Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
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Paper 11 / 2021 doi: 10.7795/320.202111
Verlag:
Physikalisch-
Technische
Bundesanstalt
JungforscherInnen publizieren
online | peer reviewed | original
Mathematik &
Informatik
Durch kosmische DIE JUNGFORSCHERIN
Strahlung zur
Zufallszahl
Langzeitmessung von Myonenzerfällen
als Basis für einen nichtdeterministischen
Zufallszahlengenerator
In der kosmischen Strahlung entstehen Myonen, die spontan Hannah Belle Neuwirth (2001)
zerfallen. Mithilfe des CosMO-Experiments lassen sich Gymnasium Wolbeck,
diese Zerfälle detektieren. In dieser Arbeit untersuche Münster
ich, ob die gemessenen Zerfälle als Basis für einen Eingang der Arbeit:
nichtdeterministischen Zufallszahlengenerator angewendet 16.12.2019
werden können. Beispielhaft werden Zufallszahlen, wie sie für Arbeit angenommen:
Transaktionsnummern benötigt werden, generiert. 13.7.2020
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Atmosphäre zusammenstößt [4]. Diese
zerplatzen und es entsteht ein Schauer
von Sekundärteilchen in Richtung Erd-
boden. Durch verschiedene Prozesse
entstehen neutrale Pionen (π0, in Abb. 1
hellblau) oder geladene Pionen (π−, π+, in
Abb. 1 grün). Dies sind Mesonen, also
eine Zusammensetzung aus Quarks und
Antiquarks [2, 5, 6]. Geladene Pionen
haben eine mittlere Lebensdauer von
2,6033 ± 0,0005 · 10 –8 s, dies ist etwa
hundertmal kürzer als die mittlere Le-
bensdauer von Myonen [7].
Das positiv geladene Pion zerfällt in
ein Anti-Myon und ein Myon-Neutrino
[8]:
Durch kosmische π+ → μ+ + νμ
Strahlung zur
Das negativ geladene Pion zerfällt in ein
Myon und ein Myon-Anti-Neutrino [8]:
_
Zufallszahl
π− → μ
− + ν μ
„Da das Myon starker relativisti-
scher Zeitdilation unterliegt und nicht
Langzeitmessung von Myonenzerfällen als Basis für nach der starken Wechselwirkung in-
einen nichtdeterministischen Zufallszahlengenerator teragiert, kann es die Erdatmosphä-
re durchdringen und am Boden nach-
gewiesen werden“ [6]. Auf dem Boden
können, über ein kilometergroßes Ge-
1. Einleitung 2. Einführung in die biet verstreut, nur noch Luftschauer be-
Astroteilchenphysik stehend aus Elektronen, Positronen (in
In der kosmischen Strahlung entstehen Abb.1 hellblau) und Myonen, Anti-Myo-
Myonen, die spontan zerfallen. Mithil- 2.1 Kosmische Strahlung nen (in Abb. 1 pink) nachgewiesen wer-
fe des CosMO-Experiments lassen sich den (Neutrinos sind kaum nachzuwei-
diese Zerfälle detektieren. Aufgrund Die kosmische Strahlung ist ein ener- sen; in Abb. 1 pink gestrichelt) [1, 3, 5].
des Aufbaus des Experiments entste- giereicher Hagel subatomarer Teilchen.
hen in der mittleren Detektorplatte 90 Prozent der primären kosmischen 2.2 Myonen
zwei Pulse. Deren zeitlicher Abstand Strahlung besteht aus Protonen. Die
wird als Zerfallszeit bezeichnet. Die so restlichen Primärteilchen sind haupt- Das Myon (µ−) gehört zu der Familie der
erhaltenen Zerfallszeiten werden in die- sächlich zweifach positiv geladene He- geladenen Leptonen. Es ist elektrisch
ser Arbeit als Basis für einen nichtde- liumkerne (Alphateilchen) und Elek- negativ geladen. Sein Antiteilchen, das
terministischen Zufallszahlengenerator tronen beziehungsweise Positronen [1]. Anti-Myon (µ+), ist elektrisch positiv ge-
(TRNG; True Random Number Genera- Die Energien dieser Teilchen reichen laden [9]. Es lässt sich in die zweite Ge-
tor) verwendet. Nichtdeterministische von 100 GeV (1011 eV) bis über 100 EeV neration des Standardmodells einord-
Zufallszahlen, auch physikalische Zu- (1020 eV) [2]. „Diese Energien sind hun- nen und ist damit kein Bestandteil von
fallszahlen genannt, werden mittels dert Millionen Mal größer als die Ma- natürlicher Materie. Das Myon besitzt
physikalischer Prozesse gewonnen. ximalenergie des Large Hadron Colli- eine Ruhemasse von 105,6583745 MeV
der am Forschungszentrum CERN“ [3]. [10] und besitzt damit eine mehr als
Abb. 1 zeigt ein Primärteilchen, wel- zweihundertmal größere Masse als das
ches in zwanzig bis dreißig Kilome- Elektron.
ter Höhe mit einem Kern der irdischen
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Es ist ein instabiles Teilchen und kann
spontan in einen Zustand kleinerer
Energie übergehen. Dieser Übergang
wird auch Zerfall genannt. „Elementar-
teilchen – genau wie Atomkerne – al-
tern nicht: Zu jeder Zeit ist die Wahr-
scheinlichkeit für eine Umwandlung
gleich groß“ [11]. Das freie Myon zer-
fällt in ein Elektron, ein Elektron-An-
ti-Neutrino und in ein Myon-Neutrino
_
[8]: μ− → e− + ν e + νμ
Im Gegensatz hierzu zerfällt das Anti-
Myon in ein Positron, ein Elektronen-
Neutrino und in ein Myon-Anti-Neut-
_
rino [8]: μ+ → e+ + νe + ν μ
Werden viele dieser Zerfälle gemessen,
kann daraus über die exponentiellen
Zerfallsgesetze die mittlere Lebens-
dauer errechnet werden. Die mittlere
Lebensdauer gibt an, wie lange ein in-
stabiles Teilchen durchschnittlich exis-
tiert. Da es sich hierbei um statistische
Werte handelt, kann man die Lebens-
dauer eines einzelnen Teilchens nicht
vorhersagen, es lassen sich hierfür nur
Wahrscheinlichkeiten angeben. Bei ei-
ner exponentiellen Abnahme der Zer-
fallszeiten ist die mittlere Lebensdauer
die Zeitspanne, nach der die Größe auf
den Bruchteil 1_e ≈ 36,8 %des anfängli-
chen Wertes abgenommen hat [12].
Bei Myonen beträgt die mittlere Lebens-
dauer τμ = 2,1969803 ± 0,0000022 μs
[13]. Für eine solch genaue Messung
wurden 2011 nicht die sekundären
Myonen der kosmischen Strahlung,
sondern Anti-Myonen der Beschleuni-
gungsanlage des Paul-Scherrer-Insti-
tuts, des größten Forschungsinstitut für
Natur- und Ingenieurwissenschaften
in der Schweiz, verwendet. Diese An-
ti-Myonen wurden von speziellen Tar-
gets des MuLan-Experiments (Muon
Lifetime Analysis) aufgefangen bis die-
se zerfielen. 170 Detektoren um die Tar-
gets ermöglichten es, die entstehenden
Positronen (Zerfallsprodukte) zu detek-
tieren. Es wurden Billionen von Zerfäl- Abb. 1: Entstehung von Teilchenschauern [4]
len detektiert. Im Folgenden wird zwi-
schen Myon und Anti-Myon nicht mehr
ausdrücklich unterschieden.
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tektorpatten bestimmt werden (siehe
Abb. 3): Das zu messende Myon fliegt
durch die obere Detektorplatte hin-
durch und verursacht einen Puls. In
der zweiten Platte erzeugt das Myon ei-
nen Puls und zerfällt anschließend in
ein Elektron und zwei Neutrinos. Das
Elektron wird detektiert und erzeugt ei-
nen zweiten Puls. In der dritten Detek-
torplatte ist kein Puls messbar, da das
Elektron nicht genug Energie besitzt,
Abb. 2: Aufbau des CosMO-Experiments um eine weitere Platte zu durchdringen.
Das Auswerteprogramm „muonic“ er-
3. Langzeitmessung ein Netbook mit dem Messprogramm mittelt nun die Differenz zwischen
sekundärer Myonen „muonic“ [14, 15]. dem Myonenpuls und dem Elektronen-
puls im mittleren Detektor [21]. Diese
Mit dem CosMO-Experiment (Cosmic 3.2 Versuchsbeschreibung Zeitdifferenz wird als Zerfallszeit be-
Muon Observer) wurden Messungen zeichnet. Um ausreichend viele Myo-
vom 1. Oktober bis zum 22. November Trifft ein geladenes Teilchen auf eine nenzerfälle zu registrieren, sollte im
2018 durchgeführt. Die Messkompo- Szintillatorplatte (aus dem Lateini- CosMO-Experiment über mehrere Tage
nenten sowie die Auswerteeinheit wur- schen: scintillare ‚flackern‘) werden gemessen werden.
den von der Westfälischen Wilhelms- durch Stoßprozesse die Moleküle des
Universität Münster ausgeliehen. Das Szintillatormaterials angeregt. Beim Da die Bauteile thermisch rauschen,
Experiment selbst ist vom DESY inner- Übergang aus dem Anregungszustand werden durch den Pulshöhenanalysator
halb des Astroteilchen-Projekts für das in den Grundzustand wird die Anre- auch dann elektronische Signale ausge-
Netzwerk Teilchenwelt entwickelt wor- gungsenergie mittels Photonen wieder wertet, wenn kein geladenes Teilchen
den [14]. abgegeben. [15, 16]. Im Versuch ist jede durch den Detektor geflogen ist. Daher
Szintillatorplatte 200 × 200 × 12,5 mm³ muss eine Schwellspannung für die Pul-
Es wurden mehrere Langzeitmessungen groß und besteht aus „EJ-200 Plastik- se festgelegt werden. Mit dieser kann
durchgeführt. Dabei wurden die im De- szintillatormaterial“ [17]. Mittels der die Rate an thermischen Rauschsigna-
tektor zerfallenden Myonen erfasst. Die neun Lichtleiter pro Platte gelangen die len, welche die Messung verfälschen,
Zerfallszeiten der Myonen wurden von Photonen zu dem Multi Pixel Photon minimiert werden.
dem Programm „muonic“ ausgewiesen. Counter (MPPC). Hier werden durch
Dies ermöglichte die Bestimmung der die Photonen Elektronen über den äu- Das Experiment muss zudem zwischen
mittleren Lebensdauer. ßeren lichtelektrischen Effekt ausgelöst. Myonen und Elektronen aus der kosmi-
Diese werden dann mittels eines elekt- schen Strahlung unterscheiden. Die De-
3.1 Versuchsaufbau rischen Feldes in Richtung Dynode be- tektorplatten können dies nicht direkt.
schleunigt und lösen ein Vielfaches an Diese detektieren alle geladenen Teil-
Abb. 2 zeigt den Aufbau des Experi- Photoelektronen aus, sodass Elektro- chen. Die Energie eines Elektrons reicht
ments. Die drei Detektorplatten liegen nenkaskaden entstehen. An der Anode jedoch nicht aus, um mehr als eine
während des Versuchs aufeinander und können diese Elektronen als Stromstoß Platte zu passieren. Elektronen erzeu-
bestehen jeweils aus einer Szintillator- gemessen und mithilfe eines Pulshö- gen also nur in einer Platte einen Puls.
platte, neun Lichtleitern, einem Silizi- henanalysators ausgewertet werden [17, Durch radioaktive Zerfälle in der Luft
um-Photomultiplier von HAMAMAT- 18, 19]. Obwohl ein Großteil der sekun- könnten ebenso Alphateilchen an einer
SU PHOTONICS Deutschland GmbH dären Myonen durch alle drei Szintilla- Platte detektiert werden, diese können
und einem Hochspannungsmodul von torplatten fliegt ohne zu zerfallen, las- aber die Detektorhülle aus Aluminium
iseg. Außerdem werden folgende Kom- sen sich bei einer Langzeitmessung nicht passieren [11].
ponenten benötigt: drei Lemokabel dennoch einige Myonenzerfälle detek-
(Hochfrequenzkabel), drei Lemo-BNC- tieren. 3.3 Langzeitmessungen
Adapter, 5 V-Dreifachverteiler, 5 V-
Netzteile, USB-Gerätekabel, DAQ-Kar- Zerfällt ein Myon, so kann die Zerfalls- Im Zeitraum vom 1. Oktober bis zum 22.
te (Data-Acquisition-Karte; Bindeglied zeit mittels der drei gestapelten De- November 2018 wurde während meh-
zwischen Detektor und Computer) und rerer Langzeitmessungen im Durch-
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schnitt alle sechs Minuten ein Myonen-
zerfall registriert. Insgesamt wurden
7891 Myonenzerfälle detektiert
Zuerst wurde eine Langzeitmessung
mit 2763 Myonenzerfällen ausgewertet.
Diese ergab eine mittlere Lebensdauer
von τμ = 1,9856 ± 0,1344 μs. Dieses Er-
gebnis stimmt innerhalb von zwei Feh-
lerintervallen mit dem Literaturwert
von τμ = 2,1969803 μsüberein und be-
sitzt eine prozentuale Abweichung von
Abb. 3: Registrierte Pulse in den drei Szintillatorplatten
3,510 %. bei Detektion eines Myons [20]
Im Folgenden wird nun eine weitere
Langzeitmessung genauer betrachtet. der Methode der kleinsten Quadrate Der in Abb. 4 angegebene Wert „Ge-
Ziel dieser Vergleichsmessung ist eine zur Lösung nichtlinearer Ausgleichs- samt“ in den Tabellen zu den verschie-
Verbesserung zur vorherigen Messung, probleme [21, 22]. denen Fits entspricht der Anzahl der
sodass sich eine mittlere Lebensdauer, Myonenzerfälle, die sich aus dem Fit
welche innerhalb eines Fehlerintervalls Im Intervall [0; 0,5), also den ersten zwei ergeben. Hierzu wird die Exponential-
zum angegebenen Literaturwert liegt, Klassen, stimmt die Anzahl der gemes- Funktion von 0bis ∞integriert. Da jede
errechnen lässt. senen Zerfälle aufgrund des Rauschens Klasse die Breite 0,25 µshat und t die
nicht mit dem Verlauf einer Exponen- Einheit 1 µsaufweist, ist es notwendig,
Vom 11.11.2018 bis 22.11.2018 wurden tial-Funktion überein. Da in der Klas- mit 4 zu multiplizieren.
2788 Zerfälle gemessen. Damit die Da- se [14; 14,25) nur ein Zerfall gemessen
ten ausgewertet werden können, wird wurde und in den folgenden Klassen Daraus folgt: Formel 1
zunächst ein Histogramm mit Origin® wieder mehrere Zerfälle detektiert wur-
erstellt. Hierzu werden die einzelnen den, kann für einen Fit das größte Inter- Für den grünen Fit ergibt sich damit
Zerfälle in Klassen zusammengefasst. vall mit [0,5; 14) gewählt werden. Dieser Gesamt = 2991,2307 ± 128,5838. Da
Jede Klasse umfasst die Zerfälle inner- Fit ist in der Abb. 4 grün dargestellt und 2788Myonenzerfälle erfasst wurden,
halb von 0,25 µs, also z. B. von 2 µs bis umfasst 92,50 % der gemessenen Wer- stimmt dieser Wert innerhalb von zwei
2,25 µs. Bei kleineren Intervallen treten te. Die ermittelte mittlere Lebensdauer Fehlerintervallen mit G
esamt überein.
Intervalle ohne Messwerte auf, sodass unter Berücksichtigung des Intervalls
ein Fit über Origin® nicht möglich ist. In [0,5; 14) beträgt τ μ = 2,1517 ± 0,1017 μs. 4. Zufallszahlengenerator
Abb. 4 sind auf der x-Achse die Zerfalls-
zeiten in Mikrosekunden und auf der y- „Der Verlauf der Exponential-Funktion Im weiteren Verlauf des Projekts un-
Achse die Anzahl an zerfallenen Myo- ist in jedem Abschnitt der gleiche und tersuche ich die Anwendungsmöglich-
nen in der jeweiligen Klasse dargestellt. unterscheidet sich prinzipiell nur durch keit der gemessenen Zerfallszeiten als
den Anfangswert“ [11]. Dadurch kann Basis für einen nichtdeterministischen
Da das allgemeine Zerfallsgesetz gilt, auch ein anderes und somit kleineres Zufallszahlengenerator. In der von mir
wird für die Regression (Fit) folgende Intervall für den Fit verwendet wer- programmierten Anwendung wer-
Funktion gewählt: den. Es wurde zusätzlich das Intervall den Zufallszahlen für Münzwürfe und
[1,25; 14) gewählt (siehe Abb. 4, blau). Würfe eines achtseitigen Würfels gene-
−t
f ( t) = A ∙ e−λ ∙ t = A ∙ e τ
_
μ Dieser blaue Fit umfasst 74,89 % der Wer- riert. In Abschnitt 4.2.3 folgt dann die
te und liefert τμ = 2,0468 ± 0,1051 μs. Erweiterung auf ganzzahlige Zufalls-
Lambda λist hierbei die Zerfallskons- Die bessere Annäherung an den Lite- zahlen in beliebigen Intervallen.
tante und τμdie mittlere Lebensdauer. raturwert liefert jedoch der grüne Fit,
der 92,50 % der gemessenen Werte um- 4.1 Allgemeine
1
Es gilt: τμ = _ fasst. Sie stimmt innerhalb von einem Beschreibung von
λ
Fehlerintervall mit dem Literaturwert Zufallszahlengeneratoren
Für die Auswertung wurde der Ite- von τμ = 2,1969803 μsüberein und be-
rationsalgorithmus „Levenberg Mar- sitzt eine prozentuale Abweichung von Zufallszahlengeneratoren lassen sich in
quardt“ genutzt. Dies ist ein numeri- 2,568 %. zwei Kategorien unterteilen: die deter-
scher Optimierungsalgorithmus mit ministischen (Random Number Gene-
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generatoren werden zur Erzeugung
von kryptografischen Schlüsseln z. B.
Transaktionsnummern verwendet.
4.2 Basis für einen
nichtdeterministischen
Zufallszahlengenerator
Die gemessenen Werte sollen zum Bau
eines nichtdeterministischen Zufalls-
zahlengenerators verwendet werden.
Ziel ist es, gleichverteilte Zufallszahlen
zu liefern. Die Zerfallszeiten der Myo-
nen sind exponential und nicht gleich-
verteilt. Somit können die Werte nicht
direkt als Zufallszahlen verwendet wer-
den.
Im Artikel von Fourmilab (radioakti-
ve Zerfälle im Geiger-Müller-Zählrohr)
Abb. 4: Vergleichsmessung mit 2788 Zerfällen und werden die Zeiten zwischen den Zerfäl-
drei verschiedenen Fitfunktionen
len gemessen [29]. Hierfür benötigt man
zwei Zerfälle für ein Zeitintervall. Zwei
rator RNG / Pseudo Random Number liebig langen Folge von bisher generier- unabhängige Zeitintervalle werden für
Generator PRNG) und die nichtdeter- ten Zahlen nicht von Nutzen, denn die einen Zustand („0“ oder „1“) vergli-
ministischen (True Random Number nächste Zahl lässt sich nicht vorhersa- chen. Pro Zustand werden also 4 Zer-
Generator TRNG). Deterministische gen [23]. „Nichtdeterministisch ist ein fälle benötigt. Statt die Zeiten zwischen
Zufallszahlengeneratoren erzeugen Zufallszahlengenerator dann, wenn er den Zerfällen zur Berechnung heran-
Zahlen, die zwar zufällig aussehen, je- auch bei gleichen Ausgangsbedingun- zuziehen, habe ich mir überlegt, die ge-
doch durch einen deterministischen gen unterschiedliche Werte liefert“ [27]. messenen Zerfallszeiten zu verwenden.
Pseudoalgorithmus, dem ein Startwert Daher betrachte ich im Folgenden die
zugrunde liegt, generiert werden. Wird Allein die Art des Zufallszahlengene- Differenz zweier aufeinanderfolgender,
ein Startwert mehrfach verwendet, ent- rators sagt jedoch nichts über die Güte, voneinander unabhängiger Zerfallszei-
steht eine Reproduktion der Pseudo- also die Qualität der Zufallszahlen aus. ten zur Bestimmung eines Zustands. Es
zufallszahlenreihe. Sind der Algorith- Die Gütetests ermitteln, in wie weit die wird also verglichen, ob das erste oder
mus sowie die internen Zustände, mit zu bewertenden Zufallszahlen von Zu- das zweite detektierte Myon eine län-
denen die Zahlen erstellt wurden, be- fallszahlen eines idealen Zufallszah- gere Zerfallszeit besitzt. Dies halbiert
kannt, so können alle Zahlen vorherge- lengenerators abweichen. Dabei wird die Zeitspanne, in der zwei Zufallszah-
sagt werden, die durch Aufrufe des Al- überprüft, ob die Zufallszahlen in dem len generiert werden können. Alle 7891
gorithmus' zurückgegeben werden [23, gewählten Intervall gleichmäßig auf- gemessenen Myonenzerfälle können
24, 25]. tauchen [28, 27]. als Basis für einen nichtdeterministi-
schen Zufallszahlgenerator verwendet
Nichtdeterministische Zufallszahlen, Nichtdeterministische Zufallszahlen- werden, da es nicht auf die tatsächliche
auch physikalische Zufallszahlen ge-
nannt, werden mittels physikalischer
Prozesse gewonnen. Physikalische Ver-
fahren für eine solche Realisierung sind im∫0af(t)dt =
Gesamt = 4 ∙ la→∞
zum Beispiel atomare Zerfallsvorgänge
in einem bestimmten Zeitintervall, das 4 ∙ [ la→∞
im[ F(a) − F(0)]] = 4 ∙ [ la→∞ imF( 0)] =
imF( a) − la→∞
Ziehen von Lottozahlen oder das Wer-
fen eines Würfels [26, 24]. Eine Vor- 4 ∙ [0 − ( − A ∙ τµ)]
hersage der Ergebnisse ist nicht mög-
lich, da die Zufallszahlen aperiodisch Formel 1
sind. Dadurch ist das Wissen einer be-
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Aus den gemessenen Zerfallszeiten las-
sen sich 3877 Münzwürfe simulieren
(Auswertung über Excel). Aus der vor-
liegenden Stichprobe ergeben sich die
Häufigkeiten in Tab. 1.
Im Folgenden wird über einen zweisei-
tigen Signifikanztest überprüft, ob die
generierten Zufallszahlen hinreichend
gleichverteilt sind. Die Trefferwahr-
scheinlichkeit für „Kopf “ wird wie bei
Abb. 5: Differenz unabhängiger Zerfallszeiten
einem realen Münzwurf mit p0 = 0,5
angenommen (Nullhypothese). Die-
Zerfallsdauer, sondern auf die Differenz keit von (L1, L2) zu (L2, L3) nicht mehr se Nullhypothese wird erst verworfen,
zweier Zerfallszeiten Δt, ankommt. gegeben ist, da beide den Wert L2 ver- wenn in der vorliegenden Stichprobe
wenden. Ergebnisse beobachtet werden, die bei
Ist Δt positiv (z. B. Abb. 5; Δt von L1 Gültigkeit der Hypothese höchst selten
und L2) ergibt sich der Zustand „1“. Ist 4.2.1 Zufallszahlen für Münzwürfe auftreten würden. Dies lässt sich mit-
Δt jedoch negativ (z. B. Abb. 5; Δt von hilfe eines zweiseitigen Signifikanz-
L3 und L4) ergibt sich der Zustand „0“. Bei einer idealen Münze treten nur die tests der Nullhypothese p0 = 0,5 er-
Sollten zwei aufeinanderfolgende Myo- Ereignisse „0“ (Kopf) und „1“ (Zahl) mitteln. Das Signifikanzniveau wird
nen die gleiche Zerfallszeit aufweisen, mit derselben Wahrscheinlichkeit von auf α = 0,05 ( 5 %) festgelegt. Der An-
werden diese beiden Zerfälle für den jeweils p = 0,5auf. Da nur zwei Ergeb- nahmebereich [a; b] der Nullhypothese
Zufallszahlgenerator nicht berücksich- nisse auftreten, handelt es sich um ein wird über die kumulierte Wahrschein-
tigt. Dies ist bei 68 aller ausgewerteten Bernoulli-Experiment. Für diese Abbil- lichkeit von X der kleinsten Zahlen von
Pärchen (1,72 % aller Zerfälle) zutref- dung genügt ein Bit je Münzwurf (siehe a und b bestimmt. Hierfür gilt:
fend. Es bleiben 3877 Pärchen aus den Abb. 6). Es werden also zwei aufeinan-
Messungen. derfolgende Zerfallszeiten miteinander P( X ≤ a) > 2_α und P
( X ≤ b) > 1 − 2_α
verglichen.
Die Umrechnung der Zustände in Zu- Für einen Stichprobenumfang von
fallszahlen erfolgt mittels Binärsys- Nach dem Gesetz der großen Zahlen n = 3877simulierter Münzwürfe ent-
tems. Das heißt für jedes Bit werden nähern sich die relativen Häufigkeiten spricht der Annahmebereich der Null-
zwei Myonenzerfälle benötigt. der jeweiligen Ereignisse den theoreti- hypothese [1877; 2000]. Somit liegt die
schen Wahrscheinlichkeiten der jewei- Anzahl der Ereignisse für „Kopf “ und
Eine weitere Erhöhung der Anzahl an ligen Ereignisse an, wenn das Zufalls- für „Zahl“ innerhalb des Annahme-
Vergleichspärchen durch Einbeziehen experiment in genügendem Umfang bereichs. Die Nullhypothese p0 = 0,5
von (L2, L3) und (L4, L5) ist nicht mög- und unter denselben Voraussetzungen wird deshalb beibehalten.
lich, da in diesem Fall die Unabhängig- durchgeführt wird.
Abb. 6: Simulation des Wurfs einer Münze mit: Abb. 7: Simulation des Wurfs eines achtseitigen
0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0. Würfels mit: 0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0.
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4.2.2 Zufallszahlen für einen Die bisherige Arbeit betrachtet an-
achtseitigen Würfel Aus den 7891 gemessenen Zerfalls- schaulich die Intervalle für einen
zeiten lassen sich 1292 Würfelwürfe Münzwurf [0; 1] und Wurf eines acht-
Die Häufigkeit der Ereignisse genügt simulieren (Auswertung über Excel). seitigen Würfels [1; 8] beziehungsweise
noch nicht, um über die Güte der Zu- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei [0; 7]. Diese Intervalle umfassen Zwei-
fallszahlen eine Aussage machen zu 1292 Zufallszahlen ist in Abb. 8 darge- erpotenzen. Im Folgenden wird die
können, da zum Beispiel die Folge: stellt. Möglichkeit, ganzzahlige Zufallszahlen
0, 1, 0, 1, 0, 1, … nicht zufällig erscheint. in einem frei wählbaren Intervall zu er-
Deshalb wird die vorliegende Stichpro- Wie in Abschnitt 4.2.1 wird über einen zeugen, untersucht. Diese realisierte Er-
be anhand eines simulierten mehrmali- zweiseitigen Signifikanztest überprüft, weiterung wird am Beispiel eines sechs-
gen Münzwurfs mit Berücksichtigung ob die generierten Zufallszahlen hin- seitigen Würfels, der üblicherweise bei
der Reihenfolge auf stochastische Un- reichend gleichverteilt sind. Hierzu be- Brettspielen zum Einsatz kommt, und
abhängigkeit untersucht. Dies wurde trachte ich die Binomialverteilung mit einer Transaktionsnummer erläutert.
mit simulierten doppelten und dreifa- p0 = _18und das Gegenereignis p0 = _87
chen Münzwürfen nachgeprüft. Im Fol- für jedes der möglichen acht Würfeler- In Abschnitt 4.2.2 wurde der simulierte
genden wird nur der simulierte dreifa- eignisse. Wurf mit einem achtseitigen Würfel als
che Münzwurf, der anschaulich einem eine Bernoulli-Kette der Länge 3 darge-
Wurf mit einem achtseitigen Würfel Hierfür gilt erneut: stellt. Dabei ergeben sich acht mögliche
entspricht, betrachtet. (siehe Abb. 7) Tripel, die den Würfelwerten entspre-
P( X ≤ a) > _α2 und P
( X ≤ b) > 1 − _α2 chen. Hierfür werden insgesamt drei
„Ein Zufallsexperiment, das aus n un- Bits benötigt. (siehe Abb. 7)
abhängigen Durchführungen desselben Die Nullhypothese p0 = _81 besitzt
Bernoulli-Experiments besteht, heißt mit dem Signifikanzniveau α = 0,05 Wie in Abschnitt 4.1 bereits erläutert,
Bernoulli-Kette der Länge n “ [30]. Der und einem Stichprobenumfang von sollen aufgrund der beschränkten Men-
simulierte Wurf mit einem achtseitigen n = 1292einen Annahmebereich von ge an Zufallszahlen weiterhin möglichst
Würfel entspricht einer Bernoulli-Kette [ 139; 185]. Die untere und obere Grenze wenige Bits zur Berechnung der Zu-
der Länge 3. Jedes der acht möglichen des Annahmebereichs sind in Abb. 8 rot fallszahlen verwendet werden. Für die
Tripel sollte etwa gleich häufig auftre- beziehungsweise grün dargestellt. Das Darstellung des sechsseitigen Würfels
ten. Auftreten aller acht möglichen Tripel mit den Werten im Bereich von „0“ bis
liegt innerhalb des Annahmebereichs. „5“ werden ebenfalls drei Bits benötigt.
Damit der Zufallszahlengenerator für Die Nullhypothese p0 = _18 wird deshalb Es ergeben sich auch hier acht mögli-
den achtseitigen Würfel korrekte Wer- nicht verworfen. che Tripel. Allerdings liegen zwei Tripel
te liefert, darf er nur Werte im Be- nicht im gültigen Wertebereich. Abb. 9
reich von „1“ bis „8“ ausgeben. Hierfür Eine Untersuchung der Stichprobe auf veranschaulicht dies.
werden insgesamt drei Bits ( 22 + 21 + Bernoulli-Ketten der Längen 2 und 3
2 = 7) benötigt. Es werden also zu-
0
liefern wie erwartet keinen Hinweis auf Bei einer genügend großen Stichprobe
nächst Werte von „0“ bis „7“ berechnet, stochastische Abhängigkeit. (siehe Abb. 10) lassen sich die 316 Ereig-
durch Addition von „+1“ ergeben sich nisse für „7“ und „8“ (vgl. Abb. 7) gleich
die gewünschten Werte von „1“ bis „8“. 4.2.3 Ganzzahlige Zufallszahlen in auf die Ereignisse „1“ bis „6“ verteilen.
Hierfür werden dreimal zwei Zerfalls- einem Intervall Hierzu könnte zum Beispiel der erste
zeiten miteinander verglichen. Wurf einer „7“ oder „8“ auf das Ereig-
nis „6“ abgebildet werden. Der zweite
Wurf einer „7“ oder „8“ auf das Ereignis
„5“ und so weiter. Diese Abbildungs-
Tab. 1: Häufigkeitsverteilung der Stichprobe beim Münzwurf
vorschrift gilt jedoch nur für genügend
große Stichproben.
Ereignis Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit
Anschaulich wird dies beim Brettspiel
„Mensch ärgere Dich nicht“ mit der Re-
Kopf (Kopf) = 1967
H3877 (Kopf) = 0,507
h3877
gel, dass der Spieler, welcher eine „6“
würfelt seine Spielfigur auf das Start-
Zahl (Zahl) = 1910
H3877 (Zahl) = 0,493
h3877 feld rücken und noch einmal würfeln
darf. Die Wahrscheinlichkeit für den
“ des Würfels ist P
Startzustand „6Start
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) = _16
(6Start . Diese Wahrscheinlichkeit tiger Zufallszahl wie erwartet benötigt. bzw. Würfelwurf realisiert. Im zweiten
kann mit dem Zufallszahlengenera- Schritt wird das Programm erweitert.
tor unter Verwendung von 3 Bits nicht Bei dem Signifikanztest mit dem Stich-
erreicht werden. Die Wahrscheinlich- probenumfang von n = 976(316 Ereig- 5.1 Ermittlung der Zufallszahlen
keit um anfangs eine „6“ zu generieren, nisse sind ungültig und werden igno- in einem Intervall
liegt bei P(6Start ) = _18oder bei Anwen- riert), dem Signifikanzniveau α = 0,05
dung obiger Abbildungsvorschrift bei und der Nullhypothese p0 = _61 liegen Die Ermittlung jeder ganzzahligen Zu-
P( 6 Start) = _18 + P( 7 Start) + P( 8 Start) = _38. alle sechs Würfelereignisse im Annah- fallszahl in einem abgeschlossenen In-
Deshalb werden die zwei Tripel, die mebereich von [ 140; 186]. tervall erfolgt in drei Schritten. Die
nicht im gültigen Wertebereich liegen, Berechnung wird am Beispiel einer
ignoriert. Das heißt, dass im Falle von 5. Programmierung des sechsstelligen Transaktionsnummer
„7“ oder „8“ eine neue Zufallszahl ge- Zufallszahlengenerators (TAN) erläutert.
neriert wird.
Den Zufallszahlengenerator habe ich 1. Schritt: Auswahl des Intervalls
In Abb. 9 erkennt man, dass von acht mittels Java programmiert. Ich habe
möglichen Ereignissen sechs gültig mich für die Realisierung einer Queue Im mit Java erstellten Programm wer-
sind (75 %). Somit wird erwartet, dass entschieden. Hierfür liefert das Cos- den Zahlen vom Typ „int“ verwen-
für ein gültiges Ereignis durchschnitt- MO-Experiment in der aktuellen Ein- det, daher liegt die untere Grenze bei
lich _68Versuche benötigt werden. Dar- stellung alle 12 Stunden und bei Ab- –2.147.483.648 und die obere Grenze bei
aus folgt, dass für ein gültiges Ereignis bruch die Daten im CSV-Format. 2.147.483.647 [31]. Ein innerhalb dieser
durchschnittlich 3 Bits ∙ _68 = 4 Bits be- Grenzen gewähltes Intervall darf maxi-
nötigt werden. Die Umrechnung der Zustände in Zu- mal 2.147.483.648 Werte umfassen.
fallszahlen erfolgt mittels Binärsystems.
Unter Verwendung der bisherigen Meist werden zur Darstellung von Dezi- Somit ist das Intervall definiert als:
Stichprobe aus Abschnitt 4.2.2 von malzahlen beziehungsweise von ganzen Formel 3.
7891 gemessenen Zerfallszeiten wer- Zahlen 32 Bits (float, int) oder 64 Bits
den 3877 Bits ermittelt. Hiervon sind (double, long) verwendet. Aufgrund der Nachdem ein Intervall gewählt wurde,
976 Ereignisse gültig. 316 Ereignis- beschränkten Menge an Zufallszahlen muss das zu verwendende Intervall be-
se sind ungültig und werden ignoriert wird auf eine Berechnung der Zufalls- stimmt werden. Hierzu werden die In-
(siehe Abb. 10). Das heißt: Formel 2. zahlen mit je 32 Bit verzichtet, statt- tervallschranken verschoben, sodass
dessen wird im ersten Schritt nur eine die untere Intervallschranke gleich null
Durchschnittlich werden 4 Bits pro gül- Darstellung von 1 und 3 Bit für Münz- ist. Es ergibt sich: Formel 4.
Länge des Intervalls = Anzahl der
Elemente: k = ( b − a) + 1
200
185
180
2. Schritt: Bestimmung der kürzesten
160
139 Bernoulli-Kette (Länge der Bitfolge)
140
120
In Abschnitt 4.2.2 wurde am Beispiel
Anzahl
100
des achtseitigen Würfels bzw. in Ab-
80
schnitt 4.2.3 des simulierten Würfels
60
die kürzeste Bernoulli-Kette der Länge
40
3 bestimmt.
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Anschließend muss die kürzest
000 001 010 011 100 101 110 111
mögliche Bernoulli-Kette (Länge der
Augenzahl Bitfolge) bestimmt werden. Diese hat
Binärzahl
für den achtseitigen Würfel bzw. den si-
mulierten Würfel die Länge 3 (siehe Ab-
Abb. 8: Verteilung der Ereignisse des simulierten achtseitigen Würfels.
schnitt 4.2.2).
Die rote Linie entspricht dem unteren Annahmebereich des
zweiseitigen Signifikanztestes und die grüne Linie dem oberen
Annahmebereich. Hierbei gilt für
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n = Länge der Bitfolge
und
k = Anzahl der Elemente des Intervalls
[0; b – a] = Anzahl der gültigen Ereignis-
se in der Bernoulli-Kette:
< k ≤ 2 n
2n−1
Daraus ergibt sich:
n − 1 < log2k ≤ n
Mit 2 n = Anzahl der möglichen Ereignis-
∙ _k für die
2 n
se und 2 n–1< k ergibt sich mit n
Abschätzung nach unten: Abb. 9: Simulation des Wurfs eines sechsseitigen Würfels mit:
0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0.
nk ⇔ _
n2 ≥ _ 1 ≥ _
21n
n
_
2 ∙ k 2 ∙ k k
26
223 ≥ 3
3 3
nötigten Bits für ein gültiges Ereignis 3 ∙ _ ≥ 3∙_
Eingesetzt ergibt sich: zwischen:
Zusammen mit der Abschätzung nach
2n 2n
∙_
n _ 2n
k ≥ n ∙ 2n ≥ n ≤ n ∙_
n k < 2 ∙ n oben:
26 < 3 ∙ _ 2
3 3
Mit 2n = Anzahl der möglichen Ereig- Für verwendete Intervalle der Form 3 ∙ _ 2 < 2 ∙ 3
2
< kergibt sich mit n ∙ _2k
nisseund 2n−1
n
[ 0 ; 2n − 1], zum Beispiel dem achtsei-
für die Abschätzung nach oben: tigen Würfel, gilt die Anzahl der mög- Ergibt sich:
lichen Ereignisse ist gleich der Anzahl
n−1k ⟺ _
2n−1 < _ 1 < _
2 1n−1 2 < 2 ∙ 3
n−1 n
_ der gültigen Ereignisse und somit wer- 3 ≤ n ∙ _
2 ∙ k 2 ∙ k k k
den genau nBits pro Zufallszahl benö-
Eingesetzt ergibt sich: tigt. Wie in Abschnitt 4.2.3 errechnet, be-
nötigt man für ein gültiges Ereignis
2 n
n ∙ _ 2
n
_
k < n ∙ 2n−1 < 2 ∙ n Im Beispiel des sechsseitigen Würfels durchschnittlich:
ergibt die Abschätzung nach unten:
2 = 3 ∙ _68 = 4 Bits
n
Somit liegt der Erwartungswert der be- n ∙ _
k
3. Schritt: Ermittlung und Bewertung
___________
3877 Bits _ Bits _
976 gültige Ereignisse = 3,97 gültiges Ereignis ≈ 4 gültiges Ereignis
Bits
jeder Zufallszahl
Formel 2 Für die Ermittlung der Zufallszahl wer-
den die einzelnen Bits wie in Abschnitt
4.2 aus jeweils zwei Zerfallszeiten er-
mittelt, mit der entsprechenden Zweier-
[a; b]∶= { z ∈ ℤ| − 231 ≤ a ≤ z ≤ b ≤ 231 − 1 und ( b − a) < 231} potenz multipliziert und anschließend
addiert.
Formel 3 n
z0 = ∑2n−i∙ bi
i=1
Für die Bewertung der ermittelten
[0; b − a]∶= {
z0 ∈ ℤ| − 231 ≤ a ≤ z ≤ b ≤ 231 − 1 und ( b − a) < 2 31} ganzzahligen Zufallszahl, wird geprüft,
ob diese im zu verwendenden Inter-
z = z0 + a
vall [0; k] liegt. Ist dies nicht der Fall,
Formel 4 so ist die ermittelte Zufallszahl ungül-
tig, wird ignoriert und Schritt drei wird
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wiederholt. Liegt die Zufallszahl im zu
verwendenden Intervall, so ist sie gül- 200
186
tig und die untere Schranke wird hinzu 180
addiert (z = z0 + a). 160
140
140
5.2 Zufallszahlen für 120
Transaktionsnummern
Anzahl
100
80
Ein alltagsbezogenes Beispiel für die 60
Verwendung von nichtdeterministi- 40
schen Zufallszahlen sind Transaktions- 20
nummern (TAN), welche vor allem für 0
Onlinebanking genutzt werden und so- 1 2 3 4 5 6 7 8
mit nicht vorhersagbar sein dürfen. Die 000 001 010 011 100 101 110 111
Augenzahl
Generierung einer sechsstelligen TAN Binärzahl
wird anhand der oben genannten Vor-
gehensweise verdeutlicht. Abb. 10: Verteilung der Ereignisse für den simulierten sechsseitigen
Würfel. Die rote Linie entspricht dem unteren Annahmebereich des
1. Auswahl des Intervalls: zweiseitigen Signifikanztestes und die grüne Linie dem
oberen Annahmebereich.
Das Intervall [0; 999.999] wird ausge-
wählt, es ist keine Verschiebung um die ge sechsstellige TAN von 214898. Zerfälle) auf. Es konnten 3877 Pärchen
untere Schranke nötig. Aus den 3877 Pärchen zur Bitermitt- zur Bitermittlung verwendet werden.
lung (siehe Abschnitt 4.2) konnten 184
2. Bestimmung der kürzesten gültige TANs ermittelt werden. Für die dynamische Bitermittlung wer-
Bernoulli-Kette (Länge der Bitfolge): den die Myonenzerfälle nicht direkt in
Die beschriebene Vorgehensweise wur- Pärchen gruppiert. Wenn Δt zweier auf-
2n−1
< 1.000.000 ≤ 2 n de von mir im programmierten Zufalls- einanderfolgender Myonenzerfälle Null
zahlengenerator für Intervalle ganz- ist, so wird die letzte der beiden Zer-
n − 1 < log21.000.000 ≤ n zahliger Zahlen umgesetzt. Zusätzlich fallszeiten nicht berücksichtigt und die
kann über eine zuvor eingeladene Datei nächste Zerfallszeit mit Δt ≠ 0wird mit
Daraus folgt: n
= 20 mit Myonenzerfällen eine Statistik der der ersten verglichen. Die Pärchen bil-
absoluten Häufigkeiten der generierten den sich daher dynamisch. Dadurch
Der Erwartungswert der benötigten Zufallszahlen für Intervalle bis zu einer werden nur noch 68 Zerfälle nicht be-
Bits errechnet sich zu: Länge von 32 ausgegeben werden. rücksichtigt (0,86 % aller Zerfälle). Es
bleiben 3911 Pärchen (Bits).
2 = 20 ∙ _
n
n ∙ _ 1.000.000
1.048.576
= 20,97 Bits 5.3 Dynamische Bitermittlung
k
Neben der Anzahl an simulierten Er-
Somit werden im Durchschnitt etwa Damit möglichst wenige Myonenzerfäl- eignissen beim Münzwurf und dem
11 Bits weniger benötigt als beim Da- le für die Ermittlung von Bits benötigt Wurf eines achtseitigen Würfels ändern
tentyp „int“ (32 Bits). werden, habe ich das in Abschnitt 4.2 sich auch deren Verteilung. Dies lässt
beschriebene Verfahren zur Bitermitt- sich mithilfe des von mir programmier-
3. Ermittlung und Bewertung der Zu- lung modifiziert. Wie in Abschnitt 4.2 ten Statistikmoduls auswerten. Die dar-
fallszahl: beschrieben wird die Differenz zweier auf beruhenden Ergebnisse der Signifi-
aufeinanderfolgender, voneinander un- kanztests (analog siehe Abschnitt 4.2.1
Eine Bitfolge der Messung lautet: abhängiger Zerfallszeiten zur Bestim- und 4.2.2) liegen wie erwartet alle im
00110100011101110010 mung eines Zustands (Bits) verwendet. Annahmebereich.
20
Bisher wurden die Myonenzerfälle, wie
z = ∑
220−i ∙ bi = 214898 bei der Auswertung über Excel, von Be- 6. Zusammenfassung
i=1
ginn an in Pärchen gruppiert (statische und Ausblick
2 14898liegt im Intervall von Ermittlung). Sollte Δt eines Pärchens
[ 0 ; 999999]
u nd ergibt eine gülti- Null sein, so wurde dieses Pärchen bei Die Auswertung der Messergebnis-
der Bitermittlung nicht berücksichtigt. se war anspruchsvoller als zuvor ange-
Dies trat bei 68 Pärchen (1,72 % aller nommen, da die zur Verfügung gestellte
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Version von „muonic“ keinen Fit berech- lengenerator berechnet Pseudozufalls-
nen kann und so die Auswertung über zahlen mit der Basis eines zufälligen
Origin® durchgeführt werden musste. Startwerts. Dieser Startwert wird über
Die hier bestimmte mittlere Lebensdau- physikalische Prozesse, also die gemes-
er beträgt τμ = 2,1517 ± 0,1017 μs. Der senen Myonenzerfallszeiten, generiert.
ermittelte Wert besitzt vom Literatur- Wenn genügend Zerfälle detektiert
wert eine prozentuale Abweichung von wurden, kann ein neuer Startwert gebil-
2,568 % und liegt innerhalb eines Feh- det werden.
lerintervalls.
Danksagung
Die Hypothese, dass Myonenzerfäl-
le als Basis für einen nichtdeterminis- Ich bedanke mich herzlich bei Timo
tischen Zufallszahlengenerator dienen Hergemöller am Gymnasium Wolbeck
können, wurde untersucht und hat sich aus der Physik AG, der mich bei mei-
bestätigt. Anschließend habe ich einen nem Jugend-forscht-Projekt betreut hat.
solchen Zufallszahlengenerator mit- Ebenso bedanke ich mich beim Netz-
tels Java programmiert. Das Programm werk Teilchenwelt, welches es ermög-
kann ganzzahlige Zufallszahlen in ab- lichte, verschiedene Experimente zum
geschlossenen Intervallen ausgeben. Detektieren von kosmischer Strahlung
Ein ebenfalls erstelltes Statistikpro- auszuleihen. Dies war dank Dr. Volker
gramm ermittelt die absoluten Häufig- Hannen, von der Westfälischen Will-
keiten der generierten Zufallszahlen. helms-Universität Münster problem-
los möglich. Ich bedanke mich außer-
Im CosMO-Experiment sind dem bei Carolin Schwerdt (CosmicLab,
20 × 20 cm2 große Szintillatorplatten DESY) für hilfreiche Diskussionen.
verbaut. Ein Nachteil der nichtdetermi-
nistischen Zufallszahlengeneratoren ist,
dass diese auf physikalischen Prozessen
beruhen. Diese bestimmen die Anzahl
der Zufallszahlen, die innerhalb einer
Zeitspanne generiert werden können.
Damit dieser Nachteil nicht von großer
Bedeutung ist, könnten größere Detek-
torplatten genutzt werden. Dadurch ist
die Myonenrate höher und es können
mehr Myonenzerfälle pro Zeiteinheit
detektiert werden.
Damit mehr Zufallszahlen pro Zeit-
einheit generiert werden können, ist es
möglich, ohne Änderung am CosMO-
Experiment, einen Hybridzufallszah-
lengenerator zu verwirklichen. Hierbei
handelt sich es um eine Kombination
aus einem deterministischen und einem
nichtdeterministischen Zufallszah-
lengenerator. Ein hybrider Zufallszah-
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von Schwierigkeiten, Ergebnisse, Gleichungen sind stets als ■ Neulingen im Publizieren werden
Schlussfolgerungen, Diskussion, Größengleichungen zu schreiben. als Vorbilder andere Publikationen,
Liste der zitierten Litera tur. In z. B. hier in der Jungen Wissenschaft,
der Einleitung sollte die Idee zu ■ Die Literaturliste steht am Ende der empfohlen.
der Arbeit beschrieben und die Arbeit. Alle Stellen erhalten eine
Aufgabenstellung definiert werden. Nummer und werden in eckigen
Außerdem sollte sie eine kurze Klammern zitiert (Beispiel: Wie
Darstellung schon bekannter, in [12] dargestellt …). Fußnoten
ähnlicher Lösungsversuche enthalten sieht das Layout nicht vor.
(Stand der Literatur). Am Schluss
des Beitrages kann ein Dank an ■ Reichen Sie Ihren Beitrag sowohl in
Förderer der Arbeit, z. B. Lehrer und ausgedruckter Form als auch als PDF
doi: 10.7795/320.202111Sie können auch lesen
