Stochastic Loss Reserving with Emphasis on the Bornhuetter-Ferguson Method

Diss. ETH No. 22267

  Stochastic Loss Reserving
    with Emphasis on the
Bornhuetter-Ferguson Method

   A thesis submitted to attain the degree of
   DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
             (Dr. sc. ETH Zurich)

                 presented by
               ANNINA SALUZ
     MSc ETH Mathematics, ETH Zurich
              born March 27, 1986
      citizen of Lavin (GR), Switzerland

      accepted on the recommendation of
        Prof. Dr. Alois Gisler, examiner
    Prof. Dr. Paul Embrechts, co-examiner
    Prof. Dr. Franco Moriconi, co-examiner
   Prof. Dr. Mario V. Wüthrich, co-examiner

                     2014

Abstract

Claims reserving is one of the most important tasks in any non-life insurance
company. Accurate claims reserves are essential for the pricing of insurance
products and consequently they have a large impact on the profitability of
a company. A change of the reserves by a small percentage can change the
yearly result from very positive to rather negative and vice versa.
     Historically, most claims reserving methods were established as determin-
istic algorithms which give a point estimate for the outstanding loss liabili-
ties. Such a deterministic assessment was sufficient to satisfy the Solvency I
requirements, which was the EU regulation at that time. However, in order
to quantify the uncertainties in the reserve estimates, the claims reserving
problem needs to be embedded in a stochastic framework. Moreover, the
stock market crash following the terrorist attacks of 9/11 clearly showed that
the rule-based regulation of Solvency I was not sufficient. These experiences
lead to the development of new risk-adjusted regulatory frameworks, such as
the Swiss Solvency Test in Switzerland and Solvency II in the EU. The new
risk-based regulations require a quantification of the uncertainties in claims
reserves. Therefore, interest in stochastic claims reserving was reinforced in
recent years. In this thesis we contribute to problems in stochastic claims
reserving.
     The Bornhuetter-Ferguson (BF) method is one of the most popular re-
serving methods. In Paper A we consider distributional models for the BF
method. Within these models we derive parameter estimates and quantify
the prediction uncertainty.
     In Paper B we introduce the BF method with repricing. The repricing
allows to incorporate claims experience in order to update a priori estimates
used in the BF method. Such repricing procedures are common in practice
and we show how repricing can be done in a mathematically consistent way
by using credibility theory.
     In Paper C we show that claims development results with the same sign
over several consecutive calendar years are not a contradiction to best esti-
mate reserves. In contrast, such a phenomenon is to be expected in certain
situations of change.

                                      v

In Paper D we consider the Cape Cod method in a stochastic framework
and we derive estimates for the prediction uncertainty and for the uncertainty
in the claims development result.

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Kurzfassung

Schadenreservierung ist eine der wichtigsten Aufgaben in einer Nichtleben-
Versicherungsunternehmung. Angemessene Reserven sind essentiell für die Ta-
rifierung von Versicherungsprodukten und somit auch für die Rentabilität der
Unternehmung. Eine Veränderung der Reserven um einen kleinen Prozentsatz
kann ein positives Jahresergebnis in ein Negatives ändern und umgekehrt.
     Die meisten Schadenreservierungsmethoden wurden als deterministische
Algorithmen etabliert, welche eine Punktschätzung für die ausstehenden Scha-
densverpflichtungen liefern. Eine solche deterministische Betrachtung war aus-
reichend, um die damaligen EU Solvenzanforderungen aus Solvency I zu er-
füllen. Um die Unsicherheiten in den Schadenreserven zu quantifizieren, muss
das Schadenreservierungsproblem jedoch in einen stochastischen Rahmen ein-
gebettet werden. Der Börsencrash nach den Anschlägen vom 11. September
2001 zeigte zudem auf, dass die regelbasierten regulatorischen Anforderungen
aus Solvency I nicht ausreichend waren. Diese Erfahrungen führten zur Ent-
wicklung von neuen risikobasierten regulatorischen Anforderungen wie dem
Schweizer Solvenztest und Solvency II in der EU. Die neuen risikobasierten
Regelungen verlangen eine Quantifizierung der Unsicherheiten in den Scha-
densreserven und daher ist das Interesse an stochastischen Schadenreservie-
rungsmethoden in den letzten Jahren stark gewachsen. In dieser Arbeit be-
handeln wir Probleme aus der stochastischen Schadenreservierung.
     Die Bornhuetter-Ferguson (BF) Methode ist eine der bekanntesten und
meistbenutzten Reservierungsmethoden. In Artikel A betrachten wir stochas-
tische Modelle mit parametrischen Verteilungsannahmen für die BF Methode.
In diesen Modellen leiten wir Parameterschätzer her und wir quantifizieren
die Prognoseunsicherheit.
     In Artikel B führen wir die BF Methode mit Neukalkulation (repricing)
ein. Die Neukalkulation ermöglicht die Einbindung von Schadenserfahrung,
um die in der BF Methode benutzten a priori Schätzer zu aktualisieren. Sol-
che Neukalkulationen kommen in der Praxis häufig vor. Wir zeigen, wie eine
Neukalkulation mit Kredibilitätstheorie auf eine mathematisch konsistente
Art möglich ist.

                                     vii

In Artikel C zeigen wir, dass Abwicklungsergebnisse mit demselben Vor-
zeichen über mehrere aufeinanderfolgende Kalenderjahre keinen Widerspruch
zu ‘best estimate’ Reserven sind. Im Gegenteil sind solche Phänomene in
gewissen Situationen von Veränderung zu erwarten.
    In Artikel D betrachten wir die Cape Cod Methode in einem stochasti-
schen Rahmen und wir leiten Schätzer für die Prognoseunsicherheit und für
die Unsicherheit im Abwicklungsergebnis her.

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