Die Fast Fourier-Transformation (FFT) - FFT verstehen und anwenden - beam ...
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Messtechnik
FFT verstehen und anwenden
Die Fast Fourier-Transformation (FFT)
oder kontinuierlich sein. Diskon-
tinuierliche Signale unterschei-
den sich von kontinuierlichen
dadurch, dass sie gewisserma-
ßen bis zu unendlich hohen Fre-
quenzen Spektralanteile aufwei-
sen und daher nicht völlig genau
durch eine endliche Fourier-
Reihe dargestellt werden kön-
nen. Diese Einschränkung ist
als Gibbs-Phänomen bekannt.
Die schnelle Fourier Neben der Darstellung im Zeit- geht. Je weiter man also zu hohenDas Gibbs-Phänomen kann als
bereich mit einem Oszilloskop Frequenzen hin messen kann, Klingeleffekt in der obigen Wel-
Transformation (FFT) lenform angesehen werden: Die
kann ein Signal im Frequenzbe- umso genauer ist das Ergebnis.
lässt sich nicht mal auf reich dargestellt werden. Ist es Man spricht hier von Frequenz- Strecken, die eigentlich waage-
die Schnelle erklären. nicht sinusförmig, erscheinen bereichsanalyse. recht verlaufen müssten, sind
hier mehrere frequenzmäßig wellig. Werden mehr Harmo-
In diesem Beitrag nische erfasst, erhöht sich die
harmonisch zueinander liegende Das Gibbs-Phänomen
kann der Praktiker vertikale Striche, die jeweils eine Frequenz des Klingelns und das
dennoch viel darüber Sinuswelle mit ihrer Amplitude Ein beliebiges kontinuierliches Überschwingen konvergiert zu
darstellen und die als Fourier- Signal kann diskontinuierlich einem vorhersagbaren Wert von
erfahren, ohne viel Zeit (Beispiel: ideale Rechteckwelle) knapp 9% der Amplitude.
Reihe bekannt ist. Die phasen-
investieren zu müssen. richtige Addition dieser spektra-
len Anteile würde das gesamte
Signal ergeben. Bei einer Recht-
eckform erscheinen theoretisch
nur ungerade Harmonische. Die
Amplitude der 3. Harmonischen
beträgt ein Drittel der Ampli-
tude der Grundfrequenz, die 5.
Harmonische hat ein Fünftel der
Amplitude der Grundwelle und
so weiter:
Quelle:
Fast Fourier Transforms In Bild 1 sehen wir das Ergebnis
explained, Application Report der Addition durch Summieren
AR501-1, 2020, der ungeraden harmonischen
Pico Technology Werte bis zur 11. Harmonischen.
Das Ergebnis ist nicht perfekt, Bild 1: Approximation einer Rechteckwelle auf Basis der Harmonischen bis zur
frei übersetzt von FS weil die Reihe ins Unendliche 11. Harmonischen
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Bild 2: Spektrale Anzeige einer 10-kHz-Rechteckwelle
Bild 2 zeigt die Spektraldarstel- N … Anzahl der Proben (Fen-
lung für eine 10-kHz-Rechteck- stergröße)
welle, die unter Verwendung
einer FFT dekonstruiert wurde, Jedes Spektrum kann als
bis zur 9. Harmonischen mit f (k) = k * 1/(N * Ts) darge-
90 kHz. stellt werden. Dies bedeutet,
dass die Messperiode, auch als
FFT-Spektrum-Bins Zeitgatter (N * Ts) bekannt, die
Frequenzauflösungs-Bandbreite
Die Spektralanteile nennt man oder Bin-Breite des transfor-
auch Bins (einfache Behälter). mierten Signals bestimmt. Eine
Eine DFT oder FFT kann aus- feine Frequenzauflösung wird
gedrückt werden mit folgender durch Auswahl einer längeren
Formel: Messperiode erreicht, entweder
durch Erhöhen der Anzahl von
Proben oder Erhöhen der Pro-
Bild 3: Die PicoScope-Fensterfunktionen, Hauptkeule und Nebenkeulen benperiode.
X(k) … komplexes diskretes
Die schnelle Fourier- Um diese Methode zu imple- Frequenzspektrum Wie wir jedoch gleich sehen
mentieren, müssen wir eine dis-
Transformation x(n * Ts) … Probe zum Zeit- werden, wird der Stichproben-
krete Fourier-Transformation zeitraum aus der Abtastrate abge-
punkt n * Ts
(DFT) verwenden, die Abtast- leitet, die indirekt aus der Fre-
Um das Signal im Frequenzbe- werte eines Zeitbereichssignals k … Index jedes diskreten Spek- quenzspanne abgeleitet wird. Es
reich zu analysieren, benötigen in seine Frequenzkomponenten trum-Bins, k = 0, 1, 2, 3 usw. könnte etwas schwer zu begrei-
wir eine Methode zur Umset- als diskrete Werte dekonstruiert. fen sein, dass bei der Frequenz-
zung des ursprünglichen Zeit- n … Index jeder Zeitbereichs-
Eine optimierte und rechnerisch bereichsanalyse ein Absenken
domänensignals in eine Fou- probe, n = 0, 1, 2, 3 usw.
effizientere Version der DFT die Abtastrate zwecks Erhöhung
rier-Reihe von Sinuskurven mit wird als Fast Fourier Transform Ts … Abtastzeitraum oder -inter- der Abtastperiode die Auflösung
unterschiedlichen Amplituden. (FFT) bezeichnet. vall verbessert, wohingegen natürlich
Bild 4: Rechteckige Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
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Bild 5: Dreieckige-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
Bild 6: Hamming-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
im Zeitbereich eine Erhöhung von 180 kS/s bedeuten. Bei Auflösungsbandbreite Messfensters abgetastet werden.
der Abtastrate bzw. ein Verrin- einer Spanne von 100 kHz und Geräterauschen Die Messperiode (N * Ts) sollte
gern der Abtastperiode die Auf- wird in PicoScope-Geräten die ein ganzzahliges Vielfaches der
lösung verbessert. Abtastrate auf 200 kS/s einge- Das Reduzieren der Auflösungs- Signalperiode sein. Dies liegt
stellt, woraus ein Abtastzeitraum bandbreite eines Wobbelspek- daran, dass N * Ts kein ganz-
Die Anzahl der Spektrum-Bins von 5 µs folgt. Die beste Fre- trumanalysators verbessert auch zahliges Vielfaches der Signal-
(FFT-Größe) sollte nicht mehr quenzauflösung wird erreicht, die Rauschleistung. In gleicher periode ist, Beginn und Ende
als die Hälfte der Anzahl der Pro- indem man die Frequenzspanne Weise wird die FFT-Messpe- der Messperiode liegen nicht bei
ben des ursprünglichen Zeitbe- auf das unbedingt erforderliche riode (Time Gate) und damit den Nulldurchgangspunkten des
reichssignals betragen(N/2) und Minimum einstellt, wodurch die die Frequenz erhöht. Die ver- Zeitbereichssignals, was zu Dis-
in PicoScope-Geräten wird diese Zeit für eine Probennahme und minderte Auflösung reduziert kontinuitäten in der FFT führt.
Einstellung automatisiert. Etwa die Anzahl der Bins so groß wie auch das FFT-Grundrauschen, Das Ergebnis sind Amplituden-
bei einer Anzahl von Spektrums- möglich bei akzeptabler Akqui- was wiederum den Dynamik- fehler und Frequenzkomponen-
Bins von 131.071 wird die Anzahl sitionsleistung werden. bereich des Messgeräts verbes- ten, die im ursprünglichen Signal
der erfassten Abtastwerte auto- sert. Das Quantisierungsrau- nicht vorhanden sind.
matisch auf 262.140 festgelegt. schen des Analog/Digital-Wand-
In diesem Fall haben wir eine
lers bestimmt das ultimative Dieses „Verschmieren“ des Fre-
Die Frequenzspanne (oder die Frequenzspanne von 100 kHz, quenzspektrums wird als spek-
Grundrauschen der Messung.
maximale beobachtbare Fre- die über 131.072 Spektrum- trale Leckage bezeichnet. Mit
quenz) ist die Nyquist-Frequenz, Bins verteilt ist. Die minimale einer längeren Messzeit reduziert
Frequenzauflösung (Bin-Breite)
Spektrale Leckage
die die Hälfte der Abtastrate man den Effekt der Diskontinu-
beträgt. Etwa die 9. Harmo- beträgt 100.000 Hz/131.072 = Für eine genaue Darstellung itäten und damit der künstlichen
nische eines 10-kHz-Rechteck- 0,7629 Hz und das Perioden- der zu berechnenden Frequenz- Frequenzkomponenten, beseitigt
signals zu erfassen, würde eine oder Zeitfenster (N * Ts) für die komponenten sollte das Signal aber nicht die Amplitudenfehler.
Frequenzspanne von 90 kHz Messung beträgt 262.140 * 5 µs idealerweise periodisch und bei Um die Diskontinuitäten selbst
bei einer minimalen Abtastrate = 1,311 s. Verwendung eines rechteckigen zu reduzieren, ist es notwendig,
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Bild 7: Gauss-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
Bild 8: Hann-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
beim Messfenster schrittweise nuitäten, welche Leckage- und die Leckage zu reduzieren, ohne sters nicht Nulldurchgangs-
und allmählich eine nicht-recht- Amplitudenfehler verursachen. dabei schwere Auswirkungen auf punkten entsprechen. Dieses
eckige Fensterfunktion ein- und die Bandbreite der Hauptkeule Fenster eignet sich am besten,
auszublenden. Bei der Auswahl einer geeig- zu haben, und zwar durch Aus- um Impulse oder Transienten zu
neten FFT-Fensterfunktion wahl einer Fensterfunktion, die messen, bei denen die Signalam-
gibt es Kompromisse. Die FFT die Nebenkeulen-Abrollrate (in plitude bei null beginnt und auf
Mehr zu beruht auf mehreren sinusför- dB/Oktave) vergrößert. null zurückfällt, wodurch Dis-
Fensterfunktionen migen Wellenkeulen- oder- zip- kontinuitäten am Anfang und
feln (Lobes) bei verschiedenen Die Aufmachergrafik informiert Ende des Fensters vermieden
Die Fensterfunktion wird mit den Frequenzen, bestehend aus einer über die verfügbaren Fensterfunk- werden. Ein weitere Anwen-
abgetasteten Zeitbereichsdaten Hauptkeule (Spitze) und mehre- tionen in PicosScope als Zeit- dung, für die das rechteckige
multipliziert, um eine Wellenform ren Nebenkeulen. bereichsdarstellung bzw. tabel-
larisch. Bild 3 ergänzt mit den Fenster gut geeignet ist, ist ein
im Fenster zu erhalten. Beach-
Spektrale Leckage wird durch im Frequenzbereich angezeigte Signal, das viele eng benach-
ten Sie, dass die Verwendung
Nebenkeulen verursacht, die PicoScope-Fensterfunktionen. barte Träger mit ähnlicher Lei-
eines rechteckigen Fensters die
nahe der Hauptkeule liegen und stung enthält. Das rechteckige
Originaldaten nicht ändert und
den gleichen Effekt hat wie die diese überlagern. Um Lecka- -rechteckiges Fenster („Ein- Fenster ermöglicht es hier, die
Nutzung keiner Fensterfunktion. gen zu minimieren, sollte die heitsfenster“), Bild 4 eng beieinander liegenden Trä-
Nebenkeulenamplitude (in dB) Es biete die beste Frequenzauf- ger gut aufzulösen.
Viele Fensterfunktionen ver- minimiert werden, aber der lösung auf Kosten einer sehr - dreieckiges Fenster („Bart-
wenden eine charakteristische Kompromiss hierbei ist der fol- schlechten Nebenkeulenleistung. lett-Fenster“), Bild 5
glockenförmige Kurve, die das gende: Die Hauptkeulenbreite Dies führt zu hoher Spektral-
Signal gleichmäßig in der Ampli- (in Bins bei -3 dB Roll-off) wird werte-Leckage und schlechter Dieses bietet die engste Lei-
tude vom Anfang des Fensters dadurch erhöht, wodurch die Amplitudengenauigkeit bei sich stungsdarstellung der Hauptkeu-
bis zum Ende ein- bzw. ausblen- Frequenzauflösung sich verrin- wiederholenden Wellenformen, lenbandbreite nach der Recht-
det. Dies reduziert die Diskonti- gert. Es ist aber auch möglich, wo Anfang und Ende des Fen- eckfunktion. Es hat eine
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Bild 9: Blackman-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
Bild 10: Blackman-Harris-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
schlechte Nebenkeulenleistungs- dungen mit engen Abständen Fensterfunktionen. Das führt zu sen kann das Hann-Fenster in
Darstellung und daher die der Träger, während es weniger sehr guter Frequenz- und Zeit- den meisten Anwendungen mit
schlechteste spektrale Leckage anfällig für Amplitudenungenau- genauigkeitsleistung. Das Gau- zufriedenstellenden Ergebnissen
nach der Rechteckfunktion. In igkeiten ist als rechteckige oder ßsche Fenster bietet auch eine verwendet werden.
den meisten Anwendungen ist dreieckige Fenster. gute Amplitudengenauigkeit,
das dreieckige Fenster dadurch wodurch es sich gut für Kali-
weniger nützlich als das Ein- - Gaußsches Fenster, Bild 7 brierungsanwendungen eignet. - Blackman-Fenster, Bild 9
heitsfenster. Das Gaußsche Fenster weist - Hann-Fenster, Bild 8 Das Blackman-Fenster wurde
- Hamming Fenster, Bild 6 eine ausreichende Leistung bei
der Hauptkeule auf. Obwohl Das Hann-Fenster (manchmal so konzipiert, dass es eine mini-
Die Hamming-Fensterfunktion die -3-dB-Bandbreite gut ist, fälschlicherweise als Hanning- male spektrale Leckage aufweist,
erreicht zu Beginn und am Ende fällt der untere Rand breiter Fenster bezeichnet) ist eine gute die es auf Kosten der Leistung
der Funktion nicht die Nullwerte aus als bei den zuvor bespro- allgemeine Fensterfunktion für der Hauptkeulen-Bandbreite
der Amplitude. Infolgedessen chenen Fenstern. Dieses Fen- viele Anwendungen. Es hat eine erreicht. Das Blackman-Fenster
gibt es verbleibende Diskontinu- ster hat eine gute Leistung bei gute Nebenkeulenabrollung bietet eine gute Amplituden-
itäten, die zwar einer guten Dar- mindestens der ersten Neben- und daher sehr wenig spektrale genauigkeit. Die Kombination
stellung der ersten Nebenkeule keule und die äußeren Neben- Leckage. Das Hann-Fenster von extrem geringer spektraler
nichts anhaben können, aber ins- keulen rollen mit der gleichen behält auch eine gute Haupt- Leckage mit einer entspre-
gesamt schlechter Leistung für Geschwindigkeit ab wie das keulen-Bandbreite bei und bietet
chenden Abwesenheit künst-
die äußeren Nebenkeulen führen. Hamming-Fenster und bieten eine angemessene Amplituden-
Die Hamming-Funktion bietet sehr geringe spektrale Leckage. genauigkeit. Dies ist die emp- licher Frequenzartefakte sowie
eine gute Frequenzauflösung. Das herausragende Merkmal fohlene FFT-Fensterfunktion, eine gute Amplitudengenau-
Die Amplitudengenauigkeit ist dieses Fensters ist, dass es die wenn die spektrale Zusammen- igkeit machen den Blackman
ausreichend. Das Hamming- beste Zeitbandbreite bietet ge- setzung des Signals nicht gut gut geeignet für Audioanalyse-
Fenster ist nützlich in Anwen- genüber den hier beschriebenen verstanden wird. Infolgedes- Anwendungen.
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Messtechnik
Bild 11: Flat-Top-Fensterfunktion, Hauptkeule und Nebenkeulen
- Blackman-Harris-Fenster, Nullamplitudenlinie, was die Seitenkeule wie Blackman ist, so ist das Blackman-Harris-
Bild 10 sehr breiten Hauptkeulen verur- oder Blackman-Harris. Wenn Fenster die beste Wahl. Für die
sacht. Die Amplitude der Haupt- die Gesamtmessgenauigkeit beste Amplitudengenauigkeit ist
Auch dieses Fenster wurde so
keule ist jedoch die genauste am größten sein soll, sollten das Flat-Top-Fenster zu wählen.
konzipiert, dass es nur mini-
aller vorgestellten Fenster, was Sie wissen, dass ein Gaußsches Wenn der Signalinhalt unbekannt
male spektrale Leckagen zulässt,
auch zu sehr geringer Welligkeit Fenster eine gute Wahl ist. Wenn ist, wird die Balance des Hann-
jedoch auf Kosten einer noch grö-
des Durchlassbands führt. Die der Dynamikbereich wichtig Fensters genutzt. ◄
ßeren Hauptkeulen-Bandbreite
hohe Amplitudengenauigkeit
als beim Blackman-Fenster. Die
macht das Flat-Top-Fenster ideal
Nebenkeulenleistung ist mit -92 FFT – was ist das?
für Kalibrierungsanwendungen.
dB mit einem leichten Abrollen
der äußeren Nebenkeulen her- Was der analoge Spektrumanalysator macht, kann man auch
vorragend. Das Ziel ist hier eine
Zusammenfassung weitgehend mit Software erledigen. Der rechentechnische
universelle Fensterfunktion mit Bei der Analyse eines Signals Durchbruch gelang Cooley und Tukey in den sechziger Jah-
einem viel besseren Dynamik- mit der FFT wird die beste Fre- ren mithilfe der computer-gestützten Fourier-Analyse. Man
bereich als beim Hann-Fenster quenzauflösung durch Einstel- spricht heute von Fourier-Transformation, denn nun ist es
und bei anderen Fensterfunk- len der Frequenzspanne auf das auf dieser Basis möglich, Signale nicht nur zu analysieren,
tionen. Die Kombination aus mögliche Minimum erreicht, sondern auch gezielt zu beeinflussen, beispielsweise auf fast
hohem Dynamikbereich, nied- wodurch sich die Abtastperi- perfekte Art zu filtern.
rigen Pegeln von künstlichen Fre- ode entsprechend verlängert. Das Standardverfahren zur Erzeugung des Frequenzspek-
quenzartefakten und guter Ampli- Die Anzahl der Spektrum- oder trums mithilfe der digitalen Signalverarbeitung ist die diskrete
tudengenauigkeit machen das Frequenz-Bins sollte so groß wie Fourier-Transformation (DFT). Hierbei ist der Aufwand an
Blackman-Harris-Fenster sehr möglich sein, während dabei die Rechenschritten hoch, er wächst quadratisch mit der Anzahl
nützlich in vielen Allzweckan- Akquisitionsleistung akzeptabel der Messpunkte n (Auflösung). Deshalb entwickelte man einen
wendungen. Die Einschränkung bleiben muss. schnelleren Algorithmus, den der sogenannten schnellen Fou-
ist der breite Hauptkeulen-Band- rier-Transformation (fast Fourier transformation, FFT). Der
breite, was es für Anwendungen Bei der Auswahl der zu verwen-
denden FFT-Fensterfunktion ist FFT-Algorithmus beruht auf einer geschickten Zusammen-
mit engbenachbarten Trägern fassung von Summanden, um bestimmte Symmetrieeigen-
ungeeignet macht. es wichtig, die weiteren Harmo-
nischen als Inhalt des Zeitbe- schaften auszunutzen. Dadurch konnte der Aufwand auf n x
- Flat-Top-Fenster, Bild 11 reichssignals zu berücksichtigen log n gesenkt werden.
und zu wissen, welche Eigen- Anhand einer 8-bit-Auslösung (256) sei der Unterschied dar-
In gewisser Weise weist das Fen-
schaften des Signals primär von gestellt:
ster mit flachem Oberteil einige
Bedeutung sind.
unerwünschte Eigenschaften auf. Methode Rechnung Ergebnis
Die Hauptkeulen-Bandbreite ist Wenn das Signal engbenach-
sehr groß und hat den höchsten barte Träger enthält, wählen Sie DFT 256 x 256 65.536
Verarbeitungsverlust aller Fen- ein Fenster mit einer schmalen FFT 256 x 2,41 617
ster, die hier vorgestellt werden. Hauptkeulen-Bandbreite wie
Der Aufwand ist auf weniger als ein Prozent gesunken! Damit
Dies führt zu einem schlech- rechteckig, dreieckig oder Ham-
war der Weg frei für die Anwendung der Fourier-Transforam-
ten Signal/Rausch-Verhältnis ming. Wenn jedoch das interes-
tion auf kleinen Prozessrechnern und Personal-Computern.
und macht das Fenster nicht sierende Signal in Gefahr ist,
Und wir finden die Funktion Spectrum Analyzer bzw. FFT
so nützlich für das Analysie- quasi von Störern in der Nähe
auch als hochinteressante Dreingabe bei USB Scopes.
ren von Signalen in der Nähe überwältigt zu werden, wäh-
des Grundrauschens. Das Flat- len Sie ein Fenster mit einem (FS)
Top-Fenster endet unterhalb der niedrigen Niveau für die ersten
60 hf-praxis 1/2021
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