QUANTEN- UND FESTKÖRPERPHYSIK IM SCHULUNTERRICHT - JKU ...

Eingereicht von
 Patrik Haider

 Angefertigt am
 Institut für Halbleiter-
 und Festkörperphysik

 Beurteiler / Beurteilerin
 a. Univ. Prof. Dr.
 Gerhard Brunthaler

QUANTEN- UND Juni 2020

FESTKÖRPERPHYSIK
IM
SCHULUNTERRICHT

Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades

Magister der Naturwissenschaften
im Diplomstudium

Lehramt Physik und Mathematik

 JOHANNES KEPLER
 UNIVERSITÄT LINZ
 Altenberger Straße 69
 4040 Linz, Österreich
 jku.at
 DVR 0093696

EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG

Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und ohne
fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt
bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht
habe.

Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument
identisch.

Melk, am 14. Juni 2020

14. Juni 2020 I

Kurzfassung

In der heutigen Zeit wird Wissenschaft in den Medien immer präsenter. Dabei ist es oft
so, dass Wörter verwendet werden, die das Allgemeinwissen der meisten überschreiten.
Wörter wie Quantencomputer, Quantenkommunikation oder Nano-Science sagen wohl
den wenigsten etwas. Selbst in Schulbüchern von allgemeinbildenden höheren Schulen
wird das Thema oft nur angeschnitten.

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit genau diesem Problem. Es wird ein Konzept
erarbeitet, wie das Thema Quantenphysik und Festkörperphysik im Unterricht einer
achten Klasse einer allgemeinbildenden höheren Schule unterrichtet werden kann.
Dabei werden für die Lehrerinnen und Lehrer Unterrichtsplanungen erarbeitet, sowie
Arbeitsblätter und ein mögliches Heftbild für Schülerinnen und Schüler. Auch mögliche
Erweiterungen und Überprüfungen des gelernten Inhaltes werden vorgeschlagen.

Das Ziel der Arbeit ist es, einen Überblick über die Geschichte, aber auch über die
Inhalte der Quanten- und Festkörperphysik zu erhalten. Dies soll möglichst ohne die
Verwendung tiefergehender Mathematik geschehen. Dafür werden anschauliche
Erklärungen, Skizzen, Experimente und Überlegungen verwendet.

14. Juni 2020 II

Abstract

Nowadays, science is becoming more and more present in the media. It is often the
case that words are used that exceed the general knowledge of most people. Words like
quantum computer, quantum communication or nano-science probably mean nothing to
most people. Even in textbooks of general secondary schools the topic is often only
touched on.

This thesis deals with exactly this problem. A concept will be developed how the topic of
quantum physics and solid-state physics can be taught in the eighth grade of a general
secondary school. In this context, lesson plans for teachers will be developed, as well as
worksheets and a possible script for pupils. Possible extensions and reviews of the
learned content are also suggested.

The aim of the work is to get an overview of the history, but also of the contents of
quantum and solid-state physics. This should be done without the use of deeper
mathematics. For this purpose, descriptive explanations, sketches, experiments and
considerations are used.

14. Juni 2020 III

Inhaltsverzeichnis

1. Einstieg ......................................................................................................................... 1

 1.1. Motivation ............................................................................................................... 1

 1.2. Quanten- und Festkörperphysik im Alltag ............................................................. 2

 1.2.1. Der Transistor .............................................................................................. 2

 1.2.2. Der Laser ..................................................................................................... 3

 1.2.3. Kernspintomografie ..................................................................................... 3

 1.2.4. Die atomare Zeitmessung ........................................................................... 3

2. Quantenmechanik und Festkörperphysik im Schulunterricht ...................................... 4

 2.1. Der Lehrplan .......................................................................................................... 4

 2.2. Stundenanzahl ....................................................................................................... 5

 2.3. Internationale Betrachtung von Quantenphysik in der Schule ............................. 5

 2.4. Quantenphysik in der Sekundarstufe 2 ................................................................. 6

3. Unterrichtsplanungen zu Quantenmechanik und Festkörperphysik ........................... 8

 3.1. Quantenmechanik.................................................................................................. 8

 3.2. Planck und die schwarzen Körper......................................................................... 8

 3.3. Einstein und die Photonen..................................................................................... 9

 3.4. Bohr und die Atommodelle .................................................................................. 11

 3.5. Wellen, Teilchen und der Doppelspalt ................................................................ 13

 3.6. Schrödinger und die Wellen ................................................................................ 16

 3.7. Heisenberg und die Unschärfe ............................................................................ 19

 3.8. Zufall oder Vorbestimmung ................................................................................. 22

 3.9. Der Tunnel aus der Box....................................................................................... 24

 3.10. Vom Atom zum Festkörper ....................................................................... 28

 3.11. Vom Festkörper zum Halbleiter ................................................................ 30

4. Mögliches Heftbild ...................................................................................................... 37

5. Erweiterung der Unterrichtsmaterialien...................................................................... 60

 5.1. Arbeitsblätter ........................................................................................................ 60
14. Juni 2020 IV

5.2. Versuche .............................................................................................................. 63

 5.3. Simulationen ........................................................................................................ 65

 5.4. Leistungsfeststellung ........................................................................................... 66

6. Abschluss .................................................................................................................... 71

Literaturverzeichnis ........................................................................................................... 72

Abbildungsverzeichnis....................................................................................................... 76

14. Juni 2020 V

1. Einstieg

 1.1. Motivation

In der heutigen Zeit ist es wichtig, den Physikunterricht nicht nur auf die klassische
Physik zu reduzieren, sondern den Schülerinnen und Schülern auch die Möglichkeit zu
geben über den Horizont der klassischen Physik hinaus einen Einblick zu erhalten.
Neben den klassischen Kapiteln wie Mechanik, Optik, Elektrizität oder Akustik finden
sich oft Themen wie Mikro- und Makrokosmos, Chaostheorie, Quantenphysik oder
andere modernere Themengebiete. [Sex07] Viele Lehrer schrecken vor diesen Themen
leider zurück, weil sie zum einen sehr schwierig darzustellen sind, zum anderen aber
auch oft in der Ausbildung nicht so sehr berücksichtigt wurde.

Um einen modernen Physikunterricht zu gestalten, bieten sich inzwischen viele
Möglichkeiten an. Im Gegensatz zum „alten“ Physikunterricht, der oft aus Theorie
gespickt mit ein paar Experimenten bestand, kann ein modernerer Unterricht auf weit
mehr zurückgreifen. Mit dem Medium Internet erweitert sich der Physikunterricht um
viele Facetten. So können Videoplattformen wie beispielsweise YouTube eingesetzt
werden, um kompliziertere Experimente, die im Unterricht nicht durchgeführt werden
können zu präsentieren. Des Weiteren gibt es eine Vielzahl an Simulationen, mit denen
Experimente unter verschiedenen Umständen ausgeführt werden können. Diese werden
oft von renommierten Physik-Instituten erstellt und sind sehr genau. Natürlich sind auch
das klassische Demonstrationsexperiment und das Schülerexperiment in vielen
Themenbereichen gute Unterrichtsmedien.

In meiner Arbeit möchte ich eine Möglichkeit zeigen, wie man die Themen
Quantenphysik und als Erweiterungskapitel zum Lehrplan Festkörperphysik im
Schulunterricht der achten Klasse einer allgemeinbildenden Höheren Schule erarbeiten
kann. Dafür werden detaillierte Unterrichtsplanungen für die Lehrkraft angeboten, die
auch etwas Hintergrundwissen beinhalten. Auch ein Experiment und ein Arbeitsblatt mit
den Lösungen zu passenden Themen wird angeboten. Im Kapitel didaktischer
Kommentar werden Möglichkeiten zur Erweiterung der Planungen mit verschiedenen
Medieneinsätzen gezeigt. Wie in der Schule üblich sollte auch eine Überprüfung der

14. Juni 2020 I

Lerninhalte in Form eines schriftlichen Tests durchgeführt werden. Auch dafür wird eine
Möglichkeit gezeigt.

Gerade das Thema Quantenphysik ist aufgrund der Abstraktion für viele Schülerinnen
und Schüler nicht sehr greifbar. Oft liegt dies an der Verwendung von zu viel Mathematik
und der damit verbundenen Abstraktion. Bereits Albert Einstein erkannte die Probleme
darin, etwas hoch Komplexes einfach zu erklären.

 „Wenn man etwas nicht einfach erklären kann, hat man es nicht
 verstanden.“

 „Mache die Dinge so einfach wie möglich - aber nicht einfacher.“

 Albert Einstein

 1.2. Quanten- und Festkörperphysik im Alltag
Auch, wenn das Thema Quantenphysik nicht jedem ein Begriff ist, so kommt doch jeder
in seinem Alltag damit in Kontakt. Die Quantentheorie spielt im alltäglichen Leben eine
große Rolle. Egal ob man mit seinem Computer im Internet surft, mit seinem
Smartphone telefoniert, mit einem neuen Auto fährt oder eine DVD schaut, man nutzt
dabei unbewusst Quantentechnologien. Forscher im Bereich der Elektronik kommen um
die Quantentheorie nicht herum. [Sch12] Gerade das ist eine enorme Rechtfertigung
dafür, dass der Physikunterricht nicht mehr nur auf klassischer Physik beruhen sollte,
sondern auch moderne Physik beinhalten muss. In jeder Klasse könnte ein zukünftiger
Quantenphysiker sitzen.

 1.2.1. Der Transistor
Bereits während des zweiten Weltkriegs wurden die ersten elektronischen Computer
gebaut. Diese waren jedoch enorm groß und hatten einen massiv hohen
Energieverbrauch. Nicht selten belegte ein Computer einen ganzen Raum. In etwa um
1950 gab es mit der Erfindung des Transistors einen großen Fortschritt in der
Computerarchitektur. Es wurde möglich, Transistoren auf einen Chip in der Größe einer
Briefmarke zu bauen. Ein Transistor kann nicht mit Hilfe der klassischen Physik erklärt
werden und ist weitestgehend angewandte Quantenphysik. [Sch12]

14. Juni 2020 2

1.2.2. Der Laser
Lange Zeit musste in der Physik mit Licht aus herkömmlichen Glühbirnen gearbeitet
werden. Dies war problematisch, da es erstens nicht monochromatisch war, sondern ein
großes Spektrum abstrahlt und zweitens in alle Richtungen emittiert. Dies hat sich mit
der Erfindung des Lasers schlagartig geändert. Laser erzeugen scharf gebündeltes
Licht, das eine hohe Leuchtdichte aufweist. Der Laser ist ein zutiefst
quantenphysikalisches Gerät. Laser ist die Abkürzung für „Light Amplification by
Stimulated Emission of Radiation”. Den Grundstein für die Idee des Lasers legte Albert
Einstein bereits 1917, also zu Beginn der Ära der Quantenphysik. Erst 40 Jahre später
war es möglich die ersten Geräte zu bauen. Heute haben Laser ihre Anwendung in
Wissenschaft, Technik und Medizin. [Sch12]

 1.2.3. Kernspintomografie
Die Kernspintomografie ist ein wichtiges Instrument in der bildgebenden Diagnostik im
Bereich der Medizin. Mit ihr ist es möglich, Fette und Eiweiße zu unterscheiden Somit
gelingt es dank eines Kernspintomografen, Bilder von Organen zu erstellen, ohne dass
davor liegende Knochen dabei stören. Hierfür werden hohe Magnetfelder benötigt, die
mit supraleitenden Spulen erzeugt werden. Hier kommt die Quantenphysik ins Spiel.
[Sch12]

 1.2.4. Die atomare Zeitmessung
Atome strahlen in unveränderlichen Frequenzen, die charakteristisch für jedes Element
sind. Diese Charakteristik wird in der Physik verwendet, um Atomuhren zu betreiben.
Diese Atomuhren sind nicht an die eher ungenaue Schwingung eines Pendels
gebunden, sondern folgen atomaren Resonanzen. Eine Atomuhr erreicht eine
Genauigkeit von 0,3 Sekunden pro 1 Million Jahre. [Sch12]

14. Juni 2020 3

2. Quantenmechanik und Festkörperphysik im Schulunterricht

 2.1. Der Lehrplan
Der Lehrplan für die AHS Oberstufe wurde vom Bildungsministerium im Jahr 2004
erstellt und trat ab dem Schuljahr 2004/2005 in Kraft. Für das Fach Physik ist der
Lehrplan für die 7. und 8. Klasse der Oberstufe, sprich für die 11. und 12. Schulstufe
zusammengefasst. Er beinhaltet sehr grob Themengebiete und gibt dem Lehrer oder
der Lehrerin so jede Menge Spielraum, den Unterricht und die Themenwahl nach
eigenem Ermessen zu gestalten.

„7. und 8. Klasse

Die Schülerinnen und Schüler sollen folgende physikalische Bildungsziele erreichen:

- die bisher entwickelten methodischen und fachlichen Kompetenzen vertiefen und
darüber hinaus Einblicke in die Theorieentwicklung und das Weltbild der modernen
Physik gewinnen

- verstärkt Querverbindungen mit anderen Bereichen knüpfen können

- den Einfluss der aktuellen Physik auf Gesellschaft und Arbeitswelt verstehen

- Licht als Überträger von Energie begreifen und über den Mechanismus der Absorption
und Emission die Grundzüge der modernen Atomphysik (Spektren, Energieniveaus,
Modell der Atomhülle, Heisenberg’sche Unschärferelation, Beugung und Interferenz von
Quanten, statistische Deutung) verstehen

- Verständnis für Paradigmenwechsel an Beispielen aus der Quantenphysik oder des
Problemkreises Ordnung und Chaos entwickeln und Bezüge zum aktuellen Stand der
Wissenschaft / Forschung herstellen können

-Einblicke in die Bedeutung der Materialwissenschaften (Miniaturisierung, Erzielung
definierter Eigenschaften durch kontrollierte Manipulation, Bionik) gewinnen und deren
physikalische Grundlagen erkennen“

(Auszug aus dem Lehrplan für die 7. Und 8. Klasse der AHS Oberstufe) [www1]

Dies sind Auszüge aus dem Lehrplan, welche Quantenmechanik und Festkörperphysik
betreffen. Wie bereits erwähnt, ist hier zu erkennen, dass es keinerlei genaue Vorgaben
gibt, wie ein Themengebiet zu bearbeiten ist.

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2.2. Stundenanzahl

In der 12. Schulstufe der AHS (8. Klasse) ist in österreichischen Gymnasien Physik im
Normalfall mit zwei Wochenstunden belegt. Das ergibt für ein gewöhnliches Schuljahr je
nach Wochentagen und Stundenplan in etwa 55 - 60 Unterrichtseinheiten. Nach meinem
persönlichen Ermessen sind dabei für die Quantenmechanik ca. 10 - 12 Stunden
aufzuwenden. Die Festkörper- und die Halbleiterphysik lassen sich im Anschluss daran
mit 3 - 5 Stunden ideal als Ergänzungskapitel anschließen. Natürlich ist es jedem Lehrer
und jeder Lehrerin selbst überlassen, wie genau das Thema bearbeitet wird und wie viel
Zeit in der Jahresplanung dafür eingerechnet wird.

 2.3. Internationale Betrachtung von Quantenphysik in der Schule
In einer Studie aus dem Jahr 2019 von Stadermann et al. wurden verschiedene Aspekte
des Quantenphysikunterrichts in der Sekundarstufe 2 oder international vergleichbaren
Schulformen untersucht. Ausschlaggebend für diese Untersuchung war die Diskussion
im niederländischen Bildungssystem, ob es möglich ist, Quantenphysik in der Schule zu
unterrichten. Als Problem wurde dabei vor allem angesehen, dass es schwierig ist, die
Konzepte zu verstehen, da dafür eine bestimmte Fähigkeit zur Abstraktion verlangt wird.
[Sta19] Laut einer Studie aus dem Jahr 2005, in der die Lehrpläne von 10 Ländern
untersucht wurden, gab es in vielen Ländern einen geringen Anteil an Quantenphysik im
Lehrplan. Zu erwähnen ist aber, dass dabei Länder wie Deutschland und Österreich
nicht beachtet wurden. Diese beiden Länder haben schon seit langer Zeit das Thema
Quantenphysik in der Sekundarstufe 2 behandelt. [Sta19]

Bei der Analyse der Curricula wurden diese in fünf Stufen bewertet:

 • International vergleichbar (supra level)
 • National oder bundeslandweit gültig (macro level)
 • Schulintern (meso level)
 • Klassenintern (micro level)
 • Von der Lehrperson abhängig (nano level)

Der in Österreich geläufige Lehrplan würde nach dieser Einteilung zum Punkt national
oder bundeslandweit gültig, also zum macro Level zu zählen sein.

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2.4. Quantenphysik in der Sekundarstufe 2

Schülerinnen und Schülern war es lange nicht möglich einen tiefergehenden Unterricht
zum Thema Quantenmechanik zu erhalten. Als Grundlage für diesen Kurs werden
mathematische Kenntnisse in den Bereichen von partiellen Differentialgleichungen,
komplexen Zahlen oder linearen Operatoren in einem Hilbert Raum dringend benötigt.
Derartige Mathematik wird allerdings nur an der Universität unterrichtet. Aus diesem
Grund war es lange Zeit der Fall, dass in Schulen nur ein historischer Überblick über die
Entwicklung und einige Experimente gegeben wurde. [Sta19]
Bei der Analyse der internationalen Lehrpläne war es möglich, eine Liste von 17
Deskriptoren zu erstellen, die in den Dokumenten vorkommen und den
Quantenphysikunterricht in der Sekundarstufe 2 bilden.

Tabelle 1: Diskreptoren für Quantenphysik im Unterricht

Q1 Strahlung schwarzer Körper
Q2 Das Bohr’sche Atommodell
Q3 Diskrete Energieniveaus in Atomen
Q4 Die Wechselwirkung von Licht und Materie
Q5 Der Welle-Teilchen-Dualismus
Q6 Materiewellen
Q7 Technische Anwendungen
Q8 Unschärfe
Q9 Die statistische Natur der Quantenphysik
Q10 Philosophische Betrachtung
Q11 Das eindimensionale Modell
Q12 Der Tunneleffekt
Q13 Orbitalmodell der Atome
Q14 Das Pauli-Verbot
Q15 Quantenverschränkungen
Q16 Schrödinger-Gleichung
Q17 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

[Sta19]

14. Juni 2020 6

Diese Deskriptoren lassen sich in verschiedene Themengebiete einbetten. Als Beispiel
dafür möchte ich die Atomtheorie herausnehmen, welche die Punkte Q2, Q3, Q11, Q13
und Q14 beinhalten würde. [Sta19]
Zu guter Letzt möchte ich noch die Idee des Kerninhaltes und des erweiterten Inhaltes in
Bezug auf die Quantenphysik in der Sekundarstufe 2 aufgreifen. Auch hierfür wurde in
der Studie eine interessante Lösung geliefert.

Abbildung 1: Beispiel für Unterrichtsplanung mit Hilfe von Diskreptoren [Sta19]

Hier ist erkennbar, dass von der Lehrperson Inhalte, die einem bestimmten Ablauf
folgen, nach eigenem Ermessen ausgewählt wurden.

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3. Unterrichtsplanungen zu Quantenmechanik und Festkörperphysik

 3.1. Quantenmechanik
In der klassischen Physik kennen wir nur eine stetige Verteilung von Größen. In der nun
folgenden Quantenmechanik betrachten wir die Erkenntnisse des 20 Jahrhunderts.
Unsere Natur ist stufenförmig aufgebaut.
Beispielsweise die Ladung eines Elektrons (Elementarladung): = 1,6 ∙ 10−19 . Von
dieser Größe treten immer nur Vielfache auf.

 3.2. Planck und die schwarzen Körper

Max Planck stößt 1899 auf eine neue Konstante, als er daran arbeitet, eine
thermodynamische Beschreibung schwarzer Körper zu entwickeln. Dieses Phänomen
hängt eng mit der Hohlraumstrahlung zusammen. Ein schwarzer Körper ist ein Körper,
der die eintreffende Strahlung vollständig absorbiert, und dabei nichts reflektiert.
[Ren13]

Mit Hilfe des Wien’schen Strahlungsgesetzes lassen sich experimentell festgestellte
Messergebnisse dazu gut erklären. Das Problem war allerdings, dass sich die Formel
des Wien’schen Strahlungsgesetzes nicht mit der klassischen Physik herleiten lässt.
Planck arbeitet an einer neuen Herleitung. In dieser Herleitung erscheint erstmals der
Parameter b, der später in h umbenannt wird.
Der erste von Planck berechnete Wert für diese Konstante lag bei 6,885 ∙ 10−34 , was
nur 4 Prozent über dem heute bekannten Wert für das Planck`sche Wirkungsquantum
liegt.

1900 wurde bei genaueren Messungen für große Wellenlängen eine Abweichung vom
Wien’schen Strahlungsgesetz entdeckt. Planck konnte mit einer neuen Formel auch
dieses Verhalten richtig beschreiben. Für die theoretische Begründung musste er aber
annehmen, dass die Energie quantisiert ist, also nur in diskreten Stufen auftritt und dass
die thermische Energie bei hohen Frequenzen (kleinen Wellenlängen) nicht ausreicht,
um diese Energien anregen zu können.
Diese Stufen wurden beschrieben als ∆ = ℎ ∙ . Wobei er h als Hilfsgröße verwendet
und erst später merkt, dass dieses h mit dem bereits bekannten b übereinstimmt.

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Somit war das Planck`sche Wirkungsquantum h gefunden.
Der heute bekannte Wert für h liegt bei 6,6260715 ∙ 10−34 . [Ren13]

Planck selbst war die Bedeutung seiner Erkenntnisse zu Beginn nicht bewusst.
1918 erhielt er für die Entdeckung der Quantisierung den Nobelpreis.

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… die Definition eines schwarzen Körpers wiedergeben können.
… verstehen, dass zu dieser Zeit der Übergang von der klassischen zur modernen
Physik beginnt.
… wiedergeben können, dass die Natur stufenförmig (quantisiert) aufgebaut ist.
… interpretieren können, welche Auswirkungen die Entdeckung des Planck‘schen
Wirkungsquantums hat.

 3.3. Einstein und die Photonen

Der Photoeffekt oder photoelektrische Effekt wurde bereits im Jahr 1887 von Heinrich
Hertz bei seiner Untersuchung zu elektromagnetischen Wellen entdeckt, konnte
zunächst aber nicht erklärt werden.

Einige Jahre später begann Albert Einstein sich mit den Ergebnissen von Hertz zu
beschäftigen und stellte so 1905 seine Hypothese für den Photoeffekt auf.

Der Photoeffekt besagt, dass energiereiche Photonen, die auf eine Metallplatte treffen,
Elektronen aus dieser herauslösen können.

Einstein nimmt Plancks Aussage an, dass ein elektromagnetisches Feld aus Teilchen,
den Lichtquanten oder auch Photonen genannt, besteht. Die Energie dieser Teilchen ist,

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wie schon bei Planck, gegeben durch = ℎ ∙ . Die Energie ist also von der Frequenz
abhängig.

 -
 Einfallende Ausgehende
 Photonen s Elektron

 Metallplatte

Abbildung 2: Skizze des photoelektrischen Effektes

Wie in der Skizze sichtbar ist, fallen die Photonen auf eine Platte aus Metall ein. Aus
dieser werden durch einen Stoßprozess Elektronen herausgelöst.
Dies geschieht, wenn die Photonenenergie E (also die Energie der eingehenden
Photonen) höher ist als die Bindungsenergie W der Elektronen an das Metall. Die
Differenz aus der Photonenenergie und der Bindungsenergie wird dann als kinetische
Energie an das Elektron weitergegeben. [Ren13]

Also wenn gilt:
 ℎ∙ > 

dann wird die überschüssige Energie − zu des Elektrons.

Einstein erhielt übrigens seinen einzigen Nobelpreis im Jahr 1921 für diese Entdeckung
und nie für seine Relativitätstheorie.

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Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… die Aussage des Photoeffekts wiedergeben können.
… verstehen, dass Photonen einen Stoßprozess ausführen können.
… wissen, dass die Energie von Photonen quantisiert ist.
… die Formel = ℎ ∙ wiedergeben können.
… eine Skizze zum Photoeffekt zeichnen können.
… den Zusammenhang der Photonenenergie und der kinetischen Energie des Elektrons
beschreiben können.

 3.4. Bohr und die Atommodelle
Über die Jahrtausende hinweg gab es immer wieder verschiedene Ansichten, wie ein
Atom aussieht. Der Name Atom kommt von dem griechischen Philosophen Demokrit
(ca. 400 v. Chr.), der ein Atom als das kleinste unteilbare Teilchen ansah. Daher der
Name Atom, der so viel wie unteilbar bedeutet. [www2]

Im frühen 20. Jahrhundert entstand das etwas genauere Thomson’sche Atommodell.
Dieses wird im Deutschen auch als Rosinenkuchenmodell bezeichnet. Dabei soll das
Atom aus einer großen masselosen positiven Ladungsmenge und den darin
eingebetteten Elektronen bestehen. [www2]

Abbildung 3: Atommodell von Thomson [www5]

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Nur wenige Jahre später gelang es Earnest Rutherford ein präziseres Modell zu
erstellen. Er war der erste, der erkannte, dass sich beinahe die gesamte Masse des
Atoms in einem positiv geladenen Kern befinden muss. Die negativen Ladungen, also
die Elektronen befanden sich in seinem Modell auf eine nicht näher beschriebene Weise
darum verteilt. [www2]

Abbildung 4: Atommodell von Rutherford [www7]

Das Bohr’sche Atommodell ist heute weitestgehend anerkannt. Bohr war 1913 der erste,
der die quantenmechanischen Erkenntnisse in ein Atommodell einfließen ließ. Um die
Beschreibung von Rutherford zu präzisieren machte Bohr Postulate. [Hak04]

1. Für die Elektronen in Atomen sollen zwar die klassischen Bewegungsgleichungen
 gelten, allerdings sind nur bestimmte diskrete Bahnen mit Energien E n zulässig.
 Dies sind die stationären Zustände des Atoms.

2. Die Elektronen bewegen sich auf diesen quantisierten Bahnen ohne Strahlung
 abzugeben. Ein Elektron kann die Bahn wechseln, gibt dabei aber Strahlung ab
 (oder nimmt diese auf), deren Frequenz nach der Energiedifferenz der Bahnen zu
 bestimmen ist. Also nach der bereits bekannten Formel ∆ = ℎ ∙ (bzw.
 Δ 
 umgeformt: = ).
 ℎ

3. Die Frequenz der emittierten oder absorbierten Strahlung nähert sich der
 Umlauffrequenz des Elektrons an.

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Abbildung 5: Atommodell von Bohr [www8]

Mit diesen Ergebnissen konnte Bohr überprüfen, ob das ausgesendete Licht eines
Wasserstoffatoms mit seinen Berechnungen zusammenstimmt, da es ja möglich war,
die Frequenz zu bestimmen. Somit konnte er seine Erkenntnisse bestätigen.

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… die Herkunft des Wortes Atom kennen.
… das Thomson’sche Atommodell mit einer Skizze erklären können.
… das Rutherford’sche Atommodell mit einer Skizze erklären können.
… die Besonderheiten des Bohr’schen Atommodells wiedergeben können.
… die ersten beiden Bohr’schen Postulate in eigenen Worten beschreiben können.
… das Bohr’sche Atommodell mit einer Skizze erklären können.

 3.5. Wellen, Teilchen und der Doppelspalt

Eine der grundlegenden Aussagen der frühen Quantenmechanik war der Welle-
Teilchen-Dualismus. Hier ist die grundlegende Aussage, dass bestimmten Objekten der
Quantenmechanik sowohl Welleneigenschaften, als auch Teilcheneigenschaften
zugesprochen werden können. Diese Objekte werden auch Quantenobjekte genannt.

Am einfachsten zu erklären ist dieses Phänomen mit dem Doppelspaltexperiment.

14. Juni 2020 13

Der Versuchsaufbau:

Der Versuchsaufbau ist relativ einfach: man benötigt eine Lichtquelle, einen
Doppelspalt, wobei der Spalt kleiner sein sollte, als die Wellenlänge  des Lichtes und
einen Schirm zum Detektieren.

Abbildung 6: Skizze Versuchsaufbau Doppelspaltexperiment

Nun gibt es sowohl Vorhersagen für die klassischen Teilchen, als auch für die
klassischen Wellen.

Klassische Teilchen:

Wären die Photonen klassische Teilchen, so dürfte es keinerlei Interferenzmuster
geben. Es handelt sich um einzelne massereiche Punkte, die in einem eindeutig
eingegrenzten Bereich auftreten dürften. Die Teilchen würden nur geradlinig durch den
Spalt geschossen werden und könnten somit auch nur in einem bestimmten Bereich
hinter dem Spalt auf dem Detektorschirm erscheinen.

14. Juni 2020 14

Abbildung 7: Verteilung klassischer Teilchen beim Doppelspalt [www9]

Klassische Wellen:

Wären die Photonen klassische Wellen, so würde das für Wellen typische
Interferenzmuster entstehen. Je nach Eigenschaften vom Doppelspalt oder von den
Photonen würde das Interferenzmuster etwas anders aussehen.

Abbildung 8: Interferenzmuster klassischer Wellen beim Doppelspalt [www10]

Quantenobjekte:

Abbildung 9: Interferenzmuster von Quantenobjekten beim Doppelspalt [www11]

Wie hier zu sehen ist, haben Quantenobjekte (in diesem Fall Elektronen) sowohl
Eigenschaften von Wellen, als auch von Teilchen. Zum einen ist eindeutig ein
Beugungsmuster zu erkennen, was auf Wellen schließen lässt, zum anderen sind aber
auch klar erkennbare Punkte zu sehen, die auf Teilchen schließen lassen.
Es sind hellere Stellen, also Maxima und dunklere Stellen, die Minima zu sehen.
14. Juni 2020 15

Die Intensitätsverteilung sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 10: Intensitätsverteilung Doppelspalt [www12]

Auch hier sind die Minima und Maxima erkennbar.

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… die Definition von Quantenobjekten kennen.
… den Versuchsaufbau des Doppelspaltexperiments skizzieren können.
… die Eigenschaften von klassischen Teilchen, klassischen Wellen und
Quantenobjekten wiedergeben können.
… anhand der Bilder zu den detektierten Ergebnissen die Objekte richtig zuordnen
können.

 3.6. Schrödinger und die Wellen

Nachdem es bereits Gang und Gebe war, dass bei Licht sowohl Wellen-, als auch
Teilcheneigenschaften auftreten, kam nach und nach die Idee auf, dies auch auf andere
mechanische Objekte auszuweiten. So wäre es möglich, dass auch Elektronen oder
Alpha-Teilchen mit Schwingungen verbunden sind. [Bru17] 1924 erarbeitete der
französische Physiker Louis de Broglie in seiner Doktorarbeit die Theorie, dass Teilchen
je nach Geschwindigkeit eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet wird.

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Der österreichische Physiker Erwin Schrödinger griff zwei Jahre später 1926 diese
Theorie auf und entwickelte seine Wellenmechanik. Diese stand in engem
Zusammenhang mit der klassischen Mechanik. Es gelang ihm zu zeigen, dass seine
Wellenmechanik dieselben Ergebnisse lieferte, wie die von Heisenberg entwickelte
Matrizenmechanik.

So entstand die zeitabhängige Schrödingergleichung, die es ermöglicht
quantenmechanische Wellen zu berechnen.

 ℏ ̂ Ψ( ⃗, )
 Ψ( ⃗, ) = 
 
[Bru17]
Dabei stellt H den Hamilton Operator dar.

Dafür ist es aber möglich, für ein zeitlich konstantes System die Schrödingergleichung in
eine Form zu bringen, die nicht mehr von der Zeit abhängt. Hier wird dann von der
zeitunabhängigen Schrödingergleichung gesprochen.

 ̂ Ψ( ⃗) = Ψ( ⃗)
 
̂ … , ℎ + 
 
Ψ( ⃗) … 
 … 

Mit dieser Form der Gleichung ist es auch möglich, ein einfaches Rechenbeispiel
durchzuführen. Das einfachste ist hierbei die Gleichung für das freie Elektron:

̂ Ψ( ⃗) = Ψ( ⃗)
 
̂ = + 
 
 1 
 = = ∙ ∙ 2 | | = ∙ 
 2 

 2 2 2 
 = = 2 | = − ℏ ∙ *
 2 

14. Juni 2020 17

 2
 2 ~ | 2 2. , 
 2

 = = 0

 2
 Ψ( ) ~ Ψ( ) | 2. ℎ Ψ( ) ==> 
 2

Ψ( ) ~ A ∙ sin(√ )

* Der quantenmechanische Impulsoperator muss hier anstelle des klassisch bekannten
Impulses verwendet werden, da der Hamiltonoperator zum Lösen der
Differenzialgleichung benötigt wird.

Abbildung 11: Wellenfunktion

14. Juni 2020 18

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… einen Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Schrödingergleichung
haben.
… wissen, dass es eine zeitabhängige und eine zeitunabhängige Schrödingergleichung
gibt.
… mithilfe des einfachen Beispiels des freien Elektrons die Herangehensweise an die
Quantenmechanik verstehen.
… die Graphen der Wellenfunktion interpretieren können.

 3.7. Heisenberg und die Unschärfe

Quantenobjekte besitzen sowohl Eigenschaften von Teilchen als auch von Wellen. Im
Folgenden wollen wir uns mit den daraus folgenden Konsequenzen beschäftigen. Bei
den Quantenobjekten kann es sich um ein Teilchen wie ein Elektron handeln, aber auch
um ein Photon, das eine quantisierte (portionierte) elektromagnetische Welle darstellt.

Wenn man das Quantenobjekt durch eine unendlich ausgedehnte Welle beschreibt (wie
wir es im vorigen Kapitel getan haben), so ist der Ort vollkommen unbestimmt. Bei einer
Messung kann das Teilchen überall gefunden werden und man kann nicht vorhersagen
wo. Dafür besteht die Welle aber aus einer einzigen Sinus- oder Cosinus Komponente
und daher ist dessen Impuls, der aus der Wellenlänge folgt, exakt festgelegt.

Wenn sich ein Teilchen aber in einem bestimmten Raumbereich aufhält, muss man es
durch eine räumlich begrenzte Welle beschreiben. Dies ist mit einem Wellenpaket
möglich, siehe dazu die schematische Darstellung in Abb. 11.

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Abbildung 11: Wellenpaket mit einhüllender Funktion

Dort wo die Amplitude der Welle groß ist, ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei
einer Messung zu finden entsprechend groß. Genau genommen ist die
Wahrscheinlichkeit proportional zum Quadrat der Wellenfunktion. Bei kleinen
Amplituden ist die Wahrscheinlichkeit gering das Teilchen zu finden. Trotzdem kann das
Teilchen bei einer Messung im gesamten Bereich der Wellenfunktion gefunden werden.
Man sieht daraus, dass der Ort des Teilchens nicht genau festgelegt ist und die
Unschärfe in etwas der Ausdehnung des Wellenpakets entspricht. Die Unschärfe kann
aber mathematisch genau definiert und für ein beliebiges Wellenpaket auch genau
berechnet werden.
Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das Wellenpaket nach wie vor aus einer
einzigen Wellenlänge besteht (bei einer zeitlichen Schwingung wäre es die Frequenz).
Aber wenn es tatsächlich eine Wellenlänge wäre, müsste die Welle wieder unendlich
ausgedehnt sein. Die räumliche Begrenzung der Welle erreicht man dadurch, dass man
viele Wellen mit fast gleichen Wellenlängen überlagert. In der Mitte sind alle Wellen in
Phase (die Maxima stimmen überein), aber dadurch, dass die Wellenlängen etwas
unterschiedlich sind kommt es zu Interferenzeffekten und die Wellen löschen sich für
größere Abstände vom Maximum gegenseitig im zunehmend besser aus. Bei der
richtigen Auswahl von Wellenlängen erreicht man eine komplette gegenseitige
Auslöschung für alle größeren Abstände. Mathematisch exakt kann man die richtigen
Anteile durch eine Fouriertransformation des begrenzten Wellenpaketes bestimmen.

Jede einzelne der vielen Wellen, die zum Wellenpaket beitragen, hat eine etwas andere
Wellenlänge, woraus sich auch unterschiedliche Impulse der Teilwellen ergeben. Somit
lässt sich sehr gut verstehen, dass man bei einer Messung des Impulses (und damit

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auch der Geschwindigkeit) unterschiedliche Ergebnisse erhält. Genauso wie sich der Ort
des Teilchens nicht exakt vorhersagen lässt, kann man aber auch nicht vorhersagen
welchen Impuls man bei einer einzelnen Messung genau erhält. Auch der Impuls des
Wellenpaketes ist eben unscharf.

Je breiter das Wellenpaket im Ortsraum ist, umso weniger unterschiedliche
Wellenlängen benötigt man um aus der Überlagerung und gegenseitigen Auslöschung
die richtige Form zu erhalten. ∆ x ist groß, aber ∆ p ist klein.
Für ein schmales Wellenpaket benötigt man aber entsprechend mehr Wellenlängen um
die starke räumliche Auslöschung (Interferenz) zu bekommen. ∆ x ist her klein, aber ∆ p
ist entsprechend groß.
Eine genaue Analyse zeigt, dass für ein Wellenpaket dessen Einhüllende die Form
eines Gaußpaketes besitzt, das Produkt aus ∆ x mal ∆ p konstant ist.

In eine Formel lässt sich das Ganze als Heisenberg’sche Unschärferelation
folgendermaßen verpacken:

 ℏ
 ∆ ∙ ∆ ≥
 2

∆ … ℎä 
∆ … ℎä 
 ℎ
ℏ=
 2 

[Ren13]

Eine direkte Folgerung daraus ist, dass das Elektron nicht in Bahnen um den Atomkern
kreist, wie man es sich vielleicht bildlich vorstellt, sondern in Orbitalen mit bestimmten
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Generell sprechen wir ab hier meist nur noch von
statistischen Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich ein Teilchen an einem bestimmten
Ort aufhält. Die Unschärferelation erklärt, warum das Elektron nicht in einem
„Spiralsturz“ in den Atomkern fällt. Nach der klassischen Physik müsste das passieren,
da eine Kreisende Ladung elektromagnetische Wellen erzeug und somit Energie verliert.
Würde dies geschehen, so wäre das Elektron anschließend im Kern „gefangen“. Wäre

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das Elektron im Kern, wäre der Ort relativ genau beschrieben. Somit wäre der Impuls
sehr groß und es würde Energie benötigen, um das Elektron auch im Kern zu halten.
Bewegt sich das Elektron in seinem Orbital, ist das Gesamtsystem optimiert.

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… verstehen, dass Quantenobjekte als Wellenpakete beschrieben werden.
… wissen, dass es nicht möglich ist, den Aufenthaltsort und den Impuls eines
Quantenobjektes gleichzeitig beliebig genau zu bestimmen.
… das Prinzip der Unschärferelation mit einem Gedankenexperiment erklären können.
… die Unschärferelation als Formel wiedergeben können.
… die Folgerungen der Unschärferelation beschreiben können.

 3.8. Zufall oder Vorbestimmung

Nachdem es dank Heisenberg und Schrödinger nun möglich war, die Quantenwelt
mathematisch zu beschreiben, suchte man nach einer physikalischen Interpretation für
die Ergebnisse. Man erkannte, dass das Quadrat der Wellenfunktion |Ψ( )|2 der
statistischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens entspricht. Nun stellte sich
aber für viele die Frage, ob sich diese Wahrscheinlichkeit genau vorherbestimmen lässt.
Dabei kristallisierten sich zwei Lager der modernen Physik heraus. Zum einen Albert
Einstein und Erwin Schrödinger, die sich sicher waren, dass es sich in der Physik nicht
sein könne, dass die Physik wirklich nur dem Zufall folgt. Sie gingen davon aus, dass es
versteckte Parameter geben muss, die auf Grund der Ausgangslage das Ergebnis
vorhersagen konnten. Auf der Gegenseite waren Werner Heisenberg und Niels Bohr,
die sich für den echten Zufall aussprachen. Sie sagten, dass das Teilchen erst durch die
Messung eine bestimmte Position im Raum einnimmt. Dabei war die Rede davon, dass
die Wellenfunktion durch das Eingreifen mit einer Messung gar kollabiert. Nach vielen
Überlegungen und Experimenten hat sich die Meinung von Bohr und Heisenberg als

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richtig erwiesen. Heute sprechen wir dabei von der Kopenhagener Deutung.
Unvergessen ist auch Einsteins Aussage „Gott Würfelt nicht!“.
|Ψ( )|2entspricht also der statistischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit des freien
Elektrons. [Bru17]

Abbildung 12: Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Da Schrödinger immer Zweifel an der Zufallsinterpretation der QM hatte, erdachte er
sich ein Gedankenexperiment in dem er die Problematik auf die Spitze trieb.
Der lebende und der tote Zustand einer Katze werden hier durch Quantenzustände
ausgedrückt. Nach der QM kann es eine Überlagerung geben, in der beide Zustände
gleichzeitig vorhanden sind. Solange die Katze in einer komplett abgeschlossenen Box
ist, ist der Zustand unbestimmt. Erst beim Öffnen der Box wird eine Beobachtung
(Messung) durchgeführt und genau in dem Augenblick wird entschieden ob die Katze
letztlich tot oder lebendig ist. [Bru17]

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Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…
… die Geschichte hinter der Fragestellung nach der Interpretation der Quantenphysik
kennen.
… erkennen, dass das Quadrat der Wellenfunktion die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Teilchens darstellt.
… mittels „Schrödingers Katze“ den Einsatz eines Gedankenexperiments kennenlernen.

 3.9. Der Tunnel aus der Box
Wir stellen uns nun vor, ein freies Elektron würde in eine „Box“ mit unendlich hohen
Potentialschwellen, die wir uns als „Wände“ vorstellen können „eingesperrt“. In der
Fachsprache wird hier von einem Teilchen in einer Box (engl. Particle in a Box)
gesprochen.
Für solche Potentialtöpfe gibt es zwei Möglichkeiten. Nämlich die, dass die Box
unendlich hohe Wände hat oder die, dass die Wände nur endlich hoch sind.

 a) Die unendlich tiefe Box

Abbildung 13: Wellenfunktionen von Teilchen in einer Box

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Das Elektron kann sich nun innerhalb der Box der Länge L mit unendlich hohen Wänden
frei bewegen. Die Wellenfunktion Ψ( ) ist in der Box also wie bereits bekannt
proportional zu sin( ). Außerhalb der Box ist die Wellenfunktion Ψ( ) = 0.

Die erlaubten Energien der Wellenfunktionen lassen sich hier leicht bestimmen.
Als Ansatz dienen die Wellenfunktionen. Eine Cosinusfunktion für die geraden Werte
und eine Sinusfunktion für die ungeraden.

 2 1 3
Ψ = ∙ cos( ) mit = 
 und = 2
 , 2 , …
 2 
Ψ = ∙ sin( ) mit = und = , 2 , …
 
Für beide Funktionen gilt die Bedingung:
 2 2 
 = ∙2 => = => = = ∙ 
 
Setzt man nun dieses in die Formel für die Energie der Welle ein, so erhält man:
 ℏ2 2 ℏ2 2 2
 = = ∙ 2
 2 2 

 b) Die Box mit endlich hohen Wänden

 E

 0 L

 x
Abbildung 14: Wellenfunktion eines Teilchens in einer endlich hohen Box

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In der Wand der Box nimmt die Wellenfunktion Ψ( ) exponentiell ab. Das bedeutet, es
gibt eine endliche Wahrscheinlichkeit (sehr klein, aber nicht 0), das Teilchen in der
Wand zu messen. Oberhalb der Box ist das Teilchen frei.

Der Tunneleffekt

 0 a b

Abbildung 15: Skizze des Tunneleffektes

Im Bereich von 0 bis a befindet sich das Teilchen, wie bereits bekannt, in einer Box.
Trifft es auf die Wand, kann der Fall auftreten, dass es hindurch tunnelt. Die Wand wird
in der obigen Skizze mit dem Bereich a bis b dargestellt. Wie in Punkt b) besprochen ist
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in der Wand zu finden klein, aber nicht 0. Tritt nun
der Fall ein, dass sich das Teilchen in der Wand befindet, so nimmt die Wellenfunktion
Ψ( ) dort exponentiell ab. Ist es dann durch die Wand durch, so kann es sich als freies
Teilchen weiterbewegen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen, das auf eine Wand trifft, tunnelt ist umso
höher, …

… je größer die Energie des Teilchens in der Box ist.
… je dünner die Wand ist.
… je niedriger die Wand ist.

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Anwendungsbeispiele für den Tunneleffekt sind:

Das Rastertunnelmikroskop
-Strahlung
Flash-Speicher
[www13]

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… den Unterschied zwischen einem freien Teilchen und einem Teilchen in einer Box
kennen.
… den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltsortes in der
Wand und dem exponentiellen Abfall der Wellenfunktion kennen.
… eine Skizze zum Tunneleffekt erklären können.
… wissen, wovon die Wahrscheinlichkeit für das Tunneln abhängt.
… Anwendungsbeispiele des Tunneleffektes nennen können.

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3.10. Vom Atom zum Festkörper

Wir betrachten 1 Atom:

Ein Atom hat verschiedene Orbitale und Energieniveaus. Diese sind in der folgenden
Abbildung dargestellt:

Abbildung 16: Energieniveaus eines Atoms [www14]

Natrium (Na) zum Beispiel hat 11 Elektronen.

Festkörper:

Festkörper bestehen im Unterschied dazu aus vielen einzelnen Atomen im Verbund.
Dabei bestimmt der Abstand der Atome die Orbitale und Energieniveaus. Bei einem
Natriumkristall sprechen wir jetzt nicht mehr von 11 Elektronen, sondern von 11  n
Elektronen bei einer Atomanzahl von n.

Bei Kristallen sieht das folgendermaßen aus:

Es gibt bei Kristallen keine Energieniveaus im herkömmlichen Sinne mehr, sondern
Energiebänder. Diese entstehen auf Grund der Überlappung der Wellenfunktionen und
der damit verbundenen Aufspaltung der atomaren Energieniveaus. Bei 2 Atomen in 2

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Zustände, bei n Atomen in n Zustände. So entsteht ein Kontinuum, das wir als Band
bezeichnen. [Bru20]

Abbildung 17: Qualitative Veranschaulichung der Energiebänder [Bru20]

Eine mögliche Darstellung solcher Energiebänder sieht eindimensional folgendermaßen
aus:

Abbildung 18: Eindimensionale Darstellung von Energiebändern [Bru20]

Metalle haben eine durchgängige Bandstruktur. Isolatoren haben eine Bandlücke. Das
bedeutet, dass zwischen den Bändern ein zu großer Abstand ist, und die Elektronen
diesen nicht überwinden können.

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Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… den Übergang von einem Atom zu einem Festkörper verstehen.
… den Unterschied zwischen Energieniveaus und Energiebändern darstellen können.
… den Grund kennen, warum manche Stoffe Isolatoren sind kennen.

 3.11. Vom Festkörper zum Halbleiter

Halbleiter besitzen eine Bandlücke. Diese Bandlücke ist jedoch so klein, dass den
Elektronen bereits eine verhältnismäßig geringe Energie ausreicht, um diese zu
überwinden.

Abbildung 19: Energiebänder von Silizium [www15]

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In der Skizze ist die Bandstruktur von Silizium zusehen. Darin eingezeichnet ist die
Bandlücke. Silizium ist ein Halbleiter. Es ist den Elektronen also möglich, die Bandlücke
zu überwinden. Silizium ist neben Germanium einer der wichtigsten Halbleiter. Sie
haben beide je 4 Valenzelektronen. Auf Grund der kleinen Bandlücke reicht bereits die
Raumtemperatur aus, um diese zu überwinden. [Apo08]

Halbleiter haben also eine niedrigere Bindungsenergie. Kommt es dazu, dass sich in
einem Siliziumkristall ein Elektron löst, dann entsteht ein Elektronenloch und gleichzeitig
erhalten wir ein frei bewegliches Elektron. Dieses frei bewegliche Elektron trägt zur
Leitfähigkeit bei. An seinem Platz herrscht nun ein Elektronenmangel. Dort ist ein
positives Elektronenloch entstanden. [Sex07]

Abbildung 20: Silizium Kristall [Sex07]

Das Dotieren von Halbleitern:

Ist ein Halbleiter rein, befinden sich darin immer genau gleich viele frei bewegliche
Elektronen wie Elektronenlöcher. Durch die Zugabe von fremden Atomen ist es möglich,
die Leitfähigkeit eines Halbleiters beträchtlich zu erhöhen. [Sex07]

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Elektronenüberschussleiter (n-Dotierung)

Silizium hat wie bereits erwähnt 4 Valenzelektronen. Fügt man nun anstelle eines
Siliziumatoms an eine Stelle des Kristallgitters ein Atom der 5. Hauptgruppe, also mit 5
Valenzelektronen ein, so bleibt ein freies Elektron übrig. Da diese ein Elektron abgeben,
werden sie Donatoren genannt. Der Vorgang ein Atom mit einem anderen zu ersetzen,
wird Dotierung genannt. Wird die Zahl der frei beweglichen Atome erhöht, so spricht
man von einer n-Dotierung. [Sex07]

Abbildung 21: Silizium Kristall mit Phosphor als Donator [Sex07]

Elektronenmangelleiter (p-Dotierung)

Werden anstelle der 5-wertigen Atome 3-wertige Atome verwendet, dann entsteht ein
Loch. Die umliegenden Silizium Atome wollen dieses Loch auffüllen. So entstehen neue
Löcher, die Ladungsträger darstellen. Diese Elemente, die Löcher entstehen lassen,
werden Akzeptoren genannt. Die Löcher verhalten sich bei angelegter Spannung wie
positive Ladungsträger. Sie werden p-Leiter genannt. [Sex07]

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Abbildung 22: Silizium Kristall mit Bor als Akzeptor [Sex07]

Halbleiterbauelemente

 a) Diode
Dioden sind Bauteile, die quasi als elektrische Ventile eingesetzt werden. Sie erlauben
es dem Strom, nur in eine Richtung zu fließen. Dioden bestehen aus je einer n-Schicht
und einer p-Schicht. Berühren sich diese nicht, so sind beide elektrisch neutral. In n-
Leiter findet man frei bewegliche Elektronen von Donatoren, einige wenige Löcher und
eine feste Anzahl an ortsgebundenen Donatorionen. Im p-Leiter ist es umgekehrt. Dort
befinden sich jede Menge frei bewegliche Elektronenlöcher, einige wenige Elektronen
und eine feste Anzahl an ortsgebundenen Akzeptorionen. Kommen diese beiden
Schichten nun in Kontakt beginnen einige Vorgänge an der Berührungsfläche.
Elektronen und Elektronenlöcher wandern und rekombinieren. Die Anzahl an frei
beweglichen Ladungsträgern in der Grenzschicht nimmt dadurch ab. Das n-Gebiet wird
positiv aufgeladen, weil positive Donatorionen unkompensiert zurückbleiben. Im n-
Gebiet bleiben die Akzeptorionen zurück und sorgen daher für eine negative Aufladung.
Dadurch wird ein elektrisches Feld aufgespannt, das die Wanderung von
Ladungsträgern über die Kontaktfläche verhindert. Durch dieses Fehlen von freien
Ladungsträgern steigt der Widerstand an der Grenzschicht und sie wird zur
Sperrschicht. [Sex07]

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Abbildung 23: Funktionsweise einer Diode [www21]

Abbildung 24: Schaltsymbol Diode

 Abbildung 25: Diode Bauelement [www16]

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b) LED (Light Emitting Diode)
Eine Sonderform der Diode ist die LED, die Light Emitting Diode. Eine Diode wird in
Vorwärtsrichtung gepolt, sodass ein Strom fließt. Nun gelangen die Elektronen von der
n- auf die p-Seite. Genau dort, auf der p-Seite tritt nun der Fall auf, dass die Elektronen
nicht im thermischen Gleichgewicht sind. Der Grund ist, dass sich die Fermi-Energie
dort in der Nähe des Valenzbandes befindet, und der Strom durch die Löcherleitung
zustande kommt. Damit ein lokales thermisches Gleichgewicht entstehen kann, müssen
im p-Gebiet die überschüssigen Elektronen mit den Löchern rekombinieren. Das
bedeutet, dass Elektronen aus dem Leitungsband hinunterfallen und die Löcher
auffüllen. Bei diesem Rekombinationsprozess wird nun eine vorhandene überschüssige
Energie in Form eines Photons abgestrahlt. Voraussetzung dafür ist, dass der Halbleiter
sehr rein ist und das Elektronen nicht über andere Störstellen, die energetisch innerhalb
der Energielücke liegen in das Leitungsband zurückfallen. Halbleiter mit direkter
Energielücke sind hier von Vorteil, da die Wahrscheinlichkeit für einen direkten
Rekombinationsprozess hoch sein sollte. [Bru20]

Abbildung 26: Funktionsweise einer LED [www20]

Da die Energieerhaltung hier gilt besitzt jedes Photon genau die Energie der
Energielücke: ü = ℎ = ℎ 

Somit ist die Farbe des abgestrahlten Lichtes eindeutig von der Größe der Energielücke
bestimmt. Will man also Licht mit einer bestimmten Farbe erzeugen, benötigt man einen
Halbleiter mit einer entsprechend großen Energielücke. Als erstes war es möglich rotes
Licht, also mit niedrigerer Energie, zu erzeugen. Nach und nach gelang es auch Licht
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mit kürzerer Wellenlänge zu erzeugen. Am meisten Probleme bereitete die Optimierung
von HL-Materialien für kurzwelliges, blaues Licht. Erst damit waren dann alle Farben
vorhanden um auch weißes Licht mittels Leuchtdioden erzeugen zu können. [Bru20]

Abbildung 27: LED [www17|

Lernziele:

Die Schülerinnen und Schüler sollen…

… den Zusammenhang zwischen Bandlücken und Leitfähigkeit verstehen.
… den Begriff Dotierung erklären können.
… anschaulich den Unterschied zwischen p-Dotierung und n-Dotierung darstellen
können.

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4. Mögliches Heftbild

Im folgenden Kapitel wird auf die eigentliche Formatierung der Arbeit verzichtet, da es
eine Mitschrift eines Schülers oder einer Schülerin, beziehungsweise ein mögliches
Skriptum für die Lernenden, darstellen soll. Alle Quellen und Abbildungen sind in 3.
Unterrichtsplanungen zu Quantenmechanik und Festkörperphysik zu finden.

 Kapitel 4: Quantenmechanik

In der klassischen Physik hatten wir eine stetige Verteilung, in der Wirklichkeit ist die
Natur allerdings stufenförmig aufgebaut.

 Zum Vergleich: Binomialverteilung und Normalverteilung.

Beispielsweise die Ladung eines Elektrons (Elementarladung): = 1,6 ∙ 10−19 . Von
dieser Größe treten immer nur Vielfache auf.

4.1 Planck und die schwarzen Körper

1899: Max Planck stößt auf eine neue Konstante, als er daran arbeitet, eine
Beschreibung schwarzer Körper zu entwickeln. Dieses Phänomen wird auch als
Hohlraumstrahlung bezeichnet. Ein schwarzer Körper ist ein Körper, der nur seine
eingehende Strahlung absorbiert, also völlig ohne Reflexion.

Mit Hilfe des Wien’schen Strahlungsgesetzes lassen sich experimentell festgestellte
Messergebnisse gut erklären. Problem: Formel lässt sich nicht mit der klassischen
Physik herleiten.
 Neue Herleitung mit Parameter b (später in h umbenannt)
Erster von Planck berechneter Wert: 6,885 ∙ 10−34 (4 Prozent über dem heute
bekannten Wert)

1900: Umdeutung seiner Ergebnisse.

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Dabei erkannte er, dass die Energie quantisiert sein muss. Dies bedeutet, dass die
Energie je nach Frequenz f nur in verschiedenen diskreten Stufen auftritt.
Diese Stufen wurden beschrieben als ∆ = ℎ ∙ . (h anfangs nur als Hilfsgröße)

 Somit war das Planck`sche Wirkungsquantum h gefunden.
 Der heute bekannte Wert für h liegt bei 6,6260715 ∙ 10−34 

1918 erhielt Planck für die Entdeckung der Quantisierung den Nobelpreis.

4.2 Einstein und die Photonen

1887: Entdeckung des Photoeffekts durch Heinrich Hertz (nicht belegt).

1905: Albert Einstein stellt seine Hypothese für den Photoeffekt auf.

Der Photoeffekt besagt, dass energiereiche Photonen, die auf eine Metallplatte gestrahlt
 werden, Elektronen aus dieser herauslösen können.

Einstein nimmt Plancks Aussage an, dass ein elektromagnetisches Feld aus
Teilchen, den Lichtquanten oder auch Photonen genannt, besteht.
Die Energie dieser Teilchen ist, wie schon bei Planck, gegeben durch = ∙ . Die
Energie ist also von der Frequenz abhängig.

 - Photonen fallen auf eine Metallplatte
 Einfallende Ausgehende ein und lösen aus dieser Elektronen
 Photonen s Elektron
 heraus. Dies geschieht durch einen
 Stoßprozess.
 Metallplatte

Um die Elektronen aus der Platte herauszulösen, muss die Energie E der einfallenden
Photonen größer sein als die Bindungsenergie W der Elektronen an das Metall.
Es muss also gelten
 ℎ∙ > 

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