"Grundwassersysteme und Numerik" Veranstaltung im Modul Hydrosystemanalyse - Strömungsgleichungen der Grundwasserhydraulik

„Grundwassersysteme und Numerik“
Veranstaltung im Modul Hydrosystemanalyse

- Strömungsgleichungen der Grundwasserhydraulik

Prof. Dr. Olaf Kolditz
Dr. Erik Nixdorf

07.05.2021

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Wiederholung letzte Veranstaltung

 Modelltheorie  Mathematische Modelle zur
 Grundwassermodellierung
 „Modell ist stets Modell-wovon-wozu-
 für wen.“

  Sie wollen ein numerisches Grundwassermodell
 nutzen um Fragestellung XYZ per Simulation zu
 beantworten. Welche/welchen
 Prozess/Prozesskomponenten, Diskretisierung,
 Datenbedarf benötigen sie dafür?
Peters, 1998
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Erhaltungsgesetze

 Numerischen Grundwassermodelle basieren auf der Zerlegung eines Systems in Teilgebiete und der
 Aufstellung von Bilanzgleichungen (partielle Differentialgleichungen) für jedes Gebiet

 Γ

 Fluss von J in Ω Quellen und
In Worten: Akkumulations
 rate für S in Ω = durch die + Senken in Ω
 Oberfläche Γ

 Die Kontinuitätsgleichung kann mit dem Gaußschen Integralsatz hergeleitet werden:

 + − = 0 mit = , , , , 
 
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Massenerhaltungsgesetz für ein Kontrollvolumen

 = 
 
 https://tinyurl.com/veafz3ch
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Massenerhaltungsgesetz für ein Kontrollvolumen

 Änderung der Masse in einem Volumenelement über die Zeit =Σ des
 einströmenden Massenstroms in das Volumenelement - Σ des
 ausströmenden Massenstroms aus dem Volumenelement
 : = ∙ ∙ ∙ Taylor Reihe

 ( ∙ )
 ℎ : = ∙ + ∙ ∙ ∙ 
 
 Schauen wir uns das ganze Element mit den Kantenlängen dx, dy and dz and dem
 Volumen dV= dx*dy*dz an
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Massenbilanz in einem Kontrollvolumen

 mathematischen Ausdruck f¨ur die zeitliche ¨Anderung der Masse im Volumenelement

 Resultiert in:

 Umschreiben und Quellterme: + − = 0
 
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Druckbasierte Gleichung
  Wie definieren wir die Druckabhängigtkeiten

  Wie hängt die Geschwindigkeit vom Druck ab?
  Welche Geschwindigkeit meinen wir hier? Relativ Fluid
 (1) + − = 0
 
  Wie ist die Eigenschaften des Korngerüsts und der Körner zu
 (2) + − = 0 betrachten?  Nur der Porenraumanteil 
 
 Anwendung der Ketten- und
 Produktregel auf den ersten
 Term:
 
 (3) = + 
 
 Massenänderungsrate durch Dichteänderung des Wassers
 Porenraumveränderung

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Druckbasierte Gleichung

 (1) in (2)

 + + − =0
 
 Der Term in den Klammern wird (in der oberflächen-
 nahen Hydrogeologie) oft als Summe zweier From groundwatergeek.com
 Konstanten, der Matrixkompressibilität und der
 Fluidkompressibilität, gesehen:

 1 − + + − =0
 
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Druckbasierte Gleichung

 1 − + + − =0
 
 Der Term in den Klammern ist gleich dem Speicherkoeffizienten geteilt durch die Fluiddichte und
 die Erdbeschleunigung, die zu einer neuen Konstante S‘zusammengefasst werden kann:

 + − 
 
 Schließlich können wir das Darcy-Gesetz anwenden:

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Druckbasierte Gleichung

 Mit vs=0 erhalten wir:
 
 − + − =0
 
 Zwei Fluideigenschaften ρf, die Fluiddichte und µ, die dynamische Viskosität

 κ ist die intrinsische Permeabilität des porösen Mediums, die raum- und richtungsabhängig ist

 S‘ ist der zuvor eingeführte Speicherterm, der raumabhängig ist

 Die druckbasierten Grundwassergleichung können für die numerische Modellierung unter hinzuziehen
 von Rand- und Anfangsbedingungen (Vorlesung 5) genutzt werden

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Speicherkoeffizient

 ungespannt gespannt

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Koeffizientendiskussion

 Implementation im Code (Birdsell et al, 2014)
Temperaturabhängigkeit der Wasserdichte
(Wikipedia)
 Druckabhängikeit der Porosität in
 Sandstein (Hassan et al, 2014)

 Druckabhängighkeit der Wasserdichte
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Potentialbasierte Form

 κ 
 Hydraulisches Potential: = +  Hydraulische Leitfähigkeit: =
 µ
 
 Speicherkoeffizient =
 
 Potential-basierte Form für Strömung durch ein anisotropes gesättigtes
 poröses Medium:

 − − = 0
 
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Hydraulische Leitfähigkeit

 Hydraulische Leitfähigkeit ist abhängig von
 Strömungsrichtung, Aquifertyp und Sättigung

 Für isotrope, homogene Bedigungen gilt:

 − Δ − = 0
 
 https://tinyurl.com/k4pz8m86
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Lösungen mit reduzierter Dimensionalität

 Integration über die Tiefe (z-Richtung) führt zur zweidimensionalen Grundwassergleichung (δh/ δz=0, δK/
 δz=0 )

 − − = 0 Gespannt, linear
 
 − − = 0 Ungespannt, nichtlinear
 
 Das Produkt aus Hydraulischer Leitfähigkeit (K) und Aquifermächtigkeit (M) wird auch als Transmissivität
 (T) bezeichnet

 Beachten sie, S, ist der spezifische Speicherkoeffizient und Sy der „specific yield“, ~ effektive Porosität

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Einfache Lösungen, Beispiel

 − − = 0
 
 ℎ − ℎ0
 ℎ = + ℎ0
 
 Gespannter Aquifer ohne Neubildung und zeitliche Änderungen

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Einfache Lösungen, Beispiel

 − − = 0
 
 D
 2 2
 ℎ = 0 = ℎ0 ℎ − ℎ0 
 ℎ2 = + ℎ02 + − 
 ℎ = = ℎ 

 Ungespannter Aquifer mit
 Grundwasserneubildung

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Einfache Lösungen, Beispiel

 Gespannter 2D Aquifer zwischen zwei Wasserscheiden (Toth Strömung)

 − − = 0
 
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Einfache Lösungen Beispiele

 https://tinyurl.com/y289htxz

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Handkalkulationen im 21. Jahrhundert, wozu?

 Benchmarking von numerischen mathematischen Modellen

 Vermeidung unnötiger Komplexität (Transient, 3D, etc)

 Abschätzung Parametersensitivitäten und Unsicherheiten

 Schärfen der „Modellierintuition“ (Haitjema, 2006)

 Jurgens et al 2016; Vogel 1967

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Faustregeln numerische Modellierung

 Finnemore and Hantzche (1983)

 Haitjema (1995)

 Erkenntnis für die Modellierung:

  Kalibrierung auf Wasserstände ergibt nur Aussagen über
 das Verhältnis Neubildung/Transmissivität
  Kalibrierung ist insensitive für hohe Transmissivitäten
 und im Umfeld von Randbedingungen Grundwasserhügel
 Viele Weitere “Faustregeln” sind ableitbar!!!
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