Zahlen: Anwendungsbereiche (5. Klasse) SKRIPT (6 Seiten) - Prof. Tegischer

Zahlen: Anwendungsbereiche (5. Klasse)
 SKRIPT (6 Seiten)
 Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden
 Themenbereichen:
▪ Prozentrechnung
▪ Gleitkommadarstellung
▪ Zahlensysteme

 Zusätzlich:
 Erklärvideos (gratis!) zur visuellen
 Veranschaulichung.
 -> QR-Codes im SKRIPT!

Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss
sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.

Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.

 YouTube-Playlist
 (PDF-Datei: KLICKEN!)

Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
folgendem Link: https://prof-tegischer.com/02-zahlen-anwendungsbereiche/

Einsatz des Materials
 ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“,
 Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
 ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
 mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
 ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
 wissen!!

Quellennachweis:
 ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
 ▪ Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
 erstellt.
 ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.

Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn
es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann. Ich würde
mich über ein Feedback dazu freuen!

Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht verwenden.

 Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an
 Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.

Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne
auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (lukastegischer5@gmx.at). Auf meiner
Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien.

Zahlen - Anwendungsbereiche
 1. PROZENTRECHNUNG
 1.1 GRUNDKENNTNISSE DER PROZENTRECHNUNG :
 1
 1 Prozent = 1 Hundertstel = = 0,01
 100
 15
 15 Prozent = 15 Hundertstel = = 0,15
 100
 100
 100 Prozent = 100 Hundertstel = =1
 100

 1.2 BERECHNUNG DES NEUEN PROZENTANTEILS A
 
 = ∙ = ∙ ( … Ä )
 100
 Der Änderungsfaktor x gibt die Prozente in Dezimalschreibweise an.
 50% = 0,5 120% = 1,2 2,7 % = 0,027
 ▪ Bei einer Vermehrung (>100%) ist der Änderungsfaktor größer als 1.
 ▪ Bei einer Verminderung (

▪ Weitere Anwendung (mehrere Veränderungsfaktoren)

 WICHTIG: Wird ein Grundwert öfters vergrößert bzw. vermindert, so können all diese Veränderungsfaktoren
 auf einmal in einer Multiplikationszeile geschrieben werden!

Beispiel: Der Preis einer Jacke (80€) wird zuerst um 20 % vermindert, dann um 10 % erhöht und schließlich
wieder um 30 % vermindert.

Frage 1: Um wie viel Prozent verändert sich der Grundwert G (= Preis der Jacke von 80 €)?

2 Interpretationsmöglichkeiten:
 • Der Preis der Jacke vermindert sich um

 • Der Preis der Jacke sinkt auf

Frage 2: Wie viele € kostet die Jacke nach der Preissenkung?

Bsp. 2) Um wie viel Prozent verändert sich der Grundwert G, wenn man G zuerst um 17,5 % vergrößert und
anschließend um 13,2 % vermindert?

1.3 BERECHNUNG DES URSPRÜNGLICHEN GRUNDWERTS G
 
 Forme die Formel = ∙ auf den Grundwert G um -> =
 
Bsp. 3) Berechne.

 a. 100 Schüler gehen in die 6. Klassen einer Schule. Das sind 10 % aller SchülerInnen der Schule. Wie viele
 SchülerInnen besuchen die Schule insgesamt?

 b. Ein Jacke kostet nach einer 20%-igen Preisreduktion 50€. Berechne den ursprünglichen Preis der Jacke.

 c. 35 Personen einer Firma sind Nichtschwimmer. Das sind 43,75 %. Wie viele Personen arbeiten in
 dieser Firma?

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1.4. BERECHNUNG DES PROZENTSATZES P (ÄNDERUNGSFAKTOR X )
 
 Forme die Formel = ∙ auf den Änderungsfaktor x um -> =
 
▪ = 1,1 → 110% ( % ℎ 110% ℎ )
▪ = 1,0345 → 103,45 % ( , % ℎ 103,45% ℎ )
▪ = 0,8 → 1 − 0,8 = 0,2 ( 20% 80% )
▪ = 0,0023 → 1 − 0,0023 = 0,9977 ( , 77% ℎ 0,0023 )

 Bsp. 4) Berechne.

 a. Eine Hose kostet statt 80 € nur mehr 60 €. Um viele Prozent wurde die Hose vermindert?

 b. Jan wog im Jänner 30 . Er hat in den nächsten 6 Monaten um 5 kg zugenommen. Um wie viele
 Prozent ist er schwerer geworden?

 c. Maria gibt von ihrem Taschengeld (50 € pro Monat) monatlich 23 € für Jausen aus. Wie viel Prozent
 wird von ihrem Taschengeld für Jausen investiert?

 1.5. MEHRWERTSTEUER
 Nettopreis (ohne Mehrwertsteuer) entspricht 100 % Grundwert G
 entspricht 100 % + Mehrwertsteuer
 Bruttopreis (mit Mehrwertsteuer) 10 % Mehrwertsteuer: 110 % Anteil A
 20% Mehrwertsteuer: 120 %

 Bsp. 5) Berechne.

 a. Nettopreis einer Hose = 80 €. Berechne den Bruttopreis (mit 20% MwSt.).

 b. Bruttopreis einer Jacke = 120 € (mit 20 % MwSt.). Berechne den Nettopreis.

 c. Ein Buch kostet inklusive 10 % MwSt. 15 €. Berechne den Preis exklusive MwSt. (=Nettopreis)

 1.6 STEIGUNG
 Dieses Verkehrsschild gibt an, dass die Straße auf 100 Meter waagrechter
 Distanz um 12 Meter steigt (12%).
 Graphische Darstellung:
 Δℎ 12
 Rechnung: = = 0,12 → 12%
 Δ 100

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Allgemein:
 ▪ Steigungen oder Gefälle (von Straßen, etc.) sind definiert als Quotient aus Höhenunterschied △ ℎ und
 waagrechter Distanz △ .

△ℎ
△ 

 ▪ p % Steigung bedeutet: Eine Straße steigt bei 100 m waagrechter Distanz um p Meter an!

2. GLEITKOMMADARSTELLUNG
Für naturwissenschaftliche Berechnungen werden oft sehr große, aber auch sehr kleine Zahlen benötigt, wie
z.B.:
 ▪ Lichtgeschwindigkeit: 299 792 458 m/s
 ▪ Elektronenmasse: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 291 kg

Diese Darstellung nennt man Festkommadarstellung. Es ist offensichtlich nicht praktisch, mit solchen Zahlen zu
arbeiten. Deswegen werden solche Zahlen in Gleitkommadarstellung geschrieben.

2.1 RECHNEN MIT ZEHNERPOTENZEN
Es gilt:
 10 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ … . .∙ 10 ( )
 1
 10− = ∈ ℕ+
 10 
 100 = 1
Beispiele:
 103 = 1000
 4
 5 ∙ 10 = 5 ∙ 10 000 = 50 000
 1 1
 10−2 = 2 = = 0,01
 10 100
 1 1
 7 ∙ 10−4 =7∙ 4 =7∙ = 7 ∙ 0,0001 = 0,0007
 10 10 000

Dieses Prinzip wird nun bei der Gleitkommadarstellung angewendet.
 ▪ Wird das Komma um n Stellen nachlinks verschoben, dann erhält man in der Gleitkommadarstellung
 die Zehnerpotenz 10 .

 120 000

 ▪ Wird das Komma um n Stellen nach rechts verschoben, dann erhält man in der
 Gleitkommadarstellung die Zehnerpotenz 10− .

 0,000 065

 MERKE: Der Exponent von 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach links (positiver Exponent) bzw.
 rechts (negativer Exponent) verschoben wurde!!!

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2.2 NORMIERTE GLEITKOMMADARSTELLUNG

 Normierte Gleitkommazahlen sind Gleitkommazahlen der Form
 ∙ 10 1 ≤ | | < 10
 Bei der normierten Gleitkommadarstellung steht nur eine Ziffer vor dem Komma.
 Die Zahl a nennt man Mantisse.

 Normierte Gleitkommazahlen: Mantisse MAL Zehnerpotenz

 , 
Da die Mantisse größer gleich als 1, und kleiner als 10 sein muss, gilt = 1,23748. Es gilt a= 3,57 -> Das Komma muss um 4
Um nun die gesuchte Zahl richtig darzustellen, muss das Komma um 8 Stellen nach Stellen nach rechts verschoben werden:
links verschoben werden:
 0,000 357 = 3,57 ∙ 10−4
 123 748 000 = 1,23748 ∙ 108
 Für häufig verwendete Zehnerpotenzen gibt es spezielle Bezeichnungen – die SI-Präfixe:

 Symbol Name Wert Name Symbol Name Wert Name
 P Peta (103 )5 = 1015 Billiarde d Dezi 10−1 Zehntel
 T Tera (103 )4 = 1012 Billion c Zenti 10−2 Hundertstel
 G Giga (103 )3 = 109 Milliarde m Milli (10 ) = 10−3
 −3 1
 Tausendstel
 M Mega (103 )2 = 106 Million Mikro (10−3 )2 = 10−6 Millionstel
 k Kilo (103 )1 = 103 Tausend n Nano (10−3 )3 = 10−9 Milliardstel
 h Hekto 102 Hundert p Piko (10−3 )4 = 10−12 Billionstel
 da Deka 101 Zehn f Femto (10−3 )5 = 10−15 Billiardstel

 Bsp. 6) Schreibe die gegebene Zahl in normierter Gleitkommadarstellung dar

 a. 0,000 67 = b. 841 350 =

 c. 20 307 = d. 87 000 ∙ 1013 =

 e. 4500 ∙ 10−11 = f. 0,0043 ∙ 10−10 =

 Bsp. 7) Schreibe in Festkommadarstellung an.

 a. 0,088 ∙ 107 = b. 9,9230 ∙ 109 =

 c. 2,934 ∙ 10−3 = d. 3,0300 ∙ 1010 =

 e. 1,507 ∙ 1011 = f. 3990988 ∙ 10−11 =

 Bsp. 8) Stelle die Zahl ohne SI-Präfix in normierter Gleitkommadarstellung dar.

 a. 5 ( ) = b. 0,8 ( ) =

 c. 6,66 = d. 0,34 =

 e. 3309 = f. 6664 =

 Bsp. 9) Stelle die Zahlen in angegebener Einheit in normierter Gleitkommadarstellung dar.

 a. 154 ( ) = b. 25 2 ( 2 ) =

 c. 99 2 ( 2 ) = d. 0,95 3 ( 3 ) =

 e. 0,087 ( ) = f. 76 2 ( 2 ) =

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3. ZAHLENSYSTEME
 3.1 DAS DEKADISCHE ZAHLENSYSTEM
 Das dekadische Zahlensystem (=Zehnersystem) beruht auf der Basis 10 und benutzt die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
 7, 8, 9. Der Wert einer Ziffer hängt von der Stelle ab, an der die Ziffer steht. Die Stellen entsprechen Potenzen
 der Basis 10.

 Beispiel:
 Wir betrachten die Zahl 327,45. Um deutlicher zu machen, dass diese Zahl im Zehnersystem dargestellt ist,
 schreiben wir (327,45)10 . Anhand der folgenden Tabelle schreiben wir diese Zahl als Summe von
 Zehnerpotenzen an.
 10² 101 100 10−1 10−2
 3 2 7 4 5
 (327,45)10 = 3 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 7 ∙ 100 + 4 ∙ 10−1 + 5 ∙ 10−2 = 300 + 20 + 7 + 0,4 + 0,05 = 327,45

 3.2 DAS BINÄRE ZAHLENSYSTEM (DUALSYSTEM , BINÄRSYSTEM , ZWEIERSYSTEM )
 Der Computer rechnet nicht mit Zahlen im dekadischen System, sondern im binären Zahlensystem. Das
 Binärsystem beruht auf der Basis 2 und benutzt die Ziffern 0 und 1. Der Wert einer Ziffer hängt von der Stelle
 ab, an der die Ziffer steht. Die Stellen entsprechen den Potenzen der Basis 2, die analog zu den Zehnerpotenzen
 definiert sind.
 Umwandlung Binärsystem -> Dekadisches System: Die Zahl (110011)2 ist nun im Binärsystem dargestellt. Um
 sie ins dekadische System umzuwandeln, hilft folgende Tabelle:

 25 24 23 22 21 20
 1 1 0 0 1 1
 (110011)2 = 1 ∙ 25 + 1 ∙ 24 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51
 Bsp. 10) Stelle im dekadischen System dar.

 a. (111)2 b. (1000001)2 c. (1010011)2

 Umwandlung Dekadisches System-> Binärsystem: Bei der Umkehrung muss man versuchen, nach der Reihe
 nach die größten Zweierpotenzen zu finden, die in die Zahl passen:

 Beispiel: Wandle (49)10 ins Binärsystem um:
 25 = 32 passt in 49 hinein, somit gilt: 49 = 1 ∙ 25 + 17
 In 17 passt nun die Zweierpotenz 24 = 16 hinein: 49 = 1 ∙ 25 + 1 ∙ 24 + 1
 Die Zahl 1 entspricht schließlich der Zweierpotenz 20 , somit gilt:
 49 = ∙ 25 + ∙ 24 + ∙ 23 + ∙ 22 + ∙ 21 + ∙ 20
 (49)10 = (110001)2

 Bsp. 11) Wandle die folgenden Zahlen ins Binärsystem um.

a. 79 b. 167

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