Einstieg in Funktionen - Darstellungsform und passendes Medium
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MICHAELA LICHTI, JÜRGEN ROTH
Einstieg in Funktionen
Darstellungsform und passendes Medium
LERNGRUPPE: 6./7. Schuljahr
IDEE: Wer funktional denkt, kann zwischen
verschiedenen Darstellungsformen
flexibel wechseln. Diese Fähigkeit
lässt sich beim Einstieg in Funk-
tionen mit qualitativen Analysen
von Funktionsgraphen (auch mit
Simulationen) lerneffizient gestalten.
ARBEITSBLATT 1: Einstieg mit Simulation
ARBEITSBLATT 2: Einstieg mit Füllexperimenten
(Online-Material)
GEOGEBRA-APPLETS: www.geogebra.org/m/rqgzqrm4
www.geogebra.org/m/ccbsw7vf
Abb. 1: Vernetzung von Situation mit Graph bzw. Tabelle
Gerade für den Einstieg in eine neue numerischen Werten vorliegt und die die zu nutzenden Aufgaben und Darstel-
Thematik wie Funktionen und damit in konkreten Funktionswerte auch nicht lungen (hier Graphen bzw. Tabellen) er-
das Funktionale Denken sind lerneffi- zur Lösung benötigt werden. Bei ei- forderlich.
ziente Darstellungen erforderlich. Da- ner solchen qualitativen Analyse funk-
mit sind Darstellungen gemeint, bei de- tionaler Zusammenhänge wird kein nu- Real oder digital?
nen der Transfer des an ihnen Gelern- merisches Ergebnis, sondern eine inter- Reales Experimentieren hat für den Ein-
ten auf andere Darstellungen gut mög- pretierende Betrachtung der Form des stieg in funktionale Zusammenhänge
lich ist, sodass damit die Fähigkeit zum Graphen (etwa: Je steiler der Graph an- viele Vorteile. Im Erstellen von Mess-
Repräsentationswechsel besonders un- steigt, desto schmaler wird das Gefäß.) reihen lässt sich der konkrete funktiona-
terstützt wird. gefordert. le Zusammenhang bewusst erleben. Das
Wie sich gezeigt hat, sind Graphen Bei einer quantitativen Aufgabe Eintragen der Werte in eine Tabelle und
für das Lernen Funktionalen Denkens muss eine Funktion zwingend nume- das anschließende Zeichnen des zuge-
lerneffizienter als Tabellen (vgl. Rolfes risch analysiert werden, indem zum Bei- hörigen Graphen bindet den situativen
2019), wenngleich auch Tabellen Vor- spiel Funktionswerte abgelesen, Ände- funktionalen Zusammenhang eng an die
teile bieten. rungsraten berechnet oder Funktions- Darstellungsformen Tabelle und Graph.
Für den Einstieg in das Arbeiten mit werte extrapoliert werden. Auch die Beschreibung der Situati-
Funktionen sollten also zunächst Grund- Sowohl qualitative als auch quanti- on ist eine häufig verwendete Darstel-
erfahrungen mit Situationen funktiona- tative Aufgaben lassen sich bei entspre- lungsform funktionaler Zusammenhän-
ler Zusammenhänge gesammelt und chender Achsenbeschriftung durch die ge. Sie wird in der Regel in Form eines
mit zugehörigen Funktionsgraphen ver- Analyse eines Graphen beantworten. Al- Textes oder als Bild vorgestellt – oder
knüpft werden. So kann die lerneffizien- lerdings hängt der erfolgreiche Einsatz Schülerinnen und Schüler machen ei-
te Darstellungsform Graph als primäre von Graphen durch die Lernenden davon gene Erfahrungen mit entsprechenden
Darstellung im Verstehens- und Lern- ab, wie genau man angesichts von Auf- Phänomenen.
prozess genutzt und der Transfer zu an- gabe und Darstellung des Graphen die- Doch auch Situationen, die nicht
deren Darstellungen erleichtert werden. sen betrachten muss, um zur Lösung zu direkt erlebt werden können und daher
kommen bzw. wie offensichtlich die auf- verbal oder bildlich beschrieben wer-
Was der Graph bietet – und was nicht gabenrelevanten visuellen Eigenschaf- den müssen, lassen sich mit digitalen
Es gibt Aufgaben, bei denen keine Be- ten zu erkennen sind (vgl. Rolfes u.a. Medien oft recht einfach mit in den Un-
schriftung der y-Achse des Graphen mit 2018). Daher ist ein genauer Blick auf terricht bringen: Anhand von auf realen
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SEK I | UNTERRICHT
Situationen fußenden Simulationen, die ein digitales Experiment einfach und be- Beispiel aus dem konstanten Füllvolu-
mit einem dynamischen Mathematik- liebig oft wiederholt werden. Parameter men an Wasser) zur zugeordneten Grö-
System (DMS) wie etwa GeoGebra er- lassen sich durch einfaches Klicken ver- ße (die Füllhöhe des Gefäßes). Man
stellt wurden, kann ein sehr konkreter ändern: Durch Einführen verschiedener kann den funktionalen Zusammenhang
Eindruck eines funktionalen Zusam- Wahlmöglichkeiten für zum Beispiel die wortwörtlich „begreifen“ (Barzel 2000)
menhangs vermittelt werden. unabhängige Größe und über Schiebe- und ihn in mathematische Darstellun-
Mit Hilfe des DMS kann man zeit- regler lässt sich eine größere Variabili- gen übersetzen. Mit Messwerten wird
gleich die Repräsentationsformen Graph tät der betrachteten Situation erzeugen, eine Tabelle erarbeitet, welche wieder-
und Tabelle mit einbinden, denn solche in der Funktionale Zusammenhänge er- um die Grundlage für das Erstellen ei-
Multi-Repräsentations-Systeme (vgl. fahrbar werden. Der wohl größte Vorteil nes Graphen ist. Es kommt zu einer be-
Barzel/Weigand 2008) können verschie- einer digitalen Situation besteht darin, wussten und aktiven Verknüpfung von
dene Darstellungen parallel anzeigen. verschiedene Repräsentationsformen vi- realer Welt und Mathematik, was das
Im Folgenden wird dargestellt, war- suell miteinander zu verbinden. Lernen nachhaltiger macht (Goldstone/
um die Verknüpfung von simulierter Si- Durch Nebeneinanderstellen von z. Son 2005).
tuation und graphischer Repräsentation B. simulierter Situation und Graph so- Durch das reale Experimentieren
eines funktionalen Zusammenhangs für wie durch den Einsatz geeigneter Fo- kreieren Schülerinnen und Schüler An-
den Einstieg in Funktionales Denken als kussierungshilfen wie Farbgebung und kerbeispiele, auf die sie auch nach län-
besonders lerneffizient bezeichnet wer- Verbindungslinien, aber auch das be- gerer Zeit immer wieder Bezug nehmen
den kann. Zum anderen wird verdeut- wusste Ein- und Ausblenden von As- können (Ganter 2013). Mit Blick auf
licht, warum die Verbindung aus rea- pekten bzw. Darstellungsformen (Roth funktionale Zusammenhänge scheint
lem Experiment und Tabelle Vorteile für 2005) lässt sich die Aufmerksamkeit der dies besonders erstrebenswert, da die
die Arbeit am Funktionalen Denken mit Schülerinnen und Schüler gezielt auf die Thematik die gesamte Schullaufbahn
sich bringt. wesentlichen Aspekte des zu untersu- durchzieht. Beim realen Experiment
Ziel soll es sein, Schülerinnen und chenden Zusammenhangs lenken: Ver- liegt der Fokus der Schülerinnen und
Schülern am Ende der Jahrgangsstufe bindungslinien zwischen zwei Fenstern Schüler auf dem Generieren von Werte-
6 bzw. Anfang 7 bereits vor der expli- können verdeutlichen, aus welcher Situ- paaren, die Tabelle wird unmittelbar als
ziten Thematisierung von proportiona- ation sich einzelne Punkte, die im Koor- Ergebnis eines jeden Schrittes erzeugt.
len und antiproportionalen Zuordnun- dinatensystem erscheinen, entwickeln. Beim Übergang zum Graphen wird ihr
gen ein Grundverständnis von Zuord- Solche Verbindungslinien können im Blick daher zunächst auf die aus den
nung und Änderungsverhalten funkti- Rahmen einer Animation sichtbar ma- Wertepaaren resultierenden Punkte ge-
onaler Zusammenhänge zu vermitteln. chen, wie der Graph eines funktionalen lenkt. Veränderung steht zunächst nicht
Zusammenhangs in Abhängigkeit von im Mittelpunkt, hingegen ist die Zuord-
der zugehörigen Situation entsteht und nung von Werten zentral.
Simulationen und Materialien welche Veränderungen in der Situation
zu funktionalem Denken zu welchen Veränderungen im Graphen
führen. Auch eine entsprechende Ver- Zwei Einstiege in
Die Simulation einer realen Situation bindung der simulierten Situation mit Funktionen
eingebunden in ein dynamisches Mathe- der tabellarischen Darstellung ist mög-
matik-System (DMS) bietet gerade für lich (Abb. 1). In zwei aufeinander abge- Die Vernetzung von realen
das Erlernen funktionaler Zusammen- stimmten Fenstern lassen sich zugeord- Experimenten und Tabelle
hänge viele Vorteile, die sich auch em- nete Werte ihrer Entstehungssituation Dieser Zugang zum Funktionalen Den-
pirisch nachweisen lassen (Lichti 2019). zuweisen. Auch hierbei sind Fokussie- ken setzt auf bereits Bekanntem auf und
Im Rahmen von auf den Bildschirm ver- rungshilfen sehr nützlich. macht sich das enaktive Handeln zunut-
lagerter Experimente können die Ler- ze. Am Beispiel des Experiments Gefä-
nenden durch das Arbeiten mit bzw. das Vorteile realer Experimente ße Füllen – zylindrische Gefäße (Arbeits-
Verändern von einer Ausgangsgröße die Reale Experimente zu funktionalen Zu- blatt 2) lassen sich die damit einherge-
zugeordnete Größe erzeugen. Mittels sammenhängen bergen ebenfalls eini- henden Vorteile verdeutlichen.
der Simulation übernehmen die Schü- ge empirisch belegbare Vorteile (Lichti Den Schülerinnen und Schülern ste-
lerinnen und Schüler die Aufgabe, die 2019). Besonders das Verständnis des hen für dieses Experiment drei verschie-
der Funktion zufallen würde, wenn sie Zuordnungsaspekts lässt sich durch sie dene zylindrische Gefäße zur Verfü-
einem Wert x aus der Definitionsmenge fördern. gung. Diese Gefäße werden sukzessive
einen Funktionswert f(x) aus der Werte- Im realen Experiment werden Schü- mit der immer gleichen Menge Wasser
menge zuordnet. Des Weiteren ist es mit lerinnen und Schüler quasi selbst zur gefüllt. Nach jedem Füllvorgang wird
deutlich weniger Aufwand verbunden, Funktion. Es gibt hier, anders als bei der die Füllhöhe des Wassers mit einem Li-
auf dem Bildschirm an einem Experi- Simulation, keinen Mittler. Enaktiv wird neal gemessen. In einer Tabelle, die den
ment zu arbeiten, als es in Kleingruppen erst eine Größe erzeugt, dann erfolgt der Schülerinnen und Schülern bereits be-
real durchführen zu lassen. Zudem kann Schritt von einer Ausgangsgröße (zum kannt ist, wird die Gesamtfüllmenge und
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1 Name: Datum:
Arbeitsblatt
Ein digitaler Einstieg in funktionales Denken
Heute beschäftigst du dich mit der Frage, wie die Füllmenge und die Füllhöhe
zusammenhängen, wenn ein Gefäß mit Wasser gefüllt wird.
Öffne dazu das Applet Gefäß füllen. Bearbeite dann der Reihe nach die nach-
folgenden Arbeitsaufträge und notiere deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt.
1. Auftrag
Fülle das Gefäß durch Klicken auf den Button 20 ml mit Wasser.
Bewege nun mit der Maus das Lineal so, dass du die Füllhöhe des
Wassers messen kannst.
Notiere die Werte in einer Tabelle.
Wiederhole diesen Schritt so oft, bis das Gefäß voll ist.
Leere es nun wieder mit dem Button Gefäß leeren.
Gesamte Füllmenge in ml Füllhöhe in cm
…
2. Auftrag
Setze nun ein Häkchen bei Fenster 2. Wiederhole den Füllvorgang.
Vergleiche nach jedem Einfüllen von 20 ml Wasser den im Koordinatensystem
entstandenen Punkt mit den von dir zuvor gemessenen Werten.
Erkläre, woraus sich ein Punkt zusammensetzt.
3. Auftrag
Klicke auf Alles neu und dann im 1. Fenster auf Wasser gleichmäßig einfüllen.
Beobachte, wie sich das Gefäß mit Wasser füllt und der zugehörige Graph im 2. Fenster entsteht.
Beschreibe möglichst genau, wie sich die Höhe des Wassers während des Füllvorgangs im
Gefäß verändert. Beziehe dich dabei auf den Graphen und die Form des Gefäßes.
Fülle nun aus:
Je schneller sich die Füllhöhe des Gefäßes ändert, desto_______________ ist das Gefäß und
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desto_____________ verläuft der Graph.
Quellenangaben: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
4. Auftrag
Betrachte nun die von dir erstellte Tabelle.
a) Markiere, in welchem Schritt sich die Füllhöhe am stärksten bzw. am langsamsten ändert.
b) Erläutere, woran du das erkennst.
c) Vergleiche die von dir markierten Werte in der Tabelle mit dem Graphen.
Beschreibe, wie Graph und Tabelle diesbezüglich zusammenhängen.
12
1.5 Name: Datum:
Arbeitsblatt
Ein Einstieg in funktionales Denken
Heute beschäftigst du dich mit der Frage, wie die Füllmenge und die Füllhöhe zusammenhängen, wenn ein
Gefäß mit Wasser gefüllt wird. Du benötigst dazu
• drei zylindrische Gefäße,
• eine Flasche mit Leitungswasser,
• einen Messbecher und
• ein Lineal.
Bearbeite der Reihe nach die folgenden Arbeitsaufträge und notiere deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt.
1. Auftrag
Nimm das erste Gefäß. Fülle es mit 20 ml Wasser. Miss nun mit dem Lineal, wie hoch
das Wasser im Gefäß steht. Notiere die Werte in der Tabelle Gefäß 1 auf Blatt 1.2.
Wiederhole diesen Schritt. Achte darauf, in der linken Spalte der Tabelle
die Gesamtmenge an Wasser, die sich im Glas befindet, einzutragen.
2. Auftrag
Erstelle zu den von dir ermittelten Werten ebenfalls auf Blatt 1.2 einen Graphen.
Trage dazu die Wertepaare aus deiner Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem
ein.(x-Achse: Füllmenge in ml, y-Achse: Füllhöhe in cm).
Mache dir dabei bewusst, welche Informationen in einem Punkt stecken.
Verbinde die Punkte. Erkläre, was die Verbindungslinie zwischen den einzelnen
Punkten bedeutet.
3. Auftrag
Erstelle nun auf den Folgeblättern zu den beiden anderen Gefäßen ebenfalls
eine Tabelle und den zugehörigen Graphen.
Benutzte beim Erstellen des Graphen die gleiche Achseneinteilung, die du
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für das erste Gefäß verwendet hast.
4. Arbeitsauftrag
a) Lege die drei Tabellen nun nebeneinander. Vergleiche, wie sich die
Füllmenge bzw. die Füllhöhe jeweils verändert.
Notiere auf Blatt 1.5, was dir auffällt.
b) Vergleiche nun deine drei Graphen miteinander. Notiere, was du feststellst.
5. Arbeitsauftrag
Bringe deine Erkenntnisse von Tabelle und Graph zusammen: Beschreibe, wie
sich die Änderungen der Tabellen in den Graphen wiederfinden.
13(2) die Entstehung des Graphen beob-
achtet, und (3) die durch die Form des
Gefäßes bedingte Veränderung des Gra-
phen realisiert werden, sodass eine ers-
te Vorstellung von Änderungsverhalten
entwickelt wird: Die Vernetzung von
schnellerem Ansteigen der zugeordne-
ten Größe und steilerem Verlauf des Gra-
phen wird möglich.
Die Schülerinnen und Schüler sam-
meln durch die Arbeit mit diesem Ap-
plet (Arbeitsblatt 1) erste Erfahrungen mit
funktionalen Zusammenhängen, die Si-
tuation steht dabei im Vordergrund. So-
wohl das Änderungsverhalten als auch
der Zuordnungsgedanke werden ange-
sprochen. Das über den Graphen erwor-
bene Wissen sollte sich gut auf die Ta-
belle übertragen lassen.
Abb. 2: Lernumgebung Gefäß füllen
Anmerkung
1. Die hier vorgestellten GeoGebra-Applets
sowie eine Anleitung zum Erstellen sol-
die zugeordnete Höhe notiert. Auf die- verschiedener linearer Zusammenhänge cher Applets findet man unter der URL
se Weise entstehen drei Tabellen. In ei- erreichen lässt. https://www.geogebra.org/m/rqgzqrm4.
https://www.geogebra.org/m/ccbsw7vf
nem nächsten Schritt werden zu den drei
Tabellen die zugehörigen Graphen ge- Die Vernetzung von Simulation und Graph
Literatur
zeichnet. In der mit GeoGebra erstellten Lernum- Barzel, B. (2000): Ich bin eine Funktion. – In:
Der Schwerpunkt dieses Arbeitens gebung „Gefäß füllen“ (Abb. 2, https:// mathematik lehren, 98, S. 39 – 40.
liegt auf dem Verständnis der Zuord- www.geogebra.org/m/ccbsw7vf , inter- Barzel, B./Weigand, H.-G. (2008): Medien ver-
netzen. – In: mathematik lehren 146, 4 –10
nung. Die Schülerinnen und Schüler er- essiert der funktionale Zusammenhang Ganter, S. (2013): Experimentieren - ein Weg
zeugen händisch die einander zugeord- zwischen der Füllmenge und der Füll- zum funktionalen Denken: Empirische Un-
tersuchung zur Wirkung von Schülerexpe-
neten Werte, mit der Tabelle lässt sich höhe. Präsentiert wird der Querschnitt rimenten. Didaktik in Forschung und Praxis:
das Wertepaar als solches besonders ein- einer Vase, anhand dessen der Füllpro- Vol. 70. Hamburg: Kovač.
drücklich abbilden. Mittels quantitativen zess beobachtet werden kann. Durch Kli- Goldstone, R. L./Son, J. Y. (2005): The transfer
of scientific principles using concrete and
Vorgehens sollte im Vergleich der drei cken auf den Button „20 ml“ kann sie in idealized simulations. – In: The journal of
Tabellen nun auffallen, dass die Ände- Schritten befüllt werden. Die Füllhöhe learning sciences, 14(1), S. 69 –110.
Lichti, M. (2019): Funktionales Denken fördern.
rung der Gesamtfüllmenge (Ausgangs- lässt sich mit einem beweglichen digita- Experimentieren mit gegenständlichen
größe) bei allen drei Gefäßen identisch len Lineal messen. Materialien oder Computer-Simulationen.
ist, die Änderung der zugeordneten Füll- Im Graphikfenster rechts daneben Wiesbaden: Springer Spektrum.
Rolfes, T./Roth, J./Schnotz, W. (2018): Effects of
höhe jedoch verschieden. Das sich an- kann passend zur erreichten Füllhöhe Tables, Bar Charts, and Graphs on Solving
schließende Zeichnen der zugehörigen der zugehörige Punkt im Koordinaten- Function Tasks. – In: Journal für Mathema-
Graphen lenkt den Fokus der Schülerin- system eingeblendet werden („Punk- tik-Didaktik, 39(1), S. 97–125.
Rolfes, T. (2019): Funktionales Denken – Em-
nen und Schüler auf das Eintragen der te“ aktivieren). Die Zuordnung aktuel- pirische Ergebnisse zum Einfluss von stati-
Wertepaare in Form von Punkten in ein le Gesamtfüllmenge → Füllhöhe wird schen und dynamischen Repräsentationen.
Wiesbaden: Springer Spektrum.
Koordinatensystem. Hierdurch wird der durch diesen Punkt visualisiert, durch Roth, J. (2005): Bewegliches Denken im Mathe-
Zuordnungsaspekt betont. Messen der Füllhöhe kann aktiv nach- matikunterricht. Texte zur mathematischen
Betrachten die Schülerinnen und geprüft werden, wie der Punkt entsteht. Forschung und Lehre 44. Hildesheim:
Franzbecker. ISBN: 3-88120-416-4
Schüler die drei linearen Funktionen In einem weiteren Schritt kann das Ge- Vollrath, H.-J. (1989): Funktionales Denken. – In:
im Vergleich, können sie die verschie- fäß durch den Button „Wasser gleichmä- Journal für Mathematik-Didaktik, 10(1), S.
3 – 37.
denen Steigungen erfassen und diese ßiges einfüllen“ stetig befüllt und so die
mit der zuvor in den Tabellen quanti- Punkte „stückweise verbunden“ werden.
tativ ermittelten Änderungen in Zusam- Damit steht weniger die Zuordnung als
menhang bringen. Auch in diesem Fall die Änderung im Mittelpunkt.
ist es möglich, die an der Tabelle gewon- Auf diese Weise kann (1) die Bedeu-
nen Erkenntnisse auf den Graphen zu tung eines Punktes im Koordinatensys-
übertragen. Allerdings muss man fest- tem und damit die Bedeutung von unab-
halten, dass sich dies nur im Vergleich hängiger und abhängiger Größe erfasst,
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