Arithmetik und ihre Didaktik - Bruchstücke der Schulmathematik Brüche addieren und subtrahieren - Inhaltliches Verständnis
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Arithmetik und ihre Didaktik
Bruchstücke der Schulmathematik
Brüche addieren und subtrahieren – Inhaltliches Verständnis
© 2011–2020 Ulrich Kortenkamp, Universität Potsdam
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
Haben Brüche den gleichen Nenner so bietet
sich eine quasikardinale Sichtweise an – der
Nenner wird zu einer Einheit (z.B. „Drittel“),
von der eine bestimmte Anzahl zur
Verfügung steht.
Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig.
Alle Vorstellungen und Regeln aus der
Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen
stehen damit zur Verfügung. Als Modell
bieten sich Tortenstücke an. •3 = :3 =
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020Und was, wenn die Nenner nicht gleich sind?
Dadurch, dass jede Bruchzahl durch verschiedene
Brüche dargestellt werden kann, haben wir einen
Zugang zu einer möglichen quasikardinalen
Rechnung. Wir müssen „nur“ beide zu
addierenden Bruchzahlen so verfeinern, dass sie
gleichnamig sind.
Der Standardzugang ist hier das kleinste
gemeinsame Vielfache – doch damit wird die d b
a +c
eigentliche Addition durch die mühsame a c ggT(b,d) ggT(b,d)
+ =
Bestimmung des kgV überdeckt. b d kgV(b, d)
Zudem ist die kgV-Bestimmung nicht vernünftig a c ad + bc
anschlussfähig in die Algebra! + =
b d bd
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020Die wohl wichtigsten Vorbereitungen sind Vorerfahrungen mit den Bruchstreifen:
Addieren geschieht sehr einfach durch Aneinanderlegen der entsprechenden Strecken.
Zum genauen Ablesen des Ergebnisses muss man ggf. eine feinere gemeinsame Un-
Darstellung durch horizontal-vertikale Verfeinerung
terteilung suchen. Dies ist eine für das Verständnis unerlässliche Grunderfahrung.
Sehr geeignete Veranschaulichungsmittel beim systematischen Zugang sind auch die
Bruchquadrate oder entsprechende Rechtecke auf Karopapier. Beispiel: 3/8 + 2/5. Man
geht aus von Rechtecken mit den Seitenlängen 5 und 8 (also den beiden Nennern),
dann kann man die gegebenen Brüche leicht darstellen:
(Siegfried Krauter, PH Ludwigsburg 2008)
+ =
15 + 16 = 31
40 40 40
Hinweis:
Diese Methode legt es nahe, als gemeinsamen Nenner grundsätzlich das Produkt
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020
der beiden Nenner zu nehmen und nicht unbedingt den Hauptnenner zu bestim-S. Krauter 11
6. Vorbereitungen zu einem Unterrichtsentwurf:
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen.
Überlegungen zum Unterricht
Krauter
6.1 führt am Beispiel
Der stoffliche Inhalt
19 11 95 99 95 99 194 59
Beispiel: 1
27 15 135 135 135 135 135
(Siegfried Krauter, PH Ludwigsburg 2008)
aus:
Analyse des Verfahrens in einzelnen Schritten:
„Die eigentliche Addition (genauso übrigens die Subtraktion) wird
Hauptnenner bestimmen
verschleiert, erschwert, fast verdeckt durch die aufwendige – wodurch
Muss es immer der Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches) sein, genügt
motivierte? – Vorarbeit,
nicht irgendein das Nenner
gemeinsamer so genannte „Einrichten“
(gemeinsames Vielfaches), z.der Brüche.
B. das Nenner- In
den Schritten
produkt? Hauptnennerbestimmung, Erweitern
Nach welcher Methode wird der Hauptnenner und bei der
bestimmt?
Ergebniskosmetik
Erweitern: liegt der rechnerische Hauptaufwand während die
AdditionMitselbst
welcher eher unproblematisch
Zahl muss ist. Kann man für dieses
jeweils erweitert werden?
Wie erhält man die Erweiterungszahl?
aufwendige
Liefert Rankenwerk
das Verfahren zurVerständnis und Einsicht
Hauptnennerbestimmung erzeugen?“
auch die Erweiterungszahlen?
Was heißt eigentlich „Erweitern“? Warum muss man dies eigentlich?
[Hinweis: Es wäre außerordentlich hilfreich für diese beiden Schritte, wenn man folgende Beziehung
zur Verfügung hätte: ggT(a, b) * kgV(a, b) = a * b. Das Produkt aus ggT und kgV zweier Zahlen ist
gleich dem Produkt der beiden Zahlen. Worin läge der Vorteil?] ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
Darstellung am Zahlenstrahl, Anordnung
Rechnen mit Brüchen Rechenregeln, Formulierung auch mit Platzhaltern
Auch Verbindung der Grundrechenarten
Warum nicht im Operatoraspekt denken?
6.4 Vorerfahrungen der Schüler. Mögliche Zugänge und Anknüpfungspunkte
Die Schüler haben die Bruchzahlen kennen gelernt als Maßzahlen von Größen und als
Operatoren (Vervielfacher und Teiler). Welcher Aspekt taugt für einen Ansatz zum Ad-
(Siegfried Krauter, PH Ludwigsburg 2008)
dieren? Wie lässt sich die Addition/Subtraktion im Operatormodell deuten, wie im Mo-
dell der Maßzahlen (Größenmodell)? Welcher Zugang ist geeignet?
Operatoren sind Abbildungen, Funktionen. Was versteht man unter der „Summe zweier
Operatoren“ und wie könnte diese modellhaft realisiert werden?
Was ist die „Summe zweier Größen“ (aus demselben Größenbereich) und wie kann sie
im Modell realisiert werden?
Das Ergebnis dieser Analyse ist klar:
Für die Veranschaulichung der Addition und /Subtraktion kommt nur das Grö-
ßenmodell in Frage.
Einführende Beispiele:
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020
a) 19 dm + 230 cm = 190 cm + 230 cm = 420 cm = 42 dm = 4m 20 cmdieren? Wie lässt sich die Addition/Subtraktion im Operatormodell deuten, wie im Mo-
dell der Maßzahlen (Größenmodell)? Welcher Zugang ist geeignet?
Die Schüler haben die Bruchzahlen kennen gelernt als Maßzahlen von Größen und als
Operatoren (Vervielfacher
Operatoren sind Abbildungen, Funktionen.
und Teiler). WasAspekt
Welcher versteht manfürunter
taugt einender „Summe
Ansatz zumzweier
Ad-
Operatoren“
dieren? und wie
Wie lässt sichkönnte diese modellhaft realisiert
die Addition/Subtraktion werden? deuten, wie im Mo-
im Operatormodell
dell
Wasderist Maßzahlen
die „Summe(Größenmodell)?
zweier Größen“ Welcher Zugang Größenbereich)
(aus demselben ist geeignet? und wie kann sie
im Modell realisiert
Operatoren werden? Funktionen. Was versteht man unter der „Summe zweier
sind Abbildungen,
Operatoren“
Das Ergebnis und wie könnte
dieser Analysediese modellhaft realisiert werden?
ist klar:
Grundidee: Rückbezug auf Größen
Was
im
ist die
Für die
Modell
„Summe zweier Größen“
Veranschaulichung
realisiert
ßenmodell in Frage. werden?
(aus demselben
der Addition
Das Ergebnis dieser Analyse ist klar:
Größenbereich)
und /Subtraktion kommt und
nur wie
daskann
Grö-sie
14
14
Bruchrechnen
Bruchrechnen
A B C
Für die Veranschaulichung
Einführende Beispiele: der Addition und /Subtraktion kommt nur das Grö- A B C
ßenmodell in Frage.
a) 19 dm + 230 cm = 190 cm + 230 cm = 420 cm = 42 dm = 4m 20 cm c) Wie viel Flüssigkeit ist im Gefäß A, 1L 1L 1L
c) wie
Wieviel
vielim
Flüssigkeit
Gefäß B?ist im Gefäß A, 1L 1L 1L
Warum konnte man nicht sofort addieren? wie viel im Gefäß B?
Einführende Beispiele:
Warum musste man zuvor „Einrichten“? Was tut man bei dieser Prozedur? Beides wird zusammen in Gefäß C geschüttet.
Vor dem Addieren muss Beides wird zusammen in Gefäß C geschüttet.
a) 19 dm + 230 cm = 190 cmman in eine
+ 230 cm =gemeinsame
420 cm = 42Einheit
dm = 4m („Benennung
20 cm “; ob das Wie hoch steht dort die Flüssigkeit?
wohl etwas mit „Nenner“ zu tun hat?!) umwandeln. Wie hoch steht dort die Flüssigkeit?
Wie viel Liter enthält dann C?
Warum konntekann
Zum Schluss manmannichtwieder
sofort in
addieren?
eine andere (größere) Einheit verwandeln. Wie viel Liter enthält dann C?
Warum musste man zuvor „Einrichten“? Was tut man bei dieser Prozedur? Zeichne an C eine geeignete Skala.
Zeichne andiese
Übertrage C eine geeignete
auch an A und Skala.
B.
Vor dem Addieren muss man in eine gemeinsame Einheit („Benennung“; ob das
wohl Welche Additionsaufgabe wurdeB.
Übertrage diese auch an A und damit gelöst?
1 etwas
1 mit „Nenner“ zu tun hat?!) umwandeln. Welche Additionsaufgabe wurde damit gelöst?
b) Zumh +Schluss
h kann= 15
manminwieder+in20eine
minandere= 35 min
(größere) Einheit verwandeln.
4 3
15 20 35
= h + h = h
1 1 60 60 60 d) Aufgabenbeispiel in der „Rechtecksform“ (z. B. Verwendung der „Bruchquadrate“):
b) h+ h == 15
3 *min
(5 min) ++ 20
4 *min
(5 min) == 35
7 *min
(5 min) d) Aufgabenbeispiel in der „Rechtecksform“ (z. B. Verwendung der „Bruchquadrate“):
4 3
3 4 7
= 15 h + 20 h = 35 h („Zwölftelstunden“).
= 12 h + 12 h = 12 h
60 60 60
+ =
= 3 * (5 min) + 4 * (5 min) = 7 * (5 min) + =
3 4 7
= h + h = h („Zwölftelstunden“).
12 12 12
2 3 31
+ =
52 + 83 =
31
40
5 8 40
Der Vorteil bei dieser Darstellungsform liegt darin, dass man durch Wahl der Nenner
DerSeitenlängen
als Vorteil bei dieser
sofortDarstellungsform
eine gemeinsame liegt darin, dassmit
Unterteilung man durch
dem Wahl der Nenner
Nennerprodukt als
als Seitenlängen sofort
gemeinsamem Nenner erhält.eine gemeinsame Unterteilung mit dem Nennerprodukt als
gemeinsamem Nenner erhält.
Eine Analyse der Beispiele spiegelt exakt die Stufen bei der Bruchaddition wieder:
Eine Analyse der Beispiele spiegelt exakt die Stufen bei der Bruchaddition wieder:
Gemeinsame Benennung (Einheit, Nenner) bestimmen.
Gemeinsame Benennung (Einheit, Nenner) bestimmen.
In gemeinsame Benennung umwandeln.
In gemeinsame Benennung umwandeln.
Maßzahlen (natürliche Zahlen!) addieren; Benennung beibehalten.
Maßzahlen (natürliche Zahlen!) addieren; Benennung beibehalten.
Eventuell wieder in andere (größere) Einheit umwandeln.
ZahlenUndOperationen-WS1920.key - 14. Juni 2020
Eventuell wieder in andere (größere) Einheit umwandeln.
Hat man das Kürzen und Erweitern von Brüchen vor allem im Größenmodell (ÜbergangAddition und Subtraktion von Bruchzahlen
Das Ziel des Unterrichts sollte nicht sein, die Regel oder Formel für
das Addieren von Brüchen zu vermitteln.
Aufbauend auf dem – gut vorbereiteten – Größenaspekt von
Brüchen und inhaltlichen Vorstellungen zum Erweitern und Kürzen
kann ein inhaltlicher Zugang geschaffen werden, der die
Vorbereitung („einrichten“) der Brüche zur dann quasikardinalen
Addition einsichtig erscheinen lässt, und die Ergebniskosmetik
(Darstellung als gemischte Zahl, vollständiges Kürzen) als hilfreiche
Darstellungsänderung für die Interpretation und Überprüfung des
Ergebnisses rechtfertigt.
Merksätze sind böse!
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