Dreiecke - Konstruktionen SKRIPT (10 Seiten) - Prof. Tegischer
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Dreiecke - Konstruktionen SKRIPT (10 Seiten) Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden Themenbereichen: ▪ Konstruktion eines Dreiecks (SSS, SWS, WSW, SSW) ▪ Besondere Punkte im Dreieck (H, U, I, S) ▪ Euler’sche Gerade Zusätzlich: Erklärvideos (gratis!) zur visuellen Veranschaulichung. -> QR-Codes im SKRIPT!
Allgemeine Informationen zum Skript Anwendung des Materials: Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen. Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video führt. In der PDF- Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung. YouTube-Playlist (PDF-Datei: KLICKEN!) Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter folgendem Link: https://prof-tegischer.com/02-dreiecke-konstruktionen/ Einsatz des Materials ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“, Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.) ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen). ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich wissen!! Quellennachweis: ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt. ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt. ▪ Die Konstruktionen (Dreiecke) wurden von mir mit „GeoGebra“ erstellt. ▪ Die Graphiken zu den besonderen Punkten & zur Euler’schen Gerade wurden von weiteren Autoren erstellt: - Höhenschnittpunkt 1: https://www.geogebra.org/m/m2hJzpkn#material/WdTQfMSj (Autor: Pöchtrager) - Höhenschnittpunkt 2: https://www.geogebra.org/m/rP4cgWGJ#material/GeFpQcAz (Autor: Pöchtrager) - Schwerpunkt: https://www.geogebra.org/m/rP4cgWGJ#material/NU76c4JF (Autor: Pöchtrager) - Umkreismittelpunkt 1: https://www.geogebra.org/m/NBZfQaeR#material/M5CdAdT9 (Autor: Pöchtrager) - Umkreismittelpunkt 2: https://www.geogebra.org/m/NBZfQaeR#material/mm43NFSQ (Autor: Pöchtrager) - Inkreismittelpunkt 1: https://www.geogebra.org/m/TgfkYQ7N#material/dw9yjEnA (Autor: Pöchtrager) - Inkreismittelpunkt 2: https://www.geogebra.org/m/TgfkYQ7N#material/vrCQedkw (Autor: Pöchtrager) - Euler'sche Gerade: https://www.geogebra.org/m/nXyxUbrQ (Autor: d.gutternigg) Lizenzbedingungen: Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann. Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht verwenden. Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden. Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (info@prof-tegischer.com). Auf meiner Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien. Über ein Feedback zu den Unterlagen würde ich mich freuen!
Dreiecke – Konstruktionen 1. Konstruktion von Dreiecken Video 1/9 Bei der Konstruktion eines Dreiecks ist es sinnvoll, eine Skizze zu machen und die farbigen Größen zu markieren, um einen Konstruktions-Überblick zu erhalten. Grundsätzlich benötigst du drei Bestimmungsstücke, um ein Dreieck konstruieren zu können. Folgende Konstruktionssätze gibt es: a. Seite-Seite-Seite-Satz (SSS) Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Du benötigst für die Konstruktion einen Zirkel! Musterbeispiel: = 5 ; = 6 ; = 7 Schritt 1: Mache eine Skizze. Markiere die gegebenen Größen. Schritt 2: Empfehlung: Zeichne zuerst die Seite c. Beschrifte die Seite c und die beiden Eckpunkte A & B. Bemerkung: Du kannst auch mit jeder anderen Seite beginnen! Schritt 3.1: Nimm die Seitenlänge b in den Zirkel, stich im Eckpunkt A ein und ziehe einen Kreisbogen. Schritt 3.2: Nimm die Seitenlänge a in den Zirkel, stich im Eckpunkt B ein und ziehe einen Kreisbogen, sodass sich die beiden Kreisbögen schneiden. Schritt 4: Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Eckpunkt C. Verbinde die Eckpunkte. Beschrifte alle Seiten, Winkel & Eckpunkte. Bsp. 1) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktions-Satz (SSS, SWS, WSW, SSW) an. Konstruiere das Dreieck! Gib jeweils die Größe der Winkel an. a) = 6,1 ; = 6,1 ; = 8,0 b) = 7 ; = 7 ; = 7 c) = 76 ; = 62 ; = 100 Dreiecke: Konstruktionen Seite 1 von 10
b. Winkel-Seite-Winkel-Satz (WSW) Video 2/9 Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn eine Seite und die beiden anliegenden Winkeln gegeben sind (Bemerkung: Sind zwei Winkel gegeben, kann immer der dritte Winkel mittels Winkelsumme berechnet werden). Musterbeispiel: = 7 ; = 40°; = 80° Schritt 1: Mache eine Skizze. Markiere die gegebenen Größen. Schritt 2: Zeichne die gegebene Seite. Ist wie in diesem Beispiel die Seite a gegeben, versuche die Seite a von der Lage her ähnlich zur Skizze zu zeichnen. WICHTIG: Beschrifte im Anschluss die Seite & die beiden Eckpunkte, sodass du den Überblick behältst. Schritt 3: Miss die beiden Winkel bei den zugehörigen Eckpunkten & zeichne jeweils einen Strahl, sodass sich die beiden Strahle schneiden. Schritt 4: Der Schnittpunkt der Strahlen ergibt den fehlenden Eckpunkt. Verbinde die Eckpunkte. Beschrifte alle Seiten, Winkel & Eckpunkte. Bsp. 2) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktions-Satz (SSS, SWS, WSW, SSW) an. Konstruiere das Dreieck! Miss den fehlenden Winkel und gib die Größe an. a) = 9,1 ; = 22° ; = 90° b) = 55 ; = 73°; = 56° c) = 70 ; = 52°; = 67° Dreiecke: Konstruktionen Seite 2 von 10
c. Seite-Winkel-Seite-Satz (SWS) Video 3/9 Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Musterbeispiel: = 7 ; = 6 ; = 70° Schritt 1: Mache eine Skizze. Markiere die gegebenen Größen. Schritt 2: Zeichne eine der beiden bekannten Seiten (Empfehlung: Ist die Seite c gegeben, beginne mit der Seite c). WICHTIG: Beschrifte im Anschluss die Seite & die beiden Eckpunkte, sodass du den Überblick behältst. Schritt 3: Miss den Winkel und zeichne einen Strahl. Miss nun die Länge des Strahls ab (optional: mit dem Zirkel abschlagen) und markiere den erhaltenen Eckpunkt. Schritt 4: Verbinde die Eckpunkte. Beschrifte alle Seiten, Winkel & Eckpunkte. Bsp. 3) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktions-Satz (SSS, SWS, WSW, SSW) an. Konstruiere das Dreieck! Gib die Länge der fehlenden dritten Seite an. a) = 6,4 ; = 7,2 ; = 70° b) = 7 ; = 8 ; = 33° c) = 76 ; = 45 ; = 66° Dreiecke: Konstruktionen Seite 3 von 10
d. Seite-Seite-Winkel-Satz (SSW) Video 4/9 Ein Dreieck ist nicht immer eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben sind. Fall 2: Das Dreieck ist nicht eindeutig Fall 1: Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, konstruierbar (2 Lösungen), wenn der wenn der gegebene Winkel der längeren Seite gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt. gegenüberliegt. = 6 ; = 6,5 ; = 74° = 7 ; = 5 ; = 54° Schritt 1: Mache eine Skizze. Markiere die gegebenen Größen. Schritt 2: Zeichne jene gegebene Seite, die an dem gegebenen Winkel liegt. WICHTIG: Beschrifte im Anschluss die Seite & die beiden Eckpunkte, sodass du den Überblick behältst. Schritt 3: Miss den Winkel ab und zeichne einen Strahl. Schritt 4: Nimm die zweite Seitenlänge in den Zirkel & schlage sie ab. Es ist möglich, dass du zwei Schnittpunkte erhältst (Fall 2). Verbinde die Eckpunkte. Beschrifte alle Seiten, Winkel & Eckpunkte. Bsp. 4) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktions-Satz (SSS, SWS, WSW, SSW) an. Konstruiere das Dreieck! Gib die Länge der fehlenden dritten Seite an. a) = 6,4 ; = 7,2 ; = 65° b) = 7 ; = 8 ; = 20° c) = 76 ; = 45 ; = 50° Dreiecke: Konstruktionen Seite 4 von 10
SPEZIALFALL Wenn die Seite, die mit dem Zirkel abgeschlagen werden soll, zu kurz ist, erhalten wir keinen Schnittpunkt und in weiterer Folge kein Dreieck. Dies passiert, wenn der gezeichnete Winkel zu groß & die Seite in weiterer Folge zu kurz sind. Das Dreieck ist NICHT konstruierbar. Fortsetzung Bsp. 4) d) = 6,4 ; = 7,2 ; = 80° e) = 7 ; = 8 ; = 78° e. Mischaufgaben Bsp. 5) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib an, ob du das Dreieck eindeutig konstruieren kannst & welchen Konstruktions-Satz (SSS, SWS, WSW, SSW) du brauchst! Gegebenfalls musst du 2 Lösungen angeben! Konstruiere anschließend das Dreieck! Miss alle restlichen Größe ab (Winkel, Seiten) und gib sie an. a) = 6,1 ; = 6,1 ; = 8,0 b) = 6 ; = 27°; = 102° c) = 70 ; = 51 ; = 80° d) = 70 ; = 56 ; = 45° e) = 64 ; = 40 ; = 46° Video 5/9 2. Besondere Punkte im Dreieck a. Der Höhenschnittpunkt H Alle drei Höhen ℎ , ℎ , ℎ schneiden einander in einem Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt H. Höhen im Dreieck: Um eine Höhe auf eine Seite konstruieren zu können, musst du eine Strecke im rechten Winkel auf eine Dreiecksseite zeichnen, die zum gegenüberliegenden Eckpunkt führt. Spitzwinkliges Dreieck Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb des Dreiecks! Dreiecke: Konstruktionen Seite 5 von 10
Stumpfwinkliges Dreieck Der Höhenschnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks. Verlängere dazu die Seiten strichliert. Bsp. 6) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktionssatz an. Konstruiere das Dreieck und den Höhenschnittpunkt. a) = 5,1 ; = 6,1 ; = 8,0 b) = 6 ; = 27°; = 102° c) = 70 ; = 70 ; = 75° Video 6/9 b. Der Umkreismittelpunkt U & Umkreis WH: Streckensymmetrale: Die Streckensymmetrale ist eine Gerade, die eine Strecke halbiert und normal auf sie steht. Jeder Punkt der Streckensymmetrale ist von den zwei Eckpunkten der Strecke gleich weit entfernt. Konstruktion: Stich mit dem Zirkel einmal im Punkt A und einmal im Punkt B ein. Zeichne mit dem Zirkel jeweils einen Kreisbogen (Radius: größer als die Hälfte der Streckenlänge!), sodass zwei Schnittpunkte entstehen. Verbinde die Schnittpunkte der Kreisbögen Bsp. 7) Zeichne die gegebene eine Strecke schräg in dein Heft. Konstruiere die Streckensymmetrale. a) ̅̅̅̅ = 8 b) ̅̅̅̅ = 7,5 Dreiecke: Konstruktionen Seite 6 von 10
Umkreismittelpunkt U & Umkreis Konstruiere für jede Seite des Dreiecks die Streckensymmetrale. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt U, der von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist. Umkreis: Stich im Umkreismittelpunkt mit dem Zirkel ein und zeichne den Umkreis. Der Radius ist die Länge vom Umkreismittelpunkt zu den drei Eckpunkten. Spitzwinkliges Dreieck Der Umkreismittelpunkt U liegt innerhalb des Dreiecks! Stumpfwinkliges Dreieck Der Umkreismittelpunkt U liegt außerhalb des Dreiecks. Bsp. 8) Zeichne ein Dreieck mit der vorgegebenen Eigenschaft. Konstruiere den Umkreismittelpunkt und zeichne den Umkreis ein. a) beliebiges spitzwinkliges Dreieck b) beliebiges stumpfwinkliges Dreieck Dreiecke: Konstruktionen Seite 7 von 10
c. Der Inkreismittelpunkt I & Inkreis Video 7/9 WH: Winkelsymmetrale: Die Winkelsymmetrale ist eine Gerade, die einen Winkel halbiert. Es entstehen dabei zwei gleich große Winkel, die je halb so groß sind wie der Ursprungswinkel. Jeder Punkt der Winkelsymmetrale ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt. Konstruktion: Zeichne beim gegebenen Winkel einen Kreisbogen mit dem Zirkel (!). Markiere die beiden Schnittpunkte mit den Schenkeln. Nun darfst die Größe des Zirkels verstellen – bei folgenden beiden Kreisbögen darfst die Größe des Zirkels nicht ändern: Stich mit dem Zirkel im ersten Schnittpunkt ein und zeichne einen Kreisbogen. Wiederhole diesen Schritt mit gleicher Zirkelgröße im zweiten Schnittpunkt. Es entsteht ein Schnittpunkt. Verbinde den Scheitel mit dem Schnittpunkt = Winkelsymmetrale Bsp. 9) Zeichne die gegebenen Winkel in dein Heft. Konstruiere jeweils die Winkelsymmetrale. a) = 64° b) = 132° Inkreismittelpunkt I & Inkreis Konstruiere für jeden Winkel des Dreiecks die Winkelsymmetrale. Die drei Winkelsymmetralen schneiden einander im Inkreismittelpunkt I. Inkreis: Der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks. ➔ WICHTIG: Zeichne zuerst den Radius von jeder Seite ein --- Zeichne dazu eine normale Strecke auf die Seite des Dreiecks zum Inkreismittelpunkt I. Die erhaltenen Punkte auf den Dreiecksseiten sind die Berührungspunkte des Inkreises! (wichtig für die Größe des Zirkels!) Dreiecke: Konstruktionen Seite 8 von 10
Bsp. 10) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktionssatz an. Konstruiere das Dreieck und den Inkreismittelpunkt. Markiere den Inkreisradius. Zeichne den Inkreis. a) = 8,1 ; = 7,1 ; = 8,0 b) = 9 ; = 45°; = 45° d. Der Schwerpunkt S Video 8/9 Alle drei Schwerlinien , , schneiden einander in einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt S. Schwerlinien im Dreieck: Bestimme die Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Verbinde jeweils den Mittelpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt, um eine Schwerlinie zu erhalten. Bsp. 11) Zeichne ein Dreieck mit der vorgegebenen Eigenschaft. Konstruiere den Schwerpunkt. a) beliebiges spitzwinkliges Dreieck b) beliebiges stumpfwinkliges Dreieck Dreiecke: Konstruktionen Seite 9 von 10
3. Die Euler’sche Gerade Video 9/9 Der Umkreismittelpunkt U, der Schwerpunkt S und der Höhenschnittpunkt H liegen in jedem Dreieck auf einer Geraden, welche Euler'sche Gerade genannt wird. Der Inkreismittelpunkt I liegt im Normalfall NICHT auf der Euler’schen Gerade (Ausnahme: Gleichschenkliges Dreieck). Bsp. 12) Zeichne zuerst eine Skizze! Gib den Konstruktionssatz an. Konstruiere das Dreieck. Konstruiere den Umkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt. Zeichne die Euler’sche Gerade ein. a) = 10 ; = 9,1 ; = 11 b) = 8 , = 12 ; = 118° Dreiecke: Konstruktionen Seite 10 von 10
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