Flächeninhalte Ebener Figuren - SKRIPT (11 Seiten) - Prof. Tegischer

Flächeninhalte Ebener Figuren
 SKRIPT (11 Seiten)
Flächeninhaltsberechnungen (& -herleitungen) und Beispielaufgaben
 zu folgenden Figuren:
Dreieck, Rechteck & Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez,
 Deltoid, Allgemeine Vierecke, Allgemeine Vielecke

 Zusätzlich:
 Erklärvideos (gratis!) zur visuellen
 Veranschaulichung.
 -> QR-Codes im SKRIPT!

Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss
sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.

Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.

 YouTube-Playlist
 (PDF-Datei: KLICKEN!)

Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
folgendem Link: https://prof-tegischer.com/02-flaecheninhalt-ebener-figuren/

Einsatz des Materials
 ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“,
 Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
 ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
 mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
 ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
 wissen!!

Quellennachweis:
 ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
 ▪ Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
 erstellt.
 ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.

Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn
es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann. Ich würde
mich über ein Feedback dazu freuen!

Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht verwenden.

 Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an
 Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.

Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne
auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (lukastegischer5@gmx.at). Auf meiner
Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien.

Theorie: Flächeninhalte ebener Figuren (3. Klasse)
 1. Das Dreieck
 1.1 Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks
 Video 1/11

 Flächeninhalt jedes Dreiecks = Seite mal zugehörige Höhe durch 2

 ∙ ℎ ∙ ℎ ∙ ℎ 
 = = =
 2 2 2

Musterbeispiele: Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks

 = 7 = 5,7 = 10 
 ℎ = 5 ℎ = 2,7 ℎ = 5 

 ∙ ℎ 7 ∙ 5 ∙ ℎ 5,7 ∙ 2,7 ∙ ℎ 10 ∙ 5
 = = = = = =
 2 2 2 2 2 2
 35 15,39 50
 = = , ² = ≈ , ² = = ²
 2 2 2

 Bsp. 1) Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks ABC.

a. = 9 ; ℎ = 10 b. = 3,7 ; ℎ = 24 c. = 200 ; ℎ = 150 

 1.2 Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks (Sonderform)

 Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks = Kathete mal Kathete durch 2

 ∙ Video 2/11
 =
 2
 Achtung: Die Katheten müssen nicht zwingend a und b heißen!

 Bemerkung: In einem rechtwinkligen Dreieck schließen je zwei Katheten einen
 rechten Winkel ein. Die Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt, heißt
 Hypotenuse (= längste Seite im rechtwinkligen Dreieck).

 Bsp. 2) Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABC mit den Katheten a und b.

a. = 8 ; = 10 b. = 3,2 ; = 6 c. = 40 ; = 50 

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 1 von 11

Bsp. 3) Stelle eine allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des gegebenen Vielecks (rot) mit den
 Variablen , , ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 auf. Berechne anschließend den Flächeninhalt.
 = 7,91 , = 9,29 , ℎ1 = 11,93 , ℎ2 = 8,95 , ℎ3 = 6,17 

 1.3 Umkehraufgaben: Video 3/11
 Sind von einem Dreieck eine Seitenlänge und der Flächeninhalt gegeben, kann man durch Umformen der
 Flächeninhaltsformel (mittels Äquivalenzumformungen) die gesuchte Größe berechnen.

 Musterbeispiele:

 geg.: . , = 5 , = 50 ² geg.: ℎ . ( ℎ ), = 4 , = 6 ²
 ges.: Höhe ℎ ges.: Kathete 
 ∙ ℎ ∙ 
 = |∙2 = |∙2
 2 2
 2 = ∙ ℎ | ∶ 2 = ∙ | ∶ 
 2 2 
 = ℎ = 
 
 2 ∙ 50 2 2 ∙ 6
 ℎ = = 20 = = = 3 
 5 4

 Bsp. 4) Berechne die gesuchte Größe des allgemeinen Dreiecks.

 . : = 50 2 ; ℎ = 10 . : = 60 2 ; ℎ = 5 . : = 1000 2 ; ℎ = 500 
 . : . : . : 

 Bsp. 5) Berechne die Höhe ℎ eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten = 5 
 = 12 sind, sowie die Hypotenuse die Länge = 13 hat.

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 2 von 11

2. Quadrat und Rechteck Video 5/11
 Video 4/11

 Quadrat Rechteck
 2] Herleitung über vier rechtwinklige Dreiecke:
 Jedes Quadrat besteht aus vier gleich großen
 1] Länge mal Breite 
 rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten :
 2

 Rechteck mit den Seitenlängen a
 und b

 = ∙ 
 
 Umformung: = = 

 = ∙ = 2
 Umformung: = √ 
 2
 1 = ( ∙ ) ∶ 2 =
 2 2 8

 Quadrat besteht aus vier rechtwinkligen Dreiecken:
 2 
 =4∙ =
 8 

 Bsp. 6) Berechne den Flächeninhalt des Quadrats in cm².

a. = 14 b. = 4 c. = 10 

 Bsp. 7) Der Flächeninhalt oder der Umfang eines Quadrats ist gegeben. Berechne die Seitenlänge a in cm.

 a. = 36 ² b. = 32 c. = 10000 ²

 Bsp. 8) Berechne die fehlende Seite des Rechtecks, wenn du den Umfang und eine Seite kennst. Berechne
 anschließend den Flächeninhalt des Rechtecks.

 a. = 40 ; = 8 . : , b. = 100 ; = 20 . : , 

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 3 von 11

3. Parallelogramm (Spezialfall: Rhombus/Raute) Video 6/11
 3.1 Allgemeines Parallelogramm
 Eigenschaften

 2 Paar parallele Seiten
 ∥ ∥ 
 Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
 = = 
 Nebeneinander liegende Winkel sind
 supplementär.
 + = + = + = + = 180°
 Diagonalen halbieren einander
 ̅̅̅̅̅ = 
 ̅̅̅̅̅ 
 ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅
 
 keine Symmetrieachse

 Flächeninhalt

 Für die Berechnung des Flächeninhalts ist es wichtig, die Höhe
 des Parallelogramms zu kennen. Die Höhe entspricht
 dem Normalabstand der parallelen Seiten.

 Anhand der Skizze erkennt man, dass das Parallelogramm ABCD
 denselben Flächeninhalt wie das Rechteck EFCD hat. Das kannst
 du mit den kongruenten Dreiecken AED und BFC begründen.

 Flächeninhalt des Parallelogramms = Seite mal zugehörige Höhe
 = ∙ = ∙ 
 Diese Formeln gelten auch für die Spezialfälle des Parallelogramms:
 • Raute: 4 gleich lange Seite
 • Rechteck: 4 gleich groß Winkel (90°)

 Bsp. 9) Gegeben ist ein allgemeines Parallelgramm ABCD. Berechne die gesuchte Größe.

a. = 360 2 , = 10 b. = 16 , ℎ = 8 c. = 780 2 , ℎ = 25 
 . : ℎ = ? . : = ? . : = ?

 Bsp. 10) Zeige, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD auch durch die Formel = ∙ ℎ berechnet
 werden kann! Überlege anhand des gezeichneten Parallelogramms, indem du in den Punkten A und D jeweils
 die Höhe ℎ einzeichnest.

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 4 von 11

3.2 Raute (oder Rhombus) Video 7/11
 Zusätzliche Eigenschaften zum allgemeinen Parallelogramm

 Die Raute ist eine Sonderform des Parallelogramms

 Alle Seiten sind gleich lang: = = = 

Die Diagonalen stehen normal aufeinander und halbieren
 einander. Sie bilden die Symmetrieachsen. ⊥ 

 Die Dreiecke ABC und ACD sind kongruent.

 Flächeninhalt

 Die Diagonalen stehen wie beim Deltoid (gleiche Flächeninhaltsformel) normal aufeinander.
 Herleitung: Die Diagonalen e und f sind gleich lang wie die Seiten eines Rechtecks, das die Raute umgibt. Der
 Flächeninhalt des Rechtecks ist gegeben durch = ∙ . Der Flächeninhalt der Raute entspricht genau der
 ∙ 
 Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks, also = .
 2

 Zeichnung (selbstständig):
 1] Spezial-Formel (gilt nur für die Raute)
 ∙ 
 =
 
 2] Allgemeine Formel Parallelogramm
 = ∙ = ∙ 

 Bsp. 11) Gegeben ist eine Raute ABCD mit den Diagonalen e und f. Berechne den Flächeninhalt in m².

a. = 5 , = 12 b. = 13 , = 0,3 c. = 20 , ℎ = 4 

 Bsp. 12) Von einer Raute kennt man den Flächeninhalt und die Länge einer Diagonale. Wie lang ist die andere
 Diagonale?

a. = 10 , = 2 b. = 1204 2 , = 56 c. = 23,2 2 , = 2,9 

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 5 von 11

4. Trapez
 Eigenschaften (Allgemeines Trapez)

 Ein Paar parallele Seiten (d.h. 2 Seiten sind parallel) Video 8/11
 ∥ 

 Nicht parallele Seiten heißen Schenkel.
 ℎ , 

 Winkel, die an einem Schenkel anliegen, sind supplementär:
 + = 180° + = 180°

 Flächeninhalt – Trapez (Herleitung):

 Zeichne auf ein gefaltetes Blatt Papier ein beliebiges
 Trapez, sodass du beim Ausschneiden zwei
 deckungsgleiche Trapeze erhältst. Lege die beiden
 Trapeze wie in der Abbildung nebeneinander.

 Dabei entsteht ein Parallelogramm, das doppelt so
 groß ist wie jedes der beiden Trapeze. Den
 Flächeninhalt des Parallelogramms kennst du bereits (=
 Seite mal zugehöriger Höhe).

 Flächeninhalt des großen Parallelogramms: = ( + ) ∙ ℎ

 Für den Flächeninhalt A eines Trapezes mit den parallelen Seitenlängen a und c sowie der Höhe h gilt:
 ( + )∙ℎ
 Flächeninhalt des Trapezes: =
 2

 Bsp. 13) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.

a. = 10,5 , = 3,5 , ℎ = 4 b. = 8 , = 2 , ℎ = 6 c. = 6,1 , = 2,9 , ℎ = 3,5 

 ( + )∙ℎ
 Bsp. 14) Ein Trapez ABCD hat den Flächeninhalt = .
 2
 Forme mittels Äquivalenzumformungen die Formel auf ( ) = , ( ) = und ( ) = um.

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 6 von 11

Bsp. 15) Ein Trapez hat die Parallelseiten a und c, die Höhe h und den Flächeninhalt A. Berechne die Länge der
 fehlenden Parallelseite.

a. = 28 ², = 5 , ℎ = 4 b. = 1218 2 , = 73,0 , ℎ = 21,0 c. = 400 ², = 10 , ℎ = 10 

 Bsp. 16) Ein Trapez wird durch die Diagonale f in zwei Dreiecke
 unterteilt.

 a. Gib für die Berechnung der Flächeninhalte 1 und 2 der beiden
 Dreiecke ABD und BCD eine allgemeine Formel mit Hilfe der Höhe h
 des Trapezes an.

 b. Gib die Formel des Flächeninhalts A des Trapezes als Summe der Flächeninhalte der beiden Dreiecke an.
 Vereinfache diese Formel so weit wie möglich. Was erhältst du?

 Bsp. 17) Matteo entwirft einen Hausplan mit trapezförmiger Vorderseite. Er möchte, dass die Vorderseite oben
 3,5 m und unten 8 m breit ist. Der Flächeninhalt der Vorderseite soll 66 m² betragen. Wie hoch muss die
 Vorderseite des Hauses sein?

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 7 von 11

5. Deltoid (Drache)
 Eigenschaften (Allgemeines Deltoid)

 Die Diagonalen e und f stehen normal aufeinander. Video 9/11
 ⊥ 
 Die Diagonale f wird von e halbiert.
 ̅̅̅̅̅
 = ̅̅̅̅̅
 
 e halbiert die Winkel 

 Die Diagonale e ist die Symmetrieachse.

 Die Winkel sind gleich groß.
 = 

 Je zwei Seiten sind gleich lang.
 = , = 

 Flächeninhalt (Herleitung)

 Betrachte die Abbildung. Die beiden violetten Dreiecke (oben) sowie die beiden
 gelben Dreiecke (unten) sind kongruent. Durch Verschieben der beiden
 rechtwinkligen Dreiecke von rechts in die Lücken nach links entsteht ein
 
 Rechteck mit den Seitenlängen und . Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
 2

 Für den Flächeninhalt des Deltoids mit den Diagonalenlängen e und f gilt daher:
 ∙ 
 =
 
 ∙ 
 ℎ = ∙ = .
 2 2

 Bemerkung: Wie bei der Raute stehen bei einem Deltoid die beiden Diagonalen normal
 ∙ 
 zueinander. Die Formel = gilt daher für jede Raute und für jedes Deltoid, ganz egal, an welcher Stelle die Diagonale f
 2
 die Diagonale e schneidet. Entscheidend ist, dass die Diagonalen normal aufeinander stehen.

 Bsp. 18) Berechne den Flächeninhalt des Deltoids ABCD in cm².

a. = 3 , = 6 b. = 122 , = 5,3 c. = 2,4 , = 0,9 

 Bsp. 19) Berechne die Länge der fehlenden Diagonale.

a. = 20 2 , = 10 b. = 192 2 , = 12 c. = 576 2 , = 36 

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 8 von 11

6. Allgemeine Vierecke Video 10/11

Teile ein beliebiges Viereck durch eine Diagonale in 2 Dreiecke.
Die Fläche des Vierecks ist die Summe der beiden Teildreiecke.

 = 1 + 2

 ∙ ℎ1 ∙ ℎ2
 1 = 2 =
 2 2
 ∙ ℎ1 ∙ ℎ2 ∙ ℎ1 + ∙ ℎ2 ∙ (ℎ1 + ℎ2 )
 = + = =
 2 2 2 2

Sonderfall: Stehen die Diagonalen e und f in einem allgemeinen Viereck
normal aufeinander, so kannst du den Flächeninhalt IMMER mit folgender,
bereits bekannten, Formel berechnen:

 ∙ 
 =
 
 Bsp. 20) Zeichne das Viereck ABCD. Berechne den Flächeninhalt, indem du das Viereck in zwei Dreiecke
 unterteilst. Miss benötigte Längen in deiner Zeichnung ab.

 = 63 , = 47 , = 52 , = 62°, = 103°

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 9 von 11

Bsp. 21) Zeige graphisch: Stehen die Diagonalen eines beliebigen Vierecks normal aufeinander, so entspricht
 ∙ 
der Flächeninhalt immer: = . Zeichne dazu ein beliebiges Viereck mit normalen Diagonalen.
 2

Bsp. 22) Ein Grundstück hat die Form eines allgemeinen Vierecks. Für die Berechnung des Flächeninhalts wird
das Grundstück im Maßstab 1:10000 gezeichnet.

 = 640 , = 530 , = 860 , = 710 , = 920 
 a. Berechne die Längen im Plan und konstruiere das Viereck.
 b. Unterteile das Viereck in Dreiecke, miss die für die Berechnung notwendigen Längen ab.
 c. Berechne den Flächeninhalt A‘ des konstruierten Vierecks und ermittle den Flächeninhalt A des
 Grundstücks.

THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 10 von 11

Video 11/11
 7. Allgemeine Vielecke

Zerlege die Vielecke für die Berechnung des Flächeninhalts in Dreiecke und geeignete Vierecke (Rechteck, Trapez, …).

 Bsp. 23) Berechne näherungsweise den Flächeninhalt A des Vielecks durch Zerlegen in Dreiecke oder Vierecke.
 Miss benötigte Längen ab. Beschrifte im Vieleck die Teilflächen 1 , 2 , 3 , …

 THEORIE: Flächeninhalte Ebener Figuren Seite 11 von 11