LEONHARD EULER: BIOGRAPHIE & ELLIPTISCHE INTEGRALE - Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik Hauptseminar "Euler" ...

LEONHARD EULER:
BIOGRAPHIE &
ELLIPTISCHE INTEGRALE
      Johannes Gutenberg-Universität Mainz
      Institut für Mathematik
      Hauptseminar „Euler“ – Sommersemester 2015
      Dozent: Prof. Dr. Duco van Straten
      Referentin: Jennifer Pütz
      28.04.2015

EULER:
BIOGRAPHIE & ELLIPTISCHE INTEGRALE
1.    Zur Person Eulers
     i.      Historischer Hintergrund
     ii.     Biographische Details
     iii.    Errungenschaften um die Mathematik und Werke

2.    Elliptische Integrale
     i.      Ein Beispiel
     ii.     Definitionen und Normalformen

3.    Euler und elliptische Integrale
     i.      Elliptische Integrale vor Euler: Die Lemniskate
     ii.     Additionstheoreme
     iii.    Weitere Erkenntnisse Eulers
                                                               2
4.         Relevanz und Anwendung

1. ZUR PERSON EULERS

          Leonhard Euler: 1707 – 1783

„Lest Euler, lest Euler: Er ist unser aller Meister.“   3
              (Pierre-Simon Laplace)

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND

Europa im 18. Jahrhundert:
 Absolutismus noch immer vorherrschende Staatsform

 Merkantilismus als führendes Wirtschaftsmodell

 Koloniale Expansion

 Graduelles Aufstreben des Bürgertums

 Aufstieg Preußens zur fünften Großmacht neben
 Frankreich, Großbritannien, Russland und Österreich
                                                       4

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND

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            Europa um 1700

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND

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            Europa um 1800

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND
Zeitalter der Aufklärung (ca. 1650-1800):
 Gegenbewegung zu Krone und Kirche; Fortschritt durch
 rationales Denken im Zentrum
 Wichtige Vertreter: Hobbes, Locke, Rousseau, Voltaire,
 Kant
 Kernideen: Politische Emanzipation, religiöse Toleranz
   Amerikanische und Französische Revolution
 Impulse auch für Literatur und schöne Künste
 Hinwendung zu Naturwissenschaften und technologischem
 Fortschritt   Industrielle Revolution                    7

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND
Wissenschaft im 18. Jahrhundert:
 Hauptsächlich an staatlichen Akademien

 Wichtige Institutionen:

    Royal Society (London, 1660)

    Académie Francaise mit Académie des Sciences (Paris, 1635
    bzw. 1666)

    Preußische Akademie der Wissenschaft (Berlin, 1700)

    Russische Akademie der Wissenschaften (St. Petersburg, 1724)

 Wissenschaftliche Journale
                                                                   8

1. ZUR PERSON EULERS:
HISTORISCHER HINTERGRUND

Wissenschaft im 18. Jahrhundert:
 Mathematik: Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung

 Wichtige Zeitgenossen Eulers:

   Johann und Daniel Bernoulli

   Joseph-Louis Lagrange

   Pierre-Simon Laplace

   Blaise Pascal

                                                        9

1. ZUR PERSON EULERS:
BIOGRAPHISCHE DETAILS
1707 – 1727: Basel
 *15. April 1707 in Basel
 1720: Studium an der Universität Basel
 1723: Magisterwürde in Philosophie und Beginn des
 Theologie Studiums
 1725: Abbruch des Theologie Studiums, Wechsel zur
 Mathematik
 1726: Absolvierung des Mathematik Studiums und
 Veröffentlichung seiner ersten Arbeiten
 Winter 1726: Berufung an die Russische Akademie der   10

 Wissenschaften in Sankt Petersburg

1. ZUR PERSON EULERS:
BIOGRAPHISCHE DETAILS
1727-1741: Sankt Petersburg
 Mai 1727: Ankunft in Sankt Petersburg; Beginn der Arbeit
 am Lehrstuhl für Mathematik und Physik
 1730: Professur der Physik und damit offizielles Mitglied
 der Akademie
 1733: Professur der Mathematik
 1734: Heirat mit Katharina Gsell
 1740: Verlust des rechten Auges nach einer Infektion
 1740: Berufung an die Preußische Akademie der
                                                             11
 Wissenschaften in Berlin

1. ZUR PERSON EULERS:
BIOGRAPHISCHE DETAILS

1741-1766: Berlin
 Juli 1741: Ankunft in Berlin, Ernennung zum Direktor des
 Mathematischen Institutes der Preußischen Akademie der
 Wissenschaften

 1759: Tod des Präsidenten der Akademie, Eulers (de facto)
 Beförderung zu dessen Nachfolger

 Zerwürfnis mit Friedrich dem Großen

 1766: Einladung nach Sankt Petersburg
                                                             12

1. ZUR PERSON EULERS:
BIOGRAPHISCHE DETAILS

1766-1783: Sankt Petersburg

 1766: Rückkehr an die Akademie in Sankt
 Petersburg

 1771: völlige Erblindung; dennoch Fortführung
 seiner Arbeiten

 + 18. August 1783 an einer Hirnblutung

                                                 13

1. ZUR PERSON EULERS:
ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE
Eulers Errungenschaften um die Mathematik umfassen viele
Teilgebiete:

Geometrie:
  Grundstein für die analytische Geometrie, wichtige Beiträge
  zur Differentialgeometrie und Topologie
  Betrachtung von Sinus und Kosinus als Funktionen

Zahlentheorie:
  Beweise zu verschiedenen Vermutungen Fermats,
  beispielsweise zu Fermats Letztem Satz für den Fall n=3
                    +     =   ,      , ,                        14

1. ZUR PERSON EULERS:
ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE
Zahlentheorie:
  Einführung der Eulerschen φ-Funktion
                 =|       1≤     ≤ ,       ,   =1 |

Analysis:
  Introductio in Analysin Infinitorum (1748): Erste
  Definition einer Funktion,
                       = cos     + ∙ sin( )

  Aufbau der Differential- und Integralrechnung
  (Institutiones Calculi Differntialis, 1755 bzw. Institutiones
                                                                  15
  Calculi Integralis, 1768-70)

1. ZUR PERSON EULERS:
ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE

Analysis:
 Einführung der Beta- und Gamma-Funktion

 Gründliches Studium von Differentialgleichungen,
 Logarithmen,
                        ln −1 = ! .

 Studium von Reihen und Lösung des Basler Problems:

                   $        (²                $
            ∑&'$        =        und   ∑&'$   *   = ζ(,)
                    ²       )
                                                           16

1. ZUR PERSON EULERS:
ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE

Andere Gebiete:
   Physik, bes. Mechanik

   Astronomie, bes. Mondbewegungen

   Kartographie

   Musiktheorie

Mathematische Symbolik:
f(x), e, i, ̟, Σ, sin, cos, ...      17

1. ZUR PERSON EULERS:
ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE

Werke:
 866 Publikationen: ca. 40 Bücher, ca. 700 Aufsätze

 Gängigste Referenz: Eneström-Index (E-001 bis E-
 866)

 Bis heute nicht alle Manuskripte veröffentlicht

 Opera Omnia: seit 1911 durch Euler-Kommission im
 Birkhäuser-Verlag (bisher über 75 Bände)

 Briefwechsel                                         18

2. ELLIPTISCHE INTEGRALE:
EIN BEISPIEL

                                          19

         Ellipse mit Halbachsen a und b

2. ELLIPTISCHE INTEGRALE:
EIN BEISPIEL
Umfang der Ellipse:

                      (3
                        1
             -=4 ∙ /        1 − 0 1 sin²   2
                      4

 Diese Formel lässt sich nicht durch elementare
 Funktionen darstellen.
 Einfachere Näherungsformeln
 Hierbei handelt es sich um ein sog. elliptisches
                                                    20
 Integral.

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:
ELLIPTISCHE INTEGRALE VOR EULER

Anfänge der Theorie elliptischer Integrale:
 1655: John Wallis untersucht den Ellipsenbogen
 (Arithmetica Infinitorum, 1656)

 1679: Jacob Bernoulli stößt bei seinen Untersuchungen der
 Spirale auf ein elliptisches Integral.

 1694: Bernoulli führt die Lemniskate ein:

                                      1   + 51   1   = 2 ² ∙ ( ² − 5²)
                                                                         21

                   Lemniskate von Bernoulli

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:
ELLIPTISCHE INTEGRALE VOR EULER
Anfänge der Theorie elliptischer Integrale:
 In der Bogenlänge der Lemniskate steckt das elliptische Integral

                           $
                                1
                          /             2
                               1−   7
                          4

 Etwas später untersucht Bernoulli

                           8    ²
                                        2
                          / 1−      7
                          4

                                                                    22

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:
ELLIPTISCHE INTEGRALE VOR EULER

Anfänge der Theorie elliptischer Integrale:
 1750: Produzioni Matematiche von Fagnano mit
 Verdopplungsformel des Lemniskatebogens:

           8                       9
                1                       1
          /              2 =2∙/                 2 ,
               1−    7                 1−   7
          4                       4

                    19∙ $;9<
               :=            ,   >² ≤ 2 − 1
                      $=9<
                                                      23

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:
ELLIPTISCHE INTEGRALE VOR EULER

Anfänge der Theorie elliptischer Integrale:

 1751: Euler liest Fagnanos Werk und
 verallgemeinert dessen Ergebnisse

 Geburtsstunde der Theorie elliptischer Integrale

                                                    24

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:
ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER
Weitere Resultate Eulers:
Vergleich von Ellipsen- bzw. Hyperbelbogen
 Lösung von Problemen der Art

    Zu einem Ellipsenbogen fg von einem festen Punkt p auf der
    Ellipse einen Bogen pq abzutrennen, so dass die Differenz fg-
    pq dieser Bogen geometrisch angebbar ist.

    Zu einem Ellipsenbogen fg einen Bogen pqr angeben, welcher
                                    genau doppelt so groß ist.

                                                                    25
                                   Ellipsenbogen

4. RELEVANZ UND ANWENDUNGEN

Relevanz:
 Dank Euler können wir mit elliptischen Integralen
 umgehen!

 Weiterführung: Theorie der elliptischen Funktionen durch
 Abel und Jacobi

               Niels Henrik Abel

                      Carl Gustav Jacob                     26
                                 Jacobi

4. RELEVANZ UND ANWENDUNGEN
Anwendungen:

 Anwendungen in der Mathematik:

   Oberfläche des Ellipsoids

 Anwendungen in der Physik bzw. dem Ingenieurswesen

   Bahn eines schwingenden Pendels

                                                      27

Vielen Dank für eure
  Aufmerksamkeit!

                       28