Ist die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein genähertes Gravitationsgesetz?
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Ist die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein
genähertes Gravitationsgesetz?
Klaus Retzlaff
6.5.2018
Zusammenfassung: Es wird aus der Äquivalenz von Trägheit und Schwere eine exakte
kugelsymmetrische Metrik des Vakuumfeldes hergeleitet, ohne Bezug auf die Einstein’schen
Feldgleichungen oder auf bestimmte Symmetrieeigenschaften der bekannten Schwarzschild-Metrik zu
nehmen. Trotzdem gelingt die Herleitung der vom Autor 2017 entdeckten Post-Einstein-
Schwarzschild-Metrik (PES), welche die Schwarzschild-Metrik als Grenzfall enthält [1]. Die Herleitung
steht in voller Übereinstimmung mit Einsteins Überlegungen und Rechnungen aus den Jahren
1907/1908 [2], sowie Longair 1991 und 2011 [3] bezüglich des Verhaltens der Zeit-Zeit-Komponente
des metrischen Fundamentaltensors. Beide Autoren (Einstein und Longair) führen explizit aus, dass es
sich bei der Form der Zeit-Zeit-Komponente, wie sie aus der Schwarzschild-Metrik bekannt ist, nur um
eine Näherung handelt. 1907/1908 war Einstein natürlich die Schwarzschild-Lösung noch gar nicht
bekannt, die Form der Zeit-Zeit-Komponente lässt sich aber bereits aus Ergebnissen seiner Arbeit
exakt herleiten. Gemäß Longair [3] folgt explizit, dass die Einstein’schen Feldgleichungen bezüglich
einer solchen Herleitung nur die Näherung für die Zeit-Zeit-Komponente liefern. Die Autoren (Einstein
und Longair) untersuchen aber die Radius-Radius-Komponente nicht. Sie bestimmen daher auch keine
Metrik des kugelsymmetrischen Feldes. Einstein tat das nicht, weil er nur den gravitativen Effekt
abschätzen wollte, Longair tat das nicht, weil er didaktisch zur ART hinführen wollte. Die
Überlegungen werden darum von beiden Autoren aus unterschiedlichen Gründen nicht weiter vertieft
und nicht zu Ende geführt – das hat ein ganzes Jahrhundert der Gravitationsforschung bestimmt und
vielleicht auf eine falsche Fährte geführt!
Der Vertiefung dieser Überlegungen ist der folgende Artikel gewidmet. Es gelingt eine zu Einsteins
Überlegungen analoge Herleitung für die Radius-Radius-Komponente des metrischen Tensors und
damit auch der exakte Nachweis, dass die Schwarzschild-Metrik nur als Näherung für ein
zentralsymmetrisches Gravitationsfeld anzusehen ist – mit schwerwiegenden Folgen für die
Interpretation der Einstein’schen Allgemeinen Relativitätstheorie und die Rolle ihrer Feldgleichungen.
Das ist jedenfalls die durchaus anfechtbare Auffassung des Autors dieses Artikels – der mit dieser
Position ausdrücklich eine kritische Diskussion provozieren möchte!
Mein besonders herzlicher Dank gilt Herrn Dr. habil. rer. nat. P. Streitenberger (Otto-von-Guericke-
Universität Magdeburg) für die nützlichen Hinweise auf die zitierten Arbeiten von Einstein und
Longair, die mir bisher unbekannt waren.
***
Überlegungen über Einsteins Haltung zur Mühe machen, diese Gleichungen streng zu
Allgemeinen Relativitätstheorie lösen, wo ihnen doch nicht mehr als eine
Im Jahre 1965 berichtete der Physiker ephemere Bedeutung zukommt.´ Mir kam das
Cornelius Lanczos auf dem Einstein- unverständlich vor. Hier war eine der größten
Symposium in Berlin in seinem Vortrag mit Entdeckungen aller Zeiten und ihr Urheber übt
dem Titel: „Tetraden-Formalismus und definite Verrat, indem er seine eigene Entdeckung gar
Raum-Zeit-Struktur“ über seine erste nicht ernst nimmt.
Begegnung mit Albert Einstein um 1922. Später habe ich Einsteins Einstellung als
Lanczos „hatte eine mathematische Methode absolut konsequent zu würdigen gelernt … und
gefunden, die stark nichtlinearen eine Theorie gefunden zu haben, die die reine
Einstein’schen Gravitationsgleichungen durch Gravitation beschreibt, war für Ihn schon
eine Methode der sukzessiven Integration zu lange nicht mehr ausreichend.“ [4]
lösen, ohne dabei den bekannten Lanczos vermutet (wie der Autor dieses
Überbestimmungsschwierigkeiten zu Artikels auch), dass Einstein auf Grund seiner
begegnen. … Zu meiner Überraschung und Suche nach einer einheitlichen Theorie aller
nicht geringen Bestürzung entgegnete er (damals) bekannten Felder davon
(Einstein): ‚Ja, aber warum soll man sich die ausgegangen ist, dass die Allgemeine
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Relativitätstheorie nur eine berühmten beschleunigten Fahrstuhl
vergängliche/flüchtige eben eine ephemere auf das G-Feld. Auch dieser Schluss ist
Bedeutung hätte. Trotzdem ist es durchaus entsprechend dem schwachen
möglich, dass Einstein zusätzlich seine Äquivalenzprinzip exakt, d.h.
Kenntnis [2] aus dem Jahre 1907/1908 im historisch betrachtet ist Einstein nur
Hinterkopf gehabt haben könnte, in der er die eine Haaresbreite davon entfernt, die
Beziehung Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik zu
as entdecken!
t 1 2 (1) 2. Dem gegenüber ist (3) in
c
Übereinstimmung mit Einstein und
mit dem expliziten Hinweis angibt, dass (1) nur
Longair nur als Näherung anzusehen.
für kleine Werte der Strecke s gelten kann, da
3. Die Näherung (3) scheint auf den
(1) als Näherung 1. Ordnung aus der exakten
ersten Blick „schlecht“ zu sein, weil
Beziehung
a s
man den Faktor 2 vermissen könnte,
t ec
2
(2) denn die exakte Zeit-Zeit-Komponente
hergeleitet ist. In (1) und (2) bedeuten t die des metrischen Tensors ist gemäß (2)
2
Koordinatenzeit, die Eigenzeit, a ist die
g 44 e c
2
(4),
zunächst als konstant angesehene
Beschleunigung von Einsteins berühmtem mit
M
Fahrstuhl und s ist die betrachtete (5)
Beschleunigungsstrecke. r
Aus dem Äquivalenzprinzip von Trägheit und und
passiver Schwere, wonach eine M0
Beschleunigung als Gravitationsfeld aufgefasst
M (6),
c2
werden kann, schlussfolgert Einstein, dass wenn die Newtonsche
wegen (1) auch
Gravitationskonstante, c 2 das
t 1 2 (3) Quadrat der
c Vakuumlichtgeschwindigkeit und M 0
gelten sollte, wobei das die in kg gemessene Masse der
Gravitationspotential repräsentiert. Einstein Gravitationsquelle im
ist sich hier explizit bewusst, dass (3) aufgrund kugelsymmetrischen Gravitationsfeld
von (2) nur als Näherung anzusehen ist, weil sind. Geht man von (4) aus, wäre die
er es selbst explizit sagt. Ihm kommt es auf die Näherung in erster Ordnung für die
Näherung an, weil er lediglich die Zeit-Zeit-Komponente des metrischen
Größenordnung des Effektes abschätzen Tensors also
möchte. Es sei an dieser Stelle an zwei Punkte 2
erinnert, welche für die Beurteilung von g~44 1 2 (7),
Bedeutung sind: c
1. Die Beziehung (2) ist eine exakte Folge das würde aber
1
aus der Post-Einstein-Schwarzschild- ~ 2 2
Metrik in [1], wenn in Anwendung des t 1 2 (8)
c
schwachen Äquivalenzprinzips vom
bedeuten. Einstein fehlt scheinbar ein
Gravitationsfeld auf die
Faktor 2, denn die Beziehung (8) ist
Beschleunigung geschlossen wird, d.h.
gerade jene, welche aus der
die Richtung der Schlussfolgerung ist:
Schwarzschild-Metrik folgt. Doch (8)
G-Feld a . Die Richtung der
steht nicht im Widerspruch zu (3). Das
Schlussfolgerung bei Einstein in [2] ist
umgekehrt. Einstein schließt: a G-
Feld, d.h. Einstein schließt von seinem
2
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wird sofort deutlich, wenn (8) als 1991 und 2011 nicht nur die Zeit-Zeit-
Taylor-Reihe entwickelt wird1. Komponente, sondern eben auch die Radius-
Es liegt also der Sachverhalt vor, dass die Zeit- Radius-Komponente des kugelsymmetrischen
Zeit-Komponente (7) streng genommen nur Vakuumfeldes. So finden wir einerseits die aus
eine Näherung repräsentiert, die mit der dem schwachen Äquivalenzprinzip exakt
exakten Beziehung (2), die Einstein in [2] folgende Metrik (die Post-Einstein-
streng2 herleitet, in Beziehung steht. Zugleich Schwarzschild-Metrik) und andererseits, dass
ist die Näherung (7) aber eine exakte Lösung es sich bei der Schwarzschild-Metrik
der Einstein’schen Feldgleichungen. Genau tatsächlich nur um eine Näherung für diese
dieser Sachverhalt wirft die im Titel dieses exakte Metrik handelt, die Einstein’schen
Artikels formulierte Fragestellung auf: Feldgleichungen für die Gravitation daher
selbst nur eine Näherung repräsentieren
Ist die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein können. Diese Sicht wirft dann aber auch die
genähertes Gravitationsgesetz? weitergehende Frage auf, ob das schwache
und das starke Äquivalenzprinzip überhaupt
Nach dem beschränkten historischen Wissen verträglich sind und ob das starke
des Autors (Retzlaff) hat Einstein das niemals Äquivalenzprinzip überhaupt in der Natur
so gesagt. Belegt ist aber, dass Einstein aus verwirklicht ist. Es ist durchaus möglich, dass
verschiedenen Gründen seine Allgemeine die theoretische Durchführung einer Theorie
Relativitätstheorie nie als letztes Wort in mit starkem Äquivalenzprinzip auf intrinsische
Sachen Gravitationstheorie angesehen hat. Widersprüche führt, die z.B. in der Voraussage
eines Urknalls oder der Voraussage so
Herleitung der Post-Einstein-Schwarzschild- genannter Schwarzer Löcher ihren
Metrik aus dem schwachen Äquivalenzprinzip physikalischen Ausdruck finden.
Wie Einstein 1907 betrachten wir ein
beschleunigtes Bezugsystem. Die Zur Herleitung der Post-Einstein-
Beschleunigung interpretieren wird sodann Schwarzschild-Metrik aus dem schwachen
gemäß dem Äquivalenzprinzip als Äquivalenzprinzip beginnen wir mit der
Gravitationsfeld. Wir betrachten aber im Betrachtung der Zeitdilation in einem
Unterschied zu Einstein 1907 und Longair beschleunigten System – Einsteins berühmtem
Fahrstuhl. Zunächst gehen wir von der
klassischen Beziehung für die Änderung der
Energie eines Systems aus. Die Änderung der
1
Wir setzen x und entwickeln die Taylor-
Energie dE ist proportional der Kraft, die
c2
entlang des Wegelementes dx wirkt.
f ( x ) 1 2 x 2 bis zur ersten
1
Reihe für
dE m a dx (9).
Ordnung: Da wir uns in der Relativitätstheorie befinden,
1
1 2 x 2 2 1 2 x 2 , d.h.
1 1
f ( x ) muss aber die Masse-Energie-Äquivalenz
2 E m c2 (10)
f (0) 1 und f (0) 1 , so dass als Taylor-Reihe gelten. Aus (10) folgt für das totale
f ( x) 1 x folgt. Die Rücksubstitution ergibt Energiedifferential dE die Beziehung:
dE dm c 2 m 2 c dc
f 1
(11).
in voller Übereinstimmung mit
c2 Auf Grund des Prinzips3 der Konstanz der
Einsteins Resultat (3). Lichtgeschwindigkeit, muss
2
Wird die Beziehung (2) quadriert, dann folgt dc 0 (12)
a s vorausgesetzt werden. Dadurch entfällt in (11)
2
as
nämlich t
2
2 e 2 1 2 2 und
c2
der zweite Term und es gilt:
c
2
man liest g 44 1 2 ab. 3
Dieses Prinzip wird hier zumindest als lokal gültig
c angenommen.
3
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dE c 2 dm (13). des metrischen Tensors der Post-Einstein-
Setzen wir nun (13) in die Beziehung (9) ein, Schwarzschild-Metrik zu schließen. Wir
dann folgt unmittelbar: möchten jedoch dem allgemeinen Anliegen
c 2 dm m a dx (14). der Astronomischen Gesellschaft Magdeburg
Die Trennung der Variablen führt auf das e.V.5 entsprechen und eine weitere
Integral: Herleitungsmöglichkeit angeben.
m1 x
dm 1
c
m x0
2
a dx (15). Herleitung der Radius-Radius-Komponente
m0 Dazu beginnen wir wieder mit der Beziehung
Für eine konstante Beschleunigung ergibt sich (9), d.h. mit dE m a dx , doch statt der
aus (15) die einfache Beziehung: Masse-Energie-Äquivalenz (10) verwenden wir
die relativistische Beziehung
a x1 x0
m1
c 2 ln (16), E pc (22)
m0
und die quantenphysikalische Beziehung
bzw. die Exponentialfunktion:
h
m1
a
x x0 p (23),
ec
2 1
(17).
m0 worin h das Planck’sche Wirkungsquantum
Die Erzeugung der Exponentialfunktion und die Wellenlänge sind. Jetzt ist die
scheint unvermeidlich. Da wir wissen, dass Herleitung recht analog, wie schon bei der
sich die Massenverhältnisse analog den Herleitung von (16). Das totale Differential der
Zeitverhältnissen gemäß Energie ist jetzt:
t1 m1 dE c dp p dc (24).
(18)
t0 m0 Mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
verhalten [5], gilt die Beziehung (17) in (12) sowie
Übereinstimmung mit Einsteins Herleitung dp d h 1 1 2 h d
entsprechend: h (25)
d
t1
a
x x0 2
ec
2 1
(19),
t0 folgt durch Einsetzen in (24):
wenn wir (19) mit (2) vergleichen und die
Größen
t t1 5
Die Publikationen der Astronomischen
t0 (20) Gesellschaft Magdeburg e.V. unterscheiden sich
s x1 x0 von sonst üblichen Fachpublikationen vor allem
dadurch, dass sie in deutscher Sprache verfasst
identifizieren4. Da wir ebenfalls wissen, dass sind und, dass die Rechnungen, selbst wenn sie
sich die Längenbeziehungen umgekehrt mathematisch einfach sind, ausführlich dargestellt
proportional zum Massenverhältnis verhalten: werden, um eine große über die Fachgemeinschaft
l0 m1 hinausgehende Leserschaft für die mathematisch-
(21),
l1 m0 physikalische Seite der Physik zu begeistern. Es soll
eben nicht im Artikel stehen: „Wie sich zeigen lässt
wäre es bereits jetzt möglich, auf die …“ und dann wird gar nichts gezeigt, nur
entsprechende Radius-Radius-Komponente behauptet, sondern in den AGM-Publikationen
wird es gezeigt und jeder, der es wünscht und sich
etwas bemüht, hat die Möglichkeit zum
Wir haben bewusst die t -Bezeichnungen
4
Nachrechnen, kann es einsehen oder
gewählt, um auch symbolisch zwischen gegebenenfalls auf einen Fehler hinweisen. Nur so
Zeitpunkten und Zeitintervallen zu unterscheiden. kann der Leser auch innerlich echte theoretische
Das Symbol soll, wie in der Physik üblich, auf Forschung miterleben, statt Forschungsergebnisse
den Intervallcharakter der jeweiligen Größe nur ehrfürchtig nachzuplappern, die er ansonsten
hinweisen. gar nicht versteht.
4
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ch
dE d (26). l l0 e c2
(34)
2
Mit der Beziehung (26) gehen wir wieder in gefunden und für ein kugelsymmetrisches
(12) ein: Gravitationsfeld wäre die Radius-Radius-
ch Komponente des Metrischen Tensors sofort zu
m d dx (27).
2
2 g11 e c2
(35)
In (27) setzen wir noch die Masse-Energie-
mit der Näherung:
Äquivalenz ein, um die Masse auf der rechten
1
Seite zu substituieren und finden so g 11 (36)
ch 2
E
2 d 2 a dx (28), 1 2
c c
substituieren wir noch die Energie mittels (22) bestimmt gewesen.
und (23), dann finden wir nach etwas
Umformungsarbeit: Schwarzschild-Metrik als Näherung
Der Leser weiß bereits, dass mit (5) die
d a
dx (29). Beziehungen (4) und (36) exakt auf die Post-
c2 Einstein-Schwarzschild-Metrik führen:
Ein Blick auf (15) rechtfertigt bereits (21), noch 1
bevor man integriert hat. Integrieren wir (29): ds 2
2M dr 2
1 x1 r
a e
d
1
dx (30),
x0
c2 r d 2 r 2 sin 2 ( )d 2
2
(37),
0
2M
dann finden wir:
e r
c 2 dt 2
ln 1 2 x1 x0
a
(31) einer Metrik, die in [1] zunächst intuitiv im
0 c Rahmen eines mathematischen Experimentes
und daraus folgt: konstruiert wurde. Diese Metrik ist hier nun
1
a
x1 x0 aus fundamentalen und experimentell höchst
e c
2
(32). genau bestätigten physikalischen Prinzipien
0
exakt hergeleitet worden.
So, wie sich aus (19) eine Zeitdilatation für Dem gegenüber ergibt sich die Schwarzschild-
beschleunigte Bewegungen ablesen lässt, aus Metrik exakt als Näherung erster Ordnung aus
welcher nach dem Äquivalenzprinzip auf eine (37), da
Zeitdilatation im Gravitationsfeld geschlossen 2M
2M
werden kann, bringt (32) eine e r
1 (38)
Längenkontraktion in beschleunigten r
Systemen, bzw. im Gravitationsfeld zum gilt, denn die Schwarzschild-Metrik ist
Ausdruck. Und so, wie die Zeitdilatation dazu 1
ds 2 dr 2
führt, dass im Gravitationsfeld eine 2M
Frequenzänderung von Licht entsprechend 1
r
einer Rotverschiebung gemäß Pound und
Rebka [6] gemessen wird, so entspricht (32)
r d r 2 sin 2 d 2
2 2
(39).
einer zugehörigen Änderung der gemessenen 2M 2 2
Wellenlänge eines Photons.
1 c dt
r
Einstein hätte auf Grund von (32) bereits 1907 Der Unterschied der Metriken ist überhaupt
die Beziehung nur in der Nähe des Schwarzschild-Radius
a s
l l0 e c2
(33) rS 2 M (40)
hinschreiben können. Unter Anwendung des relevant, in großen Entfernungen und damit in
Äquivalenzprinzips hätte er dann schwachen Feldern unterscheiden sich die
Metriken praktisch nicht. Doch der
5
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Schwarzschild-Radius impliziert die c 2 2M
Möglichkeit der Existenz so genannter ln 1 (44).
2 r
Schwarzer Löcher. Der Schwarzschild-Radius
ist proportional zur schweren Masse und Auch dieses Potential ist nichtlinear von der
bringt damit eine Beziehung zum starken Gravitationsmasse abhängig, es impliziert
Äquivalenzprinzip zum Ausdruck. Dem daher ebenfalls einen Bruch mit dem starken
gegenüber existiert in der Post-Einstein- Äquivalenzprinzip, es führt aber zugleich zur
Schwarzschild-Metrik kein Schwarzschild- exakten Gültigkeit der Schwarzschild-Metrik
auf Basis der exponentiellen Abhängigkeit
Radius rs 0 , gleichgültig, wie groß die
gemäß (41). Albert Einstein hat die Gültigkeit
jeweilige Masse auch ist. Die exakt auf dem des starken Äquivalenzprinzips in der
Äquivalenzprinzip im Sinne von Einsteins Newtonschen Gravitationstheorie zum Anlass
Fahrstuhl-Gedankenexperiment beruhende genommen, für eine allgemein-relativistische
Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik scheint Gravitation die Erfüllung dieses Prinzips zu
daher mit dem Äquivalenzprinzip zu brechen, fordern. Unter anderem gingen die
welches der Allgemeinen Relativitätstheorie Feldgleichungen der Allgemeinen
zugrunde liegt. Oder haben wir hier Relativitätstheorie aus der Suche Einsteins
irgendetwas nicht richtig verstanden? nach einer Analogie zu den Poisson-
Gleichungen hervor. Jetzt sehen wir, dass auf
Einstein’sches, Post-Einstein’sches und Grund von (44) die klassische Gravitation mit
klassisches Gravitationsgesetz6 der starken Äquivalenz brechen müsste, wenn
Man kann sich die Frage vorlegen, ob bei der (4) mit der Schwarzschild-Lösung verträglich
Herleitung der Post-Einstein-Schwarzschild- sein soll. Das ist gewiss ein Widerspruch!
Metrik oder ob in den Betrachtungen von Entwickelt man (44) als Reihe für große
Einstein (1907) und Longair (1991 und 2011) Abstände, d.h. für r M , dann findet man:
unter der Hand Annahmen getroffen wurden, i
c2 1 2M
die auf einen Widerspruch (wie beschrieben)
hinauslaufen. Tatsächlich wird ja stets mit
2
i 1 i r
(45).
dem Newtonschen Gravitationspotential Brechen wir die Reihe (45) nach der ersten
identifiziert. Ist es vielleicht so, dass das nicht Ordnung ab:
korrekt ist? Wie müsste beschaffen sein, so c 2 2M c2 2 M 0
(1)
dass die exponentielle Form 2 r 2 c2 (46),
2
M0
g 44 e r
(41) Newton
r
mit der entsprechenden Komponente der dann ergibt sich exakt das Newtonsche
Schwarzschild-Metrik Gravitationspotential - verblüffend, wie alles
2M zusammenpasst.
g 44 1 (42)
r Betrachten wir die 2. Ordnung, dann finden
zusammenfällt? Identifizieren wir wir7:
2
2M 2M 1 2M 2
c2
e c 1
2
(43), ( 2)
r r 2
2 r
so wird dadurch ein neues klassisches
c 2 M c 2 4M 2
Gravitationspotential definiert, durch (47).
Umformung von (43) nach der Größe , r 4 r2
M0 1 M0
2
ergibt sich dieses neue Potential:
2
r c r
6 7
Hier ist das kugelsymmetrische Vakuumfeld Im letzten Schritt der Umformung wurde jeweils
gemeint. (6) verwendet.
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Terme höherer als der ersten Ordnung beschrieben. Dabei ist m p die so genannte
enthalten offensichtlich c 2 im Nenner und in passive Gravitationsmasse, sie beschreibt die
höheren Potenzen. Das bedeutet, dass für den Eigenschaft eines Probekörpers, auf ein
Grenzübergang c das durch (44) gegebenes Gravitationsfeld zu reagieren.
bestimmte Gravitationspotential in das Gemäß der Galileischen Fallexperimente
Newtonsche Potential übergeht – erstaunlich, werden Körper auch mit unterschiedlichen
wie wieder alles zusammenpasst. Tatsächlich passiven schweren Massen, die sich allein im
drückt sich in den Termen höherer Ordnung Gravitationsfeld bewegen, in gleicher Weise
die Notwendigkeit eines stärkeren beschleunigt. Setzt man (48) und (49) gleich
Gravitationsfeldes aus, um die Kompatibilität
mT a m p G (50),
zur Schwarzschild-Lösung herzustellen, denn
aufgrund der Exponentialfunktion in (41) wäre dann besagt Galileis Beobachtung:
die Existenz des Schwarzschild-Radius allein a G (51)
mit dem Newtonschen Potential nicht und das unterstellt:
möglich. In (45) ist also das starke mT m p (52).
Äquivalenzprinzip in der Weise gebrochen,
Die Beziehung (52) ist die erste und einfachste
dass sich die Gravitation bei Massenzuwachs
Fassung des so genannten schwachen
überproportional verstärkt. Eine physikalische
Äquivalenzprinzips von Trägheit und Schwere.
Bedeutung kommt dem Potential (44) als
Die Beziehung (51) besagt, dass das
quasiklassisches Potential verstanden
Gravitationsfeld ein universelles
vermutlich nicht zu, es ist nur ein Artefakt
Beschleunigungsfeld ist.
unserer Konstruktion das passend zu machen,
was nicht zusammen passt. Aber gleichgültig,
Kommen wir nun zum starken
ob wir dem Potential (44) eine physikalische
Äquivalenzprinzip, wie es sich in der
Bedeutung zuweisen oder nicht, in letzter
Newtonschen Gravitationstheorie darstellt.
Instanz scheinen schwaches und starkes
Äquivalenzprinzip in einem spezifischen Sinne Die Feldstärke G des Gravitationsfeldes ist als
widersprüchliche Prinzipien. Gradient des Newtonschen
Um die damit verbundenen Fragen Gravitationspotentials gegeben:
Q
aufzuklären, müssen wir uns mit den G grad 3G r (53).
Äquivalenzprinzipien in der Newtonschen r
Gravitationstheorie und in den relativistischen In (53) ist QG die Gravitationsladung. Sie
Gravitationstheorien genauer befassen. fungiert als Quelle des Gravitationsfeldes8. Wir
haben absichtlich diese von der üblichen
Äquivalenzprinzipien bei Newton, Einstein Schreibweise abweichende Bezeichnung
und in der Post-Einstein-Schwarzschild- gewählt, um auch optisch die begrifflich
Metrik unterschiedlichen Größen zu trennen. Wir
In der Newtonschen Gravitationsphysik zeigen nun, dass das so genannte Starke
kommt die Masse in drei begrifflich Äquivalenzprinzip sich aus dem 3.
unterschiedlichen Bedeutungen vor. Zunächst Newtonschen Axiom, dem
als so genannte träge Masse mT , d.h. als Gegenwirkungsaxiom, herleitet. Dazu
Widerstand gegen eine Beschleunigung betrachten wir den wechselseitigen
erscheint sie in Newtons Kraftgesetz: gravitativen Einfluss zweier Körper (A und B)
K mT a (48). aufeinander. Da die gravitativen
Wechselwirkungskräfte der beiden Körper nur
In einem durch die Feldstärke G gegebenen
entlang ihrer Verbindungslinie wirksam
Gravitationsfeld wird die Gravitationskraft
werden, ist eine vektorielle Betrachtung
durch die Beziehung
FG m p G (49) 8
Potentialtheoretisch ist sie eigentlich eine
Feldsenke. Das ist hier aber unwesentlich.
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unnötig und es ist ausreichend, wenn wir uns beliebig, bzw. je nach Aspekt als träge, passive
auf die Beträge der wirksamen Kräfte oder aktive schwere Masse interpretiert
beschränken. Da keine äußeren Kräfte auf die werden.
Körper A und B einwirken sollen, muss die Mit (60) und (62) erhält (53) die Form
Summe der Kräfte Null sein, d.h. die Kraft, m
welche vom Körper A auf den Körper B wirkt, G 3 r (63).
r
wir nennen sie K AB , muss entgegengesetzt Die Feldstärke G ist bei gegebenem Abstand
gleich der Kraft sein, welche vom Körper B auf direkt der felderzeugenden Masse
den Körper A wirkt, d.h. es gilt: proportional, und das besagt, dass die
K AB K BA 0 (54). Gravitation beliebig anwachsen kann.
Für die Beträge muss daher Es sei hier bereits angemerkt, dass es von
K AB K BA (56) erheblicher theoretischer Bedeutung ist, dass
das starke Äquivalenzprinzip eine direkte
gelten. Da es sich um Gravitationskräfte
Folge des 3. Newtonschen Axiomes ist, denn
handeln soll, gilt (53) in der Betragsform:
A
das Gegenwirkungsprinzip setzt die
B QG Fernwirkung voraus. Das 3. Newtonsche
K AB m p 2
r Axiom ist daher in einer relativistischen
(57).
Q B Feldtheorie gebrochen – würde man
K BA m pA G2 beispielsweise die Gravitation der Sonnen zu
r
einem bestimmten Zeitpunkt abschalten, so
Mit (57) führt (56) auf die Gleichung:
A B
würde die Erde erst mit einer Verspätung von
B QG A QG
mp 2 mp 2 (58). 8 Minuten die Wirkung davon „spüren“. Eine
r r Verletzung des starken Äquivalenzprinzips ist
2
Durch Kürzen von r und Umformung mit einer relativistischen Feldphysik also
erhalten wir die einfache Verhältnisgleichung: durchaus verträglich und muss nicht zwingend
A
QG QG B in die Relativistik übernommen werden. Auch
(59). experimentell ist das Prinzip nur im Rahmen
m pA m pB einer sehr geringen Genauigkeit gesichert
Dieser Gleichung (59) ist direkt abzulesen, (Cavandish-Experimente), darum ist die
dass das Verhältnis zwischen Gravitationskonstante die am ungenausten
Gravitationsladung und passiver schwerer bekannte Naturkonstante[7]. Dem gegenüber
Masse eine Konstante sein muss. In anderen ist das schwache Äquivalenzprinzip hoch
Worten, die Gravitationsladung ist genau bestätigt und für eine relativistische
proportional zur passiven schweren Masse. Feldphysik im Sinne einer metrischen Theorie
Diese Proportionalität kann in der Beziehung der Gravitation auch fundamental
QG ms (60) unverzichtbar.
unmittelbar zum Ausdruck gebracht werden, Wir kommen nun zu den Äquivalenzprinzipien
wobei dann so gewählt werden kann, dass in der Einstein’schen Gravitationstheorie,
wobei wir [8] referieren, einzelne Sätze oder
ms m p (61)
Passagen wörtlich übernehmen, ohne das
gilt, d.h. die aktive schwere Masse m s ist extra zu kennzeichnen. Wir empfehlen die
gleich der passiven schweren Masse m p . Die sehr ausführliche und tiefgehende
Abhandlung [8] nachzulesen.
Beziehung (61) bringt das starke
Bevor man vertieft über das Äquivalenzprinzip
Äquivalenzprinzip unmittelbar zum Ausdruck.
von Trägheit und Schwere in einer
Auf Grund des schwachen und des starken
relativistischen, d.h. in einer metrischen
Äquivalenzprinzips kann die Masse
Theorie der Gravitation nachdenkt, muss man
m mT m p ms (62) sich daran erinnern, dass die Begriffe träge
Masse und schwere Masse Begriffe aus der
nichtrelativistischen Mechanik Newtons sind.
8
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Es ist daher nicht automatisch zu erwarten, wobei die metrischen Tensorkomponenten
dass sich diese Begriffe auf Teilchen g ik durch die Feldgleichungen, die Grenz- und
anwenden lassen, die sich mit Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Lichtgeschwindigkeit bewegen [8]. So erklärt Der metrische Tensor ist das relativistische
beispielsweise die Newtonsche Theorie die Analogon zum Gravitationspotential, seine
Rotverschiebung eines Teilchens, z.B. eines Ableitungen bilden die Analogie zur
Lichtquants, welches sich von einem Feldstärke. Es ist stets möglich, ein
Gravitationszentrum entfernt, als Verlust an Koordinatensystem so zu wählen, dass an
kinetischer Energie, während in den jedem Punkt des Raumes12
metrischen Theorien der Gravitation die
g ik ik
Frequenzverschiebung (Rotverschiebung) aus
g ik ,rs x r x Ps x x Ps
einem ortsabhängigen Uhrengang ohne 1
(65)
Rückgriff auf den Terminus „schwere Masse“ 2
deduziert wird und die Lichtablenkung im ...
Gravitationsfeld hat nach der Newtonschen gilt. In (65) sind die Größen ik die metrischen
Theorie nur den halben Wert des tatsächlich
Tensorkomponenten des ebenen Minkowski-
gemessenen Betrages. In metrischen Theorien
Raumes der Speziellen Relativitätstheorie und
der Gravitation ist im statischen
die Größen g ik ,rs kennzeichnen die partiellen
Gravitationsfeld die kinetische Energie eine
Konstante und eine potentielle Energie gibt es Ableitungen der g ik nach den Koordinaten x r
in relativistischen Theorien der Gravitation
und x s am Punkte P . Alle Indizes durchlaufen
nicht9 [8]. Der aus metrischen Theorien
die Nummern von 1 bis 4.
berechnete Betrag der Lichtablenkung hängt
Die Beziehung (65) ist eine geometrische
von der konkreten Metrik ab und diese ist eine
Fassung des Äquivalenzprinzips. Sie beschreibt
Folge der jeweiligen Feldgleichungen sowie
das Feld in einem lokalen Inertialsystem,
der Grenzbedingungen10,11.
wobei im Punkte P keine Kräfte auftreten,
Das Äquivalenzprinzip bedeutet nun, dass ein
entsprechend Einsteins frei fallendem
Beobachter eines beschleunigten
Fahrstuhl. Ein Raum wäre gravitationsfrei,
Massenpunktes nicht entscheiden kann, ob
wenn man ein entsprechendes
diese Beschleunigung von Trägheitskräften
Koordinatensystem für den ganzen Raum, also
oder von einem Gravitationsfeld
nicht nur lokal, einführen könnte.
hervorgerufen wird. Diese
Die relativistische Fassung des
Nichtunterscheidbarkeit von Trägheit und
Äquivalenzprinzips ist das Geodätenprinzip,
Schwere gilt zwar nur lokal, sie reicht aber
d.h. kraftfreie strukturlose Massenpunkte
aus, um zu verstehen, dass die Schwerkraft
bewegen sich im Riemannschen Raum auf
mit denselben Mitteln beschrieben werden
Geodäten entsprechend:
muss, wie die Trägheit in beschleunigten
d 2 xm i
m dx dx
k
Bezugssystemen, nämlich durch eine Metrik, ik 0 (66),
verschieden von der des Minkowski-Raumes, d2 d d
nämlich durch das Linienelement: mit den Christoffel-Symbolen:
ds 2 gik dx i dx k g gin,k g kn ,i g ik ,n
(64), 1 mn
ikm (67),
2
wobei (65) eine Folge der dynamischen
Gleichung
9
Wir verwenden die Begriffe „metrische Theorie“ T;kik T,kik lki T lk lkk T il 0 (68)
und „relativistische Theorie“ der Gravitation als
Synonyme.
10
Festlegung der Integrationskonstanten.
11 12
Die Lichtablenkung ist somit eine Bedingung für Der Kürze halber wollen wir im Folgenden unter
die Feldgleichungen und keine Bestätigung des Raum stets die 4-dimensionale Raum-Zeit
Äquivalenzprinzips! verstehen.
9
Astronomische Gesellschaft Magdeburg e.V.Ist die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein
genähertes Gravitationsgesetz?
Klaus Retzlaff
6.5.2018
ist, wenn T ik die Komponenten des Energie- In der Einstein’schen Allgemeinen
Impulstensors bezeichnet. Das Verschwinden Relativitätstheorie gilt zusätzlich das starke
der kovarianten Divergenz T;kik 0 gemäß Äquivalenzprinzip. Einstein hat postuliert, dass
in einem frei fallenden Bezugssystem
(68) bedeutet die lokale Gültigkeit des (Schwerpunkt des frei fallenden Fahrstuhls)
Energie-Impulserhaltungssatz der Speziellen mit der Metrik (65) alle äußeren
Relativitätstheorie. Die nächste Gravitationseffekte verschwinden. Das
Verallgemeinerung des Äquivalenzprinzips ist bedeutet, dass die Metrik die einzige Größe
daher die lokale Gültigkeit der speziell- ist, die das Gravitationsfeld enthält und dass
relativistischen Feldgleichungen im die Raumkrümmung lokal nicht in die
Koordinatensystem (65) für alle nicht- kanonischen Gleichungen für die
gravitativen Felder, d.h. das Aufschreiben der nichtgravitativen Felder eingeht – soweit die
speziell-relativistischen Feldgleichungen im Kurzfassung von [8].
Koordinatensystem (65) bewirkt über die Auf Grund der referierten relativistischen
Kovariantschreibung13 die Gültigkeit der Fassungen der Begriffe schwaches und starkes
Feldgleichungen in allen Koordinatensystemen Äquivalenzprinzip bestimmt also das
und dadurch auch in allen Bezugssystemen. schwache Äquivalenzprinzip nicht die
Die Kovariantschreibung der kanonischen Feldgleichungen. Die konkrete Form der
Form der Feldgleichung der nichtgravitativen Feldgleichungen wird erst durch das starke
Felder als Vorschrift für die Errechnung der Äquivalenzprinzip festgeschrieben. Ist das
Wirkung des Schwerefeldes auf diese Felder starke Äquivalenzprinzip in der Natur
ist ein vorläufiger Höhepunkt in der realisiert, ist die Einstein’sche Allgemeine
Abstraktion des Äquivalenzprinzips und wird Relativitätstheorie die einzig mögliche
im Allgemeinen als das schwache Gravitationstheorie.
Äquivalenzprinzip bezeichnet[8]. Die Wirkung Die Rechnungen von Einstein in [2], Longair in
der Gravitation auf die nichtgravitativen [3] und Retzlaff in [1] haben gezeigt, dass
Felder kommt auf diese Weise ausschließlich unter einfachsten Voraussetzungen eine
über die in den kovariant geschriebenen Metrik aus Annahmen deduzierbar ist, die das
Feldgleichungen enthaltenen metrischen schwache Äquivalenzprinzip und die lokale
Tensorkomponenten und deren Derivierten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
hinein. Man bezeichnet diesen Sachverhalt voraussetzen und in definierter Weise mit
auch als das Prinzip der minimalen Kopplung. dem Newtonschen Gravitationspotential in
Zugleich drückt sich darin die Universalität des Beziehung stehen. Speziell für eine
Einflusses der Gravitation auf alle raum- Punktmasse ergibt sich die Metrik (37), die als
zeitlichen Wechselwirkungen aus14. Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik bezeichnet
wird. Diese Post-Einstein-Schwarzschild-
Metrik enthält die berühmte äußere
13 Schwarzschild-Metrik als Näherung und
Kovariantschreibung der Feldgleichungen
während in der Schwarzschild-Metrik so
bedeutet die Ersetzung partieller Ableitungen
durch kovariante Ableitungen, d.h. die genannte Schwarze Löcher möglich sind, kann
Substitution: ,k ;k .
in der Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik ein
14
solches kritisches Objekt nicht existieren.
Aus dieser Universalität wird in der Literatur oft Aktuell sind Feldgleichungen, aus denen sich
der falsche Schluss gezogen, dass sich die
die Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik
Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie
nicht abschirmen ließe. Diese Folgerung ist jedoch herleiten lässt, nicht bekannt. Während auch
irreführend, da nach der Allgemeinen in der Post-Einstein-Schwarzschild-Metrik das
Relativitätstheorie auch repulsive gravitative schwache Äquivalenzprinzip so wie auch in der
Wirkungen, z.B. um geladene Teilchen, existieren, Einstein’schen Allgemeinen Relativitätstheorie
die zumindest im Nahfeld die gravitative Attraktion erfüllt ist, ist das starke Äquivalenzprinzip
dominieren. Es sei in diesem Zusammenhang an verletzt. Dieser Buch mit dem starken
die Reissner-Nordström-Metrik erinnert [9].
10
Astronomische Gesellschaft Magdeburg e.V.Ist die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein
genähertes Gravitationsgesetz?
Klaus Retzlaff
6.5.2018
Äquivalenzprinzips muss sich in einer somit ein Nachweis, dass es sich bei den
entsprechenden Post-Einstein’schen- Einstein’schen Feldgleichungen um ein
Gravitationstheorie, aus der die Post-Einstein- genähertes Gravitationsgesetz handelt.
Metrik herleitbar ist, so darstellen, dass in Der scheinbare Widerspruch zwischen
einem frei fallenden Labor auch lokal schwachem und starkem Äquivalenzprinzip,
prinzipiell experimentell entscheidbar ist, ob wie ihn die Untersuchungen von Einstein,
ein äußeres Gravitationsfeld existiert. Da die Longair und Retzlaff nahelegen, beruht darauf,
Unmöglichkeit des Auftretens Schwarzer dass diese Begriffe in der klassischen und in
Löcher in der Post-Einstein-Schwarzschild- der relativistischen Physik nicht exakt
Metrik ein Prinzip der Selbstabschirmbarkeit deckungsgleich sind. In der relativistischen
der Gravitation zum Ausdruck bringt, müssen Physik kommt die Verträglichkeit der
klassische Cavandish-Experimente in einem im Prinzipien in Einsteins Allgemeiner
äußeren Gravitationsfeld frei fallenden Labor Relativitätstheorie unmittelbar zum Ausdruck,
ortsabhängige Gravitationskonstanten15 wobei in der Post-Einstein-Schwarzschild-
ergeben, wobei die auf diese Weise Metrik das starke Äquivalenzprinzip
ermittelten Gravitationskonstanten umso tatsächlich verletzt ist.
kleiner werden, je stärker das äußere Feld ist,
d.h. je stärker die Krümmung der Raum-Zeit
ist. Quellen
Wir haben auf Grund von [8] gelernt, dass das [1] Retzlaff, Klaus, „Einstein- und Post-
schwache Äquivalenzprinzip die Einstein-Effekte im Zentralfeld“, epubli, 2017
Feldgleichungen nicht festlegt und dadurch [2] Einstein, Albert, „Über das
auch nicht ausreichend sein kann, um eine Relativitätsprinzip und die aus demselben
konkrete Metrik zu bestimmen. Da die gezogenen Folgerungen“, Zeitschrift für
Exponentialfunktion in der Beziehung (2) allein Radioaktivität und Elektronik, 1907
auf einer reinen Beschleunigung beruht, kann [3] Longair, Malcolm Sim, „Theoretische
dahingegen argumentiert werden, dass die Konzepte der Physik“, Springer Verlag 1991
konkrete Metrik dadurch festgelegt wird, dass und 2011
man sich in (2) (oder in anderen [4] Lanczos, Cornelius, „Tetraden-Formalismus
entsprechenden Beziehungen) auf das und definite Raum-Zeit-Struktur“, Vortrag auf
Newtonsche Gravitationspotential bezieht. dem Einstein-Symposium 1965,
Doch das schwache Äquivalenzprinzip lässt Wiederabdruck Akademie-Verlag Berlin 1979
auch eine Umkehrung der Betrachtungen zu, [5] Retzlaff, Klaus, „Trägheitsinduktion und
wenn nämlich die Beschleunigung als Relativität der Zeit“, 2013, siehe
Ausdruck eines Gravitationsfeldes betrachtet www.astronomie-magdeburg.de
wird, lässt sich der Schluss ziehen, dass der [6] R.V. Pound und G.A. Rebka, „Gravitational
Ausgang von Cavandish-Experimenten selbst Red-Shift in nuclear resonance“, Physical
von der Stärke der Beschleunigung abhängt, Review Letters, Vol. 3, Number 9., 1.
denen das System unterworfen ist, in November 1959
welchem die Messungen gemacht werden. [7] Retzlaff, Klaus, „Die Ungenauigkeit der
Man kann das als einen weiteren Post- Gravitationskonstante und die Abschätzung
Einstein-Effekt ansehen. Kann ein solcher Dunkler Materie in der Sonnenumgebung –
Effekt nachgewiesen werden, so wäre das ein kritische Anmerkung“, 2017, siehe
Argument für die Selbstabschirmung der www.astronomie-magdeburg.de
Schwerkraft und ein direkter Nachweis für den [8] Treder, Hans-Jürgen, „Gravitationstheorie
Bruch des starken Äquivalenzprinzips und und Äquivalenzprinzip“, Akademie - Verlag
Berlin, 1971
15
Der Begriff einer „Gravitationskonstante“ passt [9] von Laue, Max, „Die Relativitätstheorie“,
natürlich jetzt nicht in ein Szenario, in welchem der zweiter Band, Verlag Frieder. Vieweg & Sohn,
gemessene Wert von physikalischen Bedingungen Braunschweig 1956
abhängig ist.
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Astronomische Gesellschaft Magdeburg e.V.Sie können auch lesen
