Allgemeine Relativitätstheorie - Eine anschauliche Einführung in die Grundlagen - Allgemeine Relativitätstheorie
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Allgemeine Relativitätstheorie
Allgemeine Relativitätstheorie
Eine anschauliche Einführung in die GrundlagenAllgemeine Relativitätstheorie
Wegelemente
euklidischer Raum: Minkowski-Raum:
y ct
2 2 2 ds
ds ds =dx dy ds 2=c 2 dt 2−dx 2
dy c dt
dx
invariant bei Drehungen invariant bei Lorentz-
x dx x
Transformationen
3-dimensional: 4-dimensional:
2 2 2 2 ds 2=c 2 dt 2 −dx 2 −dy 2 −dz 2
ds =dx dy dz
1 0 0 0 c dt
1 0 0 dx
2 2 0 −1 0 0 dx
ds = dx dy dz 0 1 0 dy ds = c dt dx dy dz
0 0 −1 0 dy
0 0 1 dz
0 0 0 −1 dz
ds 2 =gab dx a dx b
ds 2= dx dx
Euklidische Metrik Minkowski-MetrikAllgemeine Relativitätstheorie
Beschleunigte Bezugssysteme
Beispiel: rotierendes Bezugssystem
y' y
x' x=x ' cos t ' −y ' sint '
y =x ' sint ' y ' cost '
x z=z '
ωt
t=t '
Wegelement im rotierenden System:
ds 2= c 2−2 x ' 2 y ' 2 dt ' 2 2 y ' dx ' dt ' −2 x ' dy ' dt ' −dx ' 2 −dy ' 2 −dz ' 2
In beschleunigten Bezugssystemen ist das Wegelement von komplizierterer Form
als in einem Inertialsystem.
Die Metrikkoeffizienten sind im allgemeinen Funktionen der Koordinaten:
ds2 = gab(x,y,z,t) dxadxbAllgemeine Relativitätstheorie Masse: experimenteller Befund: schwere Masse und träge Masse sind gleich Inertialsystem: Bezugssystem, in dem das 1. Newton'sche Gesetz (Trägheitsprinzip) gilt. Beobachtungen in Raumschiffen und Raumstationen zeigen: In einem Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme.
Allgemeine Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Die Vorgänge in beschleunigten Bezugssystemen und in Gravitationsfeldern sind einander äquivalent. Durch Messungen innerhalb eines Labors kann man nicht unterscheiden, ob sich dieses in einem Gravitationsfeld befindet oder aus einer anderen Ursache konstant beschleunigt wird. Gleichwertige Formulierung: In Lokalen Inertialsystemen („Satellitenlabor“) gelten die bekannten Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie ohne Gravitation.
Allgemeine Relativitätstheorie
Allgemeine Relativitätstheorie
Linienelement im Gravitationsfeld
ohne Gravitation/Beschleunigung: mit Gravitation/Beschleunigung:
flache Raumzeit, gekrümmte Raumzeit,
Minkowski-Metrik kompliziertere Metrik
2
ds 2=g x dx dx
ds = dx dx
Analogie:
ebene Fläche gekrümmte Fläche
v=2 z.B. Kugelfläche
z.B. Ebene ds
v=1
im Raum r dθ
v=0
s
dθ
θ r
r
u=0 φ dφ
u=1
x =u r v
s r sin(θ) dφ
u=2 r sin(θ)
2
ds =du dv
2 2
ds 2 =r 2 d 2r 2 sin2 d 2
2
ds = du dv
1 0 du
0 1 dv 2
ds = d d
r2
2 0
2
d
0 r sin d Allgemeine Relativitätstheorie
Feldgleichungen
Newton: Einstein:
Grundsatz: Grundsatz:
● Ursache der Gravitation ~ Masse ● Ursache der Gravitation ~ Energie- und
Impulsfluss
● beschrieben durch Potential ● beschrieben durch Metrikkoeffizienten
● Kraft ~ Änderung des Potentials ● Gravitation entspricht Krümmung
der Raumzeit
lokale Formulierung:: lokale Formulierung::
● Quellstärke der Gravitation ● Krümmung
= Quellstärke der Potentialänderung = Änderung der Metrikkoeffizienten
~ Dichte ~ Energie- und Impulsfluss
8G
r =4 G⋅ r G =− 4
⋅T
cAllgemeine Relativitätstheorie
Lineare Näherung in schwachen Feldern
2 2
ds =c dt 1
2
2
c
2
− d
x
2
1 −
2
c
2
GM
r =−
r
Newton'sches Gravitationspotential
2
Oberfläche von M / kg r / km 2 | | /c
24 6 −9
Erde 5,97⋅10 6,37⋅10 1,4⋅10
30 5 −6
Sonne 1,99⋅10 6,96⋅10 4,2⋅10
30 4 −4
Weißer Zwerg 1,99⋅10 10 3,0⋅10
30 −1
Neutronenstern 1,99⋅10 10 3,0⋅10Allgemeine Relativitätstheorie
Verhalten von Uhren
z.B. Sonne
ruhende Uhr ruhende Uhr
RS
∞
ds 2=c 2 d 2
2 2 2
ds =c dt 1
2
c
2
c 2 d 2 =c 2 d t 2 1
d
2
c2
dt =
d
2
c2
1
dt≈
1 2
c
dt≈d ⋅ 1− 2 d
c
In der Umgebung schwerer Massen ist der Gang von Uhren im Vergleich zu einer
im Unendlichen ruhenden Uhr um den Faktor (1 – φ/c2) verlangsamt.Allgemeine Relativitätstheorie
Verhalten von Maßstäben
z.B. Sonne
ruhender Maßstab ruhender Maßstab
RS
∞
2
ds =d
2 2 2
ds =d x 1−
2
c
2
d 2 =d x 2 1−
d
2
c2
dx =
d
2
c2
1−
dx≈
1− 2
c
dx≈d ⋅ 1 2 d
c
Maßstäbe, die von ∞ in die Umgebung schwerer Massen gebracht werden, schrumpfen im
Vergleich zu den bei ∞ befindlichen Maßstäben um den Faktor (1 + φ/c2).Allgemeine Relativitätstheorie
Gravitationsrotverschiebung
Beispiel: Von der Oberfläche eines Sterns (A) wird Licht der Frequenz fA ausgesandt.
Am Ort B wird dieses Licht mit einer Frequenz fB empfangen.
f A−f B B−A r B − r A
Voraussage der ART: = =
fA A c2
B A
Rotverschiebung
Bestätigung durch Messungen an der Sonne und an QuasarenAllgemeine Relativitätstheorie
Gravitationsrotverschiebung (2)
Erste terrestrische Messung: Pound/Rebka/Snider (1962/65)
homogenes Gravitationsfeld:
y = g y
h − 0 = g h
h =22,5 m
f A−f B g h 9,81m/s2⋅22,5m −15
= 2= =2,45⋅10
fA c 3⋅108 m/s
wurde experimentell bestätigtAllgemeine Relativitätstheorie
Lichtablenkung
Voraussage der ART: Lichtstrahlen erfahren im Gravitationsfeld eine Ablenkung.
Erste Beobachtungen: Lichtstrahlen von Sternen, die den Rand der Sonne streifen
(sichtbar bei Sonnenfinsternissen)
vorausgesagter Ablenkungswinkel: =1,75' ' experimentell bestätigt
weitere experimentelle Bestätigungen durch Messungen an QuasarenAllgemeine Relativitätstheorie
Periheldrehung
Die Newton'sche Gravitationstheorie sagt für die Bahnkurven von Planeten Ellipsen voraus.
In der ART ergibt sich eine kleine Abweichung von der geschlossenen Ellipsenbahn,
die als Drehung der Ellipse beschrieben werden kann.
Experimentell wird sie als Winkeländerung ∆ϕ des sonnennächsten Bahnpunkts, des
Perihels, beobachtet.
Beispiel Merkur:
Die ART ergibt ∆ϕ = 43'' pro Erdjahrhundert,
in Übereinstimmung mit experimentellen Daten.Allgemeine Relativitätstheorie
Radarechoverzögerung
Ein von der Erde ausgesandtes Radarsignal kann von einem anderen Planeten reflektiert
und auf der Erde wieder empfangen werden.
Passiert der Radarstrahl dabei das Gravitationsfeld der Sonne, so trifft das Echo zeitlich
verzögert ein.
Diese Änderung der Laufzeit kann experimentell beobachtet werden.
Beispiel: Erde - Mars
Messung:
ART:
t=2⋅
2⋅G⋅M S
c 3
⋅ln
aE⋅aM
RS2
=220 sAllgemeine Relativitätstheorie
Wo wird die ART benötigt?
● Korrekturen/Erweiterungen der Newton'schen Gravitationstheorie
● Erklärung von Gravitationslinsen
● Voraussage von Gravitationswellen
● Theorie des Sternaufbaus und der Sternentwicklung
● Beschreibung von Schwarzen Löchern / Quasaren
● Kosmologie: Aufstellen von Weltmodellen, welche die zeitliche Entwicklung der
Materieverteilung und des Gravitationsfeldes des Kosmos beschreibenSie können auch lesen
