Berechnung des Credit Spreads - Ulrich Pape / Matthias Schlecker
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Ulrich Pape / Matthias Schlecker
Berechnung des Credit Spreads
I. Einleitung ser Anleihe mit einer geeigneten Referenzanlei-
Prof. Dr. Ulrich Pape ist Inhaber
des Lehrstuhls für Finanzierung
he. Strukturkurvenansätze ermitteln hingegen
In empirischen Kapitalmarktstudi- zunächst eine Schar von Zinsstrukturkurven
und Investition an der ESCP-EAP
Europäische Wirtschaftshoch-
en sowie in der Kapitalmarktpraxis (Spot-Rate-Kurven), aus denen sich Credit
schule Berlin. wird der Credit Spread als Rendite- Spreads einer Ratingklasse mit konstanter Rest-
Dipl.-Kfm. Matthias Schlecker ist differenz zwischen risikobehafte- laufzeit berechnen lassen. Als risikofreie Refe-
Wissenschaftlicher Mitarbeiter ten Unternehmensanleihen und ei- renz werden Anleihen verwendet, die praktisch
und Doktorand am Lehrstuhl für
nem ausfallrisikofreien Referenz- kein Ausfallrisiko aufweisen, für die ein liquider
Finanzierung und Investition.
zinssatz definiert, der meist durch Markt existiert und die das gesamte Laufzeit-
Staatsanleihen approximiert wird. spektrum abdecken. Staatsanleihen von Län-
Allerdings wird den Berechnungsverfahren des dern bester Bonität, wie z.B. USA, Groûbritan-
Credit Spreads in der wissenschaftlichen Litera- nien, Deutschland oder Frankreich erfüllen die-
tur relativ wenig Beachtung geschenkt. Ein- se Voraussetzung. Alternativ können auch
Bewertung
schlägige Untersuchungen konzentrieren sich Swapsätze als Referenz verwendet werden. Ziel
vielmehr auf die Komponenten des Credit des vorliegenden Beitrags ist die Darstellung der
Spreads oder auf die Modellierung der Credit- verschiedenen Ansätze zur Berechnung des Cre-
Spread-Entwicklung im Zeitablauf. In diesem dit Spreads, die in Literatur und Kapitalmarkt-
Zusammenhang stellt sich allerdings die Frage, praxis zur Anwendung kommen. Nachfolgend
welche Aussagefähigkeit beispielsweise eine Un- werden zunächst die Berechnungsverfahren auf
tersuchung zur Abhängigkeit des Credit Spreads Basis des Einzeltitelvergleichs erläutert. Im
vom Marktzinssatz besitzt, wenn das Verfahren zweiten Teil erfolgt die Darstellung des Struk-
zur Berechnung des Credit Spreads sensitiv ge- turkurvenansatzes. In einer abschlieûenden Ge-
genüber dem Marktzinssatz ist1). Vielfach ver- genüberstellung werden Einsatzmöglichkeiten
wenden Modelle zur Bewertung von Unterneh- und -grenzen der Verfahren beleuchtet.
mensanleihen Credit Spreads als Inputparame-
ter. Zur Kalibrierung dieser Modelle ist es wich- II. Berechnung durch Vergleich von Ein-
tig, den Credit Spread möglichst exakt zu be- zeltiteln
stimmen. So nutzt beispielsweise das Reduced- 1. Vergleich laufzeitkongruenter Anleihen
Form Model von Jarrow/Lando/Turnbull2) empi-
In der Kapitalmarktpraxis wird der Credit
rische Credit Spreads, um die implizite Ausfall-
Spread üblicherweise als Renditedifferenz zwei-
wahrscheinlichkeit von risikobehafteten Unter-
er laufzeitkongruenter Anleihen bestimmt5). Für
nehmensanleihen zu berechnen. ¾hnliches gilt
die Berechnung des Credit Spreads s einer Un-
für die Modellierung von ausfallrisikobehafteten
ternehmensanleihe wird zunächst eine geeig-
Zinsprozessen, die zur Bewertung von Zins-
nete risikofreie Staatsanleihe mit gleicher Rest-
derivaten verwendet werden können3).
laufzeit und vergleichbaren Ausstattungsmerk-
malen identifiziert. Da der Credit Spread den In-
vestor für das höhere Risiko der Unternehmens-
anleihe kompensiert, müssen den Credit Spread
verzerrende Eigenschaften zwischen Unterneh-
mens- und Staatsanleihe, wie z.B. Zinszahlungs-
zeitpunkte, Dokumentation, Börsennotierung,
Marktsegment, Emissionszeitpunkt und Lauf-
zeit, weitgehend eliminiert werden. Nachdem
für beide Anleihen die internen Renditen (End-
fälligkeitsrenditen) ru bzw. rs berechnet wurden,
ergibt sich der Credit Spread durch Subtraktion.
Abb. 1: Methoden zur Berechnung des Credit Spreads
Für die Portfoliosteuerung, das Risikomanage-
ment sowie Investitionsentscheidungen ist die
genaue Kenntnis des Credit Spreads erforder- 1) Vgl. beispielsweise die Studien von Longstaff/Schwartz,
lich4). An den Kapitalmärkten können keine Journal of Finance 1995 S. 789-819 und Collin-Dufresne/
Renditen, sondern nur Marktpreise beobachtet Goldstein/Martin, Journal of Finance 2001 S. 2177-2207.
werden. Folglich müssen zunächst Anleiheren- 2) Vgl. Jarrow/Lando/Turnbull, Review of Financial Studies
1997 S. 481-523.
diten bestimmt werden, um anschlieûend aus 3) Vgl. beispielsweise Hull/White, Review of Financial Studies
den Renditen Credit Spreads zu berechnen. Die 1990 S. 573-592.
hierzu verwendeten Berechnungsverfahren las- 4) Vgl. Avramov/Jostova/Philipov, Financial Analysts Journal
sen sich in zwei Gruppen unterteilen, die in 2007 S. 90.
5) Vgl. Heinke, Bonitätsrisiko und Credit Rating festverzins-
Abb. 1 dargestellt sind. Einzeltitelbasierte Ansät- licher Wertpapiere, 1998, S. 317; Jacob/Klein, Investment
ze bestimmen den Credit Spread einer Unterneh- Banking, 1996, S. 143 f.; Lamy/Thompson, Journal of
mensanleihe durch einen Renditevergleich die- Banking and Finance 1988 S. 587.
658 FINANZ BETRIEB 10/2008Die Endfälligkeitsrendite r errechnet sich aus Vor Zinserhöhung um 1% Nach Zinserhöhung um 1%
dem Marktpreis B0 der Anleihe und den zukünf- Kurs Rendite Dm Kurs Rendite
tigen Zahlungsströmen CFt (Kuponzahlungen
und Tilgung) bis zum Ende der Laufzeit in T: Unternehmensanleihe 90% 8,53% 7,2 83,5% 9,64%
7% Kupon, 10 Jahre
Staatsanleihe 90% 4,25% 8,3 82,4% 5,30%
3% Kupon, 10 Jahre
Credit Spread 4,28% 4,34%
Die Berechnung des Credit Spreads durch den
Vergleich von laufzeitkongruenten Anleihen ist
Tab. 1: Zinssensitivität des Credit Spreads bei laufzeitkongruenten Titeln
relativ einfach. Allerdings ist der berechnete
Credit Spread vom Zinsniveau abhängig. Die Zur einfacheren Rechnung wird in der Regel die
Duration von Anleihen sinkt mit steigendem Modifizierte Duration Dm verwendet, mit der die
Kreditrisiko6). Unternehmensanleihen weisen prozentuale Wertänderung einer Anleihe direkt
daher gegenüber vergleichbaren ausfallrisiko- aus einer prozentualen Marktzinsänderung be-
freien Staatsanleihen typischerweise einen hö- stimmt werden kann9):
heren Kupon und damit eine niedrigere Durati-
Bewertung
on auf. Somit reagieren beide Anleihen unter-
schiedlich stark auf Marktzinsänderungen.
Wenn der Marktzinssatz steigt, sinken die Kurse
beider Anleihen. Der Kurs der Staatsanleihe Anhand eines Beispiels (siehe Tab. 1) wird die
wird jedoch relativ stärker fallen, weil sie einen Abhängigkeit des Credit Spreads vom Zins-
niedrigeren Kupon und damit eine höhere Dura- niveau illustriert. Gegeben seien eine Unterneh-
tion aufweist. Da sich die Endfälligkeitsrenditen mensanleihe mit einem Kupon von 7% und eine
Staatsanleihe mit einem Kupon von 3%. Beide
nicht im gleichen Verhältnis ändern, steigt der
Anleihen haben eine Restlaufzeit von 10 Jahren
Credit Spread.
und notieren bei 90%. Bestimmt man die Rendi-
Die Veränderung des Anleihepreises B0 bei einer tedifferenz, so ergibt sich ein Credit Spread von
¾nderung des Marktzinssatzes r wird durch die 4,28% bzw. 428 Basispunkten (BP). Wenn sich
erste Ableitung beschrieben: der Marktzinssatz absolut um 1% erhöht, sin-
ken die Anleihekurse ± berechnet nach der Mo-
difizierten Duration ± auf 83,5% bzw. 82,4%.
Allein aufgrund der Marktzinsänderung steigt
der Credit Spread somit um 6 BP auf 434 BP.
Während die erste Ableitung (3) negativ ist, ist Dieser Effekt verstärkt sich noch, wenn man be-
die zweite Ableitung positiv (d2B0/d2r > 0): Die rücksichtigt, dass die Kursänderung über die
Funktion des Anleihepreises ist folglich eine Duration linear approximiert wird, während die
konvexe Funktion des Marktzinssatzes r. Die Ableitung des Anleihepreises nach dem Zinssatz
Funktion hat eine negative Steigung. Ein höhe- eine konvexe Funktion ist. Im Ergebnis steigt
rer Marktzinssatz geht daher mit einem nied- der Credit Spread mit steigendem Marktzins-
rigeren Anleihepreis einher. Mit zunehmendem niveau, obwohl die Kreditqualität des Unterneh-
Zinsniveau nimmt die Steigung betragsmäûig mens konstant bleibt. Empirische Studien legen
ab. Die Sensitivität des Marktpreises ist somit nahe, dass der Credit Spread steigt, wenn die
bei niedrigen Zinssätzen am höchsten. Zinsen sinken10). Diese Aussage lässt sich aller-
Die Sensitivität des Anleihepreises B0 bezüglich dings nur dann überprüfen, wenn das Berech-
einer marginalen ¾nderung des Marktzinssatzes nungsverfahren des Credit Spreads nicht sensi-
r lässt sich auch als Elastizität ausdrücken: tiv gegenüber dem Zinsniveau ist.
Die Abhängigkeit des Credit Spreads vom
Marktzinsniveau kann vermieden werden,
wenn zwei Anleihen mit gleichem Kupon, glei-
cher Restlaufzeit und gleichem Rückzahlungs-
kurs verglichen werden11). In diesem Fall weisen
Die Duration D ist eine Risikokennzahl für eine beide Anleihen die gleiche Duration auf.
infinitissimal kleine ¾nderung des Marktzinssat-
Staats- und Unternehmensanleihen können nur
zes r7). Betrachtet man den Einfluss des Kupons
dann zufällig gleiche Kupons und Restlaufzeiten
c auf die Duration D, so gilt:
aufweisen, wenn sie zu unterschiedlichen Zeit-
punkten, aber mit gleicher Fälligkeit emittiert
wurden. In diesem Fall unterscheiden sich die
Anleihen in ihrem Alter. Da die Liquidität einer
Wie bereits erläutert, nimmt die Duration D mit
steigendem Kupon c ab. Dieser Zusammenhang 6) Vgl. Babbel/Merrill/Panning, World Bank Policy Research
ist nicht erstaunlich, da bei Anleihen mit Paper 1995.
7) Vgl. Gnad, Die Duration im Zinsrisikomanagement, 1996,
höherem Kupon ein entsprechend gröûerer S. 11-14.
Anteil des Barwertes früher an den Investor 8) Vgl. Gnad, a.a.O. (Fn. 7), S. 15.
flieût. Die in der Einheit Jahre gemessene 9) Vgl. Gnad, a.a.O. (Fn. 7), S. 16.
10) Vgl. Pape/Schlecker, Working Paper ESCP-EAP Europäi-
Duration kann somit als Schwerpunkt der sche Wirtschaftshochschule Berlin 2007.
Barwerte des Zahlungsstromes interpretiert 11) Vgl. Longstaff/Mithal/Neis, Journal of Finance 2005
werden8). S. 2218.
FINANZ BETRIEB 10/2008 659Staatsanleihe mit ihrem Alter abnimmt12), wird Credit-Spread-Zeitreihe muss daher zu jedem
der Credit Spread um eine zusätzliche Liquidi- Zeitpunkt eine geeignete durationkongruente
tätskomponente verzerrt. Das Problem der Zins- Staatsanleihe gefunden werden. Durch den
abhängigkeit des Credit Spreads wird somit Wechsel der Referenzanleihe wird die resultie-
durch eine Liquiditätsabhängigkeit substituiert. rende Zeitreihe zinsunabhängiger Credit Spre-
Wird der Credit Spread einer Anleihe einmalig ads jedoch verzerrt und enthält somit eine zu-
berechnet, so mag die Diskussion um die Zins- sätzliche Dynamik, die ökonomisch nicht erklär-
abhängigkeit des Spreads von nachrangiger Be- bar ist.
deutung sein. Wird jedoch die Credit-Spread- 3. Verwendung eines Index als Benchmark
Zeitreihe einer Anleihe betrachtet, so ist die Ver-
änderung des Credit Spreads nicht nur auf sich Eine zur Berechnung des Credit Spreads geeig-
ändernde Fundamentaldaten, sondern auch auf nete risikofreie Vergleichsanleihe ist aufgrund
¾nderungen im Marktzinsniveau zurückzufüh- der Vielzahl zu berücksichtigender Ausstat-
ren. An europäischen Anleihemärkten wird die tungsmerkmale schwierig zu finden. Zudem
Referenzstaatsanleihe in der Regel nicht ge- wird der Credit Spread von den Marktpreisbewe-
wechselt. Da die Liquidität der Staatsanleihe im gungen der Vergleichsanleihe beeinflusst. Ange-
Zeitablauf abnimmt, wird die Credit-Spread- bots- und Nachfrageeffekte oder Liquiditätsver-
Bewertung
Zeitreihe zusätzlich durch Veränderungen der änderungen, die nur die Referenzanleihe betref-
Liquidität verzerrt. Daher wird an US-ame- fen, schlagen sich ebenfalls im Credit Spread
rikanischen Märkten bei der Berechnung des nieder. Daher bietet sich die Verwendung von
Credit Spreads jeweils die zuletzt emittierte Indizes an, bei denen die Vergleichsrendite aus
Staatsanleihe (on the run) mit geeigneter Rest- mehreren Staatsanleihen berechnet wird.
laufzeit verwendet13). Bei diesem Verfahren Für deutsche Staatsanleihen kann der Deutsche
wird die entstehende Credit-Spread-Zeitreihe al- Rentenindex (REX) als Benchmark verwendet
lerdings durch den Wechsel der Referenzanleihe werden, den die Deutsche Börse AG täglich be-
verzerrt. rechnet. Der REX gibt die Endfälligkeitsrendite
einer synthetischen Staatsanleihe mit einem Ku-
2. Vergleich durationkongruenter Anleihen pon von 7,443% und einer Restlaufzeit von 5,49
Der Wert einer Anleihe ist im Zeitpunkt der Du- Jahren an. Die Berechnung des REX erfolgt in ei-
ration insensitiv gegenüber einer einmaligen nem dreistufigen Verfahren. Im ersten Schritt
Marktzinsänderung14). Diese Immunisierungs- werden aus den Kassakursen aller Anleihen, Ob-
funktion der Duration kann genutzt werden, ligationen und Schatzanweisungen des Bundes
um die Zinssensitivität der Credit-Spread-Berech- die Anleiherenditen berechnet. Im zweiten
nung zu vermeiden15). Zwei Anleihen mit glei- Schritt wird aus allen ermittelten Renditen unter
cher Duration haben nahezu identische Zinssen- Berücksichtigung von Restlaufzeit und Kupon
sitivitäten. Beim Vergleich durationkongruenter eine Zinsstruktur durch folgende multiple Re-
Anleihen können die dem Credit Spread zugrun- gression ermittelt, deren Regressionskoeffizien-
de liegenden Renditeunterschiede nur noch auf ten täglich durch die Deutsche Börse AG ver-
Unterschiede in der Ausstattung und in der Kre- öffentlicht werden.
ditqualität zurückgeführt werden16). Tab. 2 zeigt
eine Unternehmens- und eine Staatsanleihe mit
einer Duration von jeweils 6 Jahren. Die Rendite-
differenz und damit der Credit Spread beträgt 2%.
Bei einer absoluten Zinserhöhung um 1% fällt der
Kurs beider Anleihen und die Renditen erhöhen
sich entsprechend. Der Credit Spread als Rendite- Im dritten Schritt wird der REX durch Einsetzen
differenz bleibt jedoch konstant bei 2%. in die Regressionsgleichung (7) berechnet. In 10
Subindizes des REX werden die Endfälligkeits-
Vor Zinserhöhung um 1% Nach Zinserhöhung um 1% renditen von Anleihen mit konstanter Restlauf-
Kurs Rendite D Dm Kurs Rendite zeit zwischen 1 und 10 Jahren veröffentlicht, die
durch Einsetzen der jeweiligen Restlaufzeit in
Unternehmensanleihe 132,25% 6,00% 6 5,66 124,76% 7,04% die Regressionsgleichung bestimmt werden.
11,19% Kupon, 8 Jahre
Mit Hilfe der Regressionsparameter des REX ist
Staatsanleihe 111,23% 4,00% 6 5,77 104,81% 5,04% es möglich, den Credit Spread einer Unterneh-
5,87% Kupon, 7 Jahre
mensanleihe durch Vergleich mit der Rendite ei-
Credit Spread 2,00% 2,00% ner synthetischen laufzeit- und kupongleichen
Staatsanleihe zu berechnen. Dazu werden die
Tab. 2: Zinssensitivität des Credit Spreads bei durationkongruenten Titeln Restlaufzeit und der Kupon der Unternehmens-
Im Ergebnis ist die Berechnung des Credit Spre- 12) Vgl. Alexander/Edwards/Ferri, Journal of Financial Markets
ads über den Vergleich von zwei Einzeltiteln mit 2000 S. 181; Chakravarty/Sarkar, Federal Reserve Bank
gleicher Duration der Berechnung auf Basis New York Staff Report 1999, S. 7; Sarig/Warga, Journal of
Financial and Quantitative Analysis 1989 S. 369.
zweier laufzeitkongruenter Anleihen vorzuzie- 13) Vgl. Munves, in: Fabozzi/Mann (Hrsg.), The Handbook of
hen, da weder Marktzinsänderungen noch die Fixed Income Securities, 7. Aufl. 2005, S. 426.
Höhe des Marktzinsniveaus Auswirkungen auf 14) Vgl. Gnad, a.a.O. (Fn. 7), S. 23-24.
15) Vgl. Buberl, Kreditrisikobezogene Determinanten von
die Höhe des Credit Spreads haben. Nach der
Bond Spreads, 2002, S. 278.
Marktzinsänderung weisen die Anleihen jedoch 16) Vgl. Bachmann, Die Komponenten des Kreditspreads,
eine andere Duration auf. Zur Betrachtung einer 2004, S. 76.
660 FINANZ BETRIEB 10/2008anleihe in die REX-Regressionsgleichung einge-
setzt. Die Differenz der beiden Renditen ist der
Credit Spread, der sowohl vom Marktzinsniveau
als auch von Angebots- und Nachfrageeffekten
der Referenzanleihe unabhängig ist.
Als Vergleichsindex darf allerdings keine Spot-
Rate-Kurve verwendet werden, da die Kurve der
Endfälligkeitsrenditen immer unterhalb der
Spot-Rate-Kurve liegt (siehe Abb. 2). Unterstellt
man eine risikolose Unternehmensanleihe, so
liegt diese auf der Renditekurve der Staatsanlei-
hen. Zieht man davon die risikolose, laufzeit-
gleiche Spot Rate der Staatsanleihen ab, ergibt
sich ein negativer Credit Spread, der de facto
nicht existiert und lediglich durch die Berech- Abb. 2: Spot Rate und Endfälligkeitsrendite
nungsmethodik begründet ist. Untersuchungen, Rückzahlungsbetrag) mit laufzeitäquivalenten
wie diejenige von Ericsson/Renault17), die diese Zerobond-Diskontfaktoren (Spot Rates) abge-
Bewertung
Methode auf Unternehmensanleihen mit Aus- zinst werden18).
fallrisiko anwenden, unterschätzen dadurch den
Credit Spread. Kupon c Laufzeit t Preis B0 Spot Rate Diskontfak-
y t0 tor dt
4. Diskussion der Credit-Spread-Berechnung
4% 1 101,3 2,67% 0,9740
über Einzeltitelvergleich
Credit Spreads, die auf Basis eines Einzeltitelver- 5% 2 100,0 5,06% 0,9060
gleichs berechnet werden, erscheinen sehr 6% 3 99,0 6,51% 0,8275
exakt, da die Renditen zweier Anleihen mit-
einander verglichen werden. Sie eignen sich 7% 4 95,3 8,80% 0,7135
aber kaum zur Ableitung von Credit-Spread- Beispiel in Anlehnung an Fabozzi, a.a.O. (Fn. 20), S. 949.
Zeitreihen. Verwendet man zwei durationkon-
gruente Anleihen, so ist in jedem Messzeitpunkt Tab. 3: Bootstrapping-Verfahren
die Durationkongruenz zu überprüfen. Nach ei-
ner Marktzinsänderung hat sich auch die Durati- III. Berechnung auf Basis von Spot Rates
on geändert, sodass eine neue geeignete Staats-
anleihe ermittelt werden muss. Ein Wechsel der Credit Spreads können nicht nur auf Basis von
Referenzanleihe kann jedoch zu einer ¾nderung einzelnen Anleihen, sondern auch als Differenz
des Credit Spreads führen, die lediglich im Mess- von Spot Rates berechnet werden. Hierfür wird
verfahren begründet ist und nicht auf einer ¾n- auf die Zinsstruktur zurückgegriffen, die die
derung der Einflussfaktoren des Credit Spreads Rendite einmaliger Zahlungen in Abhängigkeit
beruht. von der jeweiligen Laufzeit darstellt19). Die Zins-
Sollen Credit-Spread-Zeitreihen für feste Rest- struktur kann jedoch nicht einfach am Kapital-
laufzeiten bestimmt werden, so tritt das Pro- markt abgelesen werden, sondern sie muss ge-
blem der Restlaufzeitverkürzung auf. Die Zeit- schätzt werden. Dazu wird im Folgenden zu-
reihe muss also regelmäûig auf neue Unterneh- nächst die diskrete Schätzung durch das Boot-
mens- und Staatsanleihen zur Berechnung zu- strapping-Verfahren sowie stetige Schätzverfah-
rückgreifen. Die daraus entstehenden Verände- ren dargestellt. Anschlieûend werden die Ver-
rungen des Credit Spreads resultieren wiederum fahren zur Schätzung der Zinsstruktur auf ihre
nur aus dem Berechnungsverfahren. Bei der Be- Eignung zur Credit-Spread-Berechnung unter-
rechnung von Credit-Spread-Zeitreihen unter sucht.
Verwendung eines Referenzindexes, der keine
1. Schätzverfahren zur Bestimmung von Spot
Kupon- und Laufzeitanpassung ermöglicht, tritt
Rates
ebenfalls der Laufzeitverkürzungseffekt auf. Die
a) Diskrete Schätzung durch Bootstrapping
Restlaufzeit der Unternehmensanleihe nimmt
ab, während die Restlaufzeit des Indexes kon- Ein einfaches Verfahren zur Berechnung von
stant bleibt. Folglich ist regelmäûig ein Wechsel diskreten Spot Rates aus Anleihepreisen ist das
des Indexes notwendig. Dieses Verfahren liefert Bootstrapping-Verfahren, das die Zinsstruktur
daher nur für kurze Untersuchungszeiträume rekursiv von der kleinsten Laufzeit ausgehend
akzeptable Näherungswerte. bestimmt20). In Tab. 3 werden vier Anleihen mit
Aus theoretischer Sicht ist bei der laufzeit- oder unterschiedlichen Kupons und ganzjährigen
durationkongruenten Credit-Spread-Berechnung Restlaufzeiten dargestellt, von denen jeweils der
auf die Verletzung der arbitragefreien Bewertung
hinzuweisen. Die Credit-Spread-Berechnung auf 17) Vgl. Ericsson/Renault, Journal of Finance 2006
S. 2219-2250
Basis von Endfälligkeitsrenditen unterstellt eine 18) Vgl. Elton/Gruber/Agrawal/Mann, Journal of Finance
konstante Zinsstruktur. Jede Einzahlung eines 2001 S. 251.
zukünftigen Zahlungsstroms wird bei der Be- 19) Vgl. Pichler, Ermittlung der Zinsstruktur, 1995, S. 6.
wertung mit demselben konstanten Zinssatz dis- 20) Vgl. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 6. Aufl.,
2006, S. 82-84; Fabozzi, in: Fabozzi/ Mann, The Hand-
kontiert. Die Bewertung der Anleihen ist hin- book of Fixed Income Securities, 7. Aufl., 2005, S. 142;
gegen nur dann arbitragefrei, wenn die zukünfti- Wingenroth, Risikomanagement für Corporate Bonds,
gen Zahlungsströme (Kuponzahlungen und 2004, S. 32 f.
FINANZ BETRIEB 10/2008 661Marktpreis bekannt ist21). Die Anleihe mit einem muss folglich die Spot-Rate-Kurve von Swaps
Kupon von 4% und einer Restlaufzeit von einem bestimmt werden24). Die Spot Rate eines Swaps
Jahr weist eine Endfälligkeitsrendite von r1 = y0t mit einer Restlaufzeit von t Jahren lässt sich
2,67% auf, die identisch mit der einjährigen ebenfalls über das Bootstrapping-Verfahren be-
Spot Rate y01 ist: rechnen. Dabei gibt m die Anzahl der Zahlungs-
termine pro Jahr an, während c die Swaprendite
für die Restlaufzeit t darstellt25).
Aus den aus Marktpreisen berechneten diskre-
ten Swap-Spot-Rates (Zero-Swaprenditen) las-
sen sich durch Verfahren der Interpolation steti-
Bewertung
ge Strukturkurven berechnen.
b) Schätzung stetiger Spot-Rate-Kurven
Durch das Bootstrapping lassen sich lediglich
diskrete Spot Rates für die Zeitpunkte schätzen,
für die Anleihen zur Verfügung stehen. Bei
Schätzung stetiger Spot-Rate-Kurven können da-
Abb. 3: Diskontfaktoren und Spot Rate gegen Spot Rates für beliebige Restlaufzeiten ±
unabhängig von den zugrunde liegenden Anlei-
Bei der zweijährigen Anleihe wird der erste Ku- hen ± ermittelt werden. Nur stetige Schätzver-
pon mit der berechneten einjährigen Spot Rate fahren ermöglichen folglich die Bestimmung
y01 = 2,67% abgezinst. Die Zahlung am Ende von Spot-Rate-Zeitreihen mit konstanten Rest-
der zweijährigen Laufzeit wird mit der zweijäh- laufzeiten. Der rechnerische Marktpreis B0 einer
rigen Spot Rate y02 abgezinst. Anleihe ist der Barwert der zukünftigen Zah-
lungsströme CFt. Zur Diskontierung wird der
laufzeitkongruente Diskontfaktor dt aus der ste-
tigen Diskontfunktion d(t) verwendet. Die Dis-
kontfunktion d(t) = f(t; a) selbst kann als von
Während die zweijährige Rendite bei r2 =
einem Parameterset a abhängige Funktion der
5,00% liegt, beträgt die zweijährige Spot Rate y02
Laufzeit t dargestellt werden. Während in voll-
= 5,06%. Mit der dreijährigen sowie der vier-
kommenen Märkten für alle Anleihen gleicher
jährigen Anleihe wird analog verfahren. Mit Hil- Kreditqualität eine identische Diskontfunktion
fe des Bootstrapping-Verfahrens lassen sich Spot gilt, tritt in unvollkommenen Märkten eine Ab-
Rates für diskrete Zeitpunkte bestimmen, die al- weichung im Marktpreis auf, die als Fehler e
ternativ auch als Diskontfaktoren dt = (1 + modelliert wird:
y0t)-t, dargestellt werden können22). Der Diskont-
faktor dt entspricht dem Barwert einer in t fäl-
ligen Geldeinheit. Abb. 3 zeigt den Zusammen-
hang zwischen exemplarischen Diskontfaktoren
und Spot Rates. Ein Schätzverfahren zur Bestimmung der steti-
Wiederholt man das Verfahren für eine Reihe gen Diskontfunktion, aus der die stetige Spot-
von Anleihen mit unterschiedlicher Restlaufzeit, Rate-Kurve berechnet wird, muss folglich den
so lassen sich sukzessiv diverse Punkte auf der Fehler e minimieren und dadurch die empirisch
Spot-Rate-Kurve bestimmen, die anschlieûend beobachtbare Zinsstruktur möglichst exakt ap-
zu einer vollständigen Kurve interpoliert werden proximieren. Auûerdem sollen die Schätzverfah-
können23). Leider verläuft die dabei entstehende ren glatte Kurven erzeugen und leicht imple-
Kurve unregelmäûig und zackig, da die Spot Ra- mentierbar sein26).
tes einiger Anleihen aufgrund von Angebots- Parametrische Schätzverfahren für Spot-Rate-
und Nachfrageverzerrungen nicht auf dieser Kurven beschreiben die gesamte Zinsstruktur
Kurve liegen.
21) Bei nicht-ganzjährigen Restlaufzeiten müssen diese ent-
Als alternative Referenz können Renditen von sprechend berücksichtigt werden.
Zinsswaps als Basis zur Berechnung von Credit 22) Vgl. Jankowitsch/Pichler, Journal of Fixed Income 2004 S.
Spreads herangezogen werden. Bei einem Zins- 50-51.
swap tauschen zwei Parteien für die Swaplauf- 23) Vgl. Wingenroth, a.a.O. (Fn. 20), S. 33.
24) Vgl. Liu/Longstaff/Mandell, Journal of Business 2006 S.
zeit einen festen Zinssatz (Swaprendite) gegen 2347; Lekkos/Milas, Journal of Futures Markets 2001, S.
einen variablen Zinssatz (z.B. Libor oder Euri- 766.
bor). Swaps werden immer zu pari emittiert. Da 25) Vgl. Ron, in: Fabozzi (Hrsg.), Interest Rate, Term Structure
der Swap eine feste Verzinsung zahlt, stellt die and Valuation Modeling, 2002, S. 147.
26) Vgl. Zimmerer/Hertlein, FB 2007, S. 101; Choudhry, in: Fa-
Swaprendite keine Spot Rate, sondern die End- bozzi (Hrsg.), Handbook of Fixed Income Securities, 7.
fälligkeitsrendite des Swaps dar. Zur Berech- Aufl. 2005, S. 965; Bolder/Guspa, Bank of Canada Wor-
nung von Credit Spreads auf Basis von Swaps king Paper 2002 S. 2.
662 FINANZ BETRIEB 10/2008mit einer Funktion. Nelson/Siegel27) verwenden zinsniveau abhängig. Da die Bewertung von An-
eine Funktion, die von insgesamt vier unter- leihen mit Spot Rates arbitragefrei ist, sind auch
schiedlichen Parametern abhängig ist. Sie er- die aus Spot Rates berechneten Credit Spreads
möglicht die Approximation von steigenden, fal- arbitragefrei.
lenden, s- und buckelförmigen Zinsstrukturen. Genauso wie die Spot-Rate-Kurve der Staats-
Das Verfahren von Svensson28) ist durch die Ver- anleihen auf einer Vielzahl ähnlicher Anleihen
wendung von sechs Parametern flexibler in der basiert, werden Unternehmensanleihen nach
Approximation. Beide parametrischen Schätz- Emittent oder Rating gruppiert. Für jede Rating-
verfahren bieten den Vorteil, dass die resultie- klasse sowie für die ausfallrisikofreien Staats-
renden Formen der Strukturkurven ökonomisch anleihen kann nun separat eine stetige Spot-
interpretierbar sind. Rate-Kurve mit einem parametrischen oder
Splines, die zu den nichtparametrischen Schätz- nichtparametrischen Verfahren geschätzt wer-
verfahren gehören, zeichnen sich durch eine den. Der Credit Spread ergibt sich als Differenz
sehr hohe Flexibilität aus. Die geschätzte Zins- zwischen den Spot-Rate-Kurven.
struktur kann mit einer hohen Präzision an die
beobachtete Zinsstruktur approximiert werden.
Bei den Splines wird die zu schätzende Kurve in
Bewertung
frei wählbare Abschnitte (Stützstellen) auf-
geteilt. Anschlieûend schätzt man für jeden Ab-
schnitt eine separate Funktion. Damit die Funk-
tionen an den Stützstellen gleitend ineinander
übergehen und stetige Spot-Rate-Kurven entste-
hen, müssen sie an den Stützstellen die gleichen
Funktionswerte aufweisen sowie identische ers-
te und zweite Ableitungen haben29). Durch die
Verwendung von verschiedenen Funktionen er-
möglichen Splines eine sehr flexible Modellie-
rung unterschiedlicher Kurvenverläufe. Auf-
grund der hohen Flexibilität der Splines können
die geschätzten Zinsstrukturen jedoch unrealis- Abb. 4: USD Spot-Rate-Kurven am 12.12.2003
tische und unregelmäûige Verläufe aufweisen, Abb. 4 zeigt eine exemplarische Verteilung von
da Ausreiûer zu stark berücksichtigt werden. Spot-Rate-Kurven verschiedener Ratingklassen.
Das Smoothing-Splines-Verfahren von Fisher/ Die Grafik basiert auf Bloomberg-Indizes und
Nychka/Zervos30) bestraft eine zu groûe Anpas- stellt Spot Rates für ganze Jahre dar, die zu Ver-
sungsgüte der geschätzten Disktontierungsfunk- anschaulichungszwecken linear interpoliert
tion an die Marktdaten, so dass glattere Kurven wurden33). Bildet man die Differenzen aus den
entstehen. Spot-Rate-Kurven der einzelnen Ratingklassen
Wenn eine Anleihe mit Hilfe von Spot Rates be- mit der Staatsanleihenkurve, so ergeben sich die
wertet wird, führen Splines in der Regel zur ge- jeweiligen Credit Spreads, die in Abb. 5 dar-
ringsten Preisabweichung. Bei den parametri- gestellt sind. Ausgehend von relativ glatten
schen Verfahren schätzt Svensson genauere Spot-Rate-Kurven ergibt sich hier eine unge-
Spot-Rate-Kurven, die dennoch gröûere Bewer- wöhnliche Struktur der Credit Spreads, da die
tungsfehler als die Splines aufweisen31). Kurven sowohl positive als auch negative Stei-
In der Kapitalmarktpraxis werden parametri- gungen aufweisen34).
sche und nichtparametrische Schätzverfahren Auf Grundlage theoretischer Bewertungsmodel-
zur Bestimmung von Spot-Rate-Kurven ver- le (Structural Models) von Merton35) oder
wendet. Börseninformationssysteme, wie Longstaff/Schwartz36) müssten die Credit-
Bloomberg oder Reuters, schätzen ihre Kur-
ven nach Nelson/Siegel32). Zentralbanken nut- 27) Vgl. Nelson/Siegel, Journal of Business 1987 S. 473-489.
zen hauptsächlich parametrische Schätzver- 28) Vgl. Svensson, NBER Working Paper 1994.
fahren, ergänzen diese jedoch um Splines-Ver- 29) Vgl. Fabozzi, a.a.O. (Fn. 20), S. 961. Zur praktischen Schät-
zung von Zinsstrukturkurven mit Hilfe von Splines, siehe
fahren. beispielsweise Pienaar/Choudhry, in: Fabozzi (Hrsg.), Inte-
rest Rate, Term Structure and Valuation Modeling, 2002,
2. Berechnung von Credit Spreads beliebiger
S. 157-155.
Restlaufzeit 30) Vgl. Fisher/Nychka/Zervos, Federal Reserve Board, Finan-
Der Credit Spread s wird als Differenz zwischen ce and Economics Discussion Series 1995.
31) Vgl. Zimmerer/Hertlein, a.a.O. (Fn. 26); Bolder/Guspa
laufzeitkongruenten Spot Rates von Unterneh- a.a.O. (Fn. 26); Andersen/Sleath, Bank of England Wor-
mens- und Staatsanleihen berechnet. king Paper 2001); Schich, Deutsche Bundesbank Working
Paper 1997; Pichler, Ermittlung der Zinsstruktur 1995.
32) Vgl. Houweling/Hoek/Kleibergen, Journal of Empirical Fi-
nance 2001 S. 297-323.
33) Bei einer Schätzung der Spot Rates mit Hilfe des Nelson/
Wiederholt man das Verfahren der Spot-Rate-Be- Siegel- oder des Svensson-Verfahrens auf Basis von Ein-
rechnung für jeden Handelstag, so lassen sich zeltiteldaten ergibt sich eine stetige Funktion in Abhängig-
Credit-Spread-Zeitreihen mit beliebiger, kon- keit von der Restlaufzeit.
stanter Restlaufzeit erstellen. Im Gegensatz zum 34) Zu ähnlichen Ergebnissen kommt auch die Studie von Ku-
ehne, Financial Markets and Portfolio Management 2001
Renditevergleich von zwei laufzeitkongruenten
S. 30.
Anleihen sind Credit Spreads, die auf Basis von 35) Vgl. Merton, Journal of Finance 1974 S. 449-470.
Spot Rates berechnet werden, nicht vom Markt- 36) Vgl. Longstaff/Schwartz, a.a.O. (Fn. 1).
FINANZ BETRIEB 10/2008 663Kurve oszillieren. Die Bewertungsfehler der mo-
dellimplizierten Anleihepreise sind bei simulta-
ner Schätzung kleiner, obwohl die Lage der ge-
schätzten Kurven restringierter ist, da die Schät-
zung mit weniger Parametern auskommt38).
Jankowitsch/Pichler verwenden sowohl kubi-
sche Splines als auch ein erweitertes Svensson-
Modell zur separaten und simultanen Schätzung
der Spot-Rate-Kurven. Bei Anwendung des Spli-
nes- und des Svensson-Verfahrens im Rahmen
der separaten Schätzung ergeben sich verschie-
dene, gegenläufige, s-förmige Kurven für den
Credit Spread, die in Abb. 6 schematisch dar-
gestellt sind. Werden die Spot-Rate-Kurven si-
multan geschätzt, ergeben sich, wie Abb. 7
Abb. 5: USD Credit-Spread-Kurven am 12.12.2003 zeigt, die gewünschten glatten und stetig anstei-
genden Credit-Spread-Kurven. Der Unterschied
Bewertung
zwischen den verwendeten Schätzverfahren ist
hier gering.
Auf Basis von stetigen Spot Rates können arbi-
tragefreie Credit Spreads für beliebige Restlauf-
zeiten berechnet werden. Der Bewertungsfehler
± also die Abweichung der modellimplizierten
Anleihepreise von den tatsächlich am Markt be-
obachteten Preisen ± ist bei separater und simul-
taner Schätzung der zur Credit-Spread-Berech-
nung notwendigen Spot Rates vergleichbar. Aus
der simultanen Schätzung ergeben sich jedoch
Abb. 6: Separate Schätzung von Credit-Spread-Kurven. Quelle: in Anlehnung Credit-Spread-Strukturen, die ökonomisch inter-
an Jankowitsch/ Pichler, a.a.O. (Fn. 22), S. 57 f. pretierbar sind.
IV. Zusammenfassung
Zur Ermittlung des Credit Spreads gibt es eine Rei-
he von Berechnungsverfahren. Obwohl Credit
Spreads als Variablen in Bewertungsgleichungen
eingehen, hat die wissenschaftliche Literatur der
Berechnung des Credit Spreads bislang relativ
wenig Beachtung geschenkt. Es lässt sich jedoch
zeigen, dass die Höhe des Credit Spreads vom ge-
wählten Berechnungsverfahren abhängt. Die im
vorliegenden Beitrag diskutierten Verfahren zur
Berechnung des Credit Spreads werden in Tab.
Abb. 7: Simultane Schätzung von Credit-Spread-Kurven. Quelle: in Anleh- 4 auf S. 665 einander gegenüber gestellt. Dabei
nung an Jankowitsch/ Pichler, a.a.O. (Fn. 22), S. 58 wird von drei Anwendungsfällen ausgegangen.
Im ersten Fall wird der Credit Spread einer Anlei-
Spread-Kurven stetig ansteigen. Wei/Guo ist es he zu einem Zeitpunkt benötigt. Im zweiten Fall
nicht gelungen, mit verschiedenen Structural soll die Credit-Spread-Zeitreihe einer Anleihe be-
Models s-förmige Credit-Spread-Strukturen zu stimmt werden. Der dritte Fall betrachtet eine Cre-
erzeugen und damit als theoretisch mögliche dit-Spread-Zeitreihe konstanter Restlaufzeit für
Formen zu erklären37). Da sich die ungewöhnli- eine gegebene Ratingklasse.
che Credit-Spread-Struktur nicht ökonomisch in- In der Praxis wird der Credit Spread einer einzel-
terpretieren lässt, ist zu untersuchen, ob die se- nen Anleihe zu einem bestimmten Zeitpunkt
parate Schätzung der Spot-Rate-Kurven zu fal- vielfach als Differenz zur laufzeitkongruenten
schen Credit Spreads führt. Staatsanleihe berechnet. Bei diesem Verfahren
Houweling/Hoek/Kleibergen erweitern ein ergibt sich jedoch das Problem, dass der so be-
B-Splines-Modell. Statt wie bisher die Diskont- rechnete Credit Spread vom Zinsniveau ab-
funktionen für jede Ratingklasse separat zu hängt. Daher sollte der Credit Spread als Diffe-
schätzen, werden die Diskontfunktionen für renz zu einer durationskongruenten Anleihe be-
Staatsanleihen und Unternehmensanleihen ver- stimmt werden.
schiedener Ratingklassen simultan approxi- Bei der Berechnung der Credit-Spread-Zeitreihe
miert. Bei diesem Verfahren weisen die Credit- einer einzelnen Anleihe ergibt sich auch bei Ver-
Spread-Kurven den erwarteten glatten Verlauf wendung einer durationskongruenten Referenz-
auf. Zur Kontrolle schätzen die Autoren die Dis- anleihe das Problem, dass die Duration bei ¾n-
kontfunktionen verschiedener Ratingklassen se- derungen des Zinsniveaus nicht konstant bleibt.
parat. Eine grafische Auswertung zeigt, dass die
separate Schätzung zu Credit-Spread-Kurven 37) Vgl. Wei/Guo, Journal of Fixed Income 1997 S. 15.
führt, die s-förmig um eine leicht ansteigende 38) Vgl. Houweling/Hoek/Kleibergen, a.a.O. (Fn. 32), S. 315.
664 FINANZ BETRIEB 10/2008Methodik Anwendungsfall Kritik
Renditevergleich laufzeitkongruenter Anlei- Credit Spread einer Anleihe zu einem Zeit- Credit Spread vom Zinsniveau abhängig
hen punkt
Renditevergleich durationkongruenter Anlei- Credit Spread einer Anleihe zu einem Zeit- Keine Ableitung von Zeitreihen möglich, da
hen punkt Duration vom Zinsniveau abhängig
Renditedifferenz zu Index, der in Kupon und Credit-Spread-Zeitreihe einer Anleihe Verfügbarkeit von Index, Renditen nicht arbitra-
Restlaufzeit angepasst wird gefrei
Separate Schätzung von Spot-Rate-Kurven Credit-Spread-Zeitreihe mit konstanter Rest- Ungewöhnliche Kurvenverläufe
für jede Ratingklasse laufzeit und Rating
Simultane Schätzung aller Spot-Rate-Kurven Credit-Spread-Zeitreihe mit konstanter Rest- Schätzung von Kurven bei wenigen Anleihe-
laufzeit und Rating daten schwierig
Tab. 4: Vergleich der Methoden zur Credit-Spread-Berechnung
Somit muss möglicherweise die Referenzanleihe die ökonomisch nicht erklärbar sind. Daher soll-
gewechselt werden, was die Credit-Spread-Zeit- ten Credit-Spread-Zeitreihen als Differenz von
reihe verzerrt. Daher sollte der Credit Spread Spot Rates berechnet werden. Wenn die Spot Ra-
Bewertung
durch einen Renditevergleich mit einem risiko- tes für Unternehmens- und Staatsanleihen si-
freien Index berechnet werden, der an Kupon multan geschätzt werden, weisen die daraus ab-
und Restlaufzeit der Anleihe angepasst werden geleiteten Credit-Spread-Kurven realistische und
kann. Hier bietet sich beispielsweise der Deut- ökonomisch interpretierbare Verläufe auf.
sche Rentenindex REX an. Je nach Anwendungsfall sind unterschiedliche
Im dritten Anwendungsfall wird eine Credit- Verfahren zur Credit-Spread-Berechnung zu ver-
Spread-Zeitreihe mit konstanter Restlaufzeit be- wenden. Daher ist es bei der praktischen Be-
nötigt. Die Ermittlung dieser Zeitreihen durch rechnung des Credit Spreads notwendig, die Eig-
den Vergleich einzelner Anleihen ist jedoch nung des Verfahrens für den konkreten Fall kri-
nicht unproblematisch, da durch die abnehmen- tisch zu prüfen. Aufgrund der Zinsabhängigkeit
de Restlaufzeit regelmäûig die betrachteten An- erscheint die in der Kapitalmarktpraxis oftmals
leihen gewechselt werden müssen. Dieser Wech- zu beobachtende Berechnung des Credit
sel beeinflusst die Credit-Spread-Zeitreihe, die Spreads durch einen Renditevergleich laufzeit-
somit zusätzliche Veränderungen widerspiegelt, kongruenter Anleihen problematisch.
FINANZ BETRIEB 10/2008 665Sie können auch lesen
