Didaktik der Analysis - Modul 12a Jürgen Roth - Prof. Dr. Jürgen Roth

Didaktik der Analysis
Modul 12a

Jürgen Roth Didaktik der
 Mathematik
22.11.2023 juergen-roth.de Sekundarstufen

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Didaktik der Analysis

 1. Ziele und Inhalte
 2. Folgen und Vollständigkeit in ℝ
 3. Ableitungsbegriff
 4. Integralbegriff

 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Didaktik der Analysis

 Ableitungsbegriff

 Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum, 137ff
juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/ Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, 44ff
 Büchter, A. & Henn, H.-W. (2010). Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

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GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

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GeoGebra-Buch
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Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

 Lokale Tangenten- Verstärkungs- lokale lineare
 Änderungsrate steigung faktor Approximation

6 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Ableitung als lokale Änderungsrate

 Beschrei-
 Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4
 bungsebene

 − 0 ′
 − 0
 formal 0 − 0 0 = lim
 − 0 → 0 − 0

 relativer Zuwachs
 momentane (lokale)
 Bestand zum absoluter Zuwachs im Zeitintervall [ 0 , ]
 inhaltlich Änderungsrate zum
 Zeitpunkt 0 in der Zeit von 0 bis (mittlere
 Zeitpunkt 0
 Änderungsrate)

 termino- Differenz der
 Funktionswert Differenzenquotient Ableitung
 logisch Funktionswerte

 algebraisch analytisch
7 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Ableitung als Tangentensteigung

 ■ Schritt 1
 Definition der Steigung einer Kurve
 im Punkt über die Steigung der
 Tangente in 

 ■ Schritt 2
 Tangente als Grenzlage von Sekanten

 ■ Schritt 3
 Berechnung der Tangentensteigung
 als Grenzwert von Sekantensteigungen

8 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Ableitung als Verstärkungsfaktor

 ■ Die Ableitung gibt an, wie stark sich
 die Änderung der unabhängigen
 Variable auf die abhängige Variable
 auswirkt.

 ■ Hohe Werte der Ableitung
 bedeuten schnelle/starke
 Änderung der Funktionswerte.

 ■ Für kleine Änderungen Δ gilt:
 Δ ≈ ′ ⋅ Δ 
 2 ⋅ ⋅ℎℎ
 = 2 

9 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Ableitung als lokale lineare Approximation

 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91
10 22.11.2023 www.funktionenlupe.de • https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf https://www.geogebra.org/m/tejWrTyU

Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff
Welche würden Sie für die Einführung nutzen?

 Lokale Tangenten- Verstärkungs- lokale lineare
 Änderungsrate steigung faktor Approximation

11 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

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Lokale Änderungsrate

Kontext Geschwindigkeiten
■ „Heute bin ich mit dem Auto von Landau nach Würzburg
 gefahren und habe für die 200 km genau 2 Stunden gebraucht.“
 ■ „Dann waren Sie aber mit 100 km
 h
 nicht besonders schnell.“
 ■ „Wie man es nimmt, manchmal bin ich über 150 km
 h
 gefahren.“

Bewegungen
■ Die Weg-Zeit-Funktion ↦ ( ) ordnet jedem Zeitpunkt 
 den bis dahin zurückgelegten Weg zu.

Anfahrvorgang (konstante Beschleunigung = 2 sm2)
 1 1
 ■ ↦ = ⋅ 2 = ⋅ 2 sm2 ⋅ 2 = 1 sm2 ⋅ 2
 2 2

13 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg = 1 sm2 ⋅ 2 )
 ■ Erste Sekunde
 0s 1s
 1 s − 0 s
 = 1 sm2 ⋅ 1 s 2 2
 − 1 sm2 ⋅ 0 s
 0m 1m
 =1m−0m=1m

 ■ Zweite Sekunde
 1s 2s
 2 s − 1 s
 2
 = 1 sm2 ⋅ [ 2 s − 1 s 2]
 1m 4m
 = 1 sm2 ⋅ 3 s 2 = 3 m

 ■ Dritte Sekunde
 2s 3s
 3 s − 2 s
 2
 = 1 sm2 ⋅ [ 3 s − 2 s 2]
 4m 9m
 =1 m
 s2
 ⋅5 s2 =5m
14 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg = 1 sm2 ⋅ 2 )
 ■ In den 2 Sekunden von 0 = 1 s bis 1 = 3 s zurückgelegter Weg:
 1 − 0 1s 3s
 = 3 s − 1 s
 2 2
 = 1 sm2 ⋅ 3 s − 1 sm2 ⋅ 1 s 1m 9m
 =9m −1m=8m
 Zeit- zurückgelegter
 punkt Weg 

 0s 0m
 Zeitänderung Δ = 1 s Wegänderung Δ = 1 m
 1s 1m
 Zeitänderung Δ = 1 s Wegänderung Δ = 3 m
 Zeitänderung Δ = 2 s 2s 4m Wegänderung Δ = 8 m
 Zeitänderung Δ = 1 s Wegänderung Δ = 5 m
 3s 9m
15 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

Relative Änderung / Änderungsrate (Durchschnittsgeschwindigkeit)
 ■ Um die mittleren Geschwindigkeiten in unterschiedlich langen Zeitinterval-
 len [ 1 , 2 ] und 3 , 4 vergleichen zu können, muss man die Wegdifferenz
 2 − 1 auf die zugehörige Zeitdifferenz 2 − 1 beziehen:
 2 − 1
 2 − 1

 22 m − 12 m 3m m
 ■ Im Zeitintervall [1 s, 2 s] werden im Mittel = =3 ,
 2s−1s 1s s = 1 sm2 ⋅ 2
 also 3 m pro Sekunde zurückgelegt.
 32 m − 12 m 8m m
 ■ Im Zeitintervall [1 s, 3 s] werden im Mittel = =4 ,
 3s−1s 2s s
 also 4 m pro Sekunde zurückgelegt.

 ■ Im Zeitintervall [1 s, 3 s] ist die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnitts-
 m m
 geschwindigkeit) mit 4 also höher als im Zeitintervall [1 s, 2 s] mit 3 .
 s s

16 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

Lokale Änderungsrate (Momentangeschwindigkeit)
 ■ Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate)
 zu einem Zeitpunkt 0 = 1s?
 ■ Idee
 Mittlere Geschwindigkeiten in Zeitintervallen betrachten,
 die 0 = 1s als Intervallgrenze besitzen.
 − ( ) − ( )
 Zeitintervall Mittlere Geschw. Zeitintervall Mittlere Geschw.
 − − = 1 sm2 ⋅ 2
 [ , ] im Zeitintervall [ , ] [ , ] im Zeitintervall [ , ]
 22 m − 12 m m 12 m − 02 m m
 [1 s; 2 s] =3 [0 s; 1 s] =1
 2s−1s s 1s−0s s
 1,12 m − 12 m m 12 m − 0,92 m m
 [1 s; 1,1 s] = 2,1 [0,9 s; 1 s] = 1,9
 1,1 s − 1 s s 1 s − 0,9 s s
 1,012 m − 12 m m 12 m − 0,992 m m
 [1 s; 1,01 s] = 2,01 [0,99 s; 1 s] = 1,99
 1,01 s −1 s s 1 s − 0,99 s s
 1,0012 m − 12 m m 12 m − 0,9992 m m
 [1 s; 1,001 s] = 2,001 [0,999 s; 1 s] = 1,999
 1,001 s −1 s s 1 s − 0,999 s s

17 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

 Momentangeschwindigkeit
 ■ Je kleiner das Intervall [ 0 , ] wird, je näher also an 0 = 1 s
 heranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit
 dem Wert 2 ms. Sie kommt ihm beliebig nahe.
 ■ Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt Lokale
 0 = 1 führt zur selben Momentangeschwindigkeit. Änderungsrate

 ■ Ist ein benachbarter Zeitpunkt von 0 = 1 s, dann ergibt sich = 1 sm2 ⋅ 2
 für die mittlere Geschwindigkeit im Intervall 1 s, t der Wert:
 m
 − (1 s) 1 2 ⋅ 2 − 1 s 2 +1 s ⋅ −1 s
 = s
 = 1 sm2 ⋅ = 1 sm2 ⋅ + 1 s
 −1 s −1 s −1 s

 ■ 1 sm2 ⋅ 1 s + kommt dem Wert 2 ms beliebig nahe,
 wenn genügend nahe bei 1 s liegt.
 ■ Damit ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate)
 zum Zeitpunkt 0 = 1 s bestimmt. Sie beträgt hier 2 ms.
18 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Lokale Änderungsrate

 Vorteile
 des Zugangs zum Ableitungsbegriff als Übergang
 von der mittleren zur lokalen Änderungsrate:

 ■ Kinematischer Kontext ist Teil der Alltagserfahrungen von
 Jugendlichen. (Straßenverkehr, Computerspiele, Sport, …)

 ■ Zeitliche Änderung von Geschwindigkeiten
 → Zugang zum Begriff Momentanbeschleunigung

 ■ Das Beispiel ist als universelles Modell überall
 tragfähig, wo ein Änderungsverhalten
 punktuell beschrieben werden soll.

 Unterrichtsreihe „Gepard“ zur Einführung in die Differentialrechnung als GeoGebra-Book: Sie stammt aus dem
 Fortbildungsprogramm , wurde mehrfach im Unterricht erprobt und berücksichtigt vor allem die beiden
 Grundvorstellungen lokale Änderungsrate und Tangentensteigung. https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3

19 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Zusammenfassung:
Ableitung als lokale Änderungsrate
 Formale Darstellung Inhaltliche Erläuterung
 Bis zum Zeitpunkt 0
 0 Bestand
 zurückgelegter Weg.

 In der Zeit von 0 bis 
 − 0 absolute Änderung
 zurückgelegter Weg.

 In der Zeit von 0 bis zurückgelegter
 − 0 relative Änderung / Weg bezogen auf die Zeitspanne − 0 .
 − 0 (mittlere) Änderungsrate (Durchschnittsgeschwindigkeit
 im Zeitintervall [ 0 , ])

 − 0 momentane / lokale Momentangeschwindigkeit
 0 = lim
 → 0 − 0 Änderungsrate zum Zeitpunkt 0 .

20 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Definition:
Differenzierbarkeit und Ableitung

 Bemerkungen:
 Definition
 ■ Der Grenzwert muss derselbe sein,
 Eine Funktion : → ℝ, ⊆ ℝ heißt
 unabhängig davon, ob man sich der
 an der Stelle 0 ∈ differenzierbar,
 Stelle 0 von links oder von rechts
 wenn der Grenzwert
 nähert. Nur in diesem Fall ist an
 − 0 der Stelle 0 differenzierbar.
 lim
 → 0 − 0
 ■ Die Betragsfunktion
 existiert. ↦ ist z. B. an der
 Der Grenzwert heißt Ableitung von Stelle 0 = 0 nicht
 an der Stelle und wird mit differenzierbar. x

 − 0 ■ Genau genommen muss 0 im Inneren
 ′ 0 ≔ lim der Definitionsmenge von liegen, weil
 → 0 − 0
 sonst nur eine einseitige Annäherung an
 bezeichnet.
 0 möglich ist.

21 22.11.2023 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Tangentensteigung

 Schritte bei diesem Zugang Zu beachten ist:
 ■ 1. Schritt: ■ 1. Schritt:
 Definition der Steigung einer Kurve im Paradigmenwechsel vom geometrischen
 Punkt über die Steigung der Tangente zum analytischen Tangentenbegriff
 in 

 ■ 2. Schritt:
 Tangente als Grenzlage von Sekanten

 ■ 3. Schritt:
 Berechnung der Tangentensteigung als
 Grenzwert von Sekantensteigungen

23 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Was ist eine Tangente?

 Geometrische Sichtweise:
 Tangente als globale Stützgerade

 Analytische Sichtweise:
 Tangente als lokale Schmieggerade

24 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/ezw2nesu#material/JQAzj4Eu

Tangentensteigung

 Schritte bei diesem Zugang Zu beachten ist:
 ■ 1. Schritt: ■ 1. Schritt:
 Definition der Steigung der Kurve im Punkt Paradigmenwechsel vom geometrischen
 über die Steigung der Tangente in zum analytischen Tangentenbegriff

 ■ 2. Schritt: ■ 2. Schritt:
 Tangente als Grenzlage von Sekanten Liegt quer zur Schmieg-Vorstellung
 der Tangente
 ■ 3. Schritt: ■ 3. Schritt:
 Berechnung der Tangentensteigung als Gibt es überhaupt einen Grenzfall von
 Grenzwert von Sekantensteigungen Sekanten? Eine Gerade durch einen
 Punkt ist gar nicht eindeutig festgelegt.

25 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Vorwissen reaktivieren: Geradensteigung

26 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/ezw2nesu#material/xwhaewwx

Lokale Steigung als Tangentensteigung

27 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/ezw2nesu#material/xwhaewwx

Tangente als Grenzlage von Sekanten
 
 Beispiel: : ℝ → ℝ+ , ↦ + 
 
 ■ Gesucht: Tangentensteigung an der Stelle = 

 ■ Sekantensteigung:
 2 − ( 1 ) 18 ⋅ 22 + 1 − 18 ⋅ 22 + 1
 =
 2 − 1 2 − 2
 1 1
 ⋅ ( 22 − 4)
 8 8
 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( 2 − 2)
 = =
 2 − 2 2 − 2
 2 ≠ 2
 = 18 ⋅ 2 + 2
 Sprechweise
 ■ Tangentensteigung:
 Die Sekantensteigung kommt 1
 1 2 − (2) 8
 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( 2 − 2)
 der Zahl beliebig nahe, wenn lim = lim
 2 2 →2 2 − 2 2 →2 2 − 2
 2 gegen 1 = 2 strebt.
 = lim 1
 ⋅ 2 + 2 = 12
 2 →2 8
28 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/xwhaewwx

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

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Ableitung als Verstärkungsfaktor

 Wichtige Aspekte der Grundvorstellung
 Ableitung als Verstärkungsfaktor

 ■ Die Ableitung gibt an, wie stark sich kleine
 Änderungen der unabhängigen Größe auf
 die abhängige Größe auswirken.

 ■ Hohe Werte der Ableitung bedeuten schnelle
 bzw. starke Änderung der Funktionswerte.

 ■ Für kleine Änderungen Δ ist der Zusammen-
 hang von Δ und Δ multiplikativ:

 Δ ≈ ′ ⋅ Δ 
 Verstärkungsfaktor

 Greefrath, G. et al. (2016). Didaktik der Analysis – Aspekte & Grundvorstellungen zentraler Begriffe. Berlin: Springer Spektrum, 151ff
30 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/rtqcnjrr

Ableitung als Verstärkungsfaktor
 ′
Inhaltlicher Zugang zur Ableitungsregel = 

 ′
 = wird oft rein syntaktisch verstanden. Analog für
 ′
 = 
Inhaltlich
 ■ „Warum ist die lokale Änderungsrate des Flächeninhalts
 eines Quadrats der Kantenlänge gleich seinem halben Umfang?“
 
Absolute Änderung des Flächeninhalts
■ Für kleine im Wesentlichen die schattierten Rechtecke.

Relative Änderung des Flächeninhalts (mittlere Änderungsrate) 
 ■ Folgende Näherung ist beliebig gut, wenn hinreichend klein ist:
 + 2 − 2 2 + 2 ⋅ 2 + 
 = = = 2 + ≈ 2 
 
 ■ Das ist im Wesentlichen der Für kleine Änderungen Δ gilt:
 halbe Umfang des Quadrats. Δ ≈ ′ ⋅ Δ = 2 ⋅ ℎ

 Greefrath, G. et al. (2016). Didaktik der Analysis – Aspekte & Grundvorstellungen zentraler Begriffe. Berlin: Springer Spektrum, 151ff
31 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/rtqcnjrr

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

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Ableitung als lokale lineare Approximation

 Wichtige Aspekte der Grund-
 vorstellung Ableitung als
 lokale lineare Approximation

 ■ Bei starker Vergrößerung der
 Umgebung eines Punktes des
 Funktionsgraphen, sieht man
 ein geradliniges Kurvenstück.

 ■ Für kleine Änderungen der
 -Werte ist die Funktion so gut
 wie linear, kann also näherungs-
 weise durch einen linearen
 Zusammenhang ersetzt werden.

 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91
33 22.11.2023 www.funktionenlupe.de • https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf https://www.geogebra.org/m/tejWrTyU

Funktionenlupe

34 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf#material/VNbhnUtq

Welche Gerade ist beste lokale
Approximation des Graphen?
Schmieg-Effekt der Tangente ■ Wie groß ist die Abweichung ( )?
 2
Unterschied von Parabel ↦ und Tangente
im Punkt (1,1) in der Nachbarschaft von (1,1) ■ Funktionsgleichung: = 2
 ■ Tangentengleichung:
 = 0 + ⋅ − 0
 1 + ℎ = 1 + 2 ⋅ − 1
 1 + ℎ
 ■ Abweichung
 = 1 + ℎ − 1 + ℎ
 = 1 + ℎ 2 − (1 + 2ℎ)
 1 = 1 = 1 + 2ℎ + ℎ2 − 1 − 2ℎ
 = ℎ2 (*)

 = 
 → für → 

35 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/F3wVF6Eq

Welche Gerade ist beste lokale
Approximation des Graphen?
Schmieg-Effekt anderer Geraden ■ Wie groß ist die Abweichung ( )?
durch ( , ) bzgl. ↦ 
 ■ Funktionsgleichung: = 2
 ■ Geradengleichung:
 = 0 + ⋅ − 0 ≠ 2
 1 + ℎ
 = 1 + ⋅ − 1 ≠ 2
 ■ Abweichung
 (1 + ℎ) = 1 + ℎ − 1 + ℎ
 = 1 + ℎ 2 − (1 + )
 1 = 1
 
 = 1 + 2ℎ + ℎ2 − 1 − ℎ
 = ℎ2 + 2 − ⋅ h (**)

 = + − ⋅ 
 → für → 

36 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/F3wVF6Eq

Grundverständnis: Schmieg-Effekt

Absolute Abweichung ■ Offensichtlich ist die Bedingung
■ Tangente in ℎ
 → 0 für ℎ → 0
 = ℎ2 (*) ℎ
 ein analytischer Ausdruck für die
 ℎ → 0 für ℎ → 0 Schmieg-Eigenschaft der Tangente.
■ Andere Gerade durch Tangente
 = ℎ2 + 2 − ⋅ ℎ (**)
 (ℎ) → 0 für ℎ → 0
Relative Abweichung
 ■ Tangente in 
 
 = ℎ → 0 für ℎ → 0
 
■ Andere Gerade durch ■ Die gegenüber lim ℎ = 0
 ℎ→0
 ℎ
 
 = ℎ + 2 − mit ≠ 2 verschärfte Restbedingung lim =0
 ℎ→0 ℎ
 
 → 2 − ≠ 0 für ℎ → 0 charakterisiert die Tangente
 als bestapproximierende Gerade.

37 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/ufFeCFDJ

Zusammenfassung:
Ableitung als lokale lineare Approximation
 
 Ableitung als lokale lineare Approximation
 Der Graph von lässt sich in der Nähe von 0
 durch die Tangente in 0 so annähern, dass der
 Fehler ( ) der Approximation besonders gut,
 nämlich schneller als ℎ, gegen null geht:
 0 + ℎ
 = 0 + ℎ + ℎ
 = 0 + ′ 0 ⋅ ℎ + ℎ
 ℎ
 mit → 0 für ℎ → 0
 ℎ
 
 Tangentengleichung
 = 0 + ′ 
 0 ⋅ ( − 0 )

38 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/dfUDB4N3

Zusammenfassung:
 Ableitung als lokale lineare Approximation
 
 Ableitung als lokale lineare Approximation
 Der Graph von lässt sich in der Nähe von 0
 durch die Tangente in 0 so annähern, dass der
 Fehler ( ) der Approximation besonders gut,
 nämlich schneller als ℎ, gegen null geht:
 0 + ℎ
 = 0 + ℎ + ℎ
 = 0 + ′ 0 ⋅ ℎ + ℎ
 ℎ
 mit → 0 für ℎ → 0
 ℎ
 
 Tangentengleichung
 = 0 + ′ 0 ⋅ ( − 0 )
Anwendungen: Num. Näherungen; Fehlerrechnung; Taylor-Ab-
schätzung; Leibniz‘sche Differenziale; Newton-Verfahren; Beweis
von Ableitungsregeln; Verallgemeinerbar in höhere Dimensionen
 39 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/dfUDB4N3

Zusammenfassung:
 Ableitung als lokale lineare Approximation

 Werte werden Werte Fehler Güte
 der Funktion genähert der Tangente der Näherung der Näherung
 nahe 0 durch nahe 0 für ℎ → 0

 0 + ℎ ≈ 0 + ℎ ℎ = 0 + ℎ − 0 + ℎ ℎ
 = 0 + ′ 0 ⋅ ℎ = 0 + ℎ − 0 − ′ 0 ⋅ ℎ →0
 ℎ

 Zuwächse werden Zuwächse Fehler Güte
 der Funktion genähert der Tangente der Näherung der Näherung
 nahe 0 durch nahe 0 für ℎ → 0
 ℎ
 0 + ℎ − 0 ≈ ′ 0 ⋅ ℎ (ℎ) →0
 ℎ
 (Differenz Δ ) (Differenzial )

 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91
 40 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/dfUDB4N3

Zusammenfassung:
Ableitung als lokale lineare Approximation

 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91
41 22.11.2023 https://www.geogebra.org/m/dfUDB4N3

Analytische Definitionen der Ableitung

 Definition (über lokale Änderungsrate) Definition (über lokale lineare Approximation)
 Eine Funktion : → ℝ, ⊆ ℝ heißt Eine Funktion : → ℝ, ⊆ ℝ heißt
 an der Stelle 0 ∈ differenzierbar, an der Stelle 0 ∈ differenzierbar,
 wenn der Grenzwert
 wenn es eine Gerade 0 durch den Punkt
 − 0 0 , 0 gibt, so dass der Approximationsfehler
 lim
 → 0 − 0
 existiert. ℎ ≔ 0 + ℎ − 0 0 + ℎ mit 0 + ℎ ∈ 
 Der Grenzwert heißt Ableitung von ℎ
 an der Stelle und wird mit der Bedingung lim =0 genügt.
 ℎ→0 ℎ
 ′
 − 0
 0 ≔ lim Die Steigung von 0 heißt Ableitung von an
 → 0 − 0
 bezeichnet. der Stelle und wird mit ′( 0 ) bezeichnet.

 Bemerkung: Der Grenzwert muss derselbe sein, unabhängig davon, ob man sich der Stelle 0 von
 links oder von rechts nähert. Nur in diesem Fall ist an der Stelle 0 differenzierbar.
42 22.11.2023 Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 68-91

Exkurs: Tangentengleichung im
 Punkt , an 
 Berechnung der Tangentengleichung
 ■ Funktionsgleichung einer Geraden: = ⋅ + 
 ■ ist die Steigung der Geraden. Für eine Tangente,
 die sich im Punkt 0 , 0 an anschmiegt, gilt: = 0
 ■ Da die Tangente durch 0 , 0 verläuft, erfüllen
 dessen Koordinaten die Funktionsgleichung. Es gilt also: 0 = ⋅ 0 + 

 Im Beispiel: = 
 ■ Mit ′ = 2 folgt: = 2 ⋅ 0
 ■ Mit 0 , 0 = 0 , 02 ergibt sich: 02 = 2 0 ⋅ 0 + 
 ⇒ = − 02
 ■ Damit ergibt sich die Tangentengleichung
 im Punkt 0 , 0 zu: = 2 0 ⋅ − 02
43 22.11.2023

Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff
Welche würden Sie für die Einführung nutzen?

 Lokale Tangenten- Verstärkungs- lokale lineare
 Änderungsrate steigung faktor Approximation

44 22.11.2023 Roth, J. & Siller, H.-S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, 2-8

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

 Kapitel 3: Ableitungsbegriff

 3.1 Grundvorstellungen im Überblick
 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate
 3.3 Ableitung als Tangentensteigung
 3.4 Ableitung als Verstärkungsfaktor
 3.5 Ableitung als lokale
 lineare Approximation
 3.6 Aufgabenformate zum Prüfen
 inhaltlicher Vorstellungen

 juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-analysis/
GeoGebra-Buch
„Didaktik der Analysis“
https://roth.tel/analysis

Aufgabenformate zum Prüfen
inhaltlicher Vorstellungen
Was prüfen? Beispiele für Aufgabentypen
 (1) Eine gegebenen Sachsituation Mathematisieren
 z. B.: Geben Sie eine Funktion für den Gesamteffekt, der
Vorstellungen zur
 im Sachkontext gegebenen Änderungsfunktion an.
Mathematisierung
nutzen (2) Analysieren einer falschen Mathematisierung
 z. B.: Erläutern Sie, warum die Inflationsrate keine Ableitung der Preisniveau-Funktion ist. Ver-
 gleichen Sie dazu die Formel für die Inflationsrate (…) mit dem Differenzenquotienten.

 (3) Zuordnen von Mathematisierung und Sachsituation oder Bild
Vorstellungen zur
 z. B. Aufgabe 1
Veranschaulichung
und Interpretation (4) Interpretieren eines mathematischen Ausdrucks im Bild/Sachkontext
 z. B.: Interpretieren Sie die Bedeutung des Integrals in Bezug auf die im Sachzusammenhang
nutzen
 gegebene Änderungsfunktion. Siehe auch Aufgabe 4.

 (5) Erklären eines Rechenverfahrens unter Rückgriff auf eine geometrische
Sachverhalte und
 oder inhaltliche Interpretation
Rechenverfahren
 z. B. Aufgabe 2
durch Rückgriff auf
inhaltliche Vorstel- (6) Erklären komplexer Sachverhalte durch Rückgriff auf inhaltl. Vorstellungen
 z. B.: Erklären Sie die Beziehung zwischen Integrieren und Differenzieren
lungen erklären
 am Beispiel folgenden Sachverhalts …
46 22.11.2023 Hußmann, S. & Prediger, S. (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten & zentr. Prüfungen. PM 52(31), 35-38

Aufgabenformate zum Prüfen
inhaltlicher Vorstellungen
Aufgabe 1: Welcher der Graphen A, B, C, D bzw. E hat alle folgenden Eigenschaften?
 ′ 0 < 0, ′ 1 < 0 und ( ) ist immer negativ

 A B C

 D E

47 22.11.2023 Hußmann, S. & Prediger, S. (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten & zentr. Prüfungen. PM 52(31), 35-38

Aufgabenformate zum Prüfen
inhaltlicher Vorstellungen

Aufgabe 2:
Rechenverfahren erklären
Um eine Maximalstelle zu bestimmen,
sind zwei Schritte notwendig:
(1) Man bestimmt die Nullstelle 0
 der Ableitung und
(2) überprüft, ob ′′ 0 < 0 ist.
Erläutern Sie anhand der Graphen,
warum man mit den Schritten
(1) und (2) eine Maximalstelle erhält.

48 22.11.2023 Hußmann, S. & Prediger, S. (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten & zentr. Prüfungen. PM 52(31), 35-38

Aufgabenformate zum Prüfen
inhaltlicher Vorstellungen
 Masse in mg
Aufgabe 3: Hefewachstum
In der Grafik ist das Wachstum
einer Hefekultur dargestellt
(Zeitangabe in Stunden; Hefemasse in mg).

a) Schätzen Sie die ungefähre
 Lage des Wendepunkts ab
 und zeichnen Sie ihn in der
 Grafik ein.
b) Schätzen Sie ab, wie groß die
 Wachstumsgeschwindigkeit
 an der Wendestelle ist.
c) Deuten Sie den Wendepunkt
 im Hinblick auf die Wachs-
 tumsgeschwindigkeit. t in Std.

 Dangl, M. et al. (2009). Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik“ – Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen.
 Klagenfurt: Universität Klagenfurt, 36
49 22.11.2023 Hußmann, S. & Prediger, S. (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), 35-38

Aufgabenformate zum Prüfen
inhaltlicher Vorstellungen
 Aufgabe 4: Einkommenssteuer 
 Es sei : ↦ die Funktion, die jedem Einkommen 
 die zugehörige Einkommenssteuer zuordnet. 1 ist das
 Einkommen von Frau Meier (siehe Grafik, alles in Euro).
 1
 a) Interpretieren Sie die Terme 1 − 1 und .
 1

 b) ( 1 ) wird als Grenzsteuersatz bezeichnet.
 
 Erklären Sie diesen Begriff.
 1
 c) Frau Meier erhält eine Gehaltserhöhung um ℎ Euro.
 1 +ℎ − 1
 Interpretieren Sie den Ausdruck .
 ℎ
 1 +ℎ − 1 1
 d) Interpretieren Sie die Ungleichung ≥ .
 ℎ 1

 e) In den meisten Steuersystemen gilt für Einkommen über einer bestimmten Einkommensgrenze
 die Beziehung ′′ = 0. Deuten Sie diese Beziehung im Sachzusammenhang.
 Dangl, M. et al. (2009). Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik“ – Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen.
 Klagenfurt: Universität Klagenfurt, 36
50 22.11.2023 Hußmann, S. & Prediger, S. (2003). Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), 35-38

Graph von und 

 Kommt folgender Graph als Funktions-
 Aufgabe 5
 graph der zugehörigen Funktion ( ) in
 Die folgende Abbildung zeigt den
 Frage? Kreuzen Sie an.
 Graphen einer Ableitungsfunktion ( ).
 Ja Nein

51 22.11.2023 Schumacher, M. (2019). MaLeMINT-Codebuch. Aufgabe 5.0.6b. S. 149-151

Graph von und 

 Kommt folgender Graph als Funktions-
 Aufgabe 5
 graph der zugehörigen Funktion ( ) in
 Die folgende Abbildung zeigt den
 Frage? Kreuzen Sie an.
 Graphen einer Ableitungsfunktion ( ).
 Ja Nein

52 22.11.2023

Graph von und 

 Kommt folgender Graph als Funktions-
 Aufgabe 5
 graph der zugehörigen Funktion ( ) in
 Die folgende Abbildung zeigt den
 Frage? Kreuzen Sie an.
 Graphen einer Ableitungsfunktion ( ).
 Ja Nein

53 22.11.2023

Graph von und 

 Kommt folgender Graph als Funktions-
 Aufgabe 5
 graph der zugehörigen Funktion ( ) in
 Die folgende Abbildung zeigt den
 Frage? Kreuzen Sie an.
 Graphen einer Ableitungsfunktion ( ).
 Ja Nein

54 22.11.2023

Grippewelle

 Aufgabe 6
 Die Funktion beschreibt die Anzahl ( ) der an Grippe erkrankten Menschen in
 Anhängigkeit von der Zeit .
 a) Erläutern Sie die Bedeutung der Funktion ( ).
 b) Erklären Sie, was der Funktionswert ( 0 ) zum Zeitpunkt 0 inhaltlich bedeutet.

55 22.11.2023

Kontakt
Prof. Dr. Jürgen Roth
RPTU
Rheinland-Pfälzische Technische Universität
Kaiserslautern-Landau
Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)
Fortstraße 7, 76829 Landau
j.roth@rptu.de
juergen-roth.de
dms.nuw.rptu.de