Lerngerüst Mathematik (Allgemeine Hochschulreife) Wirtschaft und Verwaltung

Lerngerüst Mathematik (Allgemeine Hochschulreife)
 Wirtschaft und Verwaltung
Zur Vorbereitung auf das Abitur NRW WuV 2020:
www.mathebaustelle.de/pruefungsvorb_gk_wuv_2020.html

Schwerpunktthemen Bemerkungen und Erläuterungen
verschiedener Jahre

Analysis Checklist Analysis
 (Liste zur Selbsteinschätzung bzgl. vieler Teilbereiche
 der Analysis)

Ansätze zu Aufgaben Ansätze bei Aufgaben zu ökonomischen
 Anwendungen Übersicht Ansätze
 ökonomische
 Anwendungen
Grundlagen Klammern auflösen (Ausmultiplizieren)
Termumformung Ausklammern

Grundlagen: Eine Funktion ist eine Zuordnung:
Funktionsbegriff Stelle x, Wert y = ( ),
 Graph: Ein Punkt (x  y ) liegt auf dem Graph von 
  y = ( )

- Differentialrechnung Differentialrechnung: Steigung: ´( ),
 Krümmung: ´´( )
 interaktive Einführung in das Thema
 Differentialrechnung:
 http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/index.ht
 m
 Selbstlernmaterial: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/a/aindex.html

- Lineare Funktionen Links: Selbstlernmaterial: http://ne.lo-
(Basistext, Übersicht, net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lfindex.html und
Lückentext) ein Teil von http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/a/lqf/lqfindex.html

- Quadratische Funktionen Links: Selbstlernmaterial: http://ne.lo-
(Basistext, Übersicht, net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/qf/qfindex.html und
Lückentext Aufgabentypen) ein Teil von http://ne.lo-

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net2.de/selbstlernmaterial/m/a/lqf/lqfindex.html Lösen
 von Gleichungen
 Links: Sehr ausführliches Leitprogramm zu
 quadratischen Gleichungen: quadr_gleich/index

- Ganzrationale Funktionen Selbstlernmaterial: http://ne.lo-
(Basistext, Aufgabentypen) net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/gaf/gafindex.html

- Herleitung von Steckbriefaufgaben
Funktionsgleichungen Vorgehensweise:
 allgemeine Funktionsgleichung:
 bei kubischen Funktionen (z.B: Kosten- oder
 Erlösfunktionen) ist das
 f ( x ) = ax 3+bx2+cx + d
 Aufstellen der Gleichungen:
 durch Einsetzen von x und y
 Lösen des Linearen Gleichungssystems mit dem
 Gauß-Verfahren

 Übungsmaterial: Excel-Datei mit immer neuen
 Aufgaben: additionsverfahren_steckbrief_quadr pdf-
 Datei mit Aufgaben und Musterlösungen: Steckbrief
 quadratisch
 umfangreiches Selbstlernmaterial mit verschiedenen
 Anwendungen (auch Wirtschaft): http://www.nb-
 braun.de/mathematik/Steckbrief2/bausteine/bst.htm

- Eigenschaften von Ableiten
Funktionen Horner-Schema
(Achsenschnittpunkte,
Steigung, Extrem- und, faktorisierte Form
Wendepunkte) Kurvendiskussion

- Modell der vollständigen x: Ausbringungsmenge
Konkurrenz (u.a. Grundgleichungen:
Betriebsminimum, E ( x ) = p x (vollständige Konkurrenz = Polypol!)
Betriebsoptimum) K ( x ) = a x3 + b x2 + c x + Kf
 G(x)=E(x)–K(x)
 Kv ( x ) = a x3 + b x2 + c x
 
 k ( x ) = a x2 + b x + c + (gebrochen-rationale
 
 Funktion)

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k v ( x ) = a x 2 + b x + c (quadratische Funktion)
 Gewinnzone: G ( x ) = 0 (Die beiden positiven
 Nullstellen sind Gewinnschwelle und Gewinngrenze)
 x Gmax : Maximalstelle von G,
 max.Gewinn: G ( x Gmax )
 Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze:
 x BM : Minimalstelle von k v , kurzfr.PUG: k v (x BM )
 (Aufgaben)
 Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
 x BO : Minimalstelle von k , langfr.PUG: k (x BO )
 (Aufgaben)

- Berechnen von Integralen Stammfunktion
 Flächenintegrale
 Produzenten- und Konsumentenrente
 Man berechnet die Gleichgewichtsmenge xg und den
 Gleichgewichtspreis pN(xg).
 (Ansatz: pA(x)=pN(x))
 
 Produzentenrente: ∫0 ( ) - xg pN(xg)
 
 Konsumentenrente: xg pN(xg) - ∫0 ( ) 

 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/a/fb/fbindex.html
 Produzenten- und Konsumentenrente linear:
 http://www.rmoser.ch/downloads/renten.pdf

- Exponentialfunktionen uebersicht_e-funktionen.pdf
Checkliste e-Funktionen als Links: Selbstlernmaterial: http://ne.lo-
Absatzfunktionen net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/ef/efindex.html

- Funktionen vom Typ x
 Kettenregel: f ( x ) = e
f ( x ) = p ( x )  e x mit p dann gilt:   e x
ganzrationale Funktion und
 Produktregel (uv)´ = u´v + uv´
 reelle Zahl
 x
in der Regel zur Modellierung Also z.B.: f ( x ) = ( mx + b )  e
der Absatzentwicklung dann gilt:
 u(x) = mx + b, u´(x) = m
 v(x) = e x , v´(x) =   e x (siehe oben)
 f´( x ) = m e x + ( mx + b )  e x = ( mx + b+m )  e x

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- Extrem- und Wendepunkte lokale Extrempunkte:
 anschaulich: höchster / tiefster Punkt in einer
 Umgebung
 Berechnung:
 notwendige Bedingung: f ´( x ) = 0 (waagerechte
 Tangente)
 hinreichende Bedingung (um auszuschließen, dass
 ein Sattelpunkt vorliegt und um zu entscheiden ob es
 ein HP oder TP ist):
 f ´( x ) = 0  f ´´( x )  0
 Bei e-Funktionen oft einfacher: Vorzeichenwechsel
 von f ´ untersuchen.
 y-Koordinate: Einsetzen in f.
 Wendepunkte:
 anschaulich: Wechsel der Krümmungsrichtung, Punkt
 mit extremer Steigung
 Berechnung:
 notwendige Bedingung:
 f ´´( x ) = 0
 hinreichende Bedingung:
 f ´´( x ) = 0  f ´´´( x )  0
 Bei e-Funktionen oft einfacher: Vorzeichenwechsel
 von f ´ untersuchen.
 y-Koordinate: Einsetzen in f.

- Wachstumsprozesse, einfachster Fall:
Absatzentwicklung f ( x ) = e x wächst, falls  > 0 und fällt, falls < 0.
 Für f ( x ) = p ( x ) e x muss man für das
 Wachstumsverhalten die Vorzeichenentwicklung von f
 untersuchen.

 uebersicht_exponentielles_wachstum.pdf

Lineare Algebra Checklist Lineare Gleichungssysteme
 Checklist Matrizenrechnung
 Checklist Lineare Optimierung (graphisch)

Grundlagen Definitionen,
 Matrizenaddition, Multiplikation mit Skalar (also Zahl)
 Matrizenmultiplikation (Falk´sches Schema)

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- Lineare Gleichungs- Es handelt sich im Wesentlichen um das altbekannte
systeme (Gauß-Algorithmus, Additionsverfahren in einer neuen Schreibweise.
Lösungskriterien) Gauß-Verfahren:
 Umformung der erweiterten Koeffizientenmatrix auf
 Zeilenstufenform (meist reicht obere Dreiecksform)
 homogenes LGS: A ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 ist immer lösbar
 (denn die triviale Lösung ⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ geht immer).
 Rang: Anzahl der Nichtnullzeilen
 Rang(A) = Spaltenanzahl(A)  eindeutig lösbar,
 sonst mehrdeutig lösbar.
 inhomogenes LGS: A ⃗ = ⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 
 Rang(A) = Spaltenanzahl(A)  eindeutig lösbar,
 Rang(A) < Rang(A  ⃗⃗)  unlösbar, sonst mehrdeutig
 lösbar.

 Links: gauss_anwendungen
 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/la/lgs/lgsindex.html
 Interaktive Einführung am Beispiel
 Computertomographie:
 http://www.matheprisma.de/Module/CT/index.htm

- Matrizenoperationen mit Definition Inverse: Gegeben ist eine quadratische
Hilfe der Inversen Matrix A (Zeilenanzahl = Spaltenanzahl)
 A A-1 = A-1 A = E
 Achtung: Nicht jede Matrix ist invertierbar (nur bei
 maximalem Rang, also Rang = Zeilen- bzw.
 Spaltenanzahl)
 Berechnung der Inversen mit Gauss
 Ansatz:
 ( A  E ), Umformung zu ( E  A-1 )
 Lösung eines Lineares Gleichungssystems geht dann
 wesentlich leichter als mit Gauss:
 A · ⃗ = ⃗
  ⃗ = A-1 · ⃗
 Achtung bei Beschriftung: Bei A-1 sind Zeilen- und
 Spaltenbeschriftungen vertauscht.
 Regeln: (A·B)-1 = B-1·A-1

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- Innerbetriebliche Gozintographen
Verflechtungen (zweistufige Matrizen
Produktionsprozesse)
 Errechnung des Bedarfs: Matrizenmultiplikation
 Berechnung, wie viel produziert werden kann (bei
 vollständigem Verbrauch): Lösung eines LGS / Gauss
 Links: Übersicht
 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/la/bm/bmindex.html

Stochastik
Grundlagen Ergebnisse / Ereignisse
Checklist Grundlagen Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Stochastik Kombinatorik
 Binomialkoeffizient, Baumdiagramme und Pfadregeln

 Links: eine wunderbare interaktive Einführung in die
 Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet der Lernpfad
 http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/w
 keit/lernpfad/
 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/s1wk/s1wkindex.html
 zur Kombinatorik: wieder mal aus Wuppertal:
 http://www.matheprisma.de/Module/Kombin/index.ht
 m

- Bedingte Im Kern: Prozentrechnung. Hauptproblem: Erkennen
Wahrscheinlichkeit des richtigen Grundwerts
 Baumdiagramm, Vierfeldertafel und umgedrehtes
Checklist Bäume
 Baumdiagramm
 Satz von Bayes

 Links:
 Excel-Seite mit automatisch erzeugter Vierfeldertafel
 und herumgedrehtem Baum
 sehr gute Anwendungsaufgaben mit Lösungen:
 http://btmdx1.mat.uni-
 bayreuth.de/smart/gym/j10neu/Stochastik10/pfad10/b
 edingteW/bedingteW.pdf

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Interaktive Einführung in das Thema am Beispiel
 Ziegenproblem:
 http://www.matheprisma.de/Module/Ziegen/index.htm

- Binomialverteilung Bernoullikette: mehrfache Ausführung desselben
 Zufallsversuchs, bei dem es jeweils nur zwei
Checklist Binomialverteilung
 Ergebnisse geben kann (Treffer oder Nichttreffer)
 Binomialverteilung: X zählt die Anzahl der Treffer in
 der Bernoullikette
 n: Anzahl der Stufen (der Versuche)
 p: Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch
 q = 1-p: Misserfolgswahrscheinlichkeit
 X: Anzahl der Erfolge
 Grundbedingungen
 Umsetzung in Baumdiagramm
 Berechnung mit Formel (Formel von Bernoulli)
 
 P ( X = k ) = ( )p k q n-k oder direkt mit
 
 Taschenrechner/CAS (BinPdf bzw. binompdf)
 Berechnung mit kumulierter (=summierter)Tabelle
 oder direkt mit Taschenrechner/CAS (BinCdf bzw.
 binomcdf)
 Erwartungswert: E ( X ) = n p
 Standardabweichung: √ 
 Sigma-Regeln
 Links: Universal-Tabelle für Binomialverteilungen
 (Excel)
 Interaktive Einführung in das Thema
 Binomialverteilung (und andere Verteilungen):
 http://www.matheprisma.de/Module/Verteilu/index.ht
 m
 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/s1wk/be/beindex.html
 und http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/wk/bv/bvindex.html
 Übersicht Aufgabentypen (digitale Schule Bayern):
 http://www.digitale-schule-
 bayern.de/dsdaten/207/89.pdf
 einige Übungsaufgaben mit Lösung:
 http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/binver
 t.htm

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Aufgaben: Stochastik-Studio-Aufgabensammlung-
 Binomialverteilung-Aufgaben und Lösungen mit dem
 Stochastischen Rechner

- Einseitiger Grundlage: Binomialverteilung
Hypothesentest/ Nullhypothese H 0: p  p 0
Signifikanztest Gegenhypothese H 1: p > P 0 oder
(Qualitätskontrolle) Die Ablehnung der Nullhypothese erfolgt, falls X > k
Checklist Testtheorie für eine festgesetzte Grenze k.
 Nullhypothese H 0: p  p 0
 Gegenhypothese H 1: p < P 0
 Die Ablehnung der Nullhypothese erfolgt, falls
 X  k für eine festgesetzte Grenze k.
 Fehler 1. Art: Fälschliches Verwerfen von H 0: Dieser
 Fehler lässt sich immer berechnen. Seine
 Wahrscheinlichkeit soll kontrolliert werden ( <
 Signifikanzniveau ).
 1. Fall: k ist bekannt (festgesetzt),
 Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art soll berechnet
 werden: Setze p = p 0 und berechne P ( X = k ).
 2. Fall: Ein Signifikanzniveau wird vorgegeben, k soll
 bestimmt werden.
 Tabellenarbeit (bzw. Probieren/Ablesen der Listen mit
 BinCdf/Binomcdf)
 Links:
 Hervorragende Einführungsseite im internet:
 http://www.brinkmann-
 du.de/mathe/gost/stoch_01_16.htm
 Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/wk/ht/htindex.html
 interaktive Lernumgebung:
 http://www.matheprisma.de/Module/Hypoth/index.htm
 Literatur: im Buch (LS): S.381ff.

Üben und Wiederholen Links:
(übergreifend zur Stochastik) Selbstlernmaterialien: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/wk/aa/aaindex.html
 Klausur- und Abituraufgaben (mit Musterlösungen)
 von H.K. Strick
 zur Stochastik http://www.math.uni-
 paderborn.de/~agbiehler/sis/sisonline/struktur/jahrgan

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g20-2000/heft1/2000-1_Strick.pdf
 Aufgaben: Stochastik-Studio-Aufgabensammlung-
 Binomialverteilung-Aufgaben und Lösungen mit dem
 Programm Hypothesentest-Standardaufgaben-
 Einfacher Signifikanztest (einseitig) und außerdem: -
 Abituraufgaben (sechs verschiedene)

Prüfungsvorbereitung
 querdurch
Üben und Wiederholen Links:
(übergreifend querdurch) Sehr gut strukturiertes Selbstlernmaterial: der
 Volkshochschule Floridsdorf / Österreich:
 http://odl.vwv.at/mathe/index_sbpm1.html
 Hervorragende Linklist zu Selbstlernmaterialien
 betreffend die Grundlagen (bis Klasse 10):

Abiturklausuren Links: http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/abi/abiindex.html
 Aufgaben mit Lösungen Wirtschaft und Verwaltung
 (wuv) (LK) http://ne.lo-
 net2.de/selbstlernmaterial/m/abi/NW/mathe_1lk_wuv_
 beispielaufg09_070815.pdf

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