Anforderungen im Fach Mathematik - PH Zürich
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Version Juni 2021
Anforderungen im Fach Mathematik
für die Aufnahmeprüfung auf Niveau gymnasiale Maturität (Studiengang Sekundarstufe I)
Einleitung
Die Mathematik ist eine universelle Sprache, die zwar von Menschen konstruiert wurde, die jedoch die
Struktur der äusseren Wirklichkeit im menschlichen Bewusstsein abzubilden versucht. Galilei formulierte
das so: „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“
Die Übersetzung konkreter Probleme in die Sprache der Mathematik nennt man „mathematische Modellbil-
dung“. Eigenschaften solcher Modelle geben Anlass zur Entwicklung von Theorien, welche nicht nur auf
das gegebene Problem, sondern auch in ganz anderen Bereichen erfolgreich angewendet werden können.
Wichtige Teilgebiete der Mathematik, welche auch in der Schule unterrichtet werden, sind: Zahlentheorie,
Algebra, Geometrie, Logik, Analysis und Stochastik.
Kompetenzanforderungen
An die Kandidatin oder den Kandidaten werden in den folgenden Themengebieten die nachfolgenden An-
forderungen gestellt, wobei die Mathematik der Sekundarstufe I als bekannt vorausgesetzt wird.
Arithmetik und Algebra
Gleichungen und Gleichungssysteme
— Für Lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen eine Lösungsmethode kennen und an-
wenden
— Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch interpretieren
— Quadratische Gleichungen mit verschiedenen Methoden lösen (Lösungsformel, Faktorzerlegung, ...)
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
— Die Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen kennen und anwenden
— Gleichungen mit Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen lösen
— Einfache Zins- und Zinseszinsaufgaben lösen
Funktionen
— Polynomfunktionen (insbesondere lineare und quadratische Funktionen) und einfache rationale Funk-
tionen (mit linearem Zähler und Nenner) kennen und in einem cartesischen Koordinatensystem dar-
stellen
— Exponential- und Logarithmusfunktionen mit ihren Graphen kennen und auf Wachstums- und Zerfalls-
prozesse anwenden
— Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sowie den Exponenten –1, –2, und 1/2 kennen
— Einfache Zusammensetzungen von Funktionen [ ] kennen und
erkennen und die graphischen Zusammenhänge beschreiben und darstellen
Folgen und Reihen
— Folgen explizit und rekursiv beschreiben
— Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen erkennen und deren Gesetzmässigkeiten anwen-
den
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 1 von 15Geometrie
Stereometrie
— Körper (Quader, Prisma, Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder) in verschiedenen Lagen skizzieren
— Oberflächen und Volumen solcher Körper berechnen
— Körper verändern können: Ecken oder Kanten abschneiden bzw. Körper zusammensetzen
Trigonometrie
— Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis kennen und anwenden
— Quadrantenrelationen kennen und anwenden
— Aufgaben in beliebigen Dreiecken mit trigonometrischen Hilfsmitteln lösen
Vektorielle und analytische Geometrie der Ebene und des Raumes
— Den Begriff des Vektors kennen
— Die geometrische Bedeutung von Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren kennen und anwen-
den
— Die Bedeutung von kollinearen und komplanaren Vektoren kennen
— Vektoren im cartesischen Koordinatensystem darstellen und damit rechnen
— Die Länge eines Vektors berechnen
— Das Skalarprodukt kennen und in einfachen Situationen anwenden
Analysis
Ableitungen
— Den Begriff der Ableitung kennen und graphisch interpretieren
— Ableitungsregeln kennen und anwenden: Linearität der Ableitung, Produkt- und Quotientenregel
— Ableitung von Polynomfunktionen und rationalen Funktionen bestimmen
— Kurvendiskussion (Grobverlauf, Nullstellen, Symmetrien, Extremal- und Wendepunkte, Tangenten)
ausführen
— Ableitung auf Extremalprobleme anwenden
Stammfunktionen und Integrale
— Den Begriff der Stammfunktion und seine Anwendung bei Flächenberechnungen kennen und auf Po-
lynomfunktionen anwenden
Stochastik
Beschreibende Statistik
— Zahlenmaterial bearbeiten und interpretieren: Stichprobe, Klasseneinteilung, absolute und relative
Häufigkeit, Histogramm, Boxplot, statistische Parameter (arithmetisches Mittel, Median, Quartil, Stan-
dardabweichung)
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 2 von 15Kombinatorik
— Stichprobenarten unterscheiden und entsprechende Aufgaben lösen:
— Geordnete Stichproben mit und ohne Zurücklegen
— Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Wahrscheinlichkeitsrechnung
— Für ein- und mehrstufige Zufallsexperimente die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis
berechnen
— Die Hilfsmittel Baumdiagramm und Pfadregeln verwenden sowie Kenntnisse aus der Kombinatorik
anwenden
Empfohlene Literatur
Nachfolgende Literaturhinweise enthalten die für die Prüfung relevanten Themengebiete.
— Lambacher Schweizer: Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen 9/10
Klett und Balmer-Verlag, Zug, 2013, ISBN 978-3-264-83983-8
(Für Arithmetik, Algebra und Geometrie.)
— Lambacher Schweizer: Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen 11/12
Klett und Balmer-Verlag, Zug, 2013, ISBN 978-3-264-83983-8
(Für Analysis und Stochastik.)
Prüfungsmodalitäten
Schriftliche Prüfung
Dauer: 3 Stunden
Umfang: 8-12 Aufgaben
Erlaubte Hilfsmittel
— Für die schriftliche Prüfung ist eine Formelsammlung erlaubt. Erlaubt sind „Formeln und Tafeln
(DMK)“, „Fundamentum (DMK)“ und „Papula (Vieweg+Teubner)“ ohne handschriftliche Notizen. Mar-
kierungen mit Leuchtstift und Indexkleber sind erlaubt.
— Für die schriftliche Prüfung ist ein Taschenrechner erlaubt. Erlaubt sind ausschliesslich folgende Mo-
delle: Alle „CASIO FX-991“-Modelle, Modell „Casio FX 85“, alle Modelle von Texas Instruments mit der
Bezeichnung „TI-30“ oder „TI-34“ im Namen und „HP 300s+ Wissenschaftstaschenrechner“.
— Alle Hilfsmittel werden während der Prüfung kontrolliert. Gemäss §12 der Weisung zum Aufnahme-
und Immatrikulationsverfahren an der Pädagogischen Hochschule Zürich führt die Verwendung uner-
laubter Mittel zum Nichtbestehen der gesamten Aufnahmeprüfung.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 3 von 15Musteraufgaben
Arithmetik und Algebra
mit Lösungen
1. Lineare Gleichungssysteme.
Ein Behälter kann durch zwei Zuleitungen gefüllt werden, wenn die erste sechs Stunden und zugleich
die zweite vier Stunden lang geöffnet ist. Verwechselt man die Öffnungszeiten, so läuft ein Sechstel
des Behälterinhaltes über.
Welchen Bruchteil des Behälterinhaltes liefert jede Leitung pro Stunde?
In wie vielen Stunden wird der Behälter durch jede Leitung einzeln gefüllt, in wie vielen durch beide
zusammen?
Lösung Es seien x1 bzw. x2 die Bruchteile des Behälterinhaltes, die von der ersten bzw. zweiten Zu-
leitung pro Stunde geliefert werden. Wir erhalten somit das Gleichungssystem
Mittels Einsetzungs- oder Eliminationsmethode erhält man die eindeutige Lösung .
Die erste Leitung liefert also 1/15 und die zweite 3/20 des Behälterinhaltes pro Stunde.
Der Behälter wird durch die erste Leitung allein in 15 h, durch die zweite Leitung allein in 6 h 40
min und durch beide zusammen in 4 h 37 min gefüllt.
2. Lineare Gleichungssysteme.
Eine Leiter ist schräg an eine vertikale Wand gelehnt. Schiebt man ihren Fuss auf dem horizontalen
Boden um 1 m gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um 0.4 m nach oben. Zieht
man dagegen den Fuss um 1 m von der Wand weg, so rutscht das andere Ende um 0.6 m nach un-
ten.
Wie weit ist der Leiterfuss anfänglich von der Wand entfernt und wie weit das obere Ende vom Bo-
den?
Berechnen Sie ferner die Länge der Leiter.
Lösung Mit x sei der anfängliche Abstand des Fusses von der Wand, mit y der anfängliche Abstand
des oberen Endes vom Boden bezeichnet. Gemäss Aufgabenstellung und Pythagoras erhalten
wir das folgende Gleichungssystem:
In beiden Gleichungen stimmen die quadratischen Terme links und rechts überein. Somit ergibt
sich das lineare Gleichungssystem:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 4 von 15mit der Lösung . Anfänglich ist der Leiterfuss also 3.1 m von der Wand und das
obere Ende 6.3 m vom Boden entfernt. Die Länge der Leiter beträgt (nach Pythagoras) ca. 7.02
m.
3. Exponential- und Logarithmusfunktion
a. Der abgebildete Graph gehört zu einer Exponentialfunk-
tion mit einer Gleichung der Form . Bestimmen
Sie a und b.
b. Bestimmen Sie ohne Taschenrechner die Lösung der
Gleichung .
(Der Lösungsweg muss ersichtlich sein.)
Lösung a. Aus weiss man, dass . Aus weiss man, dass
. Also muss sein.
b. Aus folgt und somit .
4. Einfache rationale Funktion.
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion
.
Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte sowie die Asympto-
ten und skizzieren Sie den Graphen.
Lösung Schnittpunkt mit der x-Achse: ;
Schnittpunkt mit y-Achse: ;
Vertikale Asymptote (Pol):
Bestimmung der horizontalen Asymptote:
Der Graph von f schmiegt sich für an die
horizontale Asymptote:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 5 von 155. Einfache Zusammensetzungen von Funktionen.
Im gegebenen Koordinatensystem sehen Sie den
Graphen der Funktion .
a. Skizzieren Sie im selben Koordinatensystem mit Farbe den Graphen der Funktion
.
b. Skizzieren Sie im selben Koordinatensystem mit einer weiteren Farbe den Graphen der Funktion
.
c. Verschieben Sie den Graphen von f um eine Einheit nach links. Welche Funktionsgleichung ge-
hört dazu?
Lösung
a.Graph in rot.
b.Graph in blau.
c. Graph in grün. Funktionsgleichung:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 6 von 15Geometrie
mit Lösungen
1. Stereometrie.
Von einem regulären Tetraeder mit Kantenlänge 9 cm werden
alle Ecken abgeschnitten. Die Oberfläche des Restkörpers be-
steht aus gleichseitigen Dreiecken und regulären Sechsecken.
(Vgl. Figur.)
a. Skizzieren Sie eine Seitenfläche des Tetraeders und die da-
rin enthaltene Seitenfläche des Restkörpers.
b. Bestimmen Sie die Anzahl der Ecken und der Kanten des
Restkörpers
c. Berechnen Sie:
i. die Oberfläche
ii. das Volumen des Restkörpers.
(Geben Sie die Resultate als Wurzelterme oder als Dezimalzahlen mit 4 wesentlichen Ziffern an.)
Lösung:
a. Kantenlänge des regulären Sechsecks: a = 3 cm.
b. Der Restkörper besitzt Ecken und Kanten.
c.i. Der Flächeninhalt eines regulären Sechsecks ist sechsmal so gross ist wie derjenige eines
gleichseitigen Dreiecks. Die Fläche eines Dreiecks misst .
Die Oberfläche des Restkörpers beträgt somit
c.ii. Das Volumen des Restkörpers ist gleich dem Volumen des Tetraeders, vermindert um das Volu-
men der vier Ecktetraeder:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 7 von 152. Trigonometrie.
Ein Ballon C schwebt in der Höhe h über dem Boden. Zwei
Beobachter A und B, welche 500 m voneinander entfernt
sind, sehen ihn unter den Höhenwinkeln a = 70° bzw. b =
75°. Der Ballon befindet sich über der Verbindungslinie von
A und B.
a. Wie weit ist der Ballon von A bzw. von B entfernt?
b. Berechnen Sie die Ballonhöhe h.
(Ergebnisse auf ganze Meter runden.)
Lösung:
a. , also
Die Strecke BC misst ca. 5391 m.
also:
Die Strecke AC misst ca. 5541 m.
b. also:
Der Luftballon befindet sich auf ca. 5207 m Höhe.
E H
3. Vektorgeometrie (koordinatenfrei).
Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH (s. Figur). F G
Drücken Sie jeden der Vektoren und
durch und aus.
Lösung:
A D
B C
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 8 von 154. Vektorgeometrie (mit Koordinaten).
Vom Dreieck ABC kennt man die Seitenmittelpunkte .
a. Ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks UVW.
C
b. Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken A, B und C.
c. Berechnen Sie den Winkel .
V U
Lösung:
A B
W
a.
b. →
→
→
c.
Analysis
mit Lösungen
1. Gegeben ist die Funktionsgleichung .
a. Der Graph der Funktion hat einen Hochpunkt. Bestimmen Sie dessen Koordinaten.
b. Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von im Punkt .
Lösung:
a.
; ;
Der Graph der Funktion hat im Punkt einen Hochpunkt.
b. Steigung der Tangente im Punkt ist .
Die Tangente mit der Funktionsgleichung geht durch den Punkt , d.h.
, also: .
.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 9 von 152. Koeffizienten einer Polynomfunktion bestimmen
Gegeben sind die zwei in der Figur gezeichneten Halb-
geraden. Die Halbgerade mit Anfangspunkt
hat die Steigung .
Der Graph der Polynomfunktion p mit
liefert eine knickfreie Verbindung der beiden Halbgera-
den. D.h., die Kurve hat an der Stelle
dieselbe Steigung wie die Halbgerade und an der
Stelle dieselbe Steigung wie .
Bestimmen Sie a, b, c und d.
(Geben Sie die Koeffizienten, welche nicht ganzzahlig sind, als gewöhnliche Brüche an.)
Lösung:
Die Ableitung von p berechnet sich als .
Nach Voraussetzung haben wir
Aus I und III folgt sofort , und mit II und IV erhalten wir:
Daraus folgt und .
Also:
3. Extremalaufgabe.
Wir betrachten die quadratische Funktion mit
.
a. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion . (Resultat als
Wurzelterm angeben.)
b. Es sei ein Punkt auf der positiven x-Achse wie in
der Figur. Stellen Sie die Fläche des abgebildeten Rechtecks
als Funktion der Variablen x dar.
c. Für welchen Wert von x ist die Fläche des Rechtecks ABCD
maximal? Wie gross ist diese maximale Fläche?
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 10 von 15Lösung:
a. Nullstellen: und .
b. , . Fläche: .
c. Ableitung:
Notwendige Bedingung für Maximum:
Für ist die Fläche maximal und beträgt .
4. Integralrechnung
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung .
Die Gerade g geht durch den Scheitelpunkt der Parabel sowie durch den Parabelpunkt .
Bestimmen Sie den Inhalt der von der Geraden und der Parabel eingeschlossenen Fläche.
(Geben Sie bei der Flächenberechnung eine Stammfunktion an, und bestimmen Sie das Resultat als
gewöhnlichen Bruch oder als Dezimalzahl mit 4 wesentlichen Ziffern.)
Lösung:
Bestimmung des Scheitelpunktes durch quadratisch Ergänzung oder Ableiten: .
Zweiter Parabelpunkt .
Gerade durch S und P: mit Steigung
. Also: .
Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel:
Fläche:
Die Fläche beträgt .
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 11 von 15Stochastik
mit Lösungen
1. Beschreibende Statistik
Aus einer Lieferung von Drähten hat man 26 Proben entnommen und den Prozentgehalt an Kupfer
bestimmt. Man hat die folgenden Prozentsätze erhalten:
75.90 75.54 76.09 75.36 76.04 75.84 75.38 75.60
76.08 75.72 76.02 75.58 75.77 76.04 75.26 75.78
75.56 75.80 75.38 75.40 75.56 75.70 75.38 75.21
75.80 75.68
a. Bestimmen Sie den Median und die Quartile, und zeichnen Sie den Box-Plot.
b. Teilen Sie die geordnete Urliste in Klassen mit Breite 0.2 ein. Erstellen Sie eine Häufigkeitsta-
belle (absolute und relative Häufigkeit). Zählen Sie Werte, die auf eine Klassengrenze fallen, in
beiden Klassen je zur Hälfte. (Bei der relativen Häufigkeit ist auf ganze Prozent zu runden.)
c. Berechnen Sie für diese Klasseneinteilung das arithmetische Mittel und die empirische Stan-
dardabweichung.
Lösung:
a.
Alternative Darstellung im Stamm-und-Blatt-Diagramm:
76.0 24489
75.2 16
75.3 6888 Bei aufsteigender Anordnung sei der Prozent-
75.4 0 satz der k-ten Probe.
75.5 44668
75.6 08 Median
75.7 0278
Unteres Quartil
75.8 004
Oberes Quartil
75.9 0
b.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 12 von 15Prozentgehalt Klassen- Absolute Relative
Kupfer mitte xi Häufigkeit ni Häufigkeit
75.2 - 75.4 75.3 6.5 25%
75.4 - 75.6 75.5 5 19%
75.6 - 75.8 75.7 6.5 25%
75.8 – 76.0 75.9 3 12%
76.0 - 76.2 76.1 5 19%
Stichprobengrösse n = 26
c. Arithmetisches Mittel:
Empirische Standardabweichung: ;
2. Kombinatorik
a. Papierstreifen
Der abgebildete Papierstreifen kann nur an den gestrichelten Linien zerschnitten werden.
Ein Beispiel für eine Zerlegung in drei Teile ist die folgende:
46 47 48 49 50 51 52
Auf wie viele Arten kann man den Streifen in drei Teile zerlegen?
b. In einer Gruppe von Politikerinnen sind 12 aus Italien, 10 aus Spanien und 9 aus der
Schweiz, darunter Bundesrätin Simonetta Sommaruga. Für eine Delegation werden aus
dieser Gruppe drei Frauen zufällig ausgewählt.
i. Wie viele sind möglich mit einer Italienerin, einer Spanierin und Bundesrätin Somma-
ruga?
ii. Wie viele sind möglich mit mindestens einer Italienerin?
c. Vier Kochbücher, fünf Romane und drei Mathematikbücher sollen nebeneinander auf ein
Regal gestellt werden.
Auf wie viele Arten geht dies, wenn Bücher desselben Stoffgebiets nebeneinander stehen
müssen?
Lösungen:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 13 von 15a. Man muss zwei von 6 Trennstrichen auswählen.
Es gibt also Arten von solchen Zerlegungen.
b. 12 Politikerinnen aus Italien
10 Politikerinnen aus Spanien
9 Politikerinnen aus der Schweiz
i.
ii. komplementär: "keine Italienerin".
Keine Italienerin:
Mindestens eine Italienerin:
c. Unter sich können die Kochbücher auf 4! = 24, die Romane auf 5! = 120 und die Mathema-
tikbücher auf 3! = 6 Arten angeordnet werden. Nun gibt es aber noch 3! = 6 Anordnungen
der Gebiete. Insgesamt können diese Bücher gemäss Vorgabe auf
Arten auf das Regal gestellt werden.
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung.
a. Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
i. die Summe der Augenzahlen kleiner als 6 ist;
ii. das Produkt der zwei Augenzahlen grösser als 16 ist.
b. Im Kunsthaus Zürich wird eine Sonderausstellung von Alberto Giacometti zu 28% von Per-
sonen, welche in der Stadt Zürich wohnen und zu 72% von Auswärtigen besucht. Von den
Personen aus der Stadt Zürich sind 65% Frauen, von den Auswärtigen 45%. Wie gross ist
der Anteil der Frauen an der gesamten Zahl der Besucher/innen?
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 14 von 15Lösung:
a.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
i. Ereignis A: Summe der Augenzahlen kleiner als 6.
Die grünen Felder sind günstig:
ii. Ereignis B: Produkt der Augenzahlen grösser als 16.
Die orangen Felder sind günstig:
b. Anteil der Frauen an der Gesamtbesucherzahl:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau gymnasiale Maturität Seite 15 von 15Sie können auch lesen
