Lehrplan für Mathematik S6-S7 5 Wocheneinheiten/Perioden

Schola Europaea / Büro des Generalsekretärs

 Abteilung für Pädagogische Entwicklung

Bez.: 2021-01-D-53-de-2
Original: EN

Lehrplan für Mathematik S6-S7
5 Wocheneinheiten/Perioden
Genehmigt durch den Gemischten Pädagogischen Ausschuss
in seiner Online-Sitzung am 11. und 12. Februar 2021

Inkrafttreten: am 1. September 2021 für S6
 am 1. September 2022 für S7

 1. Abiturprüfung im Juni 2023

Europäische Schulen Lehrplan Mathematik Jahr S6&7

 5 Wocheneinheiten

Inhaltsverzeichnis
1. Allgemeine Ziele ...................................................................................................................... 3
2. Didaktische Grundsätze ........................................................................................................... 4
3. Lernziele .................................................................................................................................. 7
 3.1. Kompetenzen ................................................................................................................... 7
 3.2. Querschnittskonzepte ....................................................................................................... 8
4. Inhalt ........................................................................................................................................ 9
 4.1. Themen ............................................................................................................................ 9
 4.2. Tabelle .............................................................................................................................. 9
Parameter- und parameterfreie Formen für Geradengleichungen verwenden ................................ 32
5. Bewertung ............................................................................................................................. 40
 5.1. Leistungsdeskriptoren ..................................................................................................... 42
Anhang 1: Vorgeschlagener Zeitrahmen ....................................................................................... 44
Anhang 2: Beispiele für das schriftliche Examen im Abitur, Lösungen und spezifische Matrix ...... 45

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1. Allgemeine Ziele

 Die Europäischen Schulen verfolgen die beiden Zielsetzungen, formale Bildung zu vermitteln
 und die persönliche Entwicklung der Schüler/innen in einem breiten sozialen und kulturellen
 Kontext zu fördern. Die formale Bildung besteht im Erwerb von Kompetenzen in einer Reihe von
 Bereichen (Kenntnisse, Fertigkeiten und Geisteshaltungen). Persönliche Entwicklung erfolgt in
 zahlreichen geistigen, ethischen, sozialen und kulturellen Zusammenhängen. Sie beinhaltet
 Bewusstsein für angemessenes Verhalten, Verständnis für die Lebensumgebung der
 Schüler/innen und für die Entwicklung der individuellen Identität.

 Diese beiden Ziele werden im Rahmen eines verstärkten Sensibilisierungsprozesses für den
 Reichtum der europäischen Kultur gefördert. Bewusstsein und Erfahren des europäischen
 Miteinanders sollen die Schüler/innen zu mehr Respekt vor den Traditionen jedes einzelnen
 Landes und jeder Region in Europa veranlassen. Dabei können sie ihre eigene nationale
 Identität entwickeln und bewahren.

 Die Schüler/innen der Europäischen Schulen sind zukünftige Bürger/innen Europas und der
 Welt. Sie benötigen eine Reihe von Kompetenzen, um den künftigen Herausforderungen eines
 sich schnell verändernden Umfeldes gewachsen zu sein. Der Europäische Rat und das EU-
 Parlament verabschiedeten 2006 ein europäisches Rahmenwerk für die Schlüsselkompetenzen
 zum lebenslangen Lernen. Darin werden acht genannt, die die persönliche Entfaltung und
 Entwicklung, die Mitwirkung als aktive Bürgerin oder aktiver Bürger, die soziale Inklusion und
 die Beschäftigung betreffen:

 1. Muttersprachliche Kompetenz
 2. Fremdsprachliche Kompetenz
 3. Mathematische Kompetenz und grundlegende naturwissenschaftlich-technische Kompetenz
 4. Digital- und Informationskompetenz
 5. Persönliche, soziale und Lernkompetenz
 6. Bürgerkompetenz
 7. Unternehmerische Kompetenz
 8. Kulturbewusstseins- und kulturelle Kompetenz.

 Die Lehrpläne der Europäischen Schulen sollen zum Erwerb dieser Schlüsselkompetenzen
 beitragen.

 Schlüsselkompetenzen sind so allgemein, dass sie nicht ständig in dem wissenschaftlichen und
 mathematischen Lehrplan wiederholt werden.

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2. Didaktische Grundsätze

 Allgemeine Erläuterung

 Bei der Beschreibung der Lernziele spielen Kompetenzen, verbunden mit einem konkreten
 Inhalt, eine wichtige Rolle. Diese herausragende Bedeutung des Erwerbs von Kompetenzen für
 die einzelnen Lernziele soll sich im Unterricht widerspiegeln. Einzelne Aktivitäten wie
 Experimentieren, Gestalten, Suchen nach Erklärungen und Diskutieren mit Gleichaltrigen und
 Lehrern/Lehrerinnen, unterstützen die Schüler/innen in diesem Kompetenzerwerb. Im
 naturwissenschaftlichen Unterricht wird ein Unterrichtsansatz empfohlen, der den Schülern hilft,
 sich mit Konzepten vertraut zu machen, indem sie Situationen/Alltagsphänomene beobachten,
 untersuchen und erklären, gefolgt von dem Schritt, Abstraktionen und Modelle zu erstellen. Im
 Mathematikunterricht sind Untersuchungen, Abstraktionen und Modellierungen gleichermaßen
 wichtig. Bei diesen Ansätzen ist es unerlässlich, dass eine maximale Schüleraktivität angestrebt
 wird. (Dies heißt nicht, dass die Lehrkraft „abwesend“ ist: Die Klassenführung durch die
 Lehrkraft ist ein wesentlicher Beitrag zur gezielten Stimulierung der Schüleraktivitäten.)

 Das Konzept des forschungsbasierten Lernens (IBL, inquiry-based learning) bezieht sich auf
 diese Ansätze. Eine Übersicht über nützliche Literatur hierzu findet man im PRIMAS-Leitfaden
 für Weiterbildungsanbieter.

 http://primas-project.eu/wp-content/uploads/sites/323/2017/10/PRIMAS_Guide-for-Professional-
 Development-Providers-IBL_110510.pdf

 Das Fach Mathematik

 Der Inhalt und die Struktur, in denen die Themen zum ersten Mal behandelt werden, wenn ein
 Schüler im Sekundarbereich Mathematik lernt, wurden sorgfältig ausgewählt. Es wird
 angenommen, dass dies wie eine “Reise” ist; wenn zu viel Inhalt an einem Punkt erreicht wird,
 besteht allerdings die Gefahr, dass dieser nicht angemessen verstanden wird und daher ein
 allgemeines mathematisches Konzept nicht vollständig verinnerlicht wird. Durch die
 Begrenzung des Inhalts dieses Lehrplans (siehe Tabelle 4.2.) kann jedes Jahr mehr Zeit für die
 Entwicklung von mathematischen Schlüsselkonzepten aufgebracht werden. Dies trifft sowohl
 für Konzepte zu, die schon vorher gelernt wurden, als auch für neue mathematische Begriffe,
 denen ausreichend Zeit für deren Erweiterung eingeräumt wird. Es ist zu beachten, dass die
 Aktivitäten zur Erweiterung nach dem Ermessen des Lehrers durchgeführt werden. Es wird
 jedoch empfohlen, anstelle eines vertikalen Ansatzes zur Erweiterung einen horizontalen
 Ansatz zu verwenden, um den Lernenden ein tieferes Verständnis des mathematischen
 Konzepts zu vermitteln (in Abschnitt 4 wird das Wort „Einschränkung“ verwendet, um
 sicherzustellen, dass die Vertiefung nicht zu weit geht).

 Darüber hinaus wird angenommen, dass dieser Lehrplan der einen Schwerpunkt auf
 Kompetenzen legt, die Schüler/innen dazu ermutigt mehr Freude an Mathematik zu haben, da
 sie nicht nur den Inhalt besser verstehen, sondern auch den Zusammenhang mit den
 historischen Kontexten erkennen (wobei erwartet wird, dass die Geschichte der Mathematik
 über die Zyklen hinweg eingebunden wird) sowie erkennen, wie die Mathematik
 fächerübergreifend angewendet werden kann (diese sind in der vierten Spalte in Tabelle 4.2. zu
 sehen).

 Daher wurden die Lehrpläne speziell auf die Schlüsselkompetenzen (Abschnitt 1.) und die
 fachspezifischen Kompetenzen (Abschnitt 3.1.) abgestimmt. In einigen Fällen sind die
 Schlüsselkompetenzen klar, zum Beispiel die zahlreichen historischen Kontexte (durch das
 Symbol gekennzeichnet), die der Schlüsselkompetenz 8 (kulturelles Bewusstsein und

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Ausdruck) zugeordnet sind. In anderen Bereichen ist der Zusammenhang möglicherweise nicht
 so offensichtlich.

 Eine der Aufgaben im Lernprozess des Schülers ist die Entwicklung der Fähigkeit,
 Rückschlüsse zu ziehen, die Entwicklung von analytischen Fähigkeiten und strategischem
 Denken, die sowohl mit den Schlüssel- als auch mit den fachspezifischen Kompetenzen
 verknüpft sind. Dies ist die Fähigkeit, weitere Schritte zu planen, um ein Problem erfolgreich zu
 lösen, und die Lösungsfindung komplexerer Probleme in kleinere Schritte zu unterteilen. Ein
 Ziel des Mathematikunterrichts ist es, die Intuition der Schüler im Fach Mathematik
 entsprechend ihrem Alter weiterzuentwickeln. Die Fähigkeit, mathematische Konzepte (z. B.
 Winkel, Längen, Flächen, Formeln und Gleichungen) zu verstehen und anzuwenden, ist viel
 wichtiger als das Auswendiglernen formaler Definitionen.

 Dieser Lehrplan wurde so geschrieben, dass er für Lehrer, Eltern und Schüler gleichermaßen
 verständlich ist. Dies ist einer der Gründe, warum Symbole verwendet wurden (siehe Abschnitt
 4.2.). Diese Symbole stellen verschiedene Bereiche der Mathematik dar und sind nicht
 unbedingt mit nur einer Kompetenz verbunden, sondern können eine Reihe von Kompetenzen
 abdecken.

 Um sicherzustellen, dass die Schüler/innen ein gutes Verständnis der Mathematik entwickeln,
 bauen die Kurse von S1 bis S7 linear aufeinander auf, indem die Arbeit des vorherigen Jahres
 als Grundlage zum weiteren Kompetenzaufbau dient. Daher ist es wichtig, dass vor Beginn
 eines Jahres der vorangegangene oder ein ähnlicher Kurs belegt wurde. Der Lehrer ist am
 besten in der Lage, die spezifischen Bedürfnisse der Klasse zu verstehen, und, bevor er mit
 einem bestimmten Thema beginnt, wird erwartet, dass die Schüler/innen über die erforderlichen
 Kenntnisse verfügen. Wenn zum ersten Mal nach einem größeren Zeitraum ein Konzept
 wiederaufgegriffen wird, ist eine Auffrischung immer eine gute Idee. Es sollte beachtet werden,
 dass diese Wiederholung nicht im Lehrplan enthalten ist. Wie bereits erwähnt, steht durch das
 begrenzte Einführen von neuem Lernstoff bei Bedarf Zeit für das Wiederholen zur Verfügung.

 Der Einsatz von Technologie und digitalen Hilfsmittel spielt sowohl in der theoretischen als auch
 in der angewandten Mathematik eine wichtige Rolle, was sich in diesem Lehrplan widerspiegelt.
 Die Schüler sollten die Möglichkeit erhalten, mit verschiedenen Tools wie Tabellenkalkulationen,
 Computeralgebrasystem (CAS) Software, dynamische Geometriesoftware (DGS),
 Programmiersoftware oder anderer Software, die in den jeweiligen Schulen verfügbar sind, zu
 arbeiten und Probleme zu lösen. Technologie und digitale Hilfsmittel sollten eingesetzt werden,
 um das Verständnis der Schüler zu fördern, indem beispielsweise schwierige Konzepte
 visualisiert und interaktive und personalisierte Lernangebote bereitgestellt werden, und nicht nur
 als Ersatz für das Verständnis. Ihr Einsatz wird auch zu einer verbesserten digitalen Kompetenz
 führen.

 Die Lehrer können den Unterricht, die zu verwendenden Materialien und sogar die Reihenfolge,
 in der die Inhalte vermittelt wird, nach eigenem Ermessen gestalten. Der Inhalt und die
 Kompetenzen (in den Tabellen in Abschnitt 4.2., Spalten 2 und 3 angegeben) müssen jedoch
 behandelt werden.

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Der S6 5-Wocheneinheiten Kurs (5P)

 Dieser Kurs wurde speziell für diejenigen geschrieben, die sich für ein Mathematikstudium auf
 höherem Niveau entscheiden wollen oder für Fächer, die Mathematik auf höherem Niveau
 erfordern. Es ist auch ein Kurs für Schüler/innen, die Mathematik lieben und es genießen,
 theoretische Konzepte zu vertiefen.

 Die Schüler/innen müssen beachten, dass die 4-Wocheneinheiten- und 6-Wocheneinheiten-
 Kurse in S5 unterschiedlich sind. So können Schüler/innen, die den 6-Wocheneinheiten-Kurs in
 S5 nicht studiert haben, sich im Nachteil befinden, da dieser 5P-Kurs eine natürliche
 Fortsetzung der Arbeit im 6P-Kurs in S5 ist. Es ist auf jeden Fall empfehlenswert, dass die
 Schüler/innen ein gutes Verständnis für die Themen haben die im S4- und S5 6 Wochen-
 einheiten Kurs behandelt werden.

 Der S7 5-Wocheneinheiten Kurs (5P)

 Dieser Kurs ist eine Fortsetzung des S6 5-Wocheneinheiten-Kurses und es wird dringend
 empfohlen, dass jeder der diesen Kurs beginnen möchte, ein gutes Verständnis der im S6 5-
 Wocheneinheiten-Kurs behandelten Themen und Kompetenzen hat.

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3. Lernziele

 3.1. Kompetenzen

 Die folgende Tabelle erläutert die fachspezifischen Kompetenzen für das Fach
 Mathematik. Hier wird das Schlüsselvokabular aufgelistet, damit beim Lesen der Tabellen
 in Abschnitt 4.2. die beurteilte Kompetenz schnell zu erkennen ist. Es ist zu beachten,
 dass die Liste der wichtigsten Vokabeln nicht vollständig ist und dass dasselbe Wort je
 nach Kontext für mehr als eine Kompetenz gelten kann.

 Weitere Informationen zur Beurteilung des Kompetenzniveaus findet man in Abschnitt 5.1.
 der Leistungsdeskriptoren. Die Schlüsselbegriffe in dieser Tabelle sind diejenigen, die
 benötigt werden, um eine ausreichende Note zu erhalten.

 Schlüsselkonzepte
 Kompetenz (Erreichen einer Note Schlüsselvokabular
 zwischen 5.0 und 5.9)
 1. Kenntnisse und Ausreichende Kenntnisse und Anwenden, klassifizieren,
 Verständnis Verständnis von einfachen vergleichen, konvertieren,
 mathematischen Begriffen, definieren, bestimmen,
 Symbolen und Prinzipien. erweitern, faktorisieren,
 identifizieren, kennen,
 verändern, benennen, ordnen,
 beweisen, wiedergeben,
 erkennen, runden, vereinfachen,
 verstehen, verifizieren, …

 2. Methoden Führt mathematische Prozesse in Anwenden, berechnen,
 einfachen Kontexten mit einigen entwickeln, umwandeln,
 Fehlern aus. zeichnen, verändern, skizzieren,
 vereinfachen, lösen, verwenden,
 überprüfen, …

 3. Problemlösen Übersetzt Alltagsprobleme in Klassifizieren, vergleichen,
 mathematische Fachsprache und erstellen, entwickeln, anzeigen,
 versucht, zu einem Ergebnis zu schätzen, generieren,
 kommen. interpretieren, untersuchen,
 messen, modellieren, darstellen,
 runden, vereinfachen, lösen, …

 4. Interpretation Versucht aus Informationen Berechnen, zurückführen,
 Schlussfolgerungen zu ziehen und kreieren, entwickeln, entdecken,
 zeigt ein begrenztes Verständnis darstellen, generieren,
 für die Angemessenheit der interpretieren, untersuchen,
 modellieren, …
 Ergebnisse.
 5. Kommunikation Präsentiert Argumentation und Berechnen, zurückführen,
 Ergebnisse im Allgemeinen entwerfen, entdecken,
 angemessen; benutzt einfache darstellen, interpretieren,
 mathematische Terminologie und untersuchen, modellieren,
 präsentieren, …
 Schreibweise.
 6. Digitale Verwendet die Technologie in Berechnen, konstruieren,
 Kompetenz1 einfachen Situationen erstellen, anzeigen, zeichnen,
 zufriedenstellend. modellieren, präsentieren, lösen,
 …

1 Diese Kompetenz ist Teil des Europäischen Rahmens für digitale Kompetenz (https://ec.europa.eu/jrc/en/digcomp).

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3.2. Querschnittskonzepte

 Die Liste der Querschnittskompetenzen stellt die Lernziele in einen breiteren Kontext, der
 z.B. die Grundlage für ein lehrplanübergreifendes Projekt bilden kann. Diese Liste der
 Querschnittskompetenzen ist die gleiche für alle wissenschaftlichen und mathematische
 Lehrpläne. Die vorläufige Liste für den Unterricht basiert auf der nächsten Generation
 naturwissenschaftlicher Standards in den Vereinigten Staaten (National Research
 Council, 2013):

 Konzept Beschreibung

 1. Muster Beobachtete Muster von Formen und Ereignissen leiten die Organisation
 und die Klassifikation und ermutigen zu Fragen über Verbindungen und die
 Faktoren, die sie beeinflussen.

 2. Ursache und Ereignisse haben Ursachen, manchmal einfache, manchmal komplexere.
 Wirkung Das Entschlüsseln kausaler Zusammenhänge und der Mechanismen, durch
 die sie herbeigeführt werden, ist eine wichtige wissenschaftliche Tätigkeit.
 Solche Mechanismen können dann in bestimmten Kontexten getestet und
 verwendet werden, um Ereignisse in neuen Kontexten vorherzusagen und
 zu erklären.

 3. Skala, Bei der Betrachtung von Phänomenen ist es entscheidend zu erkennen, was
 Proportionalität auf verschiedenen Größen-, Zeit- und Energieskalen relevant ist, und zu
 erfassen, wie sich Änderungen in Maßstab, Anteil oder Menge auf die
 und Menge Struktur oder Leistung eines Systems auswirken.

 4. Systeme und Die Definition des untersuchten Systems - die Spezifizierung seiner Grenzen
 Systemmodelle und die Verdeutlichung eines Modells dieses Systems - liefert Instrumente
 zum Verständnis der Welt. Je nach Fragestellung können Systeme oft in
 Teilsysteme eingeteilt sein; Systeme können auch zu größeren Systemen
 kombiniert werden.

 5. Ströme, Zyklen Die Beobachtung der Flüsse von Energie und Materie in, aus und innerhalb
 und Erhaltung von Systemen trägt zum Verständnis der Möglichkeiten und der Grenzen
 dieser Systeme bei.

 6. Struktur und Die Art und Weise, wie ein Gegenstand oder lebendes Wesen geformt oder
 Funktion strukturiert ist, bestimmt viele seiner Eigenschaften und Funktionen.

 7. Stabilität und Sowohl für künstliche als auch für natürliche Systeme sind Bedingungen, die
 Veränderung die Stabilität beeinflussen, und Faktoren, die Veränderungen kontrollieren,
 wichtige Elemente bei der Entwicklung eines Systems und müssen daher
 studiert werden.

 8. Natur der Jede Wissenschaft stützt sich auf eine Reihe grundlegender Konzepte, wie
 Wissenschaften die Notwendigkeit empirischer Beweise und ein Begutachtungsprozess (z.B.
 Peer Review).

 9. Werteorientiertes Werteorientiertes Denken beinhaltet Konzepte von Gerechtigkeit,
 Denken Ausgewogenheit, sozial-ökologischer Integrität und Ethik bei der
 Anwendung wissenschaftlicher Erkenntnisse.

 In den mathematischen Lehrplänen werden die Begriffe 5 und 8 nur in begrenztem
 Umfang behandelt.

 Die Auflistung der Kompetenzen und Querschnittskonzepte wird als fächerübergreifender
 Bindungsmechanismus dienen. Die Teilbereiche in den einzelnen Lehrplänen beziehen
 sich auf diese beiden Aspekte, indem sie in den Lernzielen mit ihnen verknüpft werden.

 http://ngss.nsta.org/Professional-Learning.aspx

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4. Inhalt

 4.1. Themen

 Dieser Abschnitt enthält die Tabellen mit den Lernzielen und den Pflichtinhalten für das
 Fach Mathematik in S6 und S7 (5 Wocheneinheiten/5P).

 4.2. Tabelle

 Erläuterungen zu den Tabellen auf den folgenden Seiten

 Die Lernziele sind die Ziele des Lehrplans. Sie werden in der dritten Spalte beschrieben.
 Dazu gehört das fett hervorgehobene Schlüsselvokabular, das mit den spezifischen
 mathematischen Kompetenzen in Abschnitt 3.1. dieses Dokuments verknüpft ist. Diese
 Ziele beziehen sich auf Inhalte und Kompetenzen. Der Pflichtinhalt wird in der zweiten
 Spalte beschrieben. Die letzte Spalte wird für vorgeschlagene Aktivitäten,
 Schlüsselkontexte und konkrete Situationen/Alltagsphänomene verwendet. Den
 Lehrenden steht es frei, diese Vorschläge oder ihre eigenen zu verwenden, sofern das
 Lernziel und die Kompetenzen erreicht werden. Es ist zu beachten, dass das Wort
 "Beschränkung" verwendet wird, um sicherzustellen, dass bei der Planung einer
 Erweiterung die Idee einer horizontalen Erweiterung anstelle einer vertikalen Erweiterung
 verwendet wird, wie in Abschnitt 2. dieses Dokuments erwähnt wird.

 Verwendung von Symbolen

 Darüber hinaus gibt es sechs verschiedene Symbole, die die in der letzten Spalte
 angegebenen Bereiche anzeigen:

 Aktivität

 Querschnittskonzepte

 Digitale Kompetenz

 Erweiterung

 Geschichte

 Phänomen

 Jedes dieser Symbole hebt einen anderen Bereich hervor und erleichtert das Lesen des
 Lehrplans. Diese Bereiche basieren auf den in Abschnitt 1. dieses Dokuments genannten
 Schlüsselkompetenzen.

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S6 5 Wocheneinheiten (5P)

 Jahr 6 (5P) THEMA: ALGEBRA
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Einführung in Komplexe Zahl der Den Realteil, den Imaginärteil, das Zum Beispiel den historischen Kontext der komplexen
die komplexen Form = + Konjugierte einer komplexen Zahl und Zahlen betrachten:
Zahlen das Inverse einer von Null • Auflösung der Gleichung dritten Grades: Wie
 verschiedenen komplexen Zahl Bombelli die Cardano-Methode zur Lösung von
 bestimmen Gleichungen des Typs 3 = + erweiterte
 Mit komplexen Zahlen rechnen: • √−1 wird verwendet, um reelle Lösungen eines
 Summe, Produkt, Quotient Gleichungssystems zu berechnen
 Quadratische Eine quadratische Gleichung mit • Das Basler Problem, das zur Riemannschen
 Gleichungen mit reellen Koeffizienten lösen, d.h.: Hypothese führt
 komplexen Lösungen 2 + + = 0 mit a, b, c ∞
 1 1 1 1 2
 a  0 , ∆< 0 ∑ = 1 + + + + ⋯ =
 2 4 9 16 6
 Probleme untersuchen, die zum =1
 Lösen von Gleichungen mit ∞

 komplexen Zahlen führen 1 1 1 1
 ( ) = ∑ 
 = + + +⋯
 1 2 3
 =1
 2
 (2) =
 6
Folgen Begriff der Folgen Den Begriff der Folgen anhand von Konzepte von Wachstum und Verfall.
 Beispielen verstehen

 • Projektvorschlag: Das Wachstum und den Verfall
 von natürlichen, wissenschaftlichen und
 wirtschaftlichen Phänomenen studieren.
 • Man erkunde:
 o Die Collatz-Folge
 o Die Recamán-Folge
 o Die Primzahlen / Die Mersenne-Primzahlen
 o Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt.

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Jahr 6 (5P) THEMA: ALGEBRA
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Ungelöstes Problem in der Mathematik: Erreicht die
 Collatz-Folge für alle positiven ganzzahligen
 Anfangswerte irgendwann 1?
 Einen Algorithmus zur Untersuchung der maximalen
 Länge (d. h. der kleinste i so dass gleich 1 ist) in
 Abhängigkeit vom Startglied entwerfen.
 Die Begriffe explizit Die Schreibweise von explizit oder
 und/oder rekursiv rekursiv definierten Folgen (erstes
 definierter Folgen Glied u0 oder u1) kennen
 Mit und ohne Tabellenkalkulation,
 Glieder einer explizit und / oder
 rekursiv definierten Folge berechnen
 Das grafische Verhalten einer Folge
 beobachten
 Zunehmende, Bestimmen, ob eine explizit definierte Bestimmen, ob eine rekursiv definierte Folge
 abnehmende Folgen Folge zunehmend oder abnehmend zunehmend oder abnehmend ist.
 (monoton) ist
 Grenzwerte Den Grenzwert einer explizit Die nachstehend aufgeführten Folgen behandeln:
 definierten Folge berechnen (−1) 1
 (−1) , 
 , .
 Grafisches Verhalten Ein technologisches Hilfsmittel
 von Folgen verwenden, um eine Folge sowohl
 explizit als auch rekursiv einzugeben,
 darzustellen und ihre Eigenschaften
 zu interpretieren

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Anmerkung 1:

 Wenn nicht anders angegeben, gelten alle Kenntnisse und Fähigkeiten, die in der Analysis angegeben sind, ohne technologisches
 Hilfsmittel nur für diesen Satz von Grundfunktionen für , , , ∈ ℝ, ≠ 0:

 · + 
 • Polynomfunktionen vom Grad ≤ 3 • · + 
 • √ · + 
 • · cos( · + ) + • · sin( · + ) + • tan 
 • · für ∈ ℝ>0 , ≠ 1 • · · + 
 • · log ( · + ) + für ∈ ℝ>0 , ≠ 1, insbesondere = (ln), = 10 (log) und = 2 (lb)

 Anmerkung 2:

 Die Nutzung geeigneter technologischer Hilfsmittel erlaubt es im Bereich der Analysis, sich nicht weiter auf die Untersuchung der oben
 genannten Funktionen zu beschränken.

 Anmerkung 3:

 Es wird empfohlen, die Analysis auf zwei Semester aufzuteilen und exponentielle/ logarithmische Funktionen erst im zweiten Semester zu
 behandeln. Dies ermöglicht, die bereits gelernten Konzepte mit Hilfe neuer Funktionen zu wiederholen.

JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Einführung in Funktionen als Modelle Wiederholen, dass reale
reelle Lebenssituationen mathematisch
Funktionen modelliert werden können (mit
 Funktionen, Graphen, ...)
 Eigenschaften einer Eigenschaften von Funktionen aus S5
 Funktion verstehen und erweitern. Folgende
 Begriffe einführen: Definitionsmenge,
 Wertemenge, Parität und Periodizität
 einer Funktion
 Sowohl graphisch als auch
 algebraisch bestimmen:
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JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Definitionsmenge, Wertemenge,
 mögliche Nullstellen, Vorzeichen,
 Parität (gerade, ungerade Funktionen
 oder keine von beiden) und
 Periodizität von Funktionen
 Kombinationen von Die Summe, das Produkt, den Diskutieren Sie entfernbare Unstetigkeiten und
 Funktionen Quotienten und die Verknüpfung von Kontinuität im Allgemeinen sowie linke und rechte
 Funktionen definieren und die Grenzen.
 Auswirkungen dieser Definition auf die
 Definitionsmenge untersuchen
 Mögliche Nullstellen für eine kubische Algebraische vs. transzendente Zahlen.
 Funktion bestimmen, indem man das
 Produkt aus einer linearen und
 quadratischen Funktion betrachtet,
 beide mit realen Koeffizienten
 Graphen von Die Graphen der gegebenen
 Funktionen Grundfunktionen zeichnen (siehe
 Anmerkung 1 oben)
 Ein technologisches Hilfsmittel
 verwenden, um das Verhalten der
 Graphen zu untersuchen
 Ein Verständnis für Umkehrfunktionen
 entwickeln und die Zusammenhänge
 zwischen den Graphen von
 Umkehrfunktionen untersuchen
 Die Auswirkung der folgenden
 Transformationen auf den Graphen
 einer Funktion untersuchen,
 beginnend mit der Arbeit in S5 zur
 Vervollständigung des Quadrats:
 ( ) + , ( + ), · ( ), ( · ),
 ∈ℝ
 Von einer arithmetischen Operation
 (Addition, Subtraktion, Multiplikation
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JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 mit einer Konstanten) zu einer
 geometrischen Transformation
 wechseln (und umgekehrt)
Grenzwerte Grenzwerte der Die Begriffe bestimmter und Erforschen:
 Grundfunktionen unbestimmter Grenzwerte einer • Begriff der Unendlichkeit.
 Funktion in der Umgebung eines • Zenonsche Paradoxien.
 Punktes sowie im Unendlichen • Georg Cantor und die verschiedenen
 verstehen Größenordnungen von Unendlichkeit.
 • Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion von rechts
 [bzw. links] zu einem Punkt.
 Grenzwerte bestimmen:
 • im Unendlichen
 • einseitige Grenzwerte
 (rechts- und linksseitig )
 • Grenzwerte an den
 Rändern der
 Definitionsmenge
Ableitung Ableitung einer Die Bedeutung der Ableitung einer Momentangeschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck (
 Funktion an einer Stelle Funktion an einer Stelle verstehen erste Ableitung der Beschleunigung).
 Die Ableitung einfacher Funktionen* • Kontroverse zwischen Leibnitz und Newton.
 als Grenzwert des • Die Ableitung als Grenzwert des
 Differenzenquotienten untersuchen, Differenzenquotienten kann algebraisch erforscht
 ( + ℎ) − ( ) werden (zum Beispiel mit Python oder GeoGebra).
 = lim
 ℎ→0 ℎ
 *Zum Beispiel an folgenden Funktionen:
 • Polynomfunktionen vom Grad ≤3
 · + 
 • · + 
 • √ · + 
 Die Ableitungsregeln auf
 obengenannte Grundfunktionen
 anwenden (einschließlich der Regeln
 für Summe, Produkt, Quotient und
 Verknüpfung zweier Grundfunktionen
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JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 (Kettenregel)
 Erste und zweite Die erste und zweite Höhere Ableitungen von Funktionen berechnen.
 Ableitungsfunktionen Ableitungsfunktion berechnen und
 deren Bedeutung interpretieren
 Von algebraischen Schreibweisen zu
 grafischen Darstellungen der
 Ableitungsfunktionen wechseln (und
 umgekehrt)
 Tangente an einem Die Steigung und/oder die Gleichung
 Graphen einer Tangente an einem Graphen in
 einem gegebenen Punkt berechnen
Anwendung Verhalten einer Die Begriffe Grenzwert und Ableitung
von Funktion anwenden in Bezug auf: An Optimierungsaufgaben anwenden
Grenzwerten • vertikale oder horizontale
und Asymptoten
Ableitungen • zunehmende, abnehmende und
 konstante Funktion (auf einem
 Intervall) Anwendung in der Wirtschaftslehre erforschen:
 • mögliche Extrema (lokal, absolut) Randanalyse.
 • Wendepunkte
 Charakteristische Merkmale einer
 Funktion anhand des Graphen der
 Ableitungsfunktion bestimmen (und
 umgekehrt)
Potenzen und Logarithmus- und Den Begriff der Exponentialfunktionen
Logarithmen Exponentialfunktion wiederholen und die
 Logarithmusfunktion einführen
 Die Eigenschaften dieser Funktionen
 und ihrer Graphen untersuchen
 Natürliche Die Exponentialfunktion mit Basis Differentialgleichung erster und zweiter Ordnung.
 Logarithmusfunktion als Lösung von ’ = und (0) = 1,
 und untersuchen und die natürliche
 Exponentialfunktion mit Logarithmusfunktion als Einen Algorithmus zum Lösen der Gleichung ’ = 
 Basis Umkehrfunktion der -Funktion entwerfen und ihn für verschiedene Schrittgrößen
 implementieren.
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JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 (Exponentialfunktion mit Basis )
 Den natürlichen Logarithmus und die
 Exponentialfunktion mit der Basis 
 definieren
 Die Eigenschaften von Potenzen Tonleiter (Musiktheorie) und Potenzen erforschen: Der
 verstehen und diese verwenden, um Ton A unter dem mittleren C schwingt mit 220Hz. A#
 1
 das Verständnis der Schüler für die schwingt mit 220 212 Hz. Was ist mit B, dem mittleren C,
 Regeln für Logarithmen zu C# usw.?
 überprüfen und zu erweitern:
 • ∙ = + 
 1
 • − = 
 • ( ) = ∙ 
 • log ( · ) = log + log 
 1
 • log ( ) = − log 
 
 • log ( ) = ∙ log 
 • wobei , , , ∈ ℝ>0 \{1}, , ∈
 ℝ
 Gleichungen und Gleichungen und Ungleichungen mit Napier/Briggs Logarithmentafeln.
 Ungleichungen Logarithmen und/oder Potenzen mit
 oder ohne Basis lösen;
 diskutieren, wann man eine ungültige Einen Algorithmus entwerfen, um die Nullstellen einer
 Lösung verwirft einfachen Funktion zu finden (z.B. f gegeben durch
 f ( x) = ln + ) nach dem Newton-Verfahren
 (Tangentenverfahren)
 Eigenschaften von Definitionsmenge, Schnittpunkt(e) mit Anwendungen nutzen aus u.a. den Bereichen Physik,
 Logarithmus- und den Koordinatenachsen, Grenzwerte, Biologie, Wirtschaft.
 Exponentialfunktionen Asymptoten, Ableitung und Verhalten,
 Tangente am Graphen in einem
 gegebenen Punkt, Extrema,
 Krümmung und Wendepunkte
 bestimmen, die zum Zeichnen der
 Graphen der Funktionen führen

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JAHR 6 (5P) THEMA: ANALYSIS
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Ein technologisches Hilfsmittel
 verwenden, um Schritt für Schritt die
 Berechnungen durchzuführen, die für
 die Prüfung der oben genannten
 Merkmale erforderlich sind

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JAHR 6 (5P) THEMA: GEOMETRIE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Vektormodell Geraden in der Ebene, Vektorielle Darstellung einer Geraden, Die Lösungen einer Gleichung darstellen: geometrische
für die 2D- Punkte auf einer Parameter- und parameterfreie Form Ortskurven.
Ebene: Geraden einer Geradengleichung erstellen
Gleichungen Wie ähnlich sind sich Mathematik und Philosophie? "Ich
von Geraden denke; also bin ich." René Descartes, der Vater der
und modernen Philosophie. Kartesische Geometrie.
Anwendungen
 Schnittpunkt der Die gegenseitige Lage zweier • Euklidische Geometrie. Die Geschichte des
 Geraden Geraden analysieren: sich Parallelpostulats.
 schneidende Geraden, identische • Euklidische, elliptische und hyperbolische Räume.
 Geraden, parallele Geraden; die
 Koordinaten des Schnittpunkts zweier
 Geraden berechnen
 Das Skalarprodukt von 2D-Vektoren,
 orthogonale Vektoren kennen und
 verstehen, den Abstand zwischen
 zwei Punkten berechnen
 Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras,
 die Kreisgleichung in Koordinatenform
 bestimmen
 Winkel zwischen zwei Abstand zwischen parallelen Geraden
 sich schneidenden berechnen; Winkel zwischen zwei
 Geraden sich schneidenden Linien berechnen
 Parallele und Parallele Geraden aus ihren
 senkrechte Geraden Gleichungen definieren; die
 Gleichung einer zu einer gegebenen
 Geraden parallelen Geraden
 erstellen, die durch einen gegebenen
 Punkt verläuft
 Zueinander senkrechte (orthogonale)
 Geraden aus ihren Gleichungen
 definieren; die Gleichung einer

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JAHR 6 (5P) THEMA: GEOMETRIE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Geraden erstellen, die senkrecht zu
 einer anderen Geraden steht und
 durch einen gegebenen Punkt verläuft
 Abstand zwischen Die gegenseitige Lagebeziehung
 einem Punkt und einer eines Punktes und einer Geraden
 Geraden, zwei untersuchen; den Abstand von
 parallelen Geraden einem Punkt zu einer Geraden
 definieren und berechnen
 (senkrechte Projektion)
 Anwendungen einer Die Koordinate der orthogonalen
 Geraden in einer (senkrechten) Projektion eines
 Ebene Punktes auf eine Gerade definieren
 und berechnen
 Den Geschwindigkeitsvektor eines
 bewegten Objekts und die
 Geschwindigkeit des Objekts
 bestimmen

 2021-01-D-53-de-2 19/67

JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Kombinatorik Baumdiagramme Ereignisse in Baumdiagrammen Die Anwendungsgrenzen der Baumdiagramme
 darstellen diskutieren.

 Permutationen, Situationen der elementaren Die Fallzahlen in den folgenden Situationen
 Variationen und kombinatorischen Analyse erkennen untersuchen:
 Kombinationen und modellieren: • Pfade in Gitterproblemen
 Ohne Mit • Passwörter mit einer maximalen Länge und einer
 Wieder- Wieder- Reihe von erlaubten Zeichen
 holung holung
 • eindimensionaler Barcode (EAN-Protokoll), ISBN
 Permutationen und ISSN
 von !
 Elementen • Telefon- und Kontonummern in verschiedenen
 Ländern
 Variationen/
 Permutationen • Autokennzeichen/Nummernschilder in
 von ! verschiedenen Ländern
 Elementen aus 
 einer
 ( − )! • die Anordnung von Büchern in einem Regal mit
 Stichprobe von oder ohne Randbedingungen.
 
 • Platzierung oder Podiumsplatz bei einem
 + −1 Wettbewerb
 ( ) ( )
 
 Kombinationen = = • Ergebnisse von Lotterien in verschiedenen Ländern
 ! ( + − 1)! (Anzahl der Kugeln und Regeln sind je nach
 ( 
 ! ∙ − )! ! ∙ ( − 1)! Bevölkerung des Landes unterschiedlich),
 einschließlich der Ergebnisse des zweiten und
 höheren Ranges
 • Karten die man beim Kartenspielen auf der Hand
 hält
 Ein einfaches Programm schreiben, um die Fakultät
 einer gegebenen ganzzahligen Zahl zu berechnen.

 Die Catalan Zahlen.

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JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Formeln in der Die folgenden Kombinationsformeln Ein einfaches Programm zur Berechnung des
 
 Kombinatorik anwenden: Binomialkoeffizienten ( ) schreiben und die
 
 • ( )=( )=1 nebenstehenden kombinatorischen Formeln für zwei
 0 gegebene ganze Zahlen und .
 
 • ( )= 
 1
 
 • ( )=( )
 − 
 −1 −1
 • ( )=( )+( )
 −1 
 Pascal‘sches Dreieck Das Pascal‘sche Dreieck und den Beweisen und veranschaulichen Sie mit dem
 und Newtons Newton'schen Binomialsatz Pascal‘schen Dreieck:
 binomischer Satz verstehen und anwenden: 
 
 ( + ) = ∑ =0 ( ) · · − ( ) + ( ) + ⋯+ ( ) + ( ) = ∑ ( ) = 2 
 0 1 −1 
 =0

 Summenschreibweise Die Summenschreibweise für
 endliche und unendliche Summen
 verstehen und anwenden, z. B:
 1 1
 ∑ =1 , ∑ =1 2 , ∑∞ ∞
 =1 , ∑ =1 2
 
Wahrschein- Elementare Die folgenden allgemeinen • Verwenden Sie die von der Klasse gesammelten
lichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsregeln ableiten, Daten, z. B. zu spät oder pünktlich zur Schule
 um die Wahrscheinlichkeit eines kommen und das benutzte Verkehrsmittel für den
 Ereignisses zu berechnen: Schulweg (Auto, Bus, Fahrrad, ...).
 • ( ̅) = 1 − ( ) • Zur Visualisierung dieser Regeln können Venn-
 • ( ∪ ) = ( ) + ( ) für Diagramme verwendet werden.
 ∩ =∅
 • ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
 für ∩ ≠ ∅
 Bedingte Die Regel und die Schreibweise für
 Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit
 kennen:

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JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 ( ∩ )
 ( ) = ( | ) = und in
 ( )
 entsprechenden Situationen
 anwenden
 Abhängige und Unabhängige Ereignisse mit Hilfe der • Zur Visualisierung dieser Regeln können
 unabhängige folgenden Formeln identifizieren: Baumdiagramme und Kontingenztabellen
 Ereignisse ( ∩ ) = ( ) ∙ ( ) was verwendet werden.
 gleichbedeutend ist mit • Verwenden Sie Daten aus den (Sozial-
 ( ) = ( | ) = ( ) und )Wissenschaften.
 ( ) = ( | ) = ( )
 Das Prinzip der totalen Das Prinzip der totalen
 Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeit verstehen und
 die Formel von Bayes anwenden ( ) = ( 1 ) ∙ ( | 1 ) +
 ( 2 ) ∙ ( | 2 )
 Die Formel von Bayes verstehen und Sich über Impfungen und Krankheitstests, Bluttests
 anwenden oder andere Tests informieren:
 für ∈ {1,2}): ( | ) =
 ( )∙ ( | ) • Die Formel von Bayes verwenden, um zu zeigen,
 ( )
 dass die Zuverlässigkeit eines Tests vom
 für zwei Ereignisse Prozentsatz der infizierten Personen innerhalb einer
 Einschränkung: Die Formel Population abhängt
 ( | )∙ ( )
 ( | ) = muss nicht
 ( | )∙ ( )+ ( | )∙ ( ̅)
 ̅ • sei der Anteil der infizierten Personen. Folgende
 ausdrücklich bekannt sein, aber mit rationale Funktion untersuchen, die gegeben ist
 entsprechenden Hinweisen können durch ( ) = (infiziert|positiv):
 Situationen untersucht werden, die sich zunehmend/abnehmend, Schranken ...
 auf sie beziehen
 • Soll man die Sensitivität oder die Spezifität des
 Tests verbessern, um den Anteil der falsch-
 positiven Ergebnisse zu reduzieren?
Diskrete Diskrete Den Begriff einer endlichen diskreten Zufällige Prozesse im täglichen Leben und in
Verteilungen Zufallsvariablen Zufallsvariablen und ihrer wissenschaftlichen Zusammenhängen.
 Wahrscheinlichkeiten erklären

 2021-01-D-53-de-2 22/67

JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion einer Beispiele für diskrete Gleichverteilungen untersuchen:
 diskreten Zufallsvariablen , gegeben • Münzen werfen
 durch ( ) = ( = ) für 1 ≤ ≤ 
 • würfeln
 verstehen und anwenden
 Beispiele für diskrete Verteilungen untersuchen:
 • Poisson-Verteilung:
 o Anzahl der Verkehrsunfälle an einem Tag
 o Emission von Alpha-Teilchen aus einem
 radioaktiven Stichprobe
 o Anzahl der Fehldrucke pro Seite in Büchern
 o Benfordsches Gesetz der abnormalen Zahlen
 Summenfunktion Wissen, dass sich die
 Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren
 Die Summenfunktion einer diskreten
 Zufallsvariablen verstehen und
 anwenden:
 ( ) = ( ≤ ) = ∑ ≤ ( = )
 Erwartungswert Den Erwartungswert einer diskreten Den Gewinnerwartungswert für Glücksspiele
 Zufallsvariablen verstehen, untersuchen.
 interpretieren und berechnen als
 ( ) = ∑ ∙ ( = )
 Varianz und Die Varianz und die Verschiedene Spiele/Versicherungen anhand des
 Standardabweichung Standardabweichung einer diskreten Erwartungswerts vergleichen und bestimmen, ob sie
 Zufallsvariablen verstehen, fair sind.
 interpretieren und berechnen als
 2
 ( ) = ∑ ( − ( )) ∙ ( = )
 Folgende Formeln ableiten und • Beweis, dass für eine Zufallsvariable X, die eine
 anwenden der +1
 Gleichverteilung über {1, 2, . . . , } hat: ( ) = 2
 • ( 2 ) = ∑ 2 ∙ ( = ) 2 −1
 und ( ) = .
 • ( ) = ( 2 ) − ( ( ))2 12

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JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 • ( ) = √ ( ) • Linearkombinationen von Zufallsvariablen.
 Bernoulli-Prozess und Einen Bernoulli-Prozess erkennen
 Binomialverteilung und die Bedingungen erklären, unter
 denen eine Zufallsvariable einer
 Binomialverteilung folgt
 Wahrscheinlichkeiten berechnen Untersuchen Sie mit einem technischen Hilfsmittel, wie
 ( = ), ( ≤ ), ( ≥ ) und sich die Variation der Parameter auf die Symmetrie des
 ( ≤ ≤ ′) für eine binomialverteilte Graphen der Binomialverteilung auswirkt.
 Zufallsvariable :
 • von Hand für < 5 unter
 Verwendung der Bernoulli-Formel:
 
 ( = ) = ( ) ∙ ∙ (1 − ) − 
 
 • durch den Einsatz eines
 technologischen Hilfsmittels
 Binomialparameter, Die Begriffe Erwartungswert und • Untersuchen, unter welchen Bedingungen
 Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten verschiedene Verteilungen den gleichen
 Varianz Zufallsvariablen in Bezug auf ihre Erwartungswert ergeben.
 Parameter • Poisson-Verteilung als geeignet für die Anzahl
 (Erfolgswahrscheinlichkeit) und bestimmter Ereignisse in einem bestimmten
 (Anzahl der Versuche) verstehen und Zeitraum und als Näherung an eine
 interpretieren: Binomialverteilung für "große" Werte von und
 • ( ) = · "kleine" Werte von (z. B. > 50 und < 0.1).
 • ( ) = · · (1 − )
 Modellierung mit der Situationen erkennen und Beispiele für Binomialverteilungen untersuchen:
 Binomialverteilung modellieren, in denen die • Galtonbrett
 Binomialverteilung verwendet werden
 kann • Qualitätskontrolle eines Produkts (mit und ohne
 Fehler)
 • Mehrfaches Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen
 • Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von
 Jungen/Mädchen in einer Familie mit mehreren

 2021-01-D-53-de-2 24/67

JAHR 6 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Kindern

 Binomialverteilung als Die Binomialverteilung als Näherung
 Näherung anwenden, wenn eine kleine
 Stichprobe durch aufeinanderfolgende
 Ziehungen aus einer großen
 Grundgesamtheit gezogen wird
 Einschränkung: nur die Idee erklären,
 kein Nachweis erforderlich

 2021-01-D-53-de-2 25/67

S7 5 Wocheneinheiten (5P)

 Jahr 7 (5P) THEMA: ALGEBRA
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Komplexe Geometrische Eine komplexe Zahl geometrisch Beispiel aus der Physik: komplexe Darstellung von
Zahlen Darstellung darstellen elektrischen Größen.

 Betrag und Argument Den Betrag und das Argument einer
 komplexen Zahl und ihres Inversen
 bestimmen
 Den Betrag und das Argument des Einen Algorithmus entwerfen, der eine komplexe Zahl
 Produkts und des Quotienten von in die Exponentialform umwandelt.
 komplexen Zahlen bestimmen
 Verschiedene Die drei verschiedenen Schreibweisen • Die Kohärenz der Exponentialschreibweise
 Schreibweisen der der komplexen Zahlen kennen und diskutieren: Kann man beweisen, dass:
 komplexen Zahlen von einer Form in eine andere o 1 × 2 = ( 1 + 2 ) ?
 umwandeln: 
 o ( ) = ?
 • + · , und reelle Zahlen
 1
 • · (cos + · sin ) wobei eine o 2
 = ( 1 − 2 ) ?
 positive Zahl ist und ∈ ]− ; ]
 • Berechnen der exakten Werte trigonometrischer
 • · Verhältnisse, Beweise für Doppelwinkelformeln.
 • Können wir einen komplexen Logarithmus
 definieren?
 • Angenommen, dass komplexe Funktionen
 differenziert werden können, die Eulersche Identität
 aufstellen.
 Entdecken, welche der oben Diskutieren, warum + 1 = 0 als eine der schönsten
 genannten Formen am besten Gleichungen der Mathematik gilt.
 geeignet sind, um Probleme zu lösen,
 wie z. B:
 • Betrag und Argument eines
 Quotienten zweier komplexen
 Zahlen

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Jahr 7 (5P) THEMA: ALGEBRA
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 • Ortskurven bestimmen
 • Gleichungen mit Potenzen lösen
 -te Wurzel einer Gleichungen des Typs = lösen
 komplexen Zahl mit ∈ ℂ, ∈ ℕ\{0; 1} und die
 Lösungen grafisch darstellen
 Berechnungen und Lösungen mit
 einem technologischen Hilfsmittel
 überprüfen
Folgen: Das -te Glied einer Definitionen von arithmetischen und
Arithmetische arithmetischen und geometrischen Folgen angeben
und geometrischen Folge
geometrische
 Probleme lösen mit den Weitere zu untersuchende Probleme sind:
Folgen
 Eigenschaften arithmetischer und • menschliche Bevölkerung
 geometrischer Folgen: das erste Glied
 bestimmen, gemeinsame Differenz, • Pandemien
 gemeinsames Verhältnis usw. • Krebszellen
 • …
 Grenzwerte von Den Grenzwert von explizit definierten
 arithmetischen und arithmetischen und geometrischen
 geometrischen Folgen Folgen untersuchen
 Summe von Die Summe der ersten 
 aufeinanderfolgenden Folgenglieder einer arithmetischen
 Gliedern oder geometrischen Folge berechnen
 Die Sigma-Schreibweise für Summen
 von arithmetischen und
 geometrischen Folgen verwenden
 Probleme lösen, wenn die Summe
 gegeben ist

 2021-01-D-53-de-2 27/67

Jahr 7 (5P) THEMA: ALGEBRA
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Die Formeln für das -te Glied und die Weizen- und Schachbrettproblem.
 Summe der ersten Folgenglieder
 verwenden
 Anwendungen Probleme mit den Eigenschaften
 arithmetischer und geometrischer
 Folgen lösen, z. B. Zinseszins und
 einfacher Zins oder Wachstum und
 Verfall

 2021-01-D-53-de-2 28/67

Anmerkung 1:

 Sofern nicht anders angegeben, gelten alle in diesem Teil des Analyseabschnitts genannten Kenntnisse und Fähigkeiten ohne
 technologisches Hilfsmittel nur für diesen Satz von Grundfunktionen für , , , ∈ ℝ, ≠ 0:

 ( )
 • Polynomfunktionen vom Grad ≤ 3 • , wobei ( ) und ( ) Polynomfunktionen sind vom Grad ≤ 2
 ( )
 • · √ · + + 
 • · cos( · + ) + • · sin( · + ) + • tan 
 • · · + 
 • ⋅ ( · + − · )

 • · ln( · + ) + • 
 · · ln für ∈ {−2, −1,1,2}

 Anmerkung 2:

 Durch den Einsatz von Technologie in diesem Abschnitt wird die Analysis nicht nur auf die oben genannten Funktionen beschränkt.

JAHR 7 (5P) THEMA: ANALYSE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Studium der Die Begriffe von Funktionen Eigenschaften der Dirichlet-Funktion.
reellen überprüfen, die bereits in Jahr 6
Funktionen studiert wurden, und sie auf den
 erweiterten Bereich der oben Bisektionsverfahren für einfache Funktionen wie f
 genannten Funktionen anwenden gegeben durch ( ) = + oder ( ) = 3 − + 1
 beschreiben und einen Algorithmus entwerfen, um die
 Nullstellen der Funktion zu finden.
 Unbestimmte Formen Unbestimmte Formen von Die Debatte um die Definition von 00 .
 von Grenzwerten ∞ 0
 Grenzwerten erkunden wie "∞”, “0”,
 “0 · ∞" und Möglichkeiten, sie zu
 bestimmen, diskutieren
 Schräge Asymptoten Schräge Asymptoten einführen,
 eventuell mit einem technologischen
 Hilfsmittel

 2021-01-D-53-de-2 29/67

JAHR 7 (5P) THEMA: ANALYSE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Integration Konzept einer Verstehen, dass die Stammfunktion Satz der mittleren Geschwindigkeit (Merton-Regel),
 Stammfunktion einer Funktion f eine Nikolaus von Oresme und Galileo Galilei.
 differenzierbare Funktion F ist, deren
 Ableitung gleich f ist, und dass das
 unbestimmte Integral die Menge aller
 solcher Funktionen ist
 Der Begriff eines Den Begriff eines Integrals über ein Der Zusammenhang zwischen Integration und Fläche
 Integrals geschlossenes Intervall [a, b] kennen, kann algorithmisch erforscht werden (z. B. mit Python
 wobei das Integral grafisch als Fläche oder GeoGebra).
 interpretiert werden kann
 Die Eigenschaften von Integralen
 entdecken: wenn ≤ und ≤ 
 auf [a, b], dann:
 
 • ∫ ( ) ≤ ∫ ( ) 
 
 • ∫ ( ) = − ∫ ( ) 
 
 • ∫ ( ) + ∫ ( ) = ∫ ( ) 
 
 • ∫ ( ( ) + ( )) =
 
 ∫ ( ) + ∫ ( ) 

 Uneigentliches Integral Das Konzept eines uneigentlichen
 Integrals verstehen und für einfache
 Fälle berechnen:
 ∞ ∞
 ∫ ( ) , ∫−∞ ( ) , ∫−∞ ( ) 
 Die Integrale der Funktionen in
 Anmerkung 1 oben berechnen,
 eventuell durch partielle Integration
 oder Integration durch Substitution
 (unter Angabe der Substitution)
 ( )
 Einschränkung: Für : ( ) und
 ( )

 2021-01-D-53-de-2 30/67

JAHR 7 (5P) THEMA: ANALYSE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 ( ) sollte auf lineare Funktionen
 beschränkt werden
 Berechnen von Die Integration zur Berechnung von • Methode der Erschöpfung, um den Flächeninhalt
 Flächeninhalten und Flächen in der Ebene und von eines Kreises zu finden.
 Volumina einer Rotationsvolumina um die -Achse • Monte-Carlo-Methode zur Berechnung der Fläche
 Rotation anwenden unter die Kurve.
 • Die folgenden Methoden zum Schätzen von
 Integralen beschreiben und einen Algorithmus
 entwerfen, um sie zu implementieren:
 o Das Brounckersche Verfahren zur Berechnung
 der Fläche unter der Hyperbel
 o Die trapezförmige Regel
 o Die Rechteckregel
 • Diskutieren Sie die Konvergenzgeschwindigkeit und
 die Genauigkeit der oben genannten Methoden.
 Volumen eines Torus.

 Toricellis Trompete, endliches Volumen, aber
 unendliche Oberfläche.

 Integrale mit einem technologischen
 Hilfsmittel bestimmen

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JAHR 7 (5P) THEMA: GEOMETRIE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Vektormodell Orthonormiertes Wissen, was ein Koordinatensystem • -Tupel von Zahlen als Punkte in -D-Räumen.
für 3D-Räume Koordinatensystem, in einem Raum ist, gegeben vier nicht • Räumliche Beschreibung mehrdimensionaler
Geraden und Punkte und in einer gleichen Ebene liegende Phänomene z.B. Quantentheorie.
Ebenen Einheitsvektoren (nicht komplanare) Punkte ( , , , )
 in einem 3D-Raum, und einem Punkt
 im Raum, dessen Koordinaten Das Wolf-, Ziegen- und Krautproblem mit Hilfe der 3D-
 ( / / ) definiert sind durch: Geometrie lösen.
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 = ⃗⃗⃗⃗ + 
 ⃗⃗⃗⃗ + 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 = + + ⃗
 Geraden in zwei und Eine Geraden definieren: Bewegung in und über einer 2D-Ebene - Navigation für
 drei Dimensionen • mit einem Vektor und einem Punkt Boote und Flugzeuge: Gezeiten, Winde, Kurs über
 Wasser, Kurs über Grund, zu steuernder Kurs,
 • mit zwei Punkten Spielraum, ...
 Vektorielle Gleichung einer Geraden
 kennen
 Parameter- und parameterfreie
 Formen für Geradengleichungen
 verwenden
 Orthogonalität im 3D- Das Skalarprodukt zweier Vektoren in
 Raum einem 3D-Raum, kollineare und
 orthogonale Vektoren kennen und
 anwenden
 Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt zweier Vektoren
 berechnen
 Das Vektorprodukt zur Berechnung
 von Flächen von Dreiecken und
 Parallelogrammen anwenden
 Das gemischte Produkt dreier Volumen eines Tetraeders.
 Vektoren zur Ermittlung des Volumen
 eines Quaders anwenden
 Den Test für komplanare Punkte
 2021-01-D-53-de-2 32/67

JAHR 7 (5P) THEMA: GEOMETRIE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 durchführen

 Ebenen im 3D-Raum Eine Ebene definieren: • Die Geometrie des Universums.
 • durch zwei Geraden, die in der • Die Geschichte der nicht-euklidischen Geometrie.
 Ebene liegen
 • mit zwei Vektoren und einem
 Punkt
 • mit drei Punkten
 Eine Gerade als Schnittmenge von Die Schnittmenge von mehr als zwei Ebenen
 zwei Ebenen definieren untersuchen (z. B. den Punkt, der als Schnittpunkt von
 drei Ebenen definiert ist).
 Die vektorielle Gleichung einer Ebene
 kennen
 Die Parameter- und die
 Koordinatenform der Gleichung einer
 Ebene verwenden
 Abstände im 3D-Raum Den Abstand: • Den Abstand zwischen windschiefen Geraden
 • von einem Punkt zu einer Geraden untersuchen.
 • von einem Punkt zu einer Ebene • Kugeln im 3D-Raum untersuchen.
 • zwischen zwei Ebenen
 • zwischen zwei Geraden
 berechnen
 Winkel im 3D-Raum Den Winkel zwischen:
 • zwei Vektoren
 • zwei Geraden
 • zwei Ebenen
 • einer Ebene und einer Geraden
 berechnen
 Verwenden Sie Vektoren als

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JAHR 7 (5P) THEMA: GEOMETRIE
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
 Hilfsmittel, um zu untersuchen ob die
 folgenden Objekte parallel sind:
 • zwei Geraden
 • einer Geraden und einer Ebene
 • zwei Ebenen
 Schnittpunkte im 3D- Schnittmenge:
 Raum • zweier Geraden
 • einer Geraden und einer Ebene
 • zweier Ebenen
 bestimmen
 Ein technologisches Hilfsmittel Den Zusammenhang zwischen Gleichungen und einer
 verwenden, um alle möglichen Ortskurve in einem Raum zeigen.
 Schnittmengen zu untersuchen
 • Punkte, Geraden, Winkel und Dreiecke in nicht-
 euklidischen Geometrien.
 • Nicht-euklidische Geometrie und Einsteins
 Allgemeine Relativitätstheorie.
 • Banach-Tarski-Paradoxon.

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JAHR 7 (5P) THEMA: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
Teilbereich Inhalt Lernziele Wichtige Kontexte, Phänomene und Aktivitäten
Statistik mit Visualisierung Ein Streudiagramm als Visualisierung Beispiele aus der Physik, Chemie, Biologie und
zwei Variablen eines Datensatzes mit zwei Variablen Wirtschaft erkunden:
 zeichnen • Beziehung zwischen Zeit und Geschwindigkeit oder
 Zeit und Strecke
 • Zusammenhang zwischen Masse und Auszug einer
 Feder
 • Verhältnis zwischen Gewicht und Größe
 • Relation von Produktionsmenge und Preis
 Den Mittelwert in einem
 Streudiagramm berechnen und
 hinzufügen
 Korrelation Ein Streudiagramm im Hinblick auf • Beispiele untersuchen, in denen Korrelation und
 eine mögliche Beziehung zwischen Kausalität missbraucht werden.
 den Variablen interpretieren • Beispiele für die Verwechslung von Korrelation und
 Kausalität in den Medien finden.
 Die Idee einer Geraden der besten
 Anpassung einführen (lineare
 Regression nach Augenmaß)
 Regression Die Methode der kleinsten Quadrate
 bei der Berechnung der kleinsten
 quadratischen Regressionsgeraden
 (Regression von auf ) verstehen
 Die Idee des Korrelationskoeffizienten
 von Pearsons verstehen für ein
 lineares Regressionsmodell, ihn mit
 einem technischen Hilfsmittel
 berechnen und das Ergebnis im
 Sinne einer starken oder schwachen,
 positiven oder negativen Beziehung
 interpretieren
 Eine Tabellenkalkulation verwenden,
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