Bwlkurse FINANZEN 1 Handout 1 - Grundlagen und FISHER-Modell
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bwlkurse FINANZEN 1 Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell
Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
INHALTSVERZEICHNIS
1 GRUNDLAGEN DER INVESTITIONS- UND FINANZIERUNGSTHEORIE BEI
SICHERHEIT 5
1.1 Annahme eines vollkommenen und vollständigen Kapitalmarktes 5
1.2 Modellannahmen 7
1.3 Die Transformationskurve TM 8
1.4 Konsumpräferenzen 9
1.5 Optimaler Konsumplan ohne (Real-) Investitionsprojekte 11
1.6 Optimaler Konsumplan bei Investitionsmöglichkeiten ohne Kapitalmarkt 12
1.7 Fisher Modell 13
Aufgaben zum FISHER-Modell 19
LÖSUNGEN ZU HANDOUT 1 23
© www.bwlkurse.de 2Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
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© www.bwlkurse.de 4Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
1 Grundlagen der Investitions- und Finanzierungstheorie bei Sicherheit
Dieses Kapitel dient der Einführung in die Investitionstheorie. Bei Investitionsprojekten
(IP) unterscheiden wir zwischen Realinvestitionen (Kauf einer Maschine, Eröffnung eines
Restaurants, Bau eines Staudamms) und Finanzinvestitionen (Kauf von Aktien, Anleihen,
Fondsanteilen, etc.).
Warum werden überhaupt Investitionsprojekte realisiert? Ein Investor verfügt entweder
über (Anfangs-)vermögen oder kann vergleichsweise günstig Kapital aufnehmen, um die
(Anfangs-)auszahlung des IP zu finanzieren.
Um einen möglichst grundlegenden Einstieg in finanzwirtschaftliche Themen zu bekom-
men, gehen wir zuerst davon aus, dass der Investor über ausreichende Mittel (Vermögen)
verfügt. Je nach Konsumpräferenz (individuelle Präferenz für Gegenwartskonsum = Unge-
duld oder Zukunftskonsum = Geduld) wird heute ein Teil des Vermögens für Konsumzwe-
cke ausgegeben. Das übrige Vermögens kann die Person am Kapitalmarkt anlegen oder in
reale Investitionsprojekte investieren, damit auch in der Zukunft Kapital für Konsummög-
lichkeiten verfügbar ist.
Dabei ist die größte Wertsteigerung bzw. höchste Rendite entscheidend. IP mit der höchs-
ten Rendite (Verzinsung) werden durchgeführt, um
Investitionsprojekte werden letztendlich durchgeführt, um heutigen möglichen Konsum in
die Zukunft zu verschieben. Dabei kann der Gewinn aus dem Investitionsprojekt in der Zu-
kunft zusätzlich konsumiert werden.
In einer Modellwelt untersuchen wir, wie ein Anleger die Entscheidung trifft zu investieren
oder nicht, und von welchen Faktoren und Einflüssen diese Entscheidung abhängt. Die In-
vestitionsentscheidung bestimmt die Anzahl der durchzuführenden Projekte, also das ge-
samte Investitionsprogramm, das Investitionsvolumen und damit den Gewinn des Investi-
tionsprogramms. Zunächst wollen wir den vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt
definieren.
1.1 Annahme eines vollkommenen und vollständigen Kapitalmarktes
Der vollkommene Kapitalmarkt ist das grundlegende Element der neoklassischen Finanz-
theorie. Auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt sind potentiellen Inves-
toren, Kapitalnehmer und Kapitalgeber über die Vorteilhaftigkeit von (Real-
)Investitionsprojekten einig. Deshalb können Ihre Konsumpräferenzen voneinander ab-
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weichen, ungeduldige und geduldige Investoren wählen dann identische
Investionsprogramme.
Definition eines vollkommenen Kapitalmarktes bei Sicherheit:
Ein Kapitalmarkt ist vollkommen, wenn der Marktpreis, zu dem ein Zahlungsstrom zu ei-
nem bestimmten Zeitpunkt gehandelt wird, für jeden Teilnehmer identisch ist, unabhängig
davon, ob ein Marktteilnehmer als Käufer oder Verkäufer auftritt.
kurz: wenn für Geldanlagen und Kreditaufnahmen, ein identischer Zinssatz gezahlt bzw.
verlangt würde (EINHEITSZINS).
Zum Beispiel wird der Kauf einer Aktie durch einen Zahlungsstrom repräsentiert. Der Käu-
fer einer Aktie bezahlt einen Preis in Höhe des Aktienkurses und erhält dafür zukünftige
Zahlungen in Form der Dividenden. Auch ein Kredit ist ein Zahlungsstrom, der auf dem
vollkommenen Kapitalmarkt gehandelt wird. Der Kreditnehmer erhält heute eine Einzah-
lung. In der Zukunft muß er die Kreditsumme inklusive Zinszahlungen an den Kreditgeber
zurückzahlen. Wie groß ist aber der Preis eines Kredites?
Der Preis eines Kredites, den der Kreditnehmer an den Kreditgeber zahlt, ist der Zinssatz. Ein
Zinssatz gibt an, um wieviel Prozent pro Periode ein späteres Zahlungsverprechen (Rück-
zahlungsbetrag) die früher entrichtete bzw. erhaltene Zahlung (Kreditbetrag) übersteigt.
Die Definition des vollkommenen Kapitalmarktes besagt, daß jeder Zahlungsstrom nur ei-
nen Preis hat, der sowohl für den Käufer als auch den Verkäufer gilt. Auf dem vollkomme-
nen Kapitalmarkt gibt es daher nur einen Zinssatz, den Einheitszins.
Der Habenzinssatz, den eine Person für Geldanlage bzw. Kreditvergabe erhält, ist gleich
dem Sollzinssatz. Der Sollzinssatz ist derjenige Zinssatz, den ein Marktteilnehmer zahlt,
wenn er sich Geld leiht bzw. einen Kredit aufnimmt.
Ein vollkommener Kapitalmarkt wird durch folgende weitere Merkmale charakterisiert:
Niemand kann den Preis eines Zahlungsstroms zu seinen Gunsten manipulieren.
Die Märkte sind friktionslos, d.h. es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern und
keine Zugangsbarrieren.
Der Kapitalmarkt ist perfekt informationseffizient (vgl. Kap. 4)
Auf dem Kapitalmarkt sind Informationen symmetrisch verteilt (vgl. Kap. 9)
Auf dem Kapitalmarkt herrscht Einstimmigkeit zwischen Gesellschaftern
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Definition eines vollständigen Kapitalmarktes
Ein Kapitalmarkt ist vollständig, wenn jeder beliebige Zahlungsstrom - und damit auch je-
der beliebige Anteil eines Zahlungsstroms - gehandelt werden kann.
Kurz: bei beliebiger TEILBARKEIT aller Anlage- bzw. Kreditzahlungsströme, wenn also
bspw. Aktien der Allianz AG teilbar und in Stückelungen von 0,01 € einzeln im Depot ge-
halten und gehandelt werden könnten.
Investitionsprojekte und Finanzierungsmaßnahmen, die einen Zahlungsstrom generieren,
sind aufgrund der Vollständigkeit teilbar.
Aufgrund der Handelbarkeit von Zahlungsströmen wird ein Marktteilnehmer immer eine
Gegenpartei finden, die den Zahlungsstrom für den Marktpreis kauft und/oder verkauft.
Die Vollständigkeit impliziert also unter anderem, dass ein Investor in beliebiger Höhe ei-
nen Kredit aufnehmen kann.
Auf einem vollkommenen und vollständigem Kapitalmarkt kann ein Investor zum einheitli-
chen Zinssatz i Kapital in beliebiger Höhe aufnehmen und anlegen.
Auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt hat jede zukünftige Zahlung ei-
nen eindeutigen Barwert. Der Barwert ist der heutige Wert einer zukünftigen Zahlung. Um
den Barwert zu errechnen, wird die zukünftige Zahlung auf den heutigen Zeitpunkt diskon-
tiert:
1.2 Modellannahmen
Es werden nur zwei Zeitpunkte t0 und t1 betrachtet
Sicherheit wird unterstellt
Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt
Investitionsentscheidungen werden ausschließlich im Interesse von Kapitalgebern
(„Investoren“) getroffen symmetrische Informationsverteilung (vgl. Kap. 9)
Die Investoren sind nur an ihren Konsummöglichkeiten in den zwei Zeitpunkten inte-
ressiert.
Der Investor verfügt in t = 0 nur über das Anfangsvermögen K
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1.3 Die Transformationskurve TM
Auf einem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt kann ein Anleger zum Zeitpunkt
t=0 finanzielle Mittel in beliebiger Höhe zum Einheitszins i anlegen und aufnehmen. Ein
Investor entscheidet nun, wie er sein heutiges Anfangsvermögen K auf den Konsum in den
beiden Perioden verteilt. Ein Teil des Anfangsvermögen K konsumiert er in t=0. Den Rest
seines Vermögens legt er am Kapitalmarkt an und kann diesen Betrag zuzüglich Zinsen in
t=1 konsumieren.
Je weniger Geld der Anleger heute für Konsumeinheiten ausgibt, desto mehr zukünftigen
Konsum kann sich der Anleger leisten. Je stärker ein Anleger Zukunftskonsum präferiert,
desto mehr wird er anlegen. Ein Anleger, der hingegen Gegenwartskonsum präferiert, wird
lieber heute viele Konsumeinheiten konsumieren.
Auf der Transformationskurve TM liegen alle möglichen (c0,c1)-Kombination, die ein Anle-
ger mit einem festgelegten Anfangsvermögen K erreichen kann. Dabei steht der Index M für
den (vollkommenen und vollständigen) Kapitalmarkt.
© www.bwlkurse.de 8Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Gleichung 1.1: Geradengleichung der Transformationskurve TM
TM : c1 ( K c0 ) (1 i ) K (1 i ) c0 (1 i )
c0: Konsumeinheiten in t = 0, wobei 1 Geldeinheit = 1 Konsumeinheit
c1: Konsumeinheiten in t = 1, wobei 1 Geldeinheit = 1 Konsumeinheit
K: Anfangsvermögen
i: Einheitszins auf dem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt
c1
K*(1+i)
Transformationskurve TM
-(1+i)
c0
0 K
Abbildung 1.1
Mit steigendem Anfangsvermögen K verschiebt sich die Transformationskurve TM nach
außen, weil dann höhere (c0,c1)-Kombinationen erreicht werden. Die Steigung der Trans-
formationskurve TM beträgt -(1+i). Je größer der Einheitszins i ist, desto steiler verläuft die
TM, und desto größer ist der Achsenabschnitt K*(1+i). Die Transformationskurve ist das
Äquivalent zu der Budgetgerade in der mikroökonomischen Haushaltstheorie.
1.4 Konsumpräferenzen
Der Anleger hat eine Nutzenfunktion U=U(c0,c1), die sich aus dem heutigen und zukünfti-
gem Konsum zusammensetzt. Dabei handelt der Investor rational und möchte den Nutzen
des Konsumeinkommensstroms maximieren. In der Nutzenfunktion findet sich die Kon-
sumpräferenz, also die Präferenz von Gegenwarts- oder Zukunftskonsum wieder.
© www.bwlkurse.de 9Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Für die Nutzenfunktion gilt die Nicht-Sättigungs-Hypothese
U (c0 , c1 ) U (c0 , c1 )
Uc 0 Uc 0
c0 0
c1 1
d.h. der partielle Grenznutzen von c0 und c1 ist positiv, jede zusätzlich konsumierte Einheit
in t=0 und t=1 erhöht den Nutzen des Investors. Aus einer Nutzenfunktion lassen sich
Indifferenzkurven abbilden.
c1
dc1
dc0
Indifferenzkurve IK
0 c0
Abbildung 1.2
Jeder Punkt auf einer Indifferenzkurve (IK) stellt eine (c0,c1)-Kombination, also einen Kon-
sumplan von heutigem und zukünftigem Konsum mit dem gleichen Nutzenniveau dar. Je
weiter eine Indifferenzkurve nach rechts oben verschoben wird, desto höher ist der Nut-
zen. Da die Funktion streng monoton fallend verläuft, ist die Steigung einer
Indifferenzkurve immer negativ. Die Steigung einer Indifferenzkurve ist in jedem Punkt
betraglich unterschiedlich.
dc1 U c0
dc0 U c1
Der Betrag der Steigung einer Indifferenzkurve wird als Grenzrate der Substitution GRS
bezeichnet.
Die Grenzrate der Substitution in einem Punkt sagt aus, auf wie viele Konsumeinheiten in
t=1 ein Investor verzichtet (Zähler: dc1), wenn sein Konsum in t=0 um eine Einheit steigt
(Nenner: dc0). Oder umgekehrt, wieviel Einheiten der Investor zusätzlich in t=1 konsumie-
ren kann, wenn er auf eine Konsumeinheit in t=0 verzichtet. Die Grenzrate der Substitution
© www.bwlkurse.de 10Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
gibt das Austauschverhältnis (Trade-Off) zwischen heutigem und zukünftigen Konsum in ei-
nem Punkt an, ohne dabei das Nutzenniveau zu verändern.
Hat ein Investor eine sehr steile Indifferenzkurve, wird er als ein „ungeduldiger“ Investor
bezeichnet (hohe GRS). Der Investor ist bereit, auf sehr viel zukünftigen Konsum zu ver-
zichten, um in t=0 eine zusätzliche Einheit zu konsumieren. Dieser Investor präferiert
Gegenwartskonsum. Dagegen wird ein Investor mit flacher Indifferenzkurve und geringer
GRS als „geduldiger“ Investor bezeichnet, der Zukunftskonsum präferiert.
1.5 Optimaler Konsumplan ohne (Real-) Investitionsprojekte
Die (c0,c1)-Kombination, die den höchsten Nutzen stiftet, wird als der optimale Konsum-
plan bezeichnet. Der optimale Konsumplan lässt sich im Tangentialpunkt von
Indifferenzkurve und der Transformationskurve ablesen. Im Optimum ist die Steigung der
Transformationskurve TM gleich der Steigung der Indifferenzkurve.
c1
IK
K * (1+i)
c 1*
TM
-(1+i)
c0
0 c0 * K
Abbildung 1.3
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Gleichung 1.2: Optimumsbedingung
dc1 U ´c
0 1 i
dc0 U ´c1
GRS 1 i
Berechnung des optimalen Konsumplans
Um den optimalen Konsumplan eines Investors zu berechnen, werden die Transformati-
onskurve TM und die Optimumsbedingung, also Gleichung 1.1 und 1.2, benötigt. Das An-
fangsvermögen K und der Einheitszins i sind gegeben. In den beiden Gleichungen tauchen
also nur zwei unbekannte Größen auf, c0 und c1.
In der optimalen (c0,c1)-Kombination ist also der „subjektive“ Zinssatz gleich dem Einheits-
zins.
1.6 Optimaler Konsumplan bei Investitionsmöglichkeiten ohne Kapitalmarkt
Hier hat der Investor nur die Möglichkeit, Sachinvestitionen durchzuführen. Ein Kapital-
markt, auf dem zum Einheitszins Geld investiert oder geliehen werden kann, existiert vor-
erst nicht. Die möglichen Investitionsprojekte werden durch eine Zahlungsreihe beschrie-
ben. In t=0 ist eine Auszahlung zu leisten und in t=1 erfolgt eine Einzahlung. Die Investiti-
onsprojekte (IP) können unabhängig voneinander durchgeführt werden und sind beliebig
teilbar. Die Projektrenditen werden folgendermaßen berechnet:
e1
r 1
e0
r: Projektrendite des IP ( Vgl. Kap 2.1.3.1 )
e1: Sichere Einzahlung in t = 1
e0: Anschaffungsauszahlung in t = 0
Die Projektrendite ist die effektive Rendite auf das eingesetzte Kapital. In der finanztheore-
tischen Literatur wird diese Rendite als der interne Zinsfuß bezeichnet, mit dem wir uns
in Kapitel 2 noch genauer auseinandersetzen werden. Die Projektrenditen der Investiti-
onsprojekte werden wie im Beispiel aus dem Repetitorium berechnet, um eine Rangfolge
der Investitionsprojekte zu bestimmen.
© www.bwlkurse.de 12Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Wie zu erwarten ist, wählt jeder der Investoren einen anderen optimalen Konsumplan und
damit auch ein unterschiedliches Investitionsvolumen. Der „ungeduldige“ Investor inves-
tiert weit weniger als der „geduldige“. Das Investitionsprogramm der Investoren unter-
scheidet sich also. Was beeinflußt nun die Investitionsentscheidung ?
Interpretation Ergebnis
1. Die Investitionsentscheidung ist abhängig von der Konsumpräferenz des Investors (ge-
duldig oder ungeduldig). Die Investitions- und Konsumentscheidung lassen sich somit
nicht voneinander separieren.
2. Aufgrund des Präferenzproblems ist es nicht möglich, eine eindeutige Aussage über die
Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten zu treffen. Die Auswahl der Projekte wird von
den individuellen Präferenzen bestimmt.
3. Stellen wir uns vor, die oben genannten Investitionsmöglichkeiten kann ein Unterneh-
men realisieren, das zwei Gesellschaftern gehört. Der eine Gesellschafter ist ein „gedul-
diger Investor“ und der andere ein „ungeduldiger“ Investor. Bei der Projektwahl wird
es wegen des Präferenzproblemes zum Streit kommen. Es herrscht Uneinigkeit zwischen
potentiellen Gesellschaftern. Jeder Gesellschafter wählt sein nutzenmaximierendes Pro-
gramm.
1.7 Fisher Modell
In das Modell des vorherigen Abschnitts (dem Investor standen nur reale Investitionspro-
jekte zur Verfügung und nicht der Kapitalmarkt) integrieren wir nun den vollkommen und
vollständigen Kapitalmarkt. Damit führen wir die Überlegungen aus 1.5 und 1.6 zusammen.
Wir werden sehen, dass der vollkommene und vollständige Kapitalmarkt das Präferenz-
problem entschärft.
Zunächst wird der optimale Konsumplan bei Existenz eines vollkommenen Kapitalmarkts
und Investitionsmöglichkeiten graphisch darstellt. Aufgrund der Investitionsmöglichkeiten
kann ein Investor jeden Punkt auf der TI erreichen. Der Investor Tim wählt z.B. den Punkt A
(Abbildung 1.4). Der Punkt A bestimmt das Investitionsvolumen, sowie den Konsum in t=0
und t=1. Tim hat sich auf eine Investitionsentscheidung bzw. auf ein Investitionsprogramm
festgelegt.
© www.bwlkurse.de 13Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Die Konsumentscheidung ist jedoch noch nicht gefallen. Ausgehend von dem Punkt A näm-
lich kann der Investor Tim auf dem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt zum
Einheitszins i beliebig Geld aufnehmen oder anlegen. Um diese erweiterten Konsummög-
lichkeiten graphisch darzustellen, wird eine Gerade mit der Steigung -(1+i), eine
Isobarwertlinie, durch den Punkt A gezeichnet. Diese Gerade bildet weitere (c0,c1)-
Kombinationen ab, die der Investor Tim durch Kapitalmarkttransaktionen - Kapitalauf-
nahme und Kreditvergabe - erreichen kann. Bei diesen Kapitalmarkttransaktionen wird
das Investitionsvolumen aber nicht verändert.
Wenn Tim Gegenwartskonsum präferiert und somit lieber heute mehr und sukzessive
morgen weniger konsumieren möchte, dann nimmt er Geld am Kapitalmarkt auf und be-
wegt sich von Punkt A auf der TIM nach rechts:
c1
132 IP2
-1,2
60
IP1
A
-1,5 TI T IM
-1,25 c0
0 60 c0 K=100
I0
Abbildung 1.4
© www.bwlkurse.de 14Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Es stellt sich die Frage, welchen Punkt auf der TI ein rational handelnder Investor wählt,
um seinen Nutzen zu maximieren. Um diesen Punkt zu finden, wird die TIM (der Index IM
steht für Investitionsmöglichkeiten und Kapitalmarkt) nach rechts oben verschoben bis sie
die TI tangiert. Denn ausgehend von dem Punkt P in Abbildung 1.5 können mit Hilfe von
Kapitalmarkttransaktionen die am weitesten oben rechts liegenden (c0,c1)-Kombinationen
erreicht werden.
c1
135 Kapitalanlage Kreditaufnahme
132
IP2 -1,2 P
60
TIM
TI
IP1
-1,5 -1,25
c0
0 60 K=100 M=K+K0=108
I0*= 40
Abbildung 1.5
Von dem Punkt P aus kann der Investor Tim sich durch Kapitalaufnahme und -vergabe auf
der Isobarwertlinie TIM bewegen. Im Tangentialpunkt P mit der (c0,c1)-Kombination lässt
sich das optimale Investitionsvolumen ablesen: I0* = K - c0.
Ausgangspunkt ist die (c0,c1)-Kombination in dem Tangentialpunkt P. Möchte ein Investor
mit Präferenz für Gegenwartskonsum den heutigen Konsum in t=0 zu Lasten des zukünfti-
gen Konsums erhöhen, so bewegt er sich von dem Tangentialpunkt P auf TIM nach rechts
unten. Der Investor nimmt für Konsumzwecke in t=0 einen Kredit auf, der durch die Ein-
zahlungen des Investitionsprogrammes in t=1 gedeckt ist. Wenn der Investor zukünftigen
Konsum präferiert, legt er das Kapital an und bewegt sich von dem Tangentialpunkt P aus
auf der Transformationskurve TIM nach links oben.
Auf einem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt lässt sich die Investitions- und die
Konsumentscheidung zerlegen:
1. Der Investor bestimmt zuerst sein optimales Investitionsprogramm.
2. Danach bedient er sich des Kapitalmarktes, um seinen Konsumpräferenzen gerecht zu
werden.
© www.bwlkurse.de 15Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Alle Investoren wählen folglich das gleiche (markt)wertmaximierende Investitionspro-
gramm. Dieses ist allein durch den Barwert der erreichbaren Kombinationen bestimmt.
Wie wird nun das optimale Investitionsvolumen I0* analytisch bestimmt bzw. die optimale
Investitionsentscheidung getroffen?
Es werden nur die Projekte realisiert, deren Rendite größer ist als der Einheitszins auf dem
vollkommenen Kapitalmarkt (Renditevergleich). Damit sind die Projekte besser als einer
Kapitalanlage. Die Projekte sind somit selbst dann noch vorteilhaft, wenn ein Kredit zur
Finanzierung der Anschaffungsauszahlung aufgenommen wird. Die Summe der Anschaf-
fungsauszahlungen der realisierten Investitionsprojekte ist das optimale Investitionsvolu-
men.
Wie lautet die Geradengleichung der TIM?
Nehmen wir an, der Investor Tim möchte nur in t=1 konsumieren (c0 = 0). Sein maximaler
Konsum in t=1 ergibt sich dann aus den Einzahlungen der realisierten Investitionsprojekte
in t=1 und dem restlichen am Kapitalmarkt angelegten Geldbetrag K - I0* inklusive Zinsen.
Der maximale Konsum in t=1 darf nicht mit dem optimalen Konsumplan verwechselt wer-
den. Der maximale Konsum in t=1 stellt den maximalen Konsum morgen dar, wenn heute
in t=0 gar nichts konsumiert wird. Der maximale Konsum in t=1 ist im (c0,c1)-Diagramm
der Achsenabschnitt (oder Ordinatenabschnitt) der TIM. Die ersten beiden Terme auf der
rechten Seite der Gleichung 1.3 stellen den maximalen Konsum in t=1 dar. Die Steigung der
TIM beträgt -(1+i).
Gleichung 1.3: Geradengleichung der TIM:
c1 E1 ( I 0* ) ( K I 0* ) (1 i ) c0 (1 i )
c1max
c0: Konsumeinheiten in t = 0 c1: Konsumeinheiten in t = 1
K: Anfangsvermögen I*0: Optimales Investitionsvolumen in t = 0
E1: Einzahlungen in t=1 aus dem optimalen Investitionsprogramm; E1 abhängig
von I*0
i: Einheitszins auf dem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt
© www.bwlkurse.de 16Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Bevor wir uns mit dem optimalen Konsumplan beschäftigen, wollen wir untersuchen, wie
sich der maximale Konsum in t=0 zusammensetzt. Graphisch stellt sich dieser Betrag in der
Abbildung 1.5 als der Schnittpunkt der Transformationskurve TIM mit der Abszisse dar und
ist mit dem Buchstaben M gekennzeichnet.
Wenn der Investor nur heute in t=0 konsumieren möchte, dann konsumiert er in der Zu-
kunft nichts und es gilt c1=0. Die TIM wird folglich gleich null gesetzt und nach c0 aufgelöst:
Gleichung 1.4
max
E1 I 0*
c 0 I 0* K mit c1 = 0
1i
Kapitalwert des
Inv . programms
Der Kapitalwert des Investitionsprogrammes berechnet sich, indem das Investitionsvolu-
men in t=0 von dem Barwert der zukünftigen Einzahlungen des Investitionsprogramms in
t=1 abgezogen wird. Der Kapitalwert wird ausführlich im Kapitel 2 besprochen.
Gleichung 1.5: Der Kapitalwert
E1 I 0* *
K0 I0
1 i
K0: Der Kapitalwert des Investitionsprogramms
I*0: Optimales Investitionsvolumen in t = 0
E1: Einzahlungen in t = 1 aus dem optimalen Investitionsprogramm; E1 ist abhän-
gig von I*0
i: Einheitszins auf dem vollkommen und vollständigen Kapitalmarkt
Der Kapitalwert des Investitionsprogramms K0 ist die Vermögensvermehrung des
Investors durch das Investitionsprogramm bezogen auf den heutigen Zeitpunkt t=0.
Berechnung des optimalen Konsumplans
Um den optimalen Konsumplan eines Investors zu berechnen, wird die TIM und die
Optimumsbedingung, also Gleichung 1.3 und 1.2, benötigt. Im Optimum werden sich
Isobarwertlinie und die Kurve der Sachinvestitonsmöglichkeiten gerade tangieren, da hier
die nutzenmaximierenden Kombinationen realisiert werden können; die Steigung der Nut-
zenfunktionen muss der der Isobarwertlinie entsprechen.
© www.bwlkurse.de 17Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Das Optimum hat folgende Charakteristika:
1. Im Optimum ist die Zeitpräferenzrate für jeden Investor gleich dem Einheitszins. Dieser
Einheitszins ist gleich dem Opportunitätskostensatz (=Kapitalkosten).
2. Das optimale Investitionsvolumen steht bereits vor der Ermittlung des optimalen Kon-
sumplans fest und ist im Fisher Fall unabhängig von der Gestalt der Indifferenzkurve
bzw. den Konsumpräferenzen.
Separationstheorem von Fisher:
Existiert ein vollkommener Kapitalmarkt, so lassen sich Investitions- und Konsument-
scheidungen separieren.
3. Stellen wir uns vor, die oben genannten Investitionsmöglichkeiten kann ein Unterneh-
men realisieren, das zwei Gesellschaftern gehört. Der eine Gesellschafter ist ein „gedul-
diger Investor“ und der andere ein „ungeduldiger“ Investor. Bei der Auswahl der Inves-
titionsprojekte wird kein Streit ausbrechen, weil die marktwertmaximierenden Projek-
te realisiert werden. Die beiden Gesellschafter können danach ihren individuellen Kon-
sumwünschen über Kapitalmarkttransaktionen gerecht werden. Aufgrund der präfe-
renzfreien Bewertung von Projekten herrscht auf einem vollkommenen Kapitalmarkt
Einmütigkeit zwischen potentiellen Gesellschaftern.
© www.bwlkurse.de 18Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Aufgaben zum FISHER-Modell
Aufgabe 1
Ein Investor besitzt 150 GE und kann folgende einperiodige Investitionsprojekte realisie-
ren:
t=0 t=1
IP1 -50 100
IP2 -50 70
IP3 -50 55
Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt, auf dem bei Sicherheit zum
Einheitszinssatz von 20% beliebige Beträge aufgenommen und angelegt werden können.
a) Ermitteln Sie die Transformationskurve TIM, die die Konsummöglichkeiten des Investors
im (c0,c1)-Diagramm abbildet. [c0 ist der Konsum in t= 0, c1 der Konsum in t= 1]. Geben
Sie an, welche Investitionsprojekte der Investor durchführen wird. Verdeutlichen Sie die
Lösung anhand einer Skizze. (6 Punkte)
b) Welchen Konsum c0 kann ein Investor in t = 0 erreichen, der in t = 1 nichts konsumieren
möchte (c1 = 0)? Wie setzt sich dieser maximale Konsum in t = 0 zusammen? (2 Punkte)
c) Warum konnten Sie in Aufgabenteil a) das optimale Investitionsprogramm für den In-
vestor ermitteln, ohne seine Nutzenfunktion zu kennen ? (3 Punkte)
Aufgabe 2: Fisher-Modell (Klausuraufgabe)
Ein Investor verfügt zum Zeitpunkt t=0 über ein Anfangsvermögen von 200 GE. Ihm stehen
folgende teilbare, sich nicht ausschließende Investitionsprojekte zur Verfügung:
Auszahlung Einzahlung
in t = 0 in t = 1
IP1 100 140
IP2 100 110
a) Berechnen Sie die Renditen der Investitionsprojekte und ordnen Sie die Investitionspro-
jekte nach ihren Renditen. (1 Punkt)
b) Gehen Sie zunächst von einer Welt ohne Kapitalmarkt aus.
- Zeichnen Sie die Transformationskurve TI für Investitionen in ein (c0;c1)- Diagramm
für den Investor ein. (3 Punkte)
- Verdeutlichen Sie anhand Ihrer Graphik, daß die Bestimmung des optimalen Investi-
tionsprogramms nicht unabhängig von den Konsumpräferenzen des Investors erfol-
gen kann. (2 Punkte)
© www.bwlkurse.de 19Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
c) Gehen Sie nun davon aus, dass ein vollkommener (und vollständiger) Kapitalmarkt be-
steht, an dem zu einem Zinssatz von 20% Geld aufgenommen oder angelegt werden
kann.
- Berechnen Sie die Kapitalwerte der Investitionsprojekte und geben Sie die Bestim-
mungsgleichung für die Transformationskurve TIM unter Berücksichtigung des Kapi-
talmarktes an. (3 Punkte)
- Interpretieren Sie den Schnittpunkt der Transformationskurve TIM mit der Abszisse.
(1 Punkt)
Aufgabe 3: Fisher-Modell (Klausuraufgabe)
Ein Investor verfügt über Eigenmittel in Höhe von K = 200. Er kann zwei Investitionspro-
jekte realisieren, die beliebig teilbar sind und einander nicht ausschließen:
e0 e1
IP1 -100 200
IP2 -100 125
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Transformationskurve TIM bei Existenz von Investiti-
onsmöglichkeiten und eines vollkommenen Kapitalmarktes bei Sicherheit. Gehen Sie
dabei von einem Kapitalmarktzins in Höhe von i = 20% aus. Geben Sie an, welche Inves-
titionsprojekte realisiert werden. Verdeutlichen Sie die Lösung an einer Skizze. (5
Punkte)
b) Erläutern Sie das Separationstheorem von Fisher. Welche Bedeutung hat es für die Beur-
teilung der Kapitalwertmethode als Investitionsrechenverfahren? (3 Punkte)
c) Gehen Sie nun davon aus, Kapitalanlagen seien in beliebiger Höhe zu iH = 20 % möglich,
Kapitalaufnahmen (in beliebiger Höhe) jedoch zu iS = 40 %. Gilt nun noch das Separati-
onstheorem von Fisher? (Begründung!). (2 Punkte)
© www.bwlkurse.de 20Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Aufgabe 4: Fisher-Modell (Klausuraufgabe)
Ein Unternehmen in der Rechtsform der AG verfügt in t=0 über 5 Mio. Euro in bar und er-
zielt in t=l einen Einzahlungsüberschuss von 6,6 Mio. Euro. Das Unternehmen kann heute
(also in t=0) 2,5 Mio. Euro in ein Investitionsprojekt investieren, das im Zeitpunkt t=l zu
einer sicheren Einzahlung in Höhe von 3,3 Mio. Euro führt und angesichts eines Einheits-
zinssatzes i=10% auf dem annahmegemäß vollkommenen Kapitalmarkt einen positiven
Kapitalwert von 0,5 Mio. aufweist. Sämtliche Einzahlungsüberschüsse werden im Zeit-
punkt ihres Anfallens ausgeschüttet.
a) Erläutern Sie kurz die Grundidee des Fischer-Separationstheorems (l Punkt)
b) Zeigen Sie grafisch, welche Möglichkeiten für den Alleingesellschafter des Unter-
nehmens bestehen, seinen Konsum-Einkommensstrom zu gestalten, wenn das Investi-
tionsprojekt
i) nicht durchgeführt wird
ii) durchgeführt wird.
Wie hoch ist jeweils sein maximaler Konsum im Zeitpunkt t=0 bzw. im Zeitpunkt t=l?
Tragen Sie die Punkte in Ihre Zeichnung ein. (4 Punkte)
c) Zeichnen Sie eine von dem Gesellschafter möglicherweise präferierte Konsum-
Einkommenskombination in Ihre Zeichnung ein, wenn dieser eher ungeduldig ist? (l
Punkt)
d) Angenommen, es existierten mehrere Gesellschafter mit gleichen Anteilen am Unter-
nehmen. Einige besonders ungeduldige beschweren sich darüber, dass das Investiti-
onsprojekt die Ausschüttung im Zeitpunkt t=0 um 2,5 Mio. Euro reduziert, wodurch ihr
heutiger Konsum geschmälert wird. Mit welchen Argumenten würden Sie den Konflikt
lösen, wenn Sie der/die Manager(in) des Unternehmens wären? (2 Punkte)
e) Erläutern Sie, wieso auf einem unvollkommenem Kapitalmarkt, auf dem ein Investor zu
10% Geld anlegen und sich zu 20% verschulden kann, die Investitionsentscheidung
nicht losgelöst von der Konsumentscheidung getroffen werden kann. (2 Punkte)
© www.bwlkurse.de 21Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Aufgabe 5: Fisher-Modell (Klausuraufgabe)
Ein selbständiger Unternehmensberater beziehe aus laufenden Beratungstätigkeiten ein
aktuelles Einkommen in Höhe von 300.000 Euro. Für die nächste Periode hat er noch keine
Beratungsprojekte, sodass sein Einkommen in t=1 bislang 0 Euro ist. Ihm ist es aber gelun-
gen, zwei weitere Aufträge für seine Firma zu gewinnen. Da er allerdings keine Expertise in
den Bereichen der neuen Projekte besitzt, müsste er in neue Mitarbeiter investieren und je
einen neuen Mitarbeiter pro neues Projekt engagieren. Für beide Mitarbeiter wäre in der
aktuellen Periode eine feste Gehaltszahlung fällig, wohingegen in t=1 keine Zahlungen
mehr geleistet werden. Der Unternehmensberater würde für die Beratungsleistung von
seinen Kunden in t=1 von seinen Kunden eine feste Gebühr erhalten:
Bewerber Gehaltszahlung in t=0 Beratungsgebühr in t=1
Miller (Uni-Absolvent) 60.000 121.000
Modigliani (Top-Berater) 225.000 275.000
Sämtliche Zahlungen seien sicher, der Kapitalmarkt vollkommen und der Einheitszins be-
trage 10%.
a) Bestimmen Sie die für den Unternehmensberater optimale Einstellungspolitik und
ermitteln Sie den maximal möglichen Konsum des Unternehmensberaters in t=0
und t=1. (4 Punkte)
b) Wie lauten Ihre Antworten zu a), wenn der Unternehmensberater nur über ein Ein-
kommen von 60.000 in t=0 verfügt? (2 Punkte)
c) Skizzieren Sie für die Ergebnisse aus a) die konsummaximierende Isobarwertlinie
und die Indifferenzkurve des (ungeduldigen) Unternehmensberaters mit einem
Konsumwunsch von 300.000 in t=0 in einem Diagramm. (2 Punkte)
d) Der Unternehmensberater erfährt bei den Gehaltsverhandlungen mit Modigliani,
dass dieser ausschließlich mit der 1. Klasse anstelle der sonst üblichen Business-
Class zum Kunden fliegen möchte. Dies führt dazu, dass Modiglianis Einstellung zu
Mehrkosten in Höhe von 26.000 in t=0 führen würde. Wie lautet nun das optimale
Investitionsprogramm und wie hoch ist der maximale Konsum in t=0? (2 Punkte)
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Lösungen zu Handout 1
Aufgabe 1
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Aufgabe 2
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© www.bwlkurse.de 25Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Aufgabe 3
Merke: Hirshleifer ist im aktuellen Semester nicht klausurrelevant !
© www.bwlkurse.de 26Handout 1 – Grundlagen und FISHER-Modell Finanzen 1
Aufgabe 4
es handelt sich bei der unteren Linie (i) um die TIM (ohne das IP durchzuführen), d.h. es wurde in
der Aufgabenstellung bereits die aktuelle Konsumentscheidung gegeben (c0=5 und c1=6,6), bei
einem Zins von 10% kann man c1max berechnen:
c1max = 6,6 + 5*(1+0,1) = 12,1 daraus ergibt sich dann auch c0max:
c0max = 12,1/(1+0,1) = 11 und mit diesen beiden Punkten lässt sich die Gerade zeichnen.
Auch die zweite Linie (ii) ist eine TIM (allerdings eine höhere (d.h. bessere), da ein „gutes IP“
(Rendite > Einheitszins bzw. Kapitalwert positiv) gefunden und durchgeführt wurde. Ausgehend
vom neuen Punkt (c0=2,5 und c1=9,9) bei Durchführung des IP lässt sich wieder c1max berechnen:
c1max = 9,9 + 2,5*(1+0,1) = 12,65 daraus ergibt sich dann auch c0max:
c0max = 12,65/(1+0,1) = 11,5 und mit diesen beiden Punkten lässt sich die Gerade zeichnen.
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Aufgabe 5
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