Tabellenbuch Ingenieurwissenschaften - Silvia Ferdinand Martin Kaulich - Europa-Lehrmittel

Silvia Ferdinand   • Martin Kaulich • Falko Wieneke

Tabellenbuch
Ingenieurwissenschaften

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 13668

Autoren:
Silvia Ferdinand Oberstudienrätin Bottrop
Martin Kaulich Studiendirektor Soest
Falko Wieneke Dipl.-Ing. Studiendirektor Essen

Lektorat:
Falko Wieneke, Essen

Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern

Maßgebend für die Anwendung der Normen und der anderen Regelwerke sind deren neus­ten
Ausgaben. Sie können durch die Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, bezogen
werden.

1. Auflage 2019, korrigierter Nachdruck 2020

Druck 5 4 3 2

Alle Drucke dieser Auflage sind im Unterricht nebeneinander einsetzbar, da sie bis auf korri-
gierte Druckfehler und kleine Normänderungen unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-1366-8

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
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© 2019 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
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 © Fluke Deutschland GmbH, Glottertal
Druck: Lensing Druck GmbH & Co. KG, 44149 Dortmund, www.lensingdruck.de

3

Vorwort
 1 Mathematisch
Zielgruppen des Tabellenbuchs physikalische
 G
• Lernende des Beruflichen Gymnasiums mit dem Schwerpunkt Ingeni- Grundlagen
 eurwissenschaften
• Lernende der Höheren Berufsfachschule mit dem Schwerpunkt Ingeni­
 eurtechnik
• Lernende der technischen Fachschule mit ingenieurwissenschaftlichen
 2 Festigkeits-
 Grundlagenfächern lehre F
• Studenten im ingenieurwissenschaftlichen bzw. ingenieurtechnischem
 Studium

Inhalt
Das Tabellenbuch Ingenieurwissenschaften beinhaltet die technischen
Bereiche Bautechnik, Maschinenbautechnik und Elektrotechnik. Es ver- 3 Technische
 Kommunikation K
knüpft die drei Bereiche und bietet die Möglichkeit, übergreifende Aufga-
benstellungen zu bearbeiten. Hierdurch erhalten Lernende einen Einblick
in verschiedene Bereiche der Technik und erkennen realitätsnah die
Zusammenhänge zwischen den einzelnen Disziplinen.
Das Tabellenbuch findet insbesondere im Leistungskurs Ingenieurwis-
senschaften des Beruflichen Gymnasiums und in den technischen
Fächern des Schwerpunkts Inge­nieurtechnik der Höheren Berufsfach­ 4 Werkstoffe W
schule seinen Einsatz.
Der Inhalt des Buches ist in acht Hauptkapitel gegliedert, die in der rech-
ten Spalte angegeben sind. Es ist auf die Bildungspläne der Zielgruppen
abgestimmt.
Grundlage des Tabellenbuchs Ingenieurwissenschaften sind die Tabel-
lenbücher Bautechnik, Metall und Elektrotechnik des Verlages. Die Auto- 5 Bautechnik B
ren dieses Buches bedanken sich für die Möglichkeit, Seiten der jeweili-
gen Tabellen­bücher zu entnehmen und für das vorliegende Buch anzu-
passen.
Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Buches wird durch Inhaltsver-
zeichnisse vor den Hauptkapiteln ergänzt.
Das Sachwortverzeichnis am Schluss des Buches enthält die wichtigsten
 6 Maschinenbau-
 technik
 M
Begriffe zum schnellen Auffinden der Formeln und Tabellen.
Die Autoren und der Verlag sind allen Nutzern des Tabellenbuchs Ingeni-
eurwissenschaften für kritische Hinweise und Verbesserungsvorschläge
an lektorat@europa-lehrmittel.de dankbar.
Sommer 2019 Autoren und Verlag
 7 Elektrotechnik E

 8 Arbeitsschutz A

4

 Inhaltsverzeichnis
G 1 Mathematisch-physikalische Grundlagen 9

 1.1 Einheiten und Formeln 1.5 Mechanik
 Einheiten im Messwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Masse, Dichte, Wichte, Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . 29
 Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . 13 Überlagerung (Superposition) von zwei oder
 Formeln, Gleichungen, Diagramme . . . . . . . . . . 14 mehreren Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
 Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Gewichtskraft, Gleichgewichtsbedingungen
 Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 an der Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
 Rechnen mit Größen, Prozentrechnung, Hooke’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
F Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
 Anziehungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
 1.2 Winkel, Dreiecke und Längen Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 Winkelarten, Strahlensatz, Winkel im Dreieck,
 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Bewegung
 Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
 Teilung von Längen, Bogenlänge, zusammen- Kreisförmige Bewegung, Kräfte und
 gesetzte Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 Gestreckte Länge, Federdrahtlänge, Rohlänge 21 Arbeit, Leistung, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
K
 1.3 Flächen, Oberflächen und Volumen 1.7 Wirkungsgrad, Wärmetechnik
 Eckige Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
 Dreieck, Vieleck, Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Auswirkung bei Temperaturänderung . . . . . . . . 39
 Kreisausschnitt, Kreisabschnitt, Kreisring, Wärme beim Schmelzen, Verdampfen,
 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Verbrennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
 Würfel, Vierkantprisma, Zylinder, Hohl­­
 zylinder, Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.8 Druck in Flüssigkeiten und Gasen
 Pyramidenstumpf, Kegel, Kegelstumpf, Kugel, Druckarten, hydraulische Kraftübersetzung . . . 41
W Kugelabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Druckübersetzung, Durchfluss­
 geschwindigkeit, Zustandsänderung . . . . . . . 42
 1.4 Masse und Schwerpunkte
 Volumen zusammengesetzter Körper,
 Berechnung der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 Linien- und Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . 28

 2 Festigkeitslehre 43
B
 2.1 Statik 2.3 Festigkeitslehre in der Maschinenbautechnik
 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Beanspruchung auf Zug, Druck, Flächen-
 Zustandslinien, Beanspruchungsarten, pressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
 ­Grenzspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Beanspruchung auf Abscherung, Torsion,
 Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
 Flächen- und Widerstandsmomente . . . . . . . . . 47 Knickung, zusammengesetzte Beanspruchung 65
 Beispiel zur Biegebelastung, Belastungsfälle . . 66
M 2.2 Festigkeitslehre in der Bautechnik Sicherheitskonzept bei statischer Belastung . . 67
 Sicherheitskonzept in der Bautechnik . . . . . . . . 48 Sicherheitskonzept bei dynamischer
 Spannungen und Festigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 50 Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
 Formänderung, Steifigkeit und Stabilität . . . . . 52 Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
 Lastannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Festigkeitsberechnungen (Beispiele) . . . . . . . . 70

 3 Technische Kommunikation  71
E 3.1 Koordinatensysteme Linien in Zeichnungen der Maschinentechnik . 77
 Kartesisches Koordinatensystem, Schraffuren in der Bautechnik . . . . . . . . . . . . . . . 78
 ­Polarkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Schnittdarstellungen im Maschinenbau . . . . . . 80
 Projektionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
 3.2 Darstellungen in Zeichnungen
 Schriftzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Technische Kommunikation in der Bautechnik
 Maßstäbe in Bauzeichnungen, Bemaßung in Bauzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . 84
 Maßstäbe und Radien im Maschinenbau . . . . 74 Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A Zeichenblätter, Schriftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . 75
 Linienarten und Linienbreiten in der
 Dachformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

 Bautechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5
3.4 Technische Kommunikation in der Maschinen­­ Kennzeichnungen in Schaltplänen . . . . . . . . . . . 123
 bautechnik Kennbuchstaben der Objekte (Betriebsmittel)
 Maßeintragung in Zeichnungen der in Schaltplänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
 Maschinenbau­technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Kontaktkennzeichnung in Stromlaufplänen . . . 125 G
 Darstellung von Dichtungen und Wälzlagern . . 96 Stromkreise und Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . 126
 Darstellung von Sicherungsringen, Federn Allgemeine Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
 und ­Keilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Zusatzschaltzeichen, Schalter in Energie­
 Butzen an Drehteilen, Werkstückkanten . . . . . . 99 anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
 Freistiche für Werkstückecken . . . . . . . . . . . . . . . 100 Messinstrumente und Messgeräte . . . . . . . . . . . 129
 Ausläufe und Freistiche für Gewinde . . . . . . . . . 101 Schaltzeichen für Installationsschaltpläne
 Darstellung von Gewinden und Schrauben­ und Installationspläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
 verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Installationsschaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
 Zentrierbohrungen, Rändel . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Spulen, Transformatoren, drehende F
 Gestaltabweichungen und Rauheitskenn- ­Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
 größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Vergleich von Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . 134
 Oberflächenangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Kurzzeichen an elektrischen Betriebsmitteln
 Zuordnung von Rauheitswerten, Rauheit (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
 von Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Hydraulische und pneumatische Elemente . . . . 137
 ISO-System für Grenzmaße und Passungen . . 108 Elektrische Messgeräte und Messwerke . . . . . . 138
 ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Piktogramme für die Messtechnik . . . . . . . . . . . 139
 Allgemeintoleranzen, Wälzlagerpassungen . . . 116 Mess-Schaltungen zur Widerstands­
 Passungsempfehlungen, Passungsauswahl . . . 117 bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 K
 Geometrische Tolerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Messbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
 Messungen in elektrischen Anlagen . . . . . . . . . 142
3.5 Technische Kommunikation in der Elektrotechnik Elektrizitätszähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
 Grafische Darstellung von Kennlinien . . . . . . . . 121 Elektronische kWh-Zähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
 Schaltpläne als funktionsbezogene Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
 Dokumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Messen mit dem Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 Werkstoffe  149 W

4.1 Stoffe Aluminium, Aluminium-Knetlegierungen . . . . . 212
 Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Aluminium-Gusslegierungen . . . . . . . . . . . . . . . 215
 Periodisches System der Elemente . . . . . . . . . . 152 Schwermetalle – Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
 Bezeichnungssystem von Schwermetallen . . . 217
4.2 Werkstoffe in der Bautechnik Kupferlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
 Ziegel und Klinker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Verbundwerkstoffe, keramische Werkstoffe . . 220
 Kalksandsteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Sintermetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B
 Mauersteine aus Beton/Betonsteine . . . . . . . . . 156 Kunststoffe in der Maschinenbautechnik . . . . . 222
 Porenbetonsteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
 Bindemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.4 Werkstoffe der Elektrotechnik
 Zemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Leitende Werkstoffe der Elektrotechnik
 Baukalke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 (Nichteisenmetalle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
 Gesteinskörnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Magnetisierungskennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
 Kornzusammensetzung für Betone . . . . . . . . . . 163 Magnetwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
 Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Lote, Thermobimetalle, Kohlebürsten . . . . . . . . 232
 Betonstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Kontaktwerkstoffe, Freileitungen . . . . . . . . . . . . 233 M
 Holz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Isolierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
 Holzwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Hilfsstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
 Holzschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Leitungen und Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
 Bauglas, Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Starkstromleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
 Kunststoffe in der Bautechnik . . . . . . . . . . . . . . . 191 Weitere Leitungen für feste Verlegung . . . . . . . 240
 Leitungen zum Anschluss ortsveränderlicher
4.3 Werkstoffe in der Maschinenbautechnik Betriebsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
 Einteilung der Stähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Leitungen und Kabel für Melde- und Signal­
 Bezeichnungssystem der Stähle . . . . . . . . . . . . . 194 anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 E
 Stähle – Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Leitungen in Datennetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
 Stähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Code zur Farbkennzeichnung, Starkstrom-
 Gusseisenwerkstoffe – Übersicht . . . . . . . . . . . . 208 kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
 Gusseisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Steckvorrichtungen der Energietechnik . . . . . . 245
 Aluminium, Aluminium-Knetlegierungen – Steckverbinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

 A

6

 5 Bautechnik 247

G 5.1 Baurecht Feuchteschutz und Tauwasserschutz . . . . . . . . . 288
 Kosten von Hochbauten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Bauliche Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . 289
 Grundflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Klimabedingter Feuchtigkeitsschutz . . . . . . . . . 291
 Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Feuchteschutztechnische Berechnungen . . . . . 291
 Wohnflächenverordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Wasserdampfsättigungsdruck und -menge . . . 293
 Baugesetzbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Sättigungsdruck und -menge in Abhängigkeit
 Elemente des Baurechts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 von der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
 Maß der baulichen Nutzung (BauNVO) . . . . . . . 257 Wasserdampfsättigungsdruck psat
 in A
 ­ bhängigkeit von der T ­ emperatur . . . . . . . 294
F 5.2 Betonbau, Stahlbetonbau und Spannbetonbau Luftfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
 Bemessung von Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Schimmelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
 Bemessung der Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Schallschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
 Biegen von Betonstählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Schalldämmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
 Querkraftbewehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Brandschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
 Querkraftbewehrung/Bügel . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
 Konstruktionshinweise für Balken 5.4 Mauerwerksbau
 und Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Maßordnung im Hochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
 Querschnittstafeln für Balken- und Platten­ Gemauerte Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
K bewehrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Charakteristische Druckfestigkeiten
 Betonstahlmatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 von Mauerwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
 Vereinfachte Bemessungsmethode
 5.3 Bauphysik für ­tragende Mauerwände . . . . . . . . . . . . . . . . 316
 Bauphysik – Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Kelleraußenwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
 Dämmstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Nicht tragende innere Trennwände . . . . . . . . . . 319
 Dichtstoffe und Sperrstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Statische und konstruktive Maßnahmen . . . . . . 320
 Wärmeschutztechnische Rechenwerte . . . . . . . 270
 Wärme- und feuchteschutztechnische 5.5 Holzbau
W ­Bemessungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Einstufungen im Holzbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
 Wärmeschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Festigkeitswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
 Luftschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Bemessungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
 Energieeinsparverordnung (EnEV) . . . . . . . . . . . 278 Querschnittswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
 Anlagenaufwandszahl e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Zimmermannsmäßige Holzverbindungen . . . . 325
 Nachweisverfahren nach EnEV 2014 . . . . . . . . . 282 Versatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
 Vereinfachtes Jahresbilanz-Verfahren Verbindungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
 nach EnEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Holzverbinder, Blechformteile . . . . . . . . . . . . . . . 329
 Energieausweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Bolzen, Passbolzen und Stabdübel . . . . . . . . . . . 330
B

 6 Maschinenbautechnik 331

 6.1 Erzeugnisse aus Stahl 6.4 Werkstoffprüfung
 Bleche und Bänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Werkstoffprüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
 Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Zugversuch, Kerbschlagbiegeversuch . . . . . . . . 398
 Stabprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Härteprüfung nach Brinell und Rockwell . . . . . . 399
M Hohlprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Härteprüfung nach Vickers, Umrechnungs­
 tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
 6.2 Maschinenelemente
 Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 6.5 Fertigungstechnik
 Schrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Zerspanungsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
 Muttern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Spezifische Schnittkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
 Scheiben, Stifte, Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Drehzahldiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
 Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
 Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
E Zahnräder, Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Fertigungsplanung beim Drehen . . . . . . . . . . . . 408
 Gleitlager, Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Kräfte und Leistungen beim Drehen . . . . . . . . . 416
 Nadellager, Nutmuttern, Sicherungsbleche . . . 388 Hauptnutzungszeit beim Drehen . . . . . . . . . . . . . 417
 Sicherungsringe, Sicherungsscheiben . . . . . . . 389 Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
 Dichtungen, Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Fertigungsplanung beim Fräsen . . . . . . . . . . . . . 419
 Kräfte und Leistungen beim Fräsen . . . . . . . . . . 424
 6.3 Wärmebehandlung Hauptnutzungszeit beim Fräsen . . . . . . . . . . . . . 425
 Abkühlungskurve, Kristallgitter, Legierungen . 392 Bohren, Gewindebohren, Reiben . . . . . . . . . . . . 426
A Zustandsdiagramme, Temperaturbereiche . . . 393
 Wärmebehandlung der Stähle . . . . . . . . . . . . . . 395
 Schnittdaten beim Bohren und Senken . . . . . . . 427

7
 Schnittdaten beim Gewindebohren, Kräfte CNC-Drehen und CNC-Fräsen nach DIN . . . . . .  4 43
 und Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 CNC-Drehen nach PAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4 46
 Bohren, Hauptnutzungszeit, Probleme . . . . . . . 430 CNC-Fräsen nach PAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
 Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 G
 Biegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 6.7 Pneumatik, Hydraulik
 Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 Schaltzeichen, Wegeventile . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
 Scherschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Binäre Verknüpfungen (Pneumatik) . . . . . . . . . . 463
 Schmelzschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4 40 Kennzeichnung industrieller Systeme . . . . . . . . 464
 Schaltpläne, Aufbau und Kennzeichnung . . . . . 466
6.6 CNC-Technik Pneumatische Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
 Koordinatensysteme, Nullpunkte . . . . . . . . . . . . 441 Pneumatikzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
 Werkzeugkorrekturen, Bahnkorrekturen . . . . . . 442 Kolbenkraft, Geschwindigkeit und Leistung . . . 470
 F
7 Elektrotechnik  471

7.1 Grundlagen 7.3 Energieversorgung
 Ladung, Spannung, Stromstärke, Widerstand . 472 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
 Elektrische Leistung, elektrische Arbeit . . . . . . 473 Kraftwerksarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
 Elektrisches Feld, Kondensator . . . . . . . . . . . . . . 474 Drehende Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
 Wechselgrößen, Wellenlänge, Leistung . . . . . . 475 Netze der Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 K
 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
 Schaltungen von Widerständen . . . . . . . . . . . . . 479 7.4 Automatisierungs- und Antriebstechnik
 Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle, Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
 Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 ASCII-Code im Unicode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
 Grundschaltungen von Induktivitäten und Schaltalgebra und binäre Verknüpfungen . . . . 528
 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Entwicklung von Schaltnetzen . . . . . . . . . . . . . . 530
 Dreiphasenwechselstrom (Drehstrom) . . . . . . . 488 Code-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
 Widerstände und Kondensatoren . . . . . . . . . . . . 490 Komparatoren, Flipflops, Zähler und Schiebe-
 Halbleiterelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 W
 DA-Umsetzer und AD-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . 534
7.2 Elektrische Installation Modulation und Demodulation . . . . . . . . . . . . . . 535
 Arbeiten an elektrischen Anlagen, Leitungs- Netze der Informationstechnik . . . . . . . . . . . . . . 536
 verlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Komponenten für Datennetze . . . . . . . . . . . . . . . 537
 Installationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 Ethernet-Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
 Hausanschluss mit Schutzpotenzialausgleich . 502 Signalübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
 Fundamenterder im Beton oder in Erde . . . . . . 503 Struktogramme und Programmablaufpläne
 Leitungsführung in Wohngebäuden . . . . . . . . . 504 (PAP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
 Leitungsberechnung ohne Verzweigung . . . . . . 505 Speicherprogrammierbare Steuerung SPS . . . 543 B
 Überlastschutz und Kurzschlussschutz von Steueranweisungen für SPS . . . . . . . . . . . . . . . . 544
 Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 Programmstruktur für SPS S7 . . . . . . . . . . . . . . . 546
 Verlegearten für feste Verlegung . . . . . . . . . . . . 508 Ablaufsteuerungen mit GRAFCET . . . . . . . . . . . 547
 Strombelastbarkeiten für Kabel und Leitungen Hilfsstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
 bei ϑU = 25 °C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Geräte der Steuertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
 Strombelastbarkeiten für Kabel und Leitungen Schützschaltungen und Motorschutz . . . . . . . . 552
 bei ϑU = 30 °C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 Sensor-Anschlusstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
 Strombelastbarkeiten für Kabel und Leitungen Berechnungsformeln für drehende
 für feste Verlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 ­elektrische ­Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 M
 Umrechnungsfaktoren für die Strombelast- Konventionelle Gleichstromantriebe . . . . . . . . . 556
 barkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Leistungsschilder von drehenden
 Mindest-Leiterquerschnitte, ­elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
 Strombelastbarkeit von ­Starkstromkabeln . . 513 Drehstrommotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
 Überstrom-Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . 514 Einphasen-Wechselstrommotoren . . . . . . . . . . . 559
 Gleichstrommotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
 Anlassen von Kurzschlussläufermotoren . . . . . 561
 Kompensation der Blindleistung . . . . . . . . . . . . 562
 E

 A

8

 8 Arbeitsschutz 563

G Arbeitsschutz Verteilungssysteme (Netzformen) . . . . . . . . . . . 575
 Erste Hilfe am Arbeitsplatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Netzunabhängiger Fehlerschutz . . . . . . . . . . . . . 576
 Persönliche Schutzausrüstung PSA . . . . . . . . . . 565 Differenzstromgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
 Arbeits- und Umweltschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 Fehlerschutz durch automatische Abschaltung
 Global Harmonisiertes System (GHS) . . . . . . . . 568 der ­Stromversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
 Sicherheitsfarben, Verbotszeichen . . . . . . . . . . . 569 Weitere Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . 580
 Sicherheitskennzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 Weiterer Fehlerschutz in fachlich überwachten
 Berührungsarten, Stromgefährdung, Fehler- Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
 arten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Prüfen von elektrischen Geräten . . . . . . . . . . . . 582
F Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 Schutzarten elektrischer Betriebsmittel . . . . . . 584
 Schall und Lärm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

 Normen586

 Normen
 Normen und andere Regelwerke . . . . . . . . . . . . 586
K
 Sachwortverzeichnis587

W

B

M

E

A

Inhaltsverzeichnis 9

 1 Mathematisch-physikalischeAGrundlagen
 3
 Beispiel: 1.1 Einheiten und Formeln G
 Einheiten im Messwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
 F
 2
 y = 0,5x+1
 p Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
 y
 m = 0,5 Formeln, Gleichungen, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
 1 Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
 b =1
 Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
 –3 – 2 – 1 1 2 3 4 Rechnen mit Größen, Prozentrechnung, Zinsrechnung . . . . . . . . 17
 –1 x

 Ankathete C Gegenkathete 1.2 Winkel, Dreiecke und Längen F
 zu Winkel å zu Winkel å Winkelarten, Strahlensatz, Winkel im Dreieck,
 b © = 90 a Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 }
 Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 ß

 Teilung von Längen, Bogenlänge, zusammengesetzte Länge . . 20
 å

 A c Hypotenuse B Gestreckte Länge, Federdrahtlänge, Rohlänge . . . . . . . . . . . . . . . 21

 1.3 Flächen, Oberflächen und Volumen
 Eckige Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 Dreieck, Vieleck, Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 K
 Kreisausschnitt, Kreisabschnitt, Kreisring, Ellipse . . . . . . . . . . . . 24
 Würfel, Vierkantprisma, Zylinder, Hohlzylinder, Pyramide . . . . . 25
 Pyramidenstumpf, Kegel, Kegelstumpf, Kugel,
 Kugelabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

 y 1.4 Masse und Schwerpunkte
 S S2 Volumen zusammengesetzter Körper,
 Berechnung der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 W
 S1 Linien- und Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
 ys

 xs
 x

 1.5 Mechanik
 Masse, Dichte, Wichte, Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
 +y Überlagerung (Superposition) von zwei
 oder mehreren Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B
 Fy F Gewichtskraft, Gleichgewichtsbedingungen an der Rolle . . . . . 31
 å Hooke’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
 -x +x Anziehungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
 -y Fx Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

 1.6 Bewegung
 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
 d F Kreisförmige Bewegung, Kräfte und Momente . . . . . . . . . . . . . . . 37 M
 M n Arbeit, Leistung, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

 v

 zugeführte abgegebene 1.7 Wirkungsgrad, Wärmetechnik
 Leistung Leistung Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
 Auswirkung bei Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
 PM2 =PG1 Wärme beim Schmelzen, Verdampfen, Verbrennen . . . . . . . . . . . 40
 E
 PM1 = P1 Ge- PG2 =P2
 «1 Motor triebe «2

 A 1.8 Druck in Flüssigkeiten und Gasen
 Druckarten, hydraulische Kraftübersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
 Druckübersetzung, Durchflussgeschwindigkeit,
 F p Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 A

10 1.1 Einheiten und Formeln

 Einheiten im Messwesen
G SI1)-Basisgrößen und Basiseinheiten vgl. DIN 1301-1 (2010-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10)

 Thermo-
 Elektrische Stoff-
 Basisgröße Länge Masse Zeit dynamische Lichtstärke
 Stromstärke menge
 Temperatur

 Basis- Kilo-
 Meter Sekunde Ampere Kelvin Mol Candela
 einheit gramm
 Einheiten-
 m kg s A K mol cd
 zeichen
F
 1 Die Einheiten im Messwesen sind im Internationalen Einheitensystem (SI = Système International d’Unités) festge-
 legt. Es baut auf den sieben Basiseinheiten (SI-Einheiten) auf, von denen weitere Einheiten abgeleitet sind.

 Größen und ihre Einheiten
 Formel- Einheit Bemerkung
 Größe Beziehung
 zeichen Name Zeichen Anwendungsbeispiele
 Länge, Fläche, Volumen, Winkel
K Länge Meter m 1m = 10 dm = 100 cm 1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm
 = 1000 mm
 1 mm = 1000 µm In der Luft- und Seefahrt gilt:
 1 km = 1000 m 1 internationale Seemeile = 1852 m

 Fläche A, S Quadrat- m2 1 m2 = 10 000 cm2 Zeichen S nur für Querschnitts-
 meter = 1 000 000 mm2 flächen
 Ar a 1a = 100 m2 Ar und Hektar nur für Flächen von
 Hektar ha 1 ha = 100 a = 10 000 m2 Grundstücken
W 100 ha = 1 km2

 Volumen V Kubikmeter m3 1 m3 = 1000 dm3
 = 1 000 000 cm3
 Liter l, L 1 l = 1 L = 1 dm3 = 10 dl Meist für Flüssigkeiten und Gase
 = 0,001 m3
 1 ml = 1 cm3

 ebener , , … Radiant rad 1 rad = 1 m/m = 57,2957…° 1 rad ist der Winkel, der aus einem
 Winkel = 180°/π um den Scheitelpunkt geschla-
B (Winkel)
 π
 genen Kreis mit 1 m Radius einen
 Grad ° 1° = ​____​ rad = 60’ Bogen von 1 m Länge schneidet.
 180 Bei technischen Berechnungen statt
 Minute ’ 1’ = 1°/60 = 60” = 33° 17’ 27,6’’ besser = 33,291°
 Sekunde ’’ 1’’ = 1’/60 = 1°/3600 verwenden.

 Raum- Steradiant sr 1 sr = 1 m2/m2 Der Raumwinkel von 1 sr um-
 winkel schließt auf der Oberfläche einer
 Kugel mit r = 1 m die Fläche eines
 Kugelabschnitts mit AO = 1 m2.
M
 Mechanik
 Masse m Kilogramm kg 1 kg = 1000 g In der Alltagssprache bezeichnet
 Gramm g 1g = 1000 mg man die Masse eines Körpers auch
 als Gewicht.
 Megagramm Mg
 Tonne t 1t = 1000 kg = 1 Mg Massenangabe für Edelsteine in
 0,2 g = 1 Kt Karat (Kt).
E längen- m’ Kilogramm kg/m 1 kg/m = 1 g/mm Zur Berechnung der Masse von
 bezogene pro Meter Stäben, Profilen, Rohren.
 Masse

 flächen­ m’’ Kilogramm kg/m2 1 kg/m2 = 0,1 g/cm2 Zur Berechnung der Masse von
 bezogene pro Meter Blechen.
 Masse hoch zwei

 Dichte Kilogramm kg/m3 1000 kg/m3 = 1 t/m3 Dichte = M
  asse eines Stoffes pro
A pro Meter
 hoch drei
 = 1 kg/dm3
 = 1 g/cm3
 Volumeneinheit
 Für homogene Körper ist die Dichte
 = 1 g/ml eine vom Ort unabhängige Größe.
 = 1 mg/mm3

1.1 Einheiten und Formeln 11

Einheiten im Messwesen (Fortsetzung)
Größen und ihre Einheiten (Fortsetzung) G
 Formel- Einheit Bemerkung
Größe Beziehung
 zeichen Name Zeichen Anwendungsbeispiele
Mechanik
Trägheits- J Für homogene Vollzylinder Das Trägheitsmoment gibt den
moment, Kilogramm mit Masse m und Radius r Widerstand eines starren, homo-
Massen- mal Meter kg · m2 gilt: genen Körpers gegen die Änderung
 1
moment hoch zwei    J = ​​ __ ​​ · m · r 2 seiner Rotationsbewegung um eine
2. Grades 2 Drehachse an. F
Kraft F kg · m J Die Kraft 1 N bewirkt bei der Masse
 1N = ​______​= 1 __
 ​ ​
 Newton N s2 m 1 kg in 1 s eine Geschwindigkeitsän-
Gewichtskraft FG, G 1 MN = 103 kN = 1 000 000 N derung von 1 m/s.
Dreh-, Biege-, M kg · m2 1 N · m ist das Moment, das eine
 Newton J
Torsions- Mb N·m 1 N · m = ​______​= 1 ​__​ Kraft von 1 N bei einem Hebelarm
 mal Meter s2 m
moment MT, T von 1 m bewirkt.
Impuls p Kilogramm Der Impuls ist das Produkt aus Masse K
 mal Meter kg · m/s 1 kg · m/s = 1 N · s mal Geschwindigkeit. Er hat die Rich-
 pro Sekunde tung der Geschwindigkeit.
Druck p 1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar Unter Druck versteht man die Kraft je
 Pascal 1 bar = 100 000 N/m2 Flächeneinheit. Für Überdruck wird
mechanische , Pa = 10 N/cm2 = 105 Pa das Formelzeichen pe verwendet
Spannung Newton 1 mbar = 1 hPa (DIN 1314).
 pro Millimeter N/mm2 1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2 1 bar = 14,5 psi (pounds per square
 hoch zwei = 1 MPa
 1 daN/cm2 = 0,1 N/mm2
 inch = Pfund pro Quadratinch) W
 4 4
Flächen­ Meter hoch 1 m = 100 000 000 cm früher: Flächenträgheitsmoment
 m4
moment vier; Zentime-
 cm4
2. Grades ter hoch vier
Energie, E, W 1 J = 1 N · m = 1W · s Joule für jede Energieart, kW · h be­
Arbeit, Joule J = 1 kg · m2/s2 vorzugt für elektrische Energie.
Wärmemenge
Leistung, P 1 W = 1 J/s = 1 N · m/s Leistung beschreibt die Arbeit, die B
Wärmestrom Watt W = 1 V · A = 1 m2 · kg/s3 in einer bestimmten Zeit verrichtet
 wurde.
Zeit
Zeit, t Sekunde s 3 h bedeutet eine Zeitspanne (3 Std.),
Zeitspanne, Minute min 1 min = 60 s 3h bedeutet einen Zeitpunkt (3 Uhr).
Dauer Stunde h 1h = 60 min = 3600 s Werden Zeitpunkte in gemischter
 Tag d 1d = 24 h = 86 400 s Form, z. B. 3h24m10s geschrieben, so
 Jahr a kann das Zeichen min auf m verkürzt M
 werden.
Frequenz f Hertz Hz 1 Hz = 1/s 1 Hz ≙ 1 Schwingung in 1 Sekunde.
Drehzahl n Die Anzahl der Umdrehungen pro
 1 pro Sekunde 1/s 1/s = 60/min = 60 min–1 Zeiteinheit ergibt die Drehzahl, auch
Umdrehungs­- 1 Drehfrequenz genannt.
 1 pro Minute 1/min 1/min = 1 min–1 = ​​ ____ ​​
frequenz 60 s
Geschwin- v Meter pro m/s 1 m/s = 60 m/min Geschwindigkeit bei der Seefahrt in E
digkeit Sekunde = 3,6 km/h Knoten (kn):
 Meter pro 1m 1 kn = 1,852 km/h
 m/min 1 m/min = ​​ ____ ​​
 Minute 60 s mile per hour = 1 mile/h = 1 mph
 Kilometer pro 1 mph = 1,60934 km/h
 1m
 Stunde km/h 1 km/h = ​​ _____ ​​
 3,6 s
Winkel­ 1 pro Sekunde Bei einer Drehzahl von n = 2/s beträgt
 1/s
geschwin­ Radiant pro =2π·n die Winkelgeschwindigkeit = 4 π/s.
 rad/s
digkeit Sekunde
 A
Beschleuni- a, g Meter pro Formelzeichen g nur für Fallbe-
 1 m/s
gung Sekunde m/s 2
 1 m/s = ​​ ______
 2
 ​​ schleunigung.
 hoch zwei 1s g = 9,81 m/s2 ≈ 10 m/s2

12 1.1 Einheiten und Formeln

 Einheiten im Messwesen (Fortsetzung)
G Größen und ihre Einheiten (Fortsetzung)
 Formel- Einheit Bemerkung
 Größe Beziehung
 zeichen Name Zeichen Anwendungsbeispiele
 Elektrizität und Magnetismus
 Elektrische Ampere A Bewegte elektrische Ladung nennt
 Stromstärke man Strom. Die Spannung ist gleich
 Elektr. Span- U Volt V 1V = 1 W/1 A = 1 J/C der Potenzialdifferenz zweier Punkte
 nung im elektrischen Feld. Den Kehrwert des
F Elektr. Wider- R Ohm Ω 1 Ω = 1 V/1 A elektrischen Widerstands nennt man
 stand elektrischen Leitwert.
 Elektr. Leit- G Siemens S 1 S = 1 A/1 V = 1/Ω
 wert
 Spezifischer Ohm mal Ω·m 10–6 Ω · m = 1 Ω · mm2/m Ω · mm2
 1 ________
 = ​__
 ​in ​ m ​
 Widerstand Meter
 Leitfähigkeit , Siemens S/m 1 m
 pro Meter = __
 ​ ​in ________
 ​ ​
 Ω · mm2
K Frequenz f Hertz Hz 1 Hz = 1/s Frequenz öffentlicher Stromnetze:
 1000 Hz = 1 kHz EU 50 Hz, USA 60 Hz
 Elektr. Arbeit W Joule J 1J = 1 W · s = 1 N · m In der Atom- und Kernphysik wird die
 1 kW · h = 3,6 MJ Einheit eV (Elektronenvolt) verwendet.
 1 W · h = 3,6 kJ
 Phasenver- – – für Wechselstrom gilt: Winkel zwischen Strom und Spannung
 schiebungs- P bei induktiver oder kapazitiver Belas­
 cos = _____
 ​​ ​​
 winkel U· tung.
W
 Elektr. Feld- E Volt pro Meter V/m f Q
 stärke E = __
 ​ ​; C = ​__​; Q = · t
 Q U
 Elektr. Q Coulomb C 1 C = 1 A · 1 s; 1 A · h = 3,6 kC
 Ladung
 Elektr. Kapa- C Farad F 1 F = 1 C/V
 zität
 Induktivität L Henry H 1 H = 1 V · s/A
 Leistung P Watt W 1 W = 1 J/s = 1 N · m/s In der elektrischen Energietechnik:
B Wirkleistung = 1V · A Scheinleistung S in V · A

 Thermodynamik und Wärmeübertragung
 Thermo- T, Kelvin K 0 K = – 273,15 °C Kelvin (K) und Grad Celsius (°C) wer-
 dynamische den für Temperaturen und Temperatur-
 Temperatur 0 °C = 273,15 K differenzen verwendet.
 Celsius- t, Grad Celsius °C 0 °C = 32 °F t = T – T0; T0 = 273,15 K
 Temperatur 0 °F = – 17,77 °C Umrechnung in °F: Seite 51
M Wärme­ Q Joule J 1 J = 1W · s = 1 N · m 1 kcal ≙ 4,1868 kJ
 menge 1 kW · h = 3 600 000 J = 3,6 MJ

 Spezifischer Hu Joule pro J/kg 1 MJ/kg = 1 000 000 J/kg Freiwerdende Wärmeenergie je kg
 Heizwert Kilogramm (bzw. je m3) Brennstoff abzüglich der
 Joule pro J/m3 3
 1 MJ/m = 1 000 000 J/m 3
 Verdampfungswärme des in den Abga-
 Meter hoch drei sen enthaltenen Wasserdampfes.

 Einheiten außerhalb des Internationalen Einheitensystems SI
E Länge Fläche Volumen Masse Energie, Leistung
 1 inch = 25,4 mm 1 sq.in = 6,452 cm2 1 cu.in = 16,39 cm3 1 oz = 28,35 g 1 PSh = 0,735 kWh
 (in) 1 sq.ft = 9,29 dm2 1 cu.ft = 28,32 dm3 1 lb = 453,6 g 1 PS = 0,7355 kW
 1 foot = 0,3048 m 1 sq.yd = 0,8361 m2 1 cu.yd = 764,6 dm3 1t = 1000 kg 1 kcal = 4186,8 Ws
 (ft) 1 acre = 4046,856 m2
 1 yard = 0,9144 m 1 gallon 1 short 1 kcal = 1,166 Wh
 (yd) Druck, Spannung (US) = 3,785 l ton = 907,2 kg 1 kpm/s = 9,807 W
 1 See- = 1,852 km 1 gallon 1 Karat = 0,2 g
A meile
 1 bar = 14,5
 pound/in2 (UK) = 4,546 l
 1 Btu = 1055 Ws
 1 pound/in3 1 hp = 745,7 W
 1 Land- = 1,6093 km 1 N/mm2 = 145,038 1 barrel = 158,8 l  = 27,68 g/cm3
 meile pound/in2

1.1 Einheiten und Formeln 13

Formelzeichen, mathematische Zeichen
Formelzeichen vgl. DIN 1304-1 (1994-03) G
Formel- Formel- Formel-
 Bedeutung Bedeutung Bedeutung
zeichen zeichen zeichen
Länge, Fläche, Volumen, Winkel
 Länge r, R Radius , , ebener Winkel
 b Breite d, D Durchmesser Raumwinkel
 h Höhe A, S Fläche, Querschnittsfläche Wellenlänge
 s Weglänge V Volumen
Mechanik F
 m Masse F Kraft G Schubmodul
 m’ längenbezogene Masse FG, G Gewichtskraft , f Reibungszahl
 m’’ flächenbezogene Masse M Drehmoment W Widerstandsmonent
 Dichte MT, T Torsionsmoment Flächenmoment 2. Grades
 J Trägheitsmoment Mb Biegemoment W, E Arbeit, Energie
 p Druck Normalspannung Wp, Ep potenzielle Energie
 pabs absoluter Druck Schubspannung Wk, E k kinetische Energie
 pamb Atmosphärendruck Dehnung P Leistung
 pe Überdruck E Elastizitätsmodul Wirkungsgrad K
Zeit
 t Zeit, Dauer f, Frequenz a Beschleunigung
 T Periodendauer v, u Geschwindigkeit g örtliche Fallbeschleunigung
 n Umdrehungsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung
 Drehzahl Q, ​V˙​, qv Volumenstrom
Elektrizität
 Q Ladung, Elektrizitäts- L Induktivität X Blindwiderstand W
 menge R Widerstand Z Scheinwiderstand
 U Spannung spezifischer Widerstand Phasenverschiebungs-
 C Kapazität , elektrische Leitfähigkeit winkel
 Stromstärke N Windungszahl
Wärme
 T, t hermodynamische Q Wärme, Wärmemenge , ​Q˙​ Wärmestrom
 Temperatur Wärmeleitfähigkeit a Temperaturleitfähigkeit
 ΔT, Δt, Temperaturdifferenz Wärmeübergangs­ c spezifische Wärme­ B
 Δ koeffizient kapazität
 t, Celsius-Temperatur k Wärmedurchgangs­ Hu spezifischer Heizwert
 , Längenausdehnungs­ koeffizient
 koeffizient
Licht, elektromagnetische Strahlung
 Ev Beleuchtungsstärke f Brennweite e Strahlstärke
 n Brechzahl Qe, W Strahlungsenergie
Akustik M
 p Schalldruck LP Schalldruckpegel N Lautheit
 c Schallgeschwindigkeit Schallintensität LN Lautstärkepegel

Mathematische Zeichen vgl. DIN 1302 (1999-12)
Mathem. Mathem. Mathem.
 Sprechweise Sprechweise Sprechweise
Zeichen Zeichen Zeichen
 ≈ ungefähr gleich, rund, etwa Σ Summe log Logarithmus (allgemein)
 ≙ entspricht ∼
 x
 a__
 proportional lg dekadischer Logarithmus E
 … und so weiter a hoch x, x-te Potenz von a ln natürlicher Logarithmus
 ∞ unendlich √
 ​ __​ Quadratwurzel aus e Eulersche Zahl (e = 2,718281…)
 = gleich ​√1 ​​
 n
 n-te Wurzel aus sin Sinus
 ≠ ungleich ∣x∣ Betrag von x cos Kosinus
 ≝ ist definitionsgemäß gleich ⊥ senkrecht zu tan Tangens
 < kleiner als ∥ ist parallel zu cot Kotangens
 ≤ kleiner oder gleich ∢ Winkel (), [], { } runde, eckige, geschweifte
 > größer als ≅ kongruent zu Klammer auf und zu
 ⏜
 ≥ größer oder gleich Δx Delta x ¯ ​ ​
 AB​ Strecke AB
 + plus (Differenz zweier Werte) ​​ ​​
 AB Bogen AB
 A
 – minus % Prozent, vom Hundert a’, a” a Strich, a zwei Strich
 · mal, multipliziert mit ‰ Promille, vom Tausend a1, a2 a eins, a zwei
 –, /, : durch, geteilt durch, zu, pro π pi (Kreiszahl = 3,14159 …)

14 1.1 Einheiten und Formeln

 Formeln, Gleichungen, Diagramme
G Formeln
 Die Berechnung physikalischer Größen erfolgt meist über Formeln. Sie bestehen aus:
 • Formelzeichen, z. B. vc für die Schnittgeschwindigkeit, d für den Durchmesser, Formel für die Schnitt-
 n für die Drehzahl geschwindigkeit
 • Operatoren (Rechenvorschriften), z. B. · für Multiplikation, + für Addition,
 – für Subtraktion, –– (Bruchstrich) für Division vc = π · d · n
 • Konstanten, z. B. π (pi) = 3,14159 …
 • Zahlen, z. B. 10, 15 …
F Die Formelzeichen (Seite 13) sind Platzhalter für Größen. Bei der Lösung von Aufgaben werden die bekannten Grö-
 ßen mit ihren Einheiten in die Formel eingesetzt. Vor oder während der Berechnung werden die Einheiten so umge-
 formt, dass
 • der Rechengang möglich wird oder
 • das Ergebnis die geforderte Einheit erhält.
 Die meisten Größen und ihre Einheiten sind genormt (Seite 10).
 Das Ergebnis ist immer ein Zahlenwert mit einer Einheit, z. B. 4,5 m, 15 s
 Beispiel:
K
 Wie groß ist die Schnittgeschwindigkeit vc in m/min für d = 200 mm und n = 630/min?

 ​ 1 ​= π · 200 mm · __________
 vc = π · d · n = π · 200 mm · 630 ____ ​ 1 m ​· 630 ​____
 1 ​= 395,84 ​____
 m ​
 min 1000 mm min min

 Zahlenwertgleichungen
 Zahlenwertgleichungen sind Formeln, in welche die üblichen Umrechnungen von Ein- Zahlenwertgleichung
 heiten bereits eingearbeitet sind. Bei ihrer Anwendung ist zu beachten: für das Drehmoment
W
 Die Zahlenwerte der einzelnen Größen dürfen nur in der vorgeschriebenen Einheit ver- 9550 · P
 wendet werden. M = ________
 ​​
 n ​
 • Die Einheiten werden bei der Berechnung nicht mitgeführt.
 • Die Einheit der gesuchten Größe ist vorgegeben.
 vorgeschriebene Einheiten
 Beispiel:
 Bezeichnung Einheit
 Wie groß ist das Drehmoment M eines Elektromotors mit der Antriebsleistung Dreh-
B P = 15 kW und der Drehzahl n = 750/min? M
 moment
 N·m

 9550 · P ​= _________ P Leistung kW
 M = ​________
 n ​9550 · 15 ​N · m = 191 N · m
 750 n Drehzahl 1/min

 Gleichungen und Diagramme
 Bei Funktionsgleichungen ist y die Funktion von x, mit x als unabhängige und y als ab- Zuordnungsfunktion
 hängige Variable. Die Zahlenpaare (x, y ) einer Wertetabelle bilden ein Diagramm im
M x-y -Koordinatensystem. y = f  (x)
 Beispiel: 1. Beispiel:
 3 y = 0,5 x + 1
 y = 0,5x+1
 Lineare Funktion
 2 x –2 0 2 3
 m = 0,5 y 0 1 2 2,5
 y=m·x+b
 y

 1
 b =1
 2. Beispiel:
 –2 –1 1 2 3 Kostenfunktion und Erlösfunktion
 –1 x KG = 60 €/Stck · M + 200 000 €
E E = 110 €/Stck · M Beispiele:
 M 0 4 000 6 000 Kostenfunktion
 800 000 n
 Gewinn- Erlös win KG 200 000 440 000 560 000
 schwelle (Gs) Ge
 600 000 E 0 440 000 660 000 KG = KV · M + Kf
 Kosten bzw. Erlös

 Gesamt-
 400 000 kosten KG Gesamtkosten → abhängige Variable
 t variable Kosten M Menge → unabhängige Variable
 200 000 us Erlösfunktion
 rl Kf Fixe Kosten → y-Koordinatenabschnitt
 Ve fixe Kosten
 Kv Variable Kosten → Steigung der
A 0
 0 2000 4000 Stück 6000 Funktion E = E/Stück · M
 Menge E Erlös → abhängige Variable

 

1.1 Einheiten und Formeln 15

Umstellen von Formeln
Umstellen von Formeln G
Formeln und Zahlenwertgleichungen werden umgestellt, damit die gesuchte Größe
allein auf der linken Seite der Gleichung steht. Dabei darf sich der Wert der linken und
der rechten Formelseite nicht ändern. Für alle Schritte einer Formelumstellung gilt:
 Formel

 ​ ​F · s​
 Veränderungen auf der Veränderungen auf der
 = P = ____
 linken Formelseite rechten Formelseite t
 linke rechte
 Formel- = Formel- F
Zur Rekonstruktion der einzelnen Schritte ist es sinnvoll, jeden Schritt rechts neben der seite seite
Formel zu kennzeichnen:
ǀ·t → beide Formelseiten werden mit t multipliziert.
ǀ:F → beide Formelseiten werden durch F dividiert.

Umstellung von Summen
Beispiel: Formel L = 1 + 2, Umstellung nach 2 K

 1 L = 1 + 2 │ – 1 1 subtrahieren 3 L – 1 = 2 Seiten vertauschen

 subtrahieren
 2 L – 1 = 1 + 2 – 1  4 2 = L – 1 umgestellte Formel
 
 durchführen

Umstellung von Produkten W
Beispiel: Formel A = · b, Umstellung nach 

 A= ·b │:b A
 __
 1 dividieren durch b 3 ​​ ​ = 
 b
 Seiten vertauschen

 2 __ ​ · b kürzen mit b
 ​A = ____ 4 ​​A​
 = __ umgestellte Formel
 ​b ​ ​ b ​ b B
Umstellung von Brüchen
 ​ ​, Umstellung nach s
Beispiel: Formel n = _____
 1 + s

 ​ mit ( + s) subtrahieren,
 1 n = ​​_____ │ · ( 1 + s)  1 4 n · 1 – n · 1 + n · s = – n · 1 │: n 
 1 + s multiplizieren dividieren durch n

 rechte Formelseite
 M
 ​ · ( + s) ​  – n · 1
 s · n ________
 2 n · ( 1 + s) = _________
 ​ 1 kürzen, Klammer 5 _____
 ​​ n ​= ​​ n ​ kürzen mit n
 1 + s
 auflösen

 umgestellte
 3 n · 1 + n · s = │ · n · 1 – n · 1 subtrahieren ​​ – n
 n · 1 ​
 6 s = ________
 Formel

Umstellung von Wurzeln
 _______ E
Beispiel: Formel c = √
 ​ a2 + b2 ​, Umstellung nach a

 _______ __
 1 c = ​√a 2 + b 2 ​ │ ( )2 
 Formel quadrieren 4 a2 = c 2 – b 2 │√
 ​ 0 ​ radizieren

 __ _______ __ Ausdruck
 2 c 2 = a2 + b 2 │ – b2 b2 subtrahieren 5 ​√a2 ​= ​√c 2 – b 2 ​ │√
 ​ 0 ​ 
 vereinfachen
 A
 _______
 3 2 2
 c –b =a +b –b 2 2 2 subtrahieren, 6 a = ​√c – b ​
 2 2 umgestellte
 
 Seite tauschen Formel

16 1.1 Einheiten und Formeln

 Größen und Einheiten
G Zahlenwerte und Einheiten
 Physikalische Größen, z. B. 125 mm, bestehen aus einem
 Physikalische Größe • Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt wird, und aus einer
 • Einheit, z. B. m, kg
 10 mm
 Die Einheiten sind nach DIN 1301-1 genormt (Seite 10).
 
 Zahlenwert Einheit Sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte lassen sich durch Vorsatzzeichen als dezima-
 le Vielfache oder Teile vereinfacht darstellen, z. B. 0,004 mm = 4 µm.

F Dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten vgl. DIN 1301-2 (1978-02)

 Vorsatz- Zehner- Mathematische
 Beispiele
 Zeichen Name potenz Bezeichnung

 T Tera 1012 Billion 12 000 000 000 000 N = 12 · 1012 N = 12 TN (Tera-Newton)
 G Giga 109 Milliarde 45 000 000 000 W = 45 · 109 W = 45 GW (Giga-Watt)
 M Mega 106 Million 8 500 000 V = 8,5 · 106 V = 8,5 MV (Mega-Volt)
K k Kilo 103 Tausend 12 600 W = 12,6 · 103 W = 12,6 kW (Kilo-Watt)
 h Hekto 102 Hundert 500 l = 5 · 102 l = 5 hl (Hekto-Liter)
 1
 da Deka 10 Zehn 32 m = 3,2 · 101 m = 3,2 dam (Deka-Meter)
 – – 100 Eins 1,5 m = 1,5 · 100 m
 d Dezi 10–1 Zehntel 0,5 l = 5 · 10–1 l = 5 dl (Dezi-Liter)
 c Zenti 10–2 Hundertstel 0,25 m = 25 · 10–2 m = 25 cm (Zenti-Meter)
 m Milli 10–3 Tausendstel 0,375 A = 375 · 10–3 A = 375 mA (Milli-Ampere)
W µ Mikro 10 –6
 Millionstel 0,000 052 m = 52 · 10–6 m = 52 µm (Mikro-Meter)
 n Nano 10–9 Milliardstel 0,000 000 075 m = 75 · 10–9 m = 75 nm (Nano-Meter)
 p Piko 10–12 Billionstel 0,000 000 000 006 F = 6 · 10–12 F = 6 pF (Pico-Farad)

 Umrechnung von Einheiten
 Berechnungen mit physikalischen Größen sind nur dann möglich, wenn sich ihre Einheiten jeweils auf eine Basis bezie-
 hen. Bei der Lösung von Aufgaben müssen Einheiten häufig auf Basiseinheiten umgerechnet werden, z.  B.
B mm in m, h in s, mm2 in m2. Dies geschieht durch Umrechnungsfaktoren, die den Wert 1 (kohärente Einheiten) darstellen.

 Umrechnungsfaktoren für Einheiten (Auszug)
 Größe Umrechnungsfaktoren, z. B. Größe Umrechnungsfaktoren, z. B.

 Längen ​10 mm ​= ​__________
 1 = _______ 1000 mm ​= ________
 ​​ 1 km ​​ Zeit ​​ 60 min
 1 = _______ ​​ 3600 ​​
 ​​ = _______ s = ______
 ​​ 60 s ​​
 1 cm 1m 1000 m 1h 1h 1 min

 2 2
 Flächen ​100 mm
 1 = _________ ​100 cm
 ​= ________​ Winkel ​​ 60’ ​​ = ​​ ____
 1 = ___ 3600”
 60” ​​ = ​​ ______
 ​​
M 1 cm2 1 dm2 1° 1’ 1°

 3 3
 Volumen ​​ 1000 mm
 1 = __________ ​​ 1000 cm
 ​​ = _________ ​​ Zoll 1 inch = 25,4 mm
 1 cm3 1 dm3

 1. Beispiel:

 Das Volumen V = 3416 mm3 ist in cm3 umzurechnen.
 Das Volumen V wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, der im Zähler die Einheit cm3 und im Nenner die
E Einheit mm3 aufweist.
 3
 ​1 cm · 3416 mm3 ​= _________
 V = 3416 mm3 = _________________
 
 3
 ​3416 cm ​= 3,416 cm3
 1000 mm3 1000

 2. Beispiel:

 Die Winkelangabe = 42° 16’ ist in Grad (°) auszudrücken.
 Der Teilwinkel 16’ muss in Grad (°) umgewandelt werden. Er wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert,
 der im Zähler die Einheit Grad (°) und im Nenner die Einheit Minute (’) hat.
A
 = 42° + 16’ · ___ ​​ 16 · 1°
 ​​ 1° ​​ = 42° + ______ ​​= 42° + 0,267° = 42,267°
 60’ 60

1.1 Einheiten und Formeln 17

Rechnen mit Größen, Prozentrechnung, Zinsrechnung
Rechnen mit Größen G
Physikalische Größen werden mathematisch behandelt wie Produkte. Regeln beim Potenzieren
• Addition und Subtraktion a Basis
 m, n … Exponenten
 Bei gleichen Einheiten werden die Zahlenwerte addiert und die Einheit im
 Ergebnis übernommen.
 Multiplikation von Potenzen
 Beispiel:

 L = 1 + 2 – 3 mit 1 = 124 mm, 2 = 18 mm, 3 = 44 mm; L = ?
 a2 · a3 = a2+3
 F
 L = 124 mm + 18 mm – 44 mm = (124 + 18 – 44) mm = 98 mm
 am · an = am+n

• Multiplikation und Division
 Division von Potenzen
 Die Zahlenwerte und die Einheiten entsprechen den Faktoren von Produkten.
 2
 a
 ___
 ​ 3 ​ = a2–3
 Beispiel: a
 F1 · 1 = F2 · 2 mit F1 = 180 N, 1 = 75 mm, 2 = 105 mm; F2 = ? am ​= am–n
 ​___
 F1 · 1 ______________ 128,57 N · mm an K
 F2 = ​​ ______ ​​ 180 
 ​​ = N · 75 mm ______________
 ​​ = 
 ​​ 
 mm ​​ = 128,57 N
 1 105 mm
 Sonderformen
• Multiplizieren und Dividieren von Potenzen
 Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem die ​12 ​
 a–2 = ___
 Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden. a
 Beispiel: ​ 1m ​
 a–m = ___
 a
 2 W
 ​​ A e· a ​mit A = 15 cm2, a = 7,5 cm, e = 2,4 cm; W = ?
 W = ______
 1 0
 15 cm2 · (7,5 cm)2 _______________
 15 · 56,25 cm2+2 a =a a =1
 W = _________________
 ​​ 
 ​​ = 
 ​​ ​​= 351,56 cm4–1 = 351,56 cm3
 2,4 cm 2,4 cm1

Prozentrechnung
 Der Prozentsatz gibt den Teil des Grundwertes in Hundertstel an. Prozentwert
 Der Grundwert ist der Wert, von dem die Prozente zu rechnen sind.
 G ·P B
 Der Prozentwert ist der Betrag, den die Prozente des Grundwertes ergeben. Pw = _______
 ​ w S​​
 Ps Prozentsatz, Prozent     Pw Prozentwert     Gw Grundwert
 100 %

 Beispiel:

 Werkstückrohteilgewicht 250 kg (Grundwert); Abbrand 2 % (Prozentsatz)
 Abbrand in kg = ? (Prozentwert)
 G ·P 250 kg · 2 %
 Pw = _______
 ​ w s​= ​____________
 ​= 5 kg M
 100 % 100 %

Zinsrechnung
K0 Anfangskapital Z Zinsen t Laufzeit in Tagen, Zins
Kt Endkapital p Zinssatz pro Jahr Verzinsungszeit
 K0 · p · t
 Z = ___________
 ​ ​
1. Beispiel: 100 % · 360
 ​%
 K0 = 2800,00 €; p = 6 ____ 1
 a ​; t = /2 a; Z = ?
 E
 1 Zinsjahr (1 a) = 360 Tage (360 d)
 ​%
 2800,00 € · 6 ____
 a ​· 0,5 a​= 84,00 € 360 d = 12 Monate
 Z = ​_____________________
 
 100 % 1 Zinsmonat = 30 Tage

2. Beispiel:

 ​%
 K0 = 4800,00 €; p = 5,1 ____
 a ​; t =50 d; Z = ?
 ​%
 4800,00 €· 5,1 ____ A
 a ​· 50 d ​= 34,00 €
 Z = ​______________________
 100 % · 360 __ ​d
 a​

18 1.2 Winkel, Dreiecke und Längen

 Winkelarten,
 2
 Strahlensatz, Winkel im Dreieck, Satz des Pythagoras
 a
 b2
 Winkelarten
G bc a
 g Gerade Stufenwinkel
 c2 g1, g2 parallele Geraden
 , Stufenwinkel = 
 ¿ , Scheitelwinkel
 , Wechselwinkel Scheitelwinkel
 g2 , Nebenwinkel
 = 
F P2 ¶ Werden zwei Parallelen durch eine Gerade geschnit-
 Gå ten, so bestehen unter den dabei gebildeten Win- Wechselwinkel
 03 keln geometrische Beziehungen.
 R K I P1 X
 ©

 Z g1 = 

 g Nebenwinkel

 + = 180°
K
 Strahlensatz
 ta Torsionsspannung außen Werden zwei Geraden durch zwei Parallelen Strahlensatz
 ti Torsionsspannung innen geschnitten, so bilden die zugehörigen Strahlenab-
 schnitte gleiche Verhältnisse. d
 __
 a2 ​ ​
 a
 ___ b 2
 a1 Beispiel: ​ 1 ​ = ___
 ​​ 1 ​ = ​__ ​
 a2 b2 __ D
 D = 40 mm, d = 30 mm, ​ ​
W †ta
 ta = 135 N/mm2; ti = ?
 2
 †ti
 ti d ·d
 = ⇒ ti = ta a
 ___ a2
 ta D D ​ 1 ​ = ​___​
 b1 b2
 b2
 b1
 D
 d

 135 N/mm2 · 30 mm
 = = 101,25 N/mm2
 40 mm
 b
 ___ b2
 ​ 1 ​ = ​___​
 d D
B
 Winkelsumme im Dreieck
 a, b, c Dreieckseiten Winkelsumme
 , , Winkel im Dreieck im Dreieck
 ©
 b a
 + + = 180°
 ¿
 å

 c In jedem Dreieck ist die
M Winkelsumme 180°.

 Lehrsatz des Pythagoras
 Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenqua- Quadrat über
 drat flächengleich der Summe der beiden Katheten- der Hypotenuse
 a2 quadrate.
 b2 a Kathete c 2 = a2 + b 2
 bc a
 b Kathete
E c Hypotenuse
 Länge der Hypotenuse
 c2 _______
 Beispiel: c = ​√a 2 + b 2 ​
 CNC-Programm mit R = 50 mm und I = 25 mm.
 K=? Länge der Katheten
 _______
 c2 = a2 + b2
 P2 b = ​√
 ​ c 2 – a2 ​
 R 2 = I_______
 2
 + K2 ___________________
 G0 _______
A 3 K=√ ​​ R 2 − I 2 ​​ = √ 602 mm2 − 252 mm2 ​​
 ​​ 
 a = ​√
 ​ c 2 – b2 ​
 R K I P1 X K = 43,3 mm
 Z

1.2 Winkel, Dreiecke und Längen 19

Funktionen im Dreieck
Funktionen im rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen) G
 c Hypotenuse (längste Seite) Winkelfunktionen
 c Hypotenuse a Gegen- a, b Katheten Gegenkathete
 kathete Bezogen auf den Winkel ist Sinus = ​​______________
 
 ​
 å von å → b die Ankathete und Hypotenuse
 b Ankathete von å → a die Gegenkathete
 Kosinus Ankathete ​
 ______________
 = ​​ 
 
 , , Winkel im Dreieck, mit = 90° Hypotenuse
 sin Schreibweise für Sinus Gegenkathete F
 c Hypotenuse ¿ a An- Tangens = ​​______________
 ​
 kathete cos Schreibweise für Kosinus
 Ankathete
 von ¿
 tan Schreibweise für Tangens Ankathete ​
 Kotangens = ​​______________
 
 b Gegenkathete von ¿ Gegenkathete
 sin Sinus des Winkels 

 Beispiel: Bezogen auf den Winkel ist:
 L3 = 140mm L1 = 150 mm, L2 = 30 mm, ​a
 sin = __
 c​
 b​
 cos = ​__
 c ​a ​
 tan = __
 b
 K
 L3 = 140 mm; Winkel α = ?
 L1 + L2 = 180 mm = 1,286 Bezogen auf den Winkel ist:
 tan α =
 L1 = 150mm

 L3 140 mm
 ​b
 sin = __ ​a
 cos = __ ​b
 tan = __
 L

 Winkel α = 52° c​ c​ a​
 å

 Die Berechnung eines Winkels in
 ß Grad (°) oder als Bogenmaß (rad) W
 L2= 30mm

 erfolgt mit einer Arcus-Funktion, z. B.
 arc sin.
 F

Beziehungen im schiefwinkligen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz)
 Im Sinussatz entsprechen die Seiten-
 Sinussatz
 verhältnisse dem Sinus der entspre-
 b
 ©
 a chenden Gegenwinkel im Dreieck. Aus B
 a : b : c = sin : sin : sin 
 einer Seite und zwei Winkeln lassen
 sich die anderen Werte berechnen. a ​= ​​ _____
 ​_____ c ​
 b ​= ​​ _____
 ¿
 å

 sin sin sin 
 Seite a → Gegenwinkel 
 c
 Seite b → Gegenwinkel 
 Vielfältige Umstellungen sind
 Seite c → Gegenwinkel möglich:
 Beispiel:
 ​b · sin ​= ​________
 a = ________ c · sin ​
 M
 sin sin 
 F = 800 N, α = 40°, = 38°; Fz = ?,
 Fd = ?
 a · sin c · sin 
 40}

 Fd b = ​________​= ________
 ​ ​
 Fz Die Berechnung erfolgt jeweils aus sin sin 
 dem Kräfteplan.
 12}

 b · sin 
 a · sin ________
 F = Fz ⇒ F = F · sin c = ________
 ​ ​= ​ ​
 z sin sin 
 sin α sin sin α
 F 800 N · sin 38° = 766,24 N
 Fz =
 sin 40° E
 Kosinussatz
 Kräfteplan
 F
 F = Fd ⇒ F = F · sin a 2 = b 2 + c 2 – 2 · b · c · cos 
 d
 sin α sin sin α b 2 = a 2 + c 2 – 2 · a · c · cos 
 ß=38
 } 800 N · sin 102° = 1217,38 N c 2 = a 2 + b 2 – 2 · a · b · cos 
 Fd =
 sin 40°
 2}
 10

 Umstellung ebenfalls möglich, z. B.
 ©=
 å=

 Fd Die Berechnung eines Winkels in Grad
 40

 (°) oder als Bogenmaß (rad) erfolgt mit b 2 + c 2 – a2​
 cos = ​​ ___________ A
 12}

 Fz 
 }

 einer Arcus-Funktion, z. B. arc cos. 2·b·c

20 1.2 Winkel, Dreiecke und Längen
 l2
 Teilung von Längen, Bogenlänge, zusammengesetzte Länge
G Teilungsvon Längen
 Randabstand = Teilung Gesamtlänge Teilung
 dm
 d
 D

 p p åp p n Anzahl der Bohrungen
 ​
 p = ​_____
 p Teilung
 l1 n+1

 l
F

 Randabstand ≠ Teilung Gesamtlänge Teilung

 p p p p n Anzahl der Bohrungen
 – (a + b)
 p Teilung p = _________
 ​​ ​
 n–1
 a, b Randabstände

K a b
 l

 Trennung von Teilstücken Stablänge Anzahl der Teile
 l s Sägeschnittbreite
 ​
 z = _____
 ​​
 z Anzahl der Teile
 lR s + s
W R Restlänge
 s Teillänge
 Restlänge

 R = – z · ( s + s)
 ls s s

B Bogenlänge
 Beispiel: Schenkelfeder B Bogenlänge Bogenlänge
 Mittelpunktswinkel
 π · r · ​
 B = _______
 ​​
 r Radius 180°
 lB

 å d Durchmesser
 r π·d· 
 d B = _______
 ​ ​
 360°
M

 Zusammengesetzte Länge
 D Außendurchmesser Zusammengesetzte Länge
 l2
 d Innendurchmesser
E L = 1 + 2 + …
 dm mittlerer Durchmesser
 s
 s Dicke
 1, 2 Teillängen
 dm
 d
 D

 å L zusammengesetzte Länge
 l1 a Mittelpunktswinkel

A