Didaktik der Algebra Modul 5a/c - Jürgen Roth - Prof. Dr. Jürgen Roth
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Jürgen Roth Didaktik der Algebra Modul 5a/c 29.11.2022 • juergen-roth.de
Didaktik der Algebra 1. Ziele und Inhalte 2. Terme 3. Funktionen 4. Gleichungen 2 juergen-roth.de
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 3 juergen-roth.de
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 4 juergen-roth.de
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 5 juergen-roth.de
Grundvorstellungen zum Gleichheitszeichen Grundvorstellungen zum Gleichheitszeichen Gleichheitszeichen als Vergleichszeichen Aufgabe → Ergebnis Vergleich = Zuweisungszeichen Vergleichszeichen Term Term = (Operationszeichen) = (Relationszeichen) Gleichung Lernziel: Ergänzen um 6 29.11.2022 Roth, J. & vom Hofe, R. (2023). Grundvorstellungen vernetzen und Verständnisanker nutzen. Mathematik lehren, 236, 6-9
Grundvorstellungen zu Gleichungen Gleichheitszeichen Grundvorstellungen als Vergleichszeichen zu Gleichungen = Term Term Feststellen Erreichen einer Gleichheit einer Gleichheit Gleichung Gleichung als Gleichung als „Gleich-Sein“ „Gleich-Werden“ Beispiele: Gesucht: Einsetzungen aus der Grundmenge für � + = + ■ 3+5=8 ■ � + = + die die beteiligten Terme wertgleich werden. Roth, J. & vom Hofe, R. (2023). Grundvorstellungen vernetzen und Verständnisanker nutzen. Mathematik lehren, 236, -9 7 29.11.2022 Hischer, H. (2021). Was ist eine Gleichung? GDM-Mitteilungen, 110, 65-72
Verständnisanker Verständnisanker Beispiel ■ Ein Verständnisanker ist eine prototypische ■ Ein möglicher Verständnisanker für Situation, an der Grundvorstellungen und ein Grundvorstellungen zu Gleichungen damit verbundener Erklärungskontext zu einem kann das Streifenmodell sein. mathematischen Sachverhalt ausgebildet werden. ■ Zwei gleich lange (Papier-) Streifen ■ Prototypisch meint, dass alle wesentlichen Struktur- stehen jeweils für den Wert des Terms elemente zum Verständnis des mathematischen auf der linken bzw. rechten Seite der Sachverhalts in dieser Situation vorkommen und Gleichung. (Bsp.: 4 + 3 = 2 + 7) daran gedeutet werden können. = 4 ∶ 2 = 2 ■ Eine Situation eignet sich insbesondere dann als Ver- ständnisanker, wenn sie leicht durchschaut werden kann. ■ Lernende können einen Verständnisanker aufbauen und in neuen Situationen, in der derselbe mathematische Sachverhalt eine Rolle spielt, darauf zurückkommen und, durch Analogiebildung zum Verständnisanker, passende Grundvorstellungen aktivieren. 4 8 29.11.2022 Roth, J. & vom Hofe, R. (2023). Grundvorstellungen vernetzen und Verständnisanker nutzen. Mathematik lehren, 236, -9
Grundvorstellungen (GV) zu Termen GV: Term als Bauplan GV: Term als Rechenschema Terme werden bei der Bearbeitung der Frage Hat man unter Zuhilfenahme der Grundvor- nach der mathematischen Struktur eines stellung „Bauplan“ einen Term für ein Phäno- Phänomens oder eines Problems entwickelt. men bzw. eine Problemstellung aufgestellt, Ein so entstandener Term kann also als dann möchte man ihn in aller Regel auch dazu mathematischer „Bauplan“ für das Phänomen nutzen, wiederholte gleichartige Berechnung- interpretiert werden. Aus diesem Term ist en für verschiedene Werte schnell und einfach schließlich die Struktur des Phänomens direkt durchzuführen. Der Term wird also als ablesbar. „Rechenschema“ gesehen. Termumformungen sind in der Betrachtungs- Termumformungen dienen in der Betrach- weise dieser GV zulässige Veränderungen des tungsweise dieser GV dazu, Berechnungen „Bauplans“. von Zahlenwerten zu erleichtern. Gleichheit von Termen meint in der Sichtweise Gleichheit von Termen meint in der Sichtweise dieser GV eine Strukturgleichheit. dieser GV eine Wertgleichheit. Siller, H.-S. & Roth, J. (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm − das Beispiel Terme. PM, 58(70), 2-8 9 29.11.2022 Roth, J. & vom Hofe, R. (2023). Grundvorstellungen vernetzen und Verständnisanker nutzen. Mathematik lehren, 236, 6-9
Grundvorstellungen zu Variablen Variable treten in Unbestimmte bzw. allgemeine Zahl Beispiele unterschiedlichen Die Variable ist eine allgemeine Zahl, deren Wert � 0 = 0 Kontexten auf und nicht gegeben ist bzw. zunächst nicht von Interesse ∀ , ∈ℝ ⋅ = ⋅ sind mit verschiede- ist. 2 + 1 nen Grundvorstel- lungen verbunden. Unbekannte Beispiel Die Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, deren 2 + 1 = 7 kann Wert nicht bekannt ist, aber prinzipiell bestimmt wer- zu = 3 bestimmt den kann, etwa durch regelgeleitete Umformungen. werden. Veränderliche Die Variable ist eine Zahl oder Größe, die verschie- Beispiel dene Werte aus einem festgelegten Bereich anneh- ↦ 2 + 1 men kann, also veränderlich ist. 10 29.11.2022 Weigand, H.-G. et al. (2022). Didaktik der Algebra. Berlin: Springer Spektrum, 35-37
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 11 juergen-roth.de
Gleichungen als Werkzeuge und Objekte ■ Gleichungen als Werkzeuge □ zum Formulieren von Beziehungen zwischen mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Größen, Funktionen), 2 + 3 = 5 □ zum Ausdrücken von Eigenschaften, 5 kg + 2 kg = 7 kg □ zum Formulieren und Lösen von Problemen. 2 2 ■ Gleichungen als Objekte sin + cos =1 □ Untersuchung von Gleichungstypen � + = + ■ Existenz und Bestimmung von Lösungen □ Logik ■ Gleichungen ohne Variable → Aussagen ■ Gleichungen mit Variablen → Aussageformen 12 29.11.2022
Begriffe rund um Gleichungen ■ Begriffe werden benötigt, um □ über Gleichungen reden, Aussagen □ Regeln formulieren und 2+3=5 (wahr) □ Ergebnisse interpretieren 2 + 3 = 6 (falsch) zu können. ■ Beschreibung von Gleichungen Aussageformen in ℝ □ Variable 2 + = 5 (erfüllbar) □ Term + = 2 (allgemeingültig) □ Gleichung + 1 = + 2 (unerfüllbar) □ Aussage ■ Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist. □ Aussageform ■ Formulierung, die beim Einsetzen eine Aussage ergibt. 13 29.11.2022
Begriffe rund um Gleichungen
Beschreibung von Lösungen
■ Grundmenge Vorrat für Einsetzungen.
Gewinnumformung
Element der Grundmenge, das beim
■ Lösung Einsetzen zu einer wahren Aussage führt. + 1 = − 1 ⇒ = 3
■ Lösungsmenge Menge aller Lösungen.
+ 1 = − 1 | ²
Beschreibung des Lösungsverhaltens x + 1 = 2 − 2 + 1 | − ( + )
(bzgl. einer bestimmten Grundmenge !) 2 − 3 = 0
■ erfüllbare Aussageform ≠ {} � − 3 = 0 ⇒ = 0; 3
■ unerfüllbare Aussageform = {}
■ allgemeingültige Aussageform =
Verlustumformung
Beschreibung von Umformungsarten + 2 = 0 ⇒ = {−2; 0}
■ Äquivalenzumformung (z. B. | + , | − 3, | ⋅ 4, | ∶ 5) 2 + 2 = 0 | ∶
■ Gewinnumformung (z. B. | 2 , | ⋅ ) + 2 = 0 ⇒ = {−2}
■ Verlustumformung (z. B. | , | ∶ )
14 29.11.2022Umgang mit Gleichungen im Unterricht ■ Gleichungen vernetzt lernen ■ Näherungslösungen akzeptieren □ Gleichungen nicht isoliert behandeln □ Für alle praktischen Zwecke □ Einbinden in zentrale Themen wie Zahlen, ausreichend genau Funktionen, Größen, Geometrie und □ Auch bei sehr komplizierten Sachbezüge Gleichungen anwendbar □ Die Regel bei ■ Einsichtig mit Gleichungen umgehen Problemlösungen □ Überbetonung des Übens führt leicht zu in Wirtschaft mechanischem Umformen ohne Einsicht. und Technik □ Deshalb: Umformungen begründen und Lösungen kritisch kontrollieren (lassen) 15 29.11.2022
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 16 juergen-roth.de
Methoden zur Lösung von Gleichungen ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 17 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Lösungsstrategien für einfache Gleichungen ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 18 29.11.2022
Lösungsstrategien für einfache Gleichungen 26 + = 107 26 + = 107 26 + = 107 Verwandte Gleichung Zerlegung Umkehraufgabe mit gleicher Struktur 2 + = 5 26 + = 26 + 81 107 − 26 = 2+3=5 81 = also also also 26 + 81 = 107 = 81 = 81 19 29.11.2022
Grundschule: Umkehr- und Tauschaufgaben 26 + = 107 Tauschaufgabe + 26 = 107 Umkehr- Umkehr- aufgabe aufgabe 26 = 107 − Tauschaufgabe = 107 − 26 20 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Streifenmethode ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 21 29.11.2022
Streifenmethode für lineare Gleichungen + = = ∶ = 22 29.11.2022
Streifenmethode für lineare Gleichungen = ∶ = + = + 23 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Systematisches Probieren ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 24 29.11.2022
Systematisches Probieren + − 0 −1 1 1 0,5 −0,625 0,8 0,125 3 2 0,7 −0,167 + − = 0,75 −0,015625 0,77 0,049433 0,76 0,016576 0,755 0,0003939 0,753 −0,006033 0,754 −0,002823 25 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Graphisches Lösungsverfahren ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 26 29.11.2022
Graphische Lösungsverfahren + − = + − = -Koordinaten der Schnitt- punkte des zum (Funktions-) Term 2 + 2 − 5 gehörenden Graphen mit der -Achse = − + -Koordinaten der Schnitt- punkte der zu den (Funktions-) Termen 2 und – 2 + 5 gehörenden Graphen 27 29.11.2022
Graphische Lösungsverfahren Abramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration. In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p. 25-36 28 29.11.2022 https://www.geogebra.org/m/Hw8m75hu
Graphische Lösungsverfahren + = + − + − ( + − ) = Abramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration. In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p. 25-36 29 29.11.2022 https://www.geogebra.org/m/Hw8m75hu
Graphische Lösungsverfahren + − ≤ + Auch Ungleichungen lassen sich graphisch lösen! Abramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration. In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p. 25-36 30 29.11.2022 https://www.geogebra.org/m/Hw8m75hu
Graphische Lösungsverfahren = Gibt es zur Gleichung = , neben den graphisch sichtbaren Lösungen noch weitere? Begründen Sie Ihre Antwort! Roth, J. & Lichti, M. (2021). Funktionales Denken entwickeln und fördern. Mathematik lehren, 226, 2-9. 31 29.11.2022 https://www.geogebra.org/m/NVuSuDpC
Methoden zur Lösung von Gleichungen Numerisch-iterative Lösungsverfahren ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 32 29.11.2022
Numerisch-iterative Lösungsverfahren , = ⋅ x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x) -6 0,0878 2,8805 -2,7927 Algorithmus -5 0,1317 0,8510 -0,7193 1. Wertetabelle für ein Intervall -4 0,1975 -1,9609 2,1585 berechnen -3 0,2963 -2,9700 3,2663 2. Teilintervall auswählen, -2 0,4444 -1,2484 1,6929 das eine Lösung enthält -1 0,6667 1,6209 -0,9542 0 1,0000 3,0000 -2,0000 3. Teilintervall spreizen und neue Wertetabelle berechnen 1 1,5000 1,6209 -0,1209 2 2,2500 -1,2484 3,4984 4. Wiederholen von 2. und 3. bis 3 3,3750 -2,9700 6,3450 die Lösung genau genug ist 4 5,0625 -1,9609 7,0234 33 29.11.2022
Numerisch-iterative Lösungsverfahren x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x) x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x) -2 0,4444 -1,2484 1,6929 -1,4 0,5669 0,5099 0,0570 -1,9 0,4628 -0,9699 1,4327 -1,39 0,5692 0,5394 0,0297 -1,8 0,4820 -0,6816 1,1636 -1,38 0,5715 0,5689 0,0025 -1,7 0,5019 -0,3865 0,8885 -1,37 0,5738 0,5983 -0,0246 -1,6 0,5227 -0,0876 0,6103 -1,36 0,5761 0,6277 -0,0516 -1,5 0,5443 0,2122 0,3321 -1,35 0,5785 0,6570 -0,0786 -1,4 0,5669 0,5099 0,0570 -1,34 0,5808 0,6863 -0,1054 -1,3 0,5903 0,8025 -0,2122 -1,33 0,5832 0,7154 -0,1323 -1,2 0,6147 1,0871 -0,4723 -1,32 0,5855 0,7445 -0,1590 -1,1 0,6402 1,3608 -0,7206 -1,31 0,5879 0,7736 -0,1856 -1 0,6667 1,6209 -0,9542 -1,3 0,5903 0,8025 -0,2122 34 29.11.2022
Numerisch-iterative Lösungsverfahren … ■ liefern im Prinzip beliebig viele Dezimalstellen einer Lösung. ■ liefern Lösungen nicht als geschlossene Terme, sondern als abbrechende Dezimalbrüche vorgegebener Länge. ■ liefern nur Lösungen aus einem endlichen Startintervall. ■ funktionieren nicht, wenn die Gleichung von Parametern abhängt. ■ beantworten nicht die Frage nach allen Lösungen einer Gleichung ■ genügen für die meisten praktischen Anwendungen. ■ werden interaktiv vom Benutzer gesteuert. □ Rechenpraxis: Automatisch ablaufende Verfahren. □ Probleme: Startintervall, Konvergenzgeschwindigkeit, … Ein Startintervall für diese Verfahren kann wie beim graphischen Lösen von Gleichung bestimmt werden. 35 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Gegenoperator ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 36 29.11.2022
Gegenoperatoren · + = ⋅ · + · + = = ∶ − = 37 29.11.2022
Gegenoperatoren → Äquivalenzumformung · 3 + 4 = 19 − − · 3 = 15 ∶ ∶ = 5 38 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Äquivalenzumformungen ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 39 29.11.2022
Äquivalenzumformungen im Waagemodell + = 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen. 2kg 1kg 1kg + = 40 29.11.2022
Äquivalenzumformungen im Waagemodell + = 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen. 2kg = Massen auf beiden Seiten halbieren. = 41 29.11.2022
Äquivalenzumformungen im Waagemodell + = 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen. 1kg = Massen auf beiden Seiten halbieren. = = 42 29.11.2022
Äquivalenzumformungen im Waagemodell Waagemodell ■ lässt sich in einfachen Fällen gut zur Veran- schaulichung nutzen. ■ ist, wie jedes Modell, nur begrenzt nutzbar! (vgl. etwa negative Zahlen, irrationale Zahlen, schwierig bei Bruchzahlen, Division, Multiplikation, …) 43 29.11.2022
Äquivalenzumformungen im Waagemodell Interaktive Übungen Lachner, B. (2022). Interaktive Waage.- Mit „Mathigon“ das Waage-Modell zu Äquivalenzumformungen visualisieren. 44 29.11.2022 Mathematik 5 bis 10, 60, 22-25. https://mathigon.org/polypad/Cjpi5VPUOfB6w
Äquivalenzumformungen im Waagemodell Interaktive Übungen Äquivalenzumformungen ■ Addition: https://mathigon.org/polypad/kov4hYuoPCpDLg ■ Division (Hilfe): https://mathigon.org/polypad/cD3UO63vPHKDWg ■ Division 1: https://mathigon.org/polypad/VTqVVFHFOy8Tpg ■ Division 2: https://mathigon.org/polypad/9qkOi0gTe6A ■ Division 3: https://mathigon.org/polypad/sqN4j6WNGHPZJA ■ Multiplikation 1: https://mathigon.org/polypad/5gK5xgdaRxWA ■ Multiplikation 2: https://mathigon.org/polypad/M9RwhX7t1bRudA ■ Subtraktion 1: https://mathigon.org/polypad/y5iZvNdLn9Rxxg ■ Subtraktion 2: https://mathigon.org/polypad/Cjpi5VPUOfB6w Lachner, B. (2022). Interaktive Waage.- Mit „Mathigon“ das Waage-Modell 45 29.11.2022 zu Äquivalenzumformungen visualisieren. Mathematik 5 bis 10, 60, 22-25.
Äquivalenzumformungen im Modell der Zahlengeraden − = − ∶ + − 0 − − − + ∶ = − 46 29.11.2022
Äquivalenzumformungen + − + = Zusammenfassen: + = Beidseitig subtrahieren: + = | − = Beidseitig durch dividieren: = | ∶ = 47 29.11.2022
Äquivalenzumformungen: Umformungsregeln = ist äquivalent zu + = + = ist äquivalent zu − = − = ist für ≠ 0 äquivalent zu · = · = ist für ≠ 0 äquivalent zu ∶ = ∶ 48 29.11.2022
Methoden zur Lösung von Gleichungen Lösungsformeln anwenden ■ Lösungsstrategien für einfache Gleichungen = ■ Streifenmethode ■ Systematisches Probieren + = + ■ Graphische Lösungsverfahren ■ Numerisch-iterative = Lösungsverfahren ■ Gegenoperatoren ■ Äquivalenzumformungen + + = ■ Lösungsformeln anwenden 49 29.11.2022
Anwenden von Lösungsformeln + + = Keine Lösung Eine Lösung Zwei Lösungen − + 2 −4 = 2 − < − = − > oder y 6 y 6 − − 2 −4 5 5 = 4 4 2 3 3 2 2 + + = 1 x 1 x -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 2 -1 -1 = − + − 2 2 -2 -2 oder -3 -3 2 = − − − − < − = − > 2 2 50 29.11.2022 https://www.geogebra.org/m/aweusqha
Quadratische Gleichungen: Lösungsformel Grundsätzliches ■ Jede quadratische Gleichung lässt sich in folgender Form schreiben: ⋅ 2 + ⋅ + = 0 Dabei gilt ≠ 0, da die Gleichung sonst nicht quadratisch ist. ■ Die Gleichung muss so umgeformt werden, dass nur ein quadratisches „ -Glied“ vorkommt, aber kein zusätzliches lineares. ■ Idee: Anwendung der „Plusformel“/1. Binomischen Formel + 2 = 2 + 2 + 2 ■ Um die binomische Formel von rechts nach links anwenden zu können, muss der Summenterm quadratisch ergänzt werden. 51 29.11.2022
Quadratische Gleichungen: Lösungsformel 2 + + = 0 | ∶ mit ≠ 0 1. Binomische Formel (Plusformel) 2 + + = 0 �− 2 + 2 + 2 = + 2 2 + = − 2 + = − 2 + 2 =− 2 2 2 + 2 =− �+ Quadratische Ergänzung 2 2 2 + 2 + = − Binomische Formel anwenden 2 2 + = − 52 29.11.2022
Quadratische Gleichungen: Lösungsformel 2 2 + = − Quadrat auf der rechten Seite auflösen 2 2 + = 2− Rechte Seite auf einen Bruch bringen 2 4 2 2 − 4 + = � 2 4 2 Die Wurzel darf nur gezogen werden, wenn gilt: − ≥ 2 2 − 4 + = 2 4 2 Wegen = folgt: 2 − 4 + = 2 2 53 29.11.2022
Quadratische Gleichungen: Lösungsformel 2 − 4 + = 2 2 Hier sind genau genommen vier Fallunterscheidungen notwendig, von denen aber jeweils zwei zusammenfallen. Damit ergibt sich: 2 − 4 + = falls + ≥ 0 ∧ > 0 ∨ + < 0 ∧ < 0 2 2 2 2 ⇔ 2 − 4 + =− falls + < 0 ∧ > 0 ∨ + ≥ 0 ∧ < 0 2 2 2 2 − + 2 − 4 = falls + ≥ 0 ∧ > 0 ∨ + < 0 ∧ < 0 2 2 2 ⇔ − − 2 − 4 = falls + < 0 ∧ > 0 ∨ + ≥ 0 ∧ < 0 2 2 2 54 29.11.2022
Quadratische Gleichungen: Lösungsformel Satz von Vieta: Bei einer quadratischen Gleichung 2 + + = 0 gilt für die Parameter , und die Lösungen 1 , 2 der Gleichung: Beispiel: 2 − 5 + 6 = 0 = − 1 + 2 und = 1 � 2 Beweis: − 1 ⋅ − 2 = 0 Ausmultiplizieren liefert: 2 − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ 2 = 0 Anwenden des Distributivgesetzes liefert: 2 − ⋅ ( 2 + 1 ) + 1 ⋅ 2 = 0 Zweimaliges Anwenden des Kommutativgesetzes liefert: 2 − 1 + 2 ⋅ + 1 ⋅ 2 = 0 Koeffizientenvergleich mit 2 + + = 0 ergibt: = − 1 + 2 und = 1 � 2 ■ 55 29.11.2022
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 56 juergen-roth.de
Günstigster Handy-Tarif ■ Tarif 1: Geringe Grundgebühr □ Monatliche Grundgebühr: 1 = 1,00 € □ Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 1 = 0,15 € □ Telefoneinheiten (Minuten): □ Monatliche Kosten: 1( ) = 1 ⋅ + 1 ■ Tarif 2: Geringer Minutenpreis □ Monatliche Grundgebühr: 2 = 2,50 € □ Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 2 = 0,05 € □ Telefoneinheiten (Minuten): □ Monatliche Kosten: 2( ) = 2 ⋅ + 2 ■ Ab wie vielen Telefoneinheiten ist Tarif 2 günstiger? 57 29.11.2022
Günstigster Handy-Tarif 58 29.11.2022
Günstigster Handy-Tarif ■ Lösungsverfahren (Sek. I) für lineare Gleichungssysteme mit zwei Glei- ■ Gesucht chungen und zwei Variablen (Unbekannten): ist zunächst ein Paar ( | ), □ Gleichsetzungsverfahren das die beiden Gleichungen □ Additionsverfahren 1: = 0,15 + 1 (I) □ Einsetzungsverfahren 2: = 0,05 + 2,5 (II) gleichzeitig erfüllt, also eine Lösung für ■ Ziel dieses lineare Gleichungssystem darstellt. Eliminieren einer Variablen, um zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen, die einfach gelöst werden kann. 59 29.11.2022
Günstigster Handy-Tarif (I) = 0,15 � + 1 (II) = 0,05 � + 2,5 ■ Additionsverfahren ■ Gleichsetzungsverfahren □ Subtraktion der Gleichung (II) von der □ Gleichsetzen von (I) und (II) liefert: Gleichung (I), also (I) – (II), liefert: 0,15 � + 1 = 0,05 � + 2,5 |−0,05 � |−1 0 = 0,1 � − 1,5 |+1,5 0,1 � = 1,5 |� 10 1,5 = 0,1 � |� 10 = 15 15 = □ Einsetzen in (II) liefert: □ Einsetzen in (II) liefert: = 0,05 � 15 + 2,5 = 0,05 � 15 + 2,5 = 0,75 + 2,5 = 0,75 + 2,5 = 3,25 = 3,25 □ Lösung: Das geordnete Paar (15|3,25). □ Lösung: Das geordnete Paar (15|3,25). 60 29.11.2022
Günstigster Handy-Tarif (I) = 0,15 � + 1 (II) = 0,05 � + 2,5 ■ Einsetzungsverfahren □ Auflösen der Gleichung (II) nach liefert: = 3 − 6,5 |− |+6,5 = 0,05 � + 2,5 |−2,5 6,5 = 2 |∶ 2 − 2,5 = 5 � 5 �∶ 100 3,25 = 100 20 � ( − 2,5) = □ Einsetzen in (II) liefert: 3,25 = 0,05 � + 2,5 |−2,5 □ Einsetzen in (I) liefert: 5 5 15 0,75 = � �∶ 100 = 100 � 20 � − 2,5 + 1 100 = 3 � − 2,5 + 1 15 = = 3 − 7,5 + 1 □ Lösung: Das geordnete Paar (15|3,25). 61 29.11.2022
Lösungen linearer Gleichungssysteme Satz Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem: Bemerkung 1 + 1 = 1 □ Graphisch interpretiert entsprechen diese drei Fälle genau den möglichen 2 + 2 = 2 Lagebeziehungen der beiden durch Die zugehörige Lösungsmenge ist entweder 1 + 1 = 1 ■ leer, und ■ ein geordnetes Zahlenpaar ( | ) oder 2 + 2 = 2 ■ eine unendliche Menge von gegebenen Geraden. Zahlenpaaren. 62 29.11.2022
Lösungen linearer Gleichungssysteme ■ Die Lösungsmenge ist leer, wenn die Geraden parallel sind. 63 29.11.2022
Lösungen linearer Gleichungssysteme ■ Die Lösungsmenge ist ein geordnetes Paar (ein Punkt), wenn die Geraden sich schneiden. 64 29.11.2022
Lösungen linearer Gleichungssysteme ■ Die Lösungsmenge ist eine unendliche Menge von geordneten Zahlen- paaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden identisch sind. 65 29.11.2022
Schokolade und lineares Gleichungssystem 66 29.11.2022
Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Grundvorstellungen zu Gleichungen 4.2 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.3 Methoden zum Lösen von Gleichungen 4.4 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 4.5 Gleichungen in der Sek. I 67 juergen-roth.de
Gleichungen in der Sekundarstufe I Orientierungsstufe ■ Einfache Gleichungen (mit einer Variablen) lösen 7./8. Klasse = ■ Wertetabellen zu Termen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge) ■ Äquivalenz von Termen und von Gleichungen bzw. + = + Ungleichungen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge) ■ Gleichungen und Ungleichungen über verschiedenen = Grundmengen, Lösungsmenge, Intervalle ■ Äquivalenzumformungen (ÄU) bei Gleichungen und Ungleichungen der Form + = + + = ■ Sachaufgaben (SA) (auch offene Aufgaben, Aufgabenvariation) ■ Proportionalität: fehlende Größen berechnen, Sachaufgaben, grafische Lösungsverfahren 68 29.11.2022
Gleichungen in der Sekundarstufe I 7./8. Klasse (Fortsetzung) ■ Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen ■ Textaufgaben; Lösen ggf. mithilfe einer Text-Term-Tabelle = ■ ∧-Verknüpfung bzw. ∨-Verknüpfung von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungen + = + ■ Einfache Bruchgleichungen mit einer Variablen ■ Relation und Umkehrrelation: Zusammenhang zwischen deren Gleichungen bzw. Ungleichungen; Umkehrfunktion = ■ Funktionen mit Gleichungen folgender Form: ■ = bzw. = + + + = ■ Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen ■ Einfache Bruchgleichungen mit einer Variablen 1 ( ) 3 ( ) = 2 ( ) 4 ( ) 69 29.11.2022
Gleichungen in der Sekundarstufe I 9./10. Klasse ■ Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen □ grafische und algebraische Lösung (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren); = □ auch Aufgaben mit geometrischen Problemstellungen algebraisch lösen + = + ■ Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen □ grafische Lösung ■ quadratische Gleichungen = □ grafische Lösung, Lösen mit quadratischer Ergänzung, Lösungsformel; Diskriminante und Lösbarkeit + + = □ quadratische Gleichungen mit Parametern; Satz des Vieta mit Anwendungen; quadratische Ungleichungen ■ einfache Wurzelgleichungen □ Beachtung der Definitionsmenge; Äquivalenzumformungen 70 29.11.2022
Gleichungen in der Sekundarstufe I 9./10. Klasse (Fortsetzung) = ■ Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen □ maximal quadratische + = + Bestimmungsgleichungen mit maximal einem Parameter = ■ Tangentialprobleme und Diskriminante ■ Gleichungen der Form · + + = 0 + + = ■ Trigonometrische Gleichungen 71 29.11.2022
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Prof. Dr. Jürgen Roth Rheinland-Pfälzische Technische Universität Kaiserslautern-Landau (RPTU) Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) Fortstraße 7, Gebäude I, EG, Raum I 1.01 76829 Landau roth@uni-landau.de https://juergen-roth.de https://dms.uni-landau.de
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