Bug oder Feature? Uber numerische Lichtschutzfaktoren im fvDOM-Strahlungsmodell

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4. Magdeburger Brand- und Explosionsschutztag /
                                                                           3. vfdb Workshop Brandschutzforschung
                                                                                    Magdeburg, 26./27. März 2015

    Bug oder Feature? Über numerische Lichtschutzfaktoren im
                    fvDOM-Strahlungsmodell
                             Michael Plagge1,2 , Matthias Münch3,4

    1
      Anlagentechnik und Anlagensicherheit, FVST, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
    2
      CERN, Europäische Organisation für Kernforschung, Genf, Schweiz
    3
      INURI GmbH, Haderslebener Strasse 9, Berlin
    4
      Numerische Mathematik, FB Mathematik und Informatik, FU-Berlin

Kurzfassung:
Bei der Anwendung von CFD-Simulationsprogrammen (CFD: Computational Fluid Dynamics)
im Brandingenieurwesen ist eine wesentliche Teilaufgabe die Berechnung der Auswirkung von
Verbrennungsprozessen. Die Simulationsprogramme verfügen daher in der Regel über ein oder
mehrere Submodelle für die Berechnung des Wärmetransportes durch die Wärmestrahlung. Für
die physikalische Abbildung des Wärmeaustausches im Brandfall ist die Wärmestrahlung ein
wichtiger Transportprozess, da der Wärmestrahlungstransport auch entgegen der Strömungs-
richtung erfolgen und damit den Verlauf und die Ausbreitung entscheidend beeinflussen kann.
    Aus betriebswirtschaftlicher Sicht ist hingegen die von den Wärmestrahlungsmodellen be-
nötigte Rechenkapazität von großem Interesse. Je nach Modellansatz und gewählter Diskreti-
sierung benötigen die Wärmestrahlungssubmodelle erhebliche Rechenkapazitäten, die leicht 20
Prozent der insgesamt erforderlichen Rechenkapazität betragen können.
    Der vorliegende Beitrag berichtet über Teilergebnisse einer Zusammenarbeit von CERN und
INURI, in dem die Einflussfaktoren von Wärmestrahlungsmodellen im Rahmen von Brandsimu-
lationen untersucht werden. Anhand eines analytischen Testfalls werden im vorliegenden Bei-
trag die Ergebnisse einer numerischen Verifikationsstudie des für finite Volumina entwickelten
Diskrete-Ordinaten-Modells (fvDOM) diskutiert. Dieser Modellansatz kommt in zahlreichen in
der Praxis eingesetzten CFD-Programmen zum Einsatz. Unter anderem ist dieser in den Pro-
grammcodes ANSYS FLUENT, dem Fire Dynamics Simulator (FDS) des National Institute of
Standards and Technology (NIST) und der Softwarebibliothek OpenFOAM der OpenFOAM-
Foundation enthalten. Neben der räumlichen Diskretisierung des Strömungslösers bestimmt
sich der Rechenaufwand des fvDOM-Modells maßgeblich über die Anzahl der Raumwinkel, die
zur diskreten Auflösung der Strahlenverfolgung verwendet werden. Hieraus ergibt sich für den
Anwender ein Optimierungsproblem zwischen der diskreten Auflösung und dem noch akzepta-
blen Rechenaufwand.

Plagge, Münch

1   Einleitung
    In [4] wird ein praxisnahes Simulationsexperiment zur Untersuchung des Einflusses der Git-
terweite auf die Modellierung der Brandausbreitung durch die Wärmestrahlung vorgestellt. In
einer Konfiguration zweier planparalleler Platten besitzt eine der Platten eine konstant hohe
Temperatur von 1000 Grad Celsius. Die von dieser Strahlerplatte ausgehende Wärmestrahlung
trifft auf die gegenüberliegende Platte und entzündet diese schließlich, wenn die in dem Si-
mulationsmodell hierfür definierte Oberflächentemperatur auf der jeweiligen Plattenoberfläche
erreicht wird. In diesem Simulationsexperiment veränderten sich die ermittelten Entzündungs-
zeiten nicht in Analogie mit der variierten Gitterweite, sondern zeigten starke Schwankun-
gen. Für das in diesem Simulationsexperiment verwendete Simulationsprogramm Fire Dyna-
mics Simulator (FDS) des National Institute of Standards and Technology (NIST) [5] hat-
ten die Programmentwickler einen wesentlichen Modellparameter des verwendeten fvDOM-
Strahlungsmodells, die Anzahl der diskreten Strahlungswinkel, mittels eines analytischen Test-
falls fest definiert.
    Im Rahmen des Projekts wird untersucht, wie beziehungsweise ob dieser Parameter für
Brandsimulationen fest definiert werden kann und welchen Einfluss dies hat. Da das betref-
fende fvDOM-Strahlungsmodell auch in anderen Simulationsprogrammen zur Verfügung steht,
werden zum Vergleich auch die Simulationsprogramme OpenFOAM [6] und ANSYS Fluent
[1] mitbetrachtet.

2   Modellierung der Wärmestrahlung
    Das Diskrete-Ordinaten-Modell (DOM) wurde 1960 von Chandrasekhar ursprünglich für
die Methode der finiten Differenzen entwickelt. Es folgten mehrere Verallgemeinerungen und
Optimierungen, so dass es erst seit rund 30 Jahren verbreitet Anwendung bei der Lösung von
Wärmetransportproblemen findet. Diese und weitere historische Fakten die Entwicklung be-
treffend, finden sich in Modest Radiative heat transfer “, Kapitel 17, [3]. In diesem Buch
                                  ”
finden sich auch eine ausführliche Beschreibung des Modells nebst mehreren Beispielen und
Lösungen. Auf eine Wiederholung der Theorie und der unterschiedlichen Implementierungen
in die drei anfangs genannten Programme wird daher an dieser Stelle weitgehend verzichtet.
    Die Modellierung der Wärmestrahlung im Zusammenhang mit dem fvDOM-Modellansatz
lässt sich anhand der Strahlungshalbkugel nach Siegel [7] erklären. Wie in Abbildung 1 gezeigt,
wird um eine ebene strahlende Grundfläche dA eine Halbkugel mit dem Radius R angenom-
men.

                                                      ϑ

                                                             dω

                                            dAk
                                     R       dA

                                                  ϕ

                           Abbildung 1: Strahlungshalbkugel nach Siegel [7]

    Ausgehend vom Kreismittelpunkt, der gleichzeitig der Mittelpunkt des Flächenstücks dA
ist, wird ein beliebiger Strahl s in Richtung der Halbkugel betrachtet. Die Lage dieses Strahl

                                                  2

Plagge, Münch

s läßt sich durch den Azimutwinkel ϕ und den Polarwinkel ϑ genau definieren. Kleine Aus-
lenkungen von Azimut- und Polarwinkel um dϑ und dϕ ergeben auf der Halbkugeloberfläche
ein Flächenelement senkrecht zum Strahl s. Auf diese Weise lassen sich ausgehend vom Halb-
kugelmittelpunkt kegelförmige Raumausschnitte bilden. Diese Raumausschnitte werden durch
den Raumwinkel dω repräsentiert. Der Raumwinkel dω sei im Folgenden das vom Strahl s be-
einflusste Raumvolumen. Je kleiner der Raumwinkel dω, desto feiner die Auflösung der Halb-
kugel und umgekehrt.

3 Der Verifikationstestfall
Als Verifikationstestfall wird der Plate-View-Factor Testfall aus dem FDS-Verifikationguide
verwendet (vgl. Abbildung 2). Er besteht aus einem quaderförmigen Simulationsgebiet, dessen
Wandrandbedingungen so gestaltet sind, dass die Wandflächen auf 0 Grad Kelvin (blau) gehal-
ten werden. Einzig die Deckenfläche besitzt eine vom absoluten Nullpunkt abweichende Tem-
peratur und wird mit 1273,14 Grad Kelvin (rot) festgelegt. Unter der Annahme schwarzer Strah-
lereigenschaften werden die Emissivitätskoeffizienten der Flächen auf 1 gesetzt. Gravitations-
und konvektive Wärmeübergangseffekte auf den Begrenzungsflächen werden per Konstruktion
unterbunden. Diese Konstruktion erzwingt eine Schwarzkörper-Strahlung von der heißen De-
cke auf die anderen Berandungsflächen. Da diese auf 0 Grad Kelvin gehalten werden, sendet
allein die Decke Wärmestrahlung aus.

Abbildung 2: Modifizierter Plate View Factor-Testfall [4].

Der Testfall wurde nach [4] modifiziert. Das Simulationsgebiet ist 2,1 m lang, 2,1 m breit und
1,2 m hoch und wird mit einem kartesischen Gitter äquidistanter Gitterweite diskretisiert. Die
größte Gitterweite beträgt 0,3 m, so dass mittig am Boden die in Abbildung 2 dargestellte Refe-
renzmessfläche (orange) gebildet werden kann. Die Berandung dieser Fläche entspricht gerade
den Gitterlinien der Diskretisierung. Alle feineren Diskretisierungen sind ein Vielfaches dieses
Grundgitters, so dass die Berandung der Referenzfläche stets auf den Gitterlinien liegt. Dies
ermöglicht Diskretisierungen mit äquidistanten Gitterweiten von 1, 2, 6, 10, 15 und 30 cm, die
jeweils bündig ineinander passen.
Für die Untersuchung der Gitterabhängigkeit des Strahlungslösers wird die einfallende Wär-
mestrahlung RADIATIVE HEAT FLUX (RHF) auf die 0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche (oran-
ge) betrachtet (vgl. Abbildung 2).
Die Simulationszeit wird 0,01 Sekunden begrenzt und ein Zeitintervall von 0,001 Sekunden
definiert. Auf diese Weise lässt sich überprüfen, ob und wie die numerischen Implementierun-
gen der betrachteten Wärmestrahlungsmodelle eine stationäre Lösung erreichen.

Plagge, Münch

3.1   Analytische Lösung
   Die auf die gesamte Bodenfläche von der Decke einfallende Wärmestrahlungsleistung (Ra-
diative Heat Flux (RHF)) ergibt sich für die beschriebene Testfallkonfiguration zu
                              00
                            q̇RHF = σ 1273,144 = 148,97 kW/m2 .                                      (1)

   Die analytische Lösung für die auf die kleinere Referenzfläche (orange) einfallende Wärme-
                     00
strahlungsleistung q̇RHF,F läche läßt sich auf der Grundlage der optischen Winkelrelationen mit
Hilfe der Methode der Sichtfaktoren berechnen.

                                            a
                                                A1
                                                                    h

                                                 b
                                                     A2

         Abbildung 3: Parallel quadratische Flächenanordnung zur Bestimmung des Sichtfaktors [4].

   Hierbei ergibt sich die von der Decke A1 auf die Referenzbodenfläche A2 einfallende Strah-
lungsleistung durch Multiplikation eines Sichtfaktors F1−2 mit der von der Decke abgestrahlten
                   00
Wärmestrahlung q̇RHF   unter Berücksichtigung der Flächenverhältnisse.

                                   00                    00       A1
                                 q̇RHF,F läche = F1−2 q̇RHF         .                               (2)
                                                                  A2
  Der Sichtfaktor F1−2 für begrenzte parallele quadratische Flächen berechnet sich nach [2]
mit A = a/h und B = b/a zu:

         für A ≥ 0,2 :                                                                              (3)
                                         [A2 (1 + B 2 ) + 2]2
                                     
                                1
                   F1−2     =         ln
                              π A2       (Y 2 + 2)(X 2 + 2)
                              √
                                                                             
                                                −1      Y            −1   X
                            +   Y + 4 Y tan √
                                  2                           − X tan √
                                                      Y2+4               Y2+4
                              √
                                                                               
                                                 −1      X            −1   Y
                            +   X + 4 X tan √
                                   2                           − Y tan √
                                                       X2 + 4            X2 + 4
                                mit X = A (1 + B) und Y = A (1 − B)
         für A < 0,2 :                                                                              (4)
                                        2
                                (A B)
                   F1−2 =             .
                                  π
   Mit Hilfe der vorgenannten Berechnungsvorschriften ergibt sich die analytische Lösung für
                                                                                00
die mittlere RHF-Strahlung auf die 0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche mit q̇RHF,F    läche =
             2
72,34 kW/m .

                                                          4

Plagge, Münch

3.2   Simulationsvariationen
   Der beschriebene Testfall wird mit der jeweiligen Version des in den Simulationsprogram-
men FDS, OpenFOAM und ANSYS FLUENT verfügbaren diskreten Ordinaten Wärmestrahl-
ungsmodells berechnet. Hierbei wird in der Darstellung der Ergebnisse die Annahme der FDS-
Entwickler übernommen, dass die Anzahl der Strahlungswinkel universell für alle Anwendun-
gen voreingestellt werden kann. Das Simulationsergebnis wird daher in Abhängigkeit von der
Gitterweite für jeweils konstante Winkelzahlen dargestellt.
   Das beschriebene Simulationsgebiet wird mit äquidistanten Gitterweiten von 1, 2, 6, 10, 15
und 30 cm, die jeweils bündig ineinander passen, diskretisiert. Die Anzahl der insgesamt vom
Wärmestrahlungsmodell verwendeten Raumwinkel wird mit n = 50, 100, 200, 300, 400 und
500 variiert, soweit dies die Simulationsprogramme zulassen.

3.3   Ergebnisse mit FDS
    Die Simulationen wurden mit dem Fire Dynamics Simulator (FDS) in der vom NIST zur
Verfügung gestellten Binärversion FDS 6.1.2 Revision 20564 gerechnet. Soweit nicht anders an-
gegeben, wurden die Defaulteinstellungen des Programms verwendet. Die Winkelzahlen konn-
ten über einen entsprechenden Programmparameter vorgegeben werden. Der Vergleich der Si-
mulationsergebnisse mit den analytischen Lösungen zeigt für den Vergleich mit der 0,3 m x
0,3 m großen Referenzfläche (vgl. Abbildung 4) ein stark gitterabhängiges Lösungsverhalten
für den Wärmestrahlungstransport bei festgehaltenem Strahlungswinkel.

                                                76

                                                74
                 Radiative Heat Flux in kW/m2

                                                72
                                                                          Analytische Lösung
                                                70
                                                                           50 Winkel
                                                                          100 Winkel
                                                68                        200 Winkel
                                                                          300 Winkel
                                                66                        400 Winkel
                                                                          500 Winkel
                                                64

                                                62

                                                60
                                                     0   5   10           15          20       25   30
                                                                  Gitterweite in cm

Abbildung 4: Einfallende mittlere RHF-Strahlung auf die 0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche in Abhängigkeit von
Gitterweite und Strahlungswinkel (FDS-Version 6.1.2).

3.4   Ergebnisse mit OpenFOAM
   Im Gegensatz zum Fire Dynamics Simulator muss in der Softwarebibliothek OpenFOAM
Revision 2.2.2 die Anzahl der Strahlungswinkel jeweils für den Azimut- und Polarwinkel ein-
zeln vorgegeben werden. Dies führt zu etwas anderen Gesamtwinkelzahlen, die jedoch so ge-
wählt wurden, dass die Größenordnung vergleichbar ist. Die Abbildung 5 zeigt für den Ver-
gleich der Simulationsberechnung des fireFoam-Paketes mit der analytischen Lösung für die
0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche.

                                                                      5

Plagge, Münch

                                                 76
                                                           Analytische Lösung
                                                75.5
                                                            50 Winkel

                 Radiative Heat Flux in kW/m2
                                                 75         98 Winkel
                                                           200 Winkel
                                                74.5       288 Winkel
                                                 74        392 Winkel
                                                           512 Winkel
                                                73.5
                                                 73
                                                72.5
                                                 72
                                                71.5
                                                 71
                                                       0           5            10          15           20   25   30
                                                                                     Gitterweite in cm

Abbildung 5: Einfallende mittlere RHF-Strahlung auf die 0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche in Abhängigkeit von
Gitterweite und Strahlungswinkel (OpenFOAM-Version 2.2.2).

  Auch hier findet sich das gleiche, schon beim Fire Dynamics Simulator zu beobachtende
Simulationsergebnis.

3.5   Ergebnisse mit ANSYS Fluent
    Im kommerziellen Programm ANSYS Fluent, Version 15.0, ist ebenfalls eine Implemen-
tierung des Discrete-Ordinate-Model enthalten. Wenn nicht anders angegeben, wurden für die
Modellparameter die Standardeinstellungen verwendet. Alle Rechengitter konnten via Kom-
mandozeile von der OpenFOAM-Variante übernommen werden.

Abbildung 6: Beispielrechengitter dargestellt in ANSYS Fluent (hier Zellen mit mit je 30 cm Kantenlänge in x-,
y- und z-Richtung.

   Die Simulationen wurden seriell instationär (transient) unter Verwendung des Druck-basierten
Lösers (Pressure-Based) mit absoluten Geschwindigkeiten (Absolute Velocity Formulation) ge-

                                                                                        6

Plagge, Münch

rechnet. Aus der Liste der verfügbaren Modelle wurde nur das Wärmestrahlungsmodell (Radia-
tion) aktiviert. Hierbei wurde das Discrete-Ordinate Submodell ausgewählt. Die Diskretisierung
der Raumwinkel in ANSYS Fluent erfolgt gemäß Gl. 5

nRaumwinkel = 8 nΦ nΘ . (5)

Hier unterscheidet sich ANSYS Fluent von OpenFOAM. Im Ergebnis sind auch hier die im
Testfall vorgesehenen Winkelauflösungen nur näherungsweise erreichbar. Tatsächlich wurden
daher 48, 96, 200, 288, 400 und 504 Raumwinkel verwendet.
ANSYS Fluent definiert automatisch die feste Phase Aluminium (Solid - aluminum) und die
Gasphase Luft (Fluid - air). Bei beiden wurden die Standardwerte übernommen. Insbesondere
bei der Luft wurde der Absorptionskoeffizient geprüft. Dieser ist standardmäßig Null, was im
Sinne des Vergleichs mit der analytischen Lösung ist.
Das zu berechnende Volumen wurde mit der definierten Luft gefüllt (Cell Zone Conditions -
Type fluid). Die Randbedingungen für die sechs Aussenflächen sowie die Zielfläche im Boden
wurden analog zu den beiden anderen Programmen definiert. Für die Geschwindigkeit wurden
alle Flächen als stationäre Wand (Stationary Wall) ohne Wanddurchströmung (No slip) definiert.
Die Temperatur für die Decke wurde auf 1273,14 Grad Kelvin gesetzt, die der anderen Flächen
auf 0 Grad Kelvin. Der Emissionsgrad wurde durch das Programm auf eins gesetzt. Für das
Wärmestrahlungsmodell setzt ANSYS Fluent alle Flächen automatisch als lichtdicht (opaque)
mit einem diffusivem Anteil von eins.
Die Erfassung der einfallenden Wärmestrahlung wurde mit Hilfe virtueller Messgrößen rea-
lisiert (Area-Weighted Average - Wall Fluxes - Radiation Heat Flux). Für die Berechnung wurde
die konstante Zeitschrittweite von 0,001 s festgelegt. Die Berechnungen erfolgten für jeweils
zehn Zeitschritte, i.e. über zehn Iterationen. Die Abbildung 7 zeigt das Ergebnis der 36 Simula-
tionen in der Übersicht.
80

78
2
Radiative Heat Flux in kW/m

72
Analytische Lösung
48 Winkel
70 96 Winkel
200 Winkel
68 288 Winkel
400 Winkel
504 Winkel
66
0 5 10 15 20 25 30
Gitterweite in cm

Abbildung 7: Einfallende mittlere RHF-Strahlung auf die 0,3 m x 0,3 m große Referenzfläche in Abhängigkeit von
Gitterweite und Strahlungswinkel (ANSYS Fluent Version 15.0).

Abbildung 8 zeigt exemplarisch den auf die Decke und Bodenfläche der betrachteten Geo-
metrie abgegebenen bzw. einfallenden Wärmestrom.

Plagge, Münch

Abbildung 8: Beispielergebnis bei 15 cm Gitterweite und 200 Raumwinkeln nach 10 Iterationen.

4 Zusammenfassung
Die vorgestellten Resultate sind Work-in-progress“. Alle betrachteten diskrete Ordinaten-
”
modelle der verschiedenen Simulationsprogramme zeigen unabhängig voneinander das gleiche
Verhalten. Bis auf wenige Ausnahmen nähert sich die auf die Referenzfläche einfallende mittle-
re Wärmestrahlung mit zunehmend kleiner werdender Gitterweite dem analytisch berechneten
Wert an und durchbricht diesen dann.
Interessanterweise zeigt das in ANSYS Fluent verwendete Modell für eine Gitterweite von
10 cm für eine Gesamtwinkelzahl von 100 Winkeln eine sehr gute Wiedergabe des analytisch
berechneten Wertes. Dieses Verhalten ist auch beim Fire Dynamics Simulator zu beobachten
und veranlasste die FDS-Entwickler zur Festlegung einer universellen Gesamtwinkelanzahl von
100 Winkeln.
Die Abbildungen 4, 5 und 7 zeigen bereits, dass die universelle Festlegung einer fixen Win-
kelzahl unabhängig von der Gitterweite keine so gute Idee zu sein scheint. Hier ist vielmehr ein
abgestimmtes Konzept erforderlich, dass die Winkelanzahl in Relation zur Gitterweite betrach-
tet.

LITERATUR
[1] ANSYS, Inc.: ANSYS Fluent, Version 15.0.

[2] John R. Howell. A catalog of radiation heat transfer configuration factors, 2010. The
catalog is a resource for Thermal Radiation Heat Transfer, 5th ed., John R. Howell, Robert
Siegel and M. Pinar Menguc, Taylor and Francis/CRC, New York, 2010.

[3] Michael F. Modest. Radiative Heat Transfer, 3. Auflage. Academic Press, 2013.

[4] Matthias Münch. Konzept zur Absicherung von CFD-Simulationen im Brandschutz und
in der Gefahrenabwehr. INURI Verlag, zugleich Dissertation der Otto-von-Guericke-
Universität Magdeburg, Juni 2013.

[5] NIST: Fire Dynamic Simulator (FDS) and Smokeview, Version 6.1.2 Rev. 20564.

Plagge, Münch

[6] OpenFOAM Foundation: Open Field Operation and Manipulation (OpenFOAM), Version
    2.2.2-9739c53ec43f.

[7] Robert Siegel, John R. Howell, and Joachim Lohrengel. Wärmeübertragung durch Strah-
    lung, Grundlagen und Materialeigenschaften, Volume 1. Springer-Verlag, 1988.

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