Didaktik der Geometrie - (Sekundarstufen) Modul 5a/c - Prof. Dr. Jürgen Roth

Didaktik der Geometrie
(Sekundarstufen)

Modul 5a/c

Jürgen Roth Didaktik der
 Mathematik
29.05.2023 juergen-roth.de Sekundarstufen

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

Didaktik der Geometrie
(Sekundarstufen)

1. Ziele und Inhalte
2. Begriffsbildung
3. Konstruieren
4. Argumentieren und Beweisen
5. Problemlösen
6. Entdeckendes Lernen

juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-geometrie/

Didaktik der Geometrie (Sekundarstufe)

 Problemlösen

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Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

Kapitel 5: Problemlösen

5.1 Was ist ein Problem?
5.2 Problemtypen im
 Geometrieunterricht
5.3 Beispiele für Problemaufgaben
5.4 Beispiel:
 Problemlösestunde aus Japan

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Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

Kapitel 5: Problemlösen

5.1 Was ist ein Problem?
5.2 Problemtypen im
 Geometrieunterricht
5.3 Beispiele für Problemaufgaben
5.4 Beispiel:
 Problemlösestunde aus Japan

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Was ist ein Problem?

 (Routine-)
 Anfangszustand Algorithmus Zielzustand
 Aufgabe

 Anfangszustand Zielzustand
 Problem

 Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Aufgabe, also weder einen Operator noch
 eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.

6 29.05.2023 https://www.juergen-roth.de/skripte/did_grundlagen/FDG_12_Problemloesen.pdf

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

Kapitel 5: Problemlösen

5.1 Was ist ein Problem?
5.2 Problemtypen im
 Geometrieunterricht
5.3 Beispiele für Problemaufgaben
5.4 Beispiel:
 Problemlösestunde aus Japan

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Im Geometrieunterricht:
Nur Interpolationsprobleme

 Interpolationsproblem

 ■ Anfangszustand (das Gegebene) ist genau definiert.
 objektiv ■ Zielzustand (das Gesuchte) ist genau definiert.

 ■ Problemlöser verfügt über Operationen,
 subjektiv die eine Lösung des Problems gestatten.

8 29.05.2023

Interpolationsproblem?

 Zeige: rot + blau = 45°

9 29.05.2023

Interpolationsprobleme in der Geometrie

10 29.05.2023

Berechnungsprobleme

 Themenbereiche Schwierigkeiten
 ■ Winkelbeziehungen in Figuren ■ Mangelnde Kenntnis von Operatoren
 ■ Flächeninhalte von Polygonen und Kreisen ■ Erkennen der Anwendbarkeit
 ■ Satzgruppe des Pythagoras eines Operators
 ■ Strahlensätze ■ Falsche Anwendung eines Operators
 ■ Trigonometrie ■ Anwenden heuristischer Strategien

 Lösungsfindung durch
 ■ Vorwärtsarbeiten
 ■ Rückwärtsarbeiten
 ■ Lösen eines Gleichungssystems

11 29.05.2023

Konstruktionsprobleme

 Themenbereiche Lösungsfindung
 ■ Kongruenzabbildungen (Heuristische Strategien)
 ■ Dreiecke und Vierecke ■ Weglassen einer Bedingung
 „( − 1)-Methode“
 ■ Zentrische Streckung
 ■ Konstruktion einer Teilkonfiguration
 ■ Reduktion auf ein
 Problemanalyse Berechnungsproblem
 ■ Fallunterscheidung durchführen ■ Hilfslinie einzeichnen
 □ Lösbarkeitsbedingungen untersuchen
 □ verschiedene Fälle nacheinander lösen
 ■ Überlegungsfigur zeichnen
 □ Gegebenes und Gesuchtes mit
 verschiedenen Farben markieren

12 29.05.2023

Umgang mit Schwierigkeiten

 Mangelnde Operatorkenntnis
 Falsche Anwendung eines Operators
 ■ Anwenden in einfachen Übungsaufgaben
 mit Problemcharakter (vgl. Goldberg) ■ Vereinbarung:
 Eigenschaften von Teilfiguren dürfen nicht
 ■ Liste mit benötigten Operationen der Anschauung entnommen werden.
 anfertigen (Bilder, Formeln, …)

 Anwendbarkeit eines Operators erkennen Anwenden heuristischer Strategien
 ■ Erkennen von (Teil-) ■ Zunächst nur Vorwärts- und
 Konfigurationen üben Rückwärtsarbeiten einsetzen

 Anzahl der Trapeze?

13 29.05.2023 Goldberg, E. (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), 33-46

Umgang mit mangelnder Operatorkenntnis
Beispiel: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel-Satz (MUS)

 Voraussetzungen:
 Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel-Satz
 ■ ist Umfangswinkel über .
 In einem Kreis ist der zu einer Sehne gehörige
 Mittelpunktswinkel doppelt so ■ ist Mittelpunktswinkel über .
 groß wie der zur selben Sehne gehörende
 Behauptung:
 Umfangswinkel , es gilt also = 2 .
 ■ = 2 

 Beweis:
 (1) ′ = (Basiswinkel im gleich-
 schenkligen Dreieck)
 (2) = ′ + (Außenwinkelsatz)
 (3) = ′ + ′ (1) und (2)
 (4) = 2 ′
 (5) = 2 (Umfangswinkelsatz) ∎
14 29.05.2023 Goldberg, E. (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), 33-46

Umgang mit mangelnder Operatorkenntnis
Beispiel: Vorbereitungsaufgaben zum Beweis des MUS

 Geg.: = 20°; = 40° Geg.: = 15°
 Ges.: Ges.: 
 Lös.: = 20° + 40° = 60° Lös.: = = 15°
 (Außenwinkelsatz) (Basiswinkelsatz)

 Geg.: = 30°
 Ges.: Geg.: = 27°
 Lös.: (1) = = 30° Ges.: 
 (Basiswinkelsatz) Lös.: = = 27°
 (2) = 30° + 30° = 60° (Umfangswinkelsatz)
 (Außenwinkelsatz)

15 29.05.2023 Goldberg, E. (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), 33-46

Ein Beweis?

 Paradoxon Beweis:
 Jedes Dreieck ist gleichschenklig. Im Dreieck Δ 
 ■ halbiere den Winkel bei 
 ■ und sei Mittelsenkrechte von [ ].
 ■ Dann ist Δ ≅ Δ nach
 Kongruenzsatz WSW.
 ■ Δ ≅ Δ nach Kongruenzsatz SWS.
 ■ Aus = , = 
 und ∡ = ∡ = 90° folgt
 mit SsW: Δ ≅ ΔBDF
 ■ Also ist = | |.
 ■ Damit ist = | |. 
 ■ Δ ist gleichschenklig.
16 29.05.2023

Didaktik der
 Mathematik
 Sekundarstufen

Kapitel 5: Problemlösen

5.1 Was ist ein Problem?
5.2 Problemtypen im
 Geometrieunterricht
5.3 Beispiele für Problemaufgaben
5.4 Beispiel:
 Problemlösestunde aus Japan

juergen-roth.de/lehre/didaktik-der-geometrie/

Einem Dreieck ein Quadrat einbeschreiben

 Aufgabe
 Konstruieren Sie zum spitzwinkligen
 Dreieck ein Quadrat mit
 , [ ], [ ] und [ ].

 Hinweis
 Nutzen Sie die ( − 1)-Strategie.

18 29.05.2023 https://www.geogebra.org/m/CKPpUnUr

Dreieckskonstruktion

19 29.05.2023 https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2

Kirchenfenster
 1. Vorwärtsarbeiten
 ■ Was ist bekannt? ⇒ , 4 ⇒ Symmetrie!
 2. Rückwärtsarbeiten!
 ■ Wie bekommt man den Kreis? ⇐ Mittelpunkt 
 ■ Wie bekommt man ? ⇐ Radius oder Höhe ℎ
 ■ Wie bekommt man bzw. ℎ? ⇐ ???
 
 3. Hilfslinien einzeichnen!
 ■ Wie liegt der neue Kreis zu den alten? ⇒ Berühren!
 4 − ■ Weitere Hilfslinie? ⇒ Ja
 ℎ
 ■ Wie bekommt man bzw. ℎ?
 4. Berechnen!
 + 
 (1) ℎ² = ( + )²– ² Einsetzen von
 (2) (4 − )² = ℎ² + (2 )² (1) in (2) liefert:

 4 − 2 = + 2
 − 2 + (2 )²
  …  = 65 ∙ 
20 29.05.2023

Maximale Anzahl von
Schnittpunkten bei Geraden

 Anzahl der Geraden 1 2 3 4 5

 max. Anzahl der Schnittpunkte 0 1 3 6 10

 10 = 1 + 2 + 3 + 4

 Bei Geraden ( > 1) kann
 es maximal
 = 1 + 2 + ⋯ + ( − 1)
 Schnittpunkte geben.

21 29.05.2023

Was stimmt hier nicht?

22 29.05.2023 http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

Was stimmt hier nicht?

23 29.05.2023 http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

Didaktik der
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 Sekundarstufen

Kapitel 5: Problemlösen

5.1 Was ist ein Problem?
5.2 Problemtypen im
 Geometrieunterricht
5.3 Beispiele für Problemaufgaben
5.4 Beispiel:
 Problemlösestunde aus Japan

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Einstieg
 ∥ 
 ⇒ | | ∶ | | = | | ∶ | | | | ∶ | | = | | ∶ | |
 = | | ∶ | | ⇒ ∥ 
 ■ Thema: Ähnlichkeit 
 Die Stunde ist Teil einer
 Unterrichtssequenz zur
 Ähnlichkeit geometrischer 
 Figuren (vgl. Kapitel 2.5).
 
 ■ Einstieg ∥ | | ∶ | | = | | ∶ | |
 Wiederholung der Strahlensätze ⇒ | | ∶ | | = | | ∶ | | ⇒ ∥ 
 im Lehrervortrag 

 (Keine Hausaufgabenbesprechung)
 
25 29.05.2023

Erarbeitung und Sicherung

 Mittelpunktverbindungstheorem
 Wenn im Dreieck Δ der Punkt der
 ■ Erarbeitung
 Mittelpunkt der Seite [ ] und der
 Anschließend wird ein Spezialfall eingeführt
 Mittelpunkt der Seite [ ] ist, dann gilt:
 und durch zwei Schüler bewiesen.
 ■ ∥ und
 1
 ■ | | = · | | 
 2

 ■ Sicherung
 Das Theorem wird zur Berechnung von Strecken
 genutzt, die die Schenkel gegebener Dreiecke und 
 Trapeze halbieren.
 
26 29.05.2023

Vertiefung

 ■ „open-ended problem solving“ Aufgabe für die Gruppenarbeit
 Zur Förderung des logischen Denkens verwenden Bestimmt die Länge der Mittel-
 japanische Lehrer den methodischen Ansatz des parallelen eines Trapezes mit
 „open-ended problem solving“, der sich durch bekannten Längen der parallelen
 Erarbeitung unterschiedlicher Lösungsansätze in Seiten.
 Einzel- und Gruppenarbeit auszeichnet.

 ■ Der Lehrer A 6 cm D
 klärt die Problemstellung und teilt
 die Klasse in Vierergruppen ein. E F

 ■ Die Schüler/innen B 10 cm C
 tauschen ihre Ideen aus.

27 29.05.2023 https://mste.illinois.edu/users/aki/open_ended/WhatIsOpen-ended.html

Vertiefung

 ■ Während der Gruppenarbeit: 
 Die Lehrperson 6 cm D A 6 cm D
 A
 □ beantwortet Fragen P 2
 
 + 
 P E F
 □ berät oder hilft, E F 2
 2
 □ merkt sich die Lösungen Q
 B C B 10 cm C
 der Schüler/innen 10 cm
 
 □ bereitet die anschließende
 Besprechung an der Tafel vor.
 A 6 cm D A 6 cm D
 ■ Sicherung F Q R
 Vier der sieben verschiedenen E E F
 von Schüler/inne/n gefundenen
 Lösungen, werden an der Tafel B 10 cm C P B 5 cm P 5 cm C
 dargestellt.

28 29.05.2023

Kontakt
Prof. Dr. Jürgen Roth
RPTU
Rheinland-Pfälzische Technische Universität
Kaiserslautern-Landau
Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)
Fortstraße 7, 76829 Landau
j.roth@rptu.de
juergen-roth.de
dms.nuw.rptu.de