBalls(height - 1); /* Restpyramide */
}
}
Leider auch nicht schneller
14Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EIN SEHR EINFACHES BEISPIEL (IV)
∑
n
n(n+1)(2n+1)
Aber wir wissen i2 = 6 :
i=1
unsigned long CalcBalls(unsigned long height) {
/* Induktiv gezeigte Formel verwenden */
return (height * (height + 1) * ((2 * height) + 1)) / 6;
}
Hintergrundwissen führt zu einem wesentlich
schnelleren und korrekten Algorithmus
Also: „Den Kram schreibe ich einfach ab!“. Aber was passiert
denn die Pyramide n-eckig ist? Und: Abschreiben kann jeder!
Damit ist die Dienstleistung des „Abschreibens“ wenig wert.
15SPIELREGELN
Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
SPIELREGELN
→ Die Vorlesung wird invertiert. Jede Woche gibt es
Erklärvideos die Sie durcharbeiten und verstehen.
→ Bei Fragen und Problemen werden diese im Vorlesungsslot
(Freitag) besprochen.
→ Es wird Eigeninitiative und selbstständiges Arbeiten erwartet
Ziel: Die Studenten brauchen keinen Dozenten mehr
→ Eine Vorlesung ist keine (wöchentliche) Fernsehserie!
→ Eine Vorlesung wird von den Hörern und vom Dozenten
gestaltet. Stellen Sie Fragen im Vorlesungsslot!
→ aktive Mitarbeit erwünscht und erforderlich!
→ Der Dozent will motiviert werden!
→ Selbstständige Vor- und Nachbereitung ist notwendig
→ Lernen nur kurz vor der Klausur ist tödlich! (kontinuierliches
Lernen) Deshalb: Der erste Tag für die Vorbereitung auf die
Klausur ist heute.
→ Vergessen Sie den (angeblichen) Konflikt von Theorie und
Praxis!
17Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
SPIELREGELN (II)
Was wünschen Sie sich?
18Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
ÜBUNG
Start der Übung: Nächste Woche (KW 43)
→ Auf der Webseite werden Sie jede Woche Aufgabenblätter
für die Übung finden. Diese müssen selbstständig (≜ selbst
+ ständig), vollständig und regelmäßig gelöst werden.
→ Vorstellen / Besprechen von Lösungen in den Übungsgruppen.
→ Anwesenheit (im Präsenzmodus) kann in die Benotung
einfließen!
→ Eine Teilaufgabe kann mehrere Stunden angestrengtes
Nachdenken bedeuten! Wird eine Aufgabe nicht gelöst, so
hilft das trotzdem beim Lernen.
→ Die Übung ist für Sie die Chance neue Konzepte zu vertiefen,
zu verstehen (fragen!) und anzuwenden.
→ Viele Begriffe und Konzepte kann man nur durch beständiges
und hartnäckiges Üben erlernen.
19EINE (ZU KURZE) EINFÜHRUNG IN DIE
LOGIKAdministratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
AUSSAGEN
Ziel: Sachverhalte der (wirklichen) Welt sollen mathematisch
exakt formuliert werden (können). Dazu sind Gedanken zu
→ Aussagen
→ Beweisen
→ Mengen (später)
notwendig.
→ Die Logik entwickelte sich aus der Philosophie und ist heute
die Grundlage für alle Wissenschaften.
→ Die moderne Logik entwickelte sich durch G. Frege (1879,
„Begriffsschrift“), A. Whitehead und B. Russel (1910, „Principia
Mathematica“) und D. Hilbert (1920er Jahre,
Hilbertprogramm, Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme
der Mathematik)
21Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
AUSSAGEN (II)
Heute ist die Logik eines der zentralen Werkzeuge der Informatik
(z.B. formale Korrektheit von Programmen, Semantic Web, KI, etc.).
Es wird (streng) die deduktive Methode, d.h. Schlussfolgerungen
von gegeben Prämissen auf zwingende Konsequenzen
(Konklusionen) angewendet (vgl. Wissenschaftstheorie und
Erkenntnisgewinn).
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist,
aber nie beides gleichzeitig.
Eine wahre Aussage hat den Wahrheitswert „w“ (oder „1“ / true)
und falsche Aussagen „f“ (oder „0“ / false).
22Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
AUSSAGEN (III)
Beispiel
→ Wiesbaden liegt in Hessen
→ 11 ist eine gerade Zahl
→ Ein Babier ist einer, der genau alle die rasiert, die sich nicht
selbst rasieren
Das letzte Beispiel führt zum Russell-Paradoxon und hat 1918
eine Grundlagenkrise in der Mathematik ausgelöst.
Aussagen können auch verknüpft werden:
„11 ist eine Primzahl und Wiesbaden liegt am Rhein.“
Dies ist wieder eine Aussage!
23Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
AUSSAGEN (IV)
Idee: Repräsentiere ganze Aussagen durch Aussagenvariablen,
die einen Wahrheitswert haben.
Nun können die umgangssprachlichen Verknüpfungen „und“,
„oder“, „nicht“, „wenn . . . dann“ und „entweder oder“
(mathematisch) präzise aufgeschrieben werden.
Umgangssprache Name i.d. Logik Symbol
und Konjunktion ∧
oder Disjunktion ∨
nicht Negation ¬
wenn . . . dann Implikation →
entweder . . . oder Kontravalenz ⊕
genau dann wenn Äquivalenz ↔
Die Verknüpfungen nennt man auch „Junktoren“.
24Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EINIGE DEFINITIONEN
Die Bedeutung der Junktoren wird nun wie folgt festgelegt:
x y x ∧ y x ∨ y x → y x ⊕ y x ↔ y ¬x
0 0 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 0 1 0
Schreibt man alle Kombinationsmöglichkeiten von
Wahrheitswerten in einer Tabelle auf, um den Wahrheitswert
einer zusammengesetzten Aussage zu ermitteln, so nennt man
diese Tabelle Wahrheitswertetabelle oder Wahrheitswertetafel.
In der Praxis wird die Disjunktion oft mit der Kontravalenz
verwechselt!
25Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
DIE GLEICHWERTIGKEIT VON FORMELN - EIN BEISPIEL
Definition
Eine Verknüpfung von Aussagenvariablen mit Junktoren heißt
(aussagenlogisch) Formel.
Beispiel
Die Aussagen (x → y)∧(y → x) und (x ↔ y) sind gleichwertig:
x y x → y y → x (x → y) ∧ (y → x) x ↔ y
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
26Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EINIGE DEFINITIONEN
Anmerkung
Jede Zeile einer Wahrheitswertetafel heißt Belegung (der
Wahrheitswertevariablen). Eine Wahrheitswertetafel ist also ei-
ne Funktion, die ein Tupel von Wahrheitswertn auf Wahrheits-
werte abbildet.
Eine Wahrheitswertetabelle enthält alle möglichen Belegungen
der Variablen.
Definition
Eine Formel heißt Tautologie, wenn sie für jede mögliche Bele-
gung wahr ist.
Eine Formel wird Kontradiktion genannt, wenn sie für jede Bele-
gung falsch ist.
27Administratives Einleitung Ein Beispiel Spielregeln Eine (zu kurze) Einführung in die Logik
EINIGE DEFINITIONEN (II)
Definition
Zwei Formeln H1 und H2 heißen logisch gleichwertig / äquiva-
lent (kurz: H1 ≡ H2 ) genau dann, wenn (H1 ↔ H2 ) eine Tauto-
logie ist.
Anmerkung
Äquivalente Formeln haben die gleiche Wahrheitswertetafel.
Anmerkung
Mit dieser Beobachtung kann man in einer Formel eine Teilfor-
mel durch eine äquivalente Teilformel ersetzen, wobei die
neue Formel wieder äquivalent ist.
→ man kann Formeln „umformen“ / „vereinfachen“
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