Mathematik AHS 12. Jänner 2021 - Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung
←
→
Transkription von Seiteninhalten
Wenn Ihr Browser die Seite nicht korrekt rendert, bitte, lesen Sie den Inhalt der Seite unten
Name:
Klasse:
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
AHS
12. Jänner 2021
Mathematik12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 2/34
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deck-
blatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Ar-
beitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formelsammlung
für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähi-
ger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit
(z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im
elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum An- So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
kreuzen: 1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
gültigen Antwort. 2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an. ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert. und dann wieder gewählt.
1+1=3 1+1=3
2+2=4 T 2+2=4
3+3=5 3+3=5
4+4=4 4+4=4
5+5=9 5+5=9
Bewertung
Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu
erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt.
Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen
werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
Zwei Beurteilungswege
1) Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der
folgende Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16 – 23,5 Punkte
Befriedigend 24 – 32,5 Punkte
Gut 33 – 40,5 Punkte
Sehr gut 41 – 48 Punkte
2) Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber
insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf
diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen:
Genügend 24 – 28,5 Punkte
Befriedigend 29 – 35,5 Punkte
Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten
Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.
Viel Erfolg!12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 3/34
Aufgabe 1
Dreieck verschieben
In der nachstehenden Abbildung sind ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C sowie der
Punkt A1 dargestellt. Die gekennzeichneten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
y
6
C
5
4
3
A1 B
2
1
A
x
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Das Dreieck soll so um den Vektor AA1 verschoben werden, dass die Punkte A, B und C in die
Punkte A1, B1 und C1 übergehen.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C1.
C1 = ( | )
[0 / ½ / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 4/34
Aufgabe 2
Lösung einer Gleichung
Nachstehend ist eine Gleichung in x ∈ ℝ gegeben.
2 ∙ x – 6 = a mit a ∈ ℝ 0
+
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie dasjenige Intervall an, das für alle Werte von a ∈ ℝ 0 die Lösung der gegebenen
+
Gleichung enthält.
(–∞; –3]
[3; ∞)
[–3; 0)
[0; 3)
[–6; –3)
[3; 6]
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 5/34
Aufgabe 3
Radfahrer
Die Schule von Alexander und die Schule von Bernhard sind durch eine 13 km lange geradlinige
Straße verbunden.
An einem bestimmten Tag fahren beide von ihrer jeweiligen Schule aus mit dem Fahrrad entlang
dieser Straße einander entgegen. Sie starten zu unterschiedlichen Zeitpunkten und begegnen
einander t Stunden nach der Abfahrt von Alexander.
Bis zu ihrer Begegnung gilt:
• Alexander fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18 km/h.
• Bernhard fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 24 km/h.
Im gegebenen Kontext wird die nachstehende Gleichung aufgestellt und gelöst.
( )
18 ∙ t + 24 ∙ t – 1 = 13
3
1
t=
2
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die im gegebenen Kontext unter Beachtung der obigen
Gleichung und deren Lösung zutreffend sind.
Alexander fährt um 10 Minuten später ab als Bernhard.
Alexander ist bis zur Begegnung mit Bernhard 30 Minuten
unterwegs.
Bernhard ist bis zur Begegnung mit Alexander 20 Minuten
unterwegs.
Alexander legt bis zur Begegnung mit Bernhard 9 km
zurück.
Bei ihrer Begegnung sind die beiden von Bernhards Schule
weiter entfernt als von Alexanders Schule.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 6/34
Aufgabe 4
Quadratische Gleichung
Für a ∈ ℝ\{0} ist die quadratische Gleichung (a · x + 7)2 = 25 in x ∈ ℝ gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle a ∈ ℝ\{0} an, für die x = –4 eine Lösung der gegebenen quadratischen
Gleichung ist.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 7/34
Aufgabe 5
Parameterdarstellung
Gegeben ist eine Gerade g mit der Parameterdarstellung g: X = A + t ∙ AB mit t ∈ ℝ.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie t so, dass X = B gilt.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 8/34
Aufgabe 6
Leiter
Eine Leiter lehnt an einer senkrechten Mauer.
Mauer
Die Leiter liegt in 6 m Höhe an der Mauer an und schließt mit der Mauer
r
ite
einen Winkel von 20° ein. Dieser Sachverhalt wird durch die nebenstehende
Le
(nicht maßstabgetreue) Abbildung veranschaulicht.
Boden
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Länge der Leiter.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 9/34
Aufgabe 7
Geografische Breite
Die Erde hat annähernd die Gestalt einer Kugel mit dem Radius 6 370 km.
In der unten stehenden Abbildung ist die Nordhalbkugel der Erde grau markiert. Auf der
Nordhalbkugel wird die geografische Breite φ vom Äquator nach Norden gemessen, wobei
0° ≤ φ ≤ 90° gilt.
Nordpol
Breitenkreise
φ
0°
Äquator
Südpol
Für den Radius r (in km) eines Breitenkreises (zur geografischen Breite φ) gilt:
r = 6 370 · cos(φ)
Aufgabenstellung:
Geben Sie das kleinstmögliche Intervall W an, das alle Werte von r enthält.
W=[ ; ]
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 10/34
Aufgabe 8
Eigenschaften von Funktionen
Gegeben sind vier Funktionsgleichungen der reellen Funktionen f1 bis f4 (mit a, b ∈ ℝ und b < 1)
+
und sechs Listen mit Eigenschaften von Funktionen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils die zugehörige Liste (aus A bis F) zu.
f1(x) = a ∙ bx – kein Monotoniewechsel
A – konstante Steigung
f2(x) = a ∙ x + b
– kein Krümmungswechsel
f3(x) = a ∙ sin(b ∙ x)
– genau eine lokale Extremstelle x0
f4(x) = a ∙ x3 + b B – symmetrisch zur Geraden x = x0
– maximal zwei Nullstellen
– unendlich viele lokale Extremstellen
C – unendlich viele Wendestellen
– keine Asymptote
– nur für x ∈ [0; ∞) definierbar
– überall rechtsgekrümmt (negativ
D
gekrümmt)
– keine lokalen Extrem- oder Wendestellen
– keine lokale Extremstelle
E – genau eine Nullstelle
– genau eine Wendestelle
– kein Monotoniewechsel
F – die x-Achse ist Asymptote
– kein Krümmungswechsel
[0 / ½ / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 11/34
Aufgabe 9
Verlauf des Graphen einer linearen Funktion
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f(x) = k ∙ x + d mit k, d ∈ ℝ und d ≠ 0.
Die Ebene wird von den beiden Koordinatenachsen in vier Quadranten unterteilt (siehe nach
stehende Skizze).
f(x)
2. Quadrant 1. Quadrant
0 x
0
3. Quadrant 4. Quadrant
Für den Graphen von f gilt:
• Er verläuft nicht durch den 1. Quadranten.
• Er verläuft durch den 2., 3. und 4. Quadranten.
Dafür müssen bestimmte Bedingungen für k und d gelten.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die Aussage mit den entsprechenden Bedingungen an.
k < 0 und d < 0
k < 0 und d > 0
k > 0 und d < 0
k > 0 und d > 0
k = 0 und d < 0
k = 0 und d > 0
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 12/34
Aufgabe 10
Polynomfunktion
Zwischen dem Grad einer Polynomfunktion und der Anzahl der reellen Nullstellen, der lokalen
Extremstellen und der Wendestellen besteht ein Zusammenhang.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Jede Polynomfunktion 1 hat 2 .
1 2
4. Grades mindestens zwei verschiedene lokale Extremstellen
5. Grades mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen
6. Grades mindestens eine Wendestelle
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 13/34
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Das radioaktive Isotop 137Cs (Cäsium) hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren.
Die Funktion f gibt in Abhängigkeit von der Zeit t an, wie viel Prozent der Ausgangsmenge an
Cs noch vorhanden sind (t in Jahren, f(t) in % der Ausgangsmenge).
137
Die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge an 137Cs wird als Ausgangsmenge bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Zeitintervall [0; 60] den Graphen von f ein.
f(t) in % der Ausgangsmenge
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
t in Jahren
0
0 10 20 30 40 50 60
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 14/34
Aufgabe 12
Winkelfunktion
Gegeben ist die Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x) = 3 ∙ cos(x). Diese Funktion soll in der Form
x ↦ a ∙ sin(x + b) dargestellt werden (a, b ∈ ℝ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie für a und b jeweils einen passenden Wert an.
a=
b=
[0 / ½ / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 15/34
Aufgabe 13
Messung der Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t wird durch eine
differenzierbare Funktion v modelliert (t in s, v(t) in m/s). Die Messung der Geschwindigkeit v(t)
beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
v(t) – v(3)
Betrachtet wird der Grenzwert lim .
t→3 t–3
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die den betrachteten Grenzwert richtig beschreiben.
Der Grenzwert gibt die momentane Änderungsrate der Geschwindig-
keit des Körpers 3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
Der Grenzwert gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des
Körpers im Zeitintervall [0; 3] an.
Der Grenzwert gibt die momentane Beschleunigung des Körpers
3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
Der Grenzwert gibt die relative Änderung der Geschwindigkeit des
Körpers im Zeitintervall [0; 3] an.
Der Grenzwert gibt den vom Körper in den ersten 3 Sekunden
zurückgelegten Weg an.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 16/34
Aufgabe 14
Experiment
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer bestimmten Flüssigkeit (in °C) zu verschiedenen
Zeitpunkten gemessen.
Die nachstehende Abbildung zeigt das jeweilige Messergebnis 20 min bzw. 30 min nach Beob-
achtungsbeginn.
Temperatur der Flüssigkeit in °C
80
(30 | 73)
70
(20 | 62)
60
50
40
30
20
10
Zeit nach Beobachtungsbeginn in min
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur der Flüssigkeit im Zeitintervall
[20 min; 30 min].
mittlere Änderungsrate: °C/min
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 17/34
Aufgabe 15
Wachstum einer Sonnenblume
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume wurde über einige Wochen jeweils zu Wochenbeginn
gemessen.
Zum Messbeginn t = 0 hatte die Sonnenblume die Höhe H0 = 5 cm.
Für jeden Zeitpunkt t (mit 0 ≤ t ≤ 5) gibt Ht die Höhe der Sonnenblume an.
Die nachstehende Tabelle zeigt die (gerundeten) Messergebnisse für die Höhe der Sonnenblume
für die ersten 5 Wochen.
Zeit t Höhe der Sonnenblume Ht
(in Wochen nach Messbeginn) (in cm)
1 36
2 68
3 98
4 128
5 159
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist 1 ; die Höhe
der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form
2 beschrieben werden.
1 2
immer geringer als jene in der jeweils
Ht + 1 = Ht · (1 + k) mit k ∈ ℝ
vorangegangenen Woche
immer größer als jene in der jeweils vor-
Ht + 1 = Ht + k mit k ∈ ℝ
angegangenen Woche
Ht + 1 = Ht + r · (k – Ht ) mit
annähernd konstant
k, r ∈ ℝ und 0 < r < 1
[0 / ½ / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 18/34
Aufgabe 16
Stammfunktionen
Gegeben ist eine Stammfunktion F einer Polynomfunktion f: ℝ → ℝ.
Aufgabenstellung:
Zwei der nachstehenden Funktionen G1 bis G5 sind für alle c ∈ ℝ\{0} jedenfalls auch Stamm-
funktionen von f.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an.
G1 = c ∙ F
G2 = c + F
G3 = F – c
G4 = c – F
G5 = F
c
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 19/34
Aufgabe 17
Fläche zwischen Graph und x-Achse
Gegeben ist eine Potenzfunktion f: [0; 15] → ℝ .
+
Der Inhalt A derjenigen Fläche, die vom Graphen von f, von der x-Achse und von den beiden
Geraden x = 0 und x = 15 begrenzt wird, kann durch den nachstehenden Ausdruck U
näherungsweise berechnet werden.
U = 5 · (f(0) + f(5) + f(10))
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph von f und – grau markiert – die Fläche, deren
Inhalt durch den Ausdruck U berechnet wird, dargestellt.
f(x)
7
6
5
4
f
3
2
1
x
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem
Ausdruck U angenähert werden kann.
5 · (f(0) + f(5) + f(10) + f(15))
2,5 · (f(0) + f(2,5) + f(5) + f(7,5) + f(10) + f(12,5))
∫
15
f(x) dx
0
f(0) · 15
f(15) · 5
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 20/34
Aufgabe 18
Arbeit bei der Dehnung einer Schraubenfeder
Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten k = 40 N/m wird aus der Gleichgewichtslage
s0 = 0 m um h = 0,08 m gedehnt.
Die dabei verrichtete Arbeit W (in Joule) wird mithilfe des nachstehenden Ausdrucks berechnet.
W=∫
s0 + h
k · s ds
s0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die bei der oben beschriebenen Dehnung verrichtete Arbeit.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 21/34
Aufgabe 19
Boxplot und statistische Kennzahlen
Aus einem Boxplot (Kastenschaubild) können bestimmte statistische Kennzahlen ermittelt werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden statistischen Kennzahlen an, die aus einem Boxplot im Allgemeinen nicht
ermittelt werden können.
Median
arithmetisches Mittel
Modus
Spannweite
Maximum
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 22/34
Aufgabe 20
Schätzwert
Bei einem bestimmten Zufallsversuch tritt das Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit P(E) auf.
Im Rahmen einer Versuchsreihe wird dieser Zufallsversuch a-mal durchgeführt (a ∈ ℕ und
a > 1). Dabei tritt das Ereignis E insgesamt b-mal auf (b ∈ ℕ).
Für die unbekannte Wahrscheinlichkeit P(E) soll ein Schätzwert p bestimmt werden.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, mit der p unter Verwendung von a und b berechnet werden kann.
p=
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 23/34
Aufgabe 21
Wahrscheinlichkeiten
Die Zufallsvariable X kann ausschließlich die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen.
Es gilt: P(X = 1) = 0,1 und P(X > 1) = 0,6.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
P(X ≤ 2) = 0,3
P(X < 2) = 0,4
P(X = 0) = 0
P(X ≥ 0) = 0,9
P(X ≥ 1) = 0,7
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 24/34
Aufgabe 22
Defekte Geräte
Erfahrungsgemäß sind 2,5 % der Geräte, die von einem bestimmten Unternehmen geliefert werden,
defekt. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Geräte in einer Zufalls-
stichprobe vom Umfang n an. Für den Erwartungswert gilt: E(X ) = 20.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Umfang n der Zufallsstichprobe.
n=
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 25/34
Aufgabe 23
Schokoladefiguren
Erfahrungsgemäß ist 1 % der in einer bestimmten Schokoladefabrik produzierten Schokolade
figuren fehlerhaft.
Bei einer bestimmten Qualitätskontrolle werden 500 Schokoladefiguren zufällig ausgewählt, wobei
jede Schokoladefigur – unabhängig von den anderen Schokoladefiguren – mit der gleichen Wahr-
scheinlichkeit (von 1 %) fehlerhaft ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Qualitätskontrolle höchstens
2 Schokoladefiguren fehlerhaft sind.
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 26/34
Aufgabe 24
Wahlprognose
Vor einer bestimmten Wahl nahmen 500 Personen, die zufällig und unabhängig voneinander
ausgewählt worden waren, an einer Umfrage teil. Von diesen Personen gaben 35 % an, dass
sie Partei A wählen werden. Als Ergebnis der Umfrage wurde das um diesen relativen Anteil
symmetrische γ -Konfidenzintervall [0,315; 0,385] für den unbekannten Anteil der Partei-
A-Wähler/innen angegeben. Für die Berechnung dieses Konfidenzintervalls wurde eine
die Binomialverteilung approximierende Normalverteilung verwendet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie γ .
[0 / 1 Punkt]12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 27/34
Aufgabe 25 (Teil 2)
Tee
Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.
Aufgabenstellung:
a) Modellhaft wird angenommen, dass der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich jedes Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um den gleichen Prozentsatz steigt.
Unter dieser Annahme gibt die Funktion f den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in
Österreich ab 2016 in Abhängigkeit von der Zeit t an (t in Jahren, f(t) in Litern).
1) A Geben Sie an, um welchen Funktionstyp es sich bei f handelt.
Der jährliche Pro-Kopf-Verbrauch von Tee lag in Österreich im Jahr 2016 bei 33 L. Der Anteil
des Tees, der in Österreich im Jahr 2016 mittels Teebeuteln zubereitet wurde, beträgt 95 %.
Es werden folgende Annahmen getroffen:
• Der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich steigt seit dem Jahr 2016 jedes Jahr im
Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um 2 %.
• Der Anteil des Tees, der in Österreich jedes Jahr mittels Teebeuteln zubereitet wird, bleibt
gleich.
2) G
eben Sie an, wie viele Liter Tee im Jahr 2026 unter den oben angeführten Annahmen
pro Kopf in Österreich mittels Teebeuteln zubereitet werden.12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 28/34
b) Der weltweit größte Teeproduzent ist China. Die nachstehende Tabelle gibt die Menge des in
China produzierten Tees in Millionen Tonnen für einige Jahre im Zeitraum von 2011 bis 2017 an.
Jahr 2011 2013 2015 2017
Menge des in China produzierten Tees
1,55 1,85 2,23 2,55
in Millionen Tonnen
Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/29847/umfrage/produktion-von-tee-nach-erzeugerlaendern-seit-2006/ [28.08.2018].
Die Menge des in China produzierten Tees soll in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr
2011 näherungsweise durch eine lineare Funktion g beschrieben werden (t in Jahren ab dem
Jahr 2011, g(t) in Millionen Tonnen).
1) G
eben Sie unter Verwendung der Daten aus den Jahren 2011 und 2017 eine Funktions-
gleichung für g an.
g(t) =
In den Jahren 2013 und 2015 gibt es jeweils eine Abweichung zwischen den Funktionswerten
von g und den Werten aus der obigen Tabelle.
2) G
eben Sie an, in welchem der Jahre 2013 und 2015 der Betrag der absoluten Abweichung
zwischen dem Funktionswert von g und dem zugehörigen Wert aus der obigen Tabelle
größer ist. Ermitteln Sie für das angegebene Jahr ebenso den Betrag der absoluten
Abweichung.
Jahr:
Betrag der absoluten Abweichung: Millionen Tonnen
c) Heißer Tee kühlt bei niedrigerer Umgebungstemperatur ab.
Die Temperatur T(t) des Tees t Minuten nach Beginn des Abkühlungsprozesses kann bei
einer Anfangstemperatur T0 und einer konstanten Umgebungstemperatur TU durch die nach-
stehende Funktionsgleichung näherungsweise beschrieben werden.
T(t) = (T0 – TU) · ℯ –k · t + TU mit k ∈ ℝ (t in Minuten, TU in °C, T0 in °C, T(t) in °C)
+
Eine Tasse mit Tee mit der Anfangstemperatur T0 = 90 °C wird in einen Raum mit einer
konstanten Umgebungstemperatur von TU = 20 °C gestellt. Der Tee ist nach 10 Minuten auf
eine Temperatur von 65 °C abgekühlt.
1) E
rmitteln Sie k.
Nehmen Sie an, dass der ermittelte Wert von k sowohl für den Abkühlungsprozess eines Tees
mit einer Anfangstemperatur von 90 °C als auch für den Abkühlungsprozess eines anderen
Tees mit einer Anfangstemperatur von 70 °C gilt.
2) G
eben Sie an, bei welcher Umgebungstemperatur TU beide Tees in der gleichen Zeit auf
die Hälfte des Wertes ihrer jeweiligen Anfangstemperatur (in °C) abkühlen.
TU = °C12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 29/34
Aufgabe 26 (Teil 2)
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Tem-
peratur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen.
Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert
werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr 1900 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
globale Mitteltemperatur (in °C) 13,80 13,87 13,89 14,01 13,90 14,02 13,94 14,16
Jahr 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
globale Mitteltemperatur (in °C) 14,03 14,37 14,37 14,31 14,51 14,55 14,72
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t
(t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
T(t) = a · ℯ 0,008 · t – 0,03 · t + 11,1 mit a∈ℝ
+
Aufgabenstellung:
a) Bei einem bestimmten Klimamodell wird a = 2,7 angenommen.
Die Funktion T hat an der Stelle t = t0 eine lokale Extremstelle.
1) A Ermitteln Sie t0.
2) B
egründen Sie mathematisch, warum gemäß diesem Modell die globale Mitteltemperatur
ab der Stelle t0 immer schneller ansteigt.
b) Verschiedene Studien nehmen an, dass die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 im Ver-
gleich zur globalen Mitteltemperatur im Jahr 2000 (also 14,31 °C) um mindestens 1,5 °C, aber
um höchstens 4,5 °C höher sein wird.
1) W
eisen Sie nach, dass die Funktion T mit a = 2,7 diese Studien mit der Annahme für das
Jahr 2100 bestätigt.
2) G
eben Sie den kleinstmöglichen Wert amin und den größtmöglichen Wert amax so an, dass
die Funktion T diese Studien bestätigt.
amin =
amax =12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 30/34
c) Bei der UN-Klimakonferenz in Paris im Jahr 2015 wurde eine neue internationale Klimaschutz-
Vereinbarung getroffen, die die Begrenzung der Zunahme der globalen Mitteltemperatur vor
sieht. Demnach dürfte die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 höchstens 15,3 °C betragen.
Um diese Klimaschutz-Vereinbarung zu erfüllen, darf ab dem Jahr 2015 die mittlere
Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr höchstens einen bestimmten Wert k
betragen (k in °C pro Jahr).
1) E
rmitteln Sie k.
Es wird angenommen, dass die globale Mitteltemperatur ab dem Jahr 2015 linear zunimmt
und die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr tatsächlich k ent-
spricht.
2) G
eben Sie unter dieser Annahme eine Gleichung derjenigen linearen Funktion M an, die
die jährliche globale Mitteltemperatur (in °C) t Jahre nach 2015 modellhaft beschreibt.12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 31/34
Aufgabe 27 (Teil 2)
Elektromobilität
Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Gründe dafür liegen
unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batterie-
kapazitäten und kürzeren Ladezeiten.
Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare
Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere
Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren
Batterie benötigt wird.
Aufgabenstellung:
a) Die nachstehende Grafik zeigt den Bestand an Elektroautos in Österreich für den Zeitraum
vom 31. Dezember 2015 bis 31. August 2018. Für die Jahre 2015 bis 2017 wird der Bestand
jeweils am Ende des Jahres dargestellt, für das Jahr 2018 der Bestand Ende August.
Bestand an Elektroautos in Österreich
18 459
14 618
9 073
5 032
2015 2016 2017 2018
(Ende August)
Datenquelle: S
tatistik Austria, https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_mobilitaet/verkehr/strasse/
kraftfahrzeuge_-_bestand/index.html [23.03.2020].
Die Differenzengleichung Bn + 1 = Bn ∙ a + b beschreibt die Entwicklung des Bestands an
Elektroautos in Österreich ausgehend vom Jahr 2015 für die Jahre 2016 und 2017.
Dabei gilt:
• B0 ist der Bestand am Ende des Jahres 2015.
• B1 ist der Bestand am Ende des Jahres 2016.
• B2 ist der Bestand am Ende des Jahres 2017.
1) G
eben Sie a und b an.
a=
b=
Damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Ende des Jahres 2018 zutrifft, hätte
der Bestand an Elektroautos im Rest des Jahres 2018 noch um eine bestimmte Anzahl erhöht
werden müssen.
2) Berechnen Sie diese Anzahl.12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 32/34
b) Die Batteriekapazität (in kWh) ist das Produkt von Ladeleistung (in kW) und Ladezeit (in h). Um
beispielsweise eine (annähernd) leere Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh mit einer
Ladeleistung von 11 kW zu laden, benötigt man eine Ladezeit von 2 h.
Die Funktion f beschreibt die Ladezeit f(P) einer Batterie mit einer Batteriekapazität von
22 kWh in Abhängigkeit von der Ladeleistung P (P in kW, f(P) in h).
1) A Geben Sie f(P) an.
f(P) =
Die typische Ladeleistung einer privaten Ladestation liegt im Leistungsintervall [2,3 kW; 3,7 kW].
2) G
eben Sie für eine Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh dasjenige Zeitintervall
der Ladezeit an, das diesem Leistungsintervall entspricht.
c) Für die Fahrt eines Elektroautos auf einer bestimmten Teststrecke wird modellhaft angenom-
men:
• Die gesamte Teststrecke wird mit einer konstanten Geschwindigkeit durchfahren.
• Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Energiebedarf dieses Elektroautos
und der jeweiligen konstanten Geschwindigkeit.
Dieses Elektroauto hat bei einer konstanten Geschwindigkeit von 70 km/h einen Energie-
bedarf von 12,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke.
Bei einer konstanten Geschwindigkeit von 110 km/h hat es einen Energiebedarf von
20,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke.
Die Funktion E beschreibt den Energiebedarf E(v) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v
mit 50 ≤ v ≤ 130 (v in km/h, E(v) in kWh).
1) G
eben Sie E(v) an.
E(v) =
Die Batterie dieses Elektroautos hat eine Batteriekapazität von 41 kWh und ist vor dem
Durchfahren der Teststrecke vollständig geladen. Nach dem Durchfahren der Teststrecke sind
in der Batterie noch 30,22 kWh gespeichert.
2) E
rmitteln Sie die (konstante) Geschwindigkeit v1, mit der die Teststrecke durchfahren wor-
den ist.12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 33/34
Aufgabe 28 (Teil 2)
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert
100 000 Stück davon.
Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die
jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innen-
seite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an:
Es werden
• 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
• 900 Sofortgewinne zu je € 5
• 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt
nach dem Zufallsprinzip.
Aufgabenstellung:
a) Unter Berücksichtigung aller Produktionskosten kostet jeder der 100 000 Müsliriegel in der
Produktion durchschnittlich € 1.
Der Verkaufspreis eines Müsliriegels soll so festgelegt werden, dass für den Hersteller ein
Gewinn von mindestens € 80.000 erzielt wird, wenn nach dem Verkauf aller Müsliriegel alle
Sofortgewinne ausgezahlt werden müssen.
Alle Müsliriegel haben den gleichen Verkaufspreis.
1) E
rmitteln Sie den unter diesen Voraussetzungen kleinstmöglichen Verkaufspreis p des
Müsliriegels.
2) G
eben Sie an, um wie viel Prozent der kleinstmögliche Verkaufspreis p gesenkt werden
kann, wenn man die Müsliriegel ohne Gewinnspiel verkauft und der Gewinn trotzdem
mindestens € 80.000 ausmachen soll.
b) Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des ausgezahlten Sofortgewinns pro gekauften
Müsliriegel.
1) Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X).
Ein Kunde kauft 4 Müsliriegel.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde mindestens einen Sofortgewinn
erzielt.12. Jänner 2021 / AHS / Mathematik S. 34/34
c) Aus Erfahrung weiß man, dass 95 % der Müsliriegel eine vorgegebene Mindestmasse haben.
Eine Zufallsstichprobe von 1 000 Müsliriegeln wird ausgewählt. Die binomialverteilte Zufalls-
variable Y beschreibt dabei die Anzahl der Müsliriegel in dieser Zufallsstichprobe, die die vor
gegebene Mindestmasse haben.
1) A Ermitteln Sie die Standardabweichung σ (Y) der Zufallsvariablen Y.
σ (Y) =
2) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Kontext.
P(Y ≥ 933) ≈ 0,99Sie können auch lesen
