Financial Mathematics in Insurance

Financial Mathematics in Insurance
Stochastische Unternehmensmodelle – wie und wofür Mathematiker ein
ganzes Unternehmen in einer Software abbilden

Insight Vortragsreihe: Putting theory into practice

24. Oktober 2016 Universität Bonn

Dr. Zoran Nikolić, Aktuar, Dozent Deutsche Aktuarakademie
Dr. Christian Weiß, Aktuar, Dozent Technische Hochschule Köln

1

Agenda

• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar

 Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016

2

 Deutsches Leben- bzw. Krankengeschäft ist langfristig. Ob sich ein
 Vertrag die Versicherung gelohnt hat, wird erst nach Jahrzehnten bekannt
 Zu Beginn Abschlusskostenbelastung
 RGL 2. Ordnung zur Weitere
 Hochrechnung der Annahmen und
 Tarifmerkmale Modellpunkte, z.B. Parameter
 Modellpunkte aus „Realistische“
 Bestandsabzug (Rechnungszins, Storno
 Sterblichkeit Projektionen
 (geeignet verdichtet) Sterblichkeit
 Kostenparameter damit möglich
 Kosten
 Merkmale: Leistungsspektrum) Invalidität
 • Produkt
 • Alter / Dauer
 • Geschlecht
 • Vertriebsweg
 • ... Projektion des Bestandes

 2016 2021 ... 2031 …

Jahre

 Typischer Verlauf des Jahresüberschusses in der Lebensversicherung:
 • Am Anfang der Ertragsreihe steht ein Anfangsverlust/-investition
 Þ Performance-Messung in der LV muss die Langfristigkeit der Produkte berücksichtigen
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3

Die Dividendenauszahlungen hängen von der Kapitalmarktentwicklung ab;
der Wert des Unternehmens wird als Wert eines „Derivats“ verstanden
Das Konzept des PVFP = Present Value of Future Profits

 10
 Jahresüberschussverlauf

• Abwicklung des Bestandes 5

 und Projektion der GuV und 0

 Bilanz (für vorgegebenen 00 11 2 2 3 3 4 4 5 5

 Projektionszeitraum) -5

 -1 0

• Diskontierung zukünftiger
 Jahresüberschüsse -1 5
 Diskontierung
 34

 w 29

 å JÜ j × (1 + d )
 -j
 PVFPt = 24

 19
 j =t +1 14

 9 Barwert der Jahresüberschüsse
 JÜ j = Jahresüberschuss in Periode j 4

 d = Diskont -1
 00 11 2 2 3 3 4 4 5 5
 w = 60 Jahre nach Beginn der Projektion -6

 -11

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Agenda

• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar

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Die Verträge der Lebens- und Krankenversicherungen enthalten
zahlreiche Garantien und Optionen
Warum müssen zur Bewertung Tausende von Szenarien ausgewertet werden?

 Tausende von Szenarien

§ Bewertung von Optionen und Garantien in den Versicherungsverträgen

§ Sie ähneln einigen Finanzinstrumenten wie Swaps, Swaptions usw.

§ Asymmetrien im Geschäftsmodell

§ Aber: Es existieren keine analytischen Formeln für diese Garantien und Optionen

 Monte-Carlo-Simulationen!

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Agenda

• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar

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Bewertung von Finanzgarantien: Hier reicht die Betrachtung eines
deterministischen Szenarios nicht mehr aus
Methoden der Finanzmathematik erforderlich

 10
 10-jährige risikofreie Bundesanleihe mit
 9 negativer Verzinsung: -0,21% am 30.09.2016

 8

 7

 6
 Je geringer die Differenz,
 desto größer ist das Risiko für
 5
%

 Versicherungs-unternehmen

 4

 3

 2

 1

 0
 1990

 1992

 1994

 1996

 1998

 2000

 2002

 2004

 2006

 2008

 2010

 2012

 2014

 2016
 durchschn. 10-jährige Garantie- Gesamtverzinsung Markt Nettoverzinsung
 Garantieverzinsung risikofreie verzinsung Markt
 Markt Bundesanleihe

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Ein stochastisches Unternehmensmodell besteht aus Aktiva, Passiva,
Kapitalmarkt und Managementregeln
Typische Komponenten eines Modells

 • Kapitalmarktmodell:
 - Abbildung des
 ökonomischen Umfelds
 - Ergebnis: 1000 Simulations-
 ökonomischer Szenario-Generator (ESG): pfade über 60 Jahre mit
 Entwicklung von Zinsen, Aktien Returns, usw. der Wertentwicklung von
 à 1.000 Kapitalmarktszenarien t=0 60
 Aktien, Immobilien, Zinsen, …
 Passiv-Modell Aktiv-Modell • Aktivmodell
 • LV-Produkte Management • Asset-Klassen
 Regeln - Abbildung der Kapitalanlage (Aktien, Immobilien, Bonds,
 • Explizite RfB • Strategische Asset
 • Optionen u.Garantien Allokation Cash, Swaptions, Swaps, Callables, Vorkäufe)
 • Passivmodell
 Überschussbeteiligung
 - Abbildung der Passivseite (Produkte, VT)
 VN Aktionär • Managementmodell
 - Verknüpfung von Aktiv- und Passivseite
 Messung und Bewertung der Risiken - Wie reagiert die Unternehmensleitung auf gewisse
 Ereignisse
 Deklaration der dynamische
 Überschussbeteiligung Anpassung der SAA

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Agenda

• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar

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Bestimmung des SCR-Bedarfs mittels der vollen (empirischen) Verteilung
der PVFPs (= Unternehmenswerte); „Nested Stochastics“
Solvency-II-Anforderungen

1 Bestimmung und Modellierung der Risikotreiber 3 Generierung der Real World Szenarien
2 Bestimmung der Eigenmittel in t=1 (Millionen Szenarien) 4 Bestimmung des Risikokapitals
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• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

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• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

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 Anstatt Millionen von exakten Auswertungen, wird der Raum intelligent mit
 wenigen Punkten abgedeckt. Danach wird eine Regression durchgeführt
 Least Squares Monte Carlo-Methodik
 Erzeugung von Regressionsszenarien
2 a (~25,000) von möglichen 1-Jahres- 2 b Durchführung weniger Läufe des CFPM je
 Risiko-treiberrealisierung und Berechnung
 Entwicklungen der Real World-Risikotreiber von 25.000 PVFP-Schätzern
 PVFP-Schätzer

 Jedes Szenario
 beinhaltet

 …
 Veränderungen
 aller Risikotreiber

 …
 ~25,000 1-Jahres-Realisierungen

 ~25,000 1-Jahres-Realisierungen Vereinfachte Prophetberechnungen
 (jeweils 2 risikoneutrale Szenarien)

 Regression eines multi-dimensionalen Validierung der LSMC-Funktion, z.B. durch
2 c Polynoms, der “LSMC-Funktion” für die PVFPs 2 d
 out-of-sample-Tests
 1,4

 Milliarden
 PVFP
 +20% 1,2

 Schätzwerte
 1,0

 +10% Polynom
 0,8

 0% 0,6

 Validierung
 Schätzung
 -10% 0,4

 0,2

 -20%
 0,0

 -20% -10% Best Estimate +10% +20% Risikotreiber, z.B. Aktienkurs -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

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Erzeugung von Real-World-Szenarien und anschließende Bestimmung
des Risikokapitals
Schritt 3 & 4 der Least Squares Monte Carlo-Methodik

 3 Simulation der gemeinsamen 4 Auswertung der LSMC-Funktion
 Risikotreiberverteilung

 PVFP-1

 LSMC
 PVFP-2
 PVFP-3
 PVFP-4
 PVFP-5
 PVFP-6
 PVFP-7
 PVFP-8

 ~1.000.000 1-Jahres-Realisierungen

 4 Bestimmung der Eigenmittelverteilung und
 SCR-Bestimmung

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Agenda

• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II

• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
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Stetigkeit der Pricing-Funktion zur Bewertung eines Unternehmens
Bildung von Durchschnittswerten über die Barwerte pro Pfad

 1) Ein- und Auszahlungsprofile 3) Der Unternehmenswert (PVFP)
 von Versicherungsverträgen entsteht jedoch durch Bildung
 zeigen pro Simulation oft des Durchschnittswertes über
 ein nicht stetiges Verhalten. die Barwerte. Dadurch werden
 Man denke an Optionen, Sprünge in einem Pfad
 also an binäre ja/nein automatisch ausgeglichen, weil
 Ereignisse ihr individueller Beitrag zum
 Unternehmenswert durch die
2) Die stochastischen Bildung des Durchschnittswertes
 Unternehmensmodelle bilden über viele tausend Szenarien
 diese unstetigen Merkmale ab reduziert wird

 Unstetiges Verhalten Unstetiges Verhalten der
 in der Projektion ≠ Bewertungsfunktion

 Quelle:
 Bontjes van Beek, Continuity of Actuarial Models based on a Risk-Neutral Valuation of Life Insurance Porfolio, Master thesis (Uni Oldenburg,
 2015)

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Die wahre Unternehmenswert-Funktion ist unbekannt, wenn sie aber
stetig ist, lässt sie sich durch Polynome approximieren
Zu Beginn Abschlusskostenbelastung

§ Der Definitionsbereich ist das Produkt von reellen Intervallen, welche die Risikofaktoren
 darstellen: Zinsänderung, Aktienperformance, Sterblichkeit, Storno usw.
§ Unsere Unternehmenswert-Funktion ist also auf einem kompakten Hausdorff-Raum definiert

 Folge aus dem Satz von (Stone-)Weierstraß:
 Der wahre Unternehmenswert lässt sich durch Polynome approximieren.

 Konvergenz

 L ≈ P approx ≈ P LSMC
Zusammenfassung: Der Unternehmenswert lässt sich durch Polynome approximieren. Ferner
wissen wir, dass der gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzer, der aus einem LSMC-Ansatz
berechnet wird, für die Koeffizienten von P erwartungstreu ist und das geschätzte Polynom
gegen die echte Unternehmensfunktion konvergiert.
Quellen:
Bauer, Bergmann, Reuss: Solvency II and Nested Simulations – a Least-Squares Monte Carlo Approach, Preprint University of Ulm (2009)
Kalberer, Stochastic determination of the Value at Risk for a portfolio of assets and liabilities – typical and new approaches and implied estimation
errors, Part 1-3, Der Aktuar (2012)
Bauer, Ha: A Least-Square Monte Carlo Approach ot the Calculation of Capital Requirment (preprint, 2015).

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Schleife ist von iterativer Natur. Jeder Umlauf erhöht die Anzahl der Terme
bis das Modell mit dem kleinsten AIC gefunden ist.
Auswahlprozess des Modells per mehrstufigen Algorithmen

 Versuche jedes “Kandidaten-Modell” d.h. jeder Term der
 möglichen Kandidaten wird getestet indem der Term zum
 Polynom hinzugefügt wird. Multiple Regression - jedes mal
 wird nur ein einziger weiterer Term hinzugefügt

 2
0 1 REGRESSION
 Identifizierung Least Squares
 Ausgans- NEIN
 möglicher Regression Ist AIC
 Polynom
 “Kandidaten kleiner?
 STOP
 (Iteration i)
 Terme” AIC berechnen

 i=i+1 JA
 Polynom
 aktualisieren

 Max
 Neues Polynom
 3 Füge Term welcher
 NEIN Anzahl
 (mit einem kleinsten AIC
 Terme
 weiteren Term) erzeugt hinzu
 erreicht?

 JA

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Aufgabe ist es, das beste Polynom und dessen Koeffizienten zu finden
Akaike-Kriterium

 § Klassische Statistik: Schätze den unbekannten Parameter einer bekannten Verteilung,
 z.B. den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable (Maximum Likelihood
 Schätzer)

 § LSMC-Regression: Schätze die unbekannten Koeffizienten eines unbekannten
 Polynoms

 • Es sind also zwei simultane Aufgaben zu erledigen: Finde bestes Polynom und
 gleichzeitig dessen optimale Koeffizienten

 § Dazu notwendig: Beurteile allgemein die Güte einer Approximation

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Die Kullback-Leibler Divergenz muss minimiert werden
Akaike-Kriterium

 Bei LSMC soll ein Polynom $ , das abhängig von den zu wählenden Polynomkoeffizienten $ ist, so
 bestimmt werden, dass die Unternehmensfunktion im Sinne der Kullback-Leibler Divergenz bestmöglich
 approximiert wird. Für diese Funktion muss also der Ausdruck
 
 $ ≔ *+ , ⋅, $ = . log dx
 
 = . log dx − . log dx

 minimiert werden.

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AIC ist ein guter Schätzer bei einer hohen Anzahl von Datenpunkten
Akaike-Kriterium

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Zusammenfassung

 § Motivation/Solvency II
 § Projektion der Unternehmen
 60 Jahre in die Zukunft
§ Links zu weiteren
 Seminaren & Statistische
 Karriereblogs Unternehmens
 modelle
 § Solvency Capital
 Aus- und Solvency II Requirements
 Fortbildung SCR § Volle Verteilung
 des PVFP

 § Interessante
 Arbeitsgebiete
 § Spannende Viel „echte“ LSMC
 Tätigkeiten für Mathematik Polynome
 Aktuare/innen § Approximation des
 Unternehmenswertes
 AIC durch Polynome

 § Auswahlverfahren
 § Terme eines Polynoms
 § Koeffizienten
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• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen

• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar

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Fragen und weitere Informationen

www.mi.uni-koeln.de/wp-znikolic/

 karriereblog.generali-deutschland.de

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