"Wie soll ich das beweisen?" - Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik zur Didaktik des Beweisens - Fakultät ...

„Wie soll ich das beweisen?“ – Neue Wege und
Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik zur
Didaktik des Beweisens

 Leander Kempen
 Technische Universität Dortmund
 leander.kempen@tu-dortmund.de

 „Einblicke in die moderne Stoffdidaktik“ - 1. Karlsruher Didaktik Workshop, 11.-12.02.2022

Agenda

 (1) Einführung in die Thematik
 (2) Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik
 a) Generische Beweise
 b) Transparent-pseudo proofs
 c) Proofs Without Words
 d) Proof Frameworks
 (3) (Gemeinsame) Diskussion

 2

Einführung

 „Beweisführungen sind ein essentieller Bestandteil der Mathematik;
 ein zu weitgehender Verzicht auf Beweise erzeugt bei den
 Schülerinnen und Schülern ein falsches (reduziertes) Bild von
 Mathematik und verstößt damit gegen das didaktische Prinzip der
 Wissenschaftlichkeit des Unterrichts.“
 (Walsch, 2000, S. 25)

 3

Einige Schlaglichter zur Thematik
 Meyer & Prediger (2009, S. 1):

 Einerseits gilt Mathematik als beweisende Disziplin, andererseits
 spielen Beweise im Unterricht eine nur untergeordnete Rolle und
 werden oft als schwierig angesehen.

 Bauer & Büchter (2018, S. 200) bzgl. des Zentralabiturs [2007 - 2016] in NRW:

 Insgesamt ergibt sich das Bild, dass mathematische Argumentationen
 auf höherem Niveau und insbesondere das Beweisen im engeren
 Sinne – anders als durch die Operatoren zunächst suggeriert wird –
 doch eher eine untergeordnete Rolle in den Abituraufgaben spielen.

 Selden (2012, S. 392) zum Übergang Schule/Hochschule:

 The nature of proofs and proving at tertiary level, with its increased
 demand for rigour, constitutes a major hurdle for many beginning
 university students.

 4

Vorerfahrungen zum Beweisen bei StudienanfängerInnen
• Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15 Kempen (2019, S. 332)
• Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

 Wie viele Beweise haben Sie in der Schule in der Sekundarstufe 1 (Klasse 5 - 9 bzw.
 Klasse 5 – 10) kennengelernt? (n=144)
 29 % 33 %
 23 %
 11 %
 4% %
 0  1-2  3-5  6-10  11-20  mehr als 20

 Wie viele Beweise haben Sie in der Schule in der Sekundarstufe 2 (Klassen 10 - 12 bzw. EF,
 Q1 und Q2) kennengelernt? (n=142)
 45 %
 18 % 22 %
 13 % 11 %
 2%
 0  1-2  3-5  6-10  11-20  mehr als 20

 Wie viele Beweise haben Sie in Ihrer Schulzeit selbst entwickelt (gefunden und
 aufgeschrieben)? (n=141)
 39% 35%
 16%
 8%
 1% 1%
 0  1-2  3-5  6-10  11-20  mehr als 20

 5

Vorerfahrungen zum Beweisen bei StudienanfängerInnen
• Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15 Kempen (2019, S. 333)
• Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

Welche Sachverhalte wurden bei Ihnen in der Schule bewiesen? (n=144)

 1. Satz des Pythagoras (37x)
 2. PQ-Formel (14x)
 3. Ableitungsregeln (13x)
 4. Satz des Thales (8x)
 5. Binomische Formeln (6x)

 6

Vorerfahrungen zum Beweisen bei StudienanfängerInnen
• Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15 Kempen (2019, S. 342)
• Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

Wie begründen StudienanfängerInnen?
 Die Summe 11 + 17 ist eine gerade Zahl.
 Gilt dies für jede Summe von zwei beliebigen ungeraden Zahlen?
 Begründen Sie überzeugend!

 7

Zusammenfassung und Frage an die Lehramtsausbildung

 Schule Hochschule

 • Die Studierenden hatten nach eigenen
 Angaben in ihrer Schulzeit insgesamt eher • Beweise an der Hochschule basieren
 wenig Kontakt mit Beweisen. dagegen auf anderen Aktivitäten, wie
 der Operationalisierung von
 • Prototypen: Beweise aus der Geometrie Definitionen, der Nutzung
 (Wechselspiel mit einer Beweisfigur) und mathematischer Sätze bzgl. abstrakter
 im Kontext der Algebra in der Mittelstufe Objekte und deduktives Schließen mit
 („manipulative proofs“ (Tall, 1995), z. B. formalen/symbolischen Darstellungen
 Binomische Formeln) (etwa Selden et al., 2015).

 • Verwendung der Algebra zur Begründung
 von Sachverhalten eher selten

Was tun?
Einfache (?) Antwort:
Wir müssen (natürlich) Beweise an der Universität thematisieren und unterrichten und die
zukünftigen Lehrkräfte derart ausbilden, dass sie in ihrem späteren Unterricht beweisen.
Aber das ist gar nicht so einfach…
Kotelawala (2016): Die Lehrkräfte aus der Studie (USA; n=78), die mehr universitäre
Mathematikkurse besucht hatten, haben weniger Beweise in ihrem Schulunterricht thematisiert. 8

Agenda

 (1) Einführung in die Thematik
 (2) Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik
 a) Generische Beweise
 b) Transparent-pseudo proofs
 c) Proofs Without Words
 d) Proof Frameworks
 (3) (Gemeinsame) Diskussion

 9

Generische Beispiele Semadeni (1984)
 Mason & Pimm (1984)

Kommutativität der Multiplikation: Summer zweier gerader Zahlen:

 ...... ... ........
 + =
 ...... ... ........

 Abb. ähnlich zu Mason & Pimm (1984, S. 284)
 Abb. ähnlich zu Semadeni (1984, S. 33)

 • Welche Einsicht benötigen wir, um zu verstehen, dass der
 Zusammenhang in dem betrachteten Beispiel gilt?
 • Welche Idee soll man in dem konkreten Beispiel erhalten, die
 auf weitere Beispiele übertragen werden kann?
 • Welche Einsicht benötigen wir, um zu verstehen, dass diese
 Idee bei allen möglichen Fällen greift?

 10

Generische Beweise
 Biehler & Kempen (2016)
 Frage aus der (universitären) Lehrpraxis:

 Wie kann man wissen, ob Lernend ihre „generischen“ Beispiele
 wirklich generisch verstehen?

 Behauptung:
 Die Summe aus einer ungeraden Zahl und ihrem Doppelten ist immer ungerade.

 Generischer Beweis(?):

 5 + 2 ⋅ 5 = 15 Generische Beispiele
 13 + 2 ⋅ 13 = 39
 u g u +
 Das Doppelte einer ungeraden Zahl ist immer gerade. Explizierung:
 Somit erhalten wir immer die Summe aus einer - Warum wahr?
 ungeraden Zahl (Ausgangszahl) und einer geraden Zahl - Warum immer wahr?
 (ihr Doppeltes).
 Da die Summe aus einer ungeraden und einer geraden
 Zahl immer ungerade ist, muss das Ergebnis immer =
 ungerade sein. „generischer Beweis“

 11

Generische Beweise: Didaktische Intentionen

 • Durch die Betrachtung generischer Beweise wird das Verständnis für den allgemeinen
 Beweis und damit verbunden das „Beweisverständnis“ gestärkt.
 (Leron & Zaslavsky, 2013; Mason & Pimm, 1984; Rowland, 2002)

 • Generische Beweise bieten die Möglichkeit, Beweise ohne die Verwendung von
 mathematischer Symbolik zu formulieren. (Dreyfus et al., 2012)

 • Damit erscheinen Sie insbesondere geeignet, um im Rahmen der Schulmathematik
 mathematisch zu argumentieren, wenn die Symbolsprache der Algebra noch nicht zur
 Verfügung steht. (Biehler & Kempen, 2014; Karunakaran et al., 2014; Meyer & Prediger, 2009; Stylianides,
 2010)

 • Im Zusammenhang mit generischen Beweisen wird …

 (Kempen & Biehler, 2019; Kempen, 2019)
  … die Bedeutung der Untersuchung konkreter Beispiele im Beweisprozess hervorgehoben
  … der Beweisprozess explizit betont
  … das Verständnis für die zu beweisende Behauptung gestärkt
  … der Unterschied zwischen rein empirischen Überprüfungen
 und allgemeingültigen Beweisen hervorgehoben
  … der Umgang mit nicht-symbolischen Darstellungen geübt

 Im Übergang zum formalen Beweisen …
  kann die mathematische Symbolsprache sinnstiftend eingeführt (und beworben) werden
  kann der Aspekt der Allgemeingültigkeit diskutiert und herausgestellt werden
  Können Unterschiede zwischen Schul- und Hochschulmathematik erfahren und expliziert
 werden
 12

Lehrveranstaltung „Einführung in die Kultur der Mathematik“

 Inhalte:
 (1) Entdecken und Beweisen in der Arithmetik Biehler & Kempen (2014)

 (2) Figurierte Zahlen Kempen (2019)

 (3) Zahlenfolgen und Beweise durch vollständige Induktion
 (4) Aussagenlogik, logisches Schließen und Beweistypen
 (5) Mengen und Aussageformen
 (6) Funktionen und Abbildungen

Fachdidaktische Entwicklungsforschung an der Hochschule:

 Abb. ähnlich zu Kempen & Biehler (2021, S. 481)
 13

Kapitel 1: Entdecken und Beweisen in der Arithmetik
Jemand behauptet:
„Die Summe von 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch 3 teilbar.“
- Stimmt das? Warum (nicht)?

 4 + 5 + 6 = (5 − 1) + 5 + (5 + 1) = 3 � 5
Jede Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen lässt sich schreiben
als (mittlere Zahl -1) + mittlere Zahl + (mittlere Zahl +1). durch 3 teilbar

Da sich die Einsen gegenseitig aufheben, erhält man als Summe immer
das Dreifache der mittlere Zahl. Somit ist das Ergebnis immer durch 3
teilbar. Sei ∈ ℕ beliebig aber fest. Dann gilt:
 + + 1 + + 2 = 3 + 3 = 3 + 1 .

 Da + 1 ∈ ℕ, ist die Summe durch drei
 teilbar.

Bei jeder Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
entsteht immer die gleiche Treppenform, da sich die Kästchenreihen
jeweils um einen Punkt unterscheiden.
Durch Umgruppierung der Punktmuster – die untere Ecke wird oben
angelegt – entstehen immer 3 gleich lange Kästchenreihen. Somit
muss das Ergebnis immer durch 3 teilbar sein.
 14

Kapitel 1: Entdecken und Beweisen in der Arithmetik

 Der „Forschungsprozess“ wird weitergetrieben:

 (B4) Die Summe von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 4 teilbar.
 (B5) Die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 5 teilbar.
 (B6) Die Summe von 6 aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 6 teilbar.

 …

  Thematisierung der Rolle von Gegenbeispielen
  konsequente Verwendung der vier verschiedenen Beweisformen
  Erarbeitung und Beweis des Satzes:

 „Die Summe von k aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau dann durch k
 teilbar, wenn k ungerade ist.“

 15

Kapitel 2: Figurierte Zahlen

 Exemplarischer Auszug:
 Wir haben oben schon gesehen, dass ein Zusammenhang zwischen
 Dreiecks- und Quadratzahlen besteht:

 Gilt dieser Zusammenhang allgemein?

 16

Generische Beweise: Aufgabenbeispiele Kempen (2019, S. 236 f.)

Betrachten Sie die folgende (unvollständige) Schülerlösung zu Wir betrachten die folgende Behauptung:
einem generischen Beweis: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.
a) Formulieren Sie die Behauptung, die der Schüler hier zu a) Beweisen Sie die Behauptung durch algebraische
 beweisen versucht. Umformungen und mit Verwendung von Variablen.
b) Vervollständigen Sie den generischen Beweis und schreiben b) Die folgende Abbildung strukturiert das Quadrat zu der
 Sie ihn auf. Zahl 5 in einer Art und Weise, wie es für eine
c) Übernehmen Sie Ihre Argumentation aus b) und führen Sie generische Argumentation genutzt werden kann.
 einen Beweis mit Variablen und algebraischen Umformungen. Verbalisieren Sie diese generische Argumentation, die
 aus der Strukturierung hervorgeht.

 Kempen (2019, S. 237)

 Beweisen Sie die folgende Behauptung
 a) mit einem generischen Beweis (mit Zahlen)
 b) mit einem formalen Beweis mit Buchstabenvariablen

 Die Summe aus einer ungeraden natürlichen Zahl und
 ihrem Doppelten ist immer ungerade.

 Kempen (2019, S. 236)
 17

Ausgewählte empirische Ergebnisse Kempen (2019, S. 401 ff.)

 • Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15
 • Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

Veränderungen von der Eingangs- zur Ausgangsbefragung
zur Lehrveranstaltung (bzw. zur Modulklausur [MK])

 „Beweisaffinität:

 Item EB AB Signifikanz des Medianunterschieds
 (Effektstärke)
 Ich sehe das Beweisen als eine intellektuelle Herausforderung, 4 4 ---
 der ich mich gerne stelle.
 Ich mag Beweise. 3 4 p=0,067 (r=0,22)

 Ich sehe keinen Sinn darin, etwas beweisen zu müssen, was 2 2 ---
 sowieso richtig ist.
 Ich versuche, Beweise zu verstehen. 5 6 p=0,003 (r=0,34)

 Ich weiß, wie man einen Beweis führt. 4 5 P

Ausgewählte empirische Ergebnisse Kempen (2019, S. 401 ff.)

 • Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15
 • Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

Veränderungen von der Eingangs- zur Ausgangsbefragung
zur Lehrveranstaltung (bzw. zur Modulklausur [MK])

 „Selbstwirksamkeitserwartung zum Beweisen“:

 Skala „Selbstwirksamkeitserwartung
 zum Beweisen“
 N 74

 M 5,09

 Median 5,17

 SD 0,67

 Cronbachs Alpha 0,83

 Spannweite rit 0,491 – 0,700

 Kempen (2019, S. 413)

 19

Ausgewählte empirische Ergebnisse Kempen (2019, S. 421)

 • Universität Paderborn, Wintersemester 2014/15
 • Lehramtsstudierende der Mathematik für Sekundarstufe 1

Veränderungen von der Eingangs- zur Ausgangsbefragung
zur Lehrveranstaltung (bzw. zur Modulklausur [MK])

 Begründungskompetenz:
 Die Summe 11 + 17 ist eine gerade Zahl.
 Gilt dies für jede Summe von zwei beliebigen ungeraden Zahlen?
 Begründen Sie überzeugend!
 Aufgabe „Summer zweier ungeraden Zahlen“

 nicht ohne emp. pseudo fragm. Arg. vollst.
 bearbeitet Begr. Lücke Arg.

 Kempen (2019, S. 421)
 20

Generische Beweise in der Sek. 1 Bredow & Knipping (2022)

Fokus: Übergang von der Arithmetik zur Algebra (Klasse 8)

In der vorherigen Stunde wurde ein generischer Beweis erarbeitet, dass die Summe
aus einer geraden und einer ungeraden Zahl immer ungerade ist.
Die Schülerin Tabea versucht zu beweisen, dass die Summe aus zwei geraden Zahlen
immer gerade ist:

 14 + 20 = 2 ⋅ 7 + (2 ⋅ 10) = 14 + 20 = 34
Lehrkraft greift Tabeas Idee auf:

 14 + 20 = 2 ⋅ 7 + (2 ⋅ 10) = 7 + 10 ⋅ 2 = 34
 Schülerin Jasmin Lehrkraft…
Schüler Johannes: Also ist 34 durch 2 teilbar.

Schüler Christian: Also ist 34 eine gerade Zahl. Problembereiche u.a.:
 • Keine Loslösung von konkreten Fall
 • Keine Formulierung der Allgemeingültigkeit
 • wechselnder Fokus auf Prozess und Objekt (Struktur)
 • Struktursinn notwendig
 (bei Umformungen und Ergebnisinterpretation)
 21

Agenda

 (1) Einführung in die Thematik
 (2) Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik
 a) Generische Beweise
 b) Transparent-pseudo proofs
 c) Proofs Without Words
 d) Proof Frameworks
 (3) (Gemeinsame) Diskussion

 22

Transparent-pseudo proofs Malek & Movshovitz-Hadar (2011, S. 42)

Behauptung: dimR ℂ = 2 
 Transparent-pseudo proof

 Theorem: dimR ℂ = 2 Theorem: dimR ℂ = 2 

 To prove this, we need to find a basis namely, a set of linearly Let us prove the above for the special case = 4, that is we
 independent vectors in ℂ which spans ℂ over ℝ. prove that dimR ℂ4 = 2 ⋅ 4 = 8

 The form of any vector in ℂ is: To prove this, we need to find a basis namely, a set of linearly
 1 , 2 , 3 , … , ∈ ℂ, = 1, 2, 3, … , independent vectors in ℂ4 which spans ℂ4 over ℝ.
 = ( 1+ 1 , 2 + 2 , 3 + 3 , … , + | , ∈ ℝ, = 1, 2, 3, … , }

 The form of any vector in ℂ4 is:
 Since we are looking at ℂ over ℝ we may multiply vectors in ℂ 1 , 2 , 3 , 4 ∈ ℂ, = 1, … , 4
 only by real scalars. Hence = ( 1+ 1 , 2 + 2 , 3 + 3 , 4 + 4 | , ∈ ℝ, = 1, … , 4}
 ( 1+ 1 , 2 + 2 , 3 + 3 , … , + ) =
 1 1, 0, 0, … , 0 + 1 , 0, 0, 0 … , 0 + 2 0, 1, 0, … , 0 + 2 0, , 0, … , 0
 + …… Since we are looking at ℂ4 over ℝ we may multiply vectors in ℂ4
 … only by real scalars. Hence
 ( 1+ 1 , 2 + 2 , 3 + 3 , 4 + 4 ) =
 1 1, 0, 0, … , 0 + 1 , 0, 0, 0 … , 0 + 2 0, 1, 0, … , 0 + 2 0, , 0, … , 0
 + ……
 …

 23

Transparent-pseudo proofs Malek & Movshovitz-Hadar (2011, S. 46)

• N=10, Erstsemesterstudierende, LinA1
• 5 Einzelsitzungen, je 2 - 3 Stunden, mit den folgenden Phasen:

 (1) Test über Verstehensgrundlagen der LinA1
 (2) Je eine von 5 Beweisaufgaben, z.B. dimR = 2 
 (3) Als Hilfe: Handout in Form von Formal Proof (FP) oder
 Transparent-pseudo proof (TPP) zum Durcharbeiten
 (4) „Ablenkungsaufgabe“
 (5) Bearbeitung der Beweisaufgabe aus (2)

 die Beweisidee den selbst den Beweis zu einem
 den formalen mündlich geschriebenen Verständnisfragen ähnlichen Sachverhalt
 Beweis schreiben wiedergeben Beweis erklären beantworten konstruieren

Working session devoted to TPP FP TPP FP TPP FP TPP FP TPP FP
theorem number
( =number of participants)
Theorem 1 1 = 4, 1 = 4 3 (of 4) 1 (of 4) 4 (of 4) 3 (of 4) 3 (of 4) 1 (of 4) 3 (of 4) 1 (of 4) 4 (of 4) 1 (of 4)

Theorem 2 2 = 4, 2 = 4 4 (of 4) 1 (of 4) 4 (of 4) 4 (of 4) 4 (of 4) 1 (of 4) 4 (of 4) 0 (of 4) 4 (of 4) 1 (of 4)

Theorem 3 3 = 4, 3 = 3 4 (of 4) 3 (of 3) 4 (of 4) 3 (of 3) 3 (of 4) 3 (of 3) 3 (of 4) 2 (of 3) 4 (of 4) 2 (of 3)

Theorem 4 4 = 3, 4 = 3 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3) 3 (of 3)

Theorem 5 5 = 4, 5 = 3 4 (of 4) 2 (of 3) 4 (of 4) 2 (of 3) 4 (of 4) 2 (of 3) 4 (of 4) 2 (of 3) 4 (of 4) 1 (of 3)

Total % = , = 94.7% 58.8% 100% 88.2% 89.5% 58.8% 89.5% 47.0% 100% 47.0%

 24

Transparent-pseudo proof/generischer Beweis? 2 ∉ ℚ

 Funktioniert der Beweis auch für …
 … 3 , 5, … , 6, …?

 25

Agenda

 (1) Einführung in die Thematik
 (2) Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik
 a) Generische Beweise
 b) Transparent-pseudo proofs
 c) Proofs Without Words
 d) Proof Frameworks
 (3) (Gemeinsame) Diskussion

 26

Proofs Without Words Nelsen (1993) und (2000)

 [LINK]
 Nelsen (1993, S. 7)

 Fachdidaktische Entwicklungsforschung
 • Marco et al. (2021)
 • Marco et al. (2022)
 • Marco et al. (under review)
 27

Proofs Without Words als didaktisches Instrument Marco et al. (2021, S. 23)
 Marco et al. (2022, S. 1)

Aufgabenstellung (Version 1)
 Didaktische Intentionen:
Discover and write down the proof implied by this diagram.

  Lernende müssen die Beweisidee nicht
 alleine „aus heiterem Himmel“ (er)finden;
  sie werden darin unterstützt, die Beweisidee
 zu entdecken, den Beweis zu konstruieren
 Marco (2022, S. 1)
 und ihn zu verstehen

 Lily And it comes out to be 2 + 2 = 2 Hey!
 We are so good! [excitingly, giving high-five]
 Mika Now we should write it down
 Lily Right. OK!
 Mika Wow, I am proud of us.

 28

Proofs Without Words als didaktisches Instrument Marco et al. (2022)

Aufgabenstellung (Version 1)
 Didaktische Intentionen:
Discover and write down the proof implied by this diagram.

  Lernende müssen die Beweisidee nicht
 alleine „aus heiterem Himmel“ (er)finden;
  sie werden darin unterstützt, die Beweisidee
 zu entdecken, den Beweis zu konstruieren
 Marco (2022, S. 1)
 und ihn zu verstehen

 Erläuterung Warum sind die Winkel in der Betrachtung Deutung der Bezug der Algebr.
 der Dreiecke Mittel 90°? Gesamtfigur Formeln Formeln zu den Umformungen
 Konstruktion kongruent? Flächen
 Vers. 1 0,02 0,17 0,18 0,24 0,92 0,89 0,78
 (n=37)

 Vergebene Punktzahlen:
 1: korrekt gefüllte Lücke
 0,5: erkannte Lücke, aber nicht korrekt gefüllt
 0: nicht erkannt

 29

Proofs Without Words als didaktisches Instrument Marco et al. (2022)

Aufgabenstellung (Version 1)
 Didaktische Intentionen:
Discover and write down the proof implied by this diagram.

  Lernende müssen die Beweisidee nicht
 alleine „aus heiterem Himmel“ (er)finden;
  sie werden darin unterstützt, die Beweisidee
 zu entdecken, den Beweis zu konstruieren
 Marco (2022, S. 1)
 und ihn zu verstehen

 Die kognitiven Aktivitäten der Lernenden werden
 durch die ‚Lücken‘ in der Darstellung bestimmt.
Aufgabenstellung final
 Frage:
Discover and write down the proof implied by this diagram. • Wie viele Lücken?
 • Welcher Art sollen die Lücken sein?
 • Wo sollen die Lücken auftreten?
 • … Was ist das Ziel?

 Marco (2022, S. 5) 30

Proofs Without Words als didaktisches Instrument Marco et al. (2022)

Aufgabenstellung (Version 1) 5 Design-Prinzipien zu PWW:
Discover and write down the proof implied by this diagram. 1. Auffindbarkeit der Schlüsselidee(n) –
 Sicherstellung der Entdeckung der Schlüsselidee(n) des
 Beweises mit minimalem Scaffolding.

 2. Unterscheidbarkeit der Facetten „Gegeben und Gesucht“.
 Die ‚visuelle Grammatik‘ sollte angeben, welche Teile des
 Diagramms vorgegeben sind und welche durch Konstruktion
 Marco (2022, S. 1) entstanden sind.

 3. Konstruktive Sichtbarkeit
 Die erfolgten Konstruktionsschritte sollten erkennbar sein.
 Auf diese Weise entsteht gleichsam ein Zeitperspektive, in
 dem die gegebenen Ausgangspunkte den konstruierten
 Aspekten vorausgehen.

 4. Verschleierung der Eigenschaften von Figuren
 Es sollten keine Eigenschaften benannt werden, die selbst
 hergeleitet werden könnten/sollten.
 Wenn Eigenschaften selbst entdeckt werden, veranlasst es
Aufgabenstellung final die Lernenden dazu, zu vermuten und zu begründen, dass
 diese gelten.
Discover and write down the proof implied by this diagram.
 5. Menschliches Handeln
 Stellen Sie das Diagramm so dar, als sei es durch
 menschliches Handeln entstanden. Auf diese Weise wird der
 Zugang zu der Darstellung erleichtert (vgl. Morgan (2016) und
 Alshwaikh (2018)).
 Marco (2022, S. 5) 31

Proofs Without Words als didaktisches Instrument Marco et al. (2022)

Discover and write down the proof implied by this diagram. Marco (2022, S. 1)

 Erläuterung Warum sind die Winkel in der Betrachtung Deutung der Bezug der Algebr.
 der Dreiecke Mittel 90°? Gesamtfigur Formeln Formeln zu den Umformungen
 Konstruktion kongruent? Flächen
 Vers. 1 0,02 0,17 0,18 0,24 0,92 0,89 0,78
 (n=37)
Vers. final 0,34 0,61 0,50 0,45 0,94 0,93 0,91
 (n=72)
 t-Test p

Agenda

 (1) Einführung in die Thematik
 (2) Neue Wege und Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik
 a) Generische Beweise
 b) Transparent-pseudo proofs
 c) Proofs Without Words
 d) Proof Frameworks
 (3) (Gemeinsame) Diskussion

 33

Proof Frameworks Selden et al. (2018)
 Möller & Nedrenko (in Druck)

Idee: 1. Schritt Untersuchen Sie, welcher Typ von Aussage
• Analyse des Satzes: Was ist als gegeben vorausgesetzt und zu beweisen ist. Wählen Sie dann eine geeignete
 was muss bewiesen werden? Beweistechnik.
 2. Schritt Stellen Sie die Grobstruktur des Beweises
• Fokus zunächst auf Grobstruktur einzelner Beweismethoden. auf.
• Anfang und Ende des Beweises können dann formuliert 3. Schritt Ersetzen Sie definierte Begriffe durch die
 werden. ursprünglichen Ausdrücke. Wenden Sie passende
• Für den Teil ‚dazwischen‘: Sukzessives Ersetzen Sätze aus der Vorlesung an.
 mathematischer Begriffe durch ihre Definitionen, bis logische 4. Schritt Seien Sie kreativ und beenden Sie den
 Schlüsse möglich oder Sätze aus der Vorlesung angewendet Beweis. Falls dies nicht klappt, gehen Sie zurück zu
 Schritt 3.
 werden können.
 Möller & Nedrenko (in Druck, S. 4)
 Beweisen Sie durch Kontraposition:
 ∀ ∈ ℕ: 2 ⇒ 
Beweis durch Kontraposition:
Z.z.: ∀ ∈ ℕ: ⇒ ² 

 Sei ∈ ℕ beliebig aber fest und ungerade.

 Dann exist. ∈ ℕ mit = 2 − 1.
 Wir haben 2 = 2 − 1 2 = 4 2 − 4 + 1
 Wir haben 2 = 2 2 2 − 2 + 1 mit 2 2 − 2 ∈ ℕ

 = 2(… ) ± 1. [mit … ∈ ℕ]
 Also ist ungerade.
 Damit ist die Ausgangsbehauptung gezeigt.

 34

(Gemeinsame) Diskussion

 • Was war für Sie neu/bemerkenswert/überraschend?
 • Welche Ideen nehmen Sie mit?
 • In welchen Bereichen würden Sie weiterführende Forschung befürworten?
 • Welche Ansätze halten Sie eher für fragwürdig?
 • Was hat Ihnen gefehlt?
 • …

 35

Literatur (1)

 Alsina, C., & Nelsen, R. B. (2010). Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics (1 ed., Vol. 42). Mathematical
 Association of America. http://www.jstor.org/stable/10.4169/j.ctt6wpwnz
 Alshwaikh, J. (2018). Diagrams as communication in mathematics discourse: A social semiotic account. For the Learning of
 Mathematics, 38(2), 9–13.
 Bauer, S., & Büchter, A. (2018). „Mathematik ist eine beweisende Disziplin“ – auch im nordrhein-westfälischen
 Zentralabitur? In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der Universität Paderborn (Hrsg.), Beiträge zum
 Mathematikunterricht 2018 (S. 197-200). WTM-Verlag.
 Biehler, R., & Kempen, L. (2016). Didaktisch orientierte Beweiskonzepte – Eine Analyse zur mathematikdidaktischen
 Ideenentwicklung. Journal für Mathematik-Didaktik, 37(1), 141-179. https://doi.org/10.1007/s13138-016-0097-1
 Biehler, R., & Kempen, L. (2014). Entdecken und Beweisen als Teil der Einführung in die Kultur der Mathematik für
 Lehramtsstudierende. In J. Roth, T. Bauer, H. Koch, & S. Prediger (Eds.), Übergänge konstruktiv gestalten. Ansätze für
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„Wie soll ich das beweisen?“ – Neue Wege und
Trends aus der Schul- und Hochschuldidaktik zur
Didaktik des Beweisens

 Leander Kempen
 Technische Universität Dortmund
 leander.kempen@tu-dortmund.de

 „Einblicke in die moderne Stoffdidaktik“ - 1. Karlsruher Didaktik Workshop, 11.-12.02.2022