Frühjahrstagung - virtuell 2021 - Didaktik der Physik - PhyDid
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Didaktik der Physik
Frühjahrstagung – virtuell 2021
Dirac-Algebra: Kurz und schmerzlos
Martin Erik Horn
IUBH Internationale Hochschule (Campus Berlin), Frankfurter Allee 73 A, 10247 Berlin,
XU – Exponential University of Applied Sciences, August-Bebel-Straße 26-53, 14482 Potsdam,
m.horn@iubh.de
Kurzfassung
Im Bereich von Informatik und Software-Entwicklung wird die Dirac-Algebra zur Modellierung
hyperbolischer und konformer Räume eingesetzt. Es ist deshalb sinnvoll, Lernenden eine Einfüh-
rung in die Dirac-Algebra zu eröffnen, die auf die Thematisierung des quantenmechanischen Hin-
tergrunds vollständig verzichtet.
Aus diesem Grund wurden Aufgaben zur Lösung Linearer Gleichungssysteme, die zuvor auf Basis
der Pauli-Algebra gelöst wurden, umgestaltet und mit Hilfe der Dirac-Algebra bearbeitet. Dieser
Ansatz, der vorgestellt und didaktisch hinterfragt wird, führt auf den Kern dessen zurück, was
Grassmann in seiner Ausdehnungslehre erstmals formulierte: Die Basisgrößen von Pauli- und
Dirac-Algebra (also der Geometrischen Algebra) können als Basisvektoren interpretiert werden.
Die Lösung Linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der Dirac-Algebra stellt deshalb ein raumzeitli-
ches Analogon zum üblicherweise als Cramersche Regel bezeichneten Lösungsverfahren dar. Und
auch raumzeitliche Analoga zu Moore-Penrose-Matrizeninversen lassen sich konstruieren.
1. Historischer Hintergrund 2. Fachliche und didaktische Einordnung
Selbstverständlich ist die Pauli-Algebra deutlich Und selbstverständlich sind Pauli- und Dirac-
älter als Wolfgang Pauli. Ebenso selbstverständlich Algebra keine primär physikalischen Konstrukte.
ist die Dirac-Algebra deutlich älter als P. A. M. Da wir als Physikdidaktikerinnen und Physikdidak-
Dirac. Beide Algebren wurde lange vor Entwicklung tiker in unserer Ausbildung – sehr wahrscheinlich –
der Quantenmechanik vollständig ausformuliert, erstmals mit der Pauli- und Dirac-Algebra beim
denn sie stellen letztendlich nichts anderes als Spe- Erlernen der Quantenmechanik in Kontakt kamen,
zialfälle der auf Hermann Günther Grassmann zu- entwickeln wir leicht die Vorstellung, dass Pauli-
rückgehenden Geometrischen Algebra dar. und Dirac-Algebra primär oder sogar ausschließlich
Und deshalb kann ebenso selbstverständlich das mit der Physik der Quantenmechanik verknüpft sind.
bereits 1844 von Grassmann in seiner Ausdehnungs- Dies ist eine dramatische Fehlvorstellung.
lehre formulierte geometrisch-algebraische Analo- Selbstverständlich gibt es zahlreiche Fachgebiete,
gon zur Cramerschen Regel, hier der alten Schreib- die Pauli- und Dirac-Algebra nutzen und die wir in
weise Grassmanns [1, S. 72] folgend, der Physikdidaktik, da in unserer Blickweise fach-
p 0 p 2 p 3 p n spezifisch eingeengt, oft übersehen. Die Informatik
x1 {1} und die Software-Entwicklung sind solche Gebiete.
p1 p 2 p 3 p n Dort werden – insbesondere im Bereich von Compu-
als Ansatzpunkt nicht nur für einen Einstieg in die ter-Graphik, Robotik und Computer Vision beim
Pauli-Algebra, sondern auch für einen veritablen und Beschreiben und Erkennen räumlicher Strukturen –
tragfähigen Einstieg in die Dirac-Algebra genutzt Pauli- und Dirac-Algebra zur Modellierung hyperbo-
werden. lischer, projektiver oder konformer Räume einge-
Denn selbstverständlich lassen sich die Vektoren pi setzt.
in {1} bzw. {2} bereits zu Grassmanns Zeiten nicht In diesen Fachgebieten werden Pauli- und Dirac-
nur als rein Euklidische Vektoren und damit als Algebra als das gedeutet, was sie mathematisch tat-
Linearkombinationen von Pauli-Matrizen interpre- sächlich sind: moderne Ausgestaltungen der Linea-
tieren. ren Algebra. Denn die Basiselemente der Pauli- und
Sehr klar arbeitete schon Grassmann hyperbolische Dirac-Algebra und multiplikative Verknüpfungen
Räume aus [2], so dass die Vektoren pi der Glei- dieser Basiselemente sind geometrisch betrachtet
chungen {1} und {2} auch ohne jegliche Kenntnis nichts anderes als Basis-Vektoren, orientierte Basis-
der Quantenmechanik als Linearkombinationen von Flächenstücke, orientierte Basis-Volumenelemente,
Dirac-Matrizen interpretiert werden können. Dieser etc. [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12],
Interpretation folgt der hier vorgestellte Ansatz. [13], [14], [15].
21Horn
Im Gegensatz zu dieser geometrisch tragfähigen rallelogramme) und später orientierte Volumenele-
Sichtweise wird der Blick auf Pauli- und Dirac- mente (orientierte Parallelepipede) geometrisch sehr
Algebra im physikalischen Bereich sehr durch histo- anschaulich diskutiert und an zahlreichen Beispielen
rische Einengungen getrübt. Wolfgang Pauli und P. leicht nachvollziehbar verdeutlicht.
A. M. Dirac charakterisierten ihre Matrizen als Ope- Ein solches Beispiel wird auch im beigefügten Pos-
ratoren, die auf andere Objekte einwirken. Sie be- ter der Präsentation [24] erläutert:
nannten Pauli- und Dirac-Matrizen jedoch nie als
6 x + 5 y = 40
Operanden, auf die eingewirkt wird.
8 x + 7 y = 54 {6}
Diese Einengung wird heute noch von zahlreichen
Fachkolleginnen und Fachkollegen aus Physik und Dieses algebraische Lineare Gleichungssystem wird
Mathematik weitergetragen und verhindert einen nun geometrisch eingebettet, indem die Koeffizien-
sinnvollen Umgang mit diesen Algebren. ten als Komponenten von Vektoren eines Euklidi-
schen Raums
Selbstverständlich repräsentieren Pauli- und Dirac-
Matrizen Operatoren, also beispielsweise Spiegel- a = 6 x + 8 y
achsen, an denen mathematische Objekte reflektiert b = 5 x + 7 y {7}
werden. Sie repräsentieren aber auch Operanden,
r = 40 x + 54 y
also beispielsweise Vektoren, die gespiegelt werden.
geometrisch gefasst werden. Mit Hilfe von {2}
3. Was bisher geschah ergibt sich der Lösungswert von x durch Division
In bisherigen Ausarbeitungen wurden Materialien des orientierten Flächeninhalts des durch den Ergeb-
zur Einführung in die Pauli-Algebra entwickelt und nisvektor r und den Koeffizientenvektor b aufge-
erprobt, die als Einstieg die (im Folgenden nun in spannten Parallelogramms
moderner Schreibung dargestellte) Formel von r b = (40 x + 54 y) (5 x + 7 y)
Grassmann [1, S. 72]
= 10 xy {8}
p p 2 p3 p n
x1 0 {2} durch den orientierten Flächeninhalt des von den
p1 p 2 p 3 p n beiden Koeffizientenvektoren a und b aufgespannten
Parallelogramms
zur Lösung Linearer Gleichungssysteme
a b = (6 x + 8 y) (5 x + 7 y)
p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + … + pn xn = p0 {3}
= 2 xy {9}
nutzen.
zu
Dieser Einstieg ist auch deshalb so tragfähig und –1
didaktisch überzeugend, weil er im Interesse armer x = (a b) (r b) = 5 {10}
Studenten („in the interest of poor students“ [16]) Dieser simple Lösungsansatz kann selbst mit relativ
dieses Geheimnis („this secret“ [16]), das in der mathematikfernen Studierenden erfolgreich und
hochsteril gereinigten algebraischen Bildung der unter Nutzung von GAALOP auch zeiteffektiv [17]
heutigen Zeit sorgfältig versteckt wird („which is erarbeitet werden.
carefully hidden in the purified algebraic education“ Das Ziel dieses Beitrags ist jedoch, auf eine Verall-
[16]), verrät: Wir vergleichen geometrische Größen, gemeinerung zu blicken. Zum ersten ist da die Ver-
und wir vergleichen sie, indem wir sie dividieren. allgemeinerung auf höher-dimensionale Räume, die
Die äußeren Produkte in Grassmanns Formel {1} schon durch die Grassmannsche Formel {1} voll-
bzw. {2} sind deshalb für Lernende so leicht zu- ständig gegeben wird.
gänglich, weil sie geometrisch gedeutet werden. Im dreidimensionalen Fall eines Linearen Glei-
Im Fall eines Linearen Gleichungssystems zweier chungssystems dreier Gleichungen mit drei Unbe-
Gleichungen mit zwei Unbekannten kannten hätten wir zur Bestimmung von x durch
–1
ax+by=r {4} x = (a b c) (r b c) {11}
sind Zähler und Nenner dieser Formel zwei orien- dann die Division zweier orientierter Volumenele-
tierte Parallelogramme a b und r b, die dividiert mente (bzw. Parallelepipede) zu betrachten.
werden.
Eine zweite, ebenso interessante Verallgemeinerung
Und m Fall eines Linearen Gleichungssystems dreier betrifft die geometrische Einbettung des algebrai-
Gleichungen mit drei Unbekannten schen Linearen Gleichungssystems. Was passiert,
ax+by+cz=r {5} wenn, wir die Koeffizienten des LGS {6} nicht als
sind Zähler und Nenner dieser Formel zwei orien- Komponenten von Vektoren eines Euklidischen,
tierte Parallelepipede a b c und r b c, die also rein räumlichen Raumes deuten, sondern als
dividiert werden. Komponenten von Vektoren einer Minkowskischen
Raumzeit?
In den entwickelten und erprobten Materialien [18]
(englische Fassung siehe [19]) werden also erst Die didaktische Antwort lautet: Wir erhalten einen
einmal orientierte Flächenelemente (orientierte Pa- Einstieg in die Dirac-Algebra.
22Dirac-Algebra: Kurz und schmerzlos
4. Was nun geschieht 5. Matrizeninverse
Die Einbettung in eine Raumzeit im Sinne von Min- Inverse quadratischer Matrizen lassen sich voll-
kowski verlangt, das eine Dimension durch einen kommen analog zum Vorgehen in den Abschnitten
zeitlichen Basisvektor drei und vier bestimmen, indem die Basisvektoren
t2 = 1 {12} als Ergebnisvektoren gesetzt werden.
und die restlichen Dimensionen durch räumliche Am Beispiel des Linearen Gleichungssystems {6}
Basisvektoren erhalten wir dann die beiden Gleichungssysteme
x2 = y2 = z2 = etc… = – 1 {13} 6x+5y=1 6x+5y=0
aufgespannt werden. 8x+7y=0 8x+7y=1 {18}
Im zweidimensionalen Fall des Linearen Glei- Diese algebraischen Linearen Gleichungssysteme
chungssystems {6} werden die Koeffizienten also werden nun geometrisch eingebettet, indem die
als raumzeitliche Vektoren Koeffizienten als Komponenten von Vektoren eines
Euklidischen Raums
a = 6 t + 8 x
a = 6 x + 8 y
b = 5 t + 7 x {14}
b = 5 x + 7 y {19}
r = 40 t + 54 x
r1 = x r2 = y
geometrisch umgedeutet. Mit Hilfe von {2} ergibt
sich der Lösungswert von x durch Division des ori- geometrisch gefasst werden. Mit Hilfe von {2} er-
entierten Flächeninhalts des durch den Ergebnisvek- geben sich dann die Elemente der ersten Zeile der zu
tor r und den Koeffizientenvektor b aufgespannten 6 5
raumzeitlichen Parallelogramms A= {20}
r b = (40 t + 54 x) (5 t + 7 x) 8 7
= 10 tx {15} inversen Matrix A– 1 durch Division der orientierten
Flächeninhalte der durch die Basisvektoren x sowie
durch den orientierten Flächeninhalt des von den y und den Koeffizientenvektor b aufgespannten
beiden Koeffizientenvektoren a und b aufgespannten Parallelogramme
raumzeitlichen Parallelogramms
r1 b = x (5 x + 7 y) = 7 xy {21}
a b = (6 t + 8 x) (5 t + 7 x)
r2 b = y (5 x + 7 y) = – 5 xy {22}
= 2 tx {16}
durch den orientierten Flächeninhalt des von den
zu beiden Koeffizientenvektoren a und b aufgespannten
–1
x = (a b) (r b) = 5 {17} Parallelogramms
Ein Vergleich mit Abschnitt 3 zeigt, dass der a b = (6 x + 8 y) (5 x + 7 y)
Schwierigkeitsgrad der Rechnung nicht zugenom- = 2 xy {23}
men hat. Es ist immer ermutigend für Lernende,
wenn das neu zu Lernende sich am schon Gelernten zu
–1
anlehnt. x1 = (a b) (r1 b) = 3,5 {24}
–1
Dieser Einstieg in die Dirac-Algebra, der die The- x2 = (a b) (r2 b) = – 2,5 {25}
matisierung des inneren Produkts nach hinten
Selbstverständlich ergibt sich wieder der gleiche
schiebt und die Unterschiede zum Vorgehen in der
Lösungswert von x = 5, wenn mit Hilfe einer Matri-
Pauli-Algebra klein hält, ist also tatsächlich kurz
zenmultiplikation
(also zeitschonend möglich) und schmerzlos (also
ohne all zu große Friktionen im konzeptionellen x 3,5 2,5 40 5 {26}
A 1 r
Vorgehen).
y y1 y 2 54 y
Deshalb wurden die Materialien [17] nun für den
englischsprachigen Master-Studiengang Computer probehalber der Lösungsvektor bestimmt wird.
Science der iubh ohne große Umwege direkt in die In der Dirac-Algebra bei raumzeitlicher Einbettung
Dirac-Algebra übersetzt. Es sollen die gleichen Li- sieht der Lösungsweg nahezu identisch aus: Die
nearen Gleichungssysteme gelöst werden, indem Einbettung erfolgt nun wieder in eine Raumzeit im
jetzt die Dirac-Algebra als Algebra der Raumzeit Sinne Minkowskis gemäß
herangezogen wird. a = 6 t + 8 x
Diese neuen Materialien sind im Anhang dieses b = 5 t + 7 x {27}
Beitrags [25] beigefügt.
r1 = t r2 = x
Zur Vertiefung und Einübung dieses Ansatzes kann
Mit Hilfe von {2} ergeben sich dann die Elemente
mit den Studierenden im Anschluss auch auf die
der ersten Zeile der zu A {20} inversen Matrix A– 1
Bestimmung von Matrizeninversen eingegangen
durch Division der orientierten Flächeninhalte der
werden.
23Horn
durch die Basisvektoren t sowie x und den Koeffi- durch den orientierten Flächeninhalt des von den
zientenvektor b aufgespannten Parallelogramme beiden Koeffizientenvektoren a und b aufgespannten
r1 b = t (5 t + 7 x) = 7 tx {28} Parallelogramms
r2 b = x (5 t + 7 x) = – 5 tx {29} a b = (6 x + 8 y + 4 z) (5 x + 7 y + 9 z)
durch den orientierten Flächeninhalt des von den = 2 xy + 44 yz – 34 zx {39}
beiden Koeffizientenvektoren a und b aufgespannten wieder wie erwartet zu
Parallelogramms –1
x = (a b) (r b) = 5 {40}
a b = (6 t + 8 x) (5 t + 7 x) Es macht also keinen großen Unterschied, ob eine
= 2 tx {30} Einbettung in einen nieder- oder höher-dimensio-
zu nalen Raum erfolgt, solange alle Vektoren hier in
–1 einer Ebene liegen.
x1 = (a b) (r1 b) = 3,5 {31}
–1 Oder allgemein: Wenn die n Koeffizientenvektoren
x2 = (a b) (r2 b) = – 2,5 {32} eines Linearen Gleichungssystems aus n + k Glei-
was selbstverständlich wieder auf den gleichen Lö- chungen und n Unbekannten eine n-dimensionale,
sungswert von x = 5 führt. flache Hyperebene im (n + k)-dimensionalen Raum
Und auch hier können mit Hilfe der Grassmann- aufspannen, dann existiert genau dann eine eindeuti-
schen Lösungsformel höher-dimensionale Situatio- ge Lösung, wenn der Ergebnisvektor r = p0 ebenfalls
nen problemlos gelöst werden. Beispielsweise ergibt in dieser n-dimensionalen Hyperebene liegt.
sich für die erste Zeile der Inversen einer (3 x 3)- Und wieder kann dieser Lösungsansatz problemlos
Matrix dann in eine raumzeitliche Betrachtung und damit in die
–1 Dirac-Algebra übersetzt werden:
x1 = (a b c) (r1 b c) {33}
–1 Das konsistente Lineare Gleichungssystem {36}
x2 = (a b c) (r2 b c) {34} wird auch dann gelöst, wenn die Koeffizienten als
–1
x3 = (a b c) (r3 b c) {35} raumzeitliche Vektoren
Und es schadet auch nichts, sich einmal anzuschau- a = 6 t + 8 x + 4 y
en, was Roger Penrose vor seiner Beschäftigung mit b = 5 t + 7 x + 9 y {41}
Schwarzen Löchern so gemacht hat.
r = 40 t + 54 x + 38 y
6. Konsistente, überdeterminierte Lineare Glei- gefasst werden. Mit Hilfe von {2} ergibt sich der
chungssysteme Lösungswert von x durch eine Division des raum-
Eine weitere Verallgemeinerung ergibt sich, wenn zeitlichen, durch den Ergebnisvektor r und den Ko-
konsistente, überdeterminierte Lineare Gleichungs- effizientenvektor b aufgespannten orientierten Paral-
systeme betrachtet werden, also beispielsweise ein lelogramms
konsistentes, eindeutig lösbares Lineares Glei- r b = (40 t + 54 x + 38 y) (5 t + 7 x + 9 y)
chungssystem dreier Gleichungen mit zwei Unbe-
= 10 tx + 170 ty + 220 xy {42}
kannten:
durch das raumzeitliche, von den beiden Koeffizien-
6 x + 5 y = 40
tenvektoren a und b aufgespannte orientierte Paral-
8 x + 7 y = 54 {36} lelogramm
4 x + 9 y = 38 a b = (6 t + 8 x + 4 y) (5 t + 7 x + 9 y)
Auch hier führt eine Anwendung der von Grassmann = 2 tx + 34 ty + 44 xy {43}
aufgezeigten Lösungsformel {1} bzw. {2} zum so-
fortigen Ergebnis. Die geometrische Einbettung er- wieder wie erwartet zu
–1
folgt nun in einen dreidimensionalen Raum, indem x = (a b) (r b) = 5 {44}
die Koeffizienten des überdeterminierten Linearen Eine solche Division ist allerdings nur dann pro-
Gleichungssystems geometrisch als die Vektoren blemlos erlaubt, wenn die orientierten Flächenstücke
a = 6 x + 8 y + 4 z im Zähler und Nenner parallel zueinander liegen.
b = 5 x + 7 y + 9 z {37} Nur dann sind die Prä-Multiplikation von links und
die Postmultiplikation von rechts
r = 40 x + 54 y + 38 z –1 –1
x = (a b) (r b) = (r b) (a b) {45}
gefasst werden. Mit Hilfe von {2} ergibt sich der
Lösungswert von x durch Division des orientierten identisch, da parallele Flächenstücke kommutieren.
Flächeninhalts des durch den Ergebnisvektor r und
7. Verallgemeinerte Matrizeninverse
den Koeffizientenvektor b aufgespannten Parallelo-
gramms Eine Parallelität der orientierten Flächenstücke von
Zähler und Nenner ist bei der Berechnung nicht-
r b = (40 x + 54 y + 38 z) (5 x + 7 y + 9 z)
quadratischer, verallgemeinerter Matrizeninverse
= 10 xy + 220 yz – 170 zx {38} nicht gegeben. Wir erhalten also unterschiedliche
24Dirac-Algebra: Kurz und schmerzlos
Resultate für die Matrizeninverse, je nachdem, ob 40
wir von links prä-multiplizieren oder von rechts x x x2 x 3 5 {56}
A 1 r 1 54
post-multiplizieren. y y1 y2 y 3 y
Die zur (2 x 3)-Koeffizientenmatrix 38
6 5 Dabei wird sichtbar, dass nur die skalaren Anteile
der Komponenten zum Endresultat beitragen. Die
A = 8 7 {46} bivektoriellen Anteile kompensieren sich und fallen
4 9 weg.
Dieser skalare Anteil der Verallgemeinerten Pauli-
linksseitig inverse (3 x 2)-Matrix A– 1 wird im Fol- Algebra-Matrizeninverse [20], [21] entspricht der
genden deshalb durch Prä-Multiplikation mit dem Moore-Penrose Matrizeninversen [22], [23].
inversen äußeren Produkt (a b) – 1 von links gebil-
det. Die benötigten orientierten Flächenstücke wer- 1 160 193 239
A+ = {57}
den dann bei Einbettung in einen rein räumlichen 1548 y1 y 2 y 3
Raum der Pauli-Algebra mit Hilfe der folgenden
Vektoren gebildet Roger Penrose hat es sich also einfach gemacht und
auf eine Diskussion der bivektoriellen, also in der
a = 6 x + 8 y + 4 z
Struktur typisch quaternionischen Zusatzterme,
b = 5 x + 7 y + 9 z {47} verzichtet. Und leider hat er es auch unterlassen,
r1 = x r2 = y r3 = z eine raumzeitliche Formulierung der Moore-
und lauten: Penrose-Matrizeninversen zu geben. Dies werden
wir im folgenden Abschnitt mit Hilfe der Dirac-
r1 b = x (5 x + 7 y + 9 z) Algebra nachholen.
= 7 xy – 9 zx {48}
8. Verallgemeinerte raumzeitliche Matrizeninver-
r2 b = y (5 x + 7 y + 9 z) se
= – 5 xy + 9 yz {49} Die zur Rechteck-Matrix A {46} linksseitig inverse
r3 b = z (5 x + 7 y + 9 z) nicht-quadratische raumzeitliche Matrix A– 1 wird
= – 7 yz + 5 zx {50} wieder durch Prä-Multiplikation mit dem inversen
äußeren Produkt (a b) – 1 von links gebildet.
Und dann ist da noch der orientierte Flächeninhalt
des von den beiden Koeffizientenvektoren a und b Die benötigten orientierten raumzeitlichen Flächen-
aufgespannten rein räumlichen Parallelogramms stücke werden nun durch Einbettung in eine Min-
kowski-Raumzeit gebildet, indem die raumzeitlichen
a b = (6 x + 8 y + 4 z) (5 x + 7 y + 9 z) Vektoren wie bereits bekannt mit Hilfe der Dirac-
= 2 xy + 44 yz – 34 zx {51} Algebra ausgedrückt werden:
Dieses orientierte Parallelogramm kann auch als a = 6 t + 8 x + 4 y
räumliche Determinante der nicht-quadratischen b = 5 t + 7 x + 9 y {58}
Matrix A {46} gedeutet werden.
r1 = t r2 = x r3 = y
Nach kurzer Rechnung und mit Hilfe von
Die raumzeitlichen orientierten Flächenstücke (also
(a b)2 = – 3096 {52} raumzeitliche Parallelogramme) lauten sodann:
ergeben sich die Elemente der ersten Zeile der Ver- r1 b = t (5 t + 7 x + 9 y)
allgemeinerten Pauli-Algebra-Matrizeninverse
–1 = 7 tx + 9 ty {59}
x1 = (a b) (r1 b) {53}
r2 b = x (5 t + 7 x + 9 y)
1
= (160 – 198 xy – 110 yz – 154 zx) = – 5 tx + 9 xy {60}
1548
–1 r3 b = y (5 t + 7 x + 9 y)
x2 = (a b) (r2 b) {54}
= – 5 ty – 7 xy {61}
1
= (193 + 153 xy + 85 yz + 119 zx) Und das raumzeitliche orientierte Flächenstück, das
1548
–1
von den beiden raumzeitlichen Koeffizientenvekto-
x3 = (a b) (r3 b) {55} ren a und b aufgespannt wird und das als raumzeitli-
1 che Determinante der der nicht-quadratischen Matrix
= (– 239 – 9 xy – 5 yz – 7 zx) A gesehen werden kann, ist bereits bekannt und
1548
lautet:
Und auch hier ergibt sich selbstverständlich wieder
der gleiche Lösungswert von x = 5, wenn mit Hilfe a b = (6 t + 8 x + 4 y) (5 t + 7 x + 9 y)
einer Matrizenmultiplikation die Komponenten der = 2 tx + 34 ty + 44 xy {62}
ersten Zeile der verallgemeinerten Matrizeninverse Nach kurzer Rechnung und mit Hilfe von
{53} – {55} zur Berechnung herangezogen werden:
25Horn
(a b)2 = – 776 {63} Band 49, Heft 2, S. 123-141. Wiederabdruck in:
wobei die unterschiedliche Signatur der Basisvekto- Friedrich Engel (1904): Hermann Grassmanns
ren zu berücksichtigen ist, ergeben sich die Elemen- gesammelte mathematische und physikalische
te der ersten Zeile der Verallgemeinerten Dirac- Werke. Zweiten Bandes Erster Theil: Die Ab-
Algebra-Matrizeninverse zu handlungen zur Geometrie und Analysis, her-
–1 ausgegeben von E. Study, G. Scheffers, F. En-
x1 = (a b) (r1 b) {64} gel. Leipzig: Verlag von B. G. Teubner, S. 199-
1 217.
= (– 160 + 198 tx – 154 ty – 110 xy) [3] Hestenes, David (2015): Space-Time Algebra.
388
–1 2. Auflage, Cham, Heidelberg, New York:
x2 = (a b) (r2 b) {65} Springer.
1 [4] Hestenes, David (2002): New Foundations for
= (203 – 153 tx + 119 ty + 85 xy)
388 Classical Mechanics. 2. Auflage, New York,
–1 Boston, Dordrecht: Kluwer Academic Publish-
x3 = (a b) (r3 b) {66} ers.
= 1 (– 69 + 9 tx – 7 ty – 5 xy) [5] Hestenes, David (2003): Oersted Medal Lecture
388 2002: Reforming the Mathematical Language
Und auch hier kompensieren sich die bivektoriellen of Physics. In: American Journal of Physics,
Anteile wieder gegenseitig, so dass bei einer erneu- Vol. 71, No. 2, S. 104-121.
ten Berechnung wie erwartet wieder der skalare [6] Snygg, John (1997): Clifford Algebra. A Com-
Lösungswert von x = 5 ermittelt wird: putational Tool for Physicists. New York, Ox-
ford: Oxford University Press.
40 [7] Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003): Geo-
x x x2 x 3 5 {67}
A 1 r 1 54 metric Algebra for Physicists. Cambridge:
y y1 y2 y 3 y Cambridge University Press.
38 [8] Josipović, Miroslav (2020): Geometric Multi-
Der skalare Anteil der Verallgemeinerten Dirac-Al- plication of Vectors. An Introduction to Geo-
gebra-Matrizeninversen entspricht jedoch nicht mehr metric Algebra in Physics. Cham, Switzerland:
der Moore-Penrose Matrizeninversen, sondern kann Springer Nature.
als raumzeitliches Analogon [9] Vince, John (2008): Geometric Algebra for
Computer Graphics. London: Springer-Verlag.
1 160 203 69
Aspacetime+ = {68} [10] Vince, John (2018): Imaginary Mathematics for
388 y1 y2 y 3 Computer Science. Cham, Heidelberg, New
York: Springer.
zur rein räumlichen Moore-Penrose-Matrizeninver- [11] Perwass, Christian (2009): Geometric Algebra
sen interpretiert werden. Der konventionellen Moo- with Applications in Engineering. Berlin, Hei-
re-Penrose-Matrizeninversen fehlt also der gewisse delberg: Springer.
gravitative, hyperbolische Charme. [12] Hildenbrand, Dietmar (2013): Foundations of
Und das ist heute leider öfter so: Glauben wir wirk- Geometric Algebra Computing. Berlin, Heidel-
lich, dass die Modelle und Strukturen, die wir der- berg: Springer.
zeit in Natur- und Gesellschaftswissenschaften (so [13] Bayro-Corrochano, Eduardo (2005): Handbook
auch im Bereich der Physik sozio-ökonomischer of Geometric Computing. Applications in Pat-
Systeme) konstruieren, lediglich rein räumliche, tern Recognition, Computer Vision, Neural-
Euklidische Strukturen sein sollten? computing, and Robotics. Berlin, Heidelberg:
Oder sollten wir nicht öfters auf hyperbolische Springer.
Strukturen zurückgreifen, um die Modellbildung auf [14] Bayro-Corrochano, Eduardo (2019): Geometric
Grundlage der Dirac-Algebra zu weiten und konzep- Algebra Applications, Vol. I – Computer Vi-
tionell zu öffnen. Es ist anzunehmen, dass bei einer sion, Graphics and Neurocomputing. Cham,
solchen Öffnung einige bisher recht komplexe und Switzerland: Springer Nature.
undurchschaubare Beziehungen leichter zugänglich [15] Bayro-Corrochano, Eduardo (2020): Geometric
und verständlicher werden. Algebra Applications, Vol. II – Robot Model-
ling and Control. Cham, Switzerland: Springer
9. Literatur Nature.
[1] Grassmann, Hermann (1844): Die Wissenschaft [16] Arnold, Vladimir Igorevich (1998): On Teach-
der extensiven Grösse oder die Ausdehnungs- ing Mathematics. In: Uspekhi Mat. Nauk, Vol.
lehre, eine neue mathematische Disciplin. Ers- 53, No. 1, S. 229-234. Englische Übersetzung
ter Theil, die lineale Ausdehnungslehre enthal- in: Russian Math. Surveys, Vol. 53, No. 1, S.
tend. Leipzig: Verlag von Otto Wigand. 229-236.
[2] Grassmann, Hermann (1855): Sur les différents [17] Martin Erik Horn (2018): Die Geometrische
genres de multiplication. In: Crelles Journal, Algebra mit GAALOP im Schnelldurchgang.
26Dirac-Algebra: Kurz und schmerzlos
In: PhyDid B, Didaktik der Physik, Beiträge zur Dem Beitrag beigefügte Medien
DPG-Frühjahrstagung in Würzburg, Url: [24] Horn, Martin Erik (2021): Poster DD 14.4,
www.phydid.de/index.php/phydid- ‚Dirac-Algebra: Kurz und schmerzlos‘ und
b/article/view/881 (Stand 5/2021). Poster SOE 3.8, ‚Dirac Algebra Generalized
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b/article/downloadSuppFile/881/209 (Stand Mathematics (MQM 110)” of the Master pro-
5/2021). gram “Computer Science” at iubh – Internatio-
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2018, BSEL/HWR Berlin, veröffentlicht als für doofe Computer. Ergänzungsfolien des Kur-
Anhang des Beitrags [17] unter der Url: ses „Mathematik 1“ des Bachelor-Studiengangs
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[21] Horn, Martin Erik (2016): Moderne Lineare
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(Hrsg.): Hanse-Kolloquium zur Hochschuldi-
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gleichnamigen Symposium an der Universität
zu Lübeck. Münster: WTM-Verlag, S. 103-129.
[22] Horn, Martin Erik (2018): Verallgemeinerte
Matrizeninverse und Moore-Penrose Matrizen-
inverse aus physikdidaktischer Sicht. In: Phy-
Did B, Didaktik der Physik, Beiträge zur DPG-
Frühjahrstagung in Würzburg, Url:
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b/article/view/851 (Stand 5/2021).
[23] Horn, Martin Erik (2018): Another Introduction
to Geometric Algebra with some Comments on
Moore-Penrose Inverses. Symmetries in Sci-
ence XVII, Journal of Physics, Conference Se-
ries: 1071 (2018) 012012, Bristol: IOP Publish-
ing.
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