Die Exponentialfunktion - SKRIPT (11 Seiten) - Prof. Tegischer

Die Exponentialfunktion
 SKRIPT (11 Seiten)
 Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden
 Themenbereichen:
▪ Definition einer Exponentialfunktion
▪ Graph und Eigenschaften
▪ Graphische Ermittlung der Parameter
▪ Aufstellen der Exponentialfunktion aus zwei Punkten
▪ Die natürliche Expoenntialfunktion

 Zusätzlich:
 Erklärvideos (gratis!) zur visuellen
 Veranschaulichung.
 -> QR-Codes im SKRIPT!

Allgemeine Informationen zum Skript
 Anwendung des Materials:
 Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss
 sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.

 Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
 Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
 führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.

 YouTube-Playlist
 (PDF-Datei: KLICKEN!)

 Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
 folgendem Link: https://prof-tegischer.com/20-exponentialfunktionen/

 Einsatz des Materials
 ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“,
 Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
 ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
 mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
 ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
 wissen!!

 Quellennachweis:
 ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
 ▪ Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
 erstellt.
 ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.

 Lizenzbedingungen:
 Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn
 es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann.

 Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht und deine eigenen Zwecke verwenden.

 Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an
 Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.

Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne auf
Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (lukastegischer5@gmx.at).
Auf meiner Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien. Ich
würde mich über ein Feedback dazu freuen!

Die Exponentialfunktion
 Bsp. 1) Gegeben ist ein Grundwert . Gib an, um wie viel Prozent G insgesamt vergrößert bzw.
 verkleinert wurde.

a. G wird um 20% vermehrt und anschließend um b. G wird zuerst zweimal um 0,9 % vermehrt, und
 17% vermindert. anschließend dreimal um 1,2% vermindert.

c. G wird zehn Mal um 2,4% vermehrt. d. G wird fünf Mal um 3% vermindert & anschließend
 fünf Mal um 3% vermehrt.

 Video 1/6
 1. Definition einer Exponentialfunktion

 Eine reelle Funktion der Form ( ) = ∙ ( ∈ ℝ∗ , ∈ ℝ+ )
 nennt man Exponentialfunktion mit der Basis b.
 Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten!!!

 ( ) = ∙ 
 Bei einer Exponentialfunktion setzen wir > 0 voraus, da die Potenz ≤ 0 nicht immer definiert ist:
 1
 Beispiel: (−2)0,5 = (−2)2 = √−2 < − ℎ 

 Parameter a (=Schnittpunkt mit der y-Achse)

 Der Parameter a gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an und ist somit der Funktionswert an der
 Stelle = 0, da folgender Zusammenhang gilt:

 (0) = ∙ = ∙ = 
 Parameter b (Annahme: > ) = Faktor mit dem f(x) multipliziert wird, wenn x um 1 erhöht wird

 ▪ Ist > 1, so ist der Graph streng monoton steigend. Je größer b ist, desto stärker steigt der Graph.
 ▪ Für 0 < < 1 ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der x-Achse.
 ▪ Ist = 1, so handelt es sich um eine konstante Funktion:
 ( ) 
 = ∙1 = 

 THEORIE: Exponentialfunktion Seite 1 von 11

Bsp. 2) Erstelle eine Wertetabelle der gegebenen Funktion im vorgegebenen Intervall.
 Skizziere den Graphen der Funktion.

 ( ) = 2 ∙ 0,7 [−5; 5]

 ( )

−5

−4

−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

 ( ) = 3 ∙ 1,6 [−5; 5]

 ( )

−5

−4

−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

 THEORIE: Exponentialfunktion Seite 2 von 11

2. Graph und Eigenschaften von einer Exponentialfunktion
 Fall 1: > 

 1: streng monoton steigend
▪ Alle Graphen gehen durch den Punkt (0| ). ▪ Alle Graphen gehen durch den Punkt (0| ).
▪ Für > 0 sind alle Funktionswerte positiv. Die x- ▪ Für > 0 sind alle Funktionswerte positiv. Die x-
 Achse wird nie erreicht, für → + ∞ streben die Achse wird nie erreicht, für → − ∞ streben die
 Funktionswerte gegen 0. (x-Achse = Asymptote) Funktionswerte gegen 0. (x-Achse = Asymptote)
▪ Je kleiner b ist (zwischen 0 und 1), umso flacher ▪ Je größer der Parameter b ( > 1) ist, umso
 verläuft der Graph. schneller steigt der Graph (exponentiell!).
 Die Graphen der Funktionen 1 und 2 mit

 1 
 1 ( ) = 2 ( ) = ( )
 
 liegen symmetrisch bezüglich der y-Achse.

 THEORIE: Exponentialfunktion Seite 3 von 11

Fall 2: < 
Ist der Parameter a negativ, so wird der Graph an der x-Achse gespiegelt und die die Funktionswerte
werden allesamt negativ. Das Monotonieverhalten dreht sich um:

 ▪ für 0 < < 1: streng monoton steigend
 ▪ für > 1: streng monoton fallend

Spezialfall: = ( !)
Ist = 1, so ist der Graph konstant und schneidet die y-Achse beim Wert des Parameters a.

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3. Graphische Ermittlung der Parameter a und b Video 2/6

 ▪ Parameter a: Funktionswert an der Stelle = 0 (=Abschnitt auf der y-Achse)
 ▪ Parameter b: Es gilt: (1) = ∙ 1 = ∙ . Durch Umformen folgt daraus:

 Bemerkung 1: Bestimme zuerst den Parameter a (Abschnitt auf der y-Achse) ->
 Bestimme anschließend den Funktionswert (1) graphisch. Dividiere diesen Wert
 (1) = ∙ durch den Parameter a, um den Wert von b zu erhalten! (= Variante 1)

 ( ) Bemerkung 2: Ist die Funktionsgleichung ( ) = ( = 1), so entspricht der
 = Parameter b dem Funktionswert an der Stelle 1, es gilt:
 
 (1) (1)
 = = = (1)
 1

Bsp. 3) Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ( ) = ∙ .

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4. Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Sei f eine Exponentialfunktion mit ( ) = ∙ , dann gilt:
 Video 3/6
 ▪ (0) = 
 (1)
 ▪ =
 
 ▪ ( + 1) = ( ) ∙ . ( + ℎ) = ( ) ∙ ℎ
 Wird das Argument um 1 vergrößert, so ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor b.
 Wird das Argument um 2 vergrößert, so ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor b².
 Wird das Argument um h vergrößert, so ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor .
 ▪ Wird das Argument um 1 erhöht, dann wächst / fällt ( ) mit einem gleichen Prozentsatz p.

 Fall 1: Exponentielles Wachstum: > 1 (Annahme: > 0)
 Exponentielles Wachstum beschreibt
 Änderungsprozesse, bei denen sich ein Wert in
 gleichen (zeitlichen) Abständen immer um
 denselben Faktor ändert.
 Da der Parameter > 1 ist, steigen die steigen
 die Funktionswerte immer schneller weiter an
 (da sie immer mit dem Faktor b multipliziert
 werden! Der Graph wird immer steiler!)
 ( ) = 2 ∙ 2 
 ( )
 0 2
 1 4
 2 8
 3 16
 +1 4 32 ∙ 
 5 64
 6 128
 7 256
 8 512

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Fall 2: Exponentielle Abnahme: 0 < < 1 (Annahme: > 0)
 Exponentielle Abnahme (=Exponentieller Zerfall)
 beschreibt Änderungsprozesse, bei denen sich
 ein Wert in gleichen (zeitlichen) Abständen
 immer um denselben Faktor (0 < < 1)
 ändert.
 Da der Parameter zwischen 0 und 1 liegt,
 werden die Funktionswerte immer kleiner (Die
 Kurve flacht immer weiter ab!)
 ( ) = 8 ∙ 0,5 
 ( )
 0 8
 1 4
 2 2
 +1 3 1 ∙ 
 4 0,5
 5 0,25
 6 0,125

Bsp. 4) Gegeben ist eine Exponentialfunktion. Mit welchem Faktor wächst bzw. fällt f(x), wenn man
das Argument um (i) 1, (ii) 3, (iii) 10 erhöht? Um viel Prozent ändert sich der Funktionswert?
 ( ) = 3 ∙ 1,2 ( ) = 0,45 

 ( ) = 2 ∙ 1,06 ( ) = 0,001 ∙ 0,95 

THEORIE: Exponentialfunktion Seite 7 von 11

Video 4/6
 5. Aufstellen der Exponentialfunktion bei zwei gegebenen Punkten
 Sind zwei beliebige Punkte von einer Exponentialfunktion gegeben, so kannst die
 Funktionsgleichung durch folgende zwei Schritte bestimmen:

 = (−1|1), = (4|32) = (−2|12), = (1|1,5)

Schritt 1: Bestimmung des Parameters b durch (−1) = 1 (−2) = 12
 (4) = 32 (1) = 1,5
folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion:
 Die Argumente wurden um Die Argumente wurden um
 ( + ℎ) = ( ) ∙ ℎ den Wert 5 erhöht: den Wert 3 erhöht:

Diese Eigenschaft muss man auf b umformen: (4) = (−1) ∙ 5 (1) = (−2) ∙ 3
 ⟺ ⟺
 5 (4) 5 32 3 (1) 3 1,5
 ( + ℎ)
 ℎ
 = √ = √ = =√ =√ = , 
 = √ (−1) 1 (−2) 12
 ( )
 ( ) = ∙ 2 ( ) = ∙ 0,5 
 ( ) = ∙ 2 ( ) = ∙ 0,5 
Schritt 2: Setze einen der beiden Punkte in die
Funktionsgleichung ein, um die Variable a = (−1|1) → (−1) = 1 = (1|1,5) → (1) = 1,5
bestimmen zu können. Umformen der linearen
Gleichung! 1 = ∙ 2−1 | ∶ 2−1 1,5 = ∙ 0,51 | ∶ 0,5
 =2 =3
▪ x-Koordinate des Punktes für die Variable x
▪ y-Koordinate des Punktes für f(x)
 ( ) = 2 ∙ 2 ( ) = 3 ∙ 0,5 

 Bsp. 5) Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion aus zwei gegebenen Punkten.
 - Gib anschließend den Funktionswert an der Stelle = 7 an.
 - Bei welcher Stelle erreicht die Funktion den Funktionswert ( ) = 100?

 = (−3|0,5), = (4|64) = (−2|50), = (2|0,005) = (2|300), = (6|3 000 000)

 THEORIE: Exponentialfunktion Seite 8 von 11

Bsp. 6) Gegeben sind drei Punkte. Können diese drei Punkte auf einer Exponentialfunktion liegen?
Begründe rechnerisch. Falls ja, gib die Gleichung der Exponentialfunktion an.

 = (1|6), = (6|192), = (9|1536) = (−1|8), = (3|0,5), = (5|0,25)

6. Die natürliche Exponentialfunktion
 Video 5/6
 Erinnerung: ( ) = ∙ 

Exponentialfunktionen können eine beliebige, positive Basis besitzen. Die natürliche
Exponentialfunktion besitzt als Basis die Euler’sche Zahl = 2,718 … ( ). Den griechischen
Buchstaben (" ") benötigt man, sodass man die beiden Schreibweisen gleich setzen kann:

 Natürliche Exponentialfunktion: ( ) = ∙ 
Da der Parameter a und die Variable x bei beiden Darstellungen gleich sind, muss dies auch für den
Parameter b bzw. gelten:
 = 
 Um diese Exponentialgleichung lösen zu können, wendet man den ln auf beiden Seiten an:
 ln = ln 
 ln = ∙ ln | ln = 1
 = 
Annahme: > 
 Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, wenn > 1 ist:

 > > 
 Es gilt: 0 = 1
 > 0 , ℎ > 1
 Die Exponentialfunktion ( ) = ∙ ist streng monoton steigend, wenn > 0 ist.

 Die Exponentialfunktion ist streng monoton fallend, wenn 0 < < 1 ist:

 < < < < 
 Es gilt: 0 = 1
 < 0 , : 0 < < 1
 Die Exponentialfunktion ( ) = ∙ ist streng monoton fallend, wenn < 0 ist.

THEORIE: Exponentialfunktion Seite 9 von 11

Bsp. 7) Stelle die Exponentialfunktion f in der Form ( ) = ∙ dar.
 ( ) = ∙ −1,2 ( ) = ∙ 0,8 ( ) = ∙ 3 

Bsp. 8) Stelle die Exponentialfunktion f in der Form ( ) = ∙ dar.
 ( ) = ∙ 0,6 ( ) = ∙ 3 ( ) = ∙ 2,2 

Bsp. 9) Stelle die Exponentialfunktion f in der Form ( ) = ∙ dar.

THEORIE: Exponentialfunktion Seite 10 von 11

Bsp. 10) Die Exponentialfunktion ( ) = ∙ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27).
 a. Bestimme die Parameter λ und a.
 b. Bei welchem Argument x beträgt der Funktionswert 100? Video 6/6
 c. Wie lautet der Funktionswert bei der Stelle = 7?
 d. Stelle die Funktion in der Form ( ) = ∙ bx dar.
 e. Um wie viel Prozent ändert sich der Funktionswert, wenn das Argument um den Wert 1
 erhöht wird?
 f. Um wie viel Prozent ändert sich der Funktionswert, wenn das Argument um den Wert 3
 erhöht wird?

THEORIE: Exponentialfunktion Seite 11 von 11