Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl

Die Seite wird erstellt Henri Peter
 
WEITER LESEN
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
Paper 11 / 2021         doi: 10.7795/320.202111

                                                                  Verlag:
                                                                  Physikalisch-
                                                                  Technische
                                                                  Bundesanstalt

     JungforscherInnen publizieren
     online | peer reviewed | original

                                                                Mathematik &
                                                                 Informatik

Durch kosmische                                                             DIE JUNGFORSCHERIN

Strahlung zur
Zufallszahl
Langzeitmessung von Myonenzerfällen
als Basis für einen nichtdeterministischen
Zufallszahlengenerator

In der kosmischen Strahlung entstehen Myonen, die spontan                   Hannah Belle Neuwirth (2001)
zerfallen. Mithilfe des CosMO-Experiments lassen sich                       Gymnasium Wolbeck,
diese Zerfälle detektieren. In dieser Arbeit untersuche                     Münster
ich, ob die gemessenen Zerfälle als Basis für einen                         Eingang der Arbeit:
nichtdeterministischen Zufallszahlengenerator angewendet                    16.12.2019
werden können. Beispielhaft werden Zufallszahlen, wie sie für               Arbeit angenommen:
Transaktionsnummern benötigt werden, generiert.                             13.7.2020
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
Informatik | Seite 2

                                                                                      Atmosphäre zusammenstößt [4]. Diese
                                                                                      zerplatzen und es entsteht ein Schauer
                                                                                      von Sekundärteilchen in Richtung Erd-
                                                                                      boden. Durch verschiedene Prozesse
                                                                                      entstehen neutrale Pionen (π0, in Abb. 1
                                                                                      hellblau) oder geladene Pionen (π−, π+, in
                                                                                      Abb. 1 grün). Dies sind Mesonen, also
                                                                                      eine Zusammensetzung aus Quarks und
                                                                                      Antiquarks [2, 5, 6]. Geladene Pionen
                                                                                      haben eine mittlere Lebensdauer von
                                                                                      2,6033 ± 0,0005 · 10 –8 s, dies ist etwa
                                                                                      hundertmal kürzer als die mittlere Le-
                                                                                      bensdauer von Myonen [7].

                                                                                      Das positiv geladene Pion zerfällt in
                                                                                      ein Anti-Myon und ein Myon-Neutrino
                                                                                      [8]:

Durch kosmische                                                                       ​π​+​ → ​μ​+​ + ​νμ​ ​

Strahlung zur
                                                                                      Das negativ geladene Pion zerfällt in ein
                                                                                      Myon und ein Myon-Anti-Neutrino [8]:
                                                                                                       _

Zufallszahl
                                                                                      ​π​−​ → μ
                                                                                              ​ ​−​ + ν​ μ​ ​

                                                                                      „Da das Myon starker relativisti-
                                                                                      scher Zeitdilation unterliegt und nicht
Langzeitmessung von Myonenzerfällen als Basis für                                     nach der starken Wechselwirkung in-
einen nichtdeterministischen Zufallszahlengenerator                                   teragiert, kann es die Erdatmosphä-
                                                                                      re durchdringen und am Boden nach-
                                                                                      gewiesen werden“ [6]. Auf dem Boden
                                                                                      können, über ein kilometergroßes Ge-
1. Einleitung                              2. Einführung in die                       biet verstreut, nur noch Luftschauer be-
                                              Astroteilchenphysik                     stehend aus Elektronen, Positronen (in
In der kosmischen Strahlung entstehen                                                 Abb.1 hellblau) und Myonen, Anti-Myo-
Myonen, die spontan zerfallen. Mithil-     2.1 Kosmische Strahlung                    nen (in Abb. 1 pink) nachgewiesen wer-
fe des CosMO-Experiments lassen sich                                                  den (Neutrinos sind kaum nachzuwei-
diese Zerfälle detektieren. Aufgrund       Die kosmische Strahlung ist ein ener-      sen; in Abb. 1 pink gestrichelt) [1, 3, 5].
des Aufbaus des Experiments entste-        giereicher Hagel subatomarer Teilchen.
hen in der mittleren Detektorplatte        90 Prozent der primären kosmischen         2.2 Myonen
zwei Pulse. Deren zeitlicher Abstand       Strahlung besteht aus Protonen. Die
wird als Zerfallszeit bezeichnet. Die so   restlichen Primärteilchen sind haupt-      Das Myon (µ−) gehört zu der Familie der
erhaltenen Zerfallszeiten werden in die-   sächlich zweifach positiv geladene He-     geladenen Leptonen. Es ist elektrisch
ser Arbeit als Basis für einen nichtde-    liumkerne (Alphateilchen) und Elek-        negativ geladen. Sein Antiteilchen, das
terministischen Zufallszahlengenerator     tronen beziehungsweise Positronen [1].     Anti-Myon (µ+), ist elektrisch positiv ge-
(TRNG; True Random Number Genera-          Die Energien dieser Teilchen reichen       laden [9]. Es lässt sich in die zweite Ge-
tor) verwendet. Nichtdeterministische      von 100 GeV (1011 eV) bis über 100 EeV     neration des Standardmodells einord-
Zufallszahlen, auch physikalische Zu-      (1020 eV) [2]. „Diese Energien sind hun-   nen und ist damit kein Bestandteil von
fallszahlen genannt, werden mittels        dert Millionen Mal größer als die Ma-      natürlicher Materie. Das Myon besitzt
physikalischer Prozesse gewonnen.          ximalenergie des Large Hadron Colli-       eine Ruhemasse von 105,6583745 MeV
                                           der am Forschungszentrum CERN“ [3].        [10] und besitzt damit eine mehr als
                                           Abb. 1 zeigt ein Primärteilchen, wel-      zweihundertmal größere Masse als das
                                           ches in zwanzig bis dreißig Kilome-        Elektron.
                                           ter Höhe mit einem Kern der irdischen

                                                    doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
JUNGE wissenschaft 11
                                                                15 / 21
                                                                     18 | Seite 3

Es ist ein instabiles Teilchen und kann
spontan in einen Zustand kleinerer
Energie übergehen. Dieser Übergang
wird auch Zerfall genannt. „Elementar-
teilchen – genau wie Atomkerne – al-
tern nicht: Zu jeder Zeit ist die Wahr-
scheinlichkeit für eine Umwandlung
gleich groß“ [11]. Das freie Myon zer-
fällt in ein Elektron, ein Elektron-An-
ti-Neutrino und in ein Myon-Neutrino
                      _
[8]: ​μ​−​ → ​e​−​ + ν​ e​​ + ​νμ​ ​

Im Gegensatz hierzu zerfällt das Anti-
Myon in ein Positron, ein Elektronen-
Neutrino und in ein Myon-Anti-Neut-
                                   _
rino [8]: ​μ​+​ → ​e​+​ + ​νe​​ + ν​ μ​ ​​

Werden viele dieser Zerfälle gemessen,
kann daraus über die exponentiellen
Zerfallsgesetze die mittlere Lebens-
dauer errechnet werden. Die mittlere
Lebensdauer gibt an, wie lange ein in-
stabiles Teilchen durchschnittlich exis-
tiert. Da es sich hierbei um statistische
Werte handelt, kann man die Lebens-
dauer eines einzelnen Teilchens nicht
vorhersagen, es lassen sich hierfür nur
Wahrscheinlichkeiten angeben. Bei ei-
ner exponentiellen Abnahme der Zer-
fallszeiten ist die mittlere Lebensdauer
die Zeitspanne, nach der die Größe auf
den Bruchteil ​1_e​ ≈ 36,8 %​des anfängli-
chen Wertes abgenommen hat [12].

Bei Myonen beträgt die mittlere Lebens-
dauer ​τ​μ​​ = 2,1969803 ± 0,0000022 μs​
[13]. Für eine solch genaue Messung
wurden 2011 nicht die sekundären
Myonen der kosmischen Strahlung,
sondern Anti-Myonen der Beschleuni-
gungsanlage des Paul-Scherrer-Insti-
tuts, des größten Forschungsinstitut für
Natur- und Ingenieurwissenschaften
in der Schweiz, verwendet. Diese An-
ti-Myonen wurden von speziellen Tar-
gets des MuLan-Experiments (Muon
Lifetime Analysis) aufgefangen bis die-
se zerfielen. 170 Detektoren um die Tar-
gets ermöglichten es, die entstehenden
Positronen (Zerfallsprodukte) zu detek-
tieren. Es wurden Billionen von Zerfäl-       Abb. 1: Entstehung von Teilchenschauern [4]
len detektiert. Im Folgenden wird zwi-
schen Myon und Anti-Myon nicht mehr
ausdrücklich unterschieden.

                                                    doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
Informatik | Seite 4

                                                                                       tektorpatten bestimmt werden (siehe
                                                                                       Abb. 3): Das zu messende Myon fliegt
                                                                                       durch die obere Detektorplatte hin-
                                                                                       durch und verursacht einen Puls. In
                                                                                       der zweiten Platte erzeugt das Myon ei-
                                                                                       nen Puls und zerfällt anschließend in
                                                                                       ein Elektron und zwei Neutrinos. Das
                                                                                       Elektron wird detektiert und erzeugt ei-
                                                                                       nen zweiten Puls. In der dritten Detek-
                                                                                       torplatte ist kein Puls messbar, da das
                                                                                       Elektron nicht genug Energie besitzt,
  Abb. 2: Aufbau des CosMO-Experiments                                                 um eine weitere Platte zu durchdringen.

                                                                                       Das Auswerteprogramm „muonic“ er-
3. Langzeitmessung                         ein Netbook mit dem Messprogramm            mittelt nun die Differenz zwischen
   sekundärer Myonen                       „muonic“ [14, 15].                          dem Myonenpuls und dem Elektronen-
                                                                                       puls im mittleren Detektor [21]. Diese
Mit dem CosMO-Experiment (Cosmic           3.2 Versuchsbeschreibung                    Zeitdifferenz wird als Zerfallszeit be-
Muon Observer) wurden Messungen                                                        zeichnet. Um ausreichend viele Myo-
vom 1. Oktober bis zum 22. November        Trifft ein geladenes Teilchen auf eine      nenzerfälle zu registrieren, sollte im
2018 durchgeführt. Die Messkompo-          Szintillatorplatte (aus dem Lateini-        CosMO-Experiment über mehrere Tage
nenten sowie die Auswerteeinheit wur-      schen: scintillare ‚flackern‘) werden       gemessen werden.
den von der Westfälischen Wilhelms-        durch Stoßprozesse die Moleküle des
Universität Münster ausgeliehen. Das       Szintillatormaterials angeregt. Beim        Da die Bauteile thermisch rauschen,
Experiment selbst ist vom DESY inner-      Übergang aus dem Anregungszustand           werden durch den Pulshöhenanalysator
halb des Astroteilchen-Projekts für das    in den Grundzustand wird die Anre-          auch dann elektronische Signale ausge-
Netzwerk Teilchenwelt entwickelt wor-      gungsenergie mittels Photonen wieder        wertet, wenn kein geladenes Teilchen
den [14].                                  abgegeben. [15, 16]. Im Versuch ist jede    durch den Detektor geflogen ist. Daher
                                           Szintillatorplatte ​200 × 200 × 12,5 mm³​   muss eine Schwellspannung für die Pul-
Es wurden mehrere Langzeitmessungen        groß und besteht aus „EJ-200 Plastik-       se festgelegt werden. Mit dieser kann
durchgeführt. Dabei wurden die im De-      szintillatormaterial“ [17]. Mittels der     die Rate an thermischen Rauschsigna-
tektor zerfallenden Myonen erfasst. Die    neun Lichtleiter pro Platte gelangen die    len, welche die Messung verfälschen,
Zerfallszeiten der Myonen wurden von       Photonen zu dem Multi Pixel Photon          minimiert werden.
dem Programm „muonic“ ausgewiesen.         Counter (MPPC). Hier werden durch
Dies ermöglichte die Bestimmung der        die Photonen Elektronen über den äu-        Das Experiment muss zudem zwischen
mittleren Lebensdauer.                     ßeren lichtelektrischen Effekt ausgelöst.   Myonen und Elektronen aus der kosmi-
                                           Diese werden dann mittels eines elekt-      schen Strahlung unterscheiden. Die De-
3.1 Versuchsaufbau                         rischen Feldes in Richtung Dynode be-       tektorplatten können dies nicht direkt.
                                           schleunigt und lösen ein Vielfaches an      Diese detektieren alle geladenen Teil-
Abb. 2 zeigt den Aufbau des Experi-        Photoelektronen aus, sodass Elektro-        chen. Die Energie eines Elektrons reicht
ments. Die drei Detektorplatten liegen     nenkaskaden entstehen. An der Anode         jedoch nicht aus, um mehr als eine
während des Versuchs aufeinander und       können diese Elektronen als Stromstoß       Platte zu passieren. Elektronen erzeu-
bestehen jeweils aus einer Szintillator-   gemessen und mithilfe eines Pulshö-         gen also nur in einer Platte einen Puls.
platte, neun Lichtleitern, einem Silizi-   henanalysators ausgewertet werden [17,      Durch radioaktive Zerfälle in der Luft
um-Photomultiplier von HAMAMAT-            18, 19]. Obwohl ein Großteil der sekun-     könnten ebenso Alphateilchen an einer
SU PHOTONICS Deutschland GmbH              dären Myonen durch alle drei Szintilla-     Platte detektiert werden, diese können
und einem Hochspannungsmodul von           torplatten fliegt ohne zu zerfallen, las-   aber die Detektorhülle aus Aluminium
iseg. Außerdem werden folgende Kom-        sen sich bei einer Langzeitmessung          nicht passieren [11].
ponenten benötigt: drei Lemokabel          dennoch einige Myonenzerfälle detek-
(Hochfrequenzkabel), drei Lemo-BNC-        tieren.                                     3.3 Langzeitmessungen
Adapter, 5 V-Dreifachverteiler, 5 V-
Netzteile, USB-Gerätekabel, DAQ-Kar-       Zerfällt ein Myon, so kann die Zerfalls-    Im Zeitraum vom 1. Oktober bis zum 22.
te (Data-Acquisition-Karte; Bindeglied     zeit mittels der drei gestapelten De-       November 2018 wurde während meh-
zwischen Detektor und Computer) und                                                    rerer Langzeitmessungen im Durch-

                                                    doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
JUNGE wissenschaft 11
                                                                             15 / 21
                                                                                  18 | Seite 5

schnitt alle sechs Minuten ein Myonen-
zerfall registriert. Insgesamt wurden
7891 Myonenzerfälle detektiert

Zuerst wurde eine Langzeitmessung
mit 2763 Myonenzerfällen ausgewertet.
Diese ergab eine mittlere Lebensdauer
von ​τμ​​ = ​1,9856​ ​±​ ​0,1344​ μs​. Dieses Er-
gebnis stimmt innerhalb von zwei Feh-
lerintervallen mit dem Literaturwert
von​ ​τμ​​ = 2,1969803 μs​überein und be-
sitzt eine prozentuale Abweichung von​
                                                            Abb. 3: Registrierte Pulse in den drei Szintillatorplatten
3,510 %​.                                                   bei Detektion eines Myons [20]

Im Folgenden wird nun eine weitere
Langzeitmessung genauer betrachtet.                      der Methode der kleinsten Quadrate                 Der in Abb. 4 angegebene Wert „Ge-
Ziel dieser Vergleichsmessung ist eine                   zur Lösung nichtlinearer Ausgleichs-               samt“ in den Tabellen zu den verschie-
Verbesserung zur vorherigen Messung,                     probleme [21, 22].                                 denen Fits entspricht der Anzahl der
sodass sich eine mittlere Lebensdauer,                                                                      Myonenzerfälle, die sich aus dem Fit
welche innerhalb eines Fehlerintervalls                  Im Intervall [0; 0,5), also den ersten zwei        ergeben. Hierzu wird die Exponential-
zum angegebenen Literaturwert liegt,                     Klassen, stimmt die Anzahl der gemes-              Funktion von ​0​bis ​∞​integriert. Da jede
errechnen lässt.                                         senen Zerfälle aufgrund des Rauschens              Klasse die Breite ​0,25 µs​hat und ​t​ die
                                                         nicht mit dem Verlauf einer Exponen-               Einheit ​1 µs​aufweist, ist es notwendig,
Vom 11.11.2018 bis 22.11.2018 wurden                     tial-Funktion überein. Da in der Klas-             mit 4 zu multiplizieren.
2788 Zerfälle gemessen. Damit die Da-                    se [14; 14,25) nur ein Zerfall gemessen
ten ausgewertet werden können, wird                      wurde und in den folgenden Klassen                 Daraus folgt: Formel 1
zunächst ein Histogramm mit Origin®                      wieder mehrere Zerfälle detektiert wur-
erstellt. Hierzu werden die einzelnen                    den, kann für einen Fit das größte Inter-          Für den grünen Fit ergibt sich damit​
Zerfälle in Klassen zusammengefasst.                     vall mit [0,5; 14) gewählt werden. Dieser          Gesamt = 2991,2307 ± 128,5838​. Da​
Jede Klasse umfasst die Zerfälle inner-                  Fit ist in der Abb. 4 grün dargestellt und         2788​Myonenzerfälle erfasst wurden,
halb von 0,25 µs, also z. B. von 2 ​µs​ bis              umfasst 92,50 % der gemessenen Wer-                stimmt dieser Wert innerhalb von zwei
2,25 µs. Bei kleineren Intervallen treten                te. Die ermittelte mittlere Lebensdauer            Fehlerintervallen mit G
                                                                                                                                  ​ esamt​ überein.
Intervalle ohne Messwerte auf, sodass                    unter Berücksichtigung des Intervalls
ein Fit über Origin® nicht möglich ist. In               [0,5; 14) beträgt ​τ​ μ​​ = 2,1517 ± 0,1017 μs​.   4. Zufallszahlengenerator
Abb. 4 sind auf der x-Achse die Zerfalls-
zeiten in Mikrosekunden und auf der y-                   „Der Verlauf der Exponential-Funktion              Im weiteren Verlauf des Projekts un-
Achse die Anzahl an zerfallenen Myo-                     ist in jedem Abschnitt der gleiche und             tersuche ich die Anwendungsmöglich-
nen in der jeweiligen Klasse dargestellt.                unterscheidet sich prinzipiell nur durch           keit der gemessenen Zerfallszeiten als
                                                         den Anfangswert“ [11]. Dadurch kann                Basis für einen nichtdeterministischen
Da das allgemeine Zerfallsgesetz gilt,                   auch ein anderes und somit kleineres               Zufallszahlengenerator. In der von mir
wird für die Regression (Fit) folgende                   Intervall für den Fit verwendet wer-               programmierten Anwendung wer-
Funktion gewählt:                                        den. Es wurde zusätzlich das Intervall             den Zufallszahlen für Münzwürfe und
                                                         [1,25; 14) gewählt (siehe Abb. 4, blau).           Würfe eines achtseitigen Würfels gene-
                                                  −t
          f​ (​ t)​ = A ∙ ​e​−λ ∙ t​ = A ∙ ​e​​ ​τ​​​​
                                                   _
                                                    μ    Dieser blaue Fit umfasst 74,89 % der Wer-          riert. In Abschnitt 4.2.3 folgt dann die
                                                         te und liefert ​τ​μ​​ = 2,0468 ± 0,1051 μs​.       Erweiterung auf ganzzahlige Zufalls-
Lambda ​λ​ist hierbei die Zerfallskons-                  Die bessere Annäherung an den Lite-                zahlen in beliebigen Intervallen.
tante und ​τμ​​die mittlere Lebensdauer.                 raturwert liefert jedoch der grüne Fit,
                                                         der 92,50 % der gemessenen Werte um-               4.1 Allgemeine
                 ​1 ​
Es gilt: ​τμ​​ = _                                       fasst. Sie stimmt innerhalb von einem                  Beschreibung von
                   λ
                                                         Fehlerintervall mit dem Literaturwert                  Zufallszahlengeneratoren
Für die Auswertung wurde der Ite-                        von​ ​τμ​​ = 2,1969803 μs​überein und be-
rationsalgorithmus „Levenberg Mar-                       sitzt eine prozentuale Abweichung von              Zufallszahlengeneratoren lassen sich in
quardt“ genutzt. Dies ist ein numeri-                    2,568 %.                                           zwei Kategorien unterteilen: die deter-
scher Optimierungsalgorithmus mit                                                                           ministischen (Random Number Gene-

                                                                    doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
Informatik | Seite 6

                                                                                                             generatoren werden zur Erzeugung
                                                                                                             von kryptografischen Schlüsseln z. B.
                                                                                                             Transaktionsnummern verwendet.

                                                                                                             4.2 Basis für einen
                                                                                                                 nichtdeterministischen
                                                                                                                 Zufallszahlengenerator

                                                                                                             Die gemessenen Werte sollen zum Bau
                                                                                                             eines nichtdeterministischen Zufalls-
                                                                                                             zahlengenerators verwendet werden.
                                                                                                             Ziel ist es, gleichverteilte Zufallszahlen
                                                                                                             zu liefern. Die Zerfallszeiten der Myo-
                                                                                                             nen sind exponential und nicht gleich-
                                                                                                             verteilt. Somit können die Werte nicht
                                                                                                             direkt als Zufallszahlen verwendet wer-
                                                                                                             den.

                                                                                                             Im Artikel von Fourmilab (radioakti-
                                                                                                             ve Zerfälle im Geiger-Müller-Zählrohr)
  Abb. 4: Vergleichsmessung mit 2788 Zerfällen und                                                           werden die Zeiten zwischen den Zerfäl-
  drei verschiedenen Fitfunktionen
                                                                                                             len gemessen [29]. Hierfür benötigt man
                                                                                                             zwei Zerfälle für ein Zeitintervall. Zwei
rator RNG / Pseudo Random Number           liebig langen Folge von bisher generier-                          unabhängige Zeitintervalle werden für
Generator PRNG) und die nichtdeter-        ten Zahlen nicht von Nutzen, denn die                             einen Zustand („0“ oder „1“) vergli-
ministischen (True Random Number           nächste Zahl lässt sich nicht vorhersa-                           chen. Pro Zustand werden also 4 Zer-
Generator TRNG). Deterministische          gen [23]. „Nichtdeterministisch ist ein                           fälle benötigt. Statt die Zeiten zwischen
Zufallszahlengeneratoren      erzeugen     Zufallszahlengenerator dann, wenn er                              den Zerfällen zur Berechnung heran-
Zahlen, die zwar zufällig aussehen, je-    auch bei gleichen Ausgangsbedingun-                               zuziehen, habe ich mir überlegt, die ge-
doch durch einen deterministischen         gen unterschiedliche Werte liefert“ [27].                         messenen Zerfallszeiten zu verwenden.
Pseudoalgorithmus, dem ein Startwert                                                                         Daher betrachte ich im Folgenden die
zugrunde liegt, generiert werden. Wird     Allein die Art des Zufallszahlengene-                             Differenz zweier aufeinanderfolgender,
ein Startwert mehrfach verwendet, ent-     rators sagt jedoch nichts über die Güte,                          voneinander unabhängiger Zerfallszei-
steht eine Reproduktion der Pseudo-        also die Qualität der Zufallszahlen aus.                          ten zur Bestimmung eines Zustands. Es
zufallszahlenreihe. Sind der Algorith-     Die Gütetests ermitteln, in wie weit die                          wird also verglichen, ob das erste oder
mus sowie die internen Zustände, mit       zu bewertenden Zufallszahlen von Zu-                              das zweite detektierte Myon eine län-
denen die Zahlen erstellt wurden, be-      fallszahlen eines idealen Zufallszah-                             gere Zerfallszeit besitzt. Dies halbiert
kannt, so können alle Zahlen vorherge-     lengenerators abweichen. Dabei wird                               die Zeitspanne, in der zwei Zufallszah-
sagt werden, die durch Aufrufe des Al-     überprüft, ob die Zufallszahlen in dem                            len generiert werden können. Alle 7891
gorithmus' zurückgegeben werden [23,       gewählten Intervall gleichmäßig auf-                              gemessenen Myonenzerfälle können
24, 25].                                   tauchen [28, 27].                                                 als Basis für einen nichtdeterministi-
                                                                                                             schen Zufallszahlgenerator verwendet
Nichtdeterministische Zufallszahlen,       Nichtdeterministische                Zufallszahlen-               werden, da es nicht auf die tatsächliche
auch physikalische Zufallszahlen ge-
nannt, werden mittels physikalischer
Prozesse gewonnen. Physikalische Ver-
fahren für eine solche Realisierung sind                        im​​​∫0a​​f​(t)​dt =​
                                                ​Gesamt = 4 ∙ ​la→∞
zum Beispiel atomare Zerfallsvorgänge
in einem bestimmten Zeitintervall, das          ​4 ∙ [​ ​la→∞
                                                          im​​[​ F​(a)​ − F​(0)​]​]​ = 4 ∙ [​ ​la→∞              im​​​F(​ 0)​]​ =​
                                                                                                im​​​F(​ a)​ − ​la→∞
Ziehen von Lottozahlen oder das Wer-
fen eines Würfels [26, 24]. Eine Vor-           ​4 ∙ ​[0 − (​ − A ∙ ​τ​µ​)​]​
hersage der Ergebnisse ist nicht mög-
lich, da die Zufallszahlen aperiodisch       Formel 1
sind. Dadurch ist das Wissen einer be-

                                                     doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
JUNGE wissenschaft 11
                                                                15 / 21
                                                                     18 | Seite 7

                                                                                       Aus den gemessenen Zerfallszeiten las-
                                                                                       sen sich 3877 Münzwürfe simulieren
                                                                                       (Auswertung über Excel). Aus der vor-
                                                                                       liegenden Stichprobe ergeben sich die
                                                                                       Häufigkeiten in Tab. 1.

                                                                                       Im Folgenden wird über einen zweisei-
                                                                                       tigen Signifikanztest überprüft, ob die
                                                                                       generierten Zufallszahlen hinreichend
                                                                                       gleichverteilt sind. Die Trefferwahr-
                                                                                       scheinlichkeit für „Kopf “ wird wie bei
  Abb. 5: Differenz unabhängiger Zerfallszeiten
                                                                                       einem realen Münzwurf mit ​p​0​​ = 0,5​
                                                                                       angenommen (Nullhypothese). Die-
Zerfallsdauer, sondern auf die Differenz    keit von (L1, L2) zu (L2, L3) nicht mehr   se Nullhypothese wird erst verworfen,
zweier Zerfallszeiten Δt, ankommt.          gegeben ist, da beide den Wert L2 ver-     wenn in der vorliegenden Stichprobe
                                            wenden.                                    Ergebnisse beobachtet werden, die bei
Ist Δt positiv (z. B. Abb. 5; Δt von L1                                                Gültigkeit der Hypothese höchst selten
und L2) ergibt sich der Zustand „1“. Ist    4.2.1 Zufallszahlen für Münzwürfe          auftreten würden. Dies lässt sich mit-
Δt jedoch negativ (z. B. Abb. 5; Δt von                                                hilfe eines zweiseitigen Signifikanz-
L3 und L4) ergibt sich der Zustand „0“.     Bei einer idealen Münze treten nur die     tests der Nullhypothese ​       ​p0​​ = 0,5​ er-
Sollten zwei aufeinanderfolgende Myo-       Ereignisse „0“ (Kopf) und „1“ (Zahl)       mitteln. Das Signifikanzniveau wird
nen die gleiche Zerfallszeit aufweisen,     mit derselben Wahrscheinlichkeit von       auf ​α = 0,05 (​ ​5 %​)​ festgelegt. Der An-
werden diese beiden Zerfälle für den        jeweils ​p = 0,5​auf. Da nur zwei Ergeb-   nahmebereich ​[​a; b​]​ der Nullhypothese
Zufallszahlgenerator nicht berücksich-      nisse auftreten, handelt es sich um ein    wird über die kumulierte Wahrschein-
tigt. Dies ist bei 68 aller ausgewerteten   Bernoulli-Experiment. Für diese Abbil-     lichkeit von X der kleinsten Zahlen von
Pärchen (1,72 % aller Zerfälle) zutref-     dung genügt ein Bit je Münzwurf (siehe     a und b bestimmt. Hierfür gilt:
fend. Es bleiben 3877 Pärchen aus den       Abb. 6). Es werden also zwei aufeinan-
Messungen.                                  derfolgende Zerfallszeiten miteinander     ​P(​ X ≤ a)​ > 2_α​​ und P
                                                                                                                ​ (​ X ≤ b)​ > 1 − 2_α​​
                                            verglichen.
Die Umrechnung der Zustände in Zu-                                                     Für einen Stichprobenumfang von​
fallszahlen erfolgt mittels Binärsys-       Nach dem Gesetz der großen Zahlen          n = 3877​simulierter Münzwürfe ent-
tems. Das heißt für jedes Bit werden        nähern sich die relativen Häufigkeiten     spricht der Annahmebereich der Null-
zwei Myonenzerfälle benötigt.               der jeweiligen Ereignisse den theoreti-    hypothese [​​​1877; 2000​]​​. Somit liegt die
                                            schen Wahrscheinlichkeiten der jewei-      Anzahl der Ereignisse für „Kopf “ und
Eine weitere Erhöhung der Anzahl an         ligen Ereignisse an, wenn das Zufalls-     für „Zahl“ innerhalb des Annahme-
Vergleichspärchen durch Einbeziehen         experiment in genügendem Umfang            bereichs. Die Nullhypothese ​p​0​​ = 0,5​
von (L2, L3) und (L4, L5) ist nicht mög-    und unter denselben Voraussetzungen        wird deshalb beibehalten.
lich, da in diesem Fall die Unabhängig-     durchgeführt wird.

  Abb. 6: Simulation des Wurfs einer Münze mit: ​                   Abb. 7: Simulation des Wurfs eines achtseitigen
  0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0​.                                          Würfels mit: ​0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0​.

                                                     doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
Informatik | Seite 8

4.2.2 Zufallszahlen für einen                                                                                Die bisherige Arbeit betrachtet an-
      achtseitigen Würfel                            Aus den 7891 gemessenen Zerfalls-                       schaulich die Intervalle für einen
                                                     zeiten lassen sich 1292 Würfelwürfe                     Münzwurf [0; 1] und Wurf eines acht-
Die Häufigkeit der Ereignisse genügt                 simulieren (Auswertung über Excel).                     seitigen Würfels [1; 8] beziehungsweise
noch nicht, um über die Güte der Zu-                 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei                   [0; 7]. Diese Intervalle umfassen Zwei-
fallszahlen eine Aussage machen zu                   1292 Zufallszahlen ist in Abb. 8 darge-                 erpotenzen. Im Folgenden wird die
können, da zum Beispiel die Folge:                   stellt.                                                 Möglichkeit, ganzzahlige Zufallszahlen
0, 1, 0, 1, 0, 1, … nicht zufällig erscheint.                                                                in einem frei wählbaren Intervall zu er-
Deshalb wird die vorliegende Stichpro-               Wie in Abschnitt 4.2.1 wird über einen                  zeugen, untersucht. Diese realisierte Er-
be anhand eines simulierten mehrmali-                zweiseitigen Signifikanztest überprüft,                 weiterung wird am Beispiel eines sechs-
gen Münzwurfs mit Berücksichtigung                   ob die generierten Zufallszahlen hin-                   seitigen Würfels, der üblicherweise bei
der Reihenfolge auf stochastische Un-                reichend gleichverteilt sind. Hierzu be-                Brettspielen zum Einsatz kommt, und
abhängigkeit untersucht. Dies wurde                  trachte ich die Binomialverteilung mit​​                einer Transaktionsnummer erläutert.
mit simulierten doppelten und dreifa-                p​0​ = _​18​​und das Gegenereignis ​p​0​​ = _​87​​
chen Münzwürfen nachgeprüft. Im Fol-                 für jedes der möglichen acht Würfeler-                  In Abschnitt 4.2.2 wurde der simulierte
genden wird nur der simulierte dreifa-               eignisse.                                               Wurf mit einem achtseitigen Würfel als
che Münzwurf, der anschaulich einem                                                                          eine Bernoulli-Kette der Länge 3 darge-
Wurf mit einem achtseitigen Würfel                   Hierfür gilt erneut:                                    stellt. Dabei ergeben sich acht mögliche
entspricht, betrachtet. (siehe Abb. 7)                                                                       Tripel, die den Würfelwerten entspre-
                                                     ​P(​ X ≤ a)​ > _​α2​ und P
                                                                              ​ (​ X ≤ b)​ > 1 − _​α2​       chen. Hierfür werden insgesamt drei
„Ein Zufallsexperiment, das aus ​n​ un-                                                                      Bits benötigt. (siehe Abb. 7)
abhängigen Durchführungen desselben                  Die Nullhypothese ​           ​p0​​ = _​81​​ besitzt
Bernoulli-Experiments besteht, heißt                  mit dem Signifikanzniveau α                ​ = 0,05​   Wie in Abschnitt 4.1 bereits erläutert,
Bernoulli-Kette der Länge n​ ​“ [30]. Der            und einem Stichprobenumfang von​                        sollen aufgrund der beschränkten Men-
simulierte Wurf mit einem achtseitigen               n = 1292​einen Annahmebereich von                       ge an Zufallszahlen weiterhin möglichst
Würfel entspricht einer Bernoulli-Kette              [​ ​139; 185​]​. Die untere und obere Grenze            wenige Bits zur Berechnung der Zu-
der Länge 3. Jedes der acht möglichen                 des Annahmebereichs sind in Abb. 8 rot                 fallszahlen verwendet werden. Für die
Tripel sollte etwa gleich häufig auftre-              beziehungsweise grün dargestellt. Das                  Darstellung des sechsseitigen Würfels
ten.                                                  Auftreten aller acht möglichen Tripel                  mit den Werten im Bereich von „0“ bis
                                                      liegt innerhalb des Annahmebereichs.                   „5“ werden ebenfalls drei Bits benötigt.
Damit der Zufallszahlengenerator für                  Die Nullhypothese ​p0​​ = _​18​ wird deshalb           Es ergeben sich auch hier acht mögli-
den achtseitigen Würfel korrekte Wer-                 nicht verworfen.                                       che Tripel. Allerdings liegen zwei Tripel
te liefert, darf er nur Werte im Be-                                                                         nicht im gültigen Wertebereich. Abb. 9
reich von „1“ bis „8“ ausgeben. Hierfür              Eine Untersuchung der Stichprobe auf                    veranschaulicht dies.
werden insgesamt drei Bits (​   ​22​ ​ + ​21​ ​ +​   Bernoulli-Ketten der Längen 2 und 3
2​​ ​ = 7​) benötigt. Es werden also zu-
 0
                                                     liefern wie erwartet keinen Hinweis auf                 Bei einer genügend großen Stichprobe
nächst Werte von „0“ bis „7“ berechnet,              stochastische Abhängigkeit.                             (siehe Abb. 10) lassen sich die 316 Ereig-
durch Addition von „+1“ ergeben sich                                                                         nisse für „7“ und „8“ (vgl. Abb. 7) gleich
die gewünschten Werte von „1“ bis „8“.               4.2.3 Ganzzahlige Zufallszahlen in                      auf die Ereignisse „1“ bis „6“ verteilen.
Hierfür werden dreimal zwei Zerfalls-                      einem Intervall                                   Hierzu könnte zum Beispiel der erste
zeiten miteinander verglichen.                                                                               Wurf einer „7“ oder „8“ auf das Ereig-
                                                                                                             nis „6“ abgebildet werden. Der zweite
                                                                                                             Wurf einer „7“ oder „8“ auf das Ereignis
                                                                                                             „5“ und so weiter. Diese Abbildungs-
    Tab. 1: Häufigkeitsverteilung der Stichprobe beim Münzwurf
                                                                                                             vorschrift gilt jedoch nur für genügend
                                                                                                             große Stichproben.
        Ereignis            Absolute Häufigkeit                   Relative Häufigkeit
                                                                                                             Anschaulich wird dies beim Brettspiel
                                                                                                             „Mensch ärgere Dich nicht“ mit der Re-
          Kopf                 ​ ​(Kopf)​ = 1967​
                             ​H3877                                 ​ ​(​Kopf​)​ = 0,507​​
                                                                  ​h3877
                                                                                                             gel, dass der Spieler, welcher eine „6“
                                                                                                             würfelt seine Spielfigur auf das Start-
          Zahl                 ​ ​(Zahl)​ = 1910​
                             ​H3877                                 ​ ​(​Zahl​)​ = 0,493​​
                                                                  ​h3877                                     feld rücken und noch einmal würfeln
                                                                                                             darf. Die Wahrscheinlichkeit für den
                                                                                                                              ​ ​​“ des Würfels ist ​P​
                                                                                                             Startzustand „​​6Start

                                                                doi: 10.7795/320.202111
Durch kosmische Strahlung zur Zufallszahl
JUNGE wissenschaft 11
                                                                                                  15 / 21
                                                                                                       18 | Seite 9

   ​ ​)​ = _​16​​
(​6Start        . Diese Wahrscheinlichkeit                                    tiger Zufallszahl wie erwartet benötigt.                bzw. Würfelwurf realisiert. Im zweiten
kann mit dem Zufallszahlengenera-                                                                                                     Schritt wird das Programm erweitert.
tor unter Verwendung von 3 Bits nicht                                         Bei dem Signifikanztest mit dem Stich-
erreicht werden. Die Wahrscheinlich-                                          probenumfang von n   ​ = 976​(316 Ereig-                5.1 Ermittlung der Zufallszahlen
keit um anfangs eine „6“ zu generieren,                                       nisse sind ungültig und werden igno-                        in einem Intervall
liegt bei ​P​(​6Start   ​ ​)​ = _​18​​oder bei Anwen-                         riert), dem Signifikanzniveau α        ​ = 0,05​
dung obiger Abbildungsvorschrift bei​                                         und der Nullhypothese ​         ​p0​​ = _6​1​​ liegen   Die Ermittlung jeder ganzzahligen Zu-
P​( ​6 ​Start​) ​ = ​_18​ + P​( ​7 ​Start​) ​ + P​( ​8 ​Start​) ​ = ​_38​​.   alle sechs Würfelereignisse im Annah-                   fallszahl in einem abgeschlossenen In-
Deshalb werden die zwei Tripel, die                                           mebereich von [​ ​140; 186​]​​.                         tervall erfolgt in drei Schritten. Die
nicht im gültigen Wertebereich liegen,                                                                                                Berechnung wird am Beispiel einer
ignoriert. Das heißt, dass im Falle von                                       5. Programmierung des                                   sechsstelligen    Transaktionsnummer
„7“ oder „8“ eine neue Zufallszahl ge-                                           Zufallszahlengenerators                              (TAN) erläutert.
neriert wird.
                                                                              Den Zufallszahlengenerator habe ich                     1. Schritt: Auswahl des Intervalls
In Abb. 9 erkennt man, dass von acht                                          mittels Java programmiert. Ich habe
möglichen Ereignissen sechs gültig                                            mich für die Realisierung einer Queue                   Im mit Java erstellten Programm wer-
sind (75 %). Somit wird erwartet, dass                                        entschieden. Hierfür liefert das Cos-                   den Zahlen vom Typ „int“ verwen-
für ein gültiges Ereignis durchschnitt-                                       MO-Experiment in der aktuellen Ein-                     det, daher liegt die untere Grenze bei
lich ​_​68​​Versuche benötigt werden. Dar-                                    stellung alle 12 Stunden und bei Ab-                    –2.147.483.648 und die obere Grenze bei
aus folgt, dass für ein gültiges Ereignis                                     bruch die Daten im CSV-Format.                          2.147.483.647 [31]. Ein innerhalb dieser
durchschnittlich ​3 Bits ∙ _​68​ = 4 Bits​ be-                                                                                        Grenzen gewähltes Intervall darf maxi-
nötigt werden.                                                                Die Umrechnung der Zustände in Zu-                      mal 2.147.483.648 Werte umfassen.
                                                                              fallszahlen erfolgt mittels Binärsystems.
Unter Verwendung der bisherigen                                               Meist werden zur Darstellung von Dezi-                  Somit ist das Intervall definiert als:
Stichprobe aus Abschnitt 4.2.2 von                                            malzahlen beziehungsweise von ganzen                    Formel 3.
7891 gemessenen Zerfallszeiten wer-                                           Zahlen 32 Bits (float, int) oder 64 Bits
den 3877 Bits ermittelt. Hiervon sind                                         (double, long) verwendet. Aufgrund der                  Nachdem ein Intervall gewählt wurde,
976 Ereignisse gültig. 316 Ereignis-                                          beschränkten Menge an Zufallszahlen                     muss das zu verwendende Intervall be-
se sind ungültig und werden ignoriert                                         wird auf eine Berechnung der Zufalls-                   stimmt werden. Hierzu werden die In-
(siehe Abb. 10). Das heißt: Formel 2.                                         zahlen mit je 32 Bit verzichtet, statt-                 tervallschranken verschoben, sodass
                                                                              dessen wird im ersten Schritt nur eine                  die untere Intervallschranke gleich null
Durchschnittlich werden 4 Bits pro gül-                                       Darstellung von 1 und 3 Bit für Münz-                   ist. Es ergibt sich: Formel 4.

                                                                                                                                      Länge des Intervalls = Anzahl der
                                                                                                                                      Elemente: ​k = (​ ​b − a​)​ + 1​​
                   200
                                                                                                                 185
                   180
                                                                                                                                      2. Schritt: Bestimmung der kürzesten
                   160
                                                                                                               139                    Bernoulli-Kette (Länge der Bitfolge)
                   140
                   120
                                                                                                                                      In Abschnitt 4.2.2 wurde am Beispiel
          Anzahl

                   100
                                                                                                                                      des achtseitigen Würfels bzw. in Ab-
                    80
                                                                                                                                      schnitt 4.2.3 des simulierten Würfels
                    60
                                                                                                                                      die kürzeste Bernoulli-Kette der Länge
                    40
                                                                                                                                      3 bestimmt.
                    20
                     0
                             1             2              3              4          5          6          7            8
                                                                                                                                      Anschließend muss die kürzest
                           000            001            010            011        100        101        110         111
                                                                                                                                      mögliche Bernoulli-Kette (Länge der
                                                                          Augenzahl                                                   Bitfolge) bestimmt werden. Diese hat
                                                                           Binärzahl
                                                                                                                                      für den achtseitigen Würfel bzw. den si-
                                                                                                                                      mulierten Würfel die Länge 3 (siehe Ab-
     Abb. 8: Verteilung der Ereignisse des simulierten achtseitigen Würfels.
                                                                                                                                      schnitt 4.2.2).
     Die rote Linie entspricht dem unteren Annahmebereich des
     zweiseitigen Signifikanztestes und die grüne Linie dem oberen
     Annahmebereich.                                                                                                                  Hierbei gilt für

                                                                                          doi: 10.7795/320.202111
Informatik | Seite 10

n = Länge der Bitfolge

und

k = Anzahl der Elemente des Intervalls
[0; b – a] = Anzahl der gültigen Ereignis-
se in der Bernoulli-Kette:

                     ​ ​ < k ≤ 2​ n​ ​
                   ​2n−1

Daraus ergibt sich:

              ​n − 1 < ​log​2​k ≤ n​

Mit 2 n = Anzahl der möglichen Ereignis-
                                ​ ∙ _k​​ ​​ ​ für die
                                       2         n

se und 2 n–1< k ergibt sich mit n
Abschätzung nach unten:                                                Abb. 9: Simulation des Wurfs eines sechsseitigen Würfels mit: ​
                                                                       0 ≙ Δt < 0, 1 ≙ Δt > 0​.
                       ​ nk ​⇔ _
          ​ n​2​ ​ ​ ≥ _          ​1​ ≥ _
                                        ​​2​1​n​​
                 n
          _
          ​2​​ ​ ∙ k   ​2​​ ​ ∙ k  k
                                                                                                                                     ​​26​​  
                                                                                                                                           ​
                                                                                                                                                 ​​​22​​​3​​​  ≥ 3​
                                                                                                                                         3                  3
                                                                   nötigten Bits für ein gültiges Ereignis                      ​3 ∙ _       ≥ 3∙_
Eingesetzt ergibt sich:                                            zwischen:
                                                                                                                      Zusammen mit der Abschätzung nach
                  ​2n​ ​                                                                     ​2n​ ​
              ​ ∙_
              n             _ ​2​n​
                 k​ ​ ≥ n ∙ ​​2​​n​​ ≥ n​                                            ​ ≤ n ∙_
                                                                                     n      k​ ​ < 2 ∙ n​             oben:

                                                                                                                                     ​​26​​​ < 3 ∙ _ ​2​ ​
                                                                                                                                         3              3
Mit ​​2n​ ​ = Anzahl der möglichen Ereig-                          Für verwendete Intervalle der Form                           ​3 ∙ _             ​​2​  ​ < 2 ∙ 3​
                                                                                                                                                       ​2​
               ​ ​ < k​ergibt sich mit ​n ∙ _​2​k​​​​
nisse​und ​​2n−1
                                                             n
                                                                   [​ ​0 ; ​2n​ ​ − 1​]​, zum Beispiel dem achtsei-
für die Abschätzung nach oben:                                      tigen Würfel, gilt die Anzahl der mög-            Ergibt sich:
                                                                    lichen Ereignisse ist gleich der Anzahl
                     ​ n−1k ​⟺ _
      ​ ​2n−1​ ​ ​ < _          ​1​ < _
                                      ​2​ ​1n−1​​                                                                                           ​​2​ ​​ < 2 ∙ 3​
            n−1                                                                                                                                     n
      _                                                             der gültigen Ereignisse und somit wer-                         ​3 ≤ n ∙ _
      ​2​​ ​ ∙ k     ​2​​ ​ ∙ k  k                                                                                                                 k
                                                                    den genau ​n​Bits pro Zufallszahl benö-
Eingesetzt ergibt sich:                                             tigt.                                             Wie in Abschnitt 4.2.3 errechnet, be-
                                                                                                                      nötigt man für ein gültiges Ereignis
                2​ n​ ​
           ​n ∙ _             ​2​ ​
                                 n
                           _
                k​ ​ < n ∙ ​​2​​n−1​​ < 2 ∙ n​                     Im Beispiel des sechsseitigen Würfels              durchschnittlich:
                                                                   ergibt die Abschätzung nach unten:
                                                                                                                                    ​​2​ ​​ = 3 ∙ _​68​ = 4 ​ Bits
                                                                                                                                     n
Somit liegt der Erwartungswert der be-                                                                                         ​n ∙ _
                                                                                                                                     k

                                                                                                                      3. Schritt: Ermittlung und Bewertung
                          ​___________
                               3877 Bits                   _     Bits               _
                            976 gültige Ereignisse​ = 3,97 ​ gültiges Ereignis​ ≈ 4 ​ gültiges Ereignis​​
                                                                                          Bits
                                                                                                                      jeder Zufallszahl

   Formel 2                                                                                                           Für die Ermittlung der Zufallszahl wer-
                                                                                                                      den die einzelnen Bits wie in Abschnitt
                                                                                                                      4.2 aus jeweils zwei Zerfallszeiten er-
                                                                                                                      mittelt, mit der entsprechenden Zweier-
           ​[​a; b​]​∶= {​ ​z ∈ ℤ​|​ − ​2​31​ ≤ a ≤ z ≤ b ≤ ​2​31​ − 1 und (​ ​b − a​)​ < ​2​31​}​                    potenz multipliziert und anschließend
                                                                                                                      addiert.
   Formel 3                                                                                                                                        n
                                                                                                                                         ​z​0​ = ​∑​2​n−i​∙ ​bi​​
                                                                                                                                                  i=1

                                                                                                                      Für die Bewertung der ermittelten
      ​[​0; b − a​]​∶= {
                       ​ ​​z0​ ​ ∈ ℤ​|​ − ​2​31​ ≤ a ≤ z ≤ b ≤ ​2​31​ − 1 und (​ ​b − a​)​ < 2​ ​31​}​                ganzzahligen Zufallszahl, wird geprüft,
                                                                                                                      ob diese im zu verwendenden Inter-
                                                        z = ​z0​ ​ + a​
                                                                                                                      vall [0; k] liegt. Ist dies nicht der Fall,
   Formel 4                                                                                                           so ist die ermittelte Zufallszahl ungül-
                                                                                                                      tig, wird ignoriert und Schritt drei wird

                                                                                  doi: 10.7795/320.202111
JUNGE wissenschaft 11
                                                                        15 / 21
                                                                             18 | Seite 11

wiederholt. Liegt die Zufallszahl im zu
verwendenden Intervall, so ist sie gül-                           200
                                                                                                                                 186
tig und die untere Schranke wird hinzu                            180
addiert (​z = ​z0​​ + a​).                                        160
                                                                                                                                 140
                                                                  140
5.2 Zufallszahlen für                                             120
    Transaktionsnummern

                                                         Anzahl
                                                                  100
                                                                   80
Ein alltagsbezogenes Beispiel für die                              60
Verwendung von nichtdeterministi-                                  40
schen Zufallszahlen sind Transaktions-                             20
nummern (TAN), welche vor allem für                                 0
Onlinebanking genutzt werden und so-                                      1       2           3    4         5      6       7           8

mit nicht vorhersagbar sein dürfen. Die                                  000     001      010     011        100   101     110         111
                                                                                                    Augenzahl
Generierung einer sechsstelligen TAN                                                                 Binärzahl
wird anhand der oben genannten Vor-
gehensweise verdeutlicht.                              Abb. 10: Verteilung der Ereignisse für den simulierten sechsseitigen
                                                       Würfel. Die rote Linie entspricht dem unteren Annahmebereich des
1. Auswahl des Intervalls:                             zweiseitigen Signifikanztestes und die grüne Linie dem
                                                       oberen Annahmebereich.

Das Intervall [0; 999.999] wird ausge-
wählt, es ist keine Verschiebung um die              ge sechsstellige TAN von ​     214898​.            Zerfälle) auf. Es konnten 3877 Pärchen
untere Schranke nötig.                               Aus den 3877 Pärchen zur Bitermitt-                zur Bitermittlung verwendet werden.
                                                     lung (siehe Abschnitt 4.2) konnten 184
2.   Bestimmung       der    kürzesten               gültige TANs ermittelt werden.                     Für die dynamische Bitermittlung wer-
Bernoulli-Kette (Länge der Bitfolge):                                                                   den die Myonenzerfälle nicht direkt in
                                                     Die beschriebene Vorgehensweise wur-               Pärchen gruppiert. Wenn Δt zweier auf-
             ​2n−1
               ​ ​ < 1.000.000 ≤ 2​ n​ ​             de von mir im programmierten Zufalls-              einanderfolgender Myonenzerfälle Null
                                                     zahlengenerator für Intervalle ganz-               ist, so wird die letzte der beiden Zer-
      ​n − 1 < ​log​2​1.000.000 ≤ n​                 zahliger Zahlen umgesetzt. Zusätzlich              fallszeiten nicht berücksichtigt und die
                                                     kann über eine zuvor eingeladene Datei             nächste Zerfallszeit mit ​Δt ≠ 0​wird mit
             Daraus folgt: n
                           ​ = 20​                   mit Myonenzerfällen eine Statistik der             der ersten verglichen. Die Pärchen bil-
                                                     absoluten Häufigkeiten der generierten             den sich daher dynamisch. Dadurch
Der Erwartungswert der benötigten                    Zufallszahlen für Intervalle bis zu einer          werden nur noch 68 Zerfälle nicht be-
Bits errechnet sich zu:                              Länge von 32 ausgegeben werden.                    rücksichtigt (0,86 % aller Zerfälle). Es
                                                                                                        bleiben 3911 Pärchen (Bits).
        ​​2​ ​​ = 20 ∙ _
         n
   ​n ∙ _              ​1.000.000
                        1.048.576
                                  ​ = 20,97 ​ Bits   5.3 Dynamische Bitermittlung
        k
                                                                                                        Neben der Anzahl an simulierten Er-
Somit werden im Durchschnitt etwa                    Damit möglichst wenige Myonenzerfäl-               eignissen beim Münzwurf und dem
11 Bits weniger benötigt als beim Da-                le für die Ermittlung von Bits benötigt            Wurf eines achtseitigen Würfels ändern
tentyp „int“ (32 Bits).                              werden, habe ich das in Abschnitt 4.2              sich auch deren Verteilung. Dies lässt
                                                     beschriebene Verfahren zur Bitermitt-              sich mithilfe des von mir programmier-
3. Ermittlung und Bewertung der Zu-                  lung modifiziert. Wie in Abschnitt 4.2             ten Statistikmoduls auswerten. Die dar-
fallszahl:                                           beschrieben wird die Differenz zweier              auf beruhenden Ergebnisse der Signifi-
                                                     aufeinanderfolgender, voneinander un-              kanztests (analog siehe Abschnitt 4.2.1
Eine Bitfolge der Messung lautet:                    abhängiger Zerfallszeiten zur Bestim-              und 4.2.2) liegen wie erwartet alle im
00110100011101110010                                 mung eines Zustands (Bits) verwendet.              Annahmebereich.
                 20
                                                     Bisher wurden die Myonenzerfälle, wie
        ​z = ∑
             ​ ​2​20−i​ ∙ ​bi​​ = 214898​            bei der Auswertung über Excel, von Be-             6. Zusammenfassung
                 i=1
                                                     ginn an in Pärchen gruppiert (statische               und Ausblick
2​ 14898​liegt im Intervall von                      Ermittlung). Sollte Δt eines Pärchens
 [​ ​0 ; 999999​]​ ​​
                    u nd ergibt eine gülti-          Null sein, so wurde dieses Pärchen bei             Die Auswertung der Messergebnis-
                                                     der Bitermittlung nicht berücksichtigt.            se war anspruchsvoller als zuvor ange-
                                                     Dies trat bei 68 Pärchen (1,72 % aller             nommen, da die zur Verfügung gestellte

                                                                    doi: 10.7795/320.202111
Informatik | Seite 12

Version von „muonic“ keinen Fit berech-       lengenerator berechnet Pseudozufalls-
nen kann und so die Auswertung über           zahlen mit der Basis eines zufälligen
Origin® durchgeführt werden musste.           Startwerts. Dieser Startwert wird über
Die hier bestimmte mittlere Lebensdau-        physikalische Prozesse, also die gemes-
er beträgt ​τμ​​ = 2,1517 ± 0,1017 μs​. Der   senen Myonenzerfallszeiten, generiert.
ermittelte Wert besitzt vom Literatur-        Wenn genügend Zerfälle detektiert
wert eine prozentuale Abweichung von          wurden, kann ein neuer Startwert gebil-
2,568 % und liegt innerhalb eines Feh-        det werden.
lerintervalls.
                                              Danksagung
Die Hypothese, dass Myonenzerfäl-
le als Basis für einen nichtdeterminis-       Ich bedanke mich herzlich bei Timo
tischen Zufallszahlengenerator dienen         Hergemöller am Gymnasium Wolbeck
können, wurde untersucht und hat sich         aus der Physik AG, der mich bei mei-
bestätigt. Anschließend habe ich einen        nem Jugend-forscht-Projekt betreut hat.
solchen Zufallszahlengenerator mit-           Ebenso bedanke ich mich beim Netz-
tels Java programmiert. Das Programm          werk Teilchenwelt, welches es ermög-
kann ganzzahlige Zufallszahlen in ab-         lichte, verschiedene Experimente zum
geschlossenen Intervallen ausgeben.           Detektieren von kosmischer Strahlung
Ein ebenfalls erstelltes Statistikpro-        auszuleihen. Dies war dank Dr. Volker
gramm ermittelt die absoluten Häufig-         Hannen, von der Westfälischen Will-
keiten der generierten Zufallszahlen.         helms-Universität Münster problem-
                                              los möglich. Ich bedanke mich außer-
Im        CosMO-Experiment             sind   dem bei Carolin Schwerdt (CosmicLab,
​20 × 20 ​cm​2​ ​​große Szintillatorplatten   DESY) für hilfreiche Diskussionen.
 verbaut. Ein Nachteil der nichtdetermi-
 nistischen Zufallszahlengeneratoren ist,
 dass diese auf physikalischen Prozessen
 beruhen. Diese bestimmen die Anzahl
 der Zufallszahlen, die innerhalb einer
 Zeitspanne generiert werden können.
 Damit dieser Nachteil nicht von großer
 Bedeutung ist, könnten größere Detek-
 torplatten genutzt werden. Dadurch ist
 die Myonenrate höher und es können
 mehr Myonenzerfälle pro Zeiteinheit
 detektiert werden.

Damit mehr Zufallszahlen pro Zeit-
einheit generiert werden können, ist es
möglich, ohne Änderung am CosMO-
Experiment, einen Hybridzufallszah-
lengenerator zu verwirklichen. Hierbei
handelt sich es um eine Kombination
aus einem deterministischen und einem
nichtdeterministischen     Zufallszah-
lengenerator. Ein hybrider Zufallszah-

                                                       doi: 10.7795/320.202111
JUNGE wissenschaft 11
                                                                            15 / 21
                                                                                 18 | Seite 13

Literaturverzeichnis

[1] DESY, „femto,“ 2016. [Online]. Available:           [11] Netzwerk Teilchenwelt, „TEILCHENPHYSIK –                  e245574/e245601/e258642/e262691/e262728/
     http://www.desy.de/femto/sites2009/                     Unterrichtsmaterial ab Klasse 10,“ 1. [Online].           e262754/infoboxContent262756/Anleitung_
     site_www-desy/content/e187923/e187955/                  Available: http://www.teilchenwelt.de/filead-             Muonic_2.0_ger.pdf.
     e232787/femto_3_2016_dt_ger.pdf/.                       min/user_upload/Redaktion/Netzwerk_Teil-                  [Zugriff am 13. Oktober 2018].
     [Zugriff am 12. Oktober 2018].                          chenwelt/Material_Lehrkraefte/Unterricht_          [21]   Originlab, „Origin – Tutorial,“ [Online]. Availa-
[2] Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der Phy-             TP_Kosmische-Strahlung_red.pdf. [Zugriff                  ble: https://www.originlab.com/ftp/Origin_
     sik – kosmische Strahlung,“ 3. [Online]. Avai-          am 16. Oktober 2018].                                     updates/german/tutorials.pdf.
     lable: https://www.spektrum.de/lexikon/phy-        [12] Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der                   [Zugriff am 30. Dezember 2018].
     sik/kosmische-strahlung/8412.                           Physik – Lebensdauer,“ 7. [Online]. Availa-        [22]   H. P. Gavin, „The Levenberg-Marquardt meth-
     [Zugriff am 23. September 2018].                        ble: https://www.spektrum.de/lexikon/phy-                 od for nonlinear least squares curve-fitting
[3] Welt der Physik, „Der kosmischen Strahlung               sik/lebensdauer/8879. [Zugriff am 11. Novem-              problems,“ 2017. [Online]. Available: http://
     auf der Spur,“ 2. [Online]. Available: https://         ber 2018].                                                people.duke.edu/~hpgavin/ce281/lm.pdf.
     www.weltderphysik.de/thema/bmbf/as-                [13] Paul Scherrer Institut, „Wie stark ist die                [Zugriff am 30. Dezember 2018].
     tro-undastroteilchenphysik/der-kosmischen-              schwache Kraft,“ [Online]. Available: https://     [23]   J. Walker, „Fourmilab – HotBits,“ 1. [Online].
     strahlung-auf-der-spur/.                                www.psi.ch/media/wie-stark-ist-die-schwa-                 Available: https://www.fourmilab.ch/hotbits/.
     [Zugriff am 23. September 2018].                        che-kraft. [Zugriff am 2. November 2018].                 [Zugriff am 15. Oktober 2018].
[4] Zeuthen Desy, „Einführung kosmische Teil-           [14] Zeuthen Desy, „Schülerexperimente –                [24]   Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der Phy-
     chen,“ 1. [Online]. Available: https://www.             CosMo-Experiment,“ 2. [Online]. Available:                sik – Zufallszahlengenerator,“ 6. [Online].
     desy.de/schule/schuelerlabore/standort_zeu-             https://www.desy.de/schule/schuelerlabore/                Available: https://www.spektrum.de/lexikon/
     then/kosmische_teilchen/grundlagen/einfu-               standort_zeuthen/kosmische_teilchen/ex-                   physik/zufallszahlengenerator/15894.
     ehrung/index_ger.html.                                  perimente/cosmo_experiment/index_ger.                     [Zugriff am 15. Oktober 2018].
     [Zugriff am 13. Oktober 2018].                          html. [Zugriff am 23. September 2018].             [25]   Technische Universität Dresden, „Untersu-
[5] Welt der Physik, „Kosmische Strahlung und           [15] Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der                   chung und effiziente Implementierung von
     die energiereichsten Himmelskörper,“ 1.                 Physik – Szintillator,“ 4. [Online]. Availa-              Algorithmen,“ [Online]. Available: https://
     [Online]. Available: https://www.welt-                  ble: https://www.spektrum.de/lexikon/phy-                 tu-dresden.de/ing/elektrotechnik/ifn/tnt/
     derphysik.de/gebiet/universum/kos-                      sik/szintillation/14280. [Zugriff am 13. Okto-            ressourcen/dateien/dateien/studentenarbeit-
     mische-strahlung/die-energiereichsten-him-              ber 2018].                                                en/da-blumenstein-2006.pdf?lang=de.
     melskoerper/.                                      [16] Zeuthen Desy, „Glossar – Szintillator,“ 4. [On-           [Zugriff am 16. Oktober 2018].
     [Zugriff am 23. September 2018].                        line]. Available: https://www.desy.de/schule/      [26]   Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der
[6] Macrolab, „Bestimmung der Lebensdauer von                schuelerlabore/standort_zeuthen/kos-                      Physik – Thermisches Rauschen,“ 5. [Online].
     Myonen,“ [Online]. Available: http://privat.            mische_teilchen/glossar/index_ger.html?se-                Available: https://www.spektrum.de/lexikon/
     macrolab.de/fpraktikum/C2.9.pdf.                        lected=S#_szintillator. [Zugriff am 13. Okto-             physik/thermisches-rauschen/14449. [Zugriff
     [Zugriff am 23. September 2018].                        ber 2018].                                                am 15. Oktober 2018].
[7] Particle Data Group, „Pion, Antipion,“ 1. [On-      [17] Zeuthen Desy, „Technische Bedienungsanlei-         [27]   Hochschule Heilbronn, „Hardwareanalysator
     line]. Available: http://pdg.lbl.gov/2018/lis-          tung,“ 5. [Online]. Available: https://www.               für Zufallszahlen,“ [Online]. Available: https://
     tings/rpp2018-list-pi-plus-minus.pdf. [Zugriff          desy.de/sites2009/site_www-desy/content/                  www.hs-heilbronn.de/1837998/hardwarea-
     am 13. Oktober 2018].                                   e219828/e245574/e245601/e258642/e262691/                  nalysator-fuer-zufallszahlen. [Zugriff am 15.
[8] Uni-Heidelberg, „Uni-Heidelberg,“ 1. [Online].           e262728/e262754/infoboxContent262755/                     Oktober 2018].
     Available: https://www.physi.uni-heidelberg.            techn._Bedienungsanleitung_CosMO_2.0_              [28]   Hochschule Bremen, „Güte,“ [Online]. Availa-
     de/~bachmann/Lehre/F13_Anleitung.pdf.                   ger.pdf. [Zugriff am 13. Oktober 2018].                   ble: http://www.weblearn.hs-bremen.de/ris-
     [Zugriff am 12. Oktober 2018].                     [18] Dr.-Ing. Dipl.-Phys. Kähler, Fit fürs Abi, Ober-          se/papers/Frege2013_03/RisseGuetePRNGs.
[9] Spektrum der Wissenschaft, „Lexikon der                  stufenwissen Physik, Zwickau: Schroedel,                  pdf. [Zugriff am 16. Oktober 2018].
     Physik – Myon,“ 2. [Online]. Available:                 2017, S. 46, 212.                                  [29]   J. Walker, „Fourmilab – How HotBits Works,“
     https://www.spektrum.de/lexikon/physik/            [19] E. Bartsch, „Aufbau eines Versuchs zur Mes-               2. [Online]. Available: https://www.fourmilab.
     myon/10054.                                             sung der Lebensdauer von Myonen,“ [On-                    ch/hotbits/how3.html. [Zugriff am 2. Novem-
     [Zugriff am 23. September 2018].                        line]. Available: https://www.uni-frankfurt.              ber 2018].
[10] Particle Data Group, „Particle Data Group Live -        de/46295408/Bachelorarbeit_Esther.pdf. [Zu-        [30]   H.-J. [. a. Dorn, Tafelwerk, Stuttgart: Ernst
     Myon,“ 2. [Online]. Available: http://pdglive.          griff am 9. November 2018].                               Klett Verlag GmbH, 2009.
     lbl.gov/Particle.action?node=S004&init=0.          [20] Zeuthen Desy, „Dokumentation & Anlei-              [31]   D. Abts, „Grundkurs Java,“ in Von den Grund-
     [Zugriff am 23. September 2018].                        tung zur Verwendung im CosMO,“ 3. [On-                    lagen bis zu Datenbank und Netzanwendun-
                                                             line]. Available: https://www.desy.de/                    gen, Wiesbaden, Vieweg+Teubner Verlag,
                                                             sites2009/site_www-desy/content/e219828/                  2010, Sf. 15.

                                                                    doi: 10.7795/320.202111
Informatik | Seite 14

Publiziere
auch Du hier!
Forschungsarbeiten von
Schüler/Inne/n und Student/Inn/en

In der Jungen Wissenschaft wer-
den Forschungsarbeiten von Schüler-
Innen, die selbstständig, z. B. in einer
Schule oder einem Schüler­for­schungs­
zentrum, durch­  geführt wurden, ver-         Wie geht es nach dem
öffentlicht. Die Arbeiten können auf          Einreichen weiter?
Deutsch oder Englisch geschrieben sein.
                                              Die Chefredakteurin sucht einen ge-
Wer kann einreichen?                          eigneten Fachgutachter, der die in-
                                              haltliche Richtigkeit der eingereichten
SchülerInnen, AbiturientInnen und             Arbeit überprüft und eine Empfehlung
Studierende ohne Abschluss, die nicht         ausspricht, ob sie veröffentlicht wer-
älter als 23 Jahre sind.                      den kann (Peer-Review-Verfahren). Das
                                              Gutachten wird den Euch, den AutorIn-
Was musst Du beim                             nen zugeschickt und Du erhältst gege-
Einreichen beachten?                          benenfalls die Möglichkeit, Hinweise
                                              des Fachgutachters einzuarbeiten.
Lies die Richtlinien für Beiträge. Sie ent-
halten Hinweise, wie Deine Arbeit auf-        Die Erfahrung zeigt, dass Arbeiten, die
gebaut sein soll, wie lang sie sein darf,     z. B. im Rahmen eines Wettbewerbs wie
wie die Bilder einzureichen sind und          Jugend forscht die Endrunde erreicht
welche weiteren Informationen wir be-         haben, die besten Chancen haben, die-
nötigen. Solltest Du Fragen haben, dann       ses Peer-Review-Verfahren zu bestehen.
wende Dich gern schon vor dem Ein-
reichen an die Chefredakteurin Sabine         Schließlich kommt die Arbeit in die Re-
Walter.                                       daktion, wird für das Layout vorberei-
                                              tet und als Open-Access-Beitrag veröf-
Lade die Erstveröffentlichungserklärung       fentlicht.
herunter, drucke und fülle sie aus und
unterschreibe sie.                            Was ist Dein Benefit?

Dann sende Deine Arbeit und die Erst-         Deine Forschungsarbeit ist nun in ei-
veröffentlichungserklärung per Post an:       ner Gutachterzeitschrift (Peer-Review-     Die Junge Wissenschaft wird zusätzlich
                                              Journal) veröffentlicht worden, d. h. Du   in wissenschaftlichen Datenbanken ge-
Chefredaktion Junge Wissenschaft              kannst die Veröffentlichung in Deine       listet, d. h. Deine Arbeit kann von Ex-
Dr.-Ing. Sabine Walter                        wissenschaftliche Literaturliste auf-      perten gefunden und sogar zitiert wer-
Paul-Ducros-Straße 7                          nehmen. Deine Arbeit erhält als Open-      den. Die Junge Wissenschaft wird Dich
30952 Ronnenberg                              Access-Veröffentlichung einen DOI          durch den Gesamtprozess des Erstellens
Tel: 05109 / 561508                           (Data Object Identifier) und kann von      einer wissenschaftlichen Arbeit beglei-
Mail: sabine.walter@verlag-                   entsprechenden Suchmaschinen (z. B.        ten – als gute Vorbereitung auf das, was
jungewissenschaft.de                          BASE) gefunden werden.                     Du im Studium benötigst.

                                                       doi: 10.7795/320.202111
JUNGE wissenschaft 11
                                                                 15 / 21
                                                                      18 | Seite 15

                                                                                             ein. Für die weitere Bearbeitung und
Richtlinien                                                                                  die Umsetzung in das Layout der
                                                                                             Jungen Wissenschaft ist ein Word-

für Beiträge                                                                                 Dokument mit möglichst wenig
                                                                                             Formatierung erforderlich. (Sollte
                                                                                             dies Schwierigkeiten bereiten, setzen
Für die meisten Autor/Inn/en ist dies die                                                    Sie sich bitte mit uns in Verbindung,
                                                                                             damit wir gemeinsam eine Lösung
erste wissenschaftliche Veröffent­lichung.                                                   finden können.)
Die Einhaltung der folgenden Richtlinien
hilft allen – den Autor/Innen/en und dem                                                 ■   Senden Sie mit dem Beitrag die
Redaktionsteam                                                                               Erstveröffentlichungserklärung ein.
                                                                                             Diese beinhaltet im Wesentlichen,
                                                                                             dass der Beitrag von dem/der
                                                                                             angegebenen      AutorIn     stammt,
Die Junge Wissenschaft veröffentlicht             Sponsoren, mit vollständigem Namen         keine Rechte Dritter verletzt
Originalbeiträge junger AutorInnen bis            angefügt werden. Für die Leser kann        werden und noch nicht an anderer
zum Alter von 23 Jahren.                          ein Glossar mit den wichtigsten            Stelle veröffentlicht wurde (außer
                                                  Fachausdrücken hilfreich sein.             im Zusammenhang mit Jugend
■   Die Beiträge können auf Deutsch                                                          forscht oder einem vergleichbaren
    oder Englisch verfasst sein und           ■   Bitte reichen Sie alle Bilder,             Wettbewerb). Ebenfalls ist zu
    sollten nicht länger als 15 Seiten mit        Grafiken und Tabellen nummeriert           versichern, dass alle von Ihnen
    je 35 Zeilen sein. Hierbei sind Bilder,       und      zusätzlich     als eigene         verwendeten       Bilder,   Tabellen,
    Grafiken und Tabellen mitgezählt.             Dateien ein. Bitte geben Sie bei           Zeichnungen, Grafiken etc. von
    Anhänge werden nicht veröffentlicht.          nicht selbst erstellten Bildern,           Ihnen veröffentlicht werden dürfen,
    Deckblatt und Inhaltsverzeichnis              Tabellen, Zeichnungen, Grafiken            also keine Rechte Dritter durch die
    zählen nicht mit.                             etc. die genauen und korrekten             Verwendung und Veröffentlichung
                                                  Quellenangaben an (siehe auch              verletzt werden. Entsprechendes
■   Formulieren Sie eine eingängige               Erstveröffentlichungserklärung).           Formular ist von der Homepage
    Überschrift, um bei der Leserschaft           Senden Sie Ihre Bilder als                 www.junge-wissenschaft.ptb.de
    Interesse für Ihre Arbeit zu wecken,          Originaldateien oder mit einer             herunter­zuladen,      auszudrucken,
    sowie      eine     wissenschaftliche         Auflösung von mindestens 300 dpi           auszufüllen und dem gedruckten
    Überschrift.                                  bei einer Größe von 10 ∙ 15 cm!            Beitrag unterschrieben beizulegen.
                                                  Bei Grafiken, die mit Excel erstellt
■   Formulieren Sie eine kurze, leicht            wurden, reichen Sie bitte ebenfalls    ■   Schließlich sind die genauen
    verständliche   Zusammenfassung               die Originaldatei mit ein.                 Anschriften der AutorInnen mit
    (maximal 400 Zeichen).                                                                   Telefonnummer        und   E-Mail-
                                              ■   Vermeiden Sie aufwendige und lange         Adresse sowie Geburtsdaten und
■   Die Beiträge sollen in der üblichen           Zahlentabellen.                            Fotografien (Auflösung 300 dpi bei
    Form gegliedert sein, d. h. Einleitung,                                                  einer Bildgröße von mindestens
    Erläuterungen zur Durchführung            ■   Formelzeichen nach DIN, ggf.               10 ∙ 15 cm) erforderlich.
    der Arbeit sowie evtl. Überwindung            IUPAC oder IUPAP verwenden.
    von Schwierigkeiten, Ergebnisse,              Gleichungen    sind    stets    als    ■   Neulingen im Publizieren werden
    Schlussfolgerungen,        Diskussion,        Größengleichungen zu schreiben.            als Vorbilder andere Publikationen,
    Liste der zitierten Litera­    tur. In                                                   z. B. hier in der Jungen Wissenschaft,
    der Einleitung sollte die Idee zu         ■   Die Literaturliste steht am Ende der       empfohlen.
    der Arbeit beschrieben und die                Arbeit. Alle Stellen erhalten eine
    Aufgabenstellung definiert werden.            Nummer und werden in eckigen
    Außerdem sollte sie eine kurze                Klammern zitiert (Beispiel: Wie
    Darstellung    schon        bekannter,        in [12] dargestellt …). Fußnoten
    ähnlicher Lösungsversuche enthalten           sieht das Layout nicht vor.
    (Stand der Literatur). Am Schluss
    des Beitrages kann ein Dank an            ■   Reichen Sie Ihren Beitrag sowohl in
    Förderer der Arbeit, z. B. Lehrer und         ausgedruckter Form als auch als PDF

                                                       doi: 10.7795/320.202111
Sie können auch lesen