Nützliche Gleichungen - Anhang A
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Anhang A
Nützliche Gleichungen
Allgemeine Gravitation und die Kometenbahnen
Die Berechnung von Bahnen beruht auf Newtons zweitem
Gesetz. Es besagt, daß
F=ma (1)
ist. Dabei bezeichnen F die Kraft, m die Masse des Körpers und a
die Beschleunigung. Auf Körper, die die Sonne umkreisen, wirkt
eine Kraft, die durch das allgemeine Gravitationsgesetz gegeben
ist:
F= GM 3m (2)
r2
Hierbei bezeichnen G die Gravitationskonstante (6,7x10-8 dyn
cm2 Gramm-2), M 3 die Masse der Sonne (2,Ox10 33 Gramm) und r den
Abstand zwischen der Sonne und dem Körper. Die Lösungen dieser
Gleichungen sind die Grundlage für die Berechnung von Bahnen
im Sonnensystem.
Die Grundbegriffe der Bahnen können schon mit elementarer
Mathematik leicht beschrieben werden. Wenn keine Störungen
durch Planeten oder nichtgravitative Kräfte vorhanden sind, kön-
nen die Gleichungen (1) und (2) angewandt werden. Eine im Ver-
gleich zur Sonne kleine Masse beschreibt dann eine Bahn um die
Sonne, die einen Kegelschnitt darstellt, wobei die Sonne in einem
der Fokusse liegt. Als wichtigste Ergebnisse lassen sich daraus
unter anderem der Energieerhaltungssatz und die Keplerschen
Gesetze ableiten.
Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie E,244 Rendezvous im Weltraum
also die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie, kon-
stant ist:
E= V
2
_ GM 3 (3)
2 r
Die kinetische Energie pro Masseneinheit ist gegeben durch
v 2 /2, wobei v die Geschwindigkeit ist (in Zentimetern pro Sekun-
de). Die potentielle Energie pro Masseneinheit ist gegeben durch
-GM3 /r.
Die Bahn hängt vom Wert der Gesamtenergie E ab. Wenn E
negativ ist, ist der Körper an die Sonne gebunden und die Bahn
eine Ellipse. Ist E positiv, ist der Körper nicht an die Sonne gebun-
den und die Bahn eine Hyperbel. Hat E den Wert Null, fällt der
Körper auf einer Parabelbahn auf die Sonne zu, wobei seine An-
fangsgeschwindigkeit im Unendlichen gleich Null ist.
Diese Unterschiede sind auch erkennbar, wenn man die allge-
meine Gleichung für einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten be-
trachtet:
r = q(l + e) (4)
1 + e cos () .
Hierbei bezeichnen r den Abstand vom Fokus, in dem die
Sonne steht, q die Periheldistanz, () einen vom Perihel aus gemes-
senen Winkel und e die Exzentrizität. Die spezielle Wahl der Exzen-
trizität e bestimmt die Art des Kegelschnitts und die Gesamtenergie
E (siehe Tabelle A.1).
Tabelle A.l
Energie und Exzentrizität von Bahnformen.
Form Energie Exzentrizität
Ellipse EO e>l
Die verschiedenen Bahnarten sind in Abbildung 17 dargestellt;
für die Ellipse dort gilt e = 0,9, für die Parabel e = 1,0 und für die
Hyperbel e = 1,I.
Bei einer elliptischen Bahn ist die Periheldistanz q gegeben durch
q= a(1 - e) (5)Nützliche Gleichungen 245
und die Apheldistanz Q durch
Q = a(1 + e) . (6)
Für eine Ellipse kann die Gleichung (4) geschrieben werden als
a(l - e2 )
r = 1 + e cos e. (7)
Die Keplerschen Gesetze können folgendermaßen formuliert
werden: Die großen Halbachsen a sind mit den Perioden P über das
dritte Keplersche Gesetz verknüpft:
(8)
Dabei ist a in Astronomischen Einheiten und P in Jahren ange-
geben.
Der Flächensatz lautet
dA- -1r2 -
- de- -
h
dt - 2 dt - 2 . (9)
Dabei bezeichnen rund e die oben beschriebenen Polarkoor-
dinaten, dAI dt die zeitliche Änderung der Fläche A und h eine
Konstante.
Die Geschwindigkeit eines Kometen auf einer Parabel-
bahn erhält man, indem man in Gleichung (3) E = 0 setzt. Dann
folgt:
(10)
Für r = 1 AE beträgt diese Geschwindigkeit 42 Kilometer pro
Sekunde. Damit kann Gleichung (0) geschrieben werden als
v = 42 kmls (11)
rV2
wobei r in Astronomischen Einheiten angegeben wird.
Nichtgravitative Kräfte
Bei der Behandlung nichtgravitativer Kräfte werden der Bewe-
gungsgleichung die entsprechenden Terme in parametrischer Form
hinzugefügt. Durch die Anpassung an die beobachteten Bewegun-246 Rendezvous im Weltraum
gen können dann die nichtgravitativen Parameter bestimmt wer-
den. Die Bewegungsgleichung lautet dann
+ ar + A1g(r)r + Azg(r)T .
d2r -/lr aR " "
dt2 =7 (12)
Dabei ist r der Radixrsvektor; J.1 = GM3; R ist die planetare
Störungs funktion; rund T sind die radialen beziehungsweise tan-
gentialen Einheitsvektoren; Al und A 2 sind die radialen beziehungs-
weise tangentialen nichtgravitativen Parameter; und g(r) ist eine
der Sublimationsrate des Eises proportionale Funktion. Normaler-
weise setzt man
(13)
Dabei bezeichnen a einen Normalisierungsparameter und m,
n, kund ro Parameter, die durch die jeweilige Eisart bestimmt sind;
ro ist die Entfernung, ab der die Sublimation sehr schnell nachläßt
(für Wassereis liegt sie bei 2,8 Astronomischen Einheiten).
Bis vor kurzem war in diesen Gleichungen alles bekannt außer
Al und A 2; diese mußten durch Anpassung einer Bahn an die
Beobachtungen bestimmt werden. Man beachte jedoch, daß Glei-
chung (13) bezüglich des Perihels symmetrisch ist. Das schmälert
die Bedeutung des radialen Terms Al. Donald Yeomans und Paul
Chodas (1989) haben jedoch Gleichungen für g(r) eingeführt, die
asymmetrisch bezüglich des Perihels sein können. Ihr Parameter
AT gibt an, wieviel Tage vor oder nach dem Perihel das Maximum
der Sublimation von Wassereis auftritt. Bei der Berechnung vong(r)
benutzen sie daher g(r'), wobei r' der Wert von r zur Zeit t' = t-AT
ist. Dieser Ansatz führt zu Ergebnissen, in denen der radiale Term
Al der wichtigste ist.
Ideale Gase, thermische Geschwindigkeit und
Schallgeschwindigkeit
Die Beziehung zwischen Druck P, Volumen V, Anzahl N der
Atome oder Moleküle und Temperatur T nennt man die Zustands-
gleichung. Bei Kometen kann man eine Näherung, das sogenannte
«ideale Gas», anwenden. Dafür gilt:
PV= NkT. (14)Nützliche Gleichungen 247
P ist der Druck in 10-5 Newton pro Quadratzentimeter, V das
Volumen in Kubikzentimetern, N die Anzahl der Teilchen, k die
Boltzmannkonstante (l,4x10-16 erg/K) und T die Temperatur in Kel-
vin. Diese Gleichung wird häufig auch als
P=nkT (15)
geschrieben, wobei n = N IV die Anzahl der Teilchen pro Kubik-
zentimeter ist.
Die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat oder
die thermische Geschwindigkeit in einem Gas ist gegeben durch
(16)
Dabei bezeichnet m die mittlere Masse der Teilchen.
Die Schallgeschwindigkeit ist gegeben durch
VS=( Y~ )~. (17)
Dabei bezeichnet ydas Verhältnis der spezifischen Wärme bei
konstantem Druck zur spezifischen Wärme bei konstantem Volu-
men. Für einatomige ideale Gase ist y= 5/3 und damit
Vs = ( ~ ~ )~. (18)
Für zweiatomige Gase sinkt der Wert von yauf ungefähr 1,4.
In einem nichtionisierten Gas breiten sich Störungen mit Schallge-
schwindigkeit aus; man vergleiche sie mit der Alfven-Geschwin-
digkeit (siehe unten).
Einfache Plasmaphysik
Ein ionisiertes Gas verhält sich wie ein Plasma (siehe Kapitel
4), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Debye-Länge ist klein gegen die charakteristische Ausdeh-
nung des Systems. Die Debye-Länge in Zentimetern ist gege-
ben durch
(19)
Für Bedingungen, wie sie im Schweif von Komet Giacobini-
Zinner herrschen, gilt T = 104 Kund N = 50 cm-3 • Hier ist Ao =248 Rendezvous im Weltraum
70 cm. Dieser Wert ist sehr viel kleiner als jede charakteristische
Abmessung eines kometaren Plasmas.
2. Eine Kugel mit dem Radius von einer Debye-Länge enthält
viele Elektronen. Für Ao = 70 cm und N = 50 cm-3 ist diese
Bedingung ganz klar erfüllt.
3. Das Plasma ist annähernd neutral, das heißt, es ist keine Net-
toladung pro Volumeneinheit vorhanden (siehe Kapitel 4 und
die Argumentation bei Bedingung 4).
4. Plasmaschwingungen werden durch Stöße nicht wesentlich
gedämpft. Die Elektronen des Plasmas können gemeinsam um
die massereichen Ionen schwingen. Das tun sie mit der Plas-
mafrequenz (in Hertz, Hz)
vp = 9 x 103N Vi . (20)
Für N = 50 cm-3 ist vp gleich 60 kHz. Die klassische Elektronen-
Ionen-Kollisionsfrequenz in Hertz ist gegeben durch
Vc = 50NT:t'2. . (21)
Für N = 50 cm-3 und T = 104 K ist Vc = 2,5x10-3 Hz. Im Vergleich
zur Plasmafrequenz treten daher Zusammenstöße selten auf, so
daß diese Bedingung für plasmatypisches Verhalten erfüllt ist.
Geladene Teilchen kreisen in einem Magnetfeld mit dem Lar-
morradius
mv-,-c
rL = ZeB . (22)
Dabei ist v-'- die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum
Magnetfeld B, m die Masse des Teilchens, c die lichtgeschwindig-
keit (c = 3,Ox101o cm/s), Z die Ladung (= 1 für einfach geladene
Teilchen), e die elektrische Elementarladung (e = 4,8x10-1o esu) und
B das Magnetfeld in Gauß. Bei thermischen Geschwindigkeiten für
T = 104 Kund B = 2x10-4Gauß betragen die Larmorradien für
Elektronen und Ionen (m = 20 u), die sich im Winkel von 45 zu den
0
Feldlinien bewegen, etwa 0,1 beziehungsweise 25 Kilometer.
Die Alfven-Geschwindigkeit
B
(23)
VA = (41tp)Vi
bestimmt die Geschwindigkeit, mit der sich Störungen in einem
magnetisierten Plasma ausbreiten. Die Dichte p ist gegeben durch
die mittlere Masse in Atomaren Masseneinheiten (u) mal der MasseNützliche Gleichungen 249
des Wasserstoffatoms mal der Anzahldichte. Für die hier angege-
benen Parameter ist VA = 12 Kilometer pro Sekunde.
Licht und der Dopplereffekt
Licht kann als Welle oder als Teilchen beschrieben werden. In
beiden Fällen bewegt es sich in einem Vakuum (und damit unter
den meisten Umständen im Weltall) mit der Geschwindigkeit c. Die
Welle hat die Wellenlänge A und die Frequenz v, für die gilt
,
AV=C. (24)
Da C eine Konstante ist, folgt aus der Gleichung (24), daß A
größer wird, wenn v abnimmt und umgekehrt.
Betrachtet man Licht als Teilchen, ist die Energie eines einzel-
nen Photons gegeben durch
E =hv. (25)
Dabei bezeichnet h die Plancksche Konstante (h = 6,6x10-27 erg
s). Wie man aus den Gleichungen (24) und (25) erkennt, bedeutet
also eine höhere Frequenz v eine höhere Energie E und eine kürzere
Wellenlänge A.
Der Dopplereffekt für ein Objekt, das sich mit der Geschwin-
digkeit v direkt auf den Beobachter zu oder von ihm wegbewegt,
ist gegeben durch
LlA v
A - C (26)
Dabei ist C die Lichtgeschwindigkeit, A die Ruhewellenlänge
einer Spektrallinie und LiA die Verschiebung der Spektrallinie auf-
grund der Bewegung v. Die Verschiebung ist positiv (zu längeren
Wellenlängen), wenn die Bewegung vom Beobachter weggerichtet
ist, und negativ (zu kürzeren Wellenlängen), wenn die Bewegung
auf den Beobachter zu gerichtet ist.
Das l/r-Helligkeitsgesetz
s=sf: r
Das 1/r2-Helligkeitsgesetz schreibt sich sehr einfach als
(27)250 Rendezvous im Weltraum
Dabei ist 5 die Helligkeit oder der Strahlungs strom in einer
beliebigen Entfernung r und So die Helligkeit in der Entfernung ro,
die als Bezugspunkt genommen wurde.
Astronomische Größenklassen
Astronomen benutzen eine Helligkeitsskala, die auf Beobach-
tungen mit bloßem Auge beruht. Die hellsten Sterne wurden dabei
als Sterne erster Größe und die schwächsten, gerade noch sichtba-
ren, als Sterne sechster Größe eingestuft. Die Größenklassen M sind
so definiert, daß für zwei Sterne mit den Helligkeiten (dem beim
Beobachter ankommenden Strahlungsstrom) SI und 52 gilt
SI
M 2 - MI = 2,5 loglo 52 . (28)
Objekte, die sich um den Faktor 100 in der Helligkeit unter-
scheiden, differieren also um fünf Größenklassen.
Das Kometenhelligkeitsgesetz
Das Kometenhelligkeitsgesetz kann geschrieben werden als
J = Jo 1(Il) F (r) . (29)
Dabei ist Ja eine Bezugshelligkeit, während die Funktionen 1(,1)
und F(r) die Helligkeitsänderungen beschreiben, die von der Ent-
fernung zwischen Erde und Komet (Ll) und zwischen Sonne und
Komet (r) abhängen. Die Funktion I(Ll) ist einfach das oben be-
schriebene umgekehrt-quadratische Helligkeitsgesetz, so daß gilt
Jo F (r)
J=-2 . (30)
Il
Die heliozentrische Helligkeitsänderung kann dagegen viele
Faktoren enthalten und wird durch eine Funktion dargestellt, die
proportional zu r-n ist, wobei der Parameter n empirisch bestimmt
wird. Dann erhalten wir
Jo
J=1l 2rn • (31)
Kometenhelligkeiten werden oft in Größenklassen ausge-
drückt, so daß Gleichung (31) geschrieben werden kann alsNützliche Gleichungen 251
M = Mo + 5 log Ll + 2,5 n log r. (32)
Wenn wir die von der Entfernung zur Erde abhängige Ände-
rung eliminieren, indem wir definieren
Mß = M - 5 log Ll, (33)
erhalten wir
M ß = Mo + 2,5 n log r. (34)
Nach Gleichung (34) sollte also die Kometenhelligkeit, aufge-
tragen gegen log r, eine Gerade mit der Steigung 2,5 n ergeben. Der
mittlere Wert für n ist etwa vier. Würde ein Komet nicht mit unter-
schiedlichem Abstand zur Sonne seine Größe verändern, würde die
Menge des reflektierenden oder streuenden Materials immer gleich
bleiben und die Helligkeit dem 1/r2-Gesetz folgen (n = 2). Aus dem
mittleren Wert von n = 4 folgt, daß die Menge an kometarem
Material größer wird, wenn sich der Komet der Sonne nähert. In
der Praxis liegen die Werte für n gewöhnlich zwischen zwei und
sechs, in Extremfällen zwischen -1 und elf.
Diese Größenklassenangaben beziehen sich auf die Gesamthel-
ligkeit des Kometen. Helligkeiten, die sich nur auf das im Zentrum
konzentrierte Licht beziehen, werden Kernhelligkeiten genannt.
Wir möchten jedoch betonen, daß sie nicht die Helligkeit des ei-
gentlichen Kernes darstellen! Visuelle photometrische Parameter
einiger Kometen sind in Tabelle A.2 angegeben.
Tabelle A.2
Visuelle photometrische Parameter von acht Kometen.
Komet Mo n
Bradfield 1974 III 7,61 2,92
P/Forbes' 10,40 4,00
P /Honda-Mrkos-Pajdusakova 1974 XVI 10,62 2,93
Kobayashi-Berger-Milon 1975 IX 7,34 3,77
Bradfield 1975 XI 8,88 2,91
West 1976 VI 5,94 2,42
Meier 1978 XXI
3,00> r > 2,14 -0,22 6,64
1,20 < r < 4,23 2,70 3,85
P /Stephen-Oterma 1980 X 3,46 11,92
a Der Wert n = 4 wurde angenommen, der Wert für Mo berechnet.252 Rendezvous im Weltraum
Strahlungsgesetze
Bei vielen astronomischen Anwendungen sind die Eigenschaf-
ten eines idealen Strahlers oder sogenannten schwarzen Körpers
von Nutzen. Ein schwarzer Körper strahlt mit einer Intensität pro
Frequenz, die gegeben ist durch
2hV 1
Bv(T) =- 2 - hv/kT
c e -
l' (35)
Dabei ist h die Plancksche Konstante, c die Lichtgeschwindig-
keit, k die Boltzmannkonstante, v die Frequenz und T die Tempe-
ratur.
Die Gesamtenergie, die pro Quadratzentimeter eines schwar-
zen Körpers abgestrahlt wird, ist gegeben durch das Stefan-Boltz-
mann-Gesetz
(36)
Die Konstante (J hat den Wert (J = 5,7xIO-5 erg/ cm2 grad 4 S-1.
Die maximale Strahlungsenergie wird bei einer Wellenlänge (in
Zentimetern) abgestrahlt, die durch das Wiensche Verschiebungs-
gesetz gegeben ist:
Amax = °i 9 . (37)
Mit Gleichung (37) kann man den Wellenlängenbereich ab-
schätzen, der bei verschiedenen Temperaturen jeweils am wichtig-
sten ist.
Energiegleichgewicht bei Kometen
Die von der Kometenoberfläche durch das Sonnenlicht emp-
fangene Energie geht in die Erwärmung des Materials, die Subli-
mation des Eises oder wird ins Innere geleitet. Bei unserer einfachen
Diskussion hier wollen wir die Leitung von Wärme ins Innere
vernachlässigen. Die Grundgleichung lautet
cos ()
Fo(1- A o) - 2 - = (1 - A 1)0r + Z(T)L(T) . (38)
r
Die verschiedenen Terme bezeichnen folgendes:Nützliche Gleichungen 253
{ Von der Sonne. } = {Wieder abge~trahlte} + {Energie zur V~rdampfung} .
empfangene Energte Energie des Eises
Man beachte; daß die wieder abgestrahlte Energie für einen
grauen Körper gleich (l-AI)ar ist; bei einem schwarzen Körper ist
Al = 0 und der Ausdruck der gleiche wie Gleichung (36). Wenn alles
andere festliegt, ist dies eine Bestimmungsgleichung für die Tem-
peratur. Fa ist hier die Solarkonstante oder die von der Erde emp-
fangene Sonnenenergie (Fa = 2,0 cal cm-2 min-1); A a ist die Albedo
bei sichtbaren Wellenlängen (etwa bei 5'000 Angström), bei denen
die Strahlungsenergie der Sonne absorbiert wird; (] ist der solare
Zenitwinkel auf dem Kern «(] = 0 am subsolaren Punkt); r ist die
heliozentrische Entfernung; Al ist die Albedo im Infrarotbereich (15
bis 30 Mikron), in dem die thermische Emission vom Kern stattfin-
det; a ist die Stefan-Boltzmann-Konstante; T ist die Temperatur;
Z(D ist die Verdampfungsrate und L(T) die Verdampfungswärme
in Kalorien pro Mol.
Gleichung (38) kann über die Kernoberfläche integriert werden
und ergibt dann
Fo{l - A o) r5 = 45(1 - A1)crr + 45Z(T)L(T) . (39)
Dabei ist 5 = m"/ die Querschnittsfläche des Kernes. Wenn wir
die Gesamtverdampfungsrate Q = 45Z einführen, ergibt sich
Fo{l - A o) r5 = 45(1 - A1)crr + QL . (40)
Man beachte, daß sich die Verdampfungswärme L(D in dem
bei Kometen interessanten Temperaturbereich nicht wesentlich än-
dert. Sie beträgt 11'700 Kalorien pro Mol bei 150 Kund 11'220
Kalorien pro Mol bei 250 K. Ein für Kometen charakteristischer
Wert liegt bei 11'500 Kalorien pro Mol.
Bei genauerer Betrachtung der Gleichung (40) erkennt man
die verschiedenen Energiebereiche für einen Kometen bei seiner
Annäherung an die Sonne. In großer Entfernung zur Sonne ist die
Gesamtverdampfungsrate Q sehr klein, und die absorbierte Son-
nenenergie wird wieder abgestrahlt. Auch bei weiterer Annähe-
rung an die Sonne bleibt die· Verdampfung zunächst noch ver-
nachlässigbar; die stärkere Sonneneinstrahlung wird durch ein
Ansteigen der Temperatur ausgeglichen. Schließlich erreicht die
Temperatur jedoch einen Wert, bei dem die Verdampfung be-
ginnt; jetzt sind beide Terme auf der rechten Seite der Gleichung254 Rendezvous im Weltraum
(40) wichtig. In noch geringerer Entfernung zur Sonne - mit
Sicherheit von etwa einer Astronomischen Einheit an - geht die
gesamte aufgefangene Sonnenenergie in die Verdampfung, so daß
jetzt der erste Term der rechten Gleichungsseite vernachlässigbar
ist. In diesem Falle ändert sich die Verdampfungsrate mit r-2,
während sich die Temperatur nur sehr langsam verändert. Für die
meisten Kometen wird Verdampfung innerhalb einer heliozentri-
schen Entfernung von rund drei Astronomischen Einheiten wich-
tig.
Beschleunigungen in Schweifen
Beschleunigungen von Gebilden innerhalb der Schweife kön-
nen anhand von zeitlichen Photo sequenzen gemessen werden und
werden häufig durch den Parameter (l-Jl) beschrieben. Die
Schweifkrümmung ist ebenfalls eine Funktion von (l-Jl). Man be-
trachte ein Teilchen, das sich im Schweif von einem Kometenkern
wegbewegt. Es ist klar, daß hier eine zusätzliche Kraft auf das
Teilchen einwirkt. In Analogie zu Gleichung (2) kann die Nettogra-
vitationskraft geschrieben werden als
- GM3m
F -Jl--2 (41)
-.
r
Der Parameter Jl wurde eingeführt, um die Wirkung der
zusätzlichen Kraft zu beschreiben, von der man annimmt, daß sie
ebenfalls umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist.
Wenn keine zusätzliche Kraft vorhanden ist, gilt Jl = 1. Der uns
interessierende Parameter ist also die zusätzliche Kraft, für die
gilt
(1 - Jl) = Fextra (42)
FGravitation
Bei Staubteilchen rührt die zusätzliche Kraft vom Strahlungs-
druck her. Welche Kraft auf Plasmawolken wirkt, ist nicht klar.
Bei größeren Werten von (l-Jl) werden Teilchen oder Gebilde
stärker in den Schweif hinein beschleunigt. Niedrigere Werte von
(l-Jl) führen zu einer stärkeren Krümmung des Schweifes.Nützliche Gleichungen 255
Dichten in Kometenatmosphären
Die Dichten in Komas werden häufig mit Hilfe des sogenann-
ten Haser-Modells berechnet. Man nimmt an, daß die Moleküle mit
konstanter Geschwindigkeit Vo vom Kern abströmen und durch das
solare Strahlungsfeld in der Zeit 'fo, in der die Dichte auf 1/ e ihres
anfänglichen Wertes abfällt, dissoziiert werden. Dann gilt
dN N
df=-'fo'
(43)
wobei N die Anzahldichte ist. Die Entfernung, die ein Molekül im
Mittel zurücklegt, bevor es dissoziiert wird, ist Ro = 'foVo. Radiale
Abströmung mit der Geschwindigkeit vO führt dazu, daß die Dich-
te mit r-2 abnimmt, während Dissoziation allein eine Abnahme
proportional zu e-r/Ro bewirken würde. Beide Prozesse zusammen
ergeben
N(r) = (~ J N (R)e-r/R., . (44)
Dabei ist R der Radius des Kernes.
Moleküle, die aus Muttermolekülen entstehen und durch Pho-
todissoziation zerstört werden, folgen einer einfachen Generalisie-
rung der Gleichung (44), nämlich
N(r) = (~ J N (R) [e-r/RD- e-r/R, ] . (45)
R1 bezieht sich auf die Muttermoleküle und Ro auf die Tochter-
moleküle. Um die Säulendichte entlang eines Sehstrahles zu erhal-
ten, der den kürzesten Abstand p zum Kern hat, muß man Glei-
chung (45) entlang des Sehstrahles integrieren. Außerdem setzen
wir jetzt f30 = 1/ Ro usw. sowie ßoP = x. Damit gilt
S(x) oe N(p) oe ~ [ B(x) - B (~ x )l (46)
Dabei bezeichnet S(x) die Oberflächenhelligkeit, die proportio-
nal ist zur Säulendichte N(p); B(x) bezieht sich auf die modifizierte
Besselfunktion nullter Ordnung.
Die physikalische Bedeutung der Gleichung (46) wird in Ab-
bildung 116 veranschaulicht, wo wir log S gegen log p aufgetragen
haben. Für einfaches radiales Abströmen mit konstanter Geschwin-
digkeit wäre die Kurve eine Gerade mit der Steigung -1. Für die256 Rendezvous im Weltraum
t
Logp_
Abb.116
Helligkeitsänderung einer Teilchenart, die in einem Kometen frisch erzeugt und
wieder zerstört wird. Teilchen, die weder frisch erzeugt noch zerstört werden,
würden der durchgezogenen Linie folgen. Die meisten Teilchenarten werden in
der Nähe des Kernes erzeugt und weit von ihm entfernt zerstört; sie folgen der
gestrichelten Linie.
Bildung von Molekülen nimmt die Helligkeit langsamer ab, für die
Zerstörung von Molekülen schneller.
Das Haser-Modell beruht auf bestimmten vereinfachenden
Annahmen, von denen wir einige oben erwähnt haben. Eine ge-
nauere Behandlung findet man in der Literatur.
Die Wasserstoffwolke um Kometen erfordert eine ähnliche Be-
handlung. Wenn QH die Gesamtproduktionsrate von Wasserstoff
und VH die mittlere Abströmgeschwindigkeit ist und andere Pro-
zesse vernachlässigt werden, dann ist die Dichte der Wasserstoff-
atome nH (in Atomen pro Kubikzentimeter) gegeben durch
QH (47)Nützliche Gleichungen 257
Wasserstoffatome werden durch Photoionisation (trad) und
durch Ladungsaustausch mit dem Sonnenwind (t sw ) zerstört. Die
Gesamtlebensdauer für Wasserstoffatome beträgt
(48)
Für Wasserstoffatome ist der Strahlungsdruck (von solarer Ly-
man-a-Strahlung) von Bedeutung.
Gleichung (47) wird zu
nHCx,y,z) = 41tVH (_2 2 2)·
;x.- +y +z
(49)
Dabei ist t die Flugzeit. Eine weitere Schwierigkeit ergibt sich
aus der Tatsache, daß bei einer gegebenen Energie des Wasserstoff-
atoms jeder Punkt in der Atmosphäre über zwei getrennte Flug-
bahnen erreicht werden kann. Man erhält einen analytischen Aus-
druck für nH(x,y,z), der dann numerisch über eine angenommene
Geschwindigkeitsverteilung und entlang des Sehstrahles integriert
werden muß, wenn man die Säulendichte berechnen will. Dabei
ergeben sich Verteilungen, die in antisolarer Richtung verschoben
und um den Radiusvektor symmetrisch sind. Diese Ergebnisse
stimmen recht gut mit den Beobachtungen überein.Anhang B
Berechnung der Position eines
Kometen
Himmelsmechaniker verbringen einen Großteil ihrer Zeit mit
dem Versuch, die Zukunft vorherzusagen. Dabei sind sie jedoch
nur in begrenztem Umfang erfolgreich. Jedenfalls kennen wir keine
reichen Himmelsmechaniker, denen es gelungen wäre, über JSlhre
hinweg die Aktienkurse vorherzusagen. Wir kennen allerdings ei-
nige sehr begabte Mitglieder dieser Zunft, die die zukünftigen
Positionen von Raumsonden, Kometen und Planeten mit ungeheu-
rer Genauigkeit vorhersagen können. Dabei benutzen sie jedoch
keine Kristallkugel, sondern hochmoderne Computer. Wie wir
schon früher erwähnten, sind für diesen Prozeß verschiedene
Schritte nötig. Bei einem neu entdeckten Kometen könnten das
unter anderem folgende sein:
1. Berechnung der anfänglichen Bahnelemente der Kometen-
bahn, wozu mindestens drei Beobachtungen nötig sind.
2. Kurzfristige Vorhersage der Bewegung des Kometen für die
unmittelbare Zukunft. Die anfänglichen Bahnelemente sind
selten gen au genug, um langfristige Vorhersagen zu ermögli-
chen. Sie werden zum Teil benutzt, um den Kometen zu ver-
folgen, während zusätzliche Positionsbeobachtungen durch-
geführt werden.
3. Verbesserung der Bahnelemente auf der Grundlage weiterer
Posi tionsbeobach tungen.
4. Berechnung einer definitiven Bahn für eine längere Zeit in die
Zukunft. Hierbei verwendet man gewöhnlich sämtliche Posi-
tionsmessungen, die durchgeführt wurden, während der Ko-260 Rendezvous im Weltraum
met von der Erde aus zu sehen war. Außerdem gehört zu
diesem Schritt die genaue Berechnung der Störungen, die von
den Planeten auf die Kometenbahn ausgeübt werden, und
möglicherweise auch die Berechnung zusätzlicher Effekte wie
nichtgravitative Kräfte. Handelt es sich um einen periodischen
Kometen, gehört zu diesem Schritt letztlich auch die Vorhersa-
ge der Bahnelemente für den nächsten Periheldurchgang.
Von den Berechnungen her sind Schritt 2 und der Teil von
Schritt 4 am einfachsten, in dem mit Hilfe der Bahnelemente kurz-
fristige zukünftige Positionen des Kometen vorhergesagt werden,
ohne die Störungen durch die Planeten weiter zu berücksichtigen.
Dieser Schritt kann auch auf einem Heimcomputer ausgeführt
werden. Auf den folgenden Seiten beschreiben wir ein einfaches
Computerprogramm, das Sie bei sich zu Hause implementieren
können. Das Programm ist in Pascal geschrieben und verwendet
keinerlei Ergänzungen, wie man sie bei verschiedenen Dialekten
dieser Sprache findet. Für diejenigen unter Ihnen, die keinen Pas-
cal-Compiler besitzen, geben wir - ohne Kommentar - ein BASIC-
Programm an, das die gleichen Berechnungen durchführt.
Die einzelnen Berechnungsschritte
Das Computerprogramm verwendet eine mäßig komplizierte
Mathematik. Außerdem benötigt man für die Transformationen
zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen, die in der
Astronomie benutzt werden, sphärische Trigonometrie. Es ist hier
jedoch nicht möglich, alle diese Gleichungen von Grund auf zu
erklären. Näheres dazu findet man in der Fachliteratur. In der von
uns angegebenen weiterführenden Literatur haben wir einige Ti-
tel aufgeführt, in denen man die Details nachlesen kann. Wir
wollen Sie hier nur darüber informieren, was das Programm
leistet.
Die Programmausgabe
Um zu zeigen, was der Computer bei der Ausführung des
Programms tut, beginnen wir mit dem Schluß, der Output-Routine,
die hier in Gänze wiedergegeben wird.Berechnung der Position eines Kometen 261
PROGRAM SECTION 1
OUTPUT
PROCEOURE WriteResult;
Write out the results ealeulateq by the eomet ephemeris
program. The program ealeulates the right aseension anq
deelination to the nearest seeonq of time or seeonq of are.
As the seeonqs are beyond the aeeuraey of the ealeulations,
they are not written.
VAR
{Hour-minute and degree-minute variables for output}
H, MI, 51, D, M2, 52: Integer;
5Hour, 5Min: Integer; {5idereal time hour and minute}
BEGIN {WriteResult}
Writeln;
Writeln;
Writeln (' ------P05ITION OF COMET--.----');
Writeln;
Writeln(' Date: " Month:2,'I',Day:2,'I',Year:4,' Julia·n Oay: "
JD : 11 : 3);
5Time := 5Time * RH;
5Hour := Trune(5Time);
5Min := Trune(60.0 * (5Tirne - 5Hour»;
Write('Loeal Time: 50lar = " Hour : 2, ':', Min : 2);
Writeln(' 5idereal = " 5Hour : 2, ': " 5Min : 2);
Writeln;
Writeln(' COORDINATE5 OF THE 5UN: ');
Writeln(' x = " X5un:6:4,' Y ',Y5un:6:4,' Z ',Z5un:6:4);
HrToHHMM55 (RA5un, H, MI, 51);
OegToOOMM55 (Oee5un, 0, M2, 52);
Oeelination(O, M2, 52);
Writeln(' R.A. = ',H:2,' ',Ml:2,' OEC ',0:4," M2:2);
Writeln;
Writeln(' COORDINATE5 OF THE COMET ');
Writeln(' x = " XBody:6:4,' Y ',YBody:6:4,' Z ',ZBody:6:4);
HrToHHMM55 (RABody, H, MI, 51);
OegToOOMM55 (OeeBody, 0, M2, 52);
Oeelination(O, M2, 52);
Writeln(' R.A. = ',H:2,' 'Ml:2,' OEC = ',0:4,' ',M2:2);
Writeln(' R = " 01st5B : 4 : 2, , Delta = " OistEB : 4 2);
Writeln(' Elongation of Body = " Theta: 5 : 1);
HrToHHMM55 (HA, H, MI, 51);
OegTooOMM55(Az, 0, M2, 52);
X :- 0.0;
IF HA > 12 THEN
BEGIN
X := l.0;
HA 24 - HA
END;
Write( , Hour Angle = " H 4,' " Ml 2) ;
IF X = 0.0 THEN Writeln(' West')
EL5E Writeln(' East');
Writeln (' Azimuth = " 0 3," M2 2) ;
Elev := Elev * RD;
o := Trune(Elev);
M2 := Abs(Trune(60.0 * (Elev - 0»);
Writeln (' Elevation', 0 : 3, , , M2 2) ;
END; {WriteResultl262 Rendezvous im Weltraum
Das Programm berechnet und druckt die Position eines Kome-
ten - es kann auch für Asteroiden und Planeten verwendet werden
- zu einer bestimmten Zeit an einem vorgegebenen Datum aus. Die
Position wird in verschiedenen Koordinatensystemen angegeben.
Die ersten Koordinaten - im Programm XBody, YBody und ZBody
und im Ausdruck X, Y und Z genannt - bezeichnen die Position
des Kometen in einem dreidimensionalen, rechtwinkligen Koordi-
natensystem, das heliozentrisches Äquatorialkoordinatensystem
heißt und die Lage des Kometen im Raum ang.ibt. In diesem rechts-
drehenden Koordinatensystem definiert die Aquatorebene der Er-
de die xy-Ebene, wobei die x-Achse auf den Frühlingspunkt und
die z-Achse zum Nordpol zeigen. Die von der Output-Routine
ausgedruckten X-, Y- und Z-Koordinaten der Sonne sind im geo-
zentrischen Äquatorialkoordinatensystem angegeben, das sich
vom heliozentrischen System nur insofern unterscheidet, als der
Koordinatenursprung von der Sonne zur Erde verschoben ist. In-
nerhalb des Programms wird das heliozentrische Ekliptikalsystem
verwendet. In diesem System ist die XY-Ebene die Ekliptikebene,
die um einen Winkel von etwa 23 °27' - die sogenannte Schiefe der
Ekliptik - zum Äquator geneigt ist.
Das Programm druckt die Rektaszension und Deklination des
Kometen aus, damit man seine Lage zwischen den Sternen orten
kann. Rektaszension und Deklination sind Himmelskoordinaten,
die der geographischen Länge und Breite entsprechen; die Rektas-
zension wird vom Frühlingspunkt aus gemessen. Als nächstes
druckt das Programm die Entfernung des Kometen zur Sonne, R,
seine Entfernung von der Erde, delta, und seinen scheinbaren Win-
kelabstand von der Sonne, die sogenannte Elongation (im Pro-
gramm theta genannt), aus. Die bei den Entfernungen können be-
nutzt werden, um die Helligkeit des Kometen zu berechnen (die
wir hier nicht weiter betrachten wollen); außerdem ermöglichen sie
es uns abzuschätzen, ob der Komet sichtbar ist.
Schließlich druckt das Programm noch Koordinaten aus, die es
einem auf der Erdoberfläche stehenden Beobachter ermöglichen,
den Kometen am Himmel zu lokalisieren. Diese Koordinaten sind
der Stundenwinkel (HA), die Höhe (Elevation) und der Azimut
(Azimuth). Der Stundenwinkel wird ähnlich gemessen wie die
Rektaszension, außer daß der Nullpunkt für den Stundenwinkel
der Südpunkt ist, also der Punkt am Himmel, an dem sich der
Himmelsäquator und der Meridian schneiden. Während die Rekt-
aszension eines Objekts zeitlich unveränderlich ist (genauer gesagt,Berechnung der Position eines Kometen 263
sich nur sehr langsam aufgrund der Präzession ändert), ändert sich
sein Stundenwinkel mit der Sternzeit. Die Höhe ist der Winkelab-
stand eines Objekts über dem Horizont, und der Azimut wird
entlang des Horizonts gemessen. Intern rechnet das Programm alle
Winkel in Radian und wandelt sie beim Ausdruck dann in Grad
oder Stunden um.
Bei der Berechnung der elf oben beschriebenen Parameter muß
das Programm eine Reihe von Zwischengrößen ausrechnen. Von
diesen werden aber nur die Sonnenkoordinaten wirklich ausge-
druckt. Die Zwischengrößen werden wir im folgenden noch be-
schreiben.
Das Hauptprogramm
Das Hauptprogramm, das wir EPHEMERIS nennen, ist haupt-
sächlich in einer großen Schleife enthalten, die die Kometenposi-
tionen für eine Reihe von Tagen berechnet.
PROGRAM SECTION 2
MAIN PROGRAM
PROGRAM EPHEMERIS (Input, Output);
CONST {global 1
PI = 3.14159265359;
Twopi = 6.28318530718;
RD = 57.295779513; {degrees in a radianl
RH = 3.81971863; {hours in a radianl
TAU = 5.77557E-03; {days for light to travel 1 AU)
JD1900 = 2.4150205E+06; {Julian date on epoch 1900, Jan 0.51
NewStyle = true; {we will use Gregorian calendar onlYI
VAR
{orbital Elements and their epochl
E, LongNode, LongPeri, Incl, A, P, PeriDay, N: Real;
{Sun-Earth, Sun-Body and Earth-Body Distancel
DistSE, DistSB, DistEB : Real;
{elongation: Sun-Body angle seen from Earthl
Theta : Real;
{equatorial Cartesian coordinates in astronomical unitsl
X, Y, Z Real; {geocentric coordinates 1
XSun, YSun, ZSun: Real; {geocentric coordinates of sunl
XBody, YBody, ZBody Real; {heliocentric coordinates 1
Epoch Integer; {epoch of orbital elementsl
JE Real; {Julian day of l/l/Epochl
Obliq Real; {obliquity of the eclipticl
ZetaO, Zee, Th Real {precession constantsl
EA, M Real {eccentric and mean anomalYI
PX, PY, PZ, QX, QY, QZ Real {coordinate rotation vectorsl264 Rendezvous im Weltraum
RAl, Decl Real; {equatorial sky coordinates]
RABody, DecBody Real; {equatorial sky coordinates]
RASun, DecSun Real; {equatorial sky coordinates]
"Lat Real; {latitudel
Elev, Az, HA Real; {horizon-system coordinates]
Month, Day, Year, Hour, Min: Integer; {date/time]
JD, JH Real; {Julian date/fractional daYI
STirne Real; {sidereal time]
Key Char;
place PROCEDURE/FUNCTION Arctg2 here
Julian
InputElements
Kepler
Sun
SidTime
Precession
PrecessElements
SetPQ
CalcXYZ
RADec
HrToHHMMSS
DegToDDMMSS
Declination
SkyCoordinates
Iteration
Elongation
Write Results
BEGIN {Ephemeris]
Writeln('Input your latitude in decimal degrees:');
Writeln(' Negative for the southern' hemisphere.');
Readln(Lat);
Lat := Lat / RD;
InputElements;
SetPQ;
JE :- Julian(l, 1, Epoch, NewStyle);
Obliq .= Obliquity(JE);
REPEAT
Writeln('Input date of interest: Month Day Year ');
Writeln(' Inputs are integers');
Readln(Month, Day, Year);
IF Year < 100 THEN Year :- Year + 1900;
JD := Julian(Month, Day, Year, NewStyle);
PrecessElements(JE, JD, ZetaO, Zee, Th);
Writeln('Input time of interest: HH MM');
Readln(hour, Min);
JH :- (Hour + Min / 60.0) / 24.0;
JD :- JD + JH - 0.5;
SunJD, JE, XSun, YSun, ZSun, DistSE);
RADec(XSun, YSun, ZSun, DistSE, RASun, DecSun);
M :- (JD - PeriDay) * N;
IF M < 0.0 THEN
M :- M + TwoPi;
Iteration(M, X, Y, Z);
{planetary aberration]
M :- M - TAU * DistEB * N;Berechnung der Position eines Kometen 265
Iteration(M, x, Y, Z);
RADec(X, Y, Z, DistEB, RABody, DecBody); IEquinox of Epoch)
(Precess to equinox of date)
RA1 : = RABody;
Dec1 := DecBody;
Precession(ZetaO, Zee, Th, RA1, Dec1, RABody, DecBody);
Theta :=Elongation(RABody, DecBody, RASun, DecSun);
STirne := SidTirne(JD, JH);
SkyCoordinates(RABody, DecBody, STirne, HA, Az, Elev);
WriteResult;
Writeln;
Writeln(' Do you want another Calculation? (Y/N): ');
Read(Key)
UNTIL (Key = Chr(78» or (Key = Chr(110»
END. IEpherneris)
Die Programmeingaben
Die geographische Breite des Beobachters und die Bahnele-
mente werden als feste Größen angesehen und außerhalb der RE-
PEAT-Schleife eingegeben. Die Routine InputElements initialisiert
die Bahnelemente. Der hier gezeigte Programmabschnitt entspricht
keiner vernünftigen Programmierpraxis; man muß das Programm
bei jedem neuen Bahnelementensatz neu compilieren. Wir überlas-
sen es Ihnen, wie Sie die Bahnelemente für den Kometen oder
andere Himmelskörper eingeben und die nötige Inputroutine im-
plementieren wollen. Sie könnten eine sequentielle Datei der Bahn-
elemente von Kometen anlegen, die in absehbarer Zeit ihr Perihel
passieren werden, und dann die Elemente jedes gewünschten Ko-
meten einlesen. Die hier von der Routine InputElements eingege-
benen Elemente galten für Komet Halley zum Zeitpunkt seines
letzten Perihels. Wir geben einige Ergebnisse an, damit Sie Ihr
Programm testen können (siehe Abbildung 119).
PROGRAM SECTION 3
INPUT ORBITAL ELEMENTS
PROCEDURE InputElements;
BEGIN I InputElements)
E := 0.967276;
LongNode := 1.01482798;
LongPeri := 1.95211742;
Incl := 2.83160961;
A := 17.941104;266 Rendezvous im Weltraum
P := 75.99303;
PeriDay := 2446470.45174;
Epoch:= 1986;
N := TwoPi / (P * 365.2422)
END; {IriputElements}
Nachdem die Bahnelemente irgendwie eingegeben sind und
vor der Eingabe des ersten Datums, ruft das Hauptprogramm die
Prozedur SetPQ auf; diese berechnet die beiden Vektoren (Px, Py,
pz und Qx, Qy, Qz), die man braucht, um die Koordinaten von dem
zweidimensionalen System in der Bahnebene in das dreidimensio-
nale heliozentrische Ekliptikalsystem umzuwandeln.
PROGRAM SECTION 4
SET COORDINATE ROTATION VECTORS
PROCEDURE SetPQ;
The vectors P and Q will be used to rotate the coordinate
system from the orbit plane to the heliocentric ecliptic system.
VAR
CLP, SLP, CLN, SLN, CI, SI: Real;
BEGIN {SetPQ}
CLP := Cos(LongPeri); {argument of perihelion}
CLN := Cos(LongNode); {longitude of ascending node}
SLP := Sin(LongPeri};
SLN := Sin(LongNode);
SI := Sin(Incl); {inclination of orbit to eCliptic}
CI := Cos(Incl);
PX := CLP * CLN - SLP * SLN * CI;
py := CLP * SLN + SLP * CLN * CI;
PZ := SLP * SI;
QX := -SLP * CLN - CLP * SLN * CI;
QY := -SLP * SLN + CLP * CLN * CI;
QZ :- CLP* SI
END; {SetPQ}
Die Vektoren können ein für allemal berechnet werden, es sei
denn, man ändert die Bahnelemente. Wichtig ist zu beachten, daß
der Parameter LongPeri der Polarwinkel des Perihels ist, dessen
Definition sich von der Länge des Perihels unterscheidet. Die be-
nötigten Gleichungen lauten:Berechnung der Position eines Kometen 267
Px cos CO cos n - sin CO sin n cos i
Py cos CO sin n + sin CO sin n sin i
pz sin CO sin i
Qx = - sin CO cos n - cos CO sin n cos i
Qy = - sin CO sin n + cos CO cos n cos i
Qz = cos CO sin i.
Zum Schluß werden das Datum und die Zeit eingegeben, für
die die Berechnungen durchgeführt werden sollen, und das Pro-
gramm fragt nach weiteren Eingabedaten, bis Sie es auffordern
anzuhalten. Im allgemeinen benutzt das Programm die Anzahl der
Tage zwischen bestimmten Datumsangaben. Daher ist es sehr prak-
tisch, das Julianische Datum zu verwenden, das als die Anzahl der
Tage definiert ist, die seit zwölf Uhr Weltzeit am 1. Januar 4713 v.
ehr. vergangen sind. Da der Julianische Tag mittags und der Son-
nentag um Mitternacht beginnen, ist das Julianische Datum am
Anfang eines bestimmten Sonnentages eine ganze Zahl plus 0,5.
Zum Beispiel hat der 1. Januar 1992 das Julianische Datum
2448622,5. Die Funktion Obliquity berechnet die Schiefe der Eklip-
tik für dieselbe Epoche wie die Bahnelemente.
PROGRAM SECTION 5
CALCULATE JULIAN DATE
FUNCTION Julian (Month, Day, Year: Integer; NewStyle: Boolean): Real;
Calculates the Julian day number. NewStyle is false for the
Julian calendar and true for the Gregorian calendar.
VAR
Al, B, C, T, U: Real;
X: Integer;
BEGIN {Julian)
IF Month268 Rendezvous im Weltraum
FUNCTION Obliquity (JD: Real): Real;
Calculate obliquity of the ecliptic for Julian day, JD.
Unit is radians.
CONST
ObO = 0.409319755; {obliquity for 1900.0}
Ob1 = 2.27135E-04; (rate of change of obliquity)
JC = 3.6525E+04; {days in a Julian Century}
JDO = 2.4150005E+06; {Julian day on 1/1/1900 = 1900.0}
BEGIN (Ob1iquity)
Obliquity := ObO - Ob1 * (JD - JDO) / JC
END; (Obliquity)
Die Berechnungsschleife
Der erste Schritt innerhalb unserer Hauptschleife ist die Berech-
nung der..Sonnenposition. Die Prozedur Sun berechnet die geozen-
trischen Aquatorialkoordinaten der Sonne und die Entfernung Er-
de-Sonne, wobei zwei Julianische Datumsangaben eingegeben wer-
den müssen - das Datum der gewünschten Position JD und das
Datum JE (die Epoche) des Äquinoktiums, auf das sich die Position
bezieht. Bei letzterem ist die Präzession der Äquinoktien mitzube-
rück sichtigen, auf die wir hier wiederum nicht näher eingehen wol-
len. Die Prozedur zur Berechnung der Sonnenposition enthält eine
Näherung, die für unsere Zwecke hinreichend genau ist.
PROGRAM SECTION 6
POSITION OF THE SUN
PROCEDURE Sun (JD, JE: Real; VAR XSun, YSUN, ZSUN, DistSE: Real);
Ca1culates the geocentric equatorial coordinates of the
Sun, and the Earth-Sun distance in astronomical units, for
the Julian Date JD referred to the equinox on Julian Date JE.}
CONST
JD2 = 2.451545E+6; {epoch 2000.0}
VAR
DeltaD: Real; (interval in days)
G: Real; (mean anomaly)
L: Real; {mean longitude}
EclLong: Real; {ecliptic Longitude of Sun}
X: Real; {working variable}Berechnung der Position eines Kometen 269
BEGIN {Sun}
OeltaO :- JD - JD2;
G :- (357.528 + 0.9856003 * OeltaO);
WHILE G < 0.0 00 G :- G + 360.0;
G :- G / Rn;
L := (280.460 + 0.9856474 * OeltaO);
WHILE L < 0.0 00 L :- L + 360.0;
L := L / Rn;
EclLonq := L + 0.03344 * Sin(G) + 3.49E-4 * Sin(2.0·* G);
{Precess to Epoch JE}
EclLonq :c EclLonq + 2.437E-4 * (JO - JE) / 365.25;
OistSE :- 1.00014 - 0.01671 * Cos(G} - 0.00014 * Cos(2.0 * G);
XSun := OistSE * Cos(EclLonq);
Y~un := OistSE * Sin(EclLonq) * Cos(Obliq);
ZSun :=.OistSE * Sin(EclLonq) * Sin(Obliq)
END; {Sun}
Die Prozedur RADec wandelt die geozentrischen Äquatorial-
koordinaten in Rektaszension und Deklination um. Dabei wird eine
Funktion Arctg2 benötigt - ein Arkustangens mit zwei Argumen-
ten, der ein Ergebnis im richtigen Quadranten liefert.
PROGRAM SECTION 7
CONVERT GEOCENTRIC EQUATORIAL
COORDINATES TO RIGHT ASCENSION
AND DECLINATION
FUNCTION Arctq2 (Sn, Cs: Real): Real;
Calculates the arctanqent of Sn/Cs in the proper quadrant. }
VAR
XT: Real;
BEGIN {Arctq2}
IF Abs(Cs) < 1.0E-OB THEN
BEGIN
IF Sn < 0 THEN XT := 0.5 * pi
ELSE XT := 1.5 * pi
END
ELSE
BEGIN
XT := Arctan(Sn / Cs};
IF Cs < 0 THEN XT := XT + pi
ELSE IF Sn < 0 THEN XT := XT + 2.0 * pi
END;270 Rendezvous im Weltraum
Arctg2 := XT
END; {Arctg2)
PROCEDURE RADec (XG, YG, ZG, Distance: Real; VAR RARad, DecRad: Real);
Convert equatorial geocentric coordinates XG, YG and ZG to
Right Ascension, RARAD, and Declination, DecRad, in radians.
Distance is the distance from the Earth to the body.)
VAR
SA, CA: Real;
BEGIN {RADec)
SA := ZG / Distance;
CA := Sqrt(1.0 - Sqr(SA»;
DecRad := Arctg2(SA, CA);
SA := YG / (Distance * CA);
CA := XG / (Distance * CA);
RARad := Arctg2(SA, CA)
END; {RADec )
Als nächstes berechnet das Programm eine Größe, die mittlere
Anomalie M genannt wird, und ruft die Routine Iteration auf, die
eine der Hauptaufgaben des Programms durchführt. Die Routine
Iteration ihrerseits ruft die Prozeduren Kepler und CalcXYZ auf,
um ihre Funktion auszuführen.
PRO GRAM SECTION 8
ROUTINES TO CALCULATE GEOCENTRIC
EQUATORIAL COORDINATES
PROCEDURE Kepler (Eccen: Real; VAR M, EA: Real);
Solves Kepler's equation iteratively. The variables are
Eccen = eccentricity, M = mean anomaly, EA = eccentricanomaly.)
CONST
Eps = 1. OE-OS;
VAR
X, EB: Real;
BEGIN {KEPLER)
{Make sure OBerechnung der Position eines Kometen 271
PROCEOURE CalcXYZ (A, E, EA: Real; VAR Xeq, Yeq, Zeq: Real);
Procedure uses semi-major axis, A, eccentricity, E, and eccentric
anomaly, EA, to calculate coordinates of a celestial body.
VAR
Xl, Yl, Xecl, Yecl, Zecl: Real;
{Obliq, PX, PY, PZ, QX, QY, QZ are GLOBAL variables.
BEG IN {CalcXYZ}
Calculate cartesian coordinates of position in orbit, where
the x-axis is toward perihelion. }
Xl :- A * (Cos(EA) - E);
Yl :- A * Sqrt(l.O - E * E) * Sin(EA);
Transform to eCliptic heliocentric coordinates, where the
x-axis is toward the Vernal equinox. }
Xecl * PX + Yl * QX;
Yecl * PY + Yl * QY;
Zecl * PZ + Yl * QZ;
Transform to equatorial heliocentric coordinates, x-axis same as
above. }
Xeq :E Xecl;
Yeq := Yecl * Cos(Obliq) - Zecl * Sin(Obliq);
Zeq := Yecl * Sin(Obliq) + Zecl * Cos(Obliq)
END; {CalcXYZ}
PROCEOURE Iteration (VAR M, XG, YG, ZG: Real);
Procedure invokes solution of Kepler's equation, finds the
equatorial heliocentric coordinates, XBody ... , of a body,
then translates them to equatorial geocentric coordinates,
XG ... In the process it finds the Sun-Body and Earth-Body
distances DistSB and Dist"B. }
BEG IN {Iteration}
Kepler(E, M, EA);
CalcXYZ(A, E, EA, XBody, YBody, ZBody);
OistSB := Sqrt(Sqr(XBody) + Sqr(YBody) + Sqr(ZBody);
XG := XBody + XSun;
YG := YBody + YSun;
ZG := ZBody + ZSun;
OistEB := Sqrt(Sqr(XG) + Sqr(YG) + Sqr(ZG))
END'; . {Iteration}
Um zu verstehen, was hier geschieht, betrachten Sie bitte Ab-
bildung 117, die eine elliptische Bahn mit der Sonne in einem Fokus
5 darstellt. Der Ellipse ist ein konzentrischer Kreis umschrieben,
dessen Radius gleich der großen Halbachse der Ellipse ist. In Po-
larkoordinaten mit der Sonne als Zentrum ist die Position des
Kometen durch den Winkel v - die sogenannte wahre Anomalie -272 Rendezvous im Weltraum
und den Radius r gegeben. Wir ziehen nun eine senkrechte Linie
von der großen Halbachse der elliptischen Bahn durch den Kome-
ten und verlängern diese Linie, bis sie den Kreis in Punkt C schnei-
det. Der Winkel E im Mittelpunkt des Kreises (wie in Abbildung
117 gezeigt) wird exzentrische Anomalie genannt und ist durch die
Keplersche Gleichung gegeben:
E - e sin(E) = M = n(t - T).
Dabei bezeichnet E die exzentrische Anomalie, e die Exzentri-
zität der Bahn und M die mittlere Anomalie. Die mittlere Anomalie
wird aus der mittleren Bewegung n berechnet, dem mittleren Win-
kel (in Radian) , um den sich der Komet innerhalb eines Tages
bewegt; t ist der Zeitpunkt, für den die Berechnung gewünscht
wird, und T ist der Zeitpunkt des Periheldurchgangs des Kometen.
Hier erkennen wir, wie nützlich es ist, t und Tin Julianischen Tagen
anzugeben; die Differenz wird dann in Tagen angegeben. Eines der
Hauptprobleme der Himmelsmechanik hat darin bestanden, Me-
thoden zur Lösung dieser transzendenten Gleichung für E zu fin-
den. Als man noch keine modernen Computer zur Verfügung hatte,
benutzte man Reihenentwicklungen. Die Prozedur Kepler verwen-
det ein direkteres iteratives Schema. Das Verfahren ist stabil und
konvergiert für Werte von e kleiner als 0,98 oder 0,99 - das heißt,
es konvergiert für alle periodischen Kometen, die bei mehr als einer
Wiederkehr nahe der Sonne beobachtet worden sind, darunter auch
Komet Halley mit e = 0,967 ...
Sobald die exzentrische Anomalie bestimmt ist, folgen die
Bahnkoordinaten des Kometen aus den Gleichungen
xl = r sin v = a sqrtO - e*e) sin E
yl = r cos V = a (cos E - e).
Dabei bezeichnet a die große Halbachse der elliptischen Bahn.
Das Koordinatensystem ist ein rechtwinkliges System, dessen x-
Achse zum Perihel zeigt. Um diese Koordinaten in das dreidimen-
sionale Ekliptikalsystem umzuwandeln, dessen x-Achse zum Früh-
lingspunkt zeigt, werden die oben beschriebenen Vektoren Px, Py,
Pz, Qx, Qy und Qz benutzt (im Programm heißen die Ekliptikal-
koordinaten xed, yed und zed):
xed = xl Px + yl Qx
yed = xl Py + yl Qy'
zed = xl pz + yl Qz.Berechnung der Position eines Kometen 273
o
Abb.117
Definition von Größen, die für die Berechnung der Ephemeriden eines Körpers
auf einer elliptischen Umlaufbahn benötigt werden. Der elliptischen Bahn wird
ein konzentrischer Kreis mit einem Durchmesser umschrieben, der gleich der
großen Achse der Ellipse ist. 0 bezeichnet den Mittelpunkt beider Figuren. Der
Fokus, in dem die Sonne steht, wird mit S und der Ort des Kometen oder Planeten
mit P bezeichnet. Durch Punkt P wird eine Senkrechte zur Hauptachse der Ellipse
gezogen. Diese Senkrechte schneidet den Kreis bei C. Der Winkel E ist die exzen-
trische Anomalie und v die wahre Anomalie.
Diese Koordinaten werden dann durch die folgende Koordina-
tenrotation in äquatoriale Koordinaten umgewandelt (die xeq, yeq
und zeq heißen):
xeq = xed
yeq = yed cos e - zed sin e
zeq = yed sin e + zed cos e.
Die Prozedur Iteration ruft zuerst die Prozedur Kepler auf, um
die Keplersche Gleichung zu lösen, und dann die Prozedur
CalcXYZ, die zunächst die Bahnkoordinaten xl und yl berechnet,
diese dann in heliozentrische Ekliptikalkoordinaten und anschlie-
ßend in heliozentrische Äquatorialkoordinaten umwandelt und die
letzteren an die Prozedur Iteration zurückgibt. ..Schließlich be-
stimmt die Prozedur Iteration die geozentrischen Aquatorialkoor-
dinaten des Kometen und gibt sie an das Hauptprogramm zurück.274 Rendezvous im Weltraum
Jetzt kennen wir die Position des Kometen, bezogen auf die Er-
de. Von der Erde aus gesehen ist dies jedoch nicht die Position, die
man zur Zeit t beobachtet; es ist vielmehr die Position, die man zur
Zeit t plus der Zeit beobachtet, die das Licht braucht, um vom Kome-
ten zu uns zu gelangen. Die Position eines Objekts, das sich schnell
bewegt, wie zum Beispiel ein Komet, kann sich in der Zeit, die das
Licht braucht, um uns zu erreichen, merklich verändern. Deshalb
korrigieren wir die mittlere Anomalie bezüglich der Lichtlaufzeit
und wiederholen die Prozedur Iteration. Als nächstes korrigiert das
Programm die Position des Kometen bezüglich der Präzession.
Das restliche Hauptprogramm berechnet noch die Position des
Kometen in anderen Koordinatensystemen und gibt das Ergebnis aus.
PROGRAM SECTION 9
REMAINING CALCULATIONS
PROCEDURE PrecessElements(JD1, JD2 : Real; VAR ZetaO, Z, Theta :Real);
Fully general equatorial precessional elements, to precess from JOl to
JD2.}
CONST
JDO 2.4l50005E+06; {JD on 1900.0}
Cent 3.652422E+04; {Days in a tropical century}
Zetal 1.11713l9E-02 ; {constants to calculate parameter}
Zetall 6.7680E-06;
Zeta2 1. 464E-06;
Zeta3 8.272E-08;
Z2 3.835E-06; {Constant to calculate z parameter}
Thetal 9. 7189726E-03; {Constants to calculate parameter}
Thetall 4.l35E-06;
Theta2 2.065E-06;
Theta3 2.036E-07;
VAR
T, TO, T2, T3 : Real; {Time variables}
BEGIN {Precession Elements}
TO := (JDl - JDO)/Cent; {Tropical centuries since 1900.0}
T := (JD2 - JDl)/cent; {Tropical centuries since JDl}
T2 := T * T;
T3 := T * T * T;
ZetaO := (Zetal + Zetall * TO) * T + Zeta2 * T2 +Zeta3 * T3;
Z := ZetaO + Z2 * T * T;
Theta := (Thetal - Thetall * TO) * T -Theta2 * T2 - Theta3 * T3
END; {Precession Elements}
PROCEDURE Precession(ZetaO, Z, Theta, RAO, DecO Real;
VAR RAl, Decl : Real);
{General precession of the equinoxes program.}
VARBerechnung der Position eines Kometen 275
CO, so, CR, SR, CT, ST, CR1, SRl Real;
A, B, C, SA, CA : Real;
BEGIN {Precession}
{Required trig functions of known values}
CD := Cos(OecO);
SO := Sin(OecO);
CR := Cos(RAO + ZetaO);
SR := Sin(RAO + ZetaO);
CT := Cos(Theta);
ST := Sin(Theta);
{Precession equations}
A := CO * SR; Cos(Oecl) * Sin(RAl - Z)
B := CT * CO * CR - ST * SO; Cos(Oecl) * Cos(RAl - z)
C := CT * SO + ST * CD * CR; Sin(Oecl)
{Solve for RAl and Oecl}
CRl := Sqrt(l.O - Sqr(C»; {Abs(Cos(Oecl»}
SA :- A / CR1;
CA :a B / CR1;
RAl := Arctg2(SA, CA); (actually: RAl - Z)
IF RAl < 0.0 THEN RAl := RAl + 2.0 * Pi;
SRl := Sin(RA1); (actually Sin(RAl - Z»)
RAl :- RAl + Z; (result: RAl)
SA :- C;
CA := A / SR1;
Oecl :a Arctg2(SA, CA) (result: Oecl)
END; (precession)
FUNCTION SidTime (JO, JH: Real): Real; (time in radians)
Calculates the sidereal time for a given Julian day, JO,
and fraction of a day, JH. )
VAR
Tl, Xl: Real;
BEGIN (SidTime)
Tl .- (JO - JOl900) / 36525.0; (centuries since 1900 Jan 0.5)
Xl .- (18.64606 + 2400.0513 * Tl) / 24.0 + 0.5 + JH;
SidTime :- (Xl - Trunc(Xl» * TwoPi
END; (SidTime)
PROCEDURE SkyCoordinates (RARad, DecRad, SidTime: Real; VAR HourAngle,
Azimuth, Elevation: Real);
Calculate hour angle, azimuth and elevation of a body at a
given sidereal time. Latitude (Lat) and PI are global
variables.)
VAR
SA, CA, X, Y, Z: Real;
BEGIN (SkyCoordinates)
HburAngle := SidTime - RARad;
IF HourAngle < 0 THEN
HourAngle := HourAngle + 2.0 * PI;
X .• -Cos(DecRad) * Sin(HourAngle);
Y := Sin(OecRad) * Cos(Lat) - Cos(DecRad) * Cos(HourAngle) *
Sin(Lat);276 Rendezvous im Weltraum
Z := Sin(DecRad) * Sin(Lat) + Cos(DecRad) * Cos(HOurAngle) *
Cos (Lat) ;
SA := Z;
CA := Sqrt(l.O - Sqr(SA»;
Elevation := Arctg2(SA, CA);
IF Elevation> 4.72 THEN
Elevation := Elevation - 2.0 * PI;
SA := X / CA;
CA := Y / CA;
AZ := Arctg2(SA, CA)
END; {Sky Coordinates}
PROCEDURE Declination (VAR Deg, Min, Sec: Integer);
Convert declinations in the range 270 to 360 degrees to
negative declinations, with the negative sign on the degree
part only. }
BEGIN {Declination}
IF Deg > 90 THEN
BEGIN
Deg Deg -
359;
Min := 59 -
Mini
Sec 60 - Sec
END
END; {Declination}
PROCEDURE DegToDDMMSS (DegRad: Real; VAR Degrees, ArcMin, ArcSec:
Integer-) ;
Convert angular coordinate in radians to degrees:minutes:seconds.}
VAR
X: Real; {temporary variable}
BEGIN {DegToDDMMSS}
DegRad := DegRad * RD;
Degrees := Trunc(DegRad);
X := 60.0 * (DegRad - Degrees);
ArcMin := Trunc(X);
ArcSec := Trunc(60.0 * (X - ArcMin»
END; {DegToDDMMSS}
PROCEDURE HrToHHMMSS (HrRad: Real; VAR Hour, TimeMin, T'imeSec: Integer);
Convert time coordinate in radians to hours:minutes:seconds.}
VAR
X: Real; {temporary variable}
BEGIN {HrToHHMMSS}
HrRad := HrRad * RH;
Hour := Trunc(HrRad};
X = 60.0 * (HrRad - Hour);
TimeMin := Trunc(X);
TimeSec := Trunc(60.0 * (X - TimeMin»
END; {HrToHHMMSS}Berechnung der Position eines Kometen 277
Die graphische Darstellung von Kometenpositionen
Ein Programm, das die berechneten Kometenpositionen in eine
Sternkarte einzeichnet, kann recht eindrucksvoll sein. Eine solche
graphische Darstellung kann den in Frage kommenden Teil des
Himmels mit der richtigen Orientierung bezüglich der geographi-
schen Breite des Beobachterstandortes und der Zeit der Berechnung
zeigen, wobei auch der Horizont und die Himmelsrichtungen ein-
gezeichnet sind. Ein Programm liefert noch sinnvolle Darstellun-
gen, selbst wenn es nur die Örter der rund tausend hellsten Sterne
am ganzen Himmel enthält. Abbildung 118 ist eine graphische
Darstellung der Position von Komet Austin, die ein an der Univer-
sity of Colorado verwendetes Programm gezeichnet hat.
..
..
"
..... - •• '0 •
-
" . \\/" .
..~ .
Local Hori zon View
Chart Center: RA: 23h 49.7. Dec: 31 0 47'
Uni versal Time: 11:12 1990/04/21 Julian Day: 2448002
Local Mean Time: 05:12 AM 1990/04/21 Ep::lCh: 2000
Observing Location: 105 0 15' w
Abb.118
Ein Beispiel für die Ausgabe eines Computerprogramms, das die Positionen von
Kometen zeichnet. Die Abbildung, die von VOYAGER, dem Interactive Desktop
Planetarium TM, berechnet wurde, zeigt Komet Austin am 21. April 1990 (von
Denver, Colorado, aus). Außer dem Kometen sind der Horizont, rechts unten die
Venus und der Mond sowie die Sterne mit unterschiedlichen Symbolen entspre-
chend ihrer Helligkeit eingezeichnet.278 Rendezvous im Weltraum
BASIC PROGRAM
5 DEFDBL A-Z
10 REM *** INPUT NUMERICAL CONSTANTS ***
20 REM *** OB = OBLIQUITY
30 pi = 3.14159265#
32 OB = .40914#
34 RD = 57.2957795#
36 TwoPi = 2# * pi
40 REM *** INPUT ORBITAL ELEMENTS--ANGLES IN RADIANS***
50 REM E-ECCCENTRICITY; Ol=NODE LONGITUDE; 02=PERIHELION LONGITUDE
60 REM IN=INCLINATION; 01=NODE LONGITUDE;02=PERIHELION LONGITUDE
70 REM PD=JULIAN DAY OF PERIHELION; PH=ADDITIONAL DAY FRACTION
80 E = .967276#
82 01-1.01482798#
84 02=1.95211743#
90 IN = 2.83160961#
92 A=17. 941104#
94 P=75.99303#
100 PD = 2446470.5#
102 PH=.45174#
110 GOSUB 6000
120 N = TwoPi / P / 365.2422#: REM MEAN MOTION
121 CLS : LOCATE 1, S: PRINT "THIS PROGRAM CALCULATES INFORMATION"
122 PRINT "OF INTEREST FOR COMET HALLEY FOR ANY"
123 PRINT "LOCATION ON EARTH . THE OPERATION
124 PRINT "IS SELF EXPLANATORY. ": PRINT
125 PRINT "SOME DEFINITIONS": PRINT "X, Y, Z ARE COORDINATES IN EQUATORIAL"
126 PRINT "SYSTEM IN AU. R IS DISTANCE FROM SUN."
127 PRINT "DELTA IS DISTANCE FROM EARTH".": PRINT
128 PRINT "INPUT YOUR LATITUDE IN DECIMAL DEGREES": INPUT" NEGATIVE IF IN
SOUTHERN HEMISPHERE ";LA
129 LA = LA / RD
130 INPUT "DATE OF INTEREST? (MM,DD,YYYt) ";MM,DD,YY:S = 1: GOSUB 5000
140 INPUT "TIME OF INTEREST? (HH,MM) ";HH,M1
150 JH=(HH + MI / 60#) / 24#
160 M=«JD-PD) + (JH - PH» * N
165 GOSUB 7500: REM FIND POSITION OF SUN
170 KY = 0
180 GOSUB 7000: REM SOLVE KEPLER'S EQUATION
190 GOSUB 8000: REM FIND X,Y,Z OF COMET
195 REM SC=SUN-COMET DISTANCE
200 SC -SQR ( XC * XC + YC * YC + ZC * ZC)
210 X = XC + XS:Y = YC + YS:Z = ZC + ZS
220 REM CALCULATE EARTH-COMET DISTANCE
230 REM AC=RIGHT ASCENSION OF COMET; DC=DECLINATION OF COMET
240 EC = SQR (X * X + Y * Y + Z * Z)
245 IF KY - 1 THEN 250
248 DM = .005772# * EC * N:M = M-DM: KY = 1: GOTO 180
250 SA = Z / EC:CA SQR (l#-SA * SA): GOSUB 8500
260 DC = A3:SA = Y / (EC * CA) :CA = X / (EC * CA): GOSUB 8500
270 AC = A3
280 REM TH=ANGULAR SEPARATION SUN-COMET
290 CA = SIN (DC) * SIN (DS) + COS (AS1-AC) * COS (DC) * COS (DS)
300 SA-SQR (l#-CA * CA): GOSUB 8500
310 TH =A3
320 GOSUB 9000: REM FIND SIDEREAL TIME
330 HA= ST-AC: REM HA=HOUR ANGLE
332 IF HA < 0 THEN HA= HA + TwoPiSie können auch lesen
