Gauß und Riemann die Vordenker Einsteins - Max Camenzind Senioren Uni Würzburg 2015

Gauß und Riemann
die Vordenker Einsteins

      Max Camenzind
       Senioren Uni
      Würzburg 2015

Hermann Minkowski
       Mathematiker 1864 – 1909
       war Einsteins Lehrer ETH
         1907 nach Göttingen

       Zur SR: »Ach, der Einstein?
       Der schwänzte doch immer die Vorlesungen
1908   – dem hätte ich das gar nicht zugetraut.«
        Einstein: »überflüssige Gelehrsamkeit«

Jeder Raumpunkt trägt eine Uhr
Auch der Mensch ist 4-dimensional

Hermann
 Minkowski
   prägte 1908 den
Begriff RaumZeit und
    erklärte damit
  mathematisch die
 Spezielle Relativität
Einsteins. Raum und
 Zeit bilden eine vier-
dimensionale Einheit,
   eine sog. flache
pseudo-Riemannsche
 Mannigfaltigkeit. In
dieser Fläche werden
wie in 2 Dimensionen
   Abstände durch
  Metrik gemessen.

Hermann Minkowski erklärte 1908
    die Spezielle Relativität
 Am 21. September 1908 sprach der spröde
 wirkende Mathematiker in einem Vortrag vor der
 Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte
 in Köln über die drei Jahre zuvor von Einstein
 formulierte Spezielle Relativitätstheorie. In seinem
 Vortrag sagte er die folgenden, pathetischen und
 oft zitierten Worte, die in ihrer Tragweite aber lange
 nicht ganz verstanden wurden:

 „Die Tendenz ist eine radikale. Von Stund’ an
 sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu
 Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union
 der beiden soll Selbstständigkeit bewahren.“

Minkowski Linienelement

Ereignis:
(ct, x, y, z)

RaumZeit
= Menge
 aller
 Ereignisse

Ohne Gravitation  Welt flach
  Minkowski 1908  RaumZeit = Welt
Abstände ds in der RaumZeit = {(ct,x,y,z)}
              t : Eigenzeit

   ds  c dt  c dt  dx  dy  dz
       2       2       2       2   2       2       2       2

               ds² = hmn dxµ dxn

 ds  c dt  dr  r d  r sin d
   2       2       2       2       2   2       2       2   2

Kausale Struktur der RaumZeit

              Zeitartig   Lichtartig, Null

                          Raumartig

                                3-Raum
 In jedem Ereignis
 ist ein Lichtkegel
 definiert: ds² = 0

ds² ist invariant unter
  Lorentz-Transformationen

 ds  c dt  c dt  dx  dy  dz
    2     2    2      2   2       2       2   2

  ds '²  c ² dt '²  dx'²  dy '²  dz '²
Verwende dazu die Differentiale aus:

Kommunikation mit Raumfahrzeug

           Signal

                    k: 4er Wellenvektor
                    kµ = (w/c, kx,ky,kz)
                    k = (2p/l) n
                    n: Einheitsvektor
           Signal   u: 4er Geschwind.

Eigenzeit t längs einer Weltlinie

Was bedeutet: die RaumZeit ist
  “gekrümmt” oder “flach” ?

Gleichseitiges Dreieck im flachen Raum

Gleichseitiges Dreieck auf der Sphäre

Was ist Krümmung anschaulich?

  Die Ebene (links) ist eine flache Fläche, das Paraboloid
  (rechts) ist gekrümmt. Diese Fläche entsteht durch
  Einbettung in den drei-dimensionalen Raum.
  Die Fläche ist jedoch ein “selbständiges Wesen” (Gauß).

Flächen in der Architektur

Flächen in der Architektur

Flächen in der Architektur

Flächen in der Computergrafik

Flächen in der Computergrafik

Geometrie der Flächen nach Gauß

     2-Sphäre      Riemannsche
                   Fläche

Theorie der 2D Flächen geht auf
  Carl Friedrich Gauß zurück

 * 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar
 1855 in Göttingen, lebte seit 1807 in Göttingen.

Doku: Carl Friedrich Gauß

Gauß berechnete die Bahn von Ceres

Wie addiere ich alle Zahlen von 1 … 100?
  Am 30. April 1777 in Braunschweig als Sohn eines
  Gassenschlächters geboren, verblüffte Carl Friedrich Gauss
  – der von sich selbst sagte, er habe eher rechnen als
  sprechen gelernt – schon als Kind seine Lehrer. In der mit
  100 Schülern überfüllten Schulstube erteilte der Lehrer die
  Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Lange vor
  seinen Mitschülern hatte der kleine Carl Friedrich das
  richtige Ergebnis parat. Anhand von 50 Zahlenpaaren mit
  der Summe von 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter)
  löste er die Aufgabe mit 50 x 101 = 5050 als richtiges
  Ergebnis. Gauss’ herausragendes Talent wurde durch den
  Braunschweiger Herzog mit Stipendien für die höhere
  Schule, das Studium in Göttingen von 1795 - 1798 und die
  Promotion in Helmstedt gefördert.

Gauß lebte zurückgezogen
1807, im Alter von 30 Jahren, wurde er – bereits mit hohem
wissenschaftlichen Renommee – als Professor für
Astronomie nach Göttingen berufen und zog mit seiner Frau
Johanna und Sohn Joseph in die Groner Straße. Nach der
Geburt zweier weiterer Kinder starb seine Frau schon 1809;
für Gauss war dies ein schwerer Verlust. Mit Minna
Waldeck, Tochter eines Göttinger Professors, fand er aber
schon bald eine neue Mutter für seine Kinder und
Lebensgefährtin, die ihm drei weitere Kinder geschenkt hat.

Gauss pflegte das gesellschaftliche Leben in der kleinen
Universitätsstadt kaum. Er erfreute sich der Natur auf seinen
vielen Spaziergängen und nutzte das reichhaltige Angebot
an Lesestoff in der Bibliothek und dem Zeitschriftenlesesaal
der Universität.

Gauß bleibt in Göttingen, lehnt Berlin ab
 Es war eine Zeit der politischen Umbrüche und
 wirtschaftlichen Not, aber auch eine Zeit, in der die
 Wissenschaften große Faszination ausübten. Universitäten
 wurden aufgebaut, internationaler fachlicher Austausch
 spielte eine große Rolle, Astronomie wurde zum
 Gesellschaftsthema. Wilhelm von Humboldt bemühte sich,
 Gauß nach Berlin zu holen. Gauß entschied sich jedoch – wie
 bei allen Abwerbeversuchen – in Göttingen zu bleiben. Der
 Bau einer neuen Sternwarte vor den Toren der Stadt schritt
 voran. Von 1816 bis zu seinem Tode diente sie Gauß als
 Wohn- und Arbeitsstätte. Dass mit einem Wohnsitz
 außerhalb des Stadtwalles ganz praktische Vorteile
 hygienischer Art verbunden waren, verdeutlicht seine
 Feststellung während einer Cholera-Epidemie: „Meine
 Sternwarte ist wieder der gesündeste Punkt von Göttingen.“

Gauß und die Mathematik
Seine überragenden wissenschaftlichen Leistungen waren
schon seinen Zeitgenossen bewusst. Mit 18 Jahren
entwickelte er die Grundlagen der modernen
Ausgleichungsrechnung und der mathematischen Statistik
(Methode der kleinsten Quadrate), mit der er 1800 die
Wiederentdeckung des ersten Asteroiden Ceres ermöglichte.

Auf Gauß gehen die nichteuklidische Geometrie, zahlreiche
mathematische Funktionen, Integralsätze, die
Normalverteilung, erste Lösungen für elliptische Integrale
und die gaußsche Osterformel zurück. 1807 wurde er zum
Universitätsprofessor und Sternwartendirektor in Göttingen
berufen und später auch mit der Landesvermessung des
Königreichs Hannover betraut. Neben der Zahlen- und der
Potentialtheorie erforschte er u. a. das Erdmagnetfeld.

Gauß und die Deutsche Mark

Gedenktafel auf dem Brocken
Mit diesem Dreieck versuchte Gauß die
  Krümmung der Erde zu bestimmen

Vermessungsschiff GAUSS 1980

Das Schiff wurde am 27. November 2006 nach 468 Einsätzen und über 707.000
gefahrenen Seemeilen aufgrund der aus Kostengründen notwendigen
Verkleinerung der Flotte des BSH außer Dienst gestellt. Die Betriebskosten des
Schiffes betrugen rund 3,3 Millionen Euro jährlich.

Mondkrater Gauß / Durchm: 171 km

Die Geometrie der 2-Sphäre

                  Eine Sphäre (bzw.
                  Kugeloberfläche)
                  S² mit dem
                  Mittelpunkt O und
                  dem Radius R ist
                  die Menge aller
                  Punkte P des
                  Raumes, die vom
                  Punkt O den
                  Abstand R haben.

Sphärische Dreiecke

Ein sphärisches Dreieck
ist in der sphärischen
Geometrie (Kugel-
geometrie) ein Teil
einer Kugeloberfläche,
der von drei Groß-
kreisbögen begrenzt
wird. Als Ecken des
Kugeldreiecks werden
die Punkte bezeichnet,
in denen je zwei dieser
Großkreise einander
schneiden.
 Winkelsumme > 180
Grad.

Erdkugel: Länge und Breite

2-Sphäre – Winkelsumme > 180°
Parallelen schneiden sich in einem Punkt
   Lokal ist die 2-Sphäre Euklidisch!

Wie messe ich den Abstand
zwischen zwei Punkten auf Sphäre

Messen auf der Kugelfläche S²
      Sphäre mit Radius r
                            Winkel df (Rektaszension)
rd
                             Großkreise Winkel 
                                           (Deklination)
                               r sin() df
                               Nach Pythagoras:

                               ds² = r² d² + r²sin² df²

                               ds² = g11d² + g22df²

                               Metrische Funktionen:
                                 g11 = r² , g22 = r²sin²

Tangenten und Normale an Fläche
                    Fläche:
                v

            u
                              Gitter (u,v)

        u            v

Kurven auf einer Fläche

Beispiele von Flächen

Beispiel: Die Kleinsche Flasche
      nicht orientierbar

1. Fundamentalform der Sphäre
                                   F  ,     x ,  , y  ,  , z  ,  
        z

                                   r sin  cos  , r sin  sin  , r cos  
                       y
                              X   r cos cos  , r cos sin  ,r sin  
         

x
                              X    r sin  sin  , r sin  cos  ,0

    E  X   X   r 2 cos 2  cos 2   r 2 cos 2  sin 2   r 2 sin 2 
        r 2 cos 2   r 2 sin 2   r 2
    F  X   X   r 2 sin  cos sin  cos   r 2 sin  cos sin  cos 
       0
    G  X   X   r 2 sin 2  sin 2   r 2 sin 2  cos 2 
        r 2 sin 2 

Gauß: Erste Fundamentalform
 = Linienelement einer Fläche
Allgemein nach Gauß:

Moderne Sprechweise:
Metrik gij (i,j=1,2)
oder Linienelement

Hauptkrümmungen

Hauptkrümmungen k1 & k2

Die Gauß`sche Krümmung K

Konstruktion der Normalen
3 Vektoren bilden ein rechtshändiges System

Normale N                                    X  X 
  der Sphäre                          N
                                               X  X 

                     i                j             k 
                                                           
X   X    r cos cos  r cos sin   r sin  
              r sin  sin  r sin  cos                  
                                                    0      
                     
           r 2 sin  sin  cos  i  sin  sin   j  cos k 

  N  sin  cos  , sin  sin  , cos 

Gauß-Krümmung K der 2-Sphäre

     X    r sin  cos  ,r sin  sin  ,r cos  
     X    r cos  sin  , r cos  cos  ,0
     X    r sin  cos  ,r sin  sin  ,0
e  N  X   r sin 2  cos 2   r sin 2  sin 2   r cos 2   r
f  N  X   r sin  cos  sin  cos   r sin  cos  sin  cos   0
g  N  X   r sin 2  cos 2   r sin 2  sin 2   r sin 2 

                    eg  f 2   r 2 sin 2  1
                K             4 2  2
                    EG  F  2
                               r sin  r

Formeln nach Gauß

                             E du   2 Fdudv  G dv 
                        S
       Bogenlänge  
                                    2                  2
                     0

            Fläche   EG  F dudv     2
                         

                    eg  f      2
 Gauss Krümmung 
                    EG  F 2

                    1 eG  2 fF  gE
Mittlere Krümmung 
                    2   EG  F 2

Gauß 1827: Theorema Egregium
Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 das Königreich
Hannover vermessen hatte, vermutete er, dass sich die
Krümmung der Erdoberfläche allein durch die Längen- und
Winkelmessung bestimmen lässt. Tatsächlich brauchte Gauß
noch einige Zeit, um diese Aussage zu beweisen:

Die Gaußsche Krümmung einer Fläche
F ist eine Größe der inneren Geometrie
dieser Fläche F. Sie hängt nur von der
Fundamentalform und Ableitungen ab.
Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa superficies curvas
(Allgemeine Untersuchungen über gekrümmte Flächen; 8. Oktober 1827),
Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 6
(classis mathematicae), 1828, S. 99–146

2-Sphäre hat positive Krümmung

                      K = 1/r²

2-Sattel hat negative Krümmung

                      K = -1/r²

Wie groß ist die Krümmung ?

Salatschüssel und Sattelfläche

       K>0

                 K

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
= n-dim Fläche, die allein durch ein
   Linienelement ds² definiert ist.
 Eine Punktmenge, lokal Euklidisch,
 auf der man Abstände messen kann.
        Begriff der Geodäten
Beispiel: 3-Sphäre S³

Hauptkrümmung & Gauß-Krümmung

Flachländler & Krümmung

Krümmung
ist ein lokales
   Konzept

Geodäte auf einer Fläche
= kürzeste Verbindung 2 Punkte

Kindheit
         Bernhard Riemann
         wurde 17. September 1826
         in Breselenz bei
         Dannenberg geboren.
         Sein Vater war dort Pastor.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006

Studium und Mathematik
          für Promotion und Habilitation
       kehrt Riemann 1849 zu Gauß zurück

Carl Friedrich Gauß               Bernhard Riemann
„Fürst der Mathematik“, 1777-1855    undatiert, um 1850

Studium und Mathematik

       Berlin                      1847-49

• Steiner
• Jacobi
• Dirichlet

    dieser folgt 1855 Gauß nach,
  ihm folgt 1859 Riemann auf den
       Lehrstuhl in Göttingen

Gauss schreibt das Gutachten für Riemanns Dissertation
          Die von Herrn Riemann eingereichte Schrift legt ein
          bündiges Zeugniß ab von den gründlichen und tief
          eindringenden Studien des Verf. in demjenigen Gebiete,
          welchem der darin behandelte Gegenstand angehört; von
          einem strebsamen ächt mathematischen
          Forschungsgeiste, und von einer rühmlichen
          productiven Selbstthätigkeit. Der Vortrag ist
          umsichtig und concis, theilweise selbst elegant: der
          größte Theil der Leser möchte indeß wohl in einigen
          Theilen noch eine größere Durchsichtigkeit der
          Anordnung wünschen. Das Ganze ist eine gediegene
          werthvolle Arbeit, das Maaß der Anforderungen,
          welche man gewöhnlich an Probeschriften zur
          Erlangung der Doctorwürde stellt, nicht bloß
          erfüllend, sondern weit überragend.
          Das Examen in der Mathematik werde ich übernehmen.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006

Weg zur Mannigfaltigkeit
       Wissenschaftliche Arbeiten bei Gauß
Dissertation 1851
„Grundlagen für eine allgemeine Theorie der
Funktionen einer veränderlichen complexen Größe“

Habilitationsschrift 1853
„Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch
eine trigonometrische Reihe“

                        ein halbes Jahr vor Gauß‘ Tod
Habilitationsvortrag 1854
“Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde
liegen”.  Erfindung der Riemannschen
Mannigfaltigkeiten.  absolut genial!
 Erst 1876 in den gesammelten Werken publiziert.

Veröffentlicht hat er seine Ideen zur
„riemannschen Geometrie“, d. h.
Differentialgeometrie in beliebig vielen
Dimensionen mit lokal definierter Metrik,
nur in seinem Habilitationsvortrag 1854,
den er noch in Gegenwart des tief
beeindruckten Carl Friedrich Gauß hielt.
Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen
und die „Hypothesen, welche der
Geometrie zugrunde liegen“ nur als letz-
tes aufgeführt. Gauß wählte (was eigent-
lich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In
dem Vortrag musste sich Riemann
gezwungenermaßen für einen breiteren
Kreis verständlich ausdrücken, und es
kommen deshalb nur wenige Formeln
darin vor. In einer Pariser Preisschrift
(publiziert erst 1876 in den Gesammelten
Werken) deutet Riemann die konkretere
Ausführung seiner Vorstellungen an (u. a.
Christoffel-Symbole, Krümmungstensor).

Mannigfaltigkeit: Karten & Atlas
                             Eine Abbildung
                             einer Umgebung von
                             nach     heißt eine Karte (chart).

                             Ein Atlas ist eine Sammlung
                             von Karten.

     Karte

Torus ist lokal Euklidisch

Karten & Atlas

Ein Atlas ist eine
Sammlung von Karten,
die sich überschneiden.

Erdoberfläche durch Atlas definiert

Fläche in E³ ist Mannigfaltigkeit

Kleinsche Flasche
 nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit

Kugel S²: Stereografische Projektion
Wie kann ich Kugel ohne Einbettung definieren

Höherdimensionale Mannigfaltigkeit

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
= n-dim Fläche, die allein durch ein
   Linienelement ds² definiert ist.
 Eine Punktmenge, lokal Euklidisch,
 auf der man Abstände messen kann.
        Begriff der Geodäten
Beispiel: 3-Sphäre

Das Universum ist eine 4D Fläche

Konstruktion Tangenten-Ebene
durch Tangenten an alle möglichen Kurven

Kurve in der
Mannigfaltigkeit

Transport von Vektoren
    längs Kurven  Parallelverschiebung

Transport
von Vektoren
soll metrisch
sein
 Winkel
zwischen 2
Vektoren
ändert sich
nicht!
 Sonst hätte
man Torsion.

Affine Struktur der Kugel

Tangentenebenen in verschiedenen Punkten haben a priori
nichts miteinander zu tun.
 Zur Deckung gebracht durch Rotation  2 Rotationsmatrizen A
 Dies definiert affinen Zusammenhang: V(x+n) = V(x) + AnV(x)

Affine Struktur Mannigfaltigkeit
         e2             e2
              g`(t)           Kurve g(t) in M
                      t+dt
     t
          e1          e1

  Basis-Vektoren ei in TM werden rotiert:
  ei(g(t+dt)) = ei(g(t)) +

    [ w1i(g`(t))e1 + … + wni(g`(t))en] dt

   n Rotationsmatrizen: wki(em) = Gkmi
   i,k,m = 1, … ,n; n = Dim (M)

Hauptsatz der Riemann Geometrie
 Es existiert genau ein Zusammenhang (affine Struktur) auf
 einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, der längentreu und
 winkeltreu (keine Torsion) ist – der Levi-Civita Zusammen-
 hang. Er ist durch die Christoffel-Symbole gegeben, die aus
 der Geodätengleichung folgen.

 Die Aussage, dass ein solcher Zusammenhang existiert und
 auch eindeutig ist, wird in der Literatur häufig Hauptsatz
 der Riemannschen Geometrie genannt. Der Levi-Civita-
 Zusammenhang ist nämlich ein wesentliches Hilfsmittel
 zum Aufbau der Riemannschen Krümmungstheorie. Denn
 der Krümmungstensor wird mit Hilfe eines Zusammen-
 hangs definiert, daher bietet es sich an, in der Riemann-
 schen Geometrie den eindeutig ausgezeichneten Levi-
 Civita-Zusammenhang für die Definition des Riemannschen
 Krümmungstensors zu verwenden.

Effekt der
 Krümmung
auf Transport
von Vektoren
  auf Kugel

  Vektoren
werden gedreht
 Winkel a Maß
 der Krümmung

Riemann-Krümmung in 3D

                   V       E2
              E1                TV

  Riemann:  3 Rotationsmatrizen
     a    a        b   c        d
   TV = R   bcd
                  V [E1 x E2 ]
                         ab, cd = 12, 13, 23
              Einstein Summationskonvention

Riemann- & Gauß-Krümmung

 Wir betrachten in x 2 nicht-parallele
 Vektoren S und T. Diese definieren einen
 2D Fläche auf. Dann ergibt sich folgende
 Beziehung zwischen Riemann-Tensor
 und Gauß-Krümmung K(x)

  Rabcd (x) SaTbScTd = K(x) Area²(S,T)
        mit Einstein Summation a,b,c,d=1,…,n

Zusammenfassung
• Gauß entwickelte die Theorie der Flächen in zwei
  Dimensionen.
•  Er fand, dass die Krümmung einer Fläche nur von der
  ersten Fundamentalform und ihren Ableitungen
  abhängt  Theorema Egregium.
• Riemann verallgemeinerte das Konzept der Flächen auf
  beliebige Dimensionen, zunächst als Einbettung, später
  als selbständige Wesen ohne Einbettung. Eine
  Mannigfaltigkeit ist sozusagen allein durch die erste
  Fundamentalform ds² bestimmt, die wir heute
  metrisches Element oder einfach Metrik nennen.
• Zusätzlich beschreibt affine Struktur Transport Vektoren
•  Die Krümmung (Riemann Tensor) lässt sich eindeutig
  aus den Ableitungen dieser Metrik berechnen.