Physik III Quantenphysik & Statistische Physik - Universität ...
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Physik III
Quantenphysik & Statistische Physik
https://www.physik.uni-
hamburg.de/en/ilp/hemmerich/teaching-hemmerich.html
0.1 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Studienplan Physik
Physik I & Physik II
Klassische Physik: Mechanik, Elektrodynamik, Optik, Thermodynamik
Physik III
Quantenphysik und statistische Physik
Atomphysik Kernphysik
Molekülphysik Festkörperphysik
Laserphysik Teilchenphysik
0.2 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Legende
Ü wird in einer Übung vertieft, entweder als Übungsaufgabe oder in den Übungsgruppen
P wird in der Vorlesung behandelt, ist aber kein Prüfungsthema
wird erst in den Theorievorlesungen konsequent durchgeführt
! wird in der Vorlesung nicht behandelt, aber zur Vervollständigung ins Skript aufgenommen
E wird in der Vorlesung bzw. als Video abrufbar experimentell durchgeführt
0.3 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Inhaltsverzeichnis
1. Licht: Welle oder Teilchen?
2. Materie: Teilchen oder Welle?
3. Wellenmechanik
4. Die 1D Schrödinger Gleichung im Stufenpotential
5. Formale Grundlagen der Quantenmechanik
6. Elementare Quantensysteme
7. Bahn-Drehimpuls
8. Das Wasserstoff-Atom
0.4 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©9. Magnetisches Moment & Spin
10. Die Feinstruktur des Wasserstoff-Atoms !
11. Vielteilchensysteme: Bosonen & Fermionen
12. Wahrscheinlichkeit & Entropie
13. Boltzmann-Systeme
14. Bose-Einstein – und Fermi-Dirac-Statistik
15. Bose-Systeme
16. Fermi-Systeme
0.5 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Literatur Quantenphysik: begleitend zur Vorlesung
experimentelle Ausrichtung
M. Alonso, E. J. Finn W. Demtröder Haken & Wolf T. Mayer-Kuckuk
Oldenbourg 2005 Springer 2005 Springer 2003 Teubner 1997
ISBN: 348657762X ISBN 3-5402-1473-9 ISBN 3-540-02621-5 ISBN 3-519-43042-8
! 39,80 ! 44,95 ! 44,95 ! 29,90
Relativ kompakte, klare Lexikalischer Charakter Ausgebauterer Formalismus, Kompakte Einführung
Darstellung, moderat hohes didaktisches Niveau, in die Atomphysik für
ausgebauter Formalismus, verbindet theoretische und Experimentalphysiker,
als Einstieg empfeh- experimentelle Aspekte wenig formale Basis
lenswert
0.6 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Literatur Quantenphysik: begleitend zur Vorlesung
theoretische Ausrichtung
J.-L. Basdevant S. Gasiorowicz C. Cohen-Tannoudji et al. J. Griffith
J. Dalibard Oldenbourg 2005 de Gruyter 1999 Prentice Hall 2004
Springer 2005 ! 44,80 ! 54,00 $ 111,49
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Didaktisch hervorragend, Relativ kompakt, Ein didaktisch hervorragen- Kompakte Einführung,
gute fokussierte Themen- anwendungsorientiert, des Lehrbuch der Quanten- selektiver Charakter
wahl, elegante Darstellung, guter Einstieg mechanik, umfangreich
vermittelt viel Verständnis aber mit gutem Wegweiser-
system ausgerüstet
0.7 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Literatur Quantenphysik: weiterführend
R. Loudon C. Cohen-Tannoudji et al. C. Cohen-Tannoudji et al. P. Schmüser
Oxford University Press Wiley 1998 Wiley 1989 Springer 1995
! 57,31 ! 72,90 ! 72,90 ! 27,95
Ausgezeichnetes Buch Exzellentes Buch Exzellente Einführung in Sehr gute Einführung in
über Quantenoptik über die Wechselwirkung die Quantenelektrodynamik die Quantenfeldtheorie,
zwischen Atomen und Licht pragmatischer Ansatz,
schnörkellose Einführung
der Dirac-Gleichung
0.8 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Literatur Statistische Physik
M. Alonso, E. J. Finn Ch. Kittel, H. Kroemer R. Becker K. Huang
Oldenbourg 2005 Oldenbourg 1993 Springer 1985 Wiley 1987
ISBN: 348657762X ISBN: 3486224786 ISBN: 3540153837 ISBN: 0471815187
! 39,80 ISBN 3-4862-5716-1 $ 107,06
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Guter Einstieg, Gute Einführung, Ein theoretisch Für Fortgeschrittene mit
kompakte, klare akzentuiert quanten- orientierter Klassiker theoretischer Orientierung.
Darstellung, das Kapitel mechanische Aspekte Schließt auch neuere
über statistische Entwicklungen ein
Mechanik ist besonders
empfehlenswert
0.9 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Über die Quantenphysik
Niels Bohr:
“Anyone who is not shocked by the quantum theory has not understood it.”
Erwin Schrödinger
“Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben”
Albert Einstein:
“Ich kann ["] nicht ernsthaft daran glauben, weil die Theorie mit dem Grundsatz
unvereinbar ist, dass die Physik eine Wirklichkeit in Zeit und Raum darstellen soll,
ohne spukhafte Fernwirkung”
Richard P. Feynman:
“I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
0.10 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik:
Klassische Physik: ! Erfolgreiche Beschreibung makroskopischer Phänomene
Physikalische Größen (Ort, Zeit, Impuls, Energie,...) kontinuierlich
Unterschiedliche Konzepte für Wellen und Teilchen
x(t), p(t) sin(kx-"t)
! Individualität von Objekten: zwei Objekte sind niemals identisch
Quantenphysik: ! Erfolgreiche Beschreibung submikroskopischer Phänomene
! Bestimmte physikalische Größen haben diskrete Wertebereiche
Erhebliche Reduktion der Komplexität
Elementare Einheiten für bestimmte physikalische Größen
Möglichkeit identischer, ununterscheidbarer Objekte
! Einheitliches Konzept für Wellen und Teilchen:
Welle-Teilchen-Dualismus
! Superpositionszustände, Unschärfe, Nichtlokalität, Verschränkung
0.11 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Klein und Groß
Auflösung
Elektronen-
mikroskop
homo sapiens
Atome Auflösung
Atom- Kleine Licht-
Viren
kerne Moleküle Mikroskop Haar
fm pm Å nm µm mm m
10–15 m 10–12 m 10–9 m 10–6 m 10–3 m
Quantenphysik Klassische Physik
Unscharfe Grenze, hängt ab von Temperatur, Druck, ...
0.12 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©Das Unbehagen an der Quantentheorie Superpositionsprinzip: Die Quantentheorie erlaubt “Überlagerungen” von Zuständen mit jeweils wohldefinierten physikalischen Eigenschaften ! Interferenz, Unschärfe, Verschränkung, Nichtlokalität Messproblem: Die Quantentheorie erhebt den Anspruch sowohl die mikroskopische als auch die makroskopische Welt zu beschreiben. Beobachtung der Quantenwelt erfolgt mit klassischen Apparaten. Zur Operationalisierung des Messvorgangs benötigt die QT Aussagen über die Wechselwirkung mit (klassischen) Systemen, die aufgrund der zu großen Komplexität nicht durch die QT beschrieben werden. Die quantentheoretische Beschreibung “großer Systeme” (viele koppelnde Freiheitsgrade) ist ein aktuelles Forschungsgebiet rund um die offene Frage: Wie eliminiert die klassische Welt die Merkwürdigkeiten der Quantentheorie ? 0.13 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©
QUANTUM CLASSICAL
STOP
show your
classical
apparatus
0.14 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2020 ©1. Licht: Welle oder Teilchen ? 1.1 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©
Licht als Welle:
Klassische Physik: ! Licht ist eine elektromagnetische Welle
E0 ei(kx-"t) + E0* e-i(kx-"t)
1
Beispiel: ebene monochromatische Welle: E(x,t) = 2
" # 2$& Kreisfrequenz, & # Frequenz (375–750 THz sichtbar)
k # 2$
Wellenzahl, % # Wellenlänge (0.4–0.8 µm sichtbar)
%
I # '0c E0 E0* über eine Ozillationsperiode gemittelte Intensität
( Strahlungsleistung pro Fläche [Watt/m2] )
Dispersionsrelation: " = c k, c # 2.998 * 108 m/s Lichtgeschwindigkeit
1.2 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Exkurs: Komplexe Schreibweise für reelle harmonische Felder:
Reelles elektrisches Feld:
1
E(r,t) = A(r) 2 cos(!(r) - "t ) = 2 A(r) [ ei(!(r) - "t ) + e-i(!(r) - "t ) ]
1 1
= 2
A(r) ei!(r) e-i"t + 2
A(r) e-i!(r) ei"t
1
relles Feld: E(r,t) = 2
( E(r,t) + E(r,t)* )
komplexes Feld: E(r,t) = E(r) e-i"t , E(r) = A(r) ei!(r)
Zeitgemittelte Intensität:
T
1
T = 2#/" = Schwingungsdauer, I(r) / $0c = dt |E(r,t)|2 = E(r) E(r)* = A(r)2
T
0
BSP: ebene laufende Welle A(r) = A0, !(r) = k r % E(r,t) = A0 ei(kr-"t)
I(r) = $0c A02
ebene stehende Welle A(r) = A0 cos(kr), !(r) = 0 % E(r,t) = A0 cos(kr) e-i"t
I(r) = $0c A02 cos2(kr)
1.3 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Messung der Lichtgeschwindigkeit: (Foucault 1851)
Jean Bernard Léon Foucault
(1819 – 1868)
f
langer Weg, ca. 10 km
Licht-
Dreh- quelle
spiegel
Schirm
c ! 2.998 * 108 m/s Lichtgeschwindigkeit
1.4 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E Licht ist ein Wellenphänomen: Interferenz am Doppelspalt
(Thomas Young 1805)
Young kollimierte Sonnenlicht mit
Hilfe eines Spiegels und einer
kleinen Apertur. Statt eines Thomas Young
Doppelspalts hielt er eine schmale n= 1
(1773-1829)
Barriere in den Strahl.
d n= 0
Modernere Variante:
n = -1
$ Kollimierter Strahl
eines “Laser Pointers” S
!
Bedingung für Maxima: n ! = "L ≈ d sin(#), n = 0, ±1,...
dAuflösungsvermögen optischer Abbildungen
Für die erste Beugungsordnung n = 1 gilt: d sin(!) = #
Auflösung des Doppelspalts erfordert, dass 1. Ordnung die Linse trifft
! < " $ d = # / sin(!) > # / sin(") > #
$ Auflösungsvermögen optischer Abbildungen > #
n= 1
d !
"
n = -1
Linse Schirm
1.6 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Beobachtung der Interferenzfähigkeit von Licht
Unsere Überzeugung, dass Licht ein Wellenphänomen ist, leiten wir aus seiner
Interferenzfähigkeit ab !
FRAGE: Was sind die Voraussetzungen für Interferenz, ist jede Lichtquelle interferenzfähig,
oder gibt es Lichtquellen mit mehr oder weniger Interferenzfähigkeit?
BSP1: ebene monochromatische Welle besteht aus einem unendlich langen Wellenzug
Es besteht feste Pasenbeziehung für beliebige Abstände " maximal interferenzfähig
BSP2: Lichtsstrahl zusammengesetzt aus vielen Wellenzügen endlicher Länge
mit zufälliger relativer Phasenlage
partiell interferenzfähig ?
1.7 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©beweglicher Spiegel zur Einstellung
Michelson Interferometer der Weglängendifferenz "x = c ! bzw. Imax(!)
Laufzeitdifferenz !
Imin(!)
I0
I0
I0/2
Messung der mittleren 0
Intensität I(!) Laufzeitdifferenz !
Imax(!) - Imin(!)
Interferenzkontrast: K(!) #
Imax(!) + Imin(!)
maximale Kohärenz: Interferenzkontrast = 1 für alle !
partielle Kohärenz: Interferenzkontrast nimmt ab für große !
BSP: ebene monochromatische Welle
E(!) = ei$t [eikx + eik(x + "x(!)) ] , k"x(!) = k c ! = $ !
Imax(!) - Imin(!) 4- 0
I(!) ~ |E(!)|2 = |eikx + eik(x + "x(!)) |2 = 2(1+ cos($!)) % K(!) # = = 1
Imax(!) + Imin(!) 4+0
1.8 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©P Exkurs: Die Kohärenzfunktion als Maß für Interferenzfähigkeit
Betrachte Punktlichtquelle Q: Licht E(t) gelange auf zwei verschiedenen Pfaden zum Punkt P
t
Pfad 1: Laufzeit t
Pfad 2: Laufzeit t+! xQ
xP
Elektrisches Feld am Punkt P: E(xP,t) ~ E(t) + E(t+!) t+!
T
! E(t) E(t+!)* " 1
g(!) " Kohärenzfunktion 1.ter Ordnung !f(t)" " lim f(t) dt
! E(t) E(t)* " T#$ T
-T
Mittlere Intensität am Punkt P:
I(!) / %0c = !|E(t) + E(t+!)|2" = !|E(t)|2" + !|E(t+!)|2" + !E(t) E(t+!)*" + !E(t)*E(t+!)"
= !|E|2" ( 2 + g(!) + g(!)* ) = 2!|E|2" (1 + Re[g(!)]) = 2!|E|2" [ 1 + |g(!)| cos(&(!)) ]
g(!) " |g(!)| ei&(!)
Re[g(!)] = |g(!)| cos(&(!))
1.9 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©I(") = #0c !|E(t) + E(t+")|2" = 2#0c !|E|2" (1 + Re[g(")]) = 2#0c !|E|2" [ 1 + |g(")| cos($(")) ] P
Annahme: Imax(") = 2#0c !|E|2" [ 1 + |g(")| ]
|g(")| ändert sich kaum über eine %
Oszillationsperiode von cos($(")) Imin(") = 2#0c !|E|2" [ 1 - |g(")| ]
Imax - Imin
Interferenzkontrast: = |g(")|
Imax + Imin
Eine Lichtquelle bezeichnet man als: kohärent falls |g(")] = 1 "
partiell kohärent falls ! " : 0 < |g(")] < 1
inkohärent falls g(") = 0 ">0
|g(")|, Re[g(")]
BSP1: Laserlicht E(t) = E0 exp(-i(&t + '))
1
g(") = exp(i &")
|g(")| = 1 "
1.10 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©BSP2: Thermisches Licht $(t) P
2% $1 $4
Ein Atom oder Molekül in einem Gas emittiert eine mono- $2
chromatische Welle E(t) = E0 exp( -i(#t + $(t))) mit einer $0 $3
0 t
Phase $(t) die bei jedem Stoß einen zufälligen Sprung macht
! E(t) E(t+&)* " = |E0|2 ei#& ! e i($(t+&) – $(t)) "
ei! falls freier Flug < &
e i($(t+&) – $(t)) =
! ' [0,2%] zufällig
1 falls freier Flug > & time
t t+&
i($(t+&) – $(t))
!e " = P(&) i
P(&) = Wahrscheinlichkeit für freien Flug länger als & -i
N
1
! ei!" = N ∑ ei!" = 0
"=0
1.11 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©P
! E(t) E(t+!)* " = |E0|2 ei#! P(>!)
! E(t) E(t+!)* "
Kohärenzfunktion: g(!) " = ei#! P(>!)
! E(t) E(t)* "
aus kinetischer Gastheorie, Skript 3. Teil:
1 exp(-!/! )
Wahrscheinlichkeitsverteilung für freie Flüge der Dauer t $ [!,! + d!] : p(t) = !0 0
!0 = mittlere freie Flugzeit
Wahrscheinlichkeit für freien Flug mit Dauer größer als ! :
%
P(>!) " p(s) ds = exp(-!/!0)
!
& g(!) = ei#! exp(-!/!0)
Re[g(!)] = cos(#!) exp(-!/!0)
|g(!)| = exp(-!/!0)
1.12 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Hohlraumstrahlung: (Planck’sches Strahlungs-Gesetz)
• Würfel (Kantenlänge L) mit perfekt verspiegelten Flächen im
thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T
L
• Man beobachtet die Strahlung, die durch eine kleine
Öffnung austritt
Frage: Wieviel Strahlungsenergie pro Volumen und Frequenzintervall
ist im Hohlraum enthalten?
Das thermische EM-Feld kann in ebene harmonische Wellen (“Elementarmoden”) zerlegt werden
ei(#(k)t - k r) , k $ |k|, #(k) = c k
aber nur konstruktiv interferierende ebene Wellen können
sich innerhalb des reflektierenden Würfels stabil ausbilden.
Daher sind nur bestimmete Werte von kx,ky,kz möglich:
Randbedingung: ki L = 2! zi, zi " Z , i = x,y,z
1.13 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Anzahl " der “Moden” pro Wellenzahlraum-Volumen:
2!
Randbedingung: ki = z , zi # Z , i = x,y,z
L i
zwei mögliche Polarisationsrichtungen
Anzahl von Moden 2 2V
" = = = , V = L3
k-Raum-Volumen (2!/L)3 (2!)3
1.14 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Anzahl d# von “Moden” pro Frequenzintervall [!, !+d!] = c [k, k+dk] ?
2V dS
d# = % dSk = k ky
(2$)3
dk = d!/c
k-Raum Volumen dSk der Schale mit Radius k und Dicke dk: k " |k|
!2 kx
dSk = 4$ k2 dk = 4$ d!
c3
Anzahl von Moden d# pro Volumen V in der Schale mit Radius k und Dicke dk:
1 d# = !2 d!
V $2c3
1 d# 2 (1a)
Spektrale Modendichte V d!
= !
$2c3
1.15 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©1 dE
Gesucht = Strahlungsenergie im Frequenzinterval [!, !+d!] und Volumen V.
V d!
1 d" dE 1 d"
= = spektrale Modendichte.
V d! * d" V d!
dE
Berechnung von = mittlere Strahlungsenergie dE pro Strahlungszustand d"
d"
Annahme der klassischen statistischen Mechanik: Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahr-
scheinlichkeit ein System in einem Zustand mit der Energie E zu finden durch einen Boltzmann-
Faktor gegeben: P(E) ~ exp( – E / kBT) (aus kinetischer Gastheorie, Skript 3. Teil)
kB= 1.38 10-23 JK-1 Boltzmann-Konstante
# 1
Normierung: dE P(E) = 1 $ P = exp( – E / kBT) (2a)
0 kBT
dE #
$ d" = dE E P(E) = kBT für alle Moden gleich
0
1.16 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Rayleigh Jeans-Formel:
dE
Energie/Mode: = kB T ! spektrale Energiedichte:
d&
1 dE = 1 d& "2
k T = k T
V d" V d" B '2c3 B (1b)
UV-Katastrophe: Divergenz für " # $
Planck-Formel:
Annahme der Quantisierung: Die Energie einer Mode der Frequenz " kann nur diskrete Werte
En = n !" + E0(") annehmen. Wir bezeichnen die Energiepakete !" als Photonen
! % 1.055 * 10-34 J s = Planck’sches Wirkungsquantum
1.17 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Zusammen: Die Wahrscheinlichkeit n Photonen in einer Mode der Frequenz $ zu finden
P(E) ~ exp( – E / kBT)
% Pn ~ exp( – n!$ / kBT)
E = n !$ + E0($)
!
Normierung: ∑ Pn = 1 % Pn = (1- e-# ) e-n# , # " !$ / kBT > 0 (2b)
n=0
!
verwende ∑ qn = 1/(1 - q) mit q " e-#Wahrscheinlichkeit Pn ausgedrückt mit Hilfe von !n":
!n"
Aus (3a) erhält man e-! =
1 + !n"
n
1 !n"
Einsetzen in (2b) führt zu Pn = = Pth(n)
(2b,3a) 1 + !n" 1 + !n"
Wahrscheinlichkeit in einem ein-modigen thermischen EM-Feld mit einer mittleren
Photonenzahl !n" genau n Photonen zu finden
Spektrale Energiedichte:
Auf das Volumen V des Hohlraums bezogene Energie pro Frequenzintervall d" :
1 dE = 1 d# "2 1
!n" !" = !" Planck (1900) (3b)
V d" V d" $2c3 (e!"/kBT - 1)
spektrale mittlere Anzahl von Energie pro Photon
Modendichte Photonen pro Mode
!"Die “spektrale Energiedichte” ist schwer zu messen. Stattdessen misst man die “spektrale
Strahldichte”:
Pro Fläche da, Zeitintervall dt, und Frequenzintervall d$ in den Raumwinkel d# unter dem
Winkel ! zur Normalen auf da emittierte Strahlungsenergie dS
dS 1 1 dE
BEH: Es gilt: = c cos(!) , d# = sin(!) d! d" (3c)
dt da d# d$ 4% V d$
Begründung (3c)
r Volumen dV!, welches während der Zeit dt zur Abstrahlung
! !
dâ unter dem Winkel ! durch die Öffnung dâ beiträgt:
dV!
dV! = c dt dâ r = c dt cos(!) da
c dt Pro Fläche da, Zeitintervall dt, und Frequenzintervall d$ in den
Raumwinkel d# in Richtung r emittierte Strahlungsenergie dS
r
z=dâ
1 dE 1 d#
y dS = d# d$ dV! , d# = sin(!) d! d"
! V d$ 4%
" x 1 1 dE
# = 4%
= d# d$ dt da c cos(!)
4% V d$
1.20 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Strahlungsintensität: pro Fläche emittierte Strahlungsleistung
dS 1 dE 1
= c cos(') , d) = sin(') d' d(
dt da d) d& V d& 4!
% % %
dS c 1 dE c 1 dE
I = d) d& = d& d' d( sin(')cos(') = d&
0 dt da d) d& 4! 0 V d& 4 0 V d&
Halbraum Halbraum
!
(kBT)4 % !2 kB4
"3 W
= d" = # T4 , # = = 5.67 $ 10-8 (3d)
4!2c2!3 0 e" - 1 60 c2 !3 m2 K4
!4/15
Stefan (1879), Boltzmann (1884)
1 dE = ! &3
V d& !2c3 (e!&/kBT - 1)
Variablentransformation " = !&/kBT
Josef Stefan Ludwig Boltzmann
1835-1895 1844-1906
1.21 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©dE
=
dE d#
= -
2$c dE
Ü Kosmischer Mikrowellen-Hintergrund
d" d# d" "2 d#
# = 2$c/"
2000 K
– Fit mit Planck-Formel
für T = 2.76 K
Rayleigh/Jeans 2000 K
1800 K
1200 K
2 4 6 8 10
Wellenlänge [µm]
Wellenlänge [mm]
I = ! T4
2000 K
1800 K
1200 K
1000 2000
Temperatur [K] Max Planck (1858-1947) Robert Wilson & Arno Penzias
Nobelpreis 1918 Nobelpreis 1978
1.22 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Licht als Teilchen: das Photon
Lichtquantenhypothese: A. Einstein 1905
! Energieaustausch mit einer Lichtwelle E(r) e-i"t der Frequenz " erfolgt in Paketen
der Energie !"
! # 1.055 * 10-34 J s = Planck’sches Wirkungsquantum
Die Energiepakete nennt man Photonen
man kann Photonen als Lichtteilchen bezeichnen, allerdings ist die
Analogie zum klassischen Teilchenbild gering ausgeprägt...
Innerhalb der räumlichen Ausdehnung der Welle ist der Aufenthaltsort eines Photons nicht
bestimmbar. Photonen sind delokalisierte Objekte
Das Betragsquadrat der Welle E(r)E(r)* gibt die Warscheinlichkeitsdichte für die
Messung eines Photon an
1.23 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E Experimenteller Nachweis des Photons: Photo-elektrischer Effekt
(Experiment: Entdeckung durch Becquerel 1839, Hertz &
Hallwachs 1887, Genaue Vermessung durch Lenard 1902
Interpretation: Einstein 1905)
Albert Einstein Philipp Lenard
Photokathode
Na, K, Rb, Cs Anode (Nobelpreis 1921) (Nobelpreis 1905)
Später als Jude Später Verfechter
Elektronen verfolgt der arischen Physik
und Gegner Einsteins
I U
Experimentelle Beobachtungen:
I
I(P2)
" Photostrom sättigt bei einem für P charakteristischen Wert
I(P1)
" Photostrom verschwindet für charakteristische Gegen-
spannung U0 . Diese hängt nur von der Frequenz ! ab, -U0(!) U
nicht aber von der Lichtleistung P.
Lenard 1902
1.24 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Experiment liefert unerwartetes Messergebnis:
Kathode Anode
U0(!)
eU0(!)
U0(!) = a ! – UA
0
!
!A= UA/a - - - - - eUA
–UA
Situation für I=0, U = -U0(!)
Einsteins Interpretation als Energieerhaltungsgleichung
Multiplikation mit Elementarladung e:
eU0(!) + eUA = e a ! = ! ! , ! = Planck Konstante
Energie eines die Kathode treffenden Lichtquants (Photon)
Austrittarbeit
kinetische Energie eines aus der Kathode ausgetretenen Elektrons
Interpretation: Das Licht überträgt Energiepakete der Größe !! auf die Elektronen in der Kathode
Ein Teil der Energie, nämlich eUA, wird verwendet um die Elektronen aus der Kathode zu befreien.
Der Rest eU0(!) wird in kinetische Energie der Elektronen umgesetzt.
1.25 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Austrittsarbeit hängt vom Kathodenmaterial ab
eUA = Austrittsarbeit, die ein Elektron leisten muß um die Kathode zu verlassen
eUA [eV] !A[nm]
"A = eUA/! = Grenzfrequenz
Na 2.28 543
K 2.25 551
2$c
!A = " = Grenzwellenlänge Cs 1.94 639
A
Unterhalb von "A kann die Austrittsarbeit nicht durch das eingestrahlte Licht aufgebracht werden.
Für einen kleinen Bruchteil von Elektronen wird die Austrittarbeit jedoch immer durch thermische
Strahlung bereitgestellt. Eine negative Gegenspannung allein (d.h. Beschleunigungsspannung)
kann nur bei extrem hohen Feldstärkewerten den Austritt von Elektronen (d.h. Stromfluss) bewir-
ken, indem die Potentialbarriere in der Kathode hinreichend abgesenkt wird: # Feldemission
Potentialbarriere
0
- - - - - eUA
Intensität
eU0(")
Kathode Anode
1.26 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Fazit: Der Austausch von Energie zwischen Elektronen der Ladung e und einem Lichtfeld der Frequenz ! erfolgt in Paketen der Energie !! Verallgemeinerung I: Dies gilt für die Wechselwirkung von Licht mit jeder Form von Materie. Verallgemeinerung II: Die Energie eines Lichtfelds der Frequenz ! kann nur die Werte n !! + E0 , n " N annehmen. 1.27 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©
Zählen von Photonen: Photomultiplier
Quanteneffizienz QE
-1500 V gnd
Photokathode beschichtet zur Minimierung der Austrittsarbeit
Anzahl der an der Photokathode ausgelösten Elektronen
Quanteneffizienz QE =
Anzahl der eintreffenden Photonen
Bei 7 Sekundärelektronen pro Elektron und 10 Dynoden erhält man 710 Elektronen,
entsprechend einer Ladung von 1 V an 10 pF
1.28 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Zählen von Photonen mit dem Photomultiplier:
viel Licht Photonen
Photoelektronen
Signal-Pulse
Signal
(quasi-kontinuierlich)
wenig Licht Photonen
Photoelektronen
Signal
(diskrete Pulse)
Dunkelzählrate: durch Kühlung < 1 s-1
Quanteneffizienz QE = 30% im sichtbaren
1.29 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Photomultiplier
Photonenstatistik:
Filter [&,&+d&]
Zählelektronik
n = Anzahl der Photonen, die während einer Zeit t gezählt werden
!n" = mittlere Anzahl der Photonen, die während einer Zeit t gezählt werden
n
!n"
Laserlicht: P(n) = exp(– !n") Einmodiges thermisches Licht:
n!
n
" Poisson -Verteilung 1 !n"
Pth(n) =
1 + !n" 1 + !n"
#
Mittlere Photonenzahl: !n" = ∑ n P(n) " thermische Verteilung
n=0
Schrotrauschen: Thermisches Rauschen:
#
!n $ ∑ (n – !n")2 P(n) = !n" Ü !n = !n" + !n"2 % !n" Ü
n=0
!n" Pth(n)
!n"
!n
!n
n n
0 0
1.30 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Das Photon trägt Impuls:
Einstein 1916: # Erweiterte Lichtquantenhypothese
Energieaustausch mit einer Lichtwelle ($,k) erfolgt in Paketen
der Energie !$ , jedes Paket trägt den Impuls !k
Beobachtung des Photonenimpuls: Compton-Effekt
(Compton 1923)
Kohlenstoff
p
K% -Röntgenstrahlung
!
"0 = 71.1 pm $,k," Arthur H. Compton
$’,k’,"’ (1892 - 1962)
Nobelpreis 1927
Beobachtung des Streuspektrums in Abhängigkeit vom Streuwinkel ! : A. H. Compton, Phys. Rev. 22, 409 (1923)
Zählrate
! = 0° ! = 45° ! = 90° ! = 135°
"
"0 "0 "’= 71.5 pm "0 "’= 73.1 pm "0 "’= 74.9 pm
1.31 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Stoßbilanz:
vor dem Stoß: Das Elektron ist mit wenigen eV im Festkörper gebunden. Die Energie der
eingestrahlten Röntgenphotonen !! liegt im keV-Bereich. Daher wird das Elektron vor dem
Stoß als frei und ruhend betrachtet.
nach dem Stoß: Das Elektron hat den Impuls p und die kinetische Energie K. Das gestreute
Photon hat die Energie !!’ und den Impuls !k’
Energiebilanz: !! = !!’ + K (4.1)
k " |k|, k’ " |k’|, p " |p|
Impulsbilanz: !k = !k’ + p (4.2)
Relativistische Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß $ Verwende
Dispersionsrelation der speziell relativistischen Mechanik: K(p) " m2c4 + p2c2 – mc2 (4.3)
1
E = M c2, p = M v mit M=m $ E " m2c4 + p2c2 , K " E - mc2
(1- v2/c2)1/2
m = Ruhemasse
Aus (4.1) und (4.3): ! (! – !’) + mc2 = m2c4 + p2c2 (4.4)
Quadriere (4.4) und löse nach p2c2 auf : p2c2 = !2 (! – !’)2 + 2mc2 ! (! – !’) (4.5)
Multipliziere (4.2) mit c, löse nach c p auf, quadriere und verwende ! = c k und k k’ = k k’ cos(#):
p2c2 = !2!2 + !2!’2 – 2 !2 ! !’ cos(#) (4.6)
1.32 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©p2c2 = !2 (! – !’)2 + 2mc2 ! (! – !’) (4.5)
p2c2 = !2!2 + !2!’2 – 2 !2 ! !’ cos(") (4.6)
Subtraktion der Gleichung (4.6) von (4.5) ergibt unter Verwendung von ! = 2#c / $ :
$’ – $ = $c (1 – cos(")) Gestreute Welle hat
größere Wellenlänge
2# !
Compton Wellenlänge des Elektrons: $c % mc
= 2.43 pm (4.7)
(liegt im Größenbereich zwischen Kern und Atomhülle)
mc + !k
maximal übertragener Impuls bei Rückstreuung (" = 180°) : p = 2!k
mc + 2!k
Ursache der unverschobenen Komponente des Compton-Spektrums:
Röntgen-Photonen wechselwirken auch mit stark gebundenen Elektronen. Der dabei übertragene
Impuls p = !k wird von den Kohlenstoffkristallen als Ganzes aufgenommen. Die dabei übertragene
kinetische Energie p2/2M ist extrem klein aufgrund der großen Masse M.
1.33 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Noch ein Beweis für die Lichtquantenhypothese: Röntgenspektren
UHeiz
K#
Glühkathode 25 keV
Bremsspektrum
K$
U 15 keV
Anode (Ni, Pd, Pt,...) 5 keV
! [Å ]
Falls die thermische Energie > Austrittsarbeit,
treten Elektronen aus der Kathode aus und
können durch eine Spannung U beschleunigt
werden. Die Elektronen treffen auf die Anode Grenzwellenlängen !G hängen nur
und werden stark abgebremst. Dabei ensteht von der Elektronenenergie ab, nicht
Röntgen-Strahlung mit kontinuierlichem vom Elektrodenmaterial
Spektrum mit scharfer Grenzfrequenz "G
Eth = thermische Energie ( ≈ eV)
! "G = eU + Eth
eU = Beschleunigungsenergie ( ≈ 1 - 100 keV)
Bemerkung: 25 keV Röntgenstrahlung: ! = 0.5 Å = Atomare Größenskala
1.34 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©2. Materie: Teilchen oder Welle ? 2.1 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©
Leukipp, Demokrit, Epikur, Lukrez
Leukipp Demokrit Epikur Lukrez
um 450–370 a.C. 460-371 a.C. 341-271 a.C. 99/94 -55/53 a.C.
Demokrit
• Es gibt kleinste unteilbare Einheiten der Materie.
• Diese Atome unterscheiden sich in Form und Gewicht.
• Nur scheinbar hat ein Ding eine Farbe, nur scheinbar ist es süß oder bitter; in
Wirklichkeit gibt es nur Atome im leeren Raum.
Lukrez (De rerum natura)
• Aus Nichts entsteht nichts.
• Alle Materie besteht aus kleinen Partikeln.
• Gibt es Körper, muss es auch Leere geben.
• Eigenschaften und Ereignisse, beide sind von Körpern nicht zu lösen.
2.2 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Erkenntnisse vor 1900:
Dalton 1802: Gesetz der multiplen Proportionen (John Dalton, 1766-1844)
Gewichtsverhältnisse der Elemente in verschiedenen Substanzen ganzzahlig
Gay-Lussac 1808: (Joseph-Louis Gay-Lussac, 1778-1850)
Ganzzahlige Volumenverhältnisse bei chemischen Reaktionen von Gasen
Avogadro 1811: (Amadeo Avogadro, 1776-1856)
Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur enthalten gleiche Volumina von Gasen
die gleiche Anzahl von Molekülen
Mendelejeff & Mayer 1865: (Dimitrij Ivanowitsch Mendelejeff, 1834-1907)
(Julius Lothar Meyer, 1830-1895)
Anordnung der Elemente nach Atommassen (Perioden) und chemischen Eigenschaften
(Gruppen)
FAZIT:
Es gibt chemisch invariante Elementarbausteine (Atome) aus denen sich größere Strukturen
(Moleküle, Festkörper) zusammensetzen
Relative Atomgewichte (Massen): Konvention 12C ! A = 12
1 Mol = Atom/Molekulargewicht in Gramm enthält N = 6.02214 " 1023 Teilchen
2.3 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Röntgen-Strahlung als Sonde für die sub-mikroskopische Welt
Röntgen-Photonen haben Wellenlängen im Bereich der Größe von
Atomen: 25 keV ! # ! 0.5 Å
Röntgen-Mikroskop mit atomarer Auflösung ?
Problem: keine Linsen bzw. Spiegel wie für sichtbare Strahlung
Stattdessen: indirekte Beobachtung (im k-Raum) durch Bragg-Streuung
William L. Bragg (1890 - 1971)
William H. Bragg (1862 - 1942)
Annahme: Kristalle sind periodische Gebilde. Röntgen-Strahlung Nobelpreis 1915
wird an parallelen “Netzebenen” elastisch reflektiert
!
b–a = n#
ki kf
b ' d/cos($)
d a ' b sin(%) = b sin(2$ – 90°)
$ $
a b – a = (1-sin(2$ – 90°)) d /cos($)
= 2 cos($) d
$
b %
&R n # = 2d cos($)
Bragg-Bedingung
2.4 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Beobachtung der Röntgen-Beugung an Kristallen
(von Laue 1913) Friedrich, Knipping, v. Laue, Annalen der Physik 1913 [2a]
Max v. Laue
UHeiz CuSO4 * 5 H2O (1879 - 1960)
Nobelpreis 1914
Kupfer-Vitriol
Glühkathode
U
Anode
Schirm
weisse Röntgenstrahlung
Was das Experiment zeigt: moderne Laue-Aufnahme:
! Kristalle sind periodische Gebilde. ! Ausrichtung von Kristallen
Die Netzebenenabstände d liegen im ! Substanzanalyse
Å-Bereich
2.5 Andreas Hemmerich 2022 ©Fragen: ! Bedeutung der Netzebenen
! Rolle der thermischen Bewegung: Schwingungen
der Ionenrümpfe um Ihre Gleichgewichtslagen
Exkurs: Grundkurs “Gitter”
Bravais-Gitter
Einheitszelle
a1
kleinste Einheit aus der sich
das Gitter durch Translationen
aufbauen läßt a2
ai = primitive Vektoren
! ! ! !
Bravais-Gitter: R = { R | R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3, ni ( Z }
!
Wigner-Seitz-
Einheitszelle
2.6 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Reziprokes Gitter:
ky
y
kx
x
Bragg-Ebenen
Bravais Gitter Wigner-Seitz-Einheitszelle =
Wigner-Seitz-Einheitszelle Erste Brillouin-Zone
durch Bragg-Ebenen berandet
Reziprokes Gitter: Wellenvektoren aller mit dem Gitter komensurablen ebenen Wellen
= alle ebenen Wellen, die durch Translation um einen Vektor des Bravais-Gitters auf sich
selbst abgebildet werden
! ! ! !! ! !! !
!
eiK(r+R) = ei K r ) R(R * K = {K| eiKR = 1) R ( R }
Ü Basis des reziproken Gitters K : K = { K | K = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3, ni (Z }
aj x ak
bi = 2+ mit {i,j,k} gerade Permutation von {1,2,3}
a1 (a2 x a3)
2.7 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Interpretation des reziproken Gitters K:
Behauptung:
K = alle Wellenvektoren von ebenen Wellen, deren Flächen gleicher Phase zu einer Netz-
ebenenklasse parallel sind mit einer Wellenlänge #K = d/n, wobei n eine natürliche Zahl und
d den Netzebenenabstand bezeichnet.
Begründung:
! ! ! !! !
Reziprokes Gitter: eiK(r+R) = ei K r ) R ( R , gilt somit auch für primitive Vektoren ai
!
K !
K
!
|K| = 2+ / #K !
|K| = 2+ / #K
a2
a2
a1
a1
d = #K d = 2 #K
!
* K = alle K , Netzebenenklasse mit n #K = d (*)
2.8 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Bragg-Streuung
! !
e ikeinx
! ! ! !
Eingestrahlte Welle: ei-t Gestreuter Wellenvektor: kaus , .k ' kein – kaus
! ! !
Position der Streuzentren: r = R + u, R ( R , u = Abweichung vom Gitterplatz R
! ! !
!
durch thermische Bewegung. Wird durch Wahrscheinlichkeitsverteilung P(u) beschrieben.
Annahme: einlaufende Welle induziert ein elektrisches Dipolmoment mit Phase /, welches
!
eine ebene Welle in Richtung kaus abstrahlt (Fernfeldnäherung)
! ! !
Eaus(x) ~ Dr ei kaus( x – r )
! ! !
! ikeinx !
Eein(x) ~ e
!! ! !
! = e i .k r ei kaus x
r ! ! ! ! ! !
= e i .k R e i .k u e aus x
i k
! !
Dr ~ e ikeinr
!
&R = P
Gestreute Welle: Summiere Streubeiträge von allen Gitterplätzen auf
! ! ! !
0
ei .k R ei kaus x e i .k u
! !
Eges(x) ~
!
∑ , f(u)
P
' f(u) P(u) d3u
P
R(R -0
2.9 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©! ! ! ! ! ! ! !
ei .k R
! !
ei .k R ei kaus x e i .k u ei kaus x e i .k u
! !
Gestreute Welle: Eges(x) ~
!
∑ = ∑
P R(R P
R(R
!! ! !
!
ik x
!
i .k u i .k R 0
= e aus e ∑ e f(u) ' f(u) P(u) d3u
P R(R P
-0
Debye-Waller-Faktor W Struktur-Faktor S
!
Struktur-Faktor S: führt zu scharfen Bragg-Reflexen falls .k ( K, unabhängig von der mittleren
Abweichung der Streuzentren von den Gitterplätzen durch thermische Bewegung ! Thermische
Bewegung reduziert die Intensität aber nicht die Schärfe der Bragg-Reflexe.
! !! ! !!
.k 1 K * Alle ei.k R verschieden .k ( K * ei.k R = 1
* S ! 0 i * S = Anzahl der Gitterplätze
i
-1 1 -1 1
-i
-i
2.10 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Reziprokes Gitter
Elastische Streuung:
!
! !
$ kout
| kin | = | kout |
Bragg-Ebenen !
Konstruktive Interferenz: kin
! ! !
kin - kout = K ( K !
K
!
Bragg Ebene: halbiert K ( K senkrecht
Braggbedingung für maximal kohärente Braggstreuung ist erfüllt, wenn:
Wellenvektoren des eingestrahlten und des gestreuten Lichtstrahls zeigen von einem Punkt
des reziproken Gitters auf eine Bragg-Ebene
aus Zeichnung
!
|K| /2
cos($) = !
2+
|kin| * #in = 2 ! cos($) = 2 #K cos($)
! |K|
|kin| = 2+/#in
Bragg-Bedingung für reziprokes Gitter
2.11 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©P Bragg-Ebenen und Netzebenen:
Bragg-Bedingung für reziprokes Gitter Aus Seite 2.8 (*) folgt
!
2+ Zu jeder durch ein K ( K festgelegten
#in = 2 cos($) = 2 #K cos($)
!
|K| Bragg-Ebene gibt es eine parallele Klasse
von Netz-Ebenen mit Abstand d und eine
natürliche Zahl n, so dass n #K = d
Reziprokes Gitter
* n #in = 2d cos($)
!
$ kout
Bragg-Bedingung für Netzebenen
Bragg-Ebenen !
kin Bravais-Gitter
2+
!
K( K d=n !
|K|
Netz-Ebenen
2.12 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©P Quantitative Form des Strukturfaktors S
Ni 2 Ni 2
i .k R 2
! ! ! ! ! !
i .k ai ni ∏ sin( (.k ai))
∑ e = ∏ ∑ e = 2
R(R i = 1,2,3 ni = 0 i = 1,2,3 1 ! !
sin( (.k ai))
2
!
Ni = Anzahl der Gitterplätze in Richtung des primitiven Vektors ai , i = 1,2,3
2+
Ni
! !
.k ai
n 2+
Die Schärfe der Bragg-Reflexe wird allein durch die Größe des Gitters bestimmt
N
sin((N+1)z/2)
einz = eiNz
! ! ! ! !
Ü verwende R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 , ∑ sin(z/2)
mit z = .k ai
n=0
2.13 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©P Debye-Waller-Faktor für harmonische Vibrationen:
Harmonische Oszillationen * Gauss-verteilte Abweichungen u, P(u):
(2a)
1 m -2 u2
V(u) = * P(u) 2 exp( –V(u)/ kBT )
2
3/2
m -2
1 = P(u) d3u * P(u) = exp(- m -2u2 / 2kBT)
+ 2kBT
Für Gauss-verteilte Abweichungen u, P(u): längere Rechnung
(verwende Gauß‘sches Momententheorem)
!! !!
i .k u 2 2 2
i .k u
e ' d3u P(u) e = exp – .k !u2"
P 3 P
3kBT
!u2" = u2 P(u) d3u =
P m -2
Variablentransformation x2 = m -2u2 / 2kBT
!!
i .k u 2 2 3kBT
* e = exp – .k (8)
P 3 m -2
Peter Debye Ivar Waller
(1884 - 1966) (1898-1991)
Intensität der Bragg-Reflexe nimmt mit der Temperatur exponentiell ab.
Nobelpreis 1936
2.14 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E Entdeckung des Elektrons: Experiment von Thomson (1897)
U2
Anode mit
UHeiz Apertur
""
" " """"
" ""
"" """ "
""
Glühkathode B-Feld
Schirm Joseph John Thomson
U1 (1856-1940)
Nobelpreis 1906
• Ablenkung durch elektrisches Feld: Kathodenstrahlen sind elektrisch negativ geladen
• Kompensation der Ablenkung durch magnetisches Feld: Bestimmung von e/m
Annahme: Kathodenstrahlen bestehen aus Teilchen der Ladung e und der Masse m:
! ! !
0 = F = - e (v! " B + E) E2
e
1 * =
mv2 = e U1 m 2U1 B2
2
2.15 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E Millikan Experiment (1911): Gibt es eine Elementarladung?
R. A. Millikan, Phys. Rev., 2:109-143, 1913.
Öl-Dispenser
Robert Andrews Millikan
(1868-1953)
Nobelpreis 1923
U
Die Flugbahnen einzelne Tröpfchen werden beobachtet:
mg
• Kompensation der Gravitation durch ein elektrisches Feld * e =
E
• Aus Flugbahn-Beobachtungen bei E = 0 ( 6+3r v = mg, v = Geschwindigkeit, r = Radius,
3 = Viskosität von Luft) bestimmt man die Masse m
* e = 1,592±0,0017 · 10-19 As
Aktueller Wert: e = 1,602192 · 10-19 As
Differenz aufgrund systematischer Fehler bei der Berechnung der Viskosität von Luft
2.16 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Rutherford Experiment (1911): Wie ist die innere Struktur der Atome?
%-Teilchen = Kerne des Helium-Atoms:
2 Protonen + 2 Neutronen
Goldfolie
Ernest Rutherford
(1871-1937)
Nobelpreis (Chemie) 1908
%-Strahler: 226Ra “Radium”
Fluoreszenz-Schirm
• Nahezu alle %-Teilchen gingen durch die Goldfolie hindurch so als wäre sie nicht da. Diese %-
Teilchen bewegten sich geradlinig weiter.
• Einige wenige %-Teilchen wurden geringfügig abgelenkt, üblicherweise um einen Winkel von
2° und weniger. Die wahrscheinlichste Ablenkung an der ganzen Goldfolie lag unter einem
Grad (Rutherford benannte sie in seiner Veröffentlichung von 1911 mit 0,87°).
• Ganz wenige %-Teilchen wurden um einen Winkel von mehr als 90° abgelenkt. Rutherford
nannte in seiner Veröffentlichung von 1911, dass es 1 von 20 000 bei der verwendeten
Goldfolie sind.
2.17 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Rutherford Experiment:
Rutherfords Hypothese Thomsons Hypothese
• Masse und positive Ladung des Atoms sind in einem Kern konzentriert
• Zwischen %-Teilchen und Kern wirkt die Coulomb-Kraft
* Differentieller Streu-Wirkungsquerschnitt:
2
1 d2n z Z e2 1
6(/,$) ' = 104
J dt d5 16+ 40 Ekin sin4($/2) Ekin = 5 MeV
Z = Kernladung
102 Rutherford
z = Ladung der Projektile
Ekin = kinetische Energie der Projektile Thomson
J = Fluss der eintreffenden Projektile
n = Anzahl gestreuter Projektile 80 160 $ [deg]
2.18 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E Das Wasserstoff Spektrum
Mit H2 gefüllte Entladungsröhre
656.3 486.133 434.0 410.2
n=3 n=4 n=5 n=6
Erste Vermessung durch Anders Jonas Angström (1814-1874)
n2
Balmer (1885): # = Bm
n2 – m2 für m = 2, B2 = 364.56 nm
Balmer schlug vor, auch nach Linien für andere Werte von
m, n und Bm zu suchen, die nicht im sichtbaren Spektrum liegen
Johann Jakob Balmer ! Lyman-Serie: m = 1, n = 2,3,4,... liegt im UV
(1825-1898) ! Paschen-Serie: m = 3, n = 4,5,6,...liegt im IR
Mathematiklehrer
in Basel ! Bracket-Serie: m = 4, n = 5,6,7,...liegt im IR
1 1 1
Rydberg (1888): = RH –
# m2 n2
RH = 1.09677 " 107 m-1
Johannes Robert Rydberg
(1854-1919)
2.19 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Bohr’sches Atommodell (1913):
Ausgangspunkt:
Rutherford-Modell: Elektronen bewegen sich um einen Kern
Lichtquanten-Hypothese: E = !-
Rydberg-Formel interpretiert als Energieerhaltung: Niels Bohr (1885-1962)
Nobelpreis 1922
1 = R 1 –1 2+ !c RH 2+ !c RH
* !- = – = Em – En
# H m2 n2 m2 n2
Bohrs Hypothesen:
1. Das Elektron kann sich nur auf bestimmten stabilen Kreisbahnen um den Kern bewegen.
Die innere Energie eines Atoms kann daher nur diskrete Werte En annehmen.
2. Beim Übergang zwischen zwei Kreisbahnen Em > En wird die Energiedifferenz in Form
eines Photons der Energie !- = Em – En abgegeben
3. Die erlaubten Bahnen sind durch quantisierte Werte des Bahn-Drehimpuls L = n !
gekennzeichnet
2.20 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Folgerungen aus den Bohr-Postulaten
Annahme: Kernmasse unendlich, Kernladung = Ze
Epot(r) = -1 Ze2
Elektron bewegt sich im Coulomb-Potential des Kerns
4+40 r
n2
L = r me v = n ! rn = a 4+40!2
Z 0 a0 = = 0.529177 " 10-10 m
me v2 1 Ze2 me e2
r
=
4+40 pn = Z ! Bohr-Radius
r2 n a0
pn2 1
– En = Epot(rn) + = – R0 2+ ! c Z2 2
2me n
+
1 #c me e4
R0 = = = 1.0973731534 " 107 m-1
8+2 a02 8c 40 2 h3
Korrektur durch endliche Kernmasse mK
Betrachte das Zwei-Körper-Problem in Schwerpunktskoordinaten:
me
me ! reduzierte Masse , für Wasserstoff: mK = mp = 1836.153 me
1 + me/mK
R0 1
En = – 2+ ! c Z2 stimmt gut mit Beobachtung überein! (9)
1 + me/mK n2
2.21 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©E[eV] 1 Ze2
Epot = –
4+40 r
0 r n=3
Paschen
n=3 n=2
n=2 Balmer
1
En 2 – 2
n
-13.6 n=1 E1 = -13.6 eV
n=1
Lyman %,7,8,...
Sonne
Wasserstoff
Helium
Neon
Argon
Lithium
Natrium
Kalium
Indium
Thallium
Quecksilber
2.22 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Franck/Hertz Experiment (1914)
UHeiz Hg-Dampf 1 Torr
James Franck Gustav Hertz
(1882 -1964) (1887-1975)
I Nobelpreis 1925
– + + –
U V
3 FAZIT:
I 2 • Elektronen werden beschleunigt bis ihre kinetische Energie
den Wert E* besitzt, den die Anregung eines Atoms kostet.
Danach sind sie nahezu in Ruhe und werden erneut
1
beschleunigt. Die Gegenspannung V sorgt dafür, dass
die Elektronen eine Mindestenergie brauchen um zum Strom I
beizutragen. Falls eU = n E* , n = 1,2,... ensteht ein
Minimum in der beobachteten U-I Kennlinie.
• Die für eine Anregung nötige Beschleunigungsspannung
U hängt nur von der Atomsorte ab (z.B. 4.89 eV für Hg)
0 5 10 15
• Falls eU 9 E* wird Licht der Frequenz !- = E* emittiert.
2.23 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Grenzen des Bohr’schen Atommodells
• Die beobachtete Substruktur der Emissionslinien bleibt im Dunklen. Auch die Erweiterung
auf elliptische Bahnen durch Sommerfeld löst das Problem nicht
• Die Bohr’sche Drehimpuls-Quantisierung kann nicht die Spektren von Mehr-Elektronen-
Atomen erklären
• Die beobachteten Lebensdauern & Emissionslinienstärken bleiben unerklärt
• Die Frage der Stabilität des Grundzustands bleibt offen
• Das Modell ist begrifflich inkonsistent. Es verwendet die Quantisierung der Energie
zusammen mit dem klassischen Bahnbegriff
• Experimente zeigen: Auch massive Teilchen wie etwa Elektronen haben gleichzeitig
Wellen – und Teilchen-Charakter
2.24 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Beugung von Elektronen an einem Nickel-Kristall
(Davisson, Germer 1927)
Glühkathode
Clinton J. Davisson
Ampere- (1881 –1958)
meter
Anode
Lester H. Germer
(1896 - 1971)
Ni-Einkristall
Polardiagramme der
Streuintensität:
Nobelpreis 1937
C. Davisson and L. Germer, Phys. Rev. 30, 705 (1927)
2.25 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Elektronen zeigen gleichzeitig Wellen – und Teilchen-Charakter
Youngs Doppelspalt-Experiment mit Elektronen:
Quelle ist so schwach, daß immer nur ein Elektron unterwegs ist
* Jedes Elektron interferiert mit sich selbst !
Akira Tonomura, Hitachi Advanced Research Laboratory 1994
2.26 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©C60 interference pattern
diffraction grating: 50 nm slits at 100 nm period
with grating
no grating
Markus Arndt, et al., Nature 401, 680-682 (1999)
2.27 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Teilchen durch Wellen beschreiben?
Wellenpakete können immer durch ebene Wellen ei [kr - -(k)t] superponiert werden.
Damit Wellenpakete (Teilchen) mit verschiedenen Geschwindigkeiten möglich sind benötigt man
ebene Wellen mit verschiedenen Phasengeschwindigkeiten: v = -(k)/k # konstant.
Dies führt zu Dispersion: Wellenpakete ändern bei der Propagation ihre räumliche Ausdehnung
Typische Dispersion: -(k)/k wächst monoton mit k.
x,v
&x klein, &v groß &x groß, &v klein
&x = Ortsunschärfe
&v = Geschwindigkeitsunschärfe
&x ! ", &v ! 0
ein scharfer Wert der Geschwindigkeit, i.e. &v ! 0,
und somit der kinetischen Energie, i.e. &E ! m v &v ! 0,
erfordert &x ! "
2.28 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Auch massive Teilchen haben Wellencharakter: de Broglie 1924
Comptes rendus de l‘Académie des Sciences, vol. 177, pp. 507-510 (1923)
Recherches sur la théorie des Quanta (University of Paris, 1924)
Freie Teilchen mit Impuls p und kinetischer Energie E werden durch eine ebene
laufende Welle ei(-t - kr) der Frequenz - und der Wellenzahl k beschrieben,
sodass
Ekin = !-
(10) ! ' Planck’sches Wirkungsquantum
p = !k
Luis Victor de Broglie
Wir bezeichnen die materiellen Teilchen zugeordneten Wellen als
(1892-1987)
Materiewellen bzw. de Broglie Wellen Nobelpreis 1929
Energie und Impuls sind von einander abhängig. Für ein klassisches (relativistisches)
Teilchen gilt
Ekin = m2c4 + p2c2 - mc2
Für nicht-relativistische Teilchen ist m2c4 + p2c2 ! mc2 + p2/2m und somit
Ekin = p2/2m
2.29 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Dispersionsrelation für de Broglie Wellen:
verwende Energie-Impuls-Beziehung der relativistischen Mechanik (4.3): Ekin = m2c4 + p2c2 - mc2
Für ein Teilchen der Masse m: - = -(k) = -c2 + c2k2 – -c
2+ 2+ ! Compton-Wellenlänge
-c = c kc = c ' mc2/! , #c '
#c mc für Teilchen mit Masse m
Für ein nicht-relativistisches Teilchen !k2 nicht-relativistische Materiewellen
der Masse m (p mc): propagieren wie Licht
2.30 Physik III, Universität Hamburg Andreas Hemmerich 2022 ©Sie können auch lesen
